Dao Ham Va Vector Tiep Tuyen-1.Pdf

Do đó, số hạng x + h, là một số thực trong định nghĩa đạo hàm trên R được thay thế bởi x + hv, làmột véc tơ trong Rn... Đối với hàm vô hướng đa biến f :Rn →R, đạo hàm của f được định ngh

Đạo hàm và véc tơ tiếp tuyến

Nguyễn Khánh ToànNgày 4 tháng 2 năm 2024

1.4.1 Đạo hàm theo hướng 6

1.4.2 Đạo hàm riêng và véc tơ gradient 7

1.4.3 Hàm véc tơ và ma trận Jacobian 8

1.5 Không gian tiếp tuyến 9

1.6 Véc tơ tiếp tuyến hình học 10

1.7 Derivation 11

1ĐẠO HÀM VÀ VÉC TƠ TIẾP TUYẾN

[1–4]

1.1Hàm liên tục

Definition 1.1 (Định nghĩa:) Cho X và Y là các không gian metric, E ⊆ X, p ∈ E,và

f là ánh xạ từ E vào Y Khi đó, f được gọi là liên tục tại p nếu như với mọi số ϵ > 0

tồn tại một số δ > 0 sao cho:

dY(f (x), f (p)) < ϵ

với mọi x ∈ E sao cho dX(x, p) < δ, trong đó dY và dX lần lượt là các khoảng cáchtrong không gian Y và X

xf

f (p)

xf (x)

A

B

δϵ

Trên hình vẽ này, khi ta di chuyển x đến p theo trục hoành, thì f (x) và f (p) cũng dichuyển theo, và điểm B cũng được di chuyển đến điểm A Khoảng cách từ B đến A

càng gần khi x càng tiến tới gần p Ta nói rằng f liên tục tại p

f (p)

xf (x)

A

B

δϵ

′

Trên hình này, khi ta di chuyển điểm xđến điểm p dọc theo trục hoành từ hướng bênphải, f (x) không di chuyển đến f (p) mà đến f (q), và B không dịch chuyển đến A màđến A′ Nếu ta chọn ϵ = f (q) − f (p), khi đó f (x) − f (p) ≥ ϵ Trong trường hợp này, takết luận rằng f không liên tục tại p

1.2Ánh xạ tuyến tính

Cho V và W là các không gian véc tơ trên trường K (ví dụ như trường số thựchoặc trường số phức) Một ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ bảo tồn cấu trúc củakhông gian véc tơ, có nghĩa là bảo tồn phép cộng véc tơ và phép nhân vô hướng Hàm

f : V → W được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu cho hai véc tơ bất kỳ u, v ∈ V và bấtkỳ đại lượng vô hướng c ∈ K, thì hai điều kiện sau được thoả mãn:

f (u + v) = f (u) + f (v),f (cu) = cf (u).

Tập hợp các ánh xạ tuyến tính f : V → V là một không gian véc tơ, ký hiệuL(V )

V W

f (u + v)f

xf

f (x)

x + hf (x + h)

θA

B

δϵ

Trên hình này, khi B dịch chuyển đếnA, h tiến đến 0và f (x + h) tiến đến f (x) Đoạn

AB sẽ dịch chuyển dần về đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm f tại điểm A Trongtrường hợp này f liên tục tại A Do đó, điều kiện cần để f có đạo hàm tại một điểm

là nó phải liên tục tại điểm đó Nếu ta chọn ϵ = f (x + h) − f (x) và δ = h, khi đó

tan θ = ϵδ.Đạo hàm của f là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn quy tắc nhân (product rule, còngọi là quy tắc Leibniz’s):

1.4.1Đạo hàm theo hướng

Definition 1.3 (Định nghĩa:) Cho hàm f : Rn → R, đạo hàm theo hướng của f dọctheo véc tơ v ∈Rn tại điểm x = (x1, · · · , xn) được định nghĩa như sau:

Trong Rn, điểm x được biểu diễn bởi véc tơ x = (x1, x2, · · · , xn) Do đó, số hạng

x + h, là một số thực trong định nghĩa đạo hàm trên R được thay thế bởi x + hv, làmột véc tơ trong Rn

f(x

1,x2)

P

AB

θ

x

f

x1x2

O

Mặt phẳng P chứa hai véc tơ x và v Trên mặt phẳng này, đạo hàm của f (hay độdốc của đường thẳng tiếp xúc với f) tại A tương tự đạo hàm trên R Hàmf :Rn →R

được gọi là một hàm véc tơ

1.4.2Đạo hàm riêng và véc tơ gradient

Nếu v = ei là véc tơ cơ sở thứ i của Rn, đạo hàm theo hướng của f trở thành đạohàm riêng của f tại x theo biến xi, ký hiệu ∂x∂

if (x)

∂f (x1, · · · , xn)∂xi = limh→0

n∂f∂xn = v.∇f.

Véc tơ ∇f =∂x∂f

1, · · · ,∂x∂f

n

được gọi là véc tơ gradient Véc tơ này tại một điểm đạidiện cho sự thay đổi lớn nhất của hàm f tại điểm đó Đạo hàm theo hướng của f dọctheo véc tơ v là tích vô hướng giữa hai véc tơ v và ∇f

1.4.3Hàm véc tơ và ma trận Jacobian

Xét hàm số

f :Rn →Rmx 7→ f (x),

trong đó f (x) là một véc tơ Rm Hàm f được gọi là một hàm véc tơ đa biến Giả sửtồn tại tất cả các đạo hàm riêng của f trên Rn

Đối với hàm vô hướng đa biến f :Rn →R, đạo hàm của f được định nghĩa như sau:

Áp dụng khai triển Taylor với hàm f (x) tại điểm p, ta nhận được:

Trong đó, Jf(p) được gọi là ma trận Jacobian của f tại p Ma trận Jacobian của f

được định nghĩa như sau:

Jf =





∇Tf1 ∇Tfm



=





∂f1

∂x1· · · ∂f1

∂xn· · ·· · ·· · ·

trong đó ∇Tfi là chuyển vị (véc tơ hàng) của véc tơ gradient ∇fi Ma trận Jacobianđược coi như đạo hàm của f Nó cũng là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn quy tắcnhân và quy tắc chuỗi:

Jgf = gTJf + fTJg,Jg◦f(x) = Jg(f (x)).Jf(x).

1.5Không gian tiếp tuyến

Xét hàm véc tơ:

f : R→Rnx 7→ f (x).

Khif là hàm vô hướng đa biến, đạo hàm theo hướng củaf dọc theo một véc tơ v

cũng là một véc tơ tiếp tuyến của f Chúng ta sẽ chứng minh điều này ở phần sau

f

Tập hợp các véc tơ tiếp tuyến của f tạip tạo nên một không gian véc tơ, gọi là khônggian tiếp tuyến của f tại p, ký hiệu Tp Nếu f là hàm trên R2, không gian tiếp tuyếnlà một mặt phẳng Nếu f là hàm trên R, không gian tiếp tuyến là đường thẳng tiếptuyến của f (tại p)

1.6Véc tơ tiếp tuyến hình học

Không gian tiếp tuyến hình học của Rn tại điểm a là tập hợp các véc tơ xác địnhbởi các cặp điểm (a, v):

Cho f : Rn → R là một hàm trơn (tồn tại đạo hàm bậc bất kỳ), đạo hàm theo

hướng của f dọc theo véc tơ v tại a là

t=0

f (a + tv).

Với mọi véc tơ v|a ∈Rn

1 Với mọi véc tơ tiếp tuyến hình học va∈ Rna, ánh xạ Dv|a : C∞(Rn) → R định

nghĩa ở trên là một derivation tại a

Chứng minh Cho f, g ∈ C∞(Rn), từ định nghĩa của Dv|a và quy tắc nhân củađạo hàm theo hướng, ta có:

Dv|a(f g) = (Dv(f g))(a)

= (gDvf + f Dvg)(a)= g(a).Dvf (a) + f (a)Dvg(a)= g(a)Dv|af + f (a)Dv|ag.

Do đó Dv|a thoả mãn quy luật chuỗi, vi vậy, nó là một derivation

2 Ánh xạ αa : va 7→ Dv|a là một phép đẳng cấu từ Rn

a đến TaRn.Chứng minh Chúng ta muốn chứng minh αa là một đẳng cấu, thì phải chứngminh nó là một ánh xạ tuyến tính và là một song ánh

Tuyến tính:Cho (ei|a) là một cơ sở của Rna Giả sử va= viei|a and wa= wiei|a là hai véc tơbất kỳ trong Rna, c ∈ R và f ∈ C∞(Rn) Từ phương trình (1), ta có:

D(v+w)|af = D(v+w)|af

= (vi+ wi)∂f

∂xi(a)= vi∂f

∂xi(a) + w

i∂f∂xi(a)= Dvf (a) + Dwf (a)= Dv|af + Dw|af.

Ngoài ra, cho Dc(v+w)|a, ta có: Dc(v+w)|a = cvi ∂f∂xi(a) = cDvf (a) = cDv|a

Song ánh:

Để chứng minh αa là một song ánh, chúng ta phải chứng minh nó vừa toàn ánhvừa đơn ánh

Đơn ánh:Giả sử Dv|af = Dw|af với mọi f ∈ C∞(Rn) Từ định nghĩa của đạo hàm theohướng, và tính chất tuyến tính của αa, ta có:

Dv|af − Dw|af = D(v−w)|af

= Dv− wf (a)= lim

t→0

f (a + t(v − w)) − f (a)

t= lim

t→0

t(v − w)t= v − w ̸= 0,

Do đó, Dv|af = Dw|af suy ra v = w, và αa là một đơn ánh

Toàn ánh: Cho ω là một véc tơ bất kỳ trong TaRn và (ei|a) là một cơ sở củaRna Ta định nghĩa v = viei|a , trong đó vi = ω(xi) và xi :Rn → R là toạ độ thứi Ta sẽ chứng minh rằng ω = Dv|a

Cho f ∈ C∞(Rn) Áp dụng định lý Taylor, tồn tại hàm h :Rn →R sao cho

i− ai) + h(x) ∥x − a∥ , limx→ah(x) = 0.

Dựa vào tính chất của derivation, ω(h(x) ∥x − a∥) = 0 tại x = a và ω(f (a)) = 0.Do đó ta tính được:

n

X

i=1

∂f∂xi(a)vi.= Dv|af

Ta kết luận rằng ω = Dv|a

Corollary 1.6 (Hệ quả) n derivations ∂x∂i

a định nghĩa bởi ∂x∂i

af = ∂f ∂xi(a) (i =1, · · · , n) tạo nên một cơ sở cho TaRn

Với đạo hàm tổng quát (derivation), chúng ta có thể mở rộng khái niệm đạohàm cho nhiều không gian khác nhau, không chỉ là các không gian dạng Rn mà còncác đa tạp (manifold) khác Các đạo hàm (derivative) ta định nghĩa ở những mụctrước đều là derivation, kể cả ma trận Jacobian Từ khái niệm derivation, chúng tacó thể xây dựng được không gian tiếp xúc, qua đó chúng ta có thể biến đổi mộthàm từ một đa tạp nào đó (vd như từ một không gian cong) về một hàm trên khônggian "phẳng", vd như hàm trên Rn, từ đó chúng ta có thể tính toán được dễ dàng hơn.Để định nghĩa đạo hàm, chúng ta có nhiều cách khác nhau, chúng ta có thể dựavào định nghĩa ban đầu hoặc dựa vào các tính chất của đạo hàm để định nghĩa, tuỳtheo trường hợp mà chọn định nghĩa phù hợp Trong trường hợp đạo hàm tổng quát(derivation), chúng ta dựa vào các tính chất của đạo hàm: là ánh xạ tuyến tính, tuânthủ quy tắc nhân và quy tắc chuỗi Thực tế chúng ta chỉ cần 2 tính chất ban đầu, vìtính chất thứ 3 của derivation có thể suy ra được từ hai tính chất này Định nghĩanày tổng quát hơn các định nghĩa của đạo hàm trước đó, vì tất cả các đạo hàm đềcập ở trong bài này đều thoả mãn các tính chất này

Ngoài ra, định nghĩa đạo hàm tổng quát (derivation) giúp ta liên hệ được giữakhái niệm đạo hàm trong toán học và không gian véc tơ hoặc khái niệm véc tơ vậntốc tổng quát, hiểu được sự tương quan giữa đạo hàm và véc tơ tiếp tuyến, giải thíchđược tại sao đạo hàm lại là một đại lượng véc tơ chứ không phải vô hướng.