Tính toán dao động phi tuyến của một số mô hình máy và thiết bị bằng phần mềm maple

bộ giáo dục đào tạo tRƯờNG ĐạI HọC BáCH KHOA Hà NộI ỉỉỉ thái mạnh cầu tính toán dao động phi tuyến Của số mô hình máy thiết bị phần mềm MAPle luận án tiến sỹ kỹ thuật Hà nội - 2004 giáo dục đào tạo tRƯờNG ĐạI HọC BáCH KHOA Hà NộI ỉỉỉ thái mạnh cầu tính toán dao động phi tuyến Của số mô hình máy thiết bị phần mềm MAPle Chuyên ngành: Mà số: Động lực học ®é bỊn m¸y 2.01.03 ln ¸n tiÕn sü kü tht Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Khang Hà nội - 2004 Mục lục Trang Mở đầu i Chương Tính toán dao động phi tuyến yếu phương pháp nhiễu động 1.1 Các phương pháp tính toán dao động hệ phi tun u 1.1.1 BiÕn ®ỉi hệ phương trình vi phân phi tuyến yếu dạng toạ độ 1.1.2 áp dụng phương pháp trung bình hoá tính toán dao động hệ phi tuyÕn yÕu 1.1.3 áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động hệ phi tuyến yếu 10 1.1.4 áp dụng phương pháp tham số bé tính toán dao ®éng cđa hƯ phi tun u 17 1.2 Sö dụng MAPLE tính toán dao động số hệ 20 1.2.1 Tính toán dao động c­ìng bøc phi tun cđa hƯ hai bËc tù 21 1.2.2 Tính toán dao động tham số phi tun cđa hƯ hai bËc tù 26 Ch­¬ng Tính toán dao động phi tuyến mạnh phương pháp cân điều hòa gia lượng 32 2.1 Phương pháp cân điều hòa gia lượng hệ ôtônôm 33 2.1.1 Thành lập công thức tính toán 33 2.1.2 ThÝ dơ ¸p dông 38 2.2 Phương pháp cân điều hòa gia lượng hệ không ôtônôm 47 2.2.1 Thành lập công thức tính toán 47 2.2.2 ThÝ dơ ¸p dơng 51 ii 2.3 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 57 2.3.1 ổn định nghiệm tuần hoàn hệ ôtônôm 57 2.3.2 ổn định nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm 64 Chương Tính toán dao động tù kÝch vµ tù kÝch-c­ìng bøc phi tun cđa mét số mô hình máy thiết bị 68 3.1 Tính toán dao động tự kích tự kích-cưỡng phi tuyến mô hình tải trọng băng tải 69 3.1.1 Phương trình vi phân dao động mô hình tải trọng băng tải 69 3.1.2 Khảo sát dao động phi tuyến yếu hệ phương pháp trung bình hoá 71 3.1.3 Khảo sát dao động phi tuyến mạnh hệ phương pháp cân điều hòa gia lượng 76 3.2 TÝnh to¸n dao động tự kích tự kích-cưỡng phi tuyến số mô hình dao động trình cắt gọt kim loại 87 3.2.1 Dao động số hệ cắt gọt kim loại bËc tù 87 3.2.2 Dao ®éng cđa hệ hai bậc tự trình cắt gọt 97 Chương Tính toán dao động tham số-cưỡng phi tuyến số mô hình máy thiết bị 108 4.1 Dao ®éng tham sè-c­ìng bøc phi tun cđa hệ rôto-móng máy 109 4.1.1 Thành lập phương trình vi phân dao động hệ rôto-móng máy 109 4.1.2 Tính toán dao động hệ rôto-móng máy phương pháp Poincaré 112 4.1.3 Tính toán dao động hệ rôto-móng máy phương pháp cân điều hòa gia lượng 123 iii 4.2 Dao động tham số-cưỡng phi tuyến máy khâu 130 4.2.1 Thành lập phương trình vi phân dao động hệ dao động máy khâu 130 4.2.2 TÝnh to¸n dao động tuần hoàn hệ phương pháp cân điều hòa gia lượng 132 4.3 Dao ®éng tham sè-c­ìng bøc truyền bánh 141 4.3.1 Các hiệu ứng động lực trình ăn khớp 141 4.3.2 Thành lập phương trình vi phân dao động truyền bánh 144 4.3.3 Tính toán dao động tham số-cưỡng 147 4.3.4 Đánh giá kết tính toán 150 KÕt luËn 152 Danh mục công trình tác giả 154 Tài liệu tham khảo 155 Phô lôc I Më đầu Nhiệm vụ dao động máy vận dụng kiến thức lý thuyết dao động nghiên cứu vấn đề riêng biệt ngành khí Do việc tăng liên tục tốc độ làm việc xu hướng giảm trọng lượng máy, nên vấn đề động lực học máy nói chung dao động máy nói riêng trở nên quan trọng Các toán dao động tuyến tính ngành khí đà trình bày giáo trình đại học sách chuyên khảo [3], [9]-[11], [55], [65], [67], [68], [70], [72], [75], [77], [88] NhiỊu hƯ ch­¬ng trình tính toán dao động cân máy đà giới thiệu tài liệu Ngay từ nửa đầu kỷ 20, nhiều nhà khoa học đà quan tâm nghiên cứu toán dao động ổn định hệ phi tuyến yếu [4], [17], [18], [21], [30], [37]-[43], [49], [53], [77], [78], [84]-[86], [88] Các nghiên cứu hệ phi tuyến yếu bậc tự đà có kết rực rỡ Tuy nhiên việc tính toán dao động hệ phi tuyến u cđa hƯ nhiỊu bËc tù nhiỊu ph¶i dựa vào nguyên lý đơn tần, nguyên lý thiếu sở khoa học chặt chẽ Nhờ phát triển tin học, phương pháp tính toán dao ®éng phi tun m¹nh cđa hƯ nhiỊu bËc tù nói riêng, tính toán động lực học phi tuyến nói chung đà nghiên cứu nhiều vòng 30 năm trở lại Các nhà toán học đà thu nhiều kết đặc sắc lĩnh vực khoa học Nhiều kết lý thuyết rẽ nhánh, lý thuyết ổn định phi tuyến, lý thuyết dạng chuẩn phi tuyến đa tạp trung tâm, chuyển động hỗn loạn v v đà công bố Một loạt phương pháp tìm nghiệm tuần hoàn hệ phi tuyến mạnh phương pháp bắn (shooting method), phương pháp sai phân hữu hạn (finite-difference method), phương pháp ánh xạ Poincaré (Poincaré map method), phương pháp cân điều hoà gia lượng (incremental harmonic balance method), phương pháp ánh xạ ô (cell mapping method) v v đà nghiªn cøu [41], [44], [50], [52], [54], [57]-[59], [76], [82], [83] Việc ứng dụng kết nhà toán học vào hệ vật lý hệ học triển khai chậm Năm 1992 kỷ niệm 80 năm ngày sinh GS Magnus, nhà khoa häc lín lÜnh vùc §éng lùc häc ë kỷ 20, phát biểu hướng Động lực học, F Pfeifer, Chủ tịch Hội Toán học ứng dụng Cơ học (GAMM), Giáo sư trường Đại học Tổng hợp kỹ thuật Mỹnchen, có cho việc tính toán toán dao động máy phi tuyến hướng cần quan tâm lĩnh vực động lực học Trong luận án này, sâu nghiên cứu việc sử dụng phần mềm MAPLE để hỗ trợ việc áp dụng phương pháp giải tích gần (phương pháp tham số bé, phương pháp trung bình hoá, ) phương pháp số có ý đến tính chất giải tích (phương pháp cân điều hòa gia lượng) để tính toán số mô hình dao động phi tuyến máy thiết bị Mục tiêu luận án xây dựng thuật toán để áp dụng phương pháp đà biết dao động phi tuyến sở sử dụng phần mềm đại số computer MAPLE giải toán dao động phi tuyến tuần hoàn kỹ thuật Đây hướng nghiên cứu mới, phù hợp với hoàn cảnh cụ thể nước ta Trong chương 1, trình bày cách ngắn gọn thuật toán phương pháp tham số bé, phương pháp trung bình hoá, phương pháp tiệm cận, sở sử dụng phần mềm đại số computer MAPLE để tính toán dao động phi tuyến Trong chương trình bày mở rộng phương pháp cân điều hòa gia lượng tìm nghiệm tuần hoàn hệ phương trình vi phân chưa giải đạo hàm cấp hai Chương trình bày việc áp dụng phương pháp trung bình hoá, phương pháp cân điều hòa gia lượng phương pháp mô số tìm nghiệm tuần hoàn số mô hình dao động tự kích tự kích-cưỡng máy Chương trình bày việc áp dụng phương pháp tham số bé, phương pháp cân điều hoà, phương pháp cân điều hòa gia lượng phương pháp mô số tìm nghiệm tuần hoàn số mô hình dao động tham số-cưỡng máy thiết bị Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS TSKH Nguyễn Văn Khang, người thầy hướng dẫn khoa học đà tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả mặt suốt thời gian thực luận án Xin trân trọng cám ơn Trung tâm Đào tạo Bồi dưỡng sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đà giúp đỡ, tạo điều kiện mặt để luận án hoàn thành hạn Xin chân thành cám ơn thầy, bạn bè, đồng nghiệp đà quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả nhiều mặt để luận án hoàn thành Chương Tính toán dao động phi tuyến yếu phương pháp nhiễu động Các phương pháp tính toán dao động hệ phi tuyến yếu đà nhiều nhà học toán học nghiên cứu phát triển mạnh mẽ từ nửa đầu kỷ 20 Đó phương pháp tham số bé [85], phương pháp trung bình hoá, phương pháp tiệm cận [5], [37], [38], [84], phương pháp đa thang [42], [43], phương pháp cân điều hòa Việc áp dụng phương pháp tính toán giải tích thường phức tạp, tốn nhiều công sức hay mắc lỗi tính toán Với phát triển nhanh chóng tin học, nhiều phần mềm đa đà đưa vào sử dụng để trợ giúp tính toán toán học, học ngành khác kỹ thuật MATHEMATICA, MAPLE Nhờ sử dụng khả tính toán symbolic phần mềm này, khó khăn tính toán giải tích phức tạp tính toán số giảm nhẹ đơn giản [45] Chương trình bày phương pháp trung bình hoá, phương pháp tham số bé, phương pháp tiệm cận để tính toán dao động hệ phi tuyến yếu bậc tự nhiều bậc tự có số hạng quán tính phi tuyến với trợ giúp chương trình MAPLE Các kết chương nguyên lý mà trình bày khả áp dụng phần mềm MAPLE để giải vấn đề cũ cách thuận tiện nhanh chóng, tạo điều kiện cho khả áp dụng dễ dàng việc sử dụng phương pháp giải tích đà biết tính toán dao động phi tuyến yếu 1.1 Các phương pháp tính toán dao động hệ phi tuyến yếu Khi nghiên cứu dao động phi tuyến máy, thường gặp hệ phương trình vi phân phi tuyến Trường hợp hệ có tính chất phi tuyến yếu cản nhỏ, phương trình vi phân chuyển động hệ cã d¹ng: &&+ Cq = f (t ) + ε G (t , q, q&& Mq , q&) , ®ã q = [q1 L (1.1) q N ] lµ toạ độ suy rộng hệ, M, C tương ứng ma T trận khối lượng, ma trận độ cøng cđa hƯ, f (t ) ∈ ¡ chu kú 2π , ε > lµ tham sè bÐ, G Ă N N hàm véctơ tuần hoàn t hàm véctơ tuần hoàn t chu kỳ hàm giải tích đối số lại Trường hợp G phụ thuộc hiển vào & q&, (1.1) gọi hệ phương trình vi phân có số hạng quán tính phi tuyến, trường hợp ngược lại (1.1) gọi hệ phương trình vi phân số hạng quán tính phi tuyến Sau nêu phương pháp biến đổi (1.1) dạng toạ độ phương pháp nhiễu động tính toán dao động hệ (1.1) 1.1.1 Biến đổi hệ phương trình vi phân phi tuyến yếu dạng toạ độ Chúng ta thường gặp hệ học có ma trận M, C ma trËn thùc, ®èi xøng Khi ®ã sư dơng phÐp ®ỉi biÕn: q = Vp , ®ã V = [ v1 L (1.2) v N ] ma trận dạng riêng, v1 , , v N dạng riêng, p toạ độ Thế (1.2) vào (1.1), nhân bên trái với VT , ta có: , p&) , Dµ & p&+ Dγ p = h (t ) + ε F (t , p, p&& (1.3) T ®ã D µ V= = MV, Dγ VT CV, T ( ) &&) = h (t ) V= f t , F (t , p, p&& , p&) VT G (t , Vp, Vp&, Vp Dạng thành phần (1.3) lµ: p&&i + ω i2 p i = hi (t ) + ε Fi (t , p k , p&k , p&&k ) , (i , k = 1, , N ) (1.4) ®ã:= ω i2 γi = , µ i vTi Mv= vTi Cv i , i , γi µi = hi (t ) µi = vTi f (t ) , Fi T = v i G, ( i 1, , N ) µi Như hệ (1.1) đà chuyển dạng (1.4), với vế trái tách biến 1.1.2 áp dụng phương pháp trung bình hoá tính toán dao động hÖ phi tuyÕn yÕu 1) HÖ mét bËc tù có số hạng quán tính phi tuyến Khảo sát hệ dao động phi tuyến yếu, phương trình vi phân chuyển ®éng cã d¹ng [25]: x&&+ ω x = h ( Ωt ) + εG ( Ωt , x , x&, x&&) , (1.5) ®ã h ( Ωt ) , G ( Ωt , x , x&, x&&) lµ hàm tuần hoàn t, chu kỳ / , > tham số bé Đưa vào biến thời gian không thứ nguyên = t / m , với m số nguyên Ω d d Ω2 d d Chó = ý , phương trình (1.5) viết lại d¹ng: = , dt m d τ dt m d τ x ′′ + λ= x f ( mτ ) + ε F ( mτ , x , x ′, x ′′ ) , (1.6) m2 ( ) m2 dx d 2x ω  ( ) trong= ®ã x ′ = = f m τ = h m τ , F G λ , x ′′ = , m ,   dτ Ω Ω2 Ω2 dτ NÕu λ ≈ n , víi n số tự nhiên đó, n Ω / m , hÖ xuÊt hiÖn céng h­ëng NÕu λ ≠ n , hƯ kh«ng xuất cộng hưởng a) Trường hợp cộng hưởng Đặt λ n (1 − εα ) , ®ã độ lệch tần số, phương trình (1.6) trở thµnh: = x ′′ += n x f ( mτ ) + εΦ ( mτ , x , x ′, x ′′ ) , ®ã Φ= F + n 2α x Gi¶ sư cã khai triĨn Fourier: a Sư dơng phÐp ®ỉi biÕn: ∞ f ( mτ ) = + ∑ (a j cos jmτ + b j sin jmτ ) j =1 (1.7) 141 4.3 Dao động tham số-cưỡng truyền bánh Bộ truyền bánh sử dụng phổ biến thiết bị khí, nhằm mục đích truyền dẫn, biến đổi vận tốc góc, mô men hướng trục quay Việc nghiên cứu hiệu ứng động lực dao động truyền bánh đà biết đến từ năm 50 kỷ trước nay, toán xây dựng mô hình dao động truyền trình ăn khớp vấn đề thời Mục trình bày dao động tham số truyền bánh răng, bao gồm giới thiệu hiệu ứng động lực trình dao động, thành lập phương trình vi phân dao động, tính toán dao động tham số-cưỡng số nhận xét 3.3.1 Các hiệu ứng động lực trình ăn khớp 1) Cơ chế phát sinh dao động Trong nhiều tài liệu chuyên khảo [12], [22], [23], [46], [60], [61], [66] tác giả ®· ®­a mét sè d¹ng kÝch ®éng dao ®éng trình ăn khớp sau: - Các nguồn kích động bên ngoài: biến đổi ngẫu lực phát động lực công nghệ, biến đổi vận tốc góc trục dẫn trục bị dẫn Những thay đổi yếu tố công nghệ, kỹ thuật gây (ví dụ động đốt trong) - Các nguồn kích động bên trong: nguyên nhân sau: a) Sự thay đổi độ cứng ăn khớp theo thời gian c z (t ) số tham gia vào trình ăn khớp thay đổi theo thời điểm (ví dụ cặp bánh thẳng có cặp cặp ăn khớp) Dạng kích động tham số Kích động tham số tồn bánh xác không bị hư hại b) Các kích động lỗi (lỗi chế tạo: lỗi bước răng, lỗi dạng răng, lệch tâm) hư hại bề mặt thân (mòn, tróc mỏi, nứt chân răng, mẻ đỉnh răng) c) Va chạm bề mặt biến dạng uốn thân tác dụng tải trọng (va chạm ăn khớp) d) Lực ma sát bề mặt ăn khớp (thường nhỏ so với dạng khác) Trong dạng kích động a) b) bản, chúng đối tượng nghiên cứu số tài liệu chuyên khảo phục vụ cho chẩn đoán 142 - Cơ chế phát sinh dao động sau: Giữa cặp tham gia vào trình ăn khớp xuất lực (lực ăn khớp) Về chất, lực ăn khớp hình thành ngẫu lực tải trọng công nghệ đặt lên hệ Trong thực tế, lực ăn khớp động sinh số nguyên nhân kích động nêu lớn nhiều lực ăn khớp tĩnh Lực ăn khớp động truyền dẫn đến ổ đỡ tạo phản lực động gối đỡ dao động vỏ hộp số 2) Độ cứng ăn khớp Tỷ số lực ăn khớp lượng biến dạng tổng cộng cặp ăn khớp theo phương đường ăn khớp gọi độ cứng ăn khớp (mesh stiffness) Như số cặp tham gia ăn khớp biến đổi, độ cứng ăn khớp biến đổi theo Đối với cặp bánh thẳng, số cặp ăn khớp thay đổi từ cặp cặp cặp Đối với cặp bánh nghiêng cặp cỈp → cỈp hc cỈp → cặp cặp tuỳ theo góc nghiêng Do nghiêng, thay đổi c z (t ) thẳng cz (t) thẳng cz (t) nghiêng c0 c0 Tz Tz t t Hình 4.15 Độ cứng ăn khớp loại bánh Nếu vận tốc góc bánh , không đổi, c z (t ) hàm tuần f = hoàn víi chu kú = T z f z , (= f z f= f z ) , = ω 2π lµ 1z 1 2π , f tần số quay bánh, z , z : số bánh Tần số f z gọi tần số ăn khớp Hàm c z (t ) khai triển thành chuỗi Fourier: K K K ) ) c z (t ) ≈ c + ∑ c k cos k ω z t + ∑ s k sin k ω z t = c + ∑ c k cos ( k ω z t + ϕ k ) , = k 1= k ®ã ω z = 2π f z = k (4.74) 143 - Độ cứng ăn khớp trung bình c xác định thực nghiệm Cho ngẫu lực số tác dụng lên hai bánh răng, từ biến dạng đo theo phương đường ăn khớp, tính c - Độ cứng ăn khớp c z (t ) tính toán nhờ số công cụ phần mềm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn [64], kích thước hình học tham số vật liệu cặp bánh phải khai báo cách xác Từ mô hình phần tử hữu hạn, ma trận độ mềm xác định dựa ba yếu tố: biến dạng uốn thân răng, biến dạng tiếp xúc bề mặt biến dạng xoắn thân Việc tính toán thực với điểm ăn khớp đường ăn khớp cho ta kết giá trị c z (t ) theo thêi gian KÝch ®éng tham số thay đổi độ cứng ăn khớp có ảnh hưởng lớn ứng xử động lực học truyền bánh Vì lý đó, ăn khớp nghiêng thường tạo dao động yếu dao động ăn khớp thẳng 3) ảnh hưởng lỗi hư hỏng với dao động ăn khớp Khái niệm lỗi hư hỏng hiểu sau: - Lỗi ăn khớp độ lệch ăn khớp, lỗi sinh chế tạo lắp ráp thường phân bố toàn (ví dụ: sai lệch biên dạng, sai số bước răng, ) - Hư hỏng (gọi tắt hỏng) thay đổi chi tiết trình làm việc yếu tố môi trường gây Theo tiêu chuẩn CHLB Đức 3979, có tất có 27 dạng hỏng khác bánh Về phương diện nghiên cứu dao động, chia dạng hỏng thành nhóm chính: Hư hỏng phân bố: mài mòn bề mặt răng, tróc mỏi bề mặt Nhóm sinh bé trun lµm viƯc mét thêi gian dài Dạng hỏng phân bố làm thay đổi bước nguồn dao động kích động trình ăn khớp Hư hỏng cục bộ: hư hỏng xảy vài nứt gÃy chân răng, mẻ đỉnh Nguyên nhân truyền làm việc tải, khuyết tật vật liệu không đủ điều kiện bôi trơn Dạng hỏng cục làm thay đổi 144 độ cứng ăn khớp cách đột ngột gây va chạm ăn khớp Các xung va chạm kích động dao động riêng chi tiết xung quanh thân bánh răng, trục vỏ hộp số Như vậy, cách đo dao động vỏ hộp số ta xác định nguyên nhân sinh dao động trình ăn khớp 4.3.2 Thành lập phương trình vi phân dao động truyền bánh Như đà phân tích mục 4.3.1, dao động sinh va chạm ăn khớp từ nguyên nhân hư hỏng cục nhận dạng thành phần dao động riêng tắt dần tín hiệu dao động đo Tuy nhiên, chế kích động hư hỏng phân bố tương đối phức tạp Mô hình dao động ăn khớp (meshing vibration) nhằm mục đích giải thích điều Mô hình dao động truyền bánh biểu diễn hình 4.16 Hệ khảo sát bao gồm cặp bánh ăn khớp chịu t¸c dơng cđa c¸c ngÉu lùc M (t ) M (t ) chế độ bình ổn, bánh quay với vận tốc góc ω1 , ω : = ω1 π n1 , ω2 = 30 π n2 30 , ®ã n1 , n vận tốc góc (vg/ph) bánh M2(t) bánh dẫn J1, z1 rb1 M1(t) cz(t) e(t) rb2 dz đường ăn khớp J2, z2 bánh bị dẫn Hình 4.16 Mô hình dao động truyền bánh 145 Do có kích động đó, hệ xuất dao động Chọn , góc quay bánh răng; rb , rb bán kính vòng lăn bánh Tính chất đàn hồi cản cặp tham gia vào trình ăn khớp mô hình lò xo cã ®é cøng thay ®ỉi c z (t ) giảm chấn với hệ số cản d z = const hướng theo đường ăn khớp Mô hình sử dụng nhiều tài liệu nghiên cứu [46], [60] ảnh hưởng hư hỏng lỗi phân bố dao động trình ăn khớp đặc trưng hàm kích động e(t) (kích động động học) theo hướng đường ăn khớp Động năng, hàm hao tán hệ là: = T = Π = Φ J 1ϕ&12 + 12 J 2ϕ&22 , (t )  rb 1ϕ1 + rb 2ϕ2 + e (t ) & & &   + + d r ϕ r ϕ e t ) ( z b b 1 2   , c z (4.75) , J , J mô men quán tính hai bánh trục quay chúng Trường hợp lực suy rộng lực không là: * = Q * M = M (t ) (t ) , Q (4.76) Thay vào phương trình Lagrange loại 2, nhận phương trình vi phân mô tả dao động tham số truyền: J 1&&1 + rb 1c z (t )  rb 1ϕ1 + rb 2ϕ + e (t )  + rb 1d z  rb 1ϕ&1 + rb 2ϕ&2 + e&(t )  = M (t ) , J 2ϕ&&2 + rb 2c z (t )  rb 1ϕ1 + rb 2ϕ + e (t )  + rb 2d z  rb 1ϕ&1 + rb 2ϕ&2 + e&(t )  = M (t ) (4.77) §­a vào toạ độ = q rb 11 + rb 2 , phương trình (4.77) đưa dạng: m tg q&&+ c z (t ) q + d z q&= F (t ) − c z (t ) e (t ) − d z e&(t ) , ®ã m tg =  M (t ) rb M (t ) rb J 1J = F t m + , ( ) tg   J1 J2 J rb21 + J rb22  (4.78)    (4.79) 146 Chó ý q(t) lượng biến dạng tương đối bánh theo phương đường ăn khớp, gọi sai số truyền động (dynamic transsmision error) [46] Bây phân tích thành phần phương trình (4.78) - Lực kích động F(t) theo công thức (4.79) khó xác định thực tế M1 M2 phụ thuộc vào , , &1 , &2 Bởi vậy, để đơn giản hoá việc tính toán F(t) ta giả thiết sau [29]: Giả sử truyền hoạt động trạng thái bình ổn & = = const , & = ω= const 1 2 Do c ? c k ( k = 1, K ) cản yếu nên ta có c z (t ) ≈ c , d z ≈ Khi ®ã sai số truyền động q(t) biểu diễn dạng: q (t ) ≈ q = const , (4.80) q0 gọi sai số truyền dẫn tĩnh Đó lượng biến dạng tổng cộng theo phương đường ăn khớp cặp bánh ăn khớp tải trọng không đổi Thế (4.80) vào (4.78) ta cã: F (t ) ≈ F0 (t ) =c 0q + c 0e (t ) (4.81) - Hàm kích động e(t) xuất lỗi ăn khớp Các lỗi ăn khớp có nguyên nhân sai lệch bước răng, sai lệch biên dạng thường phân bố không biên dạng Nếu ta giả thiết bánh dẫn xuất hư hỏng phân bố, bánh làm việc tải trọng đủ lớn (không có khe hở ăn khớp) với vận tèc gãc ω1 , ®ã kÝch ®éng sai lệch bước lặp lại theo tần sè quay f = ω1 2π Nh­ vËy e(t) hàm tuần hoàn có chu kỳ T = f vµ cã thĨ biĨu diƠn d­íi dạng chuỗi Fourier: I e (t ) e i cos ( i ω1t + α i ) , (4.82) i =1 hệ số ei đặc tr­ng cho møc ®é h­ háng (khi ei = hệ có kích động tham số) Tóm lại, vế phải phương trình (4.78) viết lại dạng: g (t )= F (t ) − c z (t ) e (t ) − d z e&(t ) ≈ c 0q + c − c z (t )  e (t ) − d z e&(t ) K I = c 0q − ∑ c k cos ( k ω z t + ϕ k ) × ∑ e i cos ( i ω1t + α i ) − d z e&(t ) = k =i (4.83) 147 4.3.3 Tính toán dao động tham số-cưỡng Xét phương trình vi phân dao động truyền bánh răng: m tg q&&+ c z (t ) q + d z q&= g (t ) , (4.84) ®ã g (t ) = c 0q + c − c z (t )  e (t ) − d z e&(t ) (4.85) Nhiều tài liệu kỹ thuật cho thấy thành phần ®iỊu hoµ bËc cao khai triĨn Fourier cđa ®é cứng ăn khớp c z (t ) hàm kích động động học e(t) nhỏ nhiều so với vài ba điều hoà đầu Để tránh tính toán phức tạp, lấy số hạng công thức độ cứng ăn khớp c z (t ) : 3 ) ) c z (t ) = c + ∑ c k cos ( k ω z t + γ k ) = c + ∑ (c k cos k ω z t + s k sin k ω z t ) , (4.86) = k 1= k ®ã ω z = z 1ω1 lấy số hạng hàm kích động e(t): = e (t ) ∑e k cos ( k ω1t + α k ) (4.87) k =1 Thay thÕ (4.86) vµ (4.87) vµo (4.85) ta cã: g (t ) = c 0q + d z e1ω1 sin (ω1t + α1 ) + 2d z e 2ω1 sin ( 2ω1t + α ) e1 ) ) − ∑ c k cos ( kz − 1) ω1t − α1  + s k sin ( kz − 1) ω1t − α1  k =1 ) ) + c k cos ( kz + 1) ω1t + α1  + s k sin ( kz + 1) ω1t + α1  { } − e2 (4.88) ∑{c k cos ( kz − )ω1t − α  + s k sin ( kz − )ω1t − α  ) ) k =1 } ) ) + c k cos ( kz + ) ω1t + α  + s k sin ( kz + ) ω1t + α  Chúng ta sử dụng phương pháp cân điều hoà để giải phương trình (4.84) Từ dạng hàm c z (t ) g (t ) , tìm nghiƯm xÊp xØ d­íi d¹ng: 3 q (t ) = a0 + ∑ (ak cos k ω1t + b k sin k ω1t ) + ∑ akz −2 cos( kz − 2)ω1t k 1= k = +b kz −2 sin( kz − 2)ω1t + akz −1 cos( kz − 1)ω1t + b kz −1 sin( kz − 1)ω1t +akz cos( kz )ω1t + b kz sin( kz )ω1t + akz +1 cos( kz + 1)ω1t + b kz +1 sin( kz + 1)ω1t + akz +2 cos( kz + 2)ω1t + b kz +2 sin( kz + 2)ω1t (4.89) 148 cz(t) [N/m] Góc trục bánh dẫn [ ] Hình 4.17 Độ cứng ăn khớp sử dụng tính toán Thay (4.88) (4.89) vào phương trình (4.84) cân hệ số điều hoà giống nhau, nhận hệ 35 phương trình đại số ẩn: a0 , a1 ,b1 , a2 ,b2 , ., akz −2 ,b kz −2 , , akz +2 ,b kz +2 Sư dơng c¸c tham sè [66]: J1= 9.3×10-2 (kgm2), J2 = 0.272 (kgm2), rb1= 30.46 (mm), rb2= 84.86 (mm), z1 =14, z2 =39, n1= 1800 (vg/ph), mtg = 7.92 (kg), dz= 5000 (kg/s) Sư dơng phÇn mềm LVR [64], độ cứng ăn khớp cặp bánh vị trí ăn khớp bình thường có dạng hình 4.17 Các hệ số công thức (4.86) là: c0 = 8.04ì108, c1 = 0.304ì108, c2 = 0.185ì108, c3 = 0.050ì108 (N/m) Các góc pha tương ứng lµ: γ1 = 1.02, γ2 = - 0.72, γ3 = - 0.93 (rad) Biến dạng tĩnh q0 = 1.2ì10-5 (m), lực tĩnh c0q0 = 9650.4 (N) Thực tính toán chương trình MAPLE Chọn hệ số hàm kích động động häc e(t) (4.87) nh­ sau: e1 = 0.005 ( mm ) , e = 0.0015 ( mm ) , α1 = π /3, α = π /4 ( rad ) , có kết sau đây: 149 q ( t ) := 00001837362300 cos ( 1620 π t ) − 0002838723338 cos ( 1680 π t ) − 0002699188258 sin( 1680 π t ) − 00008059587578 cos ( 1740 π t ) + 00002349437573 sin( 1740 π t ) − 00004066028081 cos ( 2580 π t ) − 00006129699221 cos ( 2520 π t ) − 0001738351582 sin( 2520 π t ) − 00002755194068 sin( 2460 π t ) + 00002282434961 cos ( 2460 π t ) − 9205564652 10-5 sin( 2400 π t ) + 4063091752 10-5 cos ( 2400 π t ) + 4794882458 10-6 sin( 1800 π t ) − 00002595368758 cos ( 1800 π t ) − 00007731614149 sin( 1620 π t ) − 6360312886 10-5 sin( 2640 π t ) − 00001200032694 cos ( 2640 π t ) − 8389331586 10-5 sin( 2580 π t ) (4.90) − 2286733070 10-5 sin( 60 π t ) + 8127937134 10-5 cos ( 60 π t ) + 1221319689 10-5 sin( 120 π t ) + 3786855121 10-5 cos ( 120 π t ) + 7241875478 10-5 sin( 720 π t ) − 00002978000445 cos ( 720 π t ) − 2639746653 10-5 sin( 780 π t ) − 0001031053970 cos ( 780 π t ) + 0004260906835 sin( 840 π t ) − 0002621259253 cos ( 840 π t ) + 00009284023830 sin( 900 π t ) + 00004992640456 cos ( 900 π t ) + 7279294180 10-5 cos ( 960 π t ) + 00003117823579 sin( 960 π t ) − 00002324269315 sin( 1560 π t ) − 7375708757 10-6 cos ( 1560 π t ) + 01201450437 Víi c¸c hƯ sè hàm kích động động học e(t) lớn hơn: e1 = 0.01 ( mm ) , e = 0.003 ( mm ) , α1 = π /3, α = π /4 ( rad ) , chóng ta nhËn kết sau: q ( t ) := 00003674724600 cos ( 1620 π t ) − 0002838723336 cos ( 1680 π t ) − 0002699188256 sin( 1680 π t ) − 0001611917515 cos ( 1740 π t ) + 00004698875146 sin( 1740 π t ) − 00008132056164 cos ( 2580 π t ) − 00006129699215 cos ( 2520 π t ) − 0001738351582 sin( 2520 π t ) − 00005510388136 sin( 2460 π t ) + 00004564869921 cos ( 2460 π t ) − 00001841112931 sin( 2400 π t ) + 8126183500 10-5 cos ( 2400 π t ) + 9589764909 10-6 sin( 1800 π t ) − 00005190737521 cos ( 1800 π t ) − 0001546322830 sin( 1620 π t ) − 00001272062576 sin( 2640 π t ) − 00002400065385 cos ( 2640 π t ) − 00001677866320 sin( 2580 π t ) − 4573466140 10-5 sin( 60 π t ) + 00001625587426 cos ( 60 π t ) (4.91) + 2442639382 10-5 sin( 120 π t ) + 7573710239 10-5 cos ( 120 π t ) + 00001448375094 sin( 720 π t ) − 00005956000886 cos ( 720 π t ) − 5279493286 10-5 sin( 780 π t ) − 0002062107940 cos ( 780 π t ) + 0004260906833 sin( 840 π t ) − 0002621259252 cos ( 840 π t ) + 0001856804767 sin( 900 π t ) + 00009985280910 cos ( 900 π t ) + 00001455858838 cos ( 960 π t ) + 00006235647158 sin( 960 π t ) − 00004648538627 sin( 1560 π t ) − 1475141753 10-5 cos ( 1560 π t ) + 01201450437 150 Hình 4.18 Đồ thị phần dao ®éng cđa sai sè trun ®éng lùc Trong thùc nghiệm thường đo phổ tần số Để so sánh, tính toán phổ tần số q&(t ) kết (4.90) (4.91) Hình 4.19 hình 4.20 biểu diễn kết tương ứng chúng Các kết phù hợp với kết thực nghiệm [66] biểu diễn hình 4.21 Về mặt thực nghiệm, thường quan tâm đến phần dao động sai số truyền động lực q(t) Hình 4.18 đồ thị đại lượng biến đổi theo thời gian 4.3.4 Đánh giá kết tính toán Lời giải phương trình vi phân (4.78) có dạng: I  K q (t ) = a0 + ∑ cos ( i ω1t + β i )  × ∑ b k cos ( k ω z t + γ k ) =a (t ) b (t ) i 1= =   k Phỉ tÇn sè q(t) có đặc điểm: - (4.92) Các thành phần tần số b(t) tần số ăn khớp điều hoà tần số ăn khớp Các tần số đặc trưng cho kích động tham số (các điều hoà chính) - Các dải điều hoà phụ bao quanh điều hoà ( k z ) đặc trưng cho hàm kích động e(t) Khi hệ số ei lớn lên, biên độ dải tăng lên tương ứng - Khoảng cách điều hoà phụ tần số quay bánh hư hỏng, trường hợp Các nhận xét hoàn toàn phù hợp với nghiên cứu thực nghiệm Như nhờ mô hình dao động tham số ta giải thích chế kích động dao động trình ăn khớp cặp bánh Trong thực tế ta dựa vào độ lớn dải điều hoà phụ khoảng cách đường điều hoà phụ để chẩn đoán, đánh giá, định vị hư hại bánh 151 [mm/s] 2.fz tần số ăn khớp fz 3.fz 2fz - fz + f1 2fz - 2f1 2fz + 2f1 [Hz] Hình 4.19 Phổ tần số cña q&(t ) theo (4.90) [mm/s] fz 2.fz 3.fz f1 f1 [Hz] Hình 4.20 Phổ tần số q&(t ) theo (4.91) 2.fz tần số ăn khớp fz 3.fz f1 f1 [Hz] Hình 4.21 Phổ tần số q&(t ) theo thùc nghiƯm KÕt ln ViƯc øng dơng thành động lực học phi tuyến vào nghiên cứu vấn đề động lực học máy hướng khoa học quan tâm nghiên cứu ë Mü, §øc, Nga, Trung Quèc, Italia, Trong luËn án áp dụng số phương pháp lý thuyết dao động phi tuyến yếu mạnh với trợ giúp hệ chương trình đại số computer MAPLE vào việc tính toán dao động phi tuyến số mô hình máy thiết bị Một số kết luận án Trình bày cách ngắn gọn việc áp dụng phương pháp tham số bé, phương pháp tiệm cận với hỗ trợ chương trình phần mềm MAPLE để tính toán dao động phi tuyến yếu hệ nhiều bậc tự áp dụng tính toán mô hình dao động tự chấn tự chấn-cưỡng cắt gọt mô hình dao động tham số-cưỡng hệ rôto-móng máy Với trợ giúp MAPLE, nhiều trình tính toán phức tạp đà tự động hoá Nhiều chế độ cộng hưởng đà phát Mở rộng thuật toán tìm nghiệm tuần hoàn hệ phương trình vi phân phi tuyến đà giải đạo hàm bậc hai phương pháp IHB sang hệ phương trình vi phân phi tuyến chưa giải đạo hàm bậc hai Đà trình bày thuật toán thuận tiện cho việc xác định nghiệm tuần hoàn cho lớp toán dao động phi tuyến mạnh dựa phần mềm MAPLE Việc khảo sát ổn định nghiệm tuần hoàn khảo sát kỹ Các kết cho phép áp dụng phương pháp IHB tìm nghiệm tuần hoàn nhiều toán kỹ thuật áp dụng phương pháp IHB tính toán dao động tự kích dao động tự kích-cưỡng phi tuyến mạnh mô hình tải trọng băng tải, mô hình dao động phổ biến ngành khí Nhờ phương pháp IHB xác định chế độ tuần hoàn hệ Các kết tính toán phương pháp phù hợp với kết tính toán phương pháp tích phân số Danh mục công trình tác giả Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu (1997), "Về toán tự chấn hệ hai bậc tự do", Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 6, Hà Nội, tr 98-105 Thai Manh Cau, Nguyen Van Khang (2001), "Some Problems of Self-Excited Oscillations of Metal Cutting Processes", Proceedings of the National Conference "Vibration in Engineering" 1, Vietnam National University Publishers, pp 46-61 Thái Mạnh Cầu, Nguyễn Văn Khang (2002), "Tính toán dao động tự kích tự kích cưỡng tải trọng băng tải phương pháp cân điều hòa gia lượng", Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 7, Hµ Néi, tr 107-116 Thai Manh Cau, Nguyen Van Khang (2002), "On the Interaction between SelfExcited and Forced Oscillations", Vietnam Journal of Mechanics, 24 (2) , pp 73-83 Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau (2004), "Nonlinear Vibrations of RotorFoundation System", Proceeding of the International Symposium on Dynamics and Control, Vietnam National University Publishing House, pp 71-83 Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau (2004), "Calculating Periodic Vibrations of Multi-Degree-of-Freedom Nonlinear Autonomous Systems with the Incremental Harmonic Balance Method", Vietnam Journal of Mechanics, 26(3) Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau (2004), "Calculating Stationary Nonlinear Vibrations of Machines with the Incremental Harmonic Balance Method", Proceeding of the National Mechanical Conference/Dynamic Engineering, Hanoi, Vietnam Academy of Science and Technology, pp.135-146 Nguyen Van Khang, Thai Manh Cau, Nguyen Phong Dien (2004), "Modelling Parametric Vibration of Gear-Pair Systems as a Tool for Aiding Gear Fault Diagnosis", Technische Mechanik, Hefte 3-4, pp 198-205 153 áp dụng phương pháp IHB tính toán dao động tham số-cưỡng phi tuyến mô hình rôto-móng máy mô hình máy khâu Phương trình vi phân mô tả dao động hai mô hình học hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp hai với hệ số tuần hoàn Các kết tính toán cho thấy dao động phi tuyến hệ học hai bậc tự dao động đơn tần Phương pháp IHB cho phép xác định chế độ dao động đa tần cách thuận tiện Các phương pháp cổ điển trước khó xác định chế độ dao động đa tần hệ phi tuyến Trình bày mô hình hai bậc tự dao động tự kích-cưỡng phi tuyến cắt trực giao Đà tiến hành tính toán mô số mô hình dao động phần mềm MAPLE Các kết tính toán tương đối phức tạp, phù hợp với số kết tác giả khác nước Các kết tính toán chẩn đoán hư hỏng bánh trước thường sử dụng mô hình dao động tuyến tính hệ số số, nhiều kết tính toán không phù hợp với kết thực nghiệm Trong luận án đà áp dụng phương pháp cân điều hoà tính toán mô hình dao động tham số-cưỡng hệ bánh Các kết tính toán phù hợp với kết thực nghiệm Với mô hình dao động tham số, kết tính toán góp phần vào việc chẩn đoán hư hỏng bánh Các thuật toán nêu luận án gợi ý cho kỹ sư để họ sử dụng hệ chương trình MAPLE tính toán nghiệm tuần hoàn nhiều mô hình dao động máy thiết bị cách tương đối dơn giản, góp phần tính toán thiết kế máy Các kết tính toán thu luận án đóng góp nhỏ vào việc nghiên cứu dao động phi tuyến mạnh hệ nhiều bậc tự Với phương pháp tính toán này, trả lời câu hỏi áp dụng phương pháp lý thuyết dao động phi tuyến yếu, phải sử dụng phương pháp dao động phi tuyến mạnh Câu giải đáp phụ thuộc vào lớp toán cụ thể 154 Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu Tính toán dao động phi tuyến mạnh mô hình máy thiết bị vấn đề khoa học mẻ khó khăn Do nhiều vấn đề tiếp tục nghiên cứu - Dao động phi tuyến đa tần máy va-rung, hệ rôto, máy công tác - Dao động phi tuyến đa tần ôtô, động cơ, máy bay, tàu hoả - ¸p dơng lý thut rÏ nh¸nh, lý thut dạng chuẩn phi tuyến, lý thuyết đa tạp trung tâm nghiên cứu động lực học máy phi tuyến - Dao động hỗn loạn máy thiết bị ... để tính toán số mô hình dao động phi tuyến máy thiết bị Mục tiêu luận án xây dựng thuật toán để áp dụng phương pháp đà biết dao động phi tuyến sở sử dụng phần mềm đại số computer MAPLE giải toán. .. không ôtônôm 64 Chương Tính toán dao động tự kích tự kích-cưỡng phi tuyến số mô hình máy thiết bị 68 3.1 Tính toán dao động tự kích tự kích-cưỡng phi tuyến mô hình tải trọng băng tải ... Chương Tính toán dao động tham số- cưỡng phi tuyến số mô hình máy thiết bị 108 4.1 Dao ®éng tham sè-c­ìng phi tuyến hệ rôto-móng máy 109 4.1.1 Thành lập phương trình vi phân dao động hệ