Tính toán dao động uốn của dầm timoshenko bằng phương pháp phân tích dạng riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TÍNH TỐN DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM TIMOSHENKO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DẠNG RIÊNG HOÀNG MINH VŨ Vu.hm20873M@sis.hust.edu.vn Ngành kĩ thuật điện tử Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Vân Hương Trường: Cơ Khí Tháng 12 năm 2022 CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên tác giả luận văn: Hồng Minh Vũ Đề tài luận văn: Tính tốn dao động uốn dầm Timoshenko phương pháp phân tích dạng riêng Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử Mã số SV: 20202873M Tác giả, Người hướng dẫn khoa học Hội đồng chấm luận văn xác nhận tác giả sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên họp Hội đồng ngày 28/12/2022 với nội dung sau: - Sửa lỗi tả soạn thảo văn bao gồm kích thước cơng thức, cách hành văn từ nói sang viết, dấu “.” đổi thành dấu “,” phần số ví dụ trang 24,26… - Cơng thức lên đặt cụm để khơng bị nhảy nhiều dịng ngắn gọn lại - Bổ sung kết luận cho chương Ngày … tháng … năm… Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận văn CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG ĐỀ TÀI LUẬN VĂN “TÍNH TỐN DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM TIMOSHENKO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DẠNG RIÊNG” Giáo viên hướng dẫn (kí ghi rõ họ tên) TS Nguyễn Thị Vân Hương Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu thực luận văn năm học vừa qua, tác giả luận văn nhận bảo hướng dẫn tận tâm TS Nguyễn Thị Vân Hương Tác giả xin gửi tới cô lời cảm ơn trân trọng sâu sắc Ngoài ra, tác giả luận văn xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo, nhà khoa học, cán bộ, nhân viên trường Cơ khí, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tận tình giúp đỡ mặt học thuật thủ tục hành thời gian học tập nghiên cứu Đại học Bách Khoa Hà Nội Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, khuyến khích, động viên tạo điều kiện cho em trình học tập trình thực nghiên cứu Do hạn chế kiến thức, kinh nghiệm, thời gian tìm hiểu nghiên cứu thực luận văn nên chắn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp nhà khoa học để tác giả có nhìn sâu sắc vấn đề Hà Nội, 2022 Tác giả Hồng Minh Vũ Tóm tắt nội dung luận văn Trong luận văn này, sử dung phương pháp khai triển theo dạng dao động riêng tính tốn dao động uốn tự cưỡng dầm Timoshenko Chú ý việc tính tốn dao động tự (tần số riêng dạng dao động riêng) dầm Timoshenko phương pháp dạng dao động riêng quan tâm từ năm 50-60 kỷ 20 [5, 6] Việc tính toán dao động cưỡng dầm Timoshenko phương pháp dạng dao động riêng vấn đề tương đối thời sự, quan tâm nghiên cứu năm gần [17, 18, 20, 26] Sau nội dung trình bày luận văn: Sự khác tính tốn tần số riêng dạng dao động riêng dầm EulerBernoulli dầm Timoshenko: Đối với dầm Euler-Bernoulli ta có cơng thức tổng quát để tính tần số riêng dầm đồng chất thiết diện không đổi  kπ  ωk =    l  EI , với k = 1,2,3… ρA Đối với dầm Timoshenko ta khơng có cơng thức tổng qt để tính tần số riêng dầm đồng chất thiết diện không đổi Đối với dầm Timoshenko ta xác định tần số riêng qua việc giải phương trình đại số phi tuyến Do việc xác định hàm riêng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi phức tạp nhiều so với việc xác định hàm riêng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi Đối với dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi, khái niệm tần số cắt có ý nghĩa quan trọng Tần số cắt dầm Timoshenko xác định công thức sau ωc = k * GA ρI Do trị số tần số cắt thường lớn, nên toán thực tế tần số lực kích động tác dụng lên dầm thường nhỏ tần số cắt dầm Do khơng giảm tổng quát người ta thường quan tâm đến dạng dao động riêng ứng với tần số riêng nhỏ tần số căt nghiên cứu dao động cưỡng Việc tính tốn dao động cưỡng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện khơng đổi thực phương pháp giải tích tốn tương đối đơn giản Do khơng thể xác định biểu thức giải tích tính tốn tần số riêng dao động uốn dầm Timoshenko nên việc tính tốn dao động cưỡng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện khơng đổi tốn phức tạp giải phương pháp giải tích – số Trong luận văn sử dụng kết tài liệu [30] trình bày cách hệ thống việc tính tốn dao động uốn tự cưỡng dầm Timoshenko phương pháp phân tích theo dạng riêng Một vài kết nhỏ luận văn là: Chứng minh điều kiện trực giao dạng riêng dao động uốn dầm Timoshenko cách tương đối tổng qt tính tốn mơ số thêm số thí dụ nhằm minh họa phương pháp tính trình bày luận văn HỌC VIÊN ( Kí ghi rõ họ tên) Hoàng Minh Vũ Mục Lục MỞ ĐẦU CHƯƠNG THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM TIMOSHENKO 1.1 Thiết lập phương trình dao động uốn dầm Timoshenko 1.2 Các điều kiện biên dầm Timoshenko 1.3 Phương trình dao động uốn dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM TIMOSHENKO ĐỒNG CHẤT THIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI 2.1 Tần số riêng hàm dạng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi 2.1.1 Phương trình đặc trưng dầm Timoshenko 2.1.2 Một số tính chất phương trình đặc trưng 12 2.1.3 Công thức xác định bốn trị riêng dầm Timoshenko 13 2.1.4 Các hàm dạng riêng dầm Timoshenko 14 2.2 Tần số riêng dạng dao động riêng số loại dầm Timoshenko 18 2.2.1 Dầm đầu lề 18 2.2.2 Dầm đầu ngàm đầu tự 32 2.2.3 Dầm hai đầu ngàm 43 2.3 Chứng minh điều kiện trực giao dạng riêng dao động uốn dầm Timoshenko 54 2.3.1 Các phương trình dao động uốn tự 54 2.3.2 Các điều kiện biên dầm Timoshenko 56 2.3.3 Kết luận tính trực giao 57 CHƯƠNG DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA DẦM TIMOSHENKO ĐỒNG CHẤT, THIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI 59 3.1 Tính toán dao động cưỡng dầm Timoshenko đồng chất, thiết diện không đổi phương pháp khai triển theo dạng dao động riêng 59 3.2 Các thí dụ áp dụng 62 3.2.1 Tính toán dao động uốn cưỡng dầm Timoshenko hai đầu lề 62 3.2.2 Dao động trình chuyển tiếp dầm Timoshenko hai đầu lề chịu tác dụng lực di chuyển 70 CHƯƠNG ĐIỀU KHIỂN DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO ĐỒNG CHẤT THIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI BẰNG CÁC BỘ GIẢM CHẤN ĐỘNG LỰC 80 4.1 Thiết lập phương trình dao động uốn dầm Timoshenko có gắn nhiều giảm chấn động lực 80 4.2 Rời rạc hóa phương trình dao động dầm Timoshenko chứa nhiều giảm chấn phương pháp Ritz-Galerkin 82 4.3 Dạng ma trận phương trình vi phân chuyển động dầm lắp nhiều giảm chấn TMD 86 4.4 Các thí dụ áp dụng 91 4.4.1 Giảm dao động uốn dầm Timoshenko đầu lề nhiều giảm chấn động lực 91 4.4.2 Giảm dao động uốn dầm Timoshenko đầu ngàm đầu tự nhiều giảm chấn động lực 102 4.4.3 Ảnh hưởng giảm chấn đến dao động uốn dầm 104 Kết luận Chương 107 KẾT LUẬN 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO 110 Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Hình dầm bị uốn Hình 1.2 Các thành phần biến dạng phần tử dầm Timoshenko Hình 1.3 Phân tố dầm Hình 1.4 Mặt cắt Hình 1.5 Dầm hai đầu lề Hình 1.6 Dầm đầu ngàm đầu tự Hình 1.7 Dầm hai đầu ngàm Hình 2.1 Dầm hai đầu lề 18 Hình 2.2 Hàm dạng chuyển vị dầm 25 Hình 2.3 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang dầm 26 Hình 2.4 Hàm dạng chuyển vị dầm 27 Hình 2.5 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang dầm 27 Hình 2.6 Hàm dạng chuyển vị dầm 29 Hình 2.7 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang dầm 29 Hình 2.8 Hàm dạng chuyển vị dầm 31 Hình 2.9 Hàm dạng góc xoay mặt cắt ngang dầm 31 Hình 2.10 Dầm đầu ngàm đầu tự 32 Hình 2.11 Hàm dạng chuyển vị dầm 38 Hình 2.12 Hàm dạng góc xoay dầm 39 Hình 2.13 Hàm dạng chuyển vị dầm 40 Hình 2.14 Hàm dạng góc xoay dầm 41 Hình 2.15 Hàm dạng chuyển vị dầm 42 Hình 2.16 Hàm dạng góc xoay dầm 43 Hình 2.17 Dầm hai đầu ngàm 43 Hình 2.18 Hàm dạng chuyển vị dầm 48 Hình 2.19 Hàm dạng góc xoay dầm 48 Hình 2.20 Hàm dạng chuyển vị dầm 50 Hình 2.21 Hàm dạng góc xoay dầm 50 Hình 2.22 Hàm dạng chuyển vị dầm 51 Hình 2.23 Hàm dạng góc xoay dầm 52 Hình 2.24 Hàm dạng chuyển vị dầm 53 Hình 2.25 Hàm dạng góc xoay dầm 54 Hình 3.1 Dầm đầu lề 62 Hình 3.2 Biên độ dao động 66 Hình 3.3 Dao động uốn vị trí x = l/2 66 Hình 3.4 Dao động uốn vị trí x = l/4, x = l/2, x = 3l/4 67 Hình 3.5 Dao động xoay mặt cắt ngang vị trí x =l/4, x =l/2, x =3l/4 67 Hình 3.6 Dao động uốn vị trí x =l/4, x =l/2, x =3l/4 67 Hình 3.7 Dao động xoay mặt cắt ngang vị trí x =l/4, x =l/2, x 68 Hình 3.8 Dao động uốn vị trí x =l/4, x =l/2, x 68 Hình 3.9 Biên độ dao động bậc 1, 2, 69 Hình 3.10 Dao động uốn vị trí x =l/2 69 Hình 3.11 Dao động xoay mặt cắt ngang vị trí x =l/2 69 Hình 3.12 Biên độ dao động bậc 1, 2, 70 Hình 3.13 Dao động uốn vịtrí x =l/2 70 Hình 3.14 Dầm timosenco đỡ khớp lề 73 Hình 3.15 Dao động uốn w(x,t) dầm vị trí x=0.5l 76 Hình 3.16 Góc quay mặt cắt ngang dầm so với trục thẳng đứng vị trí x = 0.25l; x = 0.5l, x = 0.75l 76 Hình 3.17 Dao động uốn dầm vị trí x = 0.25l, x = 0.5l, x = 0.75l 76 Hình 3.18 Dao động lớn dầm vị trí x = 0.5l 77 Hình 3.19 Dao động uốn dầm vị trí x=0.5l 77 Hình 3.20 Dao động uốn w(x,t) dầm vị trí x=0.5l 78 Hình 3.21 Góc quay mặt cắt ngang dầm so với trục thẳng đứng 78 Hình 3.22 Dao động uốn dầm vị trí x = 0.25l, x = 0.5l, x = 0.75l 79 Hình 4.1 Mơ hình dầm chịu kích động phân bố có gắn nhiều giảm chấn TMD 80 Hình 4.2 Các cấu trúc 81 Hình 4.3 Mơ hình dầm đầu lề chịu kích động phân bố có gắn nhiều giảm chấn TMD 91 Hình 4.4 Dao động chuyển tiếp dầm, Ω= ω1 rad/s, P0 = 100N 102 Hình 4.5 Dao động uốn bình ổn dầm,Ω = ω1 rad/s, P0 = 100N 102 Hình 4.6 Dao động uốn dầm ,Ω = ω1 rad/s, P0 = 200N 103 Hình 4.7 Dao động chuyển tiếp dầm, Ω = 10 rad/s, P0 = 100N 103 Hình 4.8 Dao động uốn bình ổn dầm,Ω = 10 rad/s, P0 = 100N 104 Hình 4.9 Dao động uốn dầm, Ω = 10 rad/s, P0 = 200N 104 Hình 4.10 Dao động uốn dầm có giảm chấn,Ω = ω1rad/s, P0 = 100N 105 Hình 4.11 Dao động giảm chấn vị trí, Ω = ω1rad/s, P0 = 100 105 Hình 4.12 Dao động uốn dầm có giảm chấn,Ω = ω1rad/s, P0 = 200N 106 Hình 4.13 Dao động giảm chấn vị trí, Ω = ω1 rad/s, P0 = 200N 106 Hình 4.14 Dao động uốn dầm có giảm chấn,Ω = 10rad/s, P0 = 100N 107 Hình 4.15 Dao động giảm chấn vị trí,Ω = 10rad/s, P0 = 100N 107 L/3 100 TMD 50 TMD 50 w(x,t) [mm] w(x,t) [mm] 61,36 24 -50 -100 TMD 61,36 TMD 24 -50 0.1 0.3 0.2 0.4 59.7 0.5 59.8 t(s) t(s) L/6 59.9 60 40 TMD 13,85 -20 -40 0.3 0.2 0.1 0.4 TMD 35,43 TMD w(x,t) [mm] w(x,t) [mm] 35,43 20 20 13,85 TMD -20 59.7 0.5 59.8 t(s) t(s) 59.9 Bảng 4.5 Biên độ dao động điểm khác dầm = (Ω 39( = rad ); p0 100( N / m)) Vị trí tính dao động L/2 Dao động bình ổn tính từ biểu thức 87 Dao động bình ổn tính từ giải hệ phương trình 88 Matlab 200 TMD 100 TMD 55,43 -100 -100 0.1 0.2 0.3 0.4 59.6 0.5 59.7 59.8 t(s) t(s) L/3 TMD 55,43 0 -200 TMD 141,7 100 w(x,t) [mm] w(x,t) [mm] 141,7 200 TMD 100 48 -100 -200 0.1 0.2 0.3 t(s) 0.4 TMD 122,7 TMD w(x,t) [mm] w(x,t) [mm] 122,7 0.5 100 59.9 TMD 48 -100 -200 59.7 59.8 t(s) 59.9 60 100 L/6 100 TMD 50 TMD 27,7 -50 -100 0.1 0.3 0.2 0.4 TMD 70,87 w(x,t) [mm] w(x,t) [mm] 70,87 0.5 50 27,7 TMD -50 59.7 t(s) 59.8 t(s) 59.9 Từ kết phân tích dao động dầm Timoshenko hai đầu lề lắp giảm chấn động lực thấy rằng: Khi tần số kích động tần số dao động riêng thứ dầm dao động dầm không lắp giảm chấn động lực lớn, lắp ba giảm chấn động lực dao động dầm giảm mạnh (từ 268,2 (mm) đến 22,51 (mm) ứng với vị trí L/2 lực kích động p0=50(N/m) Hiệu điều khiển dao động đạt (91,59%) Biên độ dao động vị trí dầm lớn nhất, biên độ dao động điểm khác giảm dần phía gối đỡ Cụ thể với trường hợp bảng 4.2 biên độ dao động dầm L/2 268,2 (mm), giảm xuống 232,3 (mm) 134,01 (mm) tính vị trí L/3 L/6 Tương tự trường hợp bảng 4.3 biên độ dao động dầm giảm từ 536,4 (mm) xuống 464,5 (mm) 268,2 (mm) tính vị trí L/2, L/3 L/6 Khi tăng biên độ lực kích động dao động dầm tăng lên, cụ thể vị trí L/2 dầm biên độ dao động tăng từ 268,2 (mm) đến 536,4 (mm) (2 lần) biên độ lực tăng từ 50 (N/m) đến 100 (N/m) Khi tần số kích động khơng tần số cộng hưởng biên độ dao động dầm nhỏ nhiều so với trường hợp tần số lực kích động tần số cộng hưởng Cụ thể với biên độ lực kích động p0=50 (N/m) biên độ dầm vị trí L/2 tần số cộng hưởng 268,2 (mm) (bảng 4) giảm xuống 70,84 (mm) (bảng 4.4) tần số kích động khác tần số cộng hưởng (giảm 73,58%) Hiệu điều khiển dao động giảm chấn động lực tần số khác tần số giảm xuống (còn khoảng 60,87%) Điều phù hợp với thực tế với tần số xa cộng hưởng, biên độ dao động dầm nhỏ gây nguy hiểm cho kết cấu Với tần số cộng hưởng gần cộng hưởng, biên độ dao động dầm tăng lên lớn, gây phá hủy kết cấu, lắp giảm chấn tronng trường hợp cho hiệu rõ rệt (giảm 90%) dao động dầm 101 4.4.2 Giảm dao động uốn dầm Timoshenko đầu ngàm đầu tự nhiều giảm chấn động lực a) Trường hợp 1: Dao động cộng hưởng bậc 1: Ω = ω1 = 27,92 rad/s, P0 = 100N P0 = 200N Các kết tính tốn thể hình từ 4.4 đến 4.6 Trên hình 4.4 dao động dầm trình chuyển tiếp vị trí x = l/2 x = l ứng với P0 = 100N tính tốn phương pháp số khoảng thời gian 50s Trên hình 4.5 dao động uốn bình ổn động uốn bình ổn tính phương pháp giải tích [9 ] (hình 4.5a) tính phương pháp số (hình 4.5b) Kết cho thấy hai phương pháp giải cho kết (biên độ lớn phương pháp số wmax= 142,06 mm, biên độ lớn phương pháp nghiệm tuần hồn wmax= 142,02 mm) Trên hình dao động uốn dầm ứng với P0=200N, biên độ dao động lớn wmax = 283,4 mm Trong hình bên trái q trình chuyển tiếp, cịn hình bên phải trình bình ổn x=L x = L/2 150 100 w(x,t), [mm] 50 -50 -100 -150 10 15 20 25 30 40 35 45 50 t[s] Hình 4.4 Dao động chuyển tiếp dầm, Ω= ω1 rad/s, P0 = 100N With TMD Without TMD 300 With TMD Without TMD 300 200 200 w(x,t), x=L, [mm] 100 100 0 -100 -100 -200 -200 -300 49.5 49.6 49.7 49.8 49.9 50 t[s] -300 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t[s] Hình 4.5 Dao động uốn bình ổn dầm,Ω = ω1 rad/s, P0 = 100N 102 x=L x=L x = L/2 x = L/2 150 150 100 100 50 w(x,t), [mm] 50 0 -50 -50 -100 100 -150 150 0.2 0.4 0.6 0.8 48.8 49 49.2 49.4 Time [s] 49.6 49.8 50 t[s] a) Phương pháp nghiệm tuần hồn b) Phương pháp số Hình 4.6 Dao động uốn dầm ,Ω = ω1 rad/s, P0 = 200N b) Trường hợp 2: Dao động xa cộng hưởng Ω =10 rad/s, P0=100N P0=200N Các kết tính tốn dao động dầm chế độ xa cộng hưởng tể hình từ 4.7 đến 4.9 Trên hình 4.7 dao động dầm vị trí x = l/2 x = l ứng với P0 = 100N tính tốn phương pháp số khoảng thời gian 50s Cịn hình 4.8 dao động uốn bình ổn tính phương pháp giải tích (hình 4.8a) [9] pháp số (hình 4.8b) Kết cho thấy hai phương pháp giải cho kết (với biên độ lớn wmax= 3,57mm) Trên hình 4.9 dao động uốn chuyển tiếp dầm ứng với P0 = 200N, biên độ dao động lớn wmax = 5,36mm x=L x = L/2 w(x,t), [mm] -2 -4 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t[s] Hình 4.7 Dao động chuyển tiếp dầm, Ω = 10 rad/s, P0 = 100N 103 x=L x = L/2 x = L/2 x=L 4 3 2 1 w(x,t), [mm] w(x,t), [mm] -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 47 0.5 1.5 2.5 47.5 48 49 48.5 49.5 50 t[s] Time [s] a) Phương pháp nghiệm tuần b) Phương pháp số Hình 4.8 Dao động uốn bình ổn dầm,Ω = 10 rad/s, P0 = 100N X 44.77 x=L x = L/2 Y 5.36109 w(x,t), [mm] -2 -4 -6 -8 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t[s] Hình 4.9 Dao động uốn dầm, Ω = 10 rad/s, P0 = 200N 4.4.3 Ảnh hưởng giảm chấn đến dao động uốn dầm Để giảm dao động cho dầm, giảm chấn lắp dầm vị trí η j , với thơng số giảm chấn m j , d j , k j (j = 1,2 na) Tính tốn thực với thông số mục với ba giảm chấn (na= 3) a)Trường hợp : Dao động cộng hưởng bậc 1:Ω = ω1 = 27,92 rad/s,P0 = 100N P0 = 200N Các thông số giảm chấn chọn sau -Vị trí đặt giảm chấn η1 = l/3, η = 2l/3, η = l -Khối lượng giảm chấn 3% tổng khối lượng dầm m=350kg, phân chia m1=0,5%m; m2=1%m; m3=1,5%m; -Hệ số cứng k1=2000 N/m, k2=3000 N/m, k3=4000 N/m -Hệ số cản nhớt d1= Ns/m, d2=1,5d1, d3=2d1 104 Các kết tính tốn trình bày hình từ 4.10 đến 4.13 Trên hình 4.10 dao động dầm vị trí x = l có khơng có gắn giảm chấn, hình 4.11 dao động giảm chấn ứng với P0 = 100N Trên hình 4.12 hình 4.13 trường hợp ứng với P0 = 200N Các hình bên trái mơ tả q trình chuyển tiếp cịn ca cs hình bên phải mơ tả q trình bình ổn Từ hình vẽ ta thấy: Với P0 = 100N biên độ khơng điều khiển wmax = 142,02 mm, có điều khiển wmax = 1,95 mm (giảm 98,6%), biên độ dao động lớn tắt chấn vùng bình ổn umax = 22,5mm Với P0 = 200N biên độ không điều khiển wmax = 283,4 mm, có điều khiển wmax = 2,65mm (giảm 99%), biên độ dao động lớn tắt chấn vùng bình ổn umax = 45,1 mm 40 = L/3 u TMD (mm) 30 =L = 2L/3 = L/3 30 20 20 10 10 0 -10 -10 -20 -20 -30 49 =L = 2L/3 49.2 49.4 49.6 50 49.8 t[s] -40 10 15 20 25 30 40 35 45 50 t[s] Hình 4.10 Dao động uốn dầm có giảm chấn,Ω = ω1rad/s, P0 = 100N With TMD Without TMD 150 With TMD Without TMD 100 150 100 w(x,t), x=L, [mm] 50 50 0 -50 -50 -100 -150 -100 49 49.2 49.4 49.6 49.8 50 t[s] -150 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t[s] Hình 4.11 Dao động giảm chấn vị trí, Ω = ω1rad/s, P0 = 100 105 With TMD Without TMD 300 With TMD Without TMD 300 200 w(x,t), x=L, [mm] 200 100 100 0 -100 -100 -200 -200 -300 -300 10 15 20 25 30 40 35 45 49 50 49.2 49.4 49.6 50 49.8 t[s] t[s] Hình 4.12 Dao động uốn dầm có giảm chấn,Ω = ω1rad/s, P0 = 200N 80 = L/3 60 =L = 2L/3 = L/3 (mm) TMD u 40 20 20 0 -20 -20 -40 -40 49 =L = 2L/3 40 49.2 -60 49.4 49.6 49.8 t[s] -80 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t[s] Hình 4.13 Dao động giảm chấn vị trí, Ω = ω1 rad/s, P0 = 200N a) Trường hợp 2: Dao động xa cộng hưởng: Ω = 10 rad/s,P0 = 100N Các thông số giảm chấn chọn sau -Vị trí đặt giảm chấn: η1 = l/3, η = 2l/3, η = l -Khối lượng giảm chấn 3% tổng khối lượng dầm m =350kg, phân chia: m1=0,5%m; m2=1%m; m3=1,5%m; -Hệ số cứng: k1=1200 N/m, k2=1800 N/m, k3=2000 N/m -Hệ số cản nhớt: d1= 1,5 Ns/m, d2=2 Ns/m, d3=3 Ns/m Trên hình 4.14 dao động dầm vị trí x = l có khơng có đặt giảm chấn, hình 4.15 dao động giảm chấn ứng với P0 = 100N Từ hình vẽ ta thấy: Biên độ không điều khiển wmax = 3,57 mm, có điều khiển wmax = 2,57 mm (giảm 28%) 106 50 With TMD Without TMD With TMD Without TMD w(x,t), x=L, [mm] 2 0 -1 -2 -2 -3 -4 -4 48 49 48.5 50 49.5 t[s] -5 10 15 20 25 30 40 35 45 50 t[s] Hình 4.14 Dao động uốn dầm có giảm chấn,Ω = 10rad/s, P0 = 100N = L/3 =L = 2L/3 = L/3 (mm) =L = 2L/3 3 0 -1 -1 u TM D 2 -2 -2 -3 -3 -4 48.5 10 15 20 25 30 35 40 45 49 49.5 t[s] t[s] Hình 4.15 Dao động giảm chấn vị trí,Ω = 10rad/s, P0 = 100N Kết luận Chương Chương cuối trình bày tốn Điều khiển dao động dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi giảm chấn động lực Bài toán điều khiển dao động thụ động thông qua giảm chấn động lực đưa cách tổng quát Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, phương trình dao động dầm Timoshenko giảm chấn đưa Sử dụng phương pháp Ritz-Galerkin, biến đổi phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường Sau biến đổi hệ phương trình hỗn hợp dạng ma trận phương trình vi phân chuyển động dầm lắp nhiều giảm chấn động lực Sau đưa hai ví dụ áp dụng giảm dao động uốn dầm Timoshenko hai đầu lề đầu ngàm đầu tự nhiều giảm chấn động lực 107 50 KẾT LUẬN Việc tính toán dao động dầm Timoshenko toán tương đối phức tạp Trong thời gian dài người ta thường sử dụng phương pháp gần phương pháp Ritz, Phương pháp phần tử hữu hạn, v.v…tính tốn dao động tự dao động cưỡng dầm Timoshenko Gần người ta quan tâm nhiều tới việc tính tốn dao động tự dao động cưỡng dầm Timoshenko phương pháp khai triển theo dạng dao động riêng Trong [18] tác giả sử dụng phương pháp dạng dao động riêng để tính toán dao động cưỡng dầm Timoshenko Trong [30] trình bày tổng qt việc tính dao động tự dao động cưỡng dầm Timoshenko phương pháp sử dụng dạng dao động riêng Luận văn trình bày việc tính tốn dao động uốn tự dao động uốn cưỡng dầm Timoshenko phương pháp khai triển theo dạng dao động riêng Một vài kết luận rút từ luận văn sau: Sự khác tính toán tần số riêng dạng dao động riêng dầm EulerBernoulli dầm Timoshenko: Đối với dầm Euler-Bernoulli ta có cơng thức tổng qt để tính tần số riêng dầm đồng chất thiết diện không đổi  kπ  ωk =    l  EI , với k = 1,2,3… ρA Đối với dầm Timoshenko ta khơng có cơng thức tổng qt để tính tần số riêng dầm đồng chất thiết diện khơng đổi Đối với dầm Timoshenko ta xác định tần số riêng qua việc giải phương trình đại số phi tuyến Do việc xác định hàm riêng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi phức tạp nhiều so với việc xác định hàm riêng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi Đối với dầm Timoshenko đồng chất thiết diện khơng đổi, khái niệm tần số cắt có ý nghĩa quan trọng Tần số cắt dầm Timoshenko xác định công thức sau ωc = k * GA ρI 108 Do trị số tần số cắt thường lớn, nên tốn thực tế tần số lực kích động tác dụng lên dầm thường nhỏ tần số cắt dầm Do khơng giảm tổng qt người ta thường quan tâm đến dạng dao động riêng ứng với tần số riêng nhỏ tần số căt nghiên cứu dao động cưỡng Việc tính toán dao động cưỡng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện khơng đổi thực phương pháp giải tích tốn tương đối đơn giản Do xác định biểu thức giải tích tính tốn tần số riêng dao động uốn dầm Timoshenko nên việc tính tốn dao động cưỡng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi tốn phức tạp giải phương pháp giải tích – số Trong luận văn sử dụng kết tài liệu [30] tác giả trình bày cách hệ thống việc tính tốn dao động uốn tự cưỡng dầm Timoshenko phương pháp phân tích theo dạng riêng Một vài điểm đóng góp luận văn là: (1) Chứng minh điều kiện trực giao dạng riêng dao động uốn dầm Timoshenko cách tương đối tổng quát (2) tính tốn mơ số thêm số thí dụ nhằm minh họa phương pháp tính trình bày luận văn 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Hagedorn, A DasGupta (2007), Vibrations and waves in continuous mechanical systems, John Woley & Sons, Chichester [2] A W Leissa, M S Qatu (2011), Vibration of Continuous Systems, McGrawHill, New York [3] W J Bottega (2006), Engineering Vibrations, CRC Press, New York [4] L Meirovitch (1967), Analytical Methods in Vibrations, The Macmillan Company, New York [5] T.C Huang (1961), The effect of rotatory inertia and of shear deformation on the frequencu and normal mode equations of uniform beams with simple end conditions, Journal of Applied Mechanics, vol.28, no.4, pp 579-584 [6] G.C Cowper (1966), The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory, Journal of Applied Mechanics, vol.33, no.4, pp 335-340 [7] B.A.H Abbas, J Thomas (1977), The second frequency spectrum of Timoshenko beams, Journal of Sound and Vibration, vol 51 (1), pp 123-137 [8] G.R Bhashyam, G Prathap (1981), The second frequency spectrum of Timoshenko beams, vol 76(3), pp 407-420 [9] N.G Stephen (2006), The second spectrum of Timoshenko beam theory – furter assessment, Journal of Sound and Vibration, vol 292, pp 372-389 [10] N.F.J van Rensburg, A.J van der Merwe (2006), Natural frequencies and modes of a Timoshenko beam, Wave Motion, vol 44, pp 58-69 [11] H.P Lee (1996), The dynamic response of a Timoshenko beam subjected to a moving mass, Journal of Sound and Vibration, vol 198 (2), pp 247-256 [12] H.P Lee (1998), Dynamic response of Timoshenko beam on a winkler foundation subjected to a moving mass, Applied Acoustics, vol 56(3), pp 203215 [13] S M Han, H Benaroya, T Wei (1999), Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories, Journal of Sound and Vibration, vol 225(5), pp.935-988 [14] P Sniady (2008), Dynamic response of a Timoshenko beam to a moving force, Journal of Applied Mechanics, vol 75, pp 024503-1 - 024503-4 110 [15] Leszek Majkut (2009), Free and forced vibrations of Timoshenko beams described by single difference equation, Journal of theoretical and applied mechanics, Vol 47(1), pp 193-210, Warsaw [16] S.E Azam, M Mofid, R A Khoraskani (2013), Dynamic response of Timoshenko beam under moving mass, Scientia Iranica A, vol 20(1), pp 50-56 [17] D Roshandel, M Mofid, and A Ghannadiasl (2015), Modal analysis of the dynamic response of Timoshenko beam under moving mass, Scientia Iranica A, vol 22(2), pp 331-344 [18] T Kim, I Park, U Lee (2017), Forced vibration of Timoshenko beam subjected to stationary and moving loads using the modal analysis method, Hindawi Shock and Vibration, vol 2017, Article ID 3924921, 26 pages [19] T.I Zhdan (2019), Action of moving loads on the Bernoulli-Euler and Timoshenko beams, vol 74(5), pp.123-127 [20] Nguyen Thị Van Huong, Nguyen Sy Nam, Nguyen Van Khang (2022), Numerical Evaluation of the Vibration Response of a Timoshenko Beam Under Moving Force Using the Modal Analysis Approach, Journal of Science & Technology Technical Universities Volume 32, Issue 1, March 2022., pp.61-70 [21] Nguyen Van Khang, Vu Duc Phuc, Nguyen Thi Van Huong, Do The Duong (2018), Optimal control of transverse vibration of Euler-Bernoulli beam with multiple dynamic vibration absorbers using Taguchi’s method, Vietnam Journal ofMechanics, VAST, Vol.40, No.3, pp.1-19 [22] Nguyen Phong Dien, Nguyen Van Khang, Nguyen Thi Van Huong, Hoang Trung Nghia (2021), Vibration suppression of beam structures by multiple dynamic vibration absorbers, Advances in Asian Mechanism and Machine Science, Proceedings of IFToMM Asian MMS 2021, Edited by Nguyen Van Khang et al., Springer Nature Switzerland, pp.31-45 [23] Nguyễn Văn Khang (2005), Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [24] Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu, Nguyễn Phong Điền, Vũ Văn Khiêm, Nguyễn Nhật Lệ (2006), Bài tập Dao động kỹ thuật (in lần thứ 3), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 111 [25] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thị Vân Hương (2007), Về hai phổ tần số dầm Timoshenko, Báo cáo đề tài nghiên cứu, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội [26] Nguyễn Sỹ Nam (2009), Giải toán giá trị riêng dầm phương pháp biến đổi vi phân, Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội [27] Nguyễn Thị Vân Hương (2016), Dao động uốn dầm ứng suất trước tác dụng vật thể di động, Luận án tiến sĩ, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội [28] Nguyễn Tiến Khiêm, Trần Thanh Hải (2020), Dao động kỹ thuật, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [29] Vũ Đức Phúc (2020), Điều khiển tối ưu dao động kết hợp nhiều giảm chấn động lực, Luận án tiến sĩ, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội [30] Nguyễn Thị Vân Hương (2022), Phân tích điều khiển dao động dầm Timoshenko, Báo cáo tổng kết đề tài cấp trường ĐH Bách Khoa Hà Nội [31] Robert D Blevins (1980) Formulas for natural frequency and mode shape Van Nostrand Reinhold Company [32] Wan, C., Jiang, H., Xie, L., Yang, C., Ding, Y., Tang, H., & Xue, S (2020) Natural frequency characteristics of the beam with different cross sections considering the shear deformation induced rotary inertia Applied Sciences, 10(15), 5245 [33] Hamioud, S., & Khalfallah, S (2018) Spectral element analysis of free vibration of Timoshenko beam International Journal for Engineering Modelling, 31(1-2), 61-76 [34] Mokhtari, A., Sarvestan, V., Ghayour, M., & Mirdamadi, H R Free vibration of undamped Euler-Bernoulli and Timoshenko beams by using spectral finite element method for different boundary conditions 1st National Conference on Development of Civil Engineering, Architecure, Electricity and Mechanical in Iran 112 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Đề tài: Tính tốn dao động uốn dầm Timoshenko phương pháp phân tích dạng riêng Tác giả luận văn: Hồng Minh Vũ Khóa: 2020B Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Vân Hương Từ khóa (keyword): Dầm Timoshenko, tần số dao động riêng, dạng dao động riêng, điều khiển dao động, giảm chấn động lực, tính trực giao dạng dao động riêng Trong luận văn này, sử dung phương pháp khai triển theo dạng dao động riêng tính tốn dao động uốn tự cưỡng dầm Timoshenko Chú ý việc tính tốn dao động tự (tần số riêng dạng dao động riêng) dầm Timoshenko phương pháp dạng dao động riêng quan tâm từ năm 50-60 kỷ 20 [5, 6] Việc tính tốn dao động cưỡng dầm Timoshenko phương pháp dạng dao động riêng vấn đề tương đối thời sự, quan tâm nghiên cứu năm gần [17, 18, 20, 26] Sau nội dung trình bày luận văn: Sự khác tính tốn tần số riêng dạng dao động riêng dầm EulerBernoulli dầm Timoshenko: Đối với dầm Euler-Bernoulli ta có cơng thức tổng qt để tính tần số riêng dầm đồng chất thiết diện không đổi  kπ  ωk =    l  EI , với k = 1,2,3… ρA Đối với dầm Timoshenko ta khơng có cơng thức tổng qt để tính tần số riêng dầm đồng chất thiết diện không đổi Đối với dầm Timoshenko ta xác định tần số riêng qua việc giải phương trình đại số phi tuyến Do việc xác định hàm riêng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi phức tạp nhiều so với việc xác định hàm riêng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi Đối với dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi, khái niệm tần số cắt có ý nghĩa quan trọng Tần số cắt dầm Timoshenko xác định công thức sau ωc = k * GA ρI 113 Do trị số tần số cắt thường lớn, nên tốn thực tế tần số lực kích động tác dụng lên dầm thường nhỏ tần số cắt dầm Do khơng giảm tổng qt người ta thường quan tâm đến dạng dao động riêng ứng với tần số riêng nhỏ tần số căt nghiên cứu dao động cưỡng Việc tính tốn dao động cưỡng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện khơng đổi thực phương pháp giải tích tốn tương đối đơn giản Do xác định biểu thức giải tích tính tốn tần số riêng dao động uốn dầm Timoshenko nên việc tính tốn dao động cưỡng dầm Timoshenko đồng chất thiết diện khơng đổi tốn phức tạp giải phương pháp giải tích – số Trong luận văn sử dụng kết tài liệu [30] tác giả luận văn trình bày cách hệ thống việc tính tốn dao động uốn tự cưỡng dầm Timoshenko phương pháp phân tích theo dạng riêng Một vài điểm đóng góp luận văn là: Chứng minh điều kiện trực giao dạng riêng dao động uốn dầm Timoshenko cách tương đối tổng qt tính tốn mơ số thêm số thí dụ nhằm minh họa phương pháp tính trình bày luận văn 114