hãy trình bày các ví dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do không cản

◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình vi phân dao động của hệ... Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CƠ KHÍ

BÀI TẬP CHƯƠNG MÔN : DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY : TS PHẠM THỊ MINH HUỆ SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN THÀNH CHIẾN MÃ SỐ SINH VIÊN : 0741020019

KHÓA HỌC : KHÓA 7

Tháng 4/2014

◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình

vi phân dao động của hệ -Ta xét các ví dụ cụ thể: ◦ Ví dụ 1: Thiết lập phương trình vi phân dao động của vật nặng m treo vào lò xo

( (hình 1)

Hàm động năng: T= 12mx2

Hàm thế năng :  = 1

2c 2xThế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

dTTdtxxx           mx  0cx

Vị trí cân bằng

◦ Ví dụ 2: Thiết lập phương trình vi phân dao động của con lắc toán học sau :

Q y L 

x P

Gọi tọa độ của chất điểm là x,y Từ hình vẽ , ta được : x= sinl , y=lcos

Hàm động năng : T= 1 22 1 22

2m x y 2mlHàm thế năng :  = -mgy = -mg cosl  Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai

Hình2

m

hay q + ω q =0 0 với ω =2 c

m , ω0là tần số dao động riêng Điều kiện đầu t00, q(t0) =q0 , q(t ) = q 0 0

Do không cản : Tần số dao động : 0

cω =

m (

-1

s ) Chu kì dao động :

02T= 

 (s)

Nghiệm của phương trình vi phân (1) có dạng : q = C cos t + C sin t 1 02 0 (2) (C ,C12:const xác định từ điều kiện đầu) Cho nghiệm (2) thỏa mãn điều kiện đầu ,ta được

c1q0 , 2 0

0

qc

ω

0qq = q cos t + sin t

ω

Biên độ dao động : A= c21 c22Pha dao động :0t

Pha ban đầu α được xác định từ 1 0 0

qctanα = =ω

Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta biến đổi các biểu thức trên sao cho phù hợp

Ví dụ : Trọng lượng vật treo là P , lò xo có độ dài tự nhiên ,độ cứng c, trọng lượng l P0.Tìm chu kì dao động của vật

s Biến dạng của lò xo tại vị trí s : l

( )

( )

x sxx sxssll

12x

01

( )2

lT  v s dm , dmP0ds

gl

 Động năng của hệ :

m c

Hình 3

P

x

02

1

20

3s

PPP x

  

Thế năng của lò xo đối với vị trí cân bằng tĩnh của vật :

2 2

cx

x cg

PP

a Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi

Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng ,ta có thể tính toán hệ số cứng quy đổi tương đối đơn giản Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén (hình 4) ta có :

Trong trường hợp thanh đàn hồi lò xo chịu xoắn (hình 5) x

p

M lGI

 

Vậy độ cứng quy đổi trong trường hợp thanh xoắn có dạng

GIpc

A

Fll

EA

cl

3

13

Flf

EI



Trong đó EI là độ cứng chống uốn Ta được

E3

cl

Ngoài ra ta có thể sử dụng các công thức xác định các hệ số cứng tương đương trong các trường hợp đặc biệt theo bảng sau :

d8 D

Gn

d- Đường kính thiết diện D- Đường kính lò xo G- Mô đun trượt n- Số vòng lò xo

x

NEI

x

NEI

2 Ví dụ minh họa

Độ cứng tương đương của lò xo c1 , c2 mắc song song c12 c1 c2

Độ cứng tương đương của lò xo c3 , c4 mắc song song c34 c3c4

Độ cứng tương đương của hệ :

các lò xo mắc như hình 9 Hãy tính tần số riêng của hệ

Hình 9

c*c12c34   c1 c2 c3 c4 Tần số dao động riêng của hệ :

 (kg s N m/ ,2 / )

Độ cứng tương đương của hệ :

ccc

c

Hình10

c cc

20.10

c gm

Hình 11

u(t)

Hình 12

◦ Hàm động năng : 1 2

2

T  m y ◦ Hàm thế năng : 1 ( )2

2c y u

 ◦ Hàm hao tán : 1 2

Nghiệm của phương trình có dạng : y t*( ) A sin( t)

Câu 2 : Cho hệ dao động như hình 13 , tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần

số dao động riêng của hệ ? Biết C1C2C3C4C5C20 /N m , C6C70,5C, C8C91,5C

C C C C  C , m=10 kg

Độ cứng tương đương của lò xo 4,5 mắc nối tiếp :

45

45

20.20 10( / )40

Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3,4,5 : C15C13C4510 60 70( / )N m

Độ cứng tương đương của lò xo 6,7 mắc song song : C67C6C72.0,5C20( / )N m

Độ cứng tương đương của lò xo 8,9 mắc nối tiếp :

8 9

89

1, 5.1,5.20 15( / )3

10 11

1011

2.2.20 20( / )4

12 13

1213

2.2.2020( / )4

15678919

Độ cứng tương đương của hệ lò xo :

*

CCC (N/m) Tần số dao động riêng của hệ :

*0

47, 636

2,18310

Cm

    (rad/s)

Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối

dài L Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ số cản nhớt b như hình 14

1.Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m? 2.Xác định tần số dao động riêng và độ tắt lôga Biết m=10 kg, L= 1m, a= 0,6m ,độ cứng lò xo c=104 N/m , hệ số cản nhớt b=3.102kg s/

Hình 14 Hình 15

1

aO

m

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ,khi hệ dao động có dạng như hình 15 Gọi  là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng Từ hình vẽ mô phỏng chuyển động của hệ , ta được :

2 os2

ba c



0



  ca2sincos mgLsin



Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

2   02 0

2 Tần số dao động riêng của hệ không có cản :

cagmLL

3.10 (0, 6) 5, 4 (s )

bamL



Độ tắt loga

Câu 4 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình ví dụ sau :

Ví dụ : Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là khối lượng mỗi vật điểm là m l ,

Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ số cứng là c , ở vị trí cách trục quay một đoạn là d Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạngbằng khoảng cách giữa hai trục con lắc Bỏ qua khối lượng của thanh , lò xo và bỏ qua lực cản

a.Xác định các tọa độ chính của hệ b.Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu : 1(0) 0 , (0) 02 

1(0) 0 , (0) 0 2 

5,4.0,35 1,89

T



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Gọi  1 , 2 lần lượt là độ dịch chuyển của khối lượng m m1 , 2 khỏi vị trí cân bằng a Từ hệ trên ta có :

ml c  mgl  c   Khi dao động nhỏ sin  , cos 1

(1)

Hình 16

22

Vv

1 11 1

pppp





 (*) Thay (*) vào (2) ta được :

M .V pC .V p0

TM . TC .0

 (4) Ta có :

2

22

g

lgc



 

 (**)

Vậy hệ phương trình (**) là hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính Nghiệm của hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính có dạng

Câu 5 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự

do như hình 17 Các khối lượng chỉ có thể dao động theo phương thẳng đứng

a Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động của cơ hệ ?

b Xác định tần số dao động riêng và vectơ dao động dạng riêng của cơ hệ ?

c Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ chính ?

Điều kiện đầu : c1c2c , b1b22 , bm1m23m

Chọn tọa độ suy rộng là x x1 , 2 với x x1 , 2 lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối lượng m m1 , 2 khỏi vị trí cân bằng tĩnh



Với :





Mx Bx Cx F t( ) (4) Đặt x Vp thay vào phương trình (4) ta được :

M V p BV p C V p F t . . .( )

V M V p V B V p V C V p V F tT . T . T . T ( ) (5) Với :

