Tính toán dao động phi tuyến của một số mô hình máy và thiết bị bằng phần mềm MAPLE315

bộ giáo dục đào tạo tRƯờNG Đạ ĐạII HọC BáCH KHOA Hà NộI ỉỉỉ thái mạnh cầu tính toán dao động phi tuyế tuyến n Của số mô hình m máy áy thiết b bịị phần mỊm M MAPle APle ln ¸n tiÕn sü kü tht Hà nội - 2004 giáo dục đào tạo tRƯ tRƯờNG ờNG ĐạI HọC BáC BáCH H KHOA Hà NộI ỉỉỉ thái mạnh cầu tính toán da dao o động phi tuyến Của số mô hình máy thiết bị ph phần ần mềm MAPle Chuyên ngành: Mà số: Động lực học độ bền máy 2.01.03 ln ¸n tiÕn sü kü tht Ngêi híng dÉn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Khang Hà nội - 2004 Mục lục Trang Mở đầu i Ch ơng Tính toán dao động phi tuyến yếu ph ơng pháp nhiễu động 1.1 C¸c ph ơng pháp tính toán dao động hệ phi tun u 1.1.1 BiÕn ®ỉi hƯ ph ơng trình vi phân phi tuyến yếu dạng toạ độ 1.1.2 áp dụng ph ơng pháp trung bình hoá tính toán dao động hệ phi tuyÕn yÕu 1.1.3 áp dụng ph ơng pháp tiệm cận tính toán dao động hệ phi tuyến yÕu 10 1.1.4 áp dụng ph ơng pháp tham số bé tính toán dao động hệ phi tuyến yếu 17 1.2 Sử dụng MAPLE tính toán dao động mét sè c¬ hƯ 20 1.2.1 TÝnh toán dao động c ỡng phi tuyến hệ hai bËc tù 21 1.2.2 TÝnh to¸n dao ®éng tham sè phi tun cđa hƯ hai bËc tù 26 Ch ơng Tính toán dao động phi tuyến mạnh ph ơng pháp cân điều hßa gia l ợng 32 2.1 Ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng hệ ôtônôm 33 2.1.1 Thành lập công thức tính toán 33 2.1.2 ThÝ dơ ¸p dơng 38 2.2 Ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng hệ không ôtônôm 47 2.2.1 Thành lập công thức tính toán 47 2.2.2 ThÝ dơ ¸p dơng 51 ii 2.3 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 57 2.3.1 ổn định nghiệm tuần hoàn hệ ôtônôm 57 2.3.2 ổn định nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm 64 Ch ơng Tính toán dao động tự kích tự kích-c ỡng phi tuyến số mô hình máy thiết bị 68 3.1 Tính toán dao ®éng tù kÝch vµ tù kÝch-c ìng bøc phi tun mô hình tải trọng băng tải 69 3.1.1 Ph ¬ng trình vi phân dao động mô hình tải trọng băng tải 69 3.1.2 Khảo sát dao động phi tuyến yếu hệ ph ơng pháp trung bình hoá 71 3.1.3 Khảo sát dao động phi tuyến mạnh hệ ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng 76 3.2 Tính toán dao động tù kÝch vµ tù kÝch-c ìng bøc phi tun cđa số mô hình dao động trình cắt gọt kim loại 87 3.2.1 Dao động số hệ cắt gọt kim loại bậc tù 87 3.2.2 Dao ®éng cđa hƯ hai bậc tự trình cắt gọt 97 Ch ơng Tính toán dao động tham sè-c ìng bøc phi tun cđa mét sè m« hình máy thiết bị 108 4.1 Dao động tham số-c ỡng phi tuyến hệ rôto-móng máy 109 4.1.1 Thành lập ph ơng trình vi phân dao động hệ rôto-móng máy 109 4.1.2 Tính toán dao động hệ rôto-móng máy ph ơng pháp Poincaré 112 4.1.3 TÝnh to¸n dao động hệ rôto-móng máy ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng 123 iii 4.2 Dao ®éng tham sè-c ìng bøc phi tuyến máy khâu 130 4.2.1 Thành lập ph ơng trình vi phân dao động hệ dao động máy khâu 130 4.2.2 Tính toán dao động tuần hoàn hệ ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng 132 4.3 Dao ®éng tham sè-c ìng truyền bánh 141 4.3.1 Các hiệu ứng động lực trình ăn khớp 141 4.3.2 Thành lập ph ơng trình vi phân dao động truyền bánh 144 4.3.3 Tính toán dao động tham số-c ìng bøc 147 4.3.4 Đánh giá kết tính toán 150 KÕt luËn 152 Danh mục công trình tác giả 154 Tµi liƯu tham kh¶o 155 Phô lôc I Mở đầu Nhiệm vụ dao động máy vận dụng kiến thức lý thuyết dao động nghiên cứu vấn đề riêng biệt ngành khí Do việc tăng liên tục tốc độ làm việc xu h ớng giảm trọng l ợng máy, nên vấn đề động lực học máy nói chung dao động máy nói riêng trở nên quan trọng Các toán dao động tuyến tính ngành khí đà đ ợc trình bày giáo trình đại học sách chuyên khảo [3], [9]-[11], [55], [65], [67], [68], [70], [72], [75], [77], [88] Nhiều hệ ch ơng trình tính toán dao động cân máy đà đ ợc giới thiệu tài liệu Ngay từ nửa đầu kỷ 20, nhiều nhà khoa học đà quan tâm nghiên cứu toán dao động ổn định cđa c¸c hƯ phi tun u [4], [17], [18], [21], [30], [37]-[43], [49], [53], [77], [78], [84]-[86], [88] Các nghiên cøu vỊ hƯ phi tun u mét bËc tù đà có kết rực rỡ Tuy nhiên việc tính toán dao động hệ phi tuyến yếu hệ nhiều bậc tự nhiều phải dựa vào nguyên lý đơn tần, nguyên lý thiếu sở khoa học chặt chẽ Nhờ phát triển tin học, ph ơng pháp tính toán dao động phi tun m¹nh cđa hƯ nhiỊu bËc tù nãi riêng, tính toán động lực học phi tuyến nói chung đà đ ợc nghiên cứu nhiều vòng 30 năm trở lại Các nhà toán học đà thu đ ợc nhiều kết đặc sắc lĩnh vực khoa học Nhiều kết lý thuyết rẽ nhánh, lý thuyết ổn định phi tuyến, lý thuyết dạng chuẩn phi tuyến đa tạp trung tâm, chuyển động hỗn loạn v v đà đ ợc công bố Một loạt ph ơng pháp tìm nghiệm tuần hoàn hệ phi tuyến mạnh nh ph ơng pháp bắn (shooting method), ph ơng pháp sai phân hữu hạn (finite-difference method), ph ơng pháp ánh xạ Poincaré (Poincaré map method), ph ơng pháp cân điều hoà gia l ợng (incremental harmonic balance method), ph ơng pháp ánh xạ ô (cell mapping method) v v đà đ ợc nghiªn cøu [41], [44], [50], [52], [54], [57]-[59], [76], [82], [83] Việc ứng dụng kết nhà toán học vào hệ vật lý hệ học triển khai chậm Năm 1992 kỷ niệm 80 năm ngày sinh GS Magnus, nhà khoa häc lín lÜnh vùc §éng lùc häc ë kỷ 20, phát biểu h ớng Động lực học, F Pfeifer, Chủ tịch Hội Toán học ứng dụng Cơ học (GAMM), Giáo s tr ờng Đại học Tổng hợp kü tht München, cã cho r»ng viƯc tÝnh to¸n c¸c toán dao động máy phi tuyến h ớng cần quan tâm lĩnh vực động lực học Trong luận án này, sâu nghiên cứu việc sử dụng phần mềm MAPLE để hỗ trợ việc áp dụng ph ơng pháp giải tích gần (ph ơng pháp tham số bé, ph ơng pháp trung bình hoá, ) ph ơng pháp số có ý đến tính chất giải tích (ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng) để tính toán số mô hình dao động phi tuyến máy thiết bị Mục tiêu luận án xây dựng thuật toán để áp dụng ph ơng pháp đà biết dao động phi tuyến sở sử dụng phần mềm đại số computer MAPLE giải toán dao động phi tuyến tuần hoàn kỹ thuật Đây h ớng nghiên cứu mới, phù hợp với hoàn cảnh cụ thể n ớc ta Trong ch ơng 1, trình bày cách ngắn gọn thuật toán ph ơng pháp tham số bé, ph ơng pháp trung bình hoá, ph ơng pháp tiệm cận, sở sử dụng phần mềm đại số computer MAPLE để tính toán dao động phi tuyến Trong ch ơng trình bày mở rộng ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng tìm nghiệm tuần hoàn hệ ph ơng trình vi phân ch a giải đạo hàm cấp hai Ch ơng trình bày việc áp dụng ph ơng pháp trung bình hoá, ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng ph ơng pháp mô số tìm nghiệm tuần hoàn số mô hình dao động tự kích tự kích-c ỡng máy Ch ơng trình bày việc áp dụng ph ơng pháp tham số bé, ph ơng pháp cân điều hoà, ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng ph ơng pháp mô số tìm nghiệm tuần hoàn số mô hình dao động tham số-c ỡng máy thiết bị Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS TSKH Nguyễn Văn Khang, ng ời thầy h ớng dẫn khoa học đà tận tình h ớng dẫn, giúp đỡ tác giả mặt suốt thời gian thực luận án Xin trân trọng cám ơn Trung tâm Đào tạo Bồi d ỡng sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng Khoa Cơ khí Tr ờng Đại học Bách khoa Hà Nội đà giúp đỡ, tạo điều kiện mặt để luận án hoàn thành hạn Xin chân thành cám ơn thầy, bạn bè, đồng nghiệp đà quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả nhiều mặt để luận án đ ợc hoàn thành Ch ơng Tính toán dao động phi tuyến yếu ph ơn ơng g pháp nhiễu động Các ph ơng pháp tính toán dao động hệ phi tuyến yếu đà đ ợc nhiều nhà học toán học nghiên cứu phát triển mạnh mẽ từ nửa đầu kỷ 20 Đó ph ơng pháp tham số bé [85], ph ơng pháp trung bình hoá, ph ơng pháp tiệm cận [5], [37], [38], [84], ph ơng pháp đa thang [42], [43], ph ơng pháp cân điều hòa Việc áp dụng ph ơng pháp tính toán giải tích th ờng phức tạp, tốn nhiều công sức hay mắc lỗi tính toán Với phát triển nhanh chóng tin học, nhiều phần mềm đa đà đ ợc đ a vào sử dụng để trợ giúp tính toán toán học, học ngành kh¸c cđa kü tht nh MATHEMATICA, MAPLE Nhê sư dụng khả tính toán symbolic phần mềm này, khó khăn tính toán giải tích phức tạp tính toán số đ ợc giảm nhẹ đơn giản [45] Ch ơng trình bày ph ơng pháp trung bình hoá, ph ơng pháp tham số bé, ph ơng pháp tiệm cận để tính toán dao động hệ phi tuyến yếu bậc tự nhiều bậc tự có số hạng quán tính phi tuyến với trợ giúp ch ơng trình MAPLE Các kết ch ơng nguyên lý mà trình bày khả áp dụng phần mềm MAPLE để giải vấn đề cũ cách thuận tiện nhanh chóng, tạo điều kiện cho khả áp dụng dễ dàng việc sử dụng ph ơng pháp giải tích đà biết tính toán dao động phi tuyến yếu 1.1 Các ph ơng pháp tính toán dao động hệ phi tuyến yếu Khi nghiên cứu dao động phi tuyến máy, th ờng gặp hệ ph ơng trình vi phân phi tuyến Tr ờng hợp hệ có tính chất phi tuyến yếu cản nhỏ, ph ơng trình vi phân chuyển động hệ có dạng: Mq&&+ Cq =f (t ) + εG (t ,q ,q && q, )&, ®ã q = [q1 L (1.1) q N ] toạ độ suy rộng hệ, M, C t ơng ứng ma T trận khối l ợng, ma trận độ cứng hệ,f (t ) ∈ ¡ chu kú 2π , ε > lµ tham sè bÐ, G∈ ¡ N N lµ hµm véctơ tuần hoàn t hàm véctơ tuần hoàn t chu kỳ hàm giải tích đối số lại Tr ờng hợp G phụ thuộc hiển vào q&& , (1.1) đ ợc gọi hệ ph ơng trình vi phân có số hạng quán tính phi tuyến, tr ờng hợp ng ợc lại (1.1) đ ợc gọi hệ ph ơng trình vi phân số hạng quán tính phi tuyến Sau nêu ph ơng pháp biến đổi (1.1) dạng toạ độ ph ơng pháp nhiễu động tính toán dao động hệ (1.1) 1.1.1 Biến đổi hệ ph ơng trình vi phân phi tuyến yếu dạng toạ độ Chúng ta th ờng gặp hệ học có ma trận M, C ma trận thực, đối xứng Khi ®ã sư dơng phÐp ®ỉi biÕn: q = Vp , ®ã V = [ v1 L (1.2) vN ] ma trận dạng riêng, v1 , , v N dạng riêng, p toạ độ Thế (1.2) vào (1.1), nhân bên trái vớiVT , ta có: D µ p&&+ D γ p = h (t ) + εF (t ,p ,p && p, )&, (1.3) ®ã Dµ = VT MV , D γ = V T CV , h (t ) = VT f (t ), F ( t , p ,p&& & ,p & , Vp , & ) =V TG (t ,Vp Vp )& Dạng thành phần (1.3) là: + i2 p i = h i (t ) + ε F i (t , p k , p&k , p&& & p& i k ), (i , k =1, , N ) (1.4) ®ã: ω 2i = γi , µ i = vTi Mv i , γ i = vTi Cv i , µi hi (t ) = Nh µi vTi f (t ) , F i = µi vTi G, (i = 1, , N ) hệ (1.1) đà đ ợc chuyển dạng (1.4), với vế trái đ ợc tách biến 1.1.2 p dụng ph ơng pháp trung bình hoá tính toán dao ®éng cđa hƯ phi tun u 1) HƯ mét bậc tự có số hạng quán tính phi tuyến Khảo sát hệ dao động phi tuyến yếu, ph ơng trình vi phân chuyển động có dạng [25]: , x&)&, x&&+ ω x = h ( Ω t ) + ε G ( Ω t, x, x& (1.5) ) hàm tuần hoàn t, chu kỳ2 / , > h ( Ωt ), G ( Ωt , x, x&, x&& tham số bé Đ a vào biến thời gian không thứ nguyên = t / m , với m số nguyên d d 2 d d = = Chó ý r»ng , ph ¬ng trình (1.5) đ ợc viết lại d ới dạng: , dt m d τ dt m dτ x ′ + λ x = f ( mτ ) +ε F ( mτ , x, x′, x′ ) , (1.6) ω dx d2x m2 m2 ®ã x ′ = , x ′ = , λ = m2 , f ( mτ ) = h ( mτ ) , F = G Ω dτ Ω Ω dτ NÕu λ ≈ n , víi n số tự nhiên đó, n / m , hÖ xuÊt hiÖn céng h ëng NÕuλ ≠ n , hƯ kh«ng xt hiƯn céng h ëng a) Tr êng hỵp céng h ëng §Ỉt λ = n (1 −εα ) , độ lệch tần số, ph ơng trình (1.6) trë thµnh: x ′ + n x = f ( mτ ) +ε Φ ( mτ , x, x′, x′ ), ®ã Φ = F + n α x Gi¶ sư cã khai triĨn Fourier: ∞ a f ( mτ ) = + ∑ ( aj cos jmτ + bj sin jmτ ) j =1 Sư dơng phÐp ®ỉi biÕn: (1.7) 141 4.3 Dao động tham số-c ỡng truyền bánh Bộ truyền bánh đ ợc sử dụng phổ biến thiết bị khí, nhằm mục ®Ých trun dÉn, biÕn ®ỉi vËn tèc gãc, m« men h ớng trục quay Việc nghiên cứu hiệu ứng động lực dao động truyền bánh đà đ ợc biết đến từ năm 50 cđa thÕ kû tr íc vµ hiƯn nay, bµi toán xây dựng mô hình dao động truyền trình ăn khớp vấn đề thời Mục trình bày dao động tham số truyền bánh răng, bao gồm giới thiệu hiệu ứng động lực trình dao động, thành lập ph ơng trình vi phân dao động, tính toán dao động tham số-c ỡng số nhận xét 3.3.1 Các hiệu ứng động lực trình ăn khớp 1) Cơ chế phát sinh dao động Trong nhiều tài liệu chuyên khảo [12], [22], [23], [46], [60], [61], [66] tác giả đà đ a số dạng kích động dao động trình ăn khớp nh - sau: Các nguồn kích động bên ngoài: biến đổi ngẫu lực phát động lực công nghệ, biến đổi vận tốc góc trục dẫn trục bị dẫn Những thay đổi yếu tố công nghệ, kỹ thuật gây (ví dụ nh - động đốt trong) Các nguồn kích động bên trong: nguyên nhân sau: a) Sự thay đổi độ cứng ăn khíp theo thêi gian c z ( t ) số tham gia vào trình ăn khớp thay đổi theo thời điểm (ví dụ cặp bánh thẳng có cặp cặp ăn khớp) Dạng kích động tham số Kích động tham số tồn bánh xác không bị h hại b) Các kích động lỗi (lỗi chế tạo: lỗi b ớc răng, lỗi dạng răng, lệch tâm) h hại bề mặt thân (mòn, tróc mỏi, nứt chân răng, mẻ đỉnh răng) c) Va chạm bề mặt biến dạng uốn thân d ới tác dụng tải trọng (va chạm ăn khớp) d) Lực ma sát bề mặt ăn khớp (th ờng nhỏ so với dạng khác) Trong dạng kích động a) b) bản, chúng đối t ợng nghiên cứu số tài liệu chuyên khảo phục vụ cho chẩn đoán 142 - Cơ chế phát sinh dao động nh sau: Giữa cặp tham gia vào trình ăn khớp xuất lực (lực ăn khớp) Về chất, lực ăn khớp hình thành ngẫu lực tải trọng công nghệ đặt lên hệ Trong thực tế, lực ăn khớp động sinh số nguyên nhân kích động nêu lớn nhiều lực ăn khớp tĩnh Lực ăn khớp động đ ợc truyền dẫn đến ổ đỡ tạo phản lực ®éng ë gèi ®ì vµ dao ®éng cđa vá hép số 2) Độ cứng ăn khớp Tỷ số lực ăn khớp l ợng biến dạng tổng cộng cặp ăn khớp theo ph ơng đ ờng ăn khớp đ ợc gọi độ cứng ăn khớp (mesh stiffness) Nh số cặp tham gia ăn khớp biến đổi, độ cứng ăn khớp biến đổi theo Đối cặp cặp với cặp bánh thẳng, số cặp ăn khớp thay đổi từ cặp Đối với cặp bánh nghiêng cặp cặp cỈp hc cỈp cỈp→ cỈp t theo góc nghiêng Do nghiêng, thay đổi c z ( t ) thẳng cz (t) thẳng cz (t) nghiêng c0 c0 Tz Tz t t Hình 4.15 Độ cứng ăn khớp loại bánh Nếu vận tốc góc bánh 1, không đổi, c z ( t ) hàm tuần hoµn víi chu kú Tz =1 f z , ( fz =f1 z1 = f2 z2 ) , ®ã f = ω1 2π , f = ω 2 tần số quay bánh, z1 , z2 : số bánh Tần số f z đ ợc gọi tần số ¨n khíp r¨ng Hµm c z t cã thĨ khai triển thành chuỗi Fourier: () K K K ) ) c z ( t ) ≈ c0 + ∑ c k cos k ω z t + ∑ s k sin kω z t = c0 + ∑ c k cos( kω zt +ϕ k =1 ®ã ωz = 2π f z k =1 k =1 k ), (4.74) 143 - Độ cứng ăn khớp trung bình c xác định thực nghiệm Cho ngẫu lực số tác dụng lên hai bánh răng, từ biến dạng đo đ ợc theo ph ơng đ ờng ăn khớp, tính đ cợc0 - Độ cứng ăn khớp c z ( t ) tính toán đ ợc nhờ số công cụ phần mềm sử dụng ph ơng pháp phần tử hữu hạn [64], kích th ớc hình học tham số vật liệu cặp bánh phải đ ợc khai báo cách xác Từ mô hình phần tử hữu hạn, ma trận độ mềm đ ợc xác định dựa ba yếu tố: biến dạng uốn thân răng, biến dạng tiếp xúc bề mặt biến dạng xoắn thân Việc tính toán đ ợc thực với điểm ăn khớp đ ờng ăn khớp cho ta kết giá trị củac z ( t ) theo thêi gian KÝch ®éng tham sè thay đổi độ cứng ăn khớp có ảnh h ëng lín nhÊt ®èi víi øng xư ®éng lùc học truyền bánh Vì lý đó, ăn khớp nghiêng th ờng tạo dao động yếu dao động ăn khớp thẳng 3) ảnh h ởng lỗi h Khái niệm lỗi h - hỏng với dao động ăn khớp hỏng đ ợc hiểu nh sau: Lỗi ăn khớp độ lệch ăn khớp, lỗi sinh chế tạo lắp ráp th ờng phân bố toàn (ví dụ: sai lệch biên dạng, sai số b ớc răng, ) - H hỏng (gọi tắt hỏng) thay đổi chi tiết trình làm việc yếu tố môi tr ờng gây Theo tiêu chuẩn CHLB Đức 3979, có tất có 27 dạng hỏng khác bánh Về ph ơng diện nghiên cứu dao động, chia dạng hỏng thành nhóm chính: H hỏng phân bố: mài mòn bề mặt răng, tróc mỏi bề mặt Nhóm sinh truyền làm việc thời gian dài Dạng hỏng phân bố làm thay đổi b ớc nguồn dao động kích động trình ăn khớp H hỏng cục bộ: h hỏng xảy vài nh nứt gÃy chân răng, mẻ đỉnh Nguyên nhân truyền làm việc tải, khuyết tật vật liệu không đủ điều kiện bôi trơn Dạng hỏng cục làm thay đổi 144 độ cứng ăn khớp cách đột ngột gây va chạm ăn khớp Các xung va chạm kích động dao động riêng chi tiết xung quanh nh thân bánh răng, trục vỏ hộp số Nh vậy, cách ®o dao ®éng trªn vá hép sè ta cã thĨ xác định đ ợc nguyên nhân sinh dao động trình ăn khớp 4.3.2 Thành lập ph ơng trình vi phân dao động truyền bánh Nh đà phân tích mục 4.3.1, dao động sinh va chạm ăn khớp từ nguyên nhân h hỏng cục nhận dạng đ ợc thành phần dao động riêng tắt dần tín hiệu dao động đo đ ợc Tuy nhiên, chế kích động h hỏng phân bố t ơng đối phức tạp Mô hình dao động ăn khớp (meshing vibration) d ới nhằm mục đích giải thích điều Mô hình dao động truyền bánh biểu diễn hình 4.16 Hệ khảo sát bao gồm cặp bánh ăn khớp chịu tác dụng ngẫu lực M (t ) M (t ) chế độ bình ổn, bánh quay với vận tốc gãcω1, ω : ω1 = π n1 30 , ω2 = π n2 30 , ®ã n1 , n2 vận tốc góc (vg/ph) bánh M2(t) bánh dẫn cz(t) rb2 J 1, z r b1 ϕ1 e(t) dz ® êng ăn khớp M 1(t) J 2, z bánh bị dẫn Hình 4.16 Mô hình dao động truyền bánh 145 1, góc quay Do có kích động đó, hệ xuất dao động Chọn bánh răng; rb , rb bán kính vòng lăn bánh Tính chất đàn hồi cản cặp tham gia vào trình ăn khớp đ ợc mô hình lò xo có độ cứng thay đổic z (t ) giảm chấn với hệ số cảnd z = const h ớng theo đ ờng ăn khớp Mô hình đ ợc sử dụng nhiều tài liệu nghiên cứu [46], [60] ảnh h ởng h hỏng lỗi phân bố dao động trình ăn khớp đ ợc đặc tr ng hàm kích động e(t) (kích động động học) theo h ớng đ ờng ăn khớp Động năng, hàm hao tán hệ là: T = 12 J 1ϕ&12 + 12 J 2ϕ& 2, Π = 12 c z (t ) rb 1ϕ + r b 2ϕ +e (t ) (4.75) , Φ = 12 d z rb1 ϕ& + rb 2ϕ& + (t ) , e& J , J mô men quán tính hai bánh trục quay chúng Tr ờng hợp lực suy rộng lực không là: Q * = M (t ) , Qϕ*2 = M ( t ) (4.76) Thay vào ph ơng trình Lagrange loại 2, nhận đ ợc ph ơng trình vi phân mô tả dao động tham số truyền: J ϕ&& + r b1c z (t ) r b1ϕ + r b2ϕ +e (t + r b 2c z (t J ϕ&& ) r b1ϕ +r b2ϕ +e (t ) +r b1d ) +r b2d & ) =M (t ) , r b1ϕ & +r b2ϕ & +e t( z z + ϕ &+ & =M r b1ϕ & r b 2 e t( ) (t ) (4.77) Đ a vào toạ độ q = rb 1ϕ + r b 2ϕ , ph ơng trình (4.77) đ ợc đ a dạng: mtg q&&+ c z ( t ) q + d z q&= F ( t ) − c z (t )e (t ) − d ze & (t ), ®ã mtg = M (t ) rb M (t ) rb J 1J = + , F t m ( ) tg J1 J2 J 1rb21 + J 2r b22 (4.78) (4.79) 146 Chó ý q(t) l ợng biến dạng t ơng đối bánh theo ph ơng đ ờng ăn khớp, đ ợc gọi sai số truyền động (dynamic transsmision error) [46] Bây phân tích thành phần ph ơng trình (4.78) - Lực kích động F(t) theo công thức (4.79) khó xác định thực tế M M2 phụ thuộc vào , , &1 , & Bởi vậy, để đơn giản hoá việc tính toán F(t) ta giả thiết nh sau [29]: = = const Gi¶ sư bé trun hoạt động trạng thái bình ổn&1 = = const , ϕ& ω2 Do c ? ck ( k = 1, K ) cản yÕu nªn ta cã c z ( t ) ≈ c0 , d z ≈ Khi ®ã sai sè truyền động q(t) đ ợc biểu diễn d ới dạng:q ( t ) ≈ q0 = const , (4.80) q0 đ ợc gọi sai số truyền dẫn tĩnh Đó l ợng biến dạng tổng cộng theo ph ơng đ ờng ăn khớp cặp bánh ăn khớp d ới tải trọng không đổi ThÕ (4.80) vµo (4.78) ta cã: F (t ) ≈ F (t ) = c 0q + c 0e (t ) (4.81) - Hàm kích động e(t) xuất lỗi ăn khớp Các lỗi ăn khớp có nguyên nhân sai lệch b ớc răng, sai lệch biên dạng th ờng phân bố không biên dạng Nếu ta giả thiết bánh dẫn xuất h hỏng phân bố, bánh làm việc d ới tải trọng đủ lớn (không có khe hở ăn khớp) với vận tốc góc ω1 , ®ã kÝch ®éng sai lƯch cđa b ớc lặp lại theo tần số quay f = ω1 2π Nh T =1 f1 vµ cã thĨ biĨu vËy e(t) lµ mét hµm tuần hoàn có chu kỳ diễn d ới dạng chuỗi Fourier: I e ( t ) ≈ ∑ e i cos( i ω1t + α i ) , (4.82) i =1 hệ số ei đặc tr ng cho møc ®é h háng (khi i =e0 hƯ chØ có kích động tham số) Tóm lại, vế phải ph ơng trình (4.78) đ ợc viết lại d ới d¹ng: g (t ) = F (t ) −c z (t ) e (t ) −d z e&(t ) ≈ c 0q + c −c z (t ) e (t ) −d ze&(t ) K I k =1 i =1 = c 0q − ∑c k cos (k ω z t + ϕ k ) × ∑ e i cos (iω 1t +α (t ) i ) d ze& (4.83) 147 4.3.3 Tính toán dao động tham số-c ỡng Xét ph ơng trình vi phân dao động truyền bánh răng: mtg q&&+ c z ( t ) q + d z q&= g ( t ), (4.84) ®ã g (t ) = c 0q + c −c z (t ) e (t ) −d z e&(t ) (4.85) NhiỊu tµi liệu kỹ thuật cho thấy thành phần điều hoà bậc cao khai triển Fourier độ cứng ăn khíp c z ( t ) vµ cđa hµm kÝch động động học e(t) nhỏ nhiều so với vài ba điều hoà đầu Để tránh tính toán phức tạp, lấy số hạng công thức độ cứng ăn khớp c z ( t ) : 3 ) ) c z ( t ) = c0 + ∑ c k cos( k ω z t + γ k ) = c0 + ∑ ( c k cos kω zt + s k sin kω zt) , k =1 (4.86) k =1 ®ã ωz = z 1 lấy số hạng hàm kÝch ®éng e(t): e (t ) = ∑ ek cos ( k ω1t +α k ) (4.87) k =1 Thay thÕ (4.86) vµ (4.87) vµo (4.85) ta cã: g (t ) = c0 q + d ze1ω1 sin (ω1t + α ) + 2d ze2ω sin ( 2ω 1t +α ) e1 ) ) − ∑ c k cos ( kz1 −1) ω1 t − α + s k sin ( kz1 −1)ω t −α k =1 ) ) + c k cos ( kz1 + )ω1 t + α + sk sin ( kz1 +1 )ω t +α { − } e2 ) ) c k cos ( kz1 − ) ω 1t − α + s k sin ( kz1 − )ω t −α ∑ k =1 ) ) + c k cos ( kz1 + )ω 1t +α + s k sin ( kz1 + )ω 1t +α (4.88) { } Chúng ta sử dụng ph ơng pháp cân điều hoà để giải ph ơng trình (4.84) Từ dạng hàm c z ( t ) g (t ) , tìm nghiệm xấp xỉ d ới dạng: q (t ) = a0 + (a k cos k ω1t +b k sin k ω1t ) + ∑ k =1 a kz −2 cos( kz1 − 2)ω t ∑ k =1 +bkz1 −2 sin( kz1 − 2)ω1 t + akz1 −1 cos( kz1 −1)ω1 t + bkz1 −1 sin( kz1 −1)ω1 t +akz1 cos( kz )ω 1t + bkz1 sin( kz1 )ω t + akz1 + cos( kz1 +1)ω t + bkz1 +1 sin( kz1 + 1)ω1 t + akz1 + cos(kz + 2)ω1t + bkz1 + sin( kz1 + 2)ω1 t (4.89) 148 cz (t) [N/m] Gãc trục bánh dẫn [0] Hình 4.17 Độ cứng ăn khớp sử dụng tính toán Thay (4.88) (4.89) vào ph ơng trình (4.84) cân hệ số điều hoà giống nhau, nhận đ ợc hệ 35 ph ơng trình đại số aÈn: ,a 1,b 1,a ,b , ., akz1 − ,b kz1 − , ,a kz1 + ,b kz1 + Sư dơng c¸c tham sè [66]: J 1= 9.3×10-2 (kgm2), J = 0.272 (kgm2), r b1= 30.46 (mm), r b2 = 84.86 (mm), z1 =14, z2 =39, n 1= 1800 (vg/ph), mtg = 7.92 (kg), dz= 5000 (kg/s) Sư dơng phÇn mềm LVR [64], độ cứng ăn khớp cặp bánh vị trí ăn khớp bình th ờng có dạng nh hình 4.17 Các hệ số công thức (4.86) là: c = 8.04ì108 , c1 = 0.304ì108 , c2 = 0.185ì108, c3 = 0.050ì108 (N/m) Các góc pha t ơng ứng là: = 1.02, = - 0.72, γ3 = - 0.93 (rad) BiÕn d¹ng tĩnh 0q= 1.2ì10-5 (m), nh lực tĩnh là0qc0 = 9650.4 (N) Thực tính toán ch ơng trình MAPLE Chọn hệ số hàm kích động động học e(t) (4.87) nh sau: e1 = 0.005 ( mm ) , e2 = 0.0015 ( mm ), α = π /3,α =π /4 ( rad ), có kết sau đây: 149 q( t ) := 00001837362300 cos ( 1620 π t ) − 0002838723338 cos ( 1680 π t ) − 0002699188258 sin( 1680 π t ) − 00008059587578 cos ( 1740 π t ) + 00002349437573 sin( 1740 π t ) − 00004066028081 cos ( 2580 π t ) − 00006129699221 cos ( 2520 π t ) − 0001738351582 sin( 2520 π t ) − 00002755194068 sin( 2460 π t ) + 00002282434961 cos ( 2460 π t ) − 9205564652 10 -5 sin( 2400 π t ) + 4063091752 10 -5 cos ( 2400 π t ) + 4794882458 10 -6 sin( 1800 π t ) − 00002595368758 cos ( 1800 π t ) − 00007731614149 sin( 1620 π t ) − 6360312886 10 -5 sin( 2640 π t ) − 00001200032694 cos ( 2640 π t ) − 8389331586 10 -5 sin( 2580 π t ) (4.90) − 2286733070 10 -5 sin( 60 π t ) + 8127937134 10 -5 cos ( 60 π t ) + 1221319689 10 -5 sin( 120 π t ) + 3786855121 10-5 cos ( 120 π t ) + 7241875478 10-5 sin( 720 π t ) − 00002978000445 cos ( 720 π t ) − 2639746653 10 -5 sin( 780 π t ) − 0001031053970 cos ( 780 π t ) + 0004260906835 sin( 840 π t ) − 0002621259253 cos ( 840 π t ) + 00009284023830 sin( 900 π t ) + 00004992640456 cos ( 900 π t ) + 7279294180 10 -5 cos ( 960 π t ) + 00003117823579 sin( 960 π t ) − 00002324269315 sin( 1560 π t ) − 7375708757 10 -6 cos ( 1560 π t ) + 01201450437 Víi c¸c hƯ sè hàm kích động động học e(t) lớn hơn: e1 = 0.01 ( mm ) , e2 = 0.003 ( mm ) , α = π /3,α =π /4 ( rad ) , nhận đ ợc kÕt qu¶ nh sau: q( t ) := 00003674724600 cos ( 1620 π t ) − 0002838723336 cos ( 1680 π t ) − 0002699188256 sin( 1680 π t ) − 0001611917515 cos ( 1740 π t ) + 00004698875146 sin( 1740 π t ) − 00008132056164cos ( 2580 π t ) − 00006129699215 cos ( 2520 π t ) − 0001738351582 sin( 2520 π t ) − 00005510388136 sin( 2460 π t ) + 00004564869921 cos ( 2460 π t ) − 00001841112931 sin( 2400 π t ) + 8126183500 10 -5 cos ( 2400 π t ) + 9589764909 10-6 sin( 1800 π t ) − 00005190737521 cos ( 1800 π t ) − 0001546322830 sin( 1620 π t ) − 00001272062576 sin( 2640 π t ) − 00002400065385 cos ( 2640 π t ) − 00001677866320 sin( 2580 π t) − 4573466140 10-5 sin( 60 π t ) + 00001625587426 cos ( 60 π t ) (4.91) + 2442639382 10 -5 sin( 120 π t ) + 7573710239 10-5 cos ( 120 π t ) + 00001448375094 sin( 720 π t ) − 00005956000886 cos ( 720 π t ) − 5279493286 10 -5 sin( 780 π t ) − 0002062107940 cos ( 780 π t ) + 0004260906833 sin( 840 π t ) − 0002621259252 cos ( 840 π t ) + 0001856804767 sin( 900 π t ) + 00009985280910 cos ( 900 π t ) + 00001455858838 cos ( 960 π t ) + 00006235647158 sin( 960 π t ) − 00004648538627 sin( 1560 π t ) − 1475141753 10-5 cos ( 1560 π t ) + 01201450437 150 Hình 4.18 Đồ thị phần dao ®éng cđa sai sè trun ®éng lùc Trong thùc nghiƯm th ờng đo đ ợc phổ tần số Để so sánh, tính toán phổ tần số q&(t ) kết (4.90) (4.91) Hình 4.19 hình 4.20 biểu diễn kết t ơng ứng chúng Các kết phù hợp với kết thực nghiệm [66] biểu diễn hình 4.21 Về mặt thực nghiệm, th ờng quan tâm đến phần dao động sai số truyền động lực q(t) Hình 4.18 đồ thị đại l ợng biến đổi theo thời gian 4.3.4 Đánh giá kết tính toán Lời giải ph ơng trình vi phân (4.78) cã d¹ng: I K i =1 k =1 q (t ) = a0 + ∑ a i cos (i ω 1t + β i ) × ∑b k cos (k ω zt +γ k ) = a (t )b (t ) (4.92) Phỉ tÇn sè cđa q(t) cã đặc điểm: - Các thành phần tần số b(t) tần số ăn khớp điều hoà tần số ăn khớp Các tần số đặc tr ng cho kích động tham số (các điều hoà chính) - Các dải điều hoà phụ bao quanh điều hoàk ( z ) đặc tr ng cho hàm kích động e(t) Khi hệ số ei lớn lên, biên độ dải tăng lên t ơng ứng - Khoảng cách điều hoà phụ tần số quay bánh h hỏng, tr ờng hợp Các nhận xét hoàn toàn phù hợp với nghiên cứu thực nghiệm Nh nhờ mô hình dao động tham số ta giải thích đ ợc chế kích động dao động trình ăn khớp cặp bánh Trong thực tế ta dựa vào độ lớn dải điều hoà phụ khoảng cách đ ờng điều hoà phụ để chẩn đoán, đánh giá, định vị h hại bánh 151 [mm/s] 2.f z tần số ¨n khíp f z 3.fz 2f z - f z +f1 2f z - 2f 2f z + 2f [Hz] Hình 4.19 Phổ tần số củaq&(t ) theo (4.90) [mm/s] fz 2.f z 3.f z f1 f1 [Hz] Hình 4.20 Phổ tần số củaq&(t ) theo (4.91) fz tần số ăn khớp f z 3.fz f1 f1 [Hz] Hình 4.21 Phổ tần số củaq&(t ) theo thùc nghiƯm KÕt ln ViƯc øng dơng c¸c thành động lực học phi tuyến vào nghiên cứu vấn đề động lực học máy h ớng khoa học đ ợc quan tâm nghiên cøu ë Mü, §øc, Nga, Trung Quèc, Italia, Trong luận án áp dụng số ph ơng pháp lý thuyết dao động phi tuyến yếu mạnh với trợ giúp hệ ch ơng trình đại số computer MAPLE vào việc tính toán dao động phi tuyến số mô hình máy thiết bị Một số kết luận án Trình bày cách ngắn gọn việc áp dụng ph ¬ng ph¸p tham sè bÐ, ph ¬ng ph¸p tiƯm cËn với hỗ trợ ch ơng trình phần mềm MAPLE để tính toán dao động phi tun u cđa hƯ mét vµ nhiỊu bËc tù áp dụng tính toán mô hình dao động tự chấn tự chấn-c ỡng cắt gọt mô hình dao động tham số-c ỡng hệ rôto-móng máy Với trợ giúp MAPLE, nhiều trình tính toán phức tạp đà đ ợc tự động hoá Nhiều chế độ cộng h ởng đà đ ợc phát Mở rộng thuật toán tìm nghiệm tuần hoàn hệ ph ơng trình vi phân phi tuyến đà giải đạo hàm bậc hai ph ơng pháp IHB sang hệ ph ơng trình vi phân phi tuyến ch a giải đạo hàm bậc hai Đà trình bày thuật toán thuận tiện cho việc xác định nghiệm tuần hoàn cho lớp toán dao động phi tuyến mạnh dựa phần mềm MAPLE Việc khảo sát ổn định nghiệm tuần hoàn đ ợc khảo sát kỹ Các kết cho phép áp dụng ph ơng pháp IHB tìm nghiệm tuần hoàn nhiều toán kỹ thuật áp dụng ph ơng pháp IHB tính toán dao động tự kích dao động tự kích-c ỡng phi tuyến mạnh mô hình tải trọng băng tải, mô hình dao động phổ biến ngành khí Nhờ ph ơng pháp IHB xác định chế độ tuần hoàn hệ Các kết tính toán ph ơng pháp phù hợp với kết tính toán ph ơng pháp tích phân số Danh mục công trình tác giả Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu (1997), "Về toán tự chấn hệ hai bậc tự do", Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 6, Hà Néi, tr 98-105 Thai Manh Cau, Nguyen Van Khang (2001), "Some Problems of Self-Excited Oscillations of Metal Cutting Processes", Proceedings of the National Conference "Vibration in Engineering" 1, Vietnam National University Publishers, pp 46-61 Thái Mạnh Cầu, Nguyễn Văn Khang (2002), "Tính toán dao động tự kích tự kích c ỡng tải trọng băng tải ph ơng pháp cân điều hòa gia l ợng", Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 7, Hà Nội, tr 107-116 Thai Manh Cau, Nguyen Van Khang (2002), "On the Interaction between SelfExcited and Forced Oscillations", Vietnam Journal of Mechanics, 24 (2) , pp 73-83 Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau (2004), "Nonlinear Vibrations of RotorFoundation System", Proceeding of the International Symposium on Dynamics and Control, Vietnam National University Publishing House, pp 71-83 Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau (2004), "Calculating Periodic Vibrations of Multi-Degree-of-Freedom Nonlinear Autonomous Systems with the Incremental Harmonic Balance Method", Vietnam Journal of Mechanics, 26(3) Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau (2004), "Calculating Stationary Nonlinear Vibrations of Machines with the Incremental Harmonic Balance Method", Proceeding of the National Mechanical Conference/Dynamic Engineering, Hanoi, Vietnam Academy of Science and Technology, pp.135-146 Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau, Nguyen Phong Dien (2004), "Modelling Parametric Vibration of Gear-Pair Systems as a Tool for Aiding Gear Fault Diagnosis", Technische Mechanik, Hefte 3-4, pp 198-205 153 áp dụng ph ơng pháp IHB tính toán dao động tham số-c ỡng phi tuyến mô hình rôto-móng máy mô hình máy khâu Ph ơng trình vi phân mô tả dao động hai mô hình học hệ hai ph ơng trình vi phân phi tuyến cấp hai với hệ số tuần hoàn Các kết tính toán cho thấy dao động phi tuyến hệ học hai bậc tự dao động đơn tần Ph ơng pháp IHB cho phép xác định chế độ dao động đa tần cách thuận tiện Các ph ơng pháp cổ điển tr ớc khó xác định chế độ dao động đa tần hệ phi tuyến Trình bày mô hình hai bËc tù dao ®éng tù kÝch-c ìng bøc phi tuyến cắt trực giao Đà tiến hành tính toán mô số mô hình dao động phần mềm MAPLE Các kết tính toán t ơng đối phức tạp, phù hợp với số kết tác giả khác n ớc Các kết tính toán chẩn đoán h hỏng bánh tr ớc th ờng sử dụng mô hình dao động tuyến tính hệ số số, nhiều kết tính toán không phù hợp với kết thực nghiệm Trong luận án đà áp dụng ph ơng pháp cân điều hoà tính toán mô hình dao động tham số-c ỡng hệ bánh Các kết tính toán phù hợp với kết thực nghiệm Với mô hình dao động tham số, kết tính toán góp phần vào việc chẩn đoán h hỏng bánh Các thuật toán nêu luận án gợi ý cho kỹ s để họ sử dụng hệ ch ơng trình MAPLE tính toán nghiệm tuần hoàn nhiều mô hình dao động máy thiết bị cách t ơng đối dơn giản, góp phần tính toán thiết kế máy Các kết tính toán thu đ ợc luận án đóng góp nhỏ vào việc nghiên cứu dao động phi tuyến mạnh hệ nhiều bậc tự Với ph ơng pháp tính toán này, trả lời câu hỏi áp dụng ph ơng pháp lý thuyết dao động phi tuyến yếu, phải sử dụng ph ơng pháp dao động phi tuyến mạnh Câu giải đáp phụ thuộc vào lớp toán cụ thể 154 Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu Tính toán dao động phi tuyến mạnh mô hình máy thiết bị vấn đề khoa học mẻ khó khăn Do nhiều vấn đề tiếp tục nghiên cứu - Dao động phi tuyến đa tần máy va-rung, hệ rôto, máy công tác - Dao động phi tuyến đa tần ôtô, động cơ, máy bay, tàu hoả - áp dụng lý thuyết rẽ nhánh, lý thuyết dạng chuẩn phi tuyến, lý thuyết đa tạp trung tâm nghiên cứu động lực học máy phi tuyến - Dao động hỗn loạn máy thiết bị ... để tính toán số mô hình dao động phi tuyến máy thiết bị Mục tiêu luận án xây dựng thuật toán để áp dụng ph ơng pháp đà biết dao động phi tuyến sở sử dụng phần mềm đại số computer MAPLE giải toán. .. tích đà biết tính toán dao động phi tuyến yếu 4 1.1 Các ph ơng pháp tính toán dao động hệ phi tuyến yếu Khi nghiên cứu dao động phi tuyến máy, th ờng gặp hệ ph ơng trình vi phân phi tuyến Tr êng... BáCH H KHOA Hà NộI ỉỉỉ thái mạnh cầu tính toán da dao o động phi tuyến Của số mô hình máy thiết bị ph phần ần mềm MAPle Chuyên ngành: Mà số: Động lực học độ bền máy 2.01.03 luận án tiến sỹ kỹ thuật