Mở đầuHình học nhiệt đới là một lĩnh vực tương đối mới và giành được nhiều sự quan tâmtrong hình học đại số cho phép phân tích các hàm tuyến tính từng phần.. Nhánh đạisố mới này của hình
Đại số tuyến tính
Không gian vecto
Định nghĩa 1.1.1 [20] Giả sử V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu bởi
Trường vectơ V là tập hợp các vectơ {→α,−→β,−→γ, ,k} cùng với hai phép toán là phép cộng vectơ (+) và phép nhân vectơ với vô hướng (.) Tổ hợp (V, +, ) thoả mãn tính chất của một không gian vectơ trên trường K (hay K-không gian vectơ) với các điều kiện áp dụng cho mọi vectơ →α,→β,→γ∈V và mọi vô hướng r,s,1∈K.
Tính chất 1.1.1 [20] (Một số tính chất đơn giản )
Không gian con
Định nghĩa 1.1.2 [20] Giả sửW là một tập con của không gian vectơV NếuW cũng là một không gian vectơ đối với hai phép toán đã cho trongV thìW được gọi là một không gian con củaV.
Sự độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 1.1.3 [20] Giả sử A ={−→ α 1 ,−→ α 2 , ,−−−→ α m−1 ,−→ α m } là một hệ vectơ của K- không gian vectơV,(m>0).
Nếu−→ α =r 1 −→ α 1 +r 2 −→ α 2 + +r m−1 −−−→ α m−1 +rm−→ α m thì ta nói−→ α là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơAhay−→ α biểu thị tuyến tính quamvectơ đã cho. Định nghĩa 1.1.4 [20] Giả sử A ={−→ α 1 ,−→ α 2 , ,−−−→ α m−1 ,−→ α m } là một hệ vectơ của K- không gian vectơV,(m>0).
Hệ vectơ A được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có m số r 1 ,r 2 , ,r m−1 ,rm thuộc trườngK, không đồng thời bằng0, sao cho r 1 −→ α 1 +r 2 −→ α 2 + +r m−1 −−−→ α m−1 +rm−→ α m =−→
0 Định nghĩa 1.1.5 [20] Giả sử A ={−→ α 1 ,−→ α 2 , ,−−−→ αm−1,−→ α m } là một hệ vectơ của K- không gian vectơV,(m>0).
Hệ vectơ A được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính; nói cách khác, nếu r 1 −→ α 1 +r 2 −→ α 2 + +r m−1 −−−→ α m−1 +rm−→ α m =−→
Cơ sở của không gian vecto
Định nghĩa 1.1.6 [20] Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một không gian vectơ khác {−→
0}được gọi là một cơ sở của nó.
Số chiều của khong gian vecto
Số vectơ trong một cơ sở của không gian vectơ V trên trường K được gọi là số chiều của V, ký hiệu là dimKV Khi không chỉ rõ trường K, ta có thể viết tắt là dimV Nếu W là một không gian con của không gian vectơ V trên trường K, thì dimW ≤ dimV.
1)dimKW ≤dimKV 2)dimKW =dimKV khi và chỉ khiW =V. Định lý 1.1.2 [20] NếuU,W là những không gian con của K-không gian vectơ V thì: dim(U+W) =dimU+dimW −dim(U∩W). Định nghĩa 1.1.8 [20] NếuV là không gian vecto nchiều vàW là tập con củaV có mchiều thì codim củaW vàV được định nghĩa là: codimVW =dimV−dimW
Hay nói cách khác, codim của một tập con là sự chênh lệch giữa chiều của không gian và chiều của tập con đó.
Ma trận
Định nghĩa 1.1.9 [20] Giả sửV vàW là haiK- không gian vectơ với cơ sở lần lượt là f :V −→W là một ánh xạ tuyến tính mà
Ma trận được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với hai cơ sở(ε)và(ξ)
Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa 1.1.10 [20] (Phép cộng) Giả sửA= (a i j ) (m,n) vàB= (b i j ) (m,n) lần lượt là các ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f,g∈HomK(V,W)đối với hai cơ sở(ε)và
(ξ)đã chọn trongV vàW Thêm thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f +gđối với hai cơ sở ấy làC= (a i j +bi j) (m,n) Ma trậnCđược gọi là tổng của hai ma trậnAvàB, kí hiệu làA+B. Định nghĩa 1.1.11 [20] ( Phép nhân một ma trận với một số) Giả sửA= (ai j) (m,n) là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ∈HomK(V,W)đối với hai cơ sở(ε)và(ξ)đã chọn trongV vàW,k∈K Thế thì ma trận của ánh xạ tuyến tínhk f đối với hai cơ sở ấy là ma trậnC= (kai j) (m,n) Ma trậnCđược gọi là tích của ma trậnAvới số k, kí hiệu là kA. Định nghĩa 1.1.12 [20](Phép trừ) Ma trận (−1)A được gọi là đối của ma trận A.
Kí hiệu là ˘A Với hai ma trận A và B, tổng A+ (−B) được gọi là hiệu củaA và B.
Kí kiệu A−B Như vậy, với A= (a i j ) (m,n) vàB= (b i j ) (m,n) ta có: −B= (−b i j ) (m,n) ,
Mệnh đề 1.1.1 [20] (Tích của hai ma trận ) Giả sử trong mỗi không gianU,V,W đã chọn một cơ sở cố định,A= (a i j ) (m,n) là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V −→
W,B= (b jk ) (n,p) là ma trận của ánh xạ tuyến tính g:U −→V Thế thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f glà ma trận
Ma trậnC được gọi là tích của hai ma trậnAvàB, kí hiệu làAB.
Quy tắc nhân hai ma trận Muốn tìm thành phầnc ik của ma trận tíchABta phải lấy mỗi thành phần a i j của dòng thứi trong ma trậnA nhân với thành phần b jk của cột thứkcủa ma trậnBrồi cộng lại.
Có thể mô tả bởi sơ đồ sau:
Đại số đa thức
Đơn thức là biểu thức đại số bao gồm một số, một biến hoặc tích của số và biến Đa thức là tổng của các đơn thức Phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) khác đa thức 0 tạo ra thương q(x) và dư r(x), với điều kiện bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của q(x) Do đó, f(x) chia cho g(x) được thương q(x) và dư r(x).
Trường hợp nếu đa thứcr(x)là đa thức0, ta được: f(x) =g(x).q(x)
Và khi đó ta nói đa thức f(x)chia hết cho đa thứcg(x). Định lý 1.2.1 [21] ( Định lý Bézout) Nếu đa thức P(x)có nghiệm x=athì P(x) (x−a).Q(x), trong đóQ(x)cũng là đa thức biếnx.
Lý Thuyết Số Học
Định nghĩa 1.3.1 [22] (Nửa nhóm - vị nhóm) Cấu trúc đại số (X,∗)với ∗ là phép toán trong trênX có tính chất kết hợp được gọi là nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán trên nó có tính giao hoán. Định nghĩa 1.3.2 [22] (Nhóm) Vị nhóm(X,∗)được gọi là một nhóm nếu mỗi phần tử của X đều tồn tại phần tử nghịch đảo Hay nói cách khác, cấu trúc đại số (X,∗) được gọi là một nhóm nếu : -(x+y) +z=x∗(y∗z)với mọix,y,z∈X. - Tồn tại phần tửe∈X sao choe∗x=x∗e=xvới mọix∈X. - Với mọix∈X tồn tạiy∈X sao chox+y=y∗x=e. Định nghĩa 1.3.3 [22] ( Vành) Cấu trúc đại số(X,+,), trong đó+ và là hai phép toán trong trênX, được gọi là một vành nếu:
-(X,+)là một nhóm giao hoán.
- Phép toán phân phối đối với phép+.
Phần tử đơn vị của nhóm(X,+)thường được kí hiệu0x Phần tử đơn vị ( kí hiệu là 1x) của vị nhóm(X,)cũng được gọi là phần tử đơn vị của vành Một vành màOx=1x được gọi là vành tầm thường Nếu phép toán có tính giao hoán thì vành(X,+.)được gọi là vành giao hoán.
Cho(X,+,)là một vành, nó có thể xảy ra trường hợp rằng, tồn tại các phần tửa,b∈X sao choa̸=0,b̸=0(0là phần tử đơn vị của nhóm(X,+)) nhưngab=0.
Những phần tử như thế được gọi là ước của không Một vành không tầm thường, giao hoán, không có ước của không được gọi là vành nguyên hoặc miền nguyên. Định nghĩa 1.3.4 [20]( Trường) Vành (X,+,) được gọi là một trường nếu nó là không tầm thường, giao hoán và mọi phần tử khác0đều có nghịch đảo đối với phép toán Như vậy nếu(X,+,∗)là một trường thì(X\ {0},)là một nhóm.
Lý Thuyết Đồ thị
Định nghĩa 1.4.1 [24] (Đỉnh và Cạnh) Đỉnh (Vertex/Node): Là các điểm trong đồ thị.
Cạnh (Edge): Là các đoạn đường nối giữa hai đỉnh, có thể có hướng (đồ thị có hướng) hoặc không hướng (đồ thị vô hướng). Định nghĩa 1.4.2 [24](Đồ Thị Đơn và Đồ Thị Đa Đỉnh) Đồ Thị Đơn (Simple Graph):
Một đồ thị không chứa cạnh lặp lại hoặc đỉnh kết nối với chính nó. Đồ Thị Đa Đỉnh (Multigraph): Có thể chứa cạnh lặp lại hoặc có nhiều cạnh giữa hai đỉnh. Định nghĩa 1.4.3 [24](Liên Thông và Không Liên Thông) Đồ Thị Liên Thông (Con- nected Graph): Mọi cặp đỉnh đều có ít nhất một đường đi nối chúng. Đồ Thị Liên Thông Mạnh (Strongly Connected Graph): Đồ thị có hướng mà giữa mọi cặp đỉnh đều tồn tại ít nhất một đường đi hướng. Định nghĩa 1.4.4 [24](Thành Phần Liên Thông và Đồ Thị Liên Kết) Thành Phần
Liên Thông (Connected Component): Là một tập con lớn nhất của đỉnh sao cho giữa mọi cặp đỉnh trong tập con đó đều có đường đi. Đồ Thị Liên Kết (Connected Graph): Là đồ thị mà chỉ có một thành phần liên thông, tức là không thể chia đồ thị thành các thành phần liên thông riêng lẻ. Định nghĩa 1.4.5 [24] Đồ Thị Liên Thông (Connected Graph): Một đồ thị được gọi là liên thông nếu giữa mọi cặp đỉnh trong đồ thị đó tồn tại ít nhất một đường đi.
Tổng quan về mạng nơ-ron
Mạng nơ - ron nhân tạo
Định nghĩa 1.5.1 [23] Mạng noron nhân tạo (Artifical Neural Networks) mô phỏng lại mạng nơ - ron sinh học là một cấu trúc khối gồm các đơn vị tính toán đơn giản được liên kết chặt chẽ với nhautrong đó các liên kết giữa các noron quyết định chức năng của mạng.
Các đặc trưng cơ bản của mạng nơ - ron
Các đặc trưng cơ bản của mạng nơ - ron:
- Gồm một tập các đơn vị xử lý (các nơ - ron nhân tạo).
- Trạng thái kích hoạt hay đầu ra của đơn vị xử lý.
- Liên kết giữa các đơn vị Xét tổng quát, mỗi liên kết được định nghĩa bởi một trọng sốW jk cho ta biết hiệu ứng mà tín hiệu của đơn vị j có trên đơn vịk.
- Một luật lan truyền quyết định cách tính tín hiệu ra của từng đơn vị từ đầu vào của nó.
- Một hàm kích hoạt, hay hàm chuyển (activation function, transfer function), xác định mức độ kích hoạt khác dựa trên mức độ kích hoạt hiện tại.
- Một đơn vị điều chỉnh (độ chệch) (bias, offset) của mỗi đơn vị.
- Phương pháp thu thập thông tin (luật học - learning rule).
- Môi trường hệ thống có thể hoạt động.
Các thành phần cơ bản của mạng nơ - ron nhân tạo
Còn được gọi là một nơ - ron hay một nút (node), thực hiện một công việc rất đơn giản: nó nhận tín hiệu vào từ các đơn vị phía trước hay một nguồn bên ngoài và sử dụng chúng để tính tín hiệu ra sẽ được lan truyền sang các đơn vị khác.
Trong đó: xi : các đầu vào. wji : các trọng số tương ứng với các đầu vào. θj : độ chệch (bias). aj : đầu vào mạng (net-input. zj: đầu ra của nơ - ron. g(x): hàm chuyển (hàm kích hoạt).
Phần lớn các đơn vị trong mạng nơron chuyển net input bằng cách sử dụng một hàm vô hướng (scalar-to-scalar function) gọi là hàm kích hoạt, kết quả của hàm này là một giá trị gọi là mức độ kích hoạt của đơn vị (unit’s activation) Loại trừ khả năng đơn vị đó thuộc lớp ra, giá trị kích hoạt được đưa vào một hay nhiều đơn vị khác Các hàm kích hoạt thường bị ép vào một khoảng giá trị xác định, do đó thường được gọi là các hàm bẹp (squashing) Các hàm kích hoạt hay được sử dụng là: Hàm đồng nhất; Hàm bước nhị phân; Hàm sigmoid; Hàm sigmoid lưỡng cực.
- Mạng truyền thẳng (Feed-forward neural network):[23]
Dòng dữ liệu từ đơn vị đầu vào đến đơn vị đầu ra chỉ được truyền thẳng Việc xử lý dữ liệu có thể mở rộng ra nhiều lớp, nhưng không có các liên kết phản hồi Nghĩa là, các liên kết mở rộng từ các đơn vị đầu ra tới các đơn vị đầu vào trong cùng một lớp hay các lớp trước đó là không cho phép.
Trong chương này, chúng tôi đã xem xét các kiến thức nền tảng toán học về hình học nhiệt đới Kiến thức toán học từ sơ cấp đến cao cấp bao gồm đại số tuyến tính, giải tích, và hình học vi phân Chúng tôi bắt đầu bằng những kiến thức này để chuẩn bị tìm hiểu những kiến thức cơ bản của hình học nhiệt đới ở chương 2.
Chương 2 Hình học nhiệt đới
Thuật ngữ "hình học nhiệt đới" (tropical geometry) xuất hiện đầu tiên vào khoảng thập kỷ 1950 khi nhà toán học Imre Simon sử dụng nó trong một bức thư gửi đến Claude Berge, mô tả một hệ thống các bài toán quy hoạch có tính chất đặc trưng của một khu vực nhiệt đới Trong thập kỷ 1990, "hình học nhiệt đới" trở thành một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số và hình học đại số Thuật ngữ "tropical" không liên quan trực tiếp đến nhiệt đới trong ngữ cảnh khí hậu, mà thay vào đó xuất phát từ từ "tropos" trong tiếng Hy Lạp, có nghĩa là
"xoay" hoặc "thay đổi." Trong hình học nhiệt đới, "tropical" ám chỉ một phong cách đặc trưng hoặc một hình thức "xoay" của toán học Tóm lại, thuật ngữ "hình học nhiệt đới" phát triển từ những lời mô tả sơ bộ trong thập kỷ1950đến sự phát triển và thịnh hành mạnh mẽ trong thập kỷ 1990 và sau đó, với nhiều đóng góp quan trọng từ cộng đồng toán học [15], [17], [18], [11] Trong chương này chúng ta sẽ làm quen với hình học nhiệt đới và nghiên cứu một số vấn đề liên quan.
Đại số nhiệt đới
Bán trường nhiệt đới
Tập hợp các số nhiệt đới được xác định như sau:T=R∪ {−∞} Ta xây dựng trênTcác phép toán được gọi là phép cộng và phép nhân nhiệt đới:
Giống như trong đại số cổ điển, ta thường viết tắt ”x⊙y”là”xy” Các số nhiệt đới cùng với hai phép toán tạo thành một bán trường, tức là chúng thoả mãn tất cả các tiên đề của một trường ngoại trừ sự tồn tại của nghịch đảo đối với phép⊕ Thật vậy:
- Tính kết hợp của phép cộng và phép nhân:∀x,y,z∈T:
- Tính giao hoán của phép cộng và phép nhân:∀x,y∈T:
- Phần tử đơn vị của phép cộng:−∞
∀x∈T: ”x⊕(−∞)”=”(−∞)⊕x”=max(x,−∞) =x - Phần tử đơn vị của phép nhân:0
∀x∈T: ”x⊙0”=x+0=0+x=”0⊙x”=x - Phần tử nghịch đảo của phép nhân:
∀x∈T:∃ −x∈T,”x⊙(−x)”=x+ (−x) =0 - Tính chất phân phối của phép cộng đối với phép nhân:
Do đó(T,⊕,⊙)là một bán trường Để làm quen với2phép toán này, ta thực hiện một số phép tính đơn giản:
”(−1)x”=x−1 Ngoài ra, chúng tôi định nghĩa thêm về thương số nhiệt đới:
”x⊘y” :=x−y và luỹ thừa nhiệt đới:
”x ⊙a ”=”x⊙x⊙ ⊙x”=a.x,∀x∈T,a∈N Để dễ ký hiệu cho các chương sau, chúng tôi quy ước:”x ⊙a ”=”x a ”
Tái hiện phát sinh theo Maslov
Các số thực không âm tạo ra một bán trườngR≥0cùng với phép cộng và phép nhân thông thường Nếut là một số thực lớn hơn 1, thì logarit cơ sốt tạo ra một song ánh giữa tậpR≥0 vàT. logt :R≥0−→T
Song ánh này tạo ra cấu trúc bán trường trênTvới các phép toán kí hiệu là”+t” và”× t ”:
Từ”x× t y”=logt(t x t y ) =x+ycho ta thấy phép cộng cổ điển phát sinh từ phép nhân trên(R≥0,+,×).
Lưu ý: theo cách xây dựng này, bán trường (T,”+ t ”,”× t ”) đẳng cấu với (R≥0,+,×).
Màlog t>1 là một hàm tăng cho ta các giới hạn sau của”+ t ”:
Chot →∞ thìlog t 2→0 khi đómax(x,y)≤”x+ t y”≤max(x,y)tức là ”x+ t y”→ max(x,y) Do đó”+ t ”tiến tới phép cộng nhiệt đới⊕.
Do đó, bán trường nhiệt đới xuất phát một cách tự nhiên từ sự suy biến của bán trường cổ điển(R≥0,+,×).
Từ một góc nhìn khác, chúng ta có thể xem bán trường cổ điển(R≥0,+,×)như một biến dạng của bán trường nhiệt đới Điều này giải thích việc sử dụng thuật ngữ tái hiện phát sinh (dequantization) Quy trình này, được nghiên cứu bởi V Maslov và các cộng sự của ông, được gọi là tái hiện phát sinh của các số thực dương.
Đa thức nhiệt đới
Giống như trong đại số cổ điển, một đa thức nhiệt đới d - biến với n - đơn thức f :T d →T d được xác định như sau: f(x) =”(c 1 ⊙x a 1 )⊕(c 2 ⊙x a 2 )⊕ ⊕(c n ⊙x a n )”,∀x∈T d ,ci∈R,ai∈N d ,ai̸=aj,i̸= j
Lưu ý:Sự liên kết giữa hàm đa thức nhiệt đới với một đa thức nhiệt đới là toàn ánh nhưng không phải là đơn ánh Trong toàn bộ luận văn, đa thức nhiệt đới được coi là hàm đa thức nhiệt đới.
Ví dụ về hàm đa thức nhiệt đới:
Ví dụ 2.1.1 Ta có các phân tích sau:
”0⊕x 2 ”=”(x⊕0) 2 ” Đẳng thức đúng theo hàm đa thức chứ không phải theo cấp của các biểu thức đa thức Ví dụ: ”0⊕x 2 ” và”(0⊕x) 2 ” bằng nhau dưới dạng các hàm đa thức nhưng không bằng nhau dưới dạng đa thức.
Ta sẽ định nghĩa nghiệm của đa thức nhiệt đới dưới góc nhìn hình học Đa thức nhiệt đới là một hàm affine lồi từng khúc có hệ số nguyên Ta gọi nghiệm nhiệt đới của đa thức f(x)là tất cả các điểmx 0 thuộc Tmà đồ thị của f(x)có một góc tạix 0 Tức là f(x 0 )bằng giá trị ít nhất hai đơn thức tại x 0 Hơn nữa, sự khác biệt về hệ số góc của hai phần liền kề một góc sẽ cho thứ tự của nghiệm tương ứng. Định nghĩa 2.1.1 Các nghiệm của một đa thức nhiệt đới f(x) =”(c 1 ⊙x a 1 )⊕(c 2 ⊙ x a 2 )⊕ ⊕(c n ⊙x a n )”,∀x∈T d ,c i ∈R,a i ∈N d ,a i ̸=a j ,i̸= j là các số nhiệt đớix 0 mà f(x 0 ) =−∞hoặc tồn tại một cặpa i ̸=a j sao cho f(x 0 ) =”c i ⊙x a 0 i ”=”c j ⊙x a 0 j ”
- Nếux 0 ̸=−∞ thì bậc của một nghiệmx 0 là giá trị lớn nhất của |a i −a j | đối với tất cả các cặpa i ,a j
- Nếu x 0 = ∞ thì bậc của một nghiệm x 0 là giá trị nhỏ nhất của a i sao cho c i ̸=−∞
Do đó, đa thức ”0⊕x”có một nghiệm đơn làx 0 =0, đa thức”0⊕x⊕(−1)⊙x 2 ” có nghiệm đơn là0và1, và đa thức”0⊕x 2 ”có nghiệm kép là0.
Mệnh đề 2.1.1 Bán trường nhiệt đới là đóng đại số Nói cách khác, mọi đa thức nhiệt đới có bậcd>0đều có đúngd nghiệm khi được đếm số bội.
Ví dụ 2.1.2 Xét f(x) =”1⊕x”=max(1,x)có:
-TH1:max(1,x) =1, vẽ đường thẳngy=1
-TH2:max(1,x) =x, vẽ đường thẳngy=x
Ta thấy1là nghiệm của f(x) =”1⊕x”và bậc của nghiệm1là|0−1|=1.
Ví dụ 2.1.3 Xét f(x) =”0⊕(−1)x⊕3x 2 ”=max(0,x−1,2x+3)có:
- TH1:max(0,x−1,2x+3) =0, vẽ đường thẳngy=0
- TH2:max(0,x−1,2x+3) =x−1, vẽ đường thẳng đường thẳngy=x−1
- TH3:max(0,x−1,2x+3) =2x+3, vẽ đường thẳng đường thẳngy=2x+3
Ta thấy 1 là nghiệm của f(x) = ”0⊕(−1)x⊕3x 2 ” và bậc của nghiệm 1 là
|0−1| = 1; 4 là nghiệm của f(x) = ”0⊕(−1)x⊕3x 2 ” và bậc của nghiệm 4 là
Ví dụ 2.1.4 Xét f(x) =”0⊕x 2 ”=max(0,2x)có:
-TH1:max(0,2x) =0, vẽ đường thẳngy=0
- TH2:max(0,2x) =2x, vẽ đường thẳngy=”x 2 ”=2x
Ta thấy0là nghiệm của f(x) =”0⊕x 2 ”và bậc của nghiệm0là|2−0|=2.
Siêu mặt nhiệt đớicủa f là tập nghiệm của f (là tập hợp các điểm mà tại đó f phi tuyến theox). Định nghĩa 2.1.2 Siêu mặt nhiệt đới của đa thức nhiệt đới f(x) =”⊕ n i=1 ci⊙x a i ”là một tập hợp các điểmxthoả mãn: Γ(f):={x∈R d :cix a i =cjx a j = f(x),∀a i ̸=aj}
Các siêu mặt nhiệt đới chia miền của f thành các vùng lồi, trong đó f là tuyến tính trong mỗi vùng.
Đường cong nhiệt đới trong R 2
Định nghĩa
Một đa thức nhiệt đới 2 biến là: f(x,y) =”⊕ i, j∈A c i, j x a i y b j ”=max i, j∈A(c i, j +a i x+b j y) trong đóAlà tập hợp con hữu hạn của(Z≥0) 2
Nhận xét 1:[11] f(x,y)là hàm affine lồi từng khúc. Định nghĩa 2.2.1 Với đa thức hai biến f(x,y), đường cong nhiệt đới của nó sẽ là tập hợp các điểm trong không gian hai chiều được xác định bởi các giá trị tuyệt đối của các hệ số của f(x,y) Cụ thể, đường cong nhiệt đới của f(x,y)sẽ bao gồm tất cả các điểm(|a|,|b|), trong đóavàblà các hệ số của f(x,y).
GọiV˜(f)tập hợp các điểm gấp khúc của hàm này hay:
V˜(f) ={(x 0 ,y 0 )∈R 2 |∃(a i ,bj)̸= (a k ,bl),f(x 0 ,y 0 ) =”c i, jx a 0 i y b 0 j ”=”c k,l x a 0 k y b 0 l ”} Định nghĩa 2.2.2 Trọng số của cạnh củaV˜(f)được định nghĩa là cực đại của ước chung lớn nhất của các số|a i −a k |và|b j −b l |với mọi cặp(ai,bj)và(a k ,b l )sao cho giá trị của f(x,y)trên các cạnh đó được tính bằng cách lấy đơn thức tương ứng Đường cong nhiệt đới định nghĩa bởi f(x,y)là đồ thịV˜(f)được trang bị hàm trọng số này trên các cạnh.
Ví dụ 2.2.1 Xét f(x,y) =”x⊕y⊕0” Ta tìm điểm (x 0 ,y 0 ) trongR 2 thoả mãn một trong ba điều kiện:
Vậy tập hợpV˜(f)được tạo ra bởi3nửa đường thẳng tiêu chuẩn
Tập hợpV˜(f)là một đồ thị tuyến tính từng phần trong R 2 : nó là hợp hữu hạn của các cạnh thẳng vô hạn trongR 2
Ví dụ 2.2.2 Xét f(x,y) =”(x⊕y⊕0)⊙(x−1⊕y+1⊕0)” Ta có:
Vìy=max(x,y,0)nêny+1=max(x−1,y+1,0) Do đó: f(x,y) =y+y+1 2y+1
Vậy tập hợpV˜(f)được tạo bởi các nửa đường thẳng sau:
Trọng số của các cạnh là1
Phân chia kép
Trong hình đại số cổ điển, đa thức f(x,y) trên trường hay bán trường bất kì luôn đi với đa giác Newton Chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa về Đa giác Newton Định nghĩa 2.2.3 Cho một đa thức hai biến f(x,y), nó có dạng: f(x,y) =∑ i, ja i, j x i y j ,trong đóa i, j là hệ số của đa thức Khi đó, đa giác Newton của f(x,y)sẽ bao gồm tất cả các điểm (i, j) trong không gian tọa độ nguyên tương ứng với mỗi mũ x i y j xuất hiện trong đa thức hay:
∆(f) =Conv{(i,j)∈R 2 |a i, j ̸=0} vớiConvlà bao lồi Để xem xét một ví dụ cụ thể, giả sử bạn có một đa thức hai biến: f(x,y) =2x 2 y+3xy 2 −5x+7y
Các đa giác Newton của đa thức này sẽ được xác định bởi tất cả các bộ số nguyên không âm (m,n) tương ứng với mũ của x và y Trong trường hợp này, các đa giác Newton sẽ bao gồm các điểm như (2,1),(1,2),(1,0),(0,1), và các điểm tương ứng với mọi mũ củaxvàytrong đa thức. Đa giác Newton có thể được sử dụng trong việc phân tích và mô tả cấu trúc của đa thức nhiều biến và có ứng dụng rộng trong nhiều lĩnh vực của đại số đa biến và hình học đại số.
Như vậy, chúng tôi sẽ định nghĩa lại đa giác Newton trong hình học nhiệt đới.
Giả sử f(x,y) =”⊕ i, j∈A c i, jx a i y b j ”=max i, j∈A (c i, j+aix+bjy) là đa thức nhiệt đới. Đa giác Newton của f(x,y)được ký hiệu là∆(f)được định nghĩa bằng
Trong đại số cổ điển, chỉ cần thay thế−∞bằng0trong định nghĩa của ∆(f). Đa thức nhiệt đới cũng xác định phân chia kép của ∆(f), gọi là phân chia kép của nó.
Cách xác định phân chia kép của đa thức nhiệt đới f -Bước 1:Xây dựng đa giácP(f):=Conv{(a i ,bj,c i, j)∈R d ×R d ×R:i,j=1, ,n} bổ sung thêm một chiều bằng cách thêm các hệ số của đa thức nhiệt đới Khi đó, ta được phân thức đối ngẫu xác định bởi f
- Bước 2: Chiếu các tập hợp các mặt của P(f)với phép chiếu π : R d ×R d ×R→
Phép chiếu này rất cần thiết trong việc mở rộng các kết quả vào trường hợp tổng quát hơn Các siêu mặt nhiệt đới là đối ngẫu củaδ(f)như được chỉ ra bởi [13] Tính đối ngẫu cho biết mỗi đỉnh trongδ(f)tương ứng với một vùng trong đó f tuyến tính hoặc tương đương với một trong các ô lồi mà siêu mặt nhiệt đới của f chia không gian thành Thú vị hơn, tính đối ngẫu này kéo theo các siêu mặt nhiệt đớiΓ(f)song song với các pháp tuyến của các cạnh của phân chia képδ(f).
Cho(x 0 ,y 0 )∈R 2 , giả sử ∆ (x 0 ,y 0 ) =Conv{(a i ,bj)∈R d ×R d |f(x 0 ,y 0 ) =”c i, j ⊙ x 0 a i ⊙y b 0 j ”} Đường cong nhiệt đới C định nghĩa bằng f(x,y) cảm sinh phân chia đa diện (polyhedral decomposition) củaR 2 và∆ (x 0 ,y 0 ) chỉ phụ thuộc vàoF ∈(x 0 ,y 0 )của phân chia đã cho bởiC Do đó, ta định nghĩa∆F =∆ (x 0 ,y 0 ) với(x 0 ,y 0 )∈F.
Ví dụ 2.2.3 Trở lại với đường nhiệt đới Lxác định bởi đa thức f(x,y) =”x⊕y⊕0”
Trên F 1 ={max(x,y)max(y,0)}vàF 3 ={y>max(x,0)}
Dọc cạnh nằm ngang e 1 của Lgiá trị của f(x,y)được tính bằng cách lấy đơn thức 0 và y nên ∆e 1 là cạnh biên thẳng đứng của ∆(f) Tương tự, ∆e 2 là cạnh nằm ngang của∆(f)cho e 2 là cạnh biên thẳng đứng củaLvà∆e 3 là cạnh biên của ∆(f) với điểm cuối(1,0)và(0,1)cho e 3 là cạnh biên chéo củaL
Hình 2.6.Đa giác Newton∆(f)của f(x,y) =”x⊕y⊕0” Điểm(0,0)là đỉnhvcủa đườngC Đây là điểm mà ba đơn thức0,xvàycó giá trị như nhau cho nên∆v =∆(f)
Toàn bộ đa diện∆F tạo thành phân chia của đa giác Newton∆(f) Phân hoạch này là đối ngẫu với đường cong nhiệt đới xác định bởi f(x,y)
- ChiếuP(f)xuốngOxyta đượcδ(f)như sau:
Từ đó ta thu được:
Hình 2.7.Siêu mặt nhiệt đớiΓ(f)và phân chia képδ(f)của f(x,y) =”x⊕y⊕0”
-∆(f) =∪ F ∆F trong đó phép hợp được lấy toàn bộ phần tửF của phân chia đa diện củaR 2 bởi đường cong nhiệt đới xác định bằng f(x,y);
- ∆F ⊂∆ F ′ nếu và chỉ nếu F ′ ⊂F; Ngoài ra, trong trường hợp này, ∆F là một mặt của∆ F ′ ;
-∆F ⊂∂∆(f)với∂∆(f)là tập biên của∆(f)nếu và chỉ nếuF không bị chặn.
Mệnh đề 2.2.2 Cạnh biênecủa đường cong nhiệt đới có trọng số wnếu và chỉ nếu độ dài nguyên của∆e làw hay|∆ e ∩Z 2 | −1=wvới|A|là số lượng phần tử của tập hợpA.
Đồ thị cân bằng và đường cong nhiệt đới
Định nghĩa 2.2.4 Cho v là đỉnh của đường cong nhiệt đớiC, và giả sử e 1 , ,e k là các cạnh kề vớiv.
Gọiw 1 , ,w k là trọng số củae 1 , ,e k Ta nói đồ thị đường cong C cân bằng tại đỉnh v nếu thoả mãn điều kiện cân bằng hay k
Như ta đã biết, mọi cạnh e i chứa trong các đường thẳng (theo nghĩa thông thường) được xác định bởi một phương trình với hệ số nguyên.
Do đó, tồn tại duy nhất một vecto −→v i = (α,β) cùng phương với e i , hướng ra ngoài đỉnhvsao cho ƯCLN(α,β) =1
Ta định hướng biên của∆v ngược chều kim đồng hồ, vectow i −→v i thu được từ cạnh của đa giác∆v qua phép quay một gócπ/2
Theo phần trước thì đa giác∆v đối ngẫu vớivnên sinh ra vecto w 1 −→v 1 , ,w k −→v k Việc đa giác∆v đóng đồng nghĩa với điều kiện cân bằng sau: k
∑ i=1 wi−→vi =0 Vì thế, đường cong nhiệt đớiCthoả mãn điều kiện cân bằng ở mỗi đỉnhv.
Ví dụ 2.2.4 Kiểm tra điều kiện cân bằng tại đỉnh(0,0)trong hình sau:
Xét cạnh nằm ngange 1 có trọng số làw 1 =1, chọn vecto−→v 1 = (−1; 0)
Tương tự, chọn−→v 2 = (0,−1),−→v 3 = (1,1)với trọng số tương ứngw 2 =w 3 =1
⇒Đường cong nhiệt đới trên thoả mãn điều kiện cân băng tại đỉnh(0,0). Định lý 2.2.1 Một đồ thị Γ⊂R 2 với cạnh biên có hệ số góc hữu tỉ và được trang bị trọng số nguyên dương được gọi là đồ thị được cân bằng nếuΓ thoả mãn điều kiện cân bằng ở mỗi đỉnh Do đó mỗi đường cong nhiệt đới là đồ thị cân bằng và ngược lại. Định lý 2.2.2 [1] Bất kì đồ thị được cân bằng trongR 2 là đường cong nhiệt đới.
Ví dụ như tồn tại đa thức nhiệt đới bậc 3 của đường cong nhiệt đới mà đồ thị có trọng số được mô tả trongHình 2.8 Hình này cũng chứa các phân chia kép của các đường cong này.
Hình 2.8: Một vài đường bậc ba nhiệt đới và phân chia kép của chúng
Đường cong nhiệt đới là giới hạn của Amip
Trong hình học nhiệt đới, khái niệm Amip được sử dụng để mô tả hình dạng và cấu trúc của các đa thức nhiệt đới trên mặt phẳng. Định nghĩa 2.2.5 [5] Amip của một đa thức f(x 1 ,x 2 , ,xn)là tập hợp của tất cả các điểm nguyên (n 1 ,n 2 , ,nn)trong không giann-chiều tương ứng với các giá trị tuyệt đối của các hệ số của đa thức.
Chẳng hạn, xét đa thức hai biến f(x,y) với các hệ số là các số phức Amip của f(x,y) sẽ là tập hợp của tất cả các điểm nguyên(n 1 ,n 2 )trong không gian hai chiều tương ứng với các giá trị tuyệt đối |n 1 |,|n 2 | của các hệ số Trong trường hợp đa thức một biến, các đường cong nhiệt đới có thể được tính gần đúng thông qua ánh xạ logarit bằng các đường cong đại số trong(C × ) 2 Trong trường hợp này ta cần ánh xạ được cho bởi (trong đót >1):
Logt :(C x ) 2 −→R 2 (z,w)7−→(log t |z|,logt|w|) vớit >1 Định nghĩa 2.2.6 [2] Amip cơ sốt củaV ⊂(C x ) 2 làLogt(V).
Hình 2.10a biểu diễn amip của đường thẳng L được xác định bởi z + w + 1 = 0 trong mặt phẳng phức mở rộng (C x C)2 Amip này có ba phương tiệm cận theo các vectơ (-1, 0), (0, -1) và (1, 1) Amip của L trong cơ sở t là ảnh co của amip của L trong cơ sở e Do đó, khi tiến ra vô cùng, amip vẫn gắn với gốc, chỉ còn ba phương tiệm cận Nói cách khác, hình giới hạn trong Hình 2.10d là một đường thẳng nhiệt đới.
At =Logt{(z,w)∈(C × ) 2 :z+w+1=0}={(logt|z|,logt|z+1|)∀z∈C × } Đặt logt|z| = x và logt|z+1|= y ta được các đường cong đại số trong R 2 là t x +t y =1,t x +1=t y vàt y +1=t x
Theo bất đẳng thức modul ta có t x +t y =|z|+|z+1| ≥1 t x −t y ≤1 t y −t x ≤1
Ta được hình ảnh của amip của đường thẳng z+w+1=0với cơ số t là phần bên trong của3đường congt x +t y =1,t x +1=t y vàt y +1=t x
Hình 2.10.: Tái hiện phát sinh của đườnge1 và(C t ′ ) t∈ R >1
Hai họ đa thức này cảm sinh hai đa thức nhiệt đới Ptrop(x,y)và P trop ′ (x,y) xác định hai đường cong nhiệt đớiCvàC ′
Mệnh đề 2.2.3 ([4], [5]) Giả sử p∈C∩C ′ là một điểm không phải là đỉnh củaC vàC ′ Giả sử rằng cạnh củaCvàC ′ chứa pvà không song song với nhau Khi đó số giao điểm củaCt vàC t ′ có ảnh dướiLogt hội tụ đến pbằng Euclid của đa giác∆p đối ngẫu với ptrong phân hoạch đối ngẫuC∪C ′
Số trên được kí hiệu bởi(C.C ′ ) p và được gọi là số bội của giao điểm pcủaC vàC ′ Đáng chú ý, số giao điểm hội tụ đến pchỉ phụ thuộc vàoC vàC nghĩa là chỉ phụ thuộc vào cấp của các hệ sốPt(z,w)vàPt(z,w)tại vô cùng.
Nếue là một cạnh của đường cong nhiệt đớiC và p là điểm trêne thì trọng số của eđược tính bằng cực tiểu của bội (C.C ′ ) p với mọi đường cong nhiệt đớiC ′ ∋ p sao cho(C.C ′ ) p xác định.
Hình 2.12.Giao điểm nhiệt đới
Hình 2.12a, cmô tả các vị trí tương hỗ khác nhau của một đường cong nhiệt đới và một conic nhiệt đới Các phân hoạch đối ngẫu tương ứng của sự kết hợp hai đường cong được mô tả tronghình 2.12b, d.
Mệnh đề 2.2.4 Bội của giao điểm của p của 2cạnh d 1 và d 2 được tính bằng công thức mult(p) =w(d 1 ).w(d 2 ).|det(v 1 ,v 2 )|
Trong đów(d 1 )vàw(d 2 )là trọng số của 2cạnh,v 1 và v 2 là2vector nguyên nguyên thủy xuất phát từ p.
TrongHình 2.12ata dễ thấy giao điểm có bội là1và bằng diện tích hình bình hành ởHình 2.12btheo Mệnh đề 2.2.3.
TrongHình 2.12c ta dễ thấy giao điểm có bội là 2 và bằng diện tích hình bình hành ởHình 2.12dtheo Mệnh đề 2.2.3.
Phân tích: Ví dụ Hình 2.12c Mỗi đỉnh của đường cong nhiệt đới là điểm cân bằng, phân hoạch đối ngẫu của nó là một đa giác đóng thỏa mãn điều kiện cân bằng.
Ta thấy đường thẳng bậc1và đường cong bậc 2hợp với nhau thành một đường cong bậc3nên phân hoạch đối ngẫu của nó là một tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng3.
Giao điểm của nó có bậc là1nên diện tích hình bình hành trong đối ngẫu là1.
Các vector nguyên nguyên thủy của giao điểm là(1,1),(−1,1),(1,−1)và(−1,−1) nên đa giác đóng theo các vector(−1,1),(−1,−1),(1,1)và(1,−1).
Ta thực hiện phép phân hoạch đối ngẫu trên đường thẳng nhiệt đới, cụ thể là tam giác màu xanh trong Hình 2.12d Sau đó, bằng cách tịnh tiến trong tam giác vuông, chúng ta thu được phân hoạch đối ngẫu như thể hiện ở Hình 2.12d.
Chắp vá
Chắp vá của một đường thẳng
Xét Amíp của một đường đại số thựcL⊂(R × ) 2 cho bởi phương trình: az+bw+c=0vớia,b,c∈R ×
Hình 2.13b: AmipA(RL) Lưu ý:A(L)không phụ thuộc vàoa,b,ctheo phép tịnh tiến trongR 2 và
∂A(L) =A(RL)Chúng ta có thể gán mỗi cung của A(RL)bằng một cặp dấu tương ứng với góc phần tư của(R × ) 2 mà cung tương ứng củaRLđi qua (Xem hình 2.13c, trong đóε(x) biểu thị dấu củax) Việc gán dấu này phụ thuộc vào dấu củaa,b,c Hơn nữa nếu cung củaA(RL)có chung phương tiệm cận(u,v)thì các cặp dấu này sẽ khác nhau một hệ số((−1) u ,(−1) v )
Hình 2.13c:A(RL)với các cặp dấu Định nghĩa 2.3.1 Cho một đa thức nhiều biến f(x 1 ,x 2 , ,x n ) với các hệ số là số phức, lớp đồng vị của f sẽ là tập hợp các đa thức có cùng amip, tức là có cùng tập hợp các giá trị tuyệt đối của các hệ số.
Ta có thể khôi phục từA(RL)lớp đồng vị củaRLtrong(R × ) 2 Thật vậy, ta gán các cặp dấu cho một cung củaA(RL)
Do đó, ta xác định được các cặp dấu cho hai cung còn lại. Đối với một cung A⊂A(RL)gán bởi ((−1) ε 1 ,(−1) ε 2 ), ta vẽ ảnh của nó dưới ánh xạ xác định bởi(x,y)7→((−1) ε 1 e x ,(−1) ε 2 e y )trong(R × ) 2
Rõ ràng ảnh củaAchứa trong góc phần tư((−1) ε 1 ,(−1) ε 2 ).
Sự kết hợp của 3 cung là đồng vị với một đường thẳng trong hình sau:
Chắp vá đường cong nhiệt đới không suy biến
Định lý chắp vá của Viro là sự tổng quát hoá những điều trước đây, trong trường hợp xấp xỉ đường cong nhiệt đới không suy biến bởi một họ Amíp các đường cong đại số thực. Định nghĩa 2.3.2 Một đường cong nhiệt đới trongR 2 là không suy nếu nó có phân hoạch đối ngẫu được hình thành bởi các tam giác có diện tích Euclid là 1
Tương tự, một đường cong nhiệt đưới là không suy biến nếu và chỉ nếu nó có số đỉnh bằng2diện tích∆(C).
Ta có: một tam giác với đỉnh trong Z 2 và có diện tích Euclid là 1
2 có thể được ánh xạ thông qua thành phần của một phép tịnh tiến và một phần tử củaSL 2 (Z), đến một tam giác với đỉnh là(0,0),(1,0),(1,1).
Nói cách khác, một đường cong đại số trong (C × ) 2 với đa giác có diện tích Euclid là 1
2 là một đường thẳng trong toạ độ thích hợp.
GọiClà một đường cong nhiệt đới không suy biến trongR 2
Gọi(C t ) t∈ R >1 là một họ các đường cong đại số thực mà Amip xấp xỉC.Khi cho t đủ lớn thì:
•Với bất kì đỉnhacủaC, trong một lân cận nhỏUacủa một AmipAt(RCt)∩U a đuợc tạo bởi3cung như mô tả của Hình 11a, tương ứng với 3cung trênRCt
•Đối với mỗi cạnhecủaC, trong một lân cận nhỏUe củae, AmipAt(RCt)∩U e được tạo bởi 4 cung trên RCt Vị trí của các cung so cạnh được mô tả trong Hình 11b hoặc c Hơn nữa, nếuecó hướng nguyên nguyên thuỷ(u,v)thì2cung của Amíp
At(RCt)∩U e hội tụ tớietương ứng với cung củaRCt chứa trong các góc phần tư của (R × ) 2 có các cặp dấu tương ứng khác nhau bởi hệ số((−1) u ,(−1) v )
Hình 2.14:At(RCt)∩U vớit lớn
Hai tính chất trên cho thấy vị trí của \(RC_t\) trong \((R \times )^2\) tác động lên \((Z/2Z)^2 \) bởi phép đối xứng trục \( (z,w)^7 \rightarrow (\pm z, \pm w) \) hoàn toàn xác định bởi phân vùng của hai cạnh của \(C\) giữa hai loại cạnh được mô tả ở hình 11b,c Định nghĩa 2.3.3 Một cạnh của \(C\) như trong hình 2.14c được gọi là bị xoắn.
Không phải bất kì tập con nào của các cạnh củaCcũng có thể phát sinh là tập các cạnh xoắn. Định nghĩa 2.3.4 Một tập conT của tập các cạnh củaCđược gọi là xoắn chấp nhận được nếu chúng thoả mãn các điều kiện sau:
Với bất kì chu kìγ củaC, nếu e 1 , ,e k là các cạnh trongγ∩T và nếu (u i ,vi)là một vecto nguyên nguyên thuỷ theo hướngei thì:
∑ k i=1 (u i ,vi) =0mod 2(1) Định lý 2.3.1 Đối với bất kì tập hợp xoắn chấp nhận đượcT trong đường cong nhiệt đới không suy biếnCtrongR 2 , tồn tại một họ các đường cong đại số thực không suy biến(C t ) t∈ R >1 trong(C × ) 2 hội tụ đếnCsao cho tập các cạnh xoắn tương ứng làT.
Ví dụ 2.3.1 Xét khối nhiệt đới trong hình sau:
Chọn hai tập conT của tập các cạnh ( được đánh dấu bằng dấu thập) củaCnhư trong hình dưới đây:
Hình đầu tiên là xoắn chấp nhập được trong khi hình thứ hai thì không.
Dưới đây là tóm tắt quy trình khôi phục loại đồng vị củaRC t ⊂(R × ) 2 từ đường cong trơn nhiệt đớiC⊂Rvà tậo hợp các cạnh xoắn chấp nhận đượcT trongC:
•Tại mỗi đỉnh củaCta vẽ3cung như trong Hình 11a
Mỗi cạnh song song với đỉnh v và v' trên đường tròn đơn vị, ta nối hai cung tương ứng tại v và v' thành các cung tương ứng với v', tạo thành đường cong P Cách nối như sau: Nếu e nằm trong T thì nối các cung như Hình 11b; nếu e nằm trên T thì nối các cung như hình 11c.
•Ta chọn bất kỳ một thành phần được kết nối củaPvà một cặp dấu cho
• Ta liên kết các cặp dấu với tất cả các thành phần được kết nối của P bằng cách sử dụng quy tắc sau: Cho một cạnh ecó hướng nguyên nguyên thuỷ (u,v), các cặp dấu của hai thành phần liên thông [24] của P ứng với e khác nhau một hệ số
Biểu diễn tham số của A trong không gian R2 là A⊂P−→(R × )2(x,y)7→(ε1ex,ε2ey), trong đó (ε1,ε2) là cặp dấu liên quan đến A Đường cong tạo thành là tập hợp các hình ảnh của các điểm này trên tất cả các thành phần liên thông của P.
Ví dụ 2.3.2 Hình 2.15, 2.16, 2.17 và2.18mô tả các đường cong nhiệt đới ở cấp độ
3,4và6 được cải tiến với tập hợp các cạnh xoắn chấp nhận được và các dạng đồng vị của các đường cong đại số thực tương ứng trong cả(R × ) 2 vàRP 2
Hình 2.16:Chắp vá khác của bậc ba
Hình 2.17:Một tứ phân Hyperbolic
Đường cong bậc 6 đại số thực trên RP2 (Hình 2.18d) do D.A.Gudkov xây dựng lần đầu vào năm 1960 bằng một kỹ thuật khác Đây chính là lời giải cho một trong những bài toán mà D Hilbert đặt ra vào năm 1900.
Nhận xét 3.1:Ta có thể tìm thấy một phương trình rõ ràng cho một họ(Ct) t∈ R >1 như sau:
Giả sử đường cong nhiệt đới C được cho bởi đa thức nhiệt đới Ptrop(x,y) ”∑ i, ja i, jx i y j ” Ta định nghĩa họ(C t ) t∈ R >1 bởi một họ đa thức thựcPt(z,w) =∑ i, jγ i, jt a i, j z i w j vớiγ i, j∈R × Với bất kì cách chọn nào củaγ i, jthì họ kết quả sẽ hội tụ vềCvà tập hợp các cạnh xoắn chỉ phụ thuộc vào các dấu củaγ i, j theo mô tả dưới đây
Với mỗi cạnhecủaC, ký hiệu p e 1 và p e 2 là hai đỉnh của đoạn∆e đối ngẫu vớie. Đoạn thẳng∆e tiếp giáp với đúng hai tam giác khác của phân hoạch đối ngẫu Gọi p e 3 và p e 4 là các đỉnh của hai tam giác này khác p e 1 ,p e 2 Khi đó tập các cạnh xoắn của họ
(Ct) t∈ R >1 làT nếu và chỉ nếu đối với mỗi cạnhecủa phân hoạch đối ngẫu, ta có:
•Nếu toạ độ modulo 2 của p e 3 ,p e 4 là khác nhau ( Hình 2.19a) thì ebị xoắn khi và chỉ khiγp e 1 γp e 2 γp e 3 γp e 4 >0
•Nếu toạ độ modulo 2 của p e 3 ,p e 4 là trùng nhau ( Hình 2.19b) thì ebị xoắn khi và chỉ khiγp e 3 γp e 4 1 là họ các đường cong đại số thực không suy biến trong (C × ) 2 sao cho (Ct) t∈ R >1 hội tụ vềC và T là các cạnh xoắn tương ứng Khi đó đường cong thựcCt là cực đại vớit đủ lớn khi và chỉ khiT là cực đại.
Ví dụ 2.3.3 thể hiện một trường hợp trong đó tập hợp các cạnh chấp nhận được không cực đại khi chứa một cạnh không tiếp giáp với thành phần liên thông vô hạn của mặt phẳng trừ đường cong Điều này cho thấy rằng tập hợp các cạnh chấp nhận được có thể không cực đại ngay cả khi đường cong nhiệt đới không suy biến, làm nổi bật tính phức tạp của các tính chất cực đại trong bối cảnh này.
Trong chương này, luận văn đã trình bày lý thuyết cơ bản về hình học nhiệt đới.
Ngoài ra, chúng tôi đã tính toán, xây dựng các ví dụ nhằm minh hoạ, trực quan hoá lý thuyết về hình học nhiệt đới.
Chương 3 Biểu diễn hàm số và hình học của mạng nơ-ron trong hình học nhiệt đới
Hình học nhiệt đới có nhiều ứng dụng khác nhau, phổ biến nhất là trong hình học đếm Trong những năm gần đây, hình học nhiệt đới tìm được sự ứng dụng của mình trong mạng nơ - ron nhân tạo nhằm giải thích bản chất của nó Trong Chương2 việc vận dụng hình học nhiệt đới để mô tả và biểu diễn ranh giới phân chia của mạng nơ-ron và áp dụng cụ thể trong trường hợp mạng nơ-ron 3lớp truyền thẳng sẽ được tác giả trình bày.
Mạng nơ-ron trong hình học nhiệt đới
Mạng nơ - ron nhân tạo mô phỏng hoạt động não bộ được sử dụng rộng rãi trong học máy, trí tuệ nhân tạo.
Nghiên cứu mạng nơ-ron có thể biểu diễn trong dạng: f(x) =σ (L) ◦A (L) ◦σ (L−1) ◦A (L−1) ◦ ◦σ (1) ◦A (1) x trong đó: σ là hàm phi tuyến Llà số lớp (layers) của mạng
◦là phép toán hợp thành Alà ma trận trọng số xlà đầu vào (input) Xét trường hợpσ là hàm ReLU.
Xem xét đầu ra từ lớp đầu tiên trong mạng nơ - ron: f(x) =max(Ax+c 1 ,0) trong đóA∈Z p×n ,c 1 ∈R p Ta có: f(x) =max(Ax+c 1 ,0) =max(A + x+c 1 ,A − x)−A − x=H(x)−Q(x) Ta đặtmax(A + x+c 1 ,A − x) =H(x);A − x=Q(x) Khi đó : f(x) =H(x)−Q(x)
VớiA + vàA − là các thành phần dương và âm của ma trậnA Ta thấy rằng mọi tọa độ của mạng nơ-ron một lớp là hiệu của hai đa thức nhiệt đới Đối với mạng với nhiều lớp hơn, ta áp dụng phân tách này theo cách đệ quy để thu được kết quả sau.
Hệ quả 3.1.1 [11] ChoA (l+1) ∈Z m×n ,c l+1 ∈R m là các tham số của lớp thứ (l+1).
Nếu các điểm (nodes) của lớp thứl được cho bởi các hàm hữu tỉ nhiệt đới: f (l) (x) =H (l) (x)⊘Q (l) (x) =H (l) (x)−Q (l) (x) sau đó là đầu ra của lớp thứ(l+1)được cho bởi các hàm hữu tỉ nhiệt đới như sau:
Mạng nơ ron truyền thẳng (FNN) ứng dụng hàm kích hoạt tuyến tính từng phần f(x), có thể được thể hiện dưới dạng thương số của hai đa thức nhiệt đới với một tử thức H(x) và một mẫu thức Q(x) Các đa thức này là các hàm đa biến, trong đó mỗi biến đại diện cho một chiều của không gian đầu vào.
Mặc dù kết quả này mới trong hình học nhiệt đới nhưng không mới trong đại số cổ điển vì bất kì hàm tuyến tính từng phần đều có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu hai hàm tuyến tính từng phần lồi.
Hệ quả 3.1.2 [10] Mọi hàm tuyến tính liên tục từng phần f(x)có thể được biểu diễn dưới dạng: f(x) =max i∈[m]{a T i x} −max j∈[n]{b T j x} trong đó[m] ={1, ,m}và[n] ={1, ,n}
Do đó để hiểu sâu mạng nơ -ron ta chỉ cần nghiên cứu tập nghiệm hoặc đăc tính hình học của các đa thức nhiệt đới tương ứng.
Ranh giới phân chia của mạng nơ -ron dưới dạng đa giác
Trong phần này chúng ta sẽ chỉ ra sự tương đương giữa mộtsiêu tập hợp ranh giới phân chia của một họ mạng nơ - ronvàmột siêu mặt nhiệt đới của đa thức nhiệt đới.
Ta sẽ phân tích ranh giới phân chia của mạng nơ ron dạng Tuyến tính - ReLU - Tuyến tính - ReLU - Tuyến tính bằng hình học nhiệt đới
Hàm ReLU được định nghĩa như sau: f(x) =A 3 max(A 2 max(A 1 x+c 1 ,0) +c 2 ,0) +c 3 Với mục đích đơn giản hóa ký hiệu, mạng được xét có n0 = 0 điểm đầu vào, n1 = p điểm ở lớp đầu tiên, n2 = 2 điểm ở lớp thứ hai và n3 = 1 điểm ở đầu ra.
Hình 1.Dạng tổng quát của mạng nơ - ron truyền thẳng ReLU f với3lớp.
Theo Định lý 3.1.1 ta có mỗi một điểm ở lớp thứ2và đầu được biểu diễn dưới dạng thương số nhiệt đới của hai đa thức nhiệt đới.
Giả sử f 1 ,f 2 tương ứng với2điểm ở lớp2vàgđầu ra, ta có f 1 (x) =H 1 (x)⊘Q 1 (x) f 2 (x) =H 2 (x)⊘Q 2 (x) g(x) =H (3) (x)⊘Q (3) (x) trong đóH 1 ,H 2 ,H (3) ,Q 1 ,Q 2 ,Q (3) là các đa thức nhiệt đới. Để đơn giản, mục này ta chỉ xét mạng không có độ chệch hayc 1 =0,c 2 =0,c 3 =0 Định nghĩa 3.2.1 [10] Chou 1 , ,u p ∈R n Zonotopeđược hình thành bởiu 1 , ,u p được định nghĩa là:
Tương tự,Z có thể được biểu diễn theo ma trậnU ∈R p×n là:
Z u :={U T x:∀x∈[0,1] p } trong đóU(i,:) = (u i ) T Định nghĩa 3.2.2 ChoAlà một tập con của không gian EuclideR n vàα,β ∈R, tổng MinkowskiαA+βAcủaAđược định nghĩa bởi: αA+βA={αx+βy|x,y∈A} Định lý 3.2.1 (Định nghĩa khác của Zonotope) [12]: Cho một Zonotope Zu là tổng Minkowski của một tập hợp các đoạn thẳng bắt đầu từ gốc toạ độ trongR n Khi đó, ta có:
Vớivert(Z u )là tập đỉnh củaZu
Ví dụ 3.2.1 Cho f :R 2 →R với n 0 =2điểm đầu vào,n 1 =3 điểm ở lớp 1,n 2 =2 điểm ở lớp2,n 3 =1điểm đầu ra: y= f 1 (x) =max
Hãy biểu diễn hình học của mạng nơ - ron trên?
Khi đó: y= f 1 (x) =max{A 1 x+c 1 ,0} z= f 2 (y) =max{A 2 y+c 2 ,0} f 3 (z) =max{A 3 z,0}
Ta viết f 1 dưới dạng hữu tỉ nhiệt đới như sau: f 1 =H 1 ⊘Q 1 =max{A 1 x+c 1 ,0}=max{A + 1 x+c 1 ,A − 1 x} −A − 1 x
Hình 4 P(H 3 )vàδ(H 3 ) Định lý 3.2.2 Xét lớp2: Cho mạng nơ - ron f(x):R n →R 2 ,A 1 ∈Z p×n ,A 2 ∈Z q×2 ĐặtR(x) =H 1 (x)⊙Q 2 (x)⊕H 2 (x)⊙Q 1 là một đa thức nhiệt đới. Đặt ZK 1 là một zonotope trong R n với các đoạn thẳng{ A + 2 (1,j) +A − 2 (2,j)
A − 1 và ZK 2 là một zonotope trong R n với các đoạn thẳng{ A − 2 (1, j)+A + 2 (2,j)
A − 1 VớiA + 1 =max(A 1 ,0)vàA − 1 =max(−A,0) Đoạn thẳng A + 2 (1, j)+A − 2 (2, j)
[A + 1 (j,: ),A − (j,:)]có các điểm cuối làA + 1 (j,:)vàA − 1 (j,:)trongR n được tỉ lệ với A + 2 (1,j) + A − 2 (2,j)
GọiB={x∈R n : f 1 (x) = f 2 (x)}là ranh giới phân chia của f Khi đó:
• Theo Định lý 3.1.1 ta có: f 1 (x) =H 1 (x)−Q 1 (x),f 2 (x) =H 2 (x)−Q 2 (x)
Mặt khácΓ(R(x))được biểu diễn là giá trị lớn nhất củaH 1 (x)⊙Q 2 (x)vàH 2 (x)⊙ Q 1 (x) Do giá trị lớn nhất củaH 1 (x)⊙Q 2 (x)vàH 2 (x)⊙Q 1 (x)làH 1 (x)⊙Q 2 (x), H 2 (x)⊙Q 1 (x)hoặcH 1 (x)⊙Q 2 (x) =H 2 (x)⊙Q 1 (x)nên: Γ(R(x)) =Γ(H 1 (x)⊙Q 2 (x))∪Γ(H 2 (x)⊙Q 1 (x))∪Γ(H 1 (x)⊙Q 2 (x) =H 2 (x)⊙Q 1 (x))
Q 1 (x) =A − 2 (1,:)max(A + 1 x,A − 1 x) +A + 2 (1,:)A − 1 x H 2 (x) =A + 2 (2,:)max(A + 1 x,A − 1 x) +A − 2 (2,:)A − 1 x Q 2 (x) =A − 2 (2,:)max(A + 1 x,A − 1 x) +A + 2 (2,:)A − 1 x Do đó, ta có: H 1 (x) +Q 2 (x)
Khi đó, ta có: δ(H 1 (x)) =δ ⊙ p j=1 h x A + 1 (j,:) ⊕x A − 1 ( j,:) iA + 2 (1, j)⊙A − 2 (2, j)!
Bao lồi giữa 2 điểm là đường thẳng trong Z n điểm cuối là{A + 1 (p,:),A + 1 (p,:)}tỉ lệ vớiA + 2 (1,i) +A − 2 (2,i)
Do đóδ(H 1 )là tổng Minkowski của các đường thẳng chính là một zonotope.
2 (2,p) δ Q 2 (x) là tổng Minkowski của các điểm { A − 2 (1, j) +A + 2 (2,j)
A − 1 (j,:)}trongR n nên là một điểm. δ H 1 (x)+δ˜ Q 2 (x) là một tổng Minkowski giữa một zonotope và một điểm nên nó là một dịch chuyển (shift) của zonotope.
Tương tựδ H 2 (x)+δ˜ Q 1 (x) cũng là một dịch chuyển của zonotope.
=Conv(Z K 1 ,Z K 2 ) vớiK 1 ,K 2 là 2 zonotope.□ Định lý 3.2.3 Xét đầu ra: Cho mạng nơ - ron g(x):R 2 →R,A 3 ∈Z 2×1 ĐặtT(x) =H (3) (x)⊕Q (3) là một đa thức nhiệt đới. ĐặtZ K ′
1 là một zonotope trongR n với các đoạn thẳng{A − 3 (j,1)[A + 2 (:, j),A − 2 (:, j)]} 2 j=1 vàshi f t A + 3 (j,1)
2 là một zonotope trongR n với các đoạn thẳng{A + 3 (j,1)[A + 2 (:
,j)]có các điểm cuối làA + 2 (:,2)vàA − 2 (:,2)trongR n được tỉ lệ vớiA + 3 (2,1).
GọiB={x∈R n :g(x) =0}là ranh giới phân chia củag Khi đó:
• Theo Định lý 3.1.1 ta có: g(x) =H (3) (x)−Q (3) (x)
Mặt khác Γ(T(x)) được biểu diễn là giá trị lớn nhất củaH (3) (x)vàQ (3) (x) Do giá trị lớn nhất của H 1 (x)⊙Q 2 (x) và H 2 (x)⊙Q 1 (x) là H (3) (x), Q (3) (x) hoặc H (3) (x) =Q (3) (x)nên: Γ(T(x)) =Γ H (3) (x)
Bao lồi giữa 2 điểm là đoạn thẳng trongZ n điểm cuối là{A + 2 (:,2),A − 2 (:,2)}tỉ lệ với A + 3 (2,1)
Mặt khác: Tổng Minkowski của các điểm x A − 2 (:,2) A − 3 (2,1) trongR n là một điểm.
Do đó δ H 3 (x) là một tổng Minkowski giữa một zonotope và một điểm nên nó là một dịch chuyển của zonotope Tương tự δ Q 3 (x) cũng là một dịch chuyển của zonotope.
Mệnh đề 3.2.1 [10] Zonotope được tạo bởi p đoạn thẳng trong R n với hai điểm cuối tuỳ ý như sau {[u i 1 ,u i 2 ]} i=1 p tương đương với zonotope được tạo bởi đoạn thẳng
Theo mệnh đề2.1, các ma trận sinh của zonotope ZK 1 ,ZK 2 ,Z K ′
K 1 =Diag[(A + 2 (1,:)) +A − 2 (2,:)]A 1 K 2 =Diag[(A + 2 (2,:)) +A − 2 (1,:)]A 1 cả hai cùng dịch chuyển:
K 1 ′ =Diag(A − 3 (:,1))A 2 K 2 ′ =Diag(A + 3 (:,1))A 2 cả hai cùng dịch chuyển:
Trong đó,Diag(v)là sắp xếp lại các phần tử củavtrong ma trận đường chéo.
Bằng cách đó, ta có thể sử dụng các thuật toán hiệu quả để liệt kê các đỉnh zonotope trong định lý 3.2.2 và định lý 3.2.3 trong đa thức [13] và do đó phân tích hiệu quả các đa giác dranh giới phân chiaδ(R(x)),δ(T(x))
Xử lý chệch nhiệt đới
Ta chỉ ra rằng kết quả của Định lý 3.2.2 và định lý 3.2.3 là không thay đổi khi có độ chệchc 1 ,c 2 ,c 3 Để làm được như vậy ta sẽ chia đầu ra thành các lớp: Tuyến tính 1, ReLU 1, Tuyến tính 2, ReLU 2, Tuyến tính 3.
• Đối với lớp Tuyến tính 1 có đầu vào làxthì đầu ra làz 1 =A 1 x+c 1 , có thể được biểu diễn như sau: z 1i =A + 1 (i,:)x+c 1 (i)−A − 1 (i,:)x
=H 1i ⊘Q 1i Để xây dựng phân chia kép cho từng đa thức nhiệt đới H 1i vàQ 1i , trước tiên ta cần xây dựng đa giác Newton nhiệt đới trongR n+1
Vì cả H 1i vàQ 1i đều là các đa thức nhiệt đới với một đơn thức duy nhất Do đó
∆(H 1i )và∆(Q 1i )lần lượt là các điểm (A + 1 (i,:),c 1i )và(A − 1 (i,:),0)trongR n+1 Để xây dựng các phân cjia kép của mỗi đa thức nhiệt đới, ta cần chiếu đa giác Newton lên R n thông qua toán tử π Sau khi chiếu, ta thấy phân chia kép giống hệt phân chia kép khi không có độ chệch.
• Đối với lớp ReLU 1 có đầu vào làz 1 thì đầu ra là: z 2i =max(z 1 ,0)
Ta có:P(H 1i ⊕Q 1i ) =Conv(V(P(H 1i )∪P(Q 1i ))Do đó đa giác Newton củaH 2i :∆(H 2i )là một đoạn thẳng với các điểm cuối[(A + 1 (i,:),c 1 (i)),(A − 1 (1,:),0)] Xây dựng phân chia kép bằng cách chiếu cả∆(H 2i ) và∆(Q 1i )vàoR n , khi đó ta thu được phân chia kép giống hệt mạng không có độ chệch.
Tương tự cho ∆(Q 2i ) là một điểm trong R n+1 có toạ độ [A − 1 (i,:),0] Áp dụng phép chiếu quy hồiπ để dựng phân chia kép đối ngẫu điểm[A − 1 (i,:)]trongR n
• Đối với lớp Tuyến tính 2 có đầu vào làz 2 thì đầu ra làz 3 =A 2 z 2 +c 2 , ta có: z 3i =A 2 (i,:)z 2 +c 2 (i)
DoP(f a ) =aP(f)vàP(f⊙g) =P(f)+˜P(g), ta có:
∆(H 3i ) =+˜ j (A 2 (i,j)∆(H 2 j ))+∆(⊙˜ j A − 2 (i,j)∆(Q 2 j )| R n ,c 2 (i)) trong đó ∆(Q 2 j )| R n là đa thức Newton củaQ 2 j trongR n Mặt khác+˜ j (A 2 (i,j)∆(H 2 j ))là tổng Minkowski của các đoạn thẳng được chia tỉ lệ∆(H 2 j )nằm trongR n+1 tạo thành một zonotope trongR n+1
∆(⊙jA − 2 (i,j)∆(Q 2 j)| R n ,c 2 (i)) là kết quả của tổng Minkowski của∆(Q 2 j)| R n là một điểm trongR n với toạ độ cuối làc 2 (i).
Do đó ∆(H 3i )là một tổng Minkowski giữa một zonotope và một điểm tạo thành một dịch chuyển zonotope trongR n+1
Xây dựng phân chia kép δ(H 3i ) ta được cùng một đa giác chiếu trong R n với trường hợp không có độ chệch.
Tương tự đối vớiδ(Q 3i ) Ta có:
DoP(f a ) =aP(f)vàP(f⊙g) =P(f) =+˜P(g), ta có:
∆(Q 3i ) =+˜ j(A 2 (i, j)∆(H 2 j))+∆(⊙˜ j A + 2 (i, j)∆(Q 2 j)| R n ) trong đó ∆(Q 2 j )| R n là đa thức Newton củaQ 2 j trongR n Mặt khác+˜ j (A 2 (i,j)∆(H 2 j ))là tổng Minkowski của các đoạn thẳng được chia tỉ lệ∆(H 2 j )nằm trongR n+1 tạo thành một zonotope trongR n+1
∆(⊙ j A + 2 (i,j)∆(Q 2 j )| R n ) là kết quả của tổng Minkowski của ∆(Q 2 j )| R n là một điểm trongR n
Do đó ∆(Q 3i )là một tổng Minkowski giữa một zonotope và một điểm tạo thành một dịch chuyển zonotope trongR n+1
Xây dựng phân chia kép δ(Q 3i ) ta được cùng một đa giác chiếu trong R n với trường hợp không có độ chệch.
• Đối với lớp ReLU 2 có đầu vào làz 3 thì đầu ra là: z 4i =max(z 3 ,0)
Ta có:P(H 3i ⊕Q 3i ) =Conv(V(P(H 3i )∪P(Q 3i )) Do đó đa giác Newton của H 4i là: ∆(H 4i )là bao lồi của hợp hai tập đỉnh của 2 zonotope chính là một zonotope trongR n+1
Xây dựng phân chia kép bằng cách chiếu cả ∆(H 4i )và∆(Q 3i )vàoR n , khi đó ta thu được phân chia kép giống hệt mạng không có độ chệch.
Tương tự cho ∆(Q 4i )là một zonotope trongR n+1 Áp dụng phép chiếu quy hồi π để dựng phân chia kép đối ngẫu trongR n ta thu được phân chia kép giống hệt trường hợp không có độ chệch.
• Đối với lớp Tuyến tính 3 có đầu vào làz 4 thì đầu ra làz 5 =A 3 z 4 +c 3 , tức là: z 5i =A 3 (i,:)z 4 +c 3 (i)
DoP(f a ) =aP(f)vàP(f⊙g) =P(f)+˜P(g), ta có:
Mặt khác+˜ j(A 3 (i,j)∆(H 4 j))là tổng Minkowski của các zonotope tạo thành một zonotope trongR n+1
∆(⊙ j A − 3 (i,j)∆(Q 4 j)| R n ,c 3 (i)) là kết quả của tổng Minkowski của các zonotope là một zonotope trongR n
Do đó ∆(H 5i ) là một tổng Minkowski giữa một zonotope và một zonotope tạo thành một zonotope trong R n+1
Xây dựng phân chia kép δ(H 5i ) ta được cùng một đa giác chiếu trong R n với trường hợp không có độ chệch.
Tương tự đối vớiδ(Q 5i )Ta có:
DoP(f a ) =aP(f)vàP(f⊙g) =P(f)+˜P(g), ta có:
Mặt khác +˜ j(A 3 (i,j)∆(H 4 j)) là tổng Minkowski của các zonotope trong R n+1 tạo thành một zonotope trongR n+1
∆(⊙ j A + 3 (i,j)∆(Q 4 j )| R n ) là kết quả của tổng Minkowski của ∆(Q 4 j )| R n là một zonotope trongR n
Do đó ∆(Q 5i ) là một tổng Minkowski giữa một zonotope và một zonotope tạo thành một zonotope trong R n+1
Xây dựng phân chia kép δ(Q 5i ) ta được cùng một đa giác chiếu trong R n với trường hợp không có độ chệch.
Trong chương này, chúng tôi đã vận dụng hình học nhiệt đới để mô tả và biểu diễn ranh giới phân chia của mạng nơ-ron Ngoài ra, sự tương đương giữa họ mạng nơ - ron với các hàm kích hoạt tuyến tính từng phần và các hàm hữu tỷ nhiệt đới cũng được làm sáng tỏ Sự tương đương này cho phép mô tả đặc điểm phức tạp của mạng nơ-ron bằng cách đếm số vùng tuyến tính Việc nghiên cứu ranh giới phân chia của một họ mạng nơ-ron thông qua lăng kính hình học nhiệt đới và biểu diễn một siêu tập chứa các ranh giới phân chia dưới dạng siêu bề mặt nhiệt đới của một đa thức nhiệt đới được trình bày cụ thể Lý thuyết trên được học viên áp dụng nhằm biểu diễn hình học cho một mạng nơ- ron nhân tạo ba lớp.
Hình học nhiệt đới là lĩnh vực khá mới và có nhiều ứng dụng thú vị Quá trình thực hiện luận văn cho kết quả chính sau:
- Luận văn đã trình bày được lý thuyết cơ bản của hình học nhiệt đới; học viên đã xây dựng ví dụ nhằm minh hoạ trực quan hoá lý thuyết.
Hình học nhiệt đới là một lĩnh vực toán học cung cấp khuôn khổ lý thuyết để biểu diễn mạng nơ-ron Phương pháp này cho phép hình dung mạng nơ-ron như một tập hợp các điểm trong không gian nhiệt đới, giúp các nhà nghiên cứu hiểu được cấu trúc và động lực của mạng Một ứng dụng điển hình của hình học nhiệt đới trong học sâu là biểu diễn mạng nơ-ron nhân tạo ba lớp, giúp các nhà khoa học khám phá mối quan hệ giữa kiến trúc mạng và hiệu suất học tập.
Các kết quả nghiên cứu, tìm hiểu của luận văn là tiền đề cho những nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn mối liên hệ giữa Hình học nhiệt đới và mạng nơ-ron học sâu.
[1] G Mikhalkin, Decomposition into pairs-of-pants for complex algebraic hyper- surfaces,Topology, 43(6):1035–106, 2004.
[2] I M Gelfand, M M Kapranov, and A V Zelevinsky, Discriminants, resul- tants, and multidimensional determinants, Mathematics: Theory & Applica- tions Birkh auser Boston Inc., Boston, MA, 1994.
[3] M Kapranov, Amoebas over non-archimedean fields, Preprint, 2000.
[4] G Mikhalkin, Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry, In Dif- ferent faces of geometry, volume 3 of Int Math Ser (N Y.), pages 257–300.
[5] Mikael Passare and Hans Rullard, Amoebas, Monge-Ampere measures, and tri- angulations of the Newton polytope,Duke Math J., 121(3):481–507, 2004.
[6] I M Gelfand, M M Kapranov, and A V Zelevinsky, Discriminants, resul- tants, and multidimensional determinants, Mathematics: Theory & Applica- tions Birkh auser Boston Inc., Boston, MA, 1994.
[7] O Ya Viro, Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper, In
European Congress of Mathematics, Vol I (Barcelona, 2000), volume 201 of Progr Math., pages 135– 146 Birkh auser, Basel, 2001.
[8] G Mikhalkin, Real algebraic curves, the moment map and amoebas, Ann ofMath (2), 151(1):309–326, 2000.
[9] B Haas, Real algebraic curves and combinatorial constructions, These doctor- ale, Universit de Strasbourg, 1997.
[10] Motasem H A Alfarra,Applications of Tropical Geometry in Deep Neural Net- works, 2020
[11] L Zhang, G Naitzat, and L.H Lim, “Tropical geometry of deep neural net- works,” inInternational Conference on Machine Learning, ICML 2018, 2018.
[12] P Gritzmann and B Sturmfels, “Minkowski addition of polytopes: computa- tional com- plexity and applications to grobner bases,” SIAM Journal on Dis- crete Mathematics, 1993.
[13] K Stinson, D F Gleich, and P G Constantine, “A randomized algorithm for enu- merating zonotope vertices,”arXiv preprint arXiv:1602.06620, 2016.
[14] D Maclagan and B Sturmfels, Introduction to Tropical Geometry, ser Graduate Stud- ies in Mathematics American Mathematical Society, 2015.
[15] X Allamigeon, P Benchimol, S Gaubert, and M Joswig, Tropicalizing the sim- plex algorithm," SIAM J Discrete Math 29:2, 2015.
[16] M Joswig and B Schroter, The tropical geometry of shortest paths," arXiv preprint arXiv:1904.01082, 2019.
[17] M Joswig and G Loho, Monomial tropical cones for multicriteria optimiza- tion," AIP Conference Proceedings, 2019.
[18] G Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry in r2," Journal of the American Mathematical Society, 2004.
[19] M Akian, S Gaubert, and A Guterman, Tropical polyhedra are equivalent to mean payo games," International Journal of Algebra and Computation, 2009.
[20] TS NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên), ThS PHI MẠNH BAN, TS NÔNGQUỐC CHINH - "ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH" , 2003
