Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mới về đáp ứng của dầm, một trong các hệ liên tục điển hình, trong đó dầm dao động trong môi trường mà cả dầm và môTính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Phạm Thành Chung

TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN PHI TUYẾN CỦA

DẦM ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ

Ngành: Cơ học Mã số: 9440109

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1 GS TSKH Nguyễn Văn Khang 2 TS Nguyễn Minh Phương

Hà Nội – 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình do tôi nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của tập thể hướng dẫn: GS TSKH Nguyễn Văn Khang và TS Nguyễn Minh Phương Các tài liệu sử dụng trong luận án có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng Kết quả nghiên cứu được công bố trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố bởi các tác giả khác

Hà Nội, ngày 07 tháng 09 năm 2024

Nghiên cứu sinh

Phạm Thành Chung Tập thể giáo viên hướng dẫn

GS TSKH Nguyễn Văn Khang TS Nguyễn Minh Phương

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành đề tài luận án tiến sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của tập thể hướng dẫn, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận án

Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Văn Khang và TS Nguyễn Minh Phương những người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận án này Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý thầy cô Nhóm chuyên môn Cơ học ứng dụng, Trường Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà Nội đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu cho đến khi hoàn thành luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ phận Sau đại học, Ban Đào tạo và các đơn vị có liên quan thuộc Đại học Bách khoa Hà Nội đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện luận án

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình, các anh chị em và các bạn đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, nếu không có sự động viên hỗ trợ này chắc chắn bản luận án sẽ không được hoàn thiện

Hà Nội, ngày 07 tháng 09 năm 2024

Nghiên cứu sinh

Phạm Thành Chung

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi

MỞ ĐẦU 1

1 Sự cần thiết của đề tài nghiên cứu 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Các phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tế của đề tài 3

6 Bố cục của luận án 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới 5

1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 8

1.3 Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án 9

Kết luận chương 1 9

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ TÍNH TOÁN VÀ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM PHI TUYẾN CÓ CẢN CẤP PHÂN SỐ 10

2.1 Mở đầu về tính toán dao động của hệ có đạo hàm cấp phân số 10

2.2 Thuật toán xấp xỉ đạo hàm cấp phân số 12

2.3 Tính toán dao động của hệ cấp hai sử dụng phương pháp Runge - Kutta 19

2.4 Tính toán dao động của hệ cấp ba sử dụng phương pháp Runge - Kutta 21

2.5 Thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm chịu tác dụng của lực dọc ở đầu dầm 24

2.5.1 Các phương trình cân bằng động lực của dầm 25

2.5.2 Một số giả thiết và công thức gần đúng 26

2.6 Đơn giản hóa các phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm đàn hồi 30

2.6.1 Phương trình dao động uốn phi tuyến tổng quát của dầm đàn hồi 30

2.6.2 Phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm khi chọn quy luật phi tuyến vật lý đơn giản 32

2.6.3 Một số trường hợp đặc biệt 35

Kết luận chương 2 35

CHƯƠNG 3 DAO ĐỘNG UỐN TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CỦA DẦM ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ 37

3.1 Dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số 37

3.1.1 Phương trình dao động uốn của dầm đàn nhớt cấp nguyên 37

3.1.2 Phương trình dao động uốn của dầm đàn nhớt cấp phân số 38

3.1.3 Biến đổi phương trình đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường 39

3.1.4 Dao động uốn của dầm đàn nhớt cấp phân số hai đầu bản lề chịu kích động của lực tập trung điều hòa 40

3.1.5 Tính toán dao động uốn của dầm đàn nhớt cấp phân số hai đầu bản lề chịu tác dụng của lực tập trung điều hòa di động với vận tốc không đổi 47

3.2 Dao động uốn của dầm phi tuyến hình học chịu tác dụng của lực dọc trục và lực cản ngoài cấp phân số 55

3.2.1 Biến đổi phương trình dao động đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường 55

3.2.2 Khảo sát cộng hưởng chính 59

3.2.3 Khảo sát cộng hưởng thứ điều hòa cấp 1/3 66

3.3 Dao động uốn tham số phi tuyến của dầm trong một mô hình lưu biến chịu tác dụng của lực dọc trục điều hòa và lực cản ngoài cấp phân số 72

3.3.1 Phương trình dao động uốn phi tuyến vật lý của dầm đàn nhớt cấp phân số 72

3.3.2 Biến đổi phương trình dao động đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường 73

3.3.3 Tính toán dao động tham số phi tuyến bằng phương pháp tiệm cận 79

3.3.4 Vẽ đồ thị đường cong biên độ tần số và mô phỏng số 86

Kết luận chương 3 89

KẾT LUẬN CHUNG 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 103

a, tức là ( )( )

[ ( )]

pp

d f tD f t

d ta

=−

( )

GpaD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –

Letnikov, hoặc ký hiệu GLp ( )

aD f t , G Lp ( )

aD f t

−

( )

Rpa

D f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –

Liouville, hoặc ký hiệu RLp ( )

aD f t , R Lp ( )

aD f t

−

( )

Cpa

D f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo

( )

WpD−∞f t tích phân cấp phân số theo Weyl

( )

,

Eα β hàm Mittag – Leffler hai tham số

Trung bình theo thời gian

x Đạo hàm theo thời gian của x

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.3 Xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang 15

Hình 2.6 Phân tố dầm trước và sau biến dạng 28Hình 2.7 Sơ đồ phân tích lực đầu phải của dầm 29Hình 3.1 Dầm hai đầu bản lề chịu tác dụng của lực tập trung điều hòa 41

Hình 3.2 Dao động uốn của dầm tại mặt cắt giữa dầm (x = 10 m), α = 0 44

Hình 3.3 Dao động uốn của dầm tại mặt cắt giữa dầm (x = 10 m), α = 0.2 45

Hình 3.4 Dao động uốn của dầm tại mặt cắt giữa dầm (x = 10 m), α = 0.4 45

Hình 3.5 Độ võng của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng giải tích 45

Hình 3.6 Ứng suất của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng giải tích 46

Hình 3.7 Độ võng của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng phương pháp số 46

Hình 3.8 Ứng suất của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng phương pháp số 47Hình 3.9 Dầm hai đầu bản lề chịu tác dụng của lực di động 47Hình 3.10 Đồ thị mô phỏng số dao động của dầm khi α = 0.0; β = 0.85 50Hình 3.11 Đồ thị mô phỏng số dao động của dầm khi α = 0.2; β = 0.85 51Hình 3.12 Đồ thị mô phỏng số dao động của dầm khi α = 0.4; β = 0.85 52Hình 3.13 Độ võng động lực của dầm tại thời điểm 1.25 s 53Hình 3.14 Ứng suất động lực của dầm tại thời điểm 1.25 s 53Hình 3.15 Độ võng động lực của dầm tại thời điểm 2.5 s 54Hình 3.16 Ứng suất động lực của dầm tại thời điểm 2.5 s 54Hình 3.17 Đường cong biên độ - tần số và miền ổn định khi khảo sát cộng hưởng

Hình 3.23 Đường cong biên độ tần số kết hợp mô phỏng số cho bộ số liệu trong (3.212) tại tần số kích động Ω =2ω =2.0 87Hình 3.24 Dao động của hệ tại kích động Ω =2ω =2.0 87Hình 3.25 Ảnh hưởng của cấp phân số tới đường cong biên độ tần số 88Hình 3.26 Hình ảnh phóng to vùng giao cắt phức tạp của hình 3.25 88Hình 3.27 Ảnh hưởng của tham số h tới đường cong biên độ tần số 3e 89

MỞ ĐẦU

Bài toán dao động của một vật thể liên tục trong một môi trường nào đó đã được nghiên cứu ngày càng sâu rộng trong những năm gần đây Khi đó, người ta quan tâm đến các mô hình giảm chấn trong nghiên cứu sự tương tác giữa vật thể với môi trường và ngay trong nội tại vật thể Kỹ thuật hiện đại ngày nay sử dụng nhiều mô hình giảm chấn đàn nhớt để thiết kế máy móc và công trình Các mô hình phổ biến bao gồm Kelvin-Voigt, Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩn Tuy nhiên, sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng đã dẫn đến sự nghiên cứu nhiều vật liệu có tính chất mới (như cao su tổng hợp, silicone, mô của động vật, hỗn hợp nhựa đường, đất,…) mà các mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể mô tả đầy đủ tính chất của chúng Do đó, các mô hình đàn nhớt cấp phân số đã được phát triển để giải quyết vấn đề này [107], [132]

Các bài toán thực tế cho thấy rằng khi biến dạng lớn xảy ra, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện, đồng thời quy luật dao động của hệ thống không còn tuyến tính mà trở thành phi tuyến Do đó, nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của hệ thống có đạo hàm cấp phân số là rất quan trọng để thiết kế các công trình và máy móc tối ưu cho nhu cầu cuộc sống Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả đặc tính dao động phi tuyến của hệ thống là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại

1 Sự cần thiết của đề tài nghiên cứu

Việc nghiên cứu dao động của các hệ liên tục trước tiên bằng tính toán mô hình lý thuyết là một trong những bước quan trọng đầu tiên để giảm thiểu chi phí chế tạo thử, lường trước cũng như dự đoán sự cố khi vận hành, chẩn đoán sai sót của hệ thống, v.v… Cùng với đó, việc nghiên cứu để tìm ra tần số riêng để tránh các hiện tượng cộng hưởng là bài toán quan trọng và có ý nghĩa ứng dụng thực tế Một minh họa về cộng hưởng điển hình nổi tiếng thường được nhắc tới là giai thoại về một đoàn quân bước đều bước qua cầu, đã tạo ra lực kích động lớn tuần hoàn có tần số vô tình bị trùng với tần số riêng của cây cầu khiến nó dao động dữ dội rồi bị nứt gãy và phá hủy, cả đoàn quân bị rơi xuống sông

Một số mô hình vật liệu mới trong thực tế với quan hệ ứng suất biến dạng cổ điển (mô hình Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell, mô hình tuyến tính tiêu chuẩn) đã không còn đúng Do đó các nhà nghiên cứu đã tìm đến những liên hệ toán học phức

tạp hơn giữa ứng suất và biến dạng để qua đó thử nghiệm và so sánh với kết quả thực nghiệm

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Kế tiếp hướng nghiên cứu của nhóm mà tác giả luận án này đã tham gia với các công bố trước đây về hệ dao động hữu hạn bậc tự do, đề tài này tính đến dao động của một số hệ liên tục Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mới về đáp ứng của dầm, một trong các hệ liên tục điển hình, trong đó dầm dao động trong môi trường mà cả dầm và môi trường đều có tính đến yếu tố đàn nhớt cấp phân số Các mô hình đó có kể đến tính phi tuyến hình học khi có lực dọc trục hoặc tính phi tuyến vật lý khi quan hệ ứng suất – biến dạng phức tạp, cả hai trường hợp đều xét đến các phần tử cản từ môi trường ngoài có chứa đạo hàm cấp phân số

Nghiên cứu này sẽ tổng hợp và khảo sát chi tiết một số trường hợp của bài toán đặt ra, đề xuất hoặc áp dụng một số phương pháp đặc trưng Ngoài ra, luận án này cũng khảo sát kỹ lưỡng về sự tương tác dao động giữa dầm và môi trường đàn nhớt bên ngoài mà đều tính đến thành phần cản có cấp phân số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình dầm phi tuyến đàn nhớt cấp phân số được biểu diễn bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng có chứa đạo hàm cấp phân số Dầm chịu lực phân bố ngang trên toàn bộ chiều dài hoặc chịu lực dọc trục ở một đầu, điều kiện biên được xét đơn giản với hai đầu bản lề

4 Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải tích

Sử dụng phương pháp tách biến để giải bài toán tìm tần số riêng và dạng dao động riêng của một số mô hình có kể đến tính chất phi tuyến hình học hoặc phi tuyến vật lý Sau đó đưa phương trình vi phân đạo hàm riêng về phương trình vi phân

thường, sử dụng phương pháp tiệm cận để khảo sát hệ phi tuyến yếu

phương trình vi phân phi tuyến của hệ có đạo hàm cấp phân số, từ đó tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ

5 Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tế của đề tài

Ý nghĩa khoa học: Luận án nghiên cứu về dao động phi tuyến của dầm đàn

nhớt cấp phân số, một lĩnh vực khoa học đang được quan tâm của nhiều nhà cơ học Dầm đàn nhớt phi tuyến là một hệ dao động phức tạp Trong luận án đã nghiên cứu hiện tượng dao động phi tuyến yếu khi xét đến môi trường cản nhớt và nội ma sát cấp phân số Trên cơ sở nghiên cứu bài toán này, các mô hình ứng dụng thực nghiệm và so sánh có thể được đề xuất để chọn tham số tối ưu trước khi chọn vật liệu để thiết kế chi tiết chịu tải như mong muốn

Ý nghĩa thực tế: Với các chi tiết chịu biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu

xuất hiện đồng thời sự phức tạp của liên hệ ứng suất biến dạng cũng được phản ánh thông qua đo đạc thực nghiệm Thông qua việc nghiên cứu mô phỏng số này thì quá trình thí nghiệm với những vật liệu hiếm và có giá trị cao sẽ có thể giảm thiểu chi phí

6 Bố cục của luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận án gồm 3 chương như sau:

Chương 1 trình bày tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

của vấn đề liên quan đến đề tài Trong đó, các mốc hình thành và phát triển cũng như một số ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp phân số đã được liệt kê

Chương 2 có hai mục nội dung Thứ nhất là tập trung vào việc trình bày một

số cơ sở tính toán dao động của hệ có đạo hàm cấp phân số Nội dung cơ sở này sẽ được sử dụng để tính toán trong chương cuối sau khi sử dụng phương pháp tách biến

được phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số Thứ hai là đưa ra việc thiết

lập phương trình dao động uốn của dầm có kể đến tính phi tuyến hình học khi kể đến lực dọc ở mỗi phân tố của nó hoặc tính phi tuyến vật lý khi kể đến quan hệ ứng suất – biến dạng phi tuyến Nội dung này sẽ được kế thừa ở các chương tiếp theo khi đưa thêm yếu tố cản cấp phân số và khảo sát kỹ lưỡng hơn

Chương 3 là chương nội dung chính của luận án Nó có ba mục nội dung Mục thứ nhất trình bày về dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số

Nội dung này nhằm đưa đạo hàm cấp phân số vào một mô hình dầm tuyến tính đơn giản để kiểm nghiệm Những trường hợp phi tuyến phức tạp hơn sẽ được khảo sát ở các mục tiếp theo Mục thứ hai trình bày về dao động uốn của dầm phi tuyến hình học chịu tác dụng của lực dọc trục và lực cản ngoài cấp phân số Đây là một trong hai

nội dung chính yếu nhất trong luận án Mục thứ ba trình bày về dao động uốn tham số phi tuyến vật lý của dầm khi xét đến cả quan hệ ứng suất – biến dạng phi tuyến và lực cản ngoài cấp phân số

Equation Chapter 1 Section 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Suốt nhiều thập kỷ qua, việc ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào mô hình hóa cấu trúc vật liệu đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu đáng kể của các nhà khoa học Chương này cung cấp tổng quan về lĩnh vực này, bao gồm cả lịch sử phát triển, các nghiên cứu trong và ngoài nước và một số ứng dụng cụ thể trong cơ học

1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Leibniz đã đề cập đến lý thuyết đạo hàm cấp không nguyên trong ghi chú gửi tới L’Hospital vào ngày 30 tháng 9 năm 1695 [47] Ghi chú này đánh dấu lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp ½ được thảo luận Trả lời thắc mắc của L’Hospital về ý nghĩa của biểu thức đạo hàm dn /dxn khi n = 1/2, Leibniz khẳng định rằng điều này sẽ dẫn

đến một nghịch lý Ông dự đoán rằng từ nghịch lý này sẽ phát sinh những kết luận hữu ích trong tương lai

Tóm lược lịch sử phát triển và ứng dụng của đạo hàm cấp phân số [71, 77, 93, 103]

a) Các mốc hình thành

1695: Leibniz đề cập đến đạo hàm cấp ½ [71] 1819: Khái niệm đạo hàm cấp n với n là số bất kỳ được giới thiệu lần đầu tiên bởi Lacroix [133]

1832 - 1835: Liouville công bố các bài báo đầu tiên về đạo hàm cấp phân số [103] 1847: Riemann xây dựng định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa trên công trình của Liouville [103]

1967: Caputo đề xuất một định nghĩa mới về đạo hàm cấp phân số [103]

b) Các mốc phát triển

Trong hơn 3 thế kỷ, đạo hàm cấp phân số chủ yếu được nghiên cứu như một lĩnh vực toán học thuần túy Gần đây, các nhà khoa học phát hiện đạo hàm và tích phân cấp phân số hữu ích trong mô tả tính chất của nhiều vật liệu thực tế, đặc biệt là polymer Mô hình đạo hàm cấp phân số tỏ ra hiệu quả hơn so với mô hình đạo hàm cấp nguyên truyền thống, do khả năng mô phỏng chính xác hơn ảnh hưởng của "tính nhớ" và "tính di truyền" trong vật liệu và quá trình Việc ứng dụng đạo hàm cấp phân

số vào mô hình toán học và mô phỏng các hệ thống và quá trình dẫn đến các phương trình vi phân cấp phân số, đòi hỏi các phương pháp giải mới

Bởi vì lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên là khá phức tạp cho nên thách thức đặt ra là việc phát triển các phương pháp giải cho các phương trình vi phân cấp phân số Đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực toán học đang phát triển mạnh mẽ với tiềm năng ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải cho các phương trình vi phân cấp phân số là một hướng nghiên cứu quan trọng

Trong vài thập kỷ gần đây, đạo hàm cấp phân số đã mở ra cánh cửa cho nghiên cứu cơ học Nhờ khả năng mô tả các hiện tượng phi tuyến và phụ thuộc thời gian một cách hiệu quả, đạo hàm cấp phân số đã đưa đến một số kết quả mới:

- Niềm hy vọng ban đầu: Nutting (1954), Gemant (1935, 1936) đặt nền móng cho ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong mô hình hóa vật liệu, đặc biệt là hiện tượng chùng ứng suất [88-91, 59, 60]

- Sự phát triển: Caputo (1967, 1968, 1969), Caputo & Mainardi (1971, 1973) tiên phong trong việc sử dụng đạo hàm cấp phân số để mô tả tính chất đàn hồi và cơ học của vật liệu [34-38]

- Mở rộng: Bagley & Torvik (1983) tổng hợp các nghiên cứu về ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong vật liệu đàn hồi, khẳng định tính hợp lý của mô hình này

- Mô hình hóa vật liệu:

o Mô tả trạng thái cơ học của vật liệu đàn hồi và nhớt dẻo (Chern, 1980; Diethelm & Freed, 1999, 2000; Freed & Luchko, 2003) [40, 44, 45, 49] o Mô hình hóa hiện tượng tắt dần trong hệ cơ học (Gaul, Klein &

Kempfle, 1991) [57] o Mô tả mối quan hệ ứng suất - biến dạng trong vật liệu đàn hồi (Scott

Blair & Caffyn, 1973) [109] o Mô tả tính chất đàn hồi và cơ học của tầng địa chất và kim loại (Caputo,

1967, 1968, 1969; Caputo & Mainardi, 1971, 1973) [34-38] o Mô hình hóa của những vật liệu đàn nhớt (Shaw, Warby, Whiteman,

1997) [110]

- Phân tích động lực học:

o Nghiên cứu tính chất va chạm, dao động và tắt dần của hệ dao động (Caputo, 1969; Bagley & Torvik, 1983; Sakakibara, 1992; Zhang & Shimizu, 1994) [36, 25, 107, 130]

o Phân tích đáp ứng động lực học của bộ dao động cấp phân số (Sakakibara, 1992; Zhang & Shimizu, 1994) [107, 132]

o Nghiên cứu mô hình thanh đàn hồi (Baker, 2000) [28] - Vật liệu phi tuyến:

o Mô phỏng hành vi của vật liệu polymer (Sugimoto, 1990, 1991, 1992, 1993) [118-121]

o Phát triển vật liệu giảm chấn (Sackman & Kelly, 1964; Papoulia & Kelly, 1988) [106, 95]

o Nghiên cứu động lực học phi tuyến trong vật liệu đàn hồi (Rossikhin & Shitikova, 2000) [104]

o Mô hình hóa vật liệu cao su phi tuyến (Gil-Negrete & cộng sự, 2009) [61]

Nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu thực khác nhau, như polymer Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó của Ross [103], Tseng và cộng sự [127]

Về dao động phi tuyến của dầm cấp phân số, điển hình có tác giả Loghman và cộng sự [134] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm micro đàn nhớt cấp phân số Nguyên lý Hamilton đã được sử dụng để lập phương trình chuyển động, sau đó phương pháp Galerkin được dùng để đưa về hệ phương trình vi phân thường Cuối cùng họ kết hợp phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp bắn để tìm nghiệm tuần hoàn

Một nghiên cứu mới hơn của Sofi [135], năm 2024, trình bày phương pháp giả lực cải tiến (improved pseudo-force method - IPFM) để phân tích đáp ứng động lực của dầm phi tuyến có thành phần đạo hàm cấp phân số chịu tải trọng động Phương

pháp này dựa trên phương pháp Galerkin và tích phân từng phần để giải hệ phương trình vi phân cấp phân số phi tuyến

Tóm lại, đạo hàm cấp phân số đã trở thành một công cụ quan trọng trong nghiên cứu cơ học, mở ra nhiều tiềm năng mới cho việc mô hình hóa và phân tích các hiện tượng phức tạp trong vật liệu và hệ cơ học Với sự phát triển không ngừng của lĩnh vực này, chúng ta có thể mong đợi nhiều ứng dụng sáng tạo và đột phá hơn nữa trong tương lai

1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Mặc dù đã có một số nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số được công bố trên các tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học trong nước, số lượng này vẫn còn hạn chế và chủ yếu tập trung vào các khía cạnh toán học lý thuyết Một số ví dụ tiêu biểu bao gồm các bài báo về quy luật luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số và phương pháp Poisson [36] được đăng trên Tạp chí Toán học Tuy nhiên, những công trình này chủ yếu do các tác giả nước ngoài thực hiện

Vài năm gần đây, nhóm của GS Nguyễn Văn Khang cùng các cộng sự Trần Đình Sơn, Bùi Thị Thúy, Dương Văn Lạc, Trương Quốc Chiến, Nguyễn Văn Quyền [1,2,6,9,11,12,14,16-18,33,82-87] đã có các công bố về dao động của một số mô hình cơ học phi tuyến hữu hạn bậc tự do có tính đến yếu tố cản cấp phân số và một số mô hình phi tuyến vô hạn bậc tự do chưa tính đến cấp phân số

Trương Quốc Chiến [2] đã khảo sát dao động cộng hưởng và nghiên cứu ổn định của cơ hệ mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến cấp hai và cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp số (Runge-Kutta) và phương pháp giải tích (trung bình hóa, tiệm cận, lý thuyết ổn định Lyapunov)

Trong [18], Bùi Thị Thúy đã tổng hợp và trình bày kỹ lưỡng các định nghĩa, tính chất của đạo hàm cấp phân số; đưa ra thuật toán số dựa trên phương pháp tích phân Newmark và phương pháp Runge – Kutta đã biết để tính toán đáp ứng động lực, khảo sát cộng hưởng, nghiên cứu ổn định, ảnh hưởng của các tham số của một số cơ hệ hữu hạn bậc tự do (hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động) có chứa đạo hàm cấp phân số

Trong [14], Nguyễn Văn Quyền trình bày việc thiết lập một cách tổng quát phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm khi tính đến tính phi tuyến hình học, quy luật đàn hồi phi tuyến và khi chịu tác dụng của lực dọc ở đầu dầm Sau đó trình bày về dao động hỗn độn bằng phương pháp ánh xạ Poincaré, phương pháp phân tích phổ Fourier, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov

1.3 Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án

Trên cơ sở các phân tích trên đây về tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài cũng như đối tượng và phạm vi nghiên cứu đã nêu từ phần mở đầu, tác giả đưa ra các lý do lựa chọn đề tài như sau:

- Tiếp nối nghiên cứu trước của nhóm nghiên cứu mà tác giả đã và đang tham gia về các hệ dao động hữu hạn bậc tự do có đạo hàm cấp phân số, đề tài này tính đến dao động của một số hệ liên tục có đạo hàm cấp phân số

- Luận án này muốn khảo sát một dầm dao động khi nó được đặt trong một môi trường đặc biệt, đó là môi trường có cản cấp phân số và chịu tác động của tải trọng phức tạp Các yếu tố đặc biệt này bao gồm cả tính chất phi tuyến của vật liệu và phi tuyến hình học của dầm Đây cũng là những vấn đề hiện đang được quan tâm từ một số nhóm nghiên cứu trên thế giới Trong luận án này, tác giả áp dụng một số phương pháp giải tích và phương pháp số để tính toán dao động phi tuyến của cơ hệ dầm đàn nhớt có đạo hàm cấp phân

số

Kết luận chương 1

Chương này trình bày tổng quan, cập nhật tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước về vấn đề nghiên cứu dao động với đạo hàm cấp phân số nói chung cũng như hệ liên tục có đạo hàm cấp phân số nói riêng Trên cơ sở đó nhấn mạnh vấn đề được nghiên cứu trong luận án

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ TÍNH TOÁN VÀ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM PHI TUYẾN CÓ CẢN

CẤP PHÂN SỐ

Các phương pháp gần đúng tính toán đạo hàm cấp phân số để giải phương trình vi phân có hệ số chứa đạo hàm cấp phân số được phân thành các phương pháp số và các phương pháp giải tích gần đúng Trong phần đầu chương này trình bày tập trung vào cơ sở của phương pháp số dùng để tính toán trong chương chính của luận án

Nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật được mô tả bởi phương trình vi phân cấp phân số Phần sau của chương này giới thiệu việc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm phi tuyến (phi tuyến vật lý và phi tuyến hình học) cấp phân số chịu tác dụng của lực dọc trục và tương tác trong môi trường đàn nhớt Các kết quả này sẽ được sử dụng cho chương cuối.Equation Chapter 2 Section 1

2.1 Mở đầu về tính toán dao động của hệ có đạo hàm cấp phân số

Khái niệm đạo hàm và tích phân cấp phân số đã được đề cập đến từ cuối thế kỷ 17 Tuy nhiên, phải đến cuối thế kỷ 20 đầu thế kỷ 21 các kết quả nghiên cứu lý thuyết cũng như ứng dụng về đạo hàm và tích phân cấp không nguyên mới được quan tâm nghiên cứu nhiều [29, 30, 77, 93, 108] Trong đó việc giải các phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số là một bài toán có nhiều ý nghĩa về mặt ứng dụng Các phương trình Bagley-Torvik là các thí dụ về phương trình vi phân cấp phân số mô tả dao động của cơ hệ có số hạng cản cấp phân số [14-19, 31] Một phương trình vi phân được gọi là phương trình vi phân cấp phân số nếu nó chứa ít nhất một số hạng có đạo hàm cấp phân số

Một lớp các phương trình dao động của cơ hệ cấp hai có đạo hàm cấp phân số

là các phương trình vi phân có dạng như sau

mx+cx+β x D x t +kx+g t x x =r t < <p (2.1) Trong đó g t x x( , , ) là hàm phi tuyến Phương trình này có thể nhận được từ mô hình Kelvin-Voigt (hình 2.1) [18], trong đó phần tử cản cấp phân số với lực cản có dạng theo [55], Fc =µc x D( ) p( )x , c x( ) là hàm điều chỉnh Ta xét bài toán tìm nghiệm của

phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số (2.1) với các điều kiện đầu như sau

( )0 0, ( )0 0

Trong (2.2), x0 và x0 là các số thực tùy ý

Tương tự, một lớp các phương trình dao động của cơ hệ cấp ba có đạo hàm

cấp phân số là các phương trình vi phân dạng như sau

( ) p ( )( , , , ) ( ), 0 1

mx +bx+cx+kx+β x D x t +g t x x x  =r t < <p (2.3) Trong đó g t x x x( , , ,  là hàm phi tuyến Phương trình này có thể nhận được từ mô )

hình ôtô (hình 2.2) [18] Ta xét bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số (2.3) với các điều kiện đầu như sau

( )0 0, ( )0 0, ( )0 0

Trong (2.4) x , 0 x và 0  là các số thực tùy ý x0

Trong các phương trình vi phân (2.1) và (2.3) toán tử p ( )

D x t là đạo hàm cấp phân số Một số định nghĩa phổ biến của đạo hàm cấp phân số được nêu trong mục tiếp theo Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân (2.1) và (2.3) với các điều kiện đầu (2.2) và (2.4) đã được bàn đến trong các tài liệu [76, 99] Vì vậy, ta không xét bài toán đó Trong chương này ta chỉ quan tâm việc giải phương trình vi phân có đạo hàm cấp phân số bằng các phương pháp số Trong các tài liệu [42-47] Diethelm và cộng sự đã trình bày tương đối chi tiết việc giải phương trình vi phân cấp phân số bằng phương pháp sai phân, phương pháp Adams Shimizu và Zhang đã sử dụng phương pháp tích phân Newmark đưa ra một thuật toán giải các phương trình

k c,p

c1,p

x

km

zu c2

vi phân cấp phân số [111, 130-132] Krishnasamy và đồng nghiệp đã trình bày một phương pháp số giải phương trình Bagley-Torvik dựa trên xấp xỉ vector Taylor [68]

2.2 Thuật toán xấp xỉ đạo hàm cấp phân số

a) Định nghĩa đạo hàm cấp phân số

Trong [6,18] các định nghĩa đã được trình bày rất chi tiết, luận án này sẽ tổng hợp lại các công thức định nghĩa phổ biến

• Định nghĩa theo Riemann-Liouville Theo định nghĩa đạo hàm cấp phân số p bởi Riemann-Liouville của hàm x t( )

Γ − − 

Trong đó Γ(.) là hàm Gamma, n là số nguyên thõa mãn n− < <1 pn hay n=[ ] 1,p +trong đó ký hiệu [ ]p là phần nguyên của số thực p

• Định nghĩa theo Grünwald-Letnikov

Đạo hàm cấp phân số được xấp xỉ bởi Grünwald-Letnikov như sau

với N là số nguyên dương Định nghĩa này có ưu điểm là đạo hàm, tích phân cấp phân

số được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính tích phân và đạo hàm của nó Trong công thức (2.6), tổng giới hạn trên hội tụ tuyệt đối với mỗi p>0 Tuy nhiên, chính sự rời rạc trong công thức mà việc sử dụng công thức này có một số hạn chế, đó là nó thường không ổn định, cũng như độ chính xác không cao

• Định nghĩa theo Caputo

Định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Caputo:

( )( 1 ) nt ( )()n p 1

Cp

ad

( )( ) 1 ( ) (())

p kk

− +−

• Định nghĩa theo Weyl

Xuất phát từ định nghĩa Riemann-Liouville, cho a → −∞ ta có định nghĩa dạng Weyl

10

−−

1

11

xdI

t

xxt

t

τ ττ

αβ

−

−−

nn

∫∫

p

Jx t tJ txτ t τ dτ y τ τd

( )

i

ty τ

Hình 2.3 Xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang

2

01

jn

jJ t

−

=−

11

11

11

n

n

n

tRp

tn

tp

nt

np

p

xd

τ

τττ

τττ

1 11

0

11

1

11

jhj

n

n jn jp

−

− −−− −

−

− −−− −

pt

∞−−

− 

Đặt

τ τπ

2sin

tty

Từ (2.30) ta có ( ) 21 ( ) 2 ( )

i nD x t ∞φ y t dyw e φ y t

=

Trong đó, n là số điểm Gauss, w i là hàm trọng lượng, y i là điểm Gauss phụ thuộc vào số điểm Gauss dùng để xấp xỉ, còn φ(y ti, )được xác định bằng cách giải hệ phương trình vi phân sau

c) Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số với 1 < p < 2

Đối với trong các trường hợp siêu khuếch tán chắn thì thành phần đạo hàm cấp phân

số p sẽ là 1< <p 2 Theo định nghĩa của Riemann-Liouville

2

12

t

pRp

a

ad

thiết điều kiện đầu được đưa ra là x a( )=0, x a( )=0 và x a( )=0 Việc xấp xỉ tích phân (2.34) có thể được thực hiện tương tự như đối với trường hợp 0< <p 1, bằng cách đưa về đạo hàm cấp 3 việc xấp xỉ được thực hiện như sau

00

22

0

12

1

03

nn

n

tCp

n

tt

t

pp

I =∫x τ t −τ − dτ được xấp xỉ bằng công thức hình thang Một cách khác ta cũng có thể sử dụng sai phân tiến để xấp xỉ như sau

21

,

01

0

12

21

23

k

k

xj

pCp

kx

pj

Cpt

kpj

∆

=−−

Kết quả thu được bằng các cách xấp xỉ khác nhau: sử dụng sai phân với đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai, sử dụng đạo hàm cấp một ( 1.5 )

2.3 Tính toán dao động của hệ cấp hai sử dụng phương pháp Runge - Kutta

Xét dao động của hệ mô tả bởi phương trình vi phân cấp hai có chứa đạo hàm cấp phân số như sau

( )( )( ) p ( )( ) ( , , ) ( ),

mx t +cx t +β x D x t +kx t +g t x x =r t (2.42) Với các điều kiện đầu

( )0 0, ( )0 0

Để giải bài toán này chúng ta có thể sử dụng nhiều sơ đồ giải [42-47, 68, 111, 130] Trong phần này ta sử dụng phương pháp Runge-Kutta để tính toán dao động của các hệ đàn nhớt chứa thành phần đạo hàm cấp phân số

Ta đưa vào ký hiệu

2

0

( , , )( , , )

y tf t y zz tz tf t y z

công thức (2.16) Các điều kiện đầu có dạng

hhthth

( )1 i ,

1

11

jr t

ik =h z t + l 

mg y tk z tlm

ik =h z t + l 

12

mg y tk z tlm

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,

y t =x tz t = x t s t =x t = z t (2.59) Phương trình vi phân cấp ba (2.58) đưa được về hệ 3 phương trình vi phân cấp một như sau

23

0

, , ,, , ,

y1

y tf t y z sz tz tf t y z ss t

r t

mg t y z sD y t

hhthth

61

Việc xấp xỉ thành phần cấp phân số 0 ( )

CpD y t tại ;

2

ht =t t= + được tính theo t

công thức (2.37) Chú ý rằng theo [46] ta có

1

,,

iikhz t

jr t

1,21

,2

i

ikh z tl

ij

h −

−

=

 

   

∑

(2.69)

( )( )

1,21

,2

i

ikh z tl

h −

−

=

 

   

∑

(2.70)

( )( )

,,

iikh z tllh s tm

mg th y tk z tl s tmm

Giả sử ở trạng thái chưa biến dạng, trục hình học của dầm trùng với trục x của hệ tọa độ vuông góc xyz Các đầu của dầm có tọa độ x = 0 và x = l Giả thiết các trục quán

xz

( , )

p x t

0

P (t)

tính chính tại giao điểm của thiết diện với trục x song song với các trục y, z và trục của dầm chỉ bị uốn cong trong mặt phẳng đối xứng (x, z) Ký hiệu µ( )x là khối lượng trên một đơn vị dài của dầm, ρ là khối lượng riêng, A x( ) là diện tích mặt cắt thiết

diện của dầm, chiều dài dầm là l, dầm đồng chất Sử dụng giả thiết Bernoulli, xem

mặt cắt ngang của dầm luôn phẳng và vuông góc với trục võng của dầm

2.5.1 Các phương trình cân bằng động lực của dầm

Để thiết lập phương trình dao động uốn của dầm [14], ta tưởng tượng tách một

phân tố nhỏ của dầm tại hai mặt cắt x và x+dx Ký hiệu chiều dài của phân tố trước khi biến dạng là dx, sau khi biến dạng là ds Ký hiệu ( , )w x t là độ võng của dầm tại mặt cắt x, u x t( , ) là dịch chuyển dọc trục của dầm tại mặt cắt x, ϕ( , )x t là góc xoay

của dầm tại mặt cắt x Bỏ qua lực quán tính quay và biến dạng trượt của trục dầm

Áp dụng nguyên lý d’Alembert, thiết lập các phương trình động lực của phân tố dầm được khảo sát như hình 2.5

( , )

w x tdm

t

( , )

x

zy

dw

dxu

udu

T

22

( , )

u x tdm

t



22 sin ( ) sin( )cos ( ) cos( ) 0

Trong đó, N là thành phần lực pháp tuyến, Q là lực cắt, My là mômen uốn, F là d

lực cản ngoài tác dụng lên phân tố có chiều dài dx Giả sử lực cản ngoài tỷ lệ với vận tốc

( )

dwFcA x dx

t ρ∂=

b) Công thức gần đúng xác định biến dạng dài tỷ đối

Quan hệ giữa biến dạng (tỷ đối) và dịch chuyển trong lý thuyết đàn hồi phi tuyến gần đúng, tham khảo [136] và công thức (3.13) trong [14], như sau

1 1( )

Tọa độ điểm P x( ,0) trước biến dạng, sau biến dạng P→P x z∗( ∗, ∗)

Độ dãn dài do biến dạng đàn hồi của phân tố dầm là

∂ ∂   nhỏ so với

2

wx

∂  ∂   , biểu thức (2.92) có dạng

2

12

∂ ∂  ∆ = +   

∂ 

wdxx

∂ ∆ =  

∂ 

∂ 

∂ 

Chú ý: Từ công thức (2.91), ta có

2

11

22

∂Vậy A x( ) 2w2 A x( ) cwVp x t( , )

ρ ∂ = −ρ  ∂ +∂ +

Từ hình 2.5, ta có cos x

∂=

Từ (2.86) và (2.87), ta có Q=Hsinϕ+Vcosϕ nên biểu thức (2.106) có dạng

cos sin cos

yM

ut

∂∂ là bé, từ (2.103) ta suy ra H 0 HH t( )

x

∂

∂Thay

3

tan

3ϕϕ ϕ≈ + vào (2.108) ta được

3

3

yM

x

ϕϕ

Từ (2.109) suy ra công thức gần đúng

∂∂= − ∂

+∂Theo giả thiết Kichhhoff thì u

x

∂∂ là nhỏ so với w

x

∂∂ nên tan

wx

ϕ = −∂∂ Thay

3

tan

3ϕϕ ϕ= + ta được 3

3

wx

ϕϕ+ = −∂

∂ Vậy

wx

( , )

M =∫zσ dA=∫zσ dydz=∫zf ε ε dydz (2.114) Phương trình (2.113) là phương trình dao động uốn của dầm phi tuyến chịu tác dụng của lực P t0( ) ở đầu trục Tùy theo hàm f( ,ε εx x) ta sẽ tính được 2M2y

x

∂∂ Sau đây sẽ trình bày một số quy luật phi tuyến vật lý của dầm

2.6.2 Phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm khi chọn quy luật phi tuyến vật lý đơn giản

Khi ta chọn quy luật vật lý phi tuyến khá đơn giản như công thức (2.77)

223