Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật cơ điện tử: Nghiên cứu điều khiển hướng chuyển động cho robot rắn

Dựa trên mô hình động lực học của chuyển động Robot rắn, sử dụng các cách tiếp cận điều khiển khác nhau có thể lấy được các luật điều khiển hồi tiếp để giải quyết các vấn đề phân tích đi

GIỚI THIỆU 1

ĐẶC ĐIỂM CỦA ROBOT RẮN

Robot rắn là loại Robot phỏng sinh học, nó được xây dựng bằng phương trình toán học nhằm bắt chước theo hành vi của con rắn trong tự nhiên Nhìn chung cấu trúc vật lý của Robot rắn bao gồm nhiều modul kết nối liên tiếp nhau Robot rắn là hệ thống underactuated, nó có ít biến ngõ vào điều khiển hơn bậc tự do của nó và Robot rắn là hệ hyper redundant vì nó có nhiều bậc tự do Ngoài ra Robot rắn còn có dáng di chuyển phức tạp nhờ vào cấu trúc cơ thể kì lạ của nó, qua đó Robot rắn có thể di chuyển trong nhiều địa hình phức tạp khác nhau những nơi mà con người không thể tiếp cận được Robot rắn có thể di chuyển linh hoạt trong môi trường phức tạp và có khả năng vượt qua các địa hình hẹp nhờ vào biến dạng cơ thể, ngoài ra sự vắng mặt của các cơ quan chuyển động chuyên dụng như chân và cánh, là những đặc điểm thú vị của Robot rắn Lấy cảm hứng từ những đặc tính này, trong nhiều năm qua, rất nhiều nhà nghiên cứu Robot đã cố gắng xây dựng các mô hình toán học khác nhau để có thể mô phỏng các đặc tính của Rắn sinh học Do sự phức tạp trong cấu trúc cơ học và hành vi động học của Robot rắn, điều khiển vận hành các Robot này vẫn là một lĩnh vực mở Hơn nữa, tính phức tạp trong hành vi chuyển động của các hệ thống này đã cho phép Robot rắn được dùng như một ví dụ chuẩn mực có giá trị để xác nhận tính hiệu quả của nhiều phương pháp điều khiển phi tuyến Những đặc tính khác thường về hình dạng chuyển động và cấu trúc vật lý của Robot rắn sẽ đặt ra những thách thức về điều khiển, và đó sẽ là niềm cảm hứng để tìm ra phương pháp điều khiển Robot rắn trong luận văn này

Hình 1.1 Robot rắn ACM III là Robot rắn đầu tiên trên thế giới [73]

LƯỢC SỬ VỀ ROBOT RẮN

Những nghiên cứu về mô hình toán về Robot rắn trên thế giới đã có từ rất sớm, [1] Gray tác giả của bài báo đã mô tả toán học các lực tác động lên Robot rắn, qua đó lực này đẩy Robot rắn di chuyển về phía trước Một trong những dáng đi cơ bản để Robot rắn để di chuyển về phía trước gọi là lateral undulation [2], trong suốt quá trình uốn lượn theo dạng sóng ngang Robot rắn thay đổi hình dáng định kì giống như một làn sóng lan truyền ngược từ đầu đến đuôi Theo kết quả của chuyển động này, hình dáng Robot rắn sẽ tạo ra một đường cong định kì trên mặt phẳng, mà tác giả Hirose [2] thể hiện bằng mô tả toán học như một đường cong serpenoid Tương tự như vậy cách tạo lực đẩy bằng cách uốn cong cơ thể theo hình dạng serpenoid được trình bày trong các bài báo [3]-[5] Ngoài ra phân tích chuyển động cho Robot rắn còn có tính đến phương pháp ràng buộc chống trượt ngang, các bài báo [6]- [8] tác giả trình bày phương pháp hạn chế thân Robot rắn chuyển động ngang, qua đó quan sát mối quan hệ giữa khả năng thay đổi hình dáng theo chu kì với tốc độ di chuyển thân

Phương pháp này nhằm giảm lực ma sát tác động lên thân Robot rắn sau đó tính toán lực đẩy cho Robot rắn Trong [9], [10] tác giả cho thấy ngoài khả năng di chuyển uốn lượn cơ thể như lateral undulation, Robot rắn còn có thể nâng cơ thể lên để vượt chướng ngại vật nhờ vào khả năng phân bố lực giúp cho Robot rắn trườn về phía trước Phân tích chuyển động của Robot rắn trên mặt phẳng không có ràng buộc chống trượt ngang là một hướng đi khác, các tác giả muốn phân tích ảnh hưởng giữa sự thay đổi hình dáng Robot rắn khi chuyển động và lực ma sát

Hình 1.2 Robot rắn ACR 3 có gắn bánh xe dọc thân mỗi đoạn [73]

Qua các bài báo [11]-[13] tác giả phân tích khả năng điều khiển biến khớp khi di chuyển, qua đó chỉ ra rằng vận tốc trung bình của Robot rắn tỷ lệ thuận với biên độ bình phương chuyển động hình sin của mỗi khớp Robot, tỷ lệ với tần số góc của chuyển động hình sin của mỗi khớp, tỷ lệ với sự dịch chuyển pha liên tục giữa các khớp Trong [14]-[16] tác giả phân tích khả năng Robot rắn vượt qua các chướng ngại vật như mô đất hay hố trũng, ngoài phân tích ảnh hưởng giữa sự thay đổi hình dáng Robot rắn khi chuyển động và lực ma sát

Tác giả còn phân tích lực ma sát giúp cho Robot rắn không bị trượt, duy trì cân bằng, ổn định khi đang chuyển động Lực ma sát nhớt và ma sát Coulomb được trình bày trong các bài báo này Trong các bài báo [17]-[20] mô hình toán Robot rắn có thể được áp dụng chuyển động dưới nước theo phương pháp serpenoid Mô hình này bị tác động bởi lực nâng và lực kéo trong nước, qua đó phân tích khả năng điều khiển Robot dưới nước Phương pháp dựa vào lực tiếp xúc để đo khả năng va chạm sau đó tính toán lực đẩy giúp cho Robot rắn vượt qua chướng ngại vật, được trình bày trong [21]-[27] tác giả mô tả Robot rắn có thể đi qua môi trường lộn xộn và bất thường bằng cách sử dụng khả năng linh hoạt cơ thể của nó như các điểm đẩy để hỗ trợ lực đẩy Tác giả trình bày hai loại hình dạng chuyển động dựa trên sóng tĩnh và sóng di chuyển của sự biến dạng cơ thể, hình dạng này thể hiện khả năng di chuyển linh hoạt của Robot nhằm tránh vật cản trên đường đi

Robot rắn có khả năng chuyển động trong môi trường phức tạp không định trước, cho nên Robot rắn cần có thiết kế linh hoạt và uyển chuyển để có thể thích nghi với môi trường xung quanh Thiết kế Robot rắn có gắn bánh xe được trình bày trong [28]-[30], Robot rắn có khả năng di chuyển trên môi trường cơ bản như mặt phẳng 2D, nó có thể chuyển động theo chiều ngang hay chiều dọc Tuy nhiên với cơ cấu này Robot rắn gặp rất nhiều khó khăn khi di chuyển trên bề mặt gồ ghề phức tạp, cho nên phương pháp này thường được dùng trong phòng thí nghiệm Để khắc phục hạn chế trên các bài báo [31]-[33] trình bày mô hình Robot rắn không có gắn bánh xe, nghĩa là Robot rắn được thiết kế bao gồm các đoạn liên kết trực tiếp kết nối với nhau bằng các khớp nối có gắn động cơ Mặc dù không có bánh xe nhưng Robot rắn có thể chuyển động về phía trước qua lực ma sát bất đẳng hướng, phương pháp di chuyển này dựa vào khả năng uốn lượn thân bằng cách xoay và nâng cơ thể lên qua đó Robot rắn dễ dàng trườn đi Để cho chuyển động điều hòa cần có một phần mềm điều khiển, quản lý sự chuyển động hài hòa cho Robot rắn

Hình 1.3 Robot rắn S5 có gắn bánh xe dưới thân mỗi đoạn [73] Để tạo sự linh hoạt cao hơn trong di chuyển bài báo [34] trình bày một trong những loại Robot giống rắn có tên là 'Genbu' bao gồm các bánh xe chủ động và nhiều khớp bị động

Mặc dù Genbu không thể vượt qua khoảng cách rộng, nhưng chúng có độ bền cao vì các khớp nối của chúng không được điều khiển bằng động cơ có gắn bánh răng Vì vậy, Genbu có tính di động cao trên địa hình gồ ghề ở tốc độ cao Hơn nữa cấu trúc khớp nối dài thích hợp để leo qua những vật cản Trong [36] tác giả sử dụng cơ chế lái ổ bi và thiết kế một hệ thống điều khiển để tăng khả năng cho Robot rắn leo bậc thang Nghiên cứu trước đây về khả năng cảm ứng với môi trường bên ngoài của Robot rắn còn hạn chế, để tăng khả năng thích nghi với môi trường bên ngoài trong thiết kế cơ cấu thường lắp đặt thêm cảm biến lực

Hình 1.4 Robot rắn ACR 5 có gắn bánh xe dọc thân và có khả năng bơi dưới nước [73]

Trong [37] Robot rắn được thiết kế gắn cảm biến tương tác lực vào mỗi bánh xe, sau đó sử dụng dữ liệu thu thập được bởi các cảm biến, bộ điều khiển được thiết kế để tối ưu hóa chuyển động trên bề mặt với các hệ số ma sát khác nhau Trong [38]-[40] tác giả trình bày cơ cấu Robot rắn không có gắn bánh xe, thiết kế này có thể gắn cảm biến dọc thân Robot rắn qua đó thu thập dữ liệu từ môi trường xung quanh về bộ xử lý trung tâm như vậy Robot rắn sẽ thích nghi với môi trường bên ngoài bằng cách thay đổi hình dáng cho phù hợp Với cơ chế đẩy thân về phía trước [35] Robot rắn này có cơ cấu hình trụ và hệ thống cảm biến lực 3 trục được gắn với bánh xe bố trí dọc thân Robot rắn có khả năng cảm nhận môi trường xung quanh của nó Ngoài khả năng di chuyển trên mặt phẳng Robot rắn này còn có thể trườn đi trong môi trường phức tạp nhờ vào cơ cấu đẩy Điều khiển Robot rắn chuyển động theo hình dáng kiểu lateral undulation là phổ biến nhất và nhanh nhất, có rất nhiều bài báo sử dụng phương pháp này vì nó đơn giản và dễ sử dụng Điều khiển Robot rắn chuyển động trên mặt phẳng có ràng buộc chống trượt ngang cũng là một cách thông dụng, trong [41] tác giả mô tả Robot rắn di chuyển trên mặt đất có gắn bánh xe, mỗi khớp được gắn động cơ để điều khiển chuyển động Để tạo chuyển động cho Robot rắn di chuyển về trước mỗi khớp chuyển động theo chu kỳ và có độ lệch pha giữa các động cơ điều khiển khớp Tương tự như mô hình Robot rắn có gắn bánh xe như trên trong [42] tác giả dùng phương pháp năng lượng để điều khiển Robot rắn, đầu tiên tác giả mô tả tương tác giữa Robot rắn và môi trường bên ngoài bằng lực ma sát Coulomb, kế đó tác giả cho thấy sự chuyển đổi động năng sẽ ảnh hưởng đến khả năng chuyển động của Robot rắn, sau cùng ảnh hưởng của động năng sẽ giúp điều khiển biến khớp giúp Robot rắn trườn đi Trong [43] mô hình Robot rắn có gắn bánh xe, tác giả đề xuất một chiến lược điều khiển dựa trên lực ma sát giữa cơ thể Robot và mặt đất Qua đó hàm ràng buộc biến khớp là hàm chi phí dạng toàn phương Phương pháp điều khiển Robot rắn theo hướng đầu được áp dụng trong [44], tác giả trình bày mô hình Robot rắn có gắn bánh xe và áp dụng phương pháp theo hướng đầu để tất cả các đoạn của Robot rắn lần theo dấu của đầu Robot rắn Một phương pháp áp dụng cho Robot rắn không có gắn bánh xe là điều khiển chuyển động trên mặt phẳng không ràng buộc chống trượt ngang, [45] Robot rắn được tác giả mô tả di chuyển trên mặt phẳng mỗi khớp được gắn động cơ và cách di chuyển được thực hiện bằng cách các đoạn phối hợp nhịp nhàng với nhau

Hình 1.5 Robot rắn Uncle Sam không có gắn bánh xe và có khả năng leo cây [73]

Trong [46]-[47] bài báo này mô tả dựa trên mô hình các khớp của Robot rắn mà không có bánh xe Bộ điều khiển được dựa trên phương pháp tuyến tính hóa vào ra Ngoài ra, tác giả còn chứng minh phương pháp dựa vào Lyapunov để khảo sát độ ổn định vòng kín cho mô hình Cuối cùng, khả năng hoạt động của bộ điều khiển được kiểm tra trên mô hình Robot rắn với lực ma sát Coulomb, qua đó mô tả chính xác chuyển động trượt trong quá trình di chuyển của Robot rắn Điều khiển Robot rắn phụ thuộc vào ràng buộc vận tốc nonholonomic là cách dùng phổ biến hiện nay, [48] bài báo này dùng mô hình động lực học và tìm luật điều khiển quỹ đạo cho Robot rắn, dùng bánh xe bị động và điều khiển từng khớp dựa vào mô hình động lực học Áp dụng kỹ thuật tuyến tính hóa vào ra để điều khiển vị trí đầu Robot rắn bằng hồi tiếp PD, tuy nhiên Robot sẽ bị suy biến Để giải quyết vấn đề này dùng luật điều khiển hình dáng để tránh giá trị suy biến Luật điều khiển hình dáng này là loại điều khiển compute torque cho vị trí và hướng đầu Robot rắn theo ràng buộc vận tốc nonholonomic Trong [49] bài báo thảo luận về khả năng điều khiển tự hành của Robot rắn có bánh xe bị động Robot rắn có cơ cấu đặc biệt, nó không có bánh lái và chỉ chuyển động bằng cách uốn cong thân cơ cấu Do đó tính cơ động phụ thuộc rất nhiều vào tư thế của nó Để đánh giá khả năng di chuyển linh hoạt này bài báo đề xuất một khái niệm dựa trên khả năng di chuyển của Robot rắn và tìm ra luật điều khiển hình dáng, luật điều khiển compute torque cho vị trí và hướng đầu Robot rắn theo ràng buộc vận tốc nonholonomic Trong [50] tác giả xem xét khả năng di chuyển của Robot rắn 3D, theo các nhiệm vụ như di chuyển theo quỹ đạo mong muốn, tránh vật cản, tránh giá trị suy biến Luật điều khiển compute torque cho vị trí và hướng đầu Robot rắn theo ràng buộc vận tốc nonholonomic sẽ được áp dụng

Hình 1.6 Robot rắn với một cơ được gắn liền bởi các khớp được phát triển tại Viện Công nghệ Tokyo [73]

Trong [51] bài báo này trước tiên thảo luận về khả năng điều khiển của một con Robot rắn 3D, và sau đó tìm ra bộ điều khiển vị trí và điều khiển theo quỹ đạo Tất cả các đoạn của Robot rắn sẽ phụ thuộc vào ràng buộc trượt vận tốc nonholonomic, ràng buộc này sẽ giúp nâng Robot rắn lên cao khỏi mặt đất, giúp Robot rắn có thêm nhiều bậc tự do hơn để di chuyển theo quỹ đạo trong khi vẫn duy trì chuyển động và dễ dàng điều khiển Trong [52] bài báo này xem xét chuyển động nâng lên theo dạng sin, là dạng chuyển động có hiệu quả di chuyển nhanh bao gồm nâng một số bộ phận cơ thể Robot rắn lên khỏi mặt đất và chuyển đổi giữa phần tiếp đất với phần được nâng lên nhanh chóng Dựa vào lý thuyết điều khiển bài báo dùng luật ràng buộc vận tốc nonholonomic cho bánh xe bị động và phần cơ thể Robot rắn tiếp đất để giảm lực ràng buộc giúp Robot rắn di chuyển nhanh Trong [53] tác giả trình bày mô hình Robot rắn di chuyển trên mặt đất không có gắn bánh xe, áp dụng phương pháp điều khiển Lyapunov và ràng buộc đầu Robot rắn theo dấu serpenoid để cho tất cả các đoạn còn lại theo góc đầu Phương pháp mới điều khiển theo quỹ đạo của Robot rắn không phụ thuộc vào ràng buộc vận tốc nonholonomic, [54] bài báo này nghiên cứu các vấn đề điều khiển và hoạch định chuyển động cho Robot rắn di chuyển dưới nước Tác giả sẽ trình bày cách tạo ra các phương trình momen cho biến khớp Qua đó chứng minh luật điều khiển theo quỹ đạo của Robot rắn bơi dưới nước bằng cách điều khiển biến khớp theo hình dạng định trước trong khi góc bù của mỗi khớp lái Robot rắn đi theo quỹ đạo mong muốn Trong [55] bài báo trình bày một phương pháp xác định hình dạng tối ưu cho hệ thống chuyển động Phương pháp này tổng hợp các kỹ thuật, tính toán làm giảm các phương trình chuyển động của hệ thống Điều này cho phép tập trung vào thiết kế hình dáng bỏ qua mối quan tâm về động lực học hình dáng Sử dụng các thuận lợi này tác giả chỉ ra một phương pháp điều khiển tối ưu dựa trên hàm toàn phương Gaussian, do đó tạo ra hình dáng tối ưu

Vì vậy phương pháp này tạo ra luật điều khiển hình dáng tối ưu trong quá trình điều khiển vị trí cho Robot rắn

Hình 1.7 Robot rắn OmniTread được phát triển tại Đại học Michigan [73]

Tác giả xây dựng mô hình Robot rắn 3D, [56]-[57] và sau đó phân tích chuyển động nâng lên rồi trườn về phía trước Thuật toán điều khiển được dùng cho chuyển động nâng lên rồi trườn về phía trước theo dạng lateral có được qua giải bài toán toàn phương tối ưu Bài báo chứng minh lý thuyết điều khiển phân tầng được dùng cho điều khiển theo quỹ đạo của

Robot rắn bằng mô hình đơn giản [58] Trong mô hình đơn giản này chuyển động của các đoạn được mô hình xấp xỉ qua chuyển động thẳng thay cho chuyển động xoay, với giá trị góc khớp nhỏ Bài báo này chứng minh điều khiển theo quỹ đạo của Robot rắn trên mặt phẳng 2D dùng ràng buộc ảo [59] Dùng phương trình Euler Lagrange cho chuyển động Robot rắn Ngoài ra còn tích hợp ảnh hưởng của lực ma sát đối với phương trình này Sau đó định nghĩa các mối quan hệ tọa độ tổng quát của hệ thống dùng phương pháp ràng buộc ảo Những ràng buộc ảo hình học này là tập con của hệ thống Tác giả bài báo này chứng minh tập ràng buộc này có thể bất biến bằng cách chọn bộ điều khiển hồi tiếp phù hợp [60]

Qua đó cho thấy dùng ràng buộc ảo Robot rắn có thể hội tụ theo quỹ đạo hình học mong muốn Bài báo phân tích chuyển động của Robot rắn theo phương pháp phi tuyến Tính ổn định được trình bày chứng minh rằng bất kỳ luật điều khiển ổn định tiệm cận nào cho Robot rắn trên mặt phẳng đến một điểm cân bằng phải thay đổi theo thời gian

Hình 1.8 Robot rắn với hệ thống động cơ đẩy qua lớp da được phát triển ở Đại học

Phân tích khả năng điều khiển được khi ma sát nhớt là bất đẳng hướng Trong [61] bài báo này xem xét chuyển động xoay rồi nâng lên của một Robot rắn, qua đó Robot rắn nâng một số phần của cơ thể lên khỏi mặt đất, và chuyển động các bộ phận cơ thể nâng lên một cách linh hoạt Mục đích của bài báo này là để đề xuất một mô hình chuyển động thích hợp cho một Robot rắn giống như sự tối ưu của chuyển động xoay rồi nâng lên Bài báo giới thiệu hai tham số vật lý, ràng buộc lực và hiệu suất năng lượng, như một hàm chi phí để tối ưu hóa và đề xuất thuật toán chuyển đổi để tạo ra các mô hình chuyển động tối ưu cho Robot rắn Trong [62] bài báo này đưa ra một phương pháp lập kế hoạch sẵn có, nó sẽ tạo ra các quỹ đạo đường đi trong một không gian làm việc hạn hẹp Và nó còn có khả năng lựa chọn dáng di chuyển cho Robot rắn Sự đóng góp của bài báo này dựa trên ràng buộc ảo, đó là một sự lựa chọn ràng buộc cơ thể cho Robot rắn, qua đó chứng minh khả năng điều khiển Robot rắn dựa vào ràng buộc này nó có thể di chuyển dễ dàng trong điều kiện môi trường phức tạp Một phương pháp khác là điều khiển Robot rắn dựa vào mẫu hình dạng có sẵn nhằm tạo lực đẩy Robot về phía trước, [63] bài báo mô tả mô hình Robot rắn theo dạng module có gắn bánh xe bị động vào trọng tâm mỗi đoạn Để điều khiển Robot rắn chuyển động theo hướng cho sẵn, bài báo dùng phương pháp điều chỉnh biên và điều chỉnh pha theo dạng đường cong serpenoid Qua cách này Robot rắn có thể di chuyển về trước dễ dàng

Trong bài báo [64], tác giả xem xét một Robot rắn mà không có bánh xe Mục tiêu là thiết lập một phương pháp toán học cho việc mô phỏng, phân tích và tổng hợp chuyển động Serpentine cho một con Robot nhiều đoạn Qua đó có thể tìm ra công thức toán học nhằm tạo lực đẩy cho Robot rắn di chuyển

Hình 1.9 Robot rắn robot Kulko phát triển tại Viện Khoa học và Công nghệ tại Đại học Na Uy [73]

MÔ HÌNH HÓA 14

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC ROBOT RẮN

Robot rắn có N đoạn với chiều dài 2*l mỗi đoạn nối tiếp nhau qua N-1 khớp Không quan tâm đến chiều rộng mỗi đoạn trong mô hình Tất cả N đoạn có cùng khối lượng m và moment quán tính 𝐽 = 1 3 𝑚𝑙 2 Tổng khối lượng của Robot rắn là N*m

Hình 2.1 Mô hình động học robot rắn [75]

Ký hiệu Mô tả Giá trị mô phỏng

Số đoạn Chiều dài mỗi đoạn Khối lượng mỗi đoạn

Vector góc mỗi đoạn Vector góc mỗi khớp Vị trí trọng tâm robot rắn

Vị trí toàn cục mỗi đoạn Hệ số ma sát pháp tuyến Hệ số ma sát tiếp tuyến

Bảng 2.1: Thông số robot rắn

Dựa vào [75] ta có ký hiệu về ma trận và vectơ như sau :

∈ ℝ 𝑁×(𝑁−1) , ma trận chuyển đổi giữa góc đoạn và góc khớp

𝑉 = 𝐴 𝑇 (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 𝐴, ma trận không suy biến

𝐾 = 𝐴 𝑇 (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 𝐷, ma trận không suy biến

−𝐾 𝑇 𝐶 𝜃 ], vectơ sin cos theo 2 trục x, y

Ma trận A là ma trận thêm vào để thêm từng cặp phần tử trong ma trận Ma trận D là ma trận trừ dùng để trừ từng cặp phần tử trong ma trận Vectơ e là vectơ tổng dùng để cộng tất cả các phần tử của một vectơ có kích thước N

Robot rắn di chuyển trên mặt phẳng 2D và bằng phẳng, có N+2 bậc tự do (N đoạn và vị trí theo trục x, y của Robot trong mặt phẳng)

Góc đoạn là góc hợp bởi hướng của đoạn và trục tọa độ x toàn cục

Góc khớp là sự khác biệt giữa 2 góc đoạn liền kề 𝜙 𝑖 = 𝜃 𝑖 − 𝜃 𝑖+1 Ta có ký hiệu góc đoạn là 𝜃 = [𝜃 1 … 𝜃 𝑁 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁

Ký hiệu góc khớp 𝜙 = [𝜙 1 … 𝜙 𝑁−1 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁−1 Hướng của Robot rắn ký hiệu là 𝜃̅ ∈ ℝ và được định nghĩa là 𝜃̅ = 𝑁 1 ∑ 𝑁 𝑖=1 𝜃 𝑖 (2.1)

Hệ tọa độ cục bộ mỗi đoạn sẽ gắn với hệ tọa độ toàn cục qua trục x, y có ma trận xoay theo hình 2.1 là

Vị trí trọng tâm Robot 𝑝 ∈ ℝ 2 trong hệ tọa độ toàn cục là

Vận tốc dài của Robot rắn theo hướng đầu hình 2.1 là

Kết nối giữa 2 đoạn liền kề nhau tại một khớp phải có 2 ràng buộc 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 = 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 + 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖+1 (2.6a) 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖 = 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 + 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖+1 (2.6b) Ta có ràng buộc khớp cho tất cả các đoạn theo dạng ma trận là

Khi 𝐾 = 𝐴 𝑇 (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 𝐷 ∈ ℝ 𝑁×𝑁 và 𝐷𝐷 𝑇 không suy biến, vận tốc dài của các đoạn khi vi phân (2.11) là

Vận tốc dài của mỗi đoạn trong hệ tọa độ toàn cục

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT RẮN

Lực ma sát tác dụng trên một đoạn đặt tại trọng tâm mỗi đoạn

Tất cả lực ma sát tác dụng trên toàn bộ Robot rắn

Khi 𝑓 𝑅,𝑥 = [𝑓𝑅,𝑥,1 … 𝑓 𝑅,𝑥,𝑁 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 và 𝑓 𝑅,𝑦 = [𝑓𝑅,𝑦,1 … 𝑓 𝑅,𝑦,𝑁 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 Chứa tất cả lực ma sát tác dụng trên tất cả đoạn trong hệ tọa độ toàn cục x, y

Hệ số ma sát nhớt theo phương tiếp tuyến x và phương pháp tuyến y tác dụng lên mỗi đoạn là 𝑐 𝑡 , 𝑐 𝑛 Lực ma sát tác dụng lên một đoạn i theo hệ tọa độ cục bộ 𝑓 𝑅,𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑘,𝑖 ∈ ℝ 2

Khi 𝑣 𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑘,𝑖 ∈ ℝ 2 là vận tốc mỗi đoạn trong hệ tọa độ cục bộ, g là gia tốc trọng trường hằng số Lực ma sát nhớt hệ toàn cục biểu diễn trên một đoạn i

Lực ma sát nhớt hệ toàn cục tác dụng trên toàn Robot rắn

Ta có X = ⌊𝑥 1 … 𝑥 𝑁 ⌋ 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 , 𝑌 = ⌊𝑦 1 … 𝑦 𝑁 ⌋ 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 là vector tọa độ trọng tâm của robot rắn Ma trận 𝑄 𝜃 ánh xạ vận tốc trọng tâm của robot rắn đến lực ma sát tác động lên robot

(𝑐 𝑡 − 𝑐 𝑛 )𝑆 𝜃 𝐶 𝜃 𝑐 𝑡 (𝑆 𝜃 ) 2 + 𝑐 𝑛 (𝐶 𝜃 ) 2 ] (2.21) Cho 𝑢 𝜃 𝑁 = ⌊𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑁 , 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑁 ⌋ 𝑇 và 𝑣 𝜃 𝑁 = ⌊−𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑁 , 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑁 ⌋ 𝑇 Định nghĩa 2 biến mới

Trong đó, 𝑣 𝑡 và 𝑣 𝑛 là 2 vectơ vận tốc quán tính vô hướng của trọng tâm khối lượng Robot rắn, vectơ 𝑣 𝑡 song song với góc đầu Robot rắn và vectơ 𝑣 𝑛 vuông góc với góc đầu Robot rắn.

Robot rắn có N+2 bậc tự do, được định nghĩa tất cả góc đoạn 𝜃 ∈ ℝ 𝑁 và vị trí tọa độ trọng tâm 𝑝 ∈ ℝ 2 Chúng ta sẽ trình bày phương trình chuyển động Robot rắn theo gia tốc góc đoạn 𝜃̈ và gia tốc vị trí trọng tâm 𝑝̈

Phương trình gia tốc trọng tâm của Robot rắn bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên Robot chia cho khối lượng của Robot là:

Phương trình cân bằng lực cho tất cả các đoạn của Robot rắn trình bày theo dạng ma trận là:

Và ℎ 𝑥 , ℎ 𝑦 là lực ràng buộc khớp, có tác dụng kết nối các đoạn lại với nhau ℎ 𝑥 = (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 (𝑚𝑙𝐴(𝐶 𝜃 𝜃̇ 2 + 𝑆 𝜃 𝜃̈) − 𝐷𝑓 𝑅,𝑥 ) (2.25a) ℎ 𝑦 = (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 (𝑚𝑙𝐴(𝑆 𝜃 𝜃̇ 2 + 𝐶 𝜃 𝜃̈) − 𝐷𝑓 𝑅,𝑦 ) (2.25b) Thay thế (2.25a) và (2.25b) vào (2.34) ta có mô hình Robot rắn đầy đủ

𝑒 𝑇 𝑓 𝑅,𝑦 ] = 𝐸 𝑇 𝑓 𝑅 (2.26b) 𝑀 𝜃 = 𝐽𝐼 𝑁 + 𝑚𝑙 2 𝑆 𝜃 𝑉𝑆 𝜃 + 𝑚𝑙 2 𝐶 𝜃 𝑉𝐶 𝜃 , ma trận quán tính xác định dương (2.27a) 𝑊 = 𝑚𝑙 2 𝑆 𝜃 𝑉𝐶 𝜃 − 𝑚𝑙 2 𝐶 𝜃 𝑉𝑆 𝜃 , ma trận lực coriolis và lực trung tâm (2.27b) 𝑉 = 𝐴 𝑇 (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 𝐴, ma trận không suy biến (2.27c) 𝐾 = 𝐴 𝑇 (𝐷𝐷 𝑇 ) −1 𝐷, ma trận không suy biến (2.27d)

2.2.3 KỸ THUẬT PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT RẮN

Mô hình Robot rắn (2.26) rất phức tạp nên khó khăn cho phân tích và điều khiển, do đó cần tìm phương pháp chuyển đổi mô hình sang dạng đơn giản hơn

Gia tốc trọng tâm của Robot rắn 𝑝̈ chỉ phụ thuộc vào phần không điều khiển được nên nó không ảnh hưởng đến biến ngõ vào u Gia tốc góc của đoạn 𝜃̈ ảnh hưởng đến N gia tốc đoạn và N-1 biến ngõ vào điều khiển 𝑢 ∈ ℝ 𝑁−1 Tuy nhiên không thể phân tích phương trình (2.26a) của 𝜃̈ ra thành 2 phần điều khiển và không điều khiển do ma trận 𝐷 𝑇 đứng trước biến điều khiển ngõ vào u ảnh hưởng trực tiếp đến u và tất cả các đoạn Vì vậy chỉ có thể tìm dạng mô hình chỉ ảnh hưởng trực tiếp giữa u và N-1 gia tốc đoạn Điều này có thể đạt được bằng cách hiệu chỉnh sự lựa chọn hệ tọa độ tổng quát từ góc đoạn tuyệt đối sang góc đoạn tương đối Hệ tọa độ của mô hình (2.26) được cho bởi góc đoạn 𝜃 và tọa độ trọng tâm Robot rắn p Bây giờ thay hệ tọa độ đó bằng:

Ta có 𝜙̅ = [𝜙 1 , … , 𝜙 𝑁−1 , 𝜃 𝑁 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 chứa N-1 góc khớp của Robot rắn và góc đoạn tuyệt đối 𝜃 𝑁 ∈ ℝ của đầu Robot Hệ tọa độ chuyển đổi giữa góc đoạn và góc khớp:

Mô hình của Robot rắn trong hệ tọa độ mới được thành lập bằng cách chèn (2.29) vào (2.26)

Cuối cùng nhân 𝐻 𝑇 vào 2 vế của phương trình (2.30a) mục tiêu làm cho gia tốc của đoạn vế bên phải của phương trình độc lập với biến ngõ vào u

Mô hình hoàn chỉnh của Robot rắn theo dạng điều khiển góc khớp:

𝑝], vectơ chỉ góc khớp và vị trí Robot rắn (2.32a)

0 𝑁×2 𝑁𝑚𝐼 2 ], ma trận quán tính đối xứng xác định dương (2.32b)

0 𝑁×2 ], ma trận lực coriolis và lực trung tâm (2.32c)

], ma trận ngoại lực tác động lên Robot (2.32d)

𝐵̅ = [ 𝐼 𝑁−1 0 3×(𝑁−1) ], ma trận ánh xạ ngõ vào (2.32e) Và 𝑆 𝐻𝜙 ̅ = 𝑆 𝜃 , 𝐶 𝐻𝜙 ̅ = 𝐶 𝜃 mối quan hệ giữa hàm sin, cos giữa góc đoạn và góc khớp

(N-1) phương trình đầu tiên của (2.31) trình bày biến điều khiển trực tiếp của Robot rắn và 3 phương trình sau trình bày biến điều khiển không trực tiếp như biến điều khiển góc đầu và vị trí Robot rắn Mô hình có thể được chia thành :

Ta có 𝑞 𝑎 = [𝜙 1 , … , 𝜙 𝑁−1 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁−1 trình bày biến điều khiển trực tiếp và 𝑞 𝑢 [𝜃 1 , 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ] 𝑇 ∈ ℝ 3 trình bày biến điều khiển gián tiếp, 𝑚 11 ∈ ℝ(𝑁−1)×(N−1), 𝑚 12 ∈ℝ (𝑁−1)×3 , 𝑚 21 ∈ ℝ 3×(N−1) , 𝑚 22 ∈ ℝ 3×3 , 𝑊̅ 1 ∈ ℝ 𝑁−1 , 𝑊̅ 2 ∈ ℝ 3 , 𝐺̅ 1 ∈ ℝ (𝑁−1)×2N , 𝐺̅ 2 ∈ℝ 3×2N , ℎ 1 (𝑥, 𝑥̇) ∈ ℝ 𝑁−1 và ℎ 2 (𝑥, 𝑥̇) ∈ ℝ 3 bao gồm sự đóng góp của lực coriolis, lực hướng tâm, lực ma sát nhớt

2.2.4 KỸ THUẬT HỒI TIẾP TUYẾN TÍNH HÓA TỪNG PHẦN ROBOT RẮN

Dựa vào mô hình đã phân chia (2.33) có thể chuyển sang dạng hồi tiếp tuyến tính hóa

Từ (2.33b) ta có 𝑞̈ 𝑢 = −𝑚 22 −1 (ℎ 2 + 𝑚 21 𝑞̈ 𝑎 ) ∈ ℝ 3 (2.34) Thay (2.34) vào (2.33a)

(𝑚 11 − 𝑚 12 𝑚 22 −1 𝑚 21 )𝑞̈ 𝑎 − (𝑚 12 𝑚 22 −1 )ℎ 2 + ℎ 1 = 𝑢 (2.35) Để tuyến tính phương trình động lực học thành phần điều khiển trực tiếp, dùng phương pháp chuyển đổi toàn bộ vecto biến ngõ vào

𝑢 = (𝑚 11 − 𝑚 12 𝑚 22 −1 𝑚 21 )𝜗 − (𝑚 12 𝑚 22 −1 )ℎ 2 + ℎ 1 (2.36) Ta có 𝜗 = [𝜗 1 , 𝜗 2 , … , 𝜗 𝑁−1 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁−1 là vecto biến điều khiển mới

Mô hình động lực học có thể viết lại dưới dạng tuyến tính hóa từng phần

Khi 𝛽 𝑖 (𝑞 𝑎 ): 𝒬 → ℝ và 𝑓 𝜃 𝑁 , 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 là các lực ma sát tác dụng lên 𝜃 𝑁 , 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , (𝑓 𝜃 𝑁 là lực coriolis bên cạnh lực ma sát nhớt)

Với mục tiêu phân tích điều khiển thiết kế dạng model-based viết lại (2.37a) và (2.37b) theo dạng chi tiết hơn:

Phương trình (2.40a) và (2.40b) là dạng hệ thống điều khiển affine Trong thực tế nó là dạng:

Gọi là dạng trường vectơ kép, điểm đặc biệt của hệ thống là ngõ vào điều khiển bằng 0

Ngoài ra cột ma trận

Là dạng trường vectơ điều khiển, nó cho phép điều khiển cấu hình bên trong và theo đó điều khiển hướng và vị trí của Robot rắn trên mặt phẳng

Hai dòng cuối của vectơ điều khiển (2.42) bằng 0, có nghĩa là vectơ điều khiển không ảnh hưởng trực tiếp đến vị trí của Robot rắn Ngoài ra phương trình động lực học của vị trí tâm Robot rắn liên quan đến biến hình dạng điều khiển trực tiếp 𝑞 𝑎 (2.40a) chỉ chịu ảnh hưởng của lực ma sát.

KIỂU DI CHUYỂN CỦA ROBOT RẮN

Kiểu di chuyển Lateral Undulation là kiểu di chuyển phổ biến nhất ở loài rắn Giống như dạng sóng lan truyền, sóng sẽ uốn cong từ bên ngoài truyền dọc thân từ đầu đến đuôi Khi con rắn uốn cong thân mình lên đẩy các vật cản xung quanh, để tạo một lực giúp nó trườn về phía trước Lúc con rắn trườn đi, mỗi điểm trên cơ thể nó theo một quỹ đạo được hình thành bởi đầu và cổ, giống như những chiếc xe lửa của đoàn tàu chạy theo đầu tàu khi nó di chuyển trên đường ray Do đó, ma sát trượt là một phần quan trọng của Lateral Undulation

Sự điều chỉnh của độ cong quanh mỗi điểm tiếp xúc với vật thể bên ngoài cho thấy khả năng điều khiển bậc cao, đặc biệt đối với rắn và một vài loài thằn lằn không có chân

Hình 2.3 Kiểu di chuyển Lateral Undulation [75]

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 25

BỘ ĐIỀU KHIỂN THEO HƯỚNG

Direction Following Control (DFC) thiết kế bộ điều khiển theo hướng đạt được hướng và vận tốc mong muốn

1 Điều khiển góc đầu robot rắn 𝜃 𝑁 theo hướng mong muốn 𝜃 𝑟𝑒𝑓 2 Điều khiển vận tốc tiếp tuyến 𝑣 𝑡 = 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 𝑝̇ đạt được vận tốc mong muốn 𝑣 𝑟𝑒𝑓 3 Điều khiển vận tốc pháp tuyến 𝑣 𝑛 = 𝑣 𝜃 𝑇 𝑁 𝑝̇ giữ cho vận tốc này gần bằng 0

Những vấn đề ở trên cho thấy, nếu 𝜃 𝑁 = 𝜃 𝑟𝑒𝑓 và sau đó 𝑝̇ = 𝑝̇ 𝑟𝑒𝑓 thì tương đương (𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 ) → (𝑣 𝑟𝑒𝑓 , 0)

Phương pháp giải quyết vấn đề: Để giải DFC cần điều khiển ổn định dáng đi (lateral undulation) cho biến hình dáng của robot Cần phải có 3 giai đoạn:

• Giai đoạn 1: Điều khiển hình dáng, dùng biến điều khiển u trong (2.26a) để điều khiển ổn định dáng đi robot rắn theo (lateral undulation) [2], khi đó 𝜔𝑡 được thay bởi biến 𝜆 và biến 𝜙 0 chỉ ảnh hưởng tới góc đầu 𝜃 𝑁 Biến phát sinh 𝜆 và 𝜙 0 được điều chỉnh qua 2 thành phần phụ 𝜙̈ 0 = 𝑢 𝜙 0 và 𝜆̈ = 𝑢 𝜆

• Giai đoạn 2: Điều khiển góc đầu, giống như con rắn trong thực tế, thiết kế luật điều khiển sao cho đầu robot luôn hướng về hướng cho trước trong khi hình dáng vẫn uyển chuyển

Chúng ta thiết kế 𝑢 𝜙 0 sao cho 𝜃 𝑁 → 𝜃 𝑟𝑒𝑓 trong khi vẫn đảm bảo (𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) ổn định

• Giai đoạn 3: Điều khiển vận tốc, chúng ta thiết kế 𝑢 𝜆 sao cho 𝑣 𝑡 → 𝑣 𝑟𝑒𝑓 trong khi vẫn đảm bảo 𝑣 𝑛 xấp xỉ bằng 0, và 𝜆̇ ổn định

Hình 3.1.1 Cấu trúc điều khiển theo hướng của robot rắn [72]

3.1.2 ĐIỀU KHIỂN HÌNH DÁNG CHUYỂN ĐỘNG

• Hình dáng lateral undulation cho robot rắn sẽ đạt được khi áp dụng theo quỹ đạo khớp tham chiếu [2]

Ta có 𝛼 là kí hiệu biên độ của sóng dạng sin, 𝜔 là kí hiệu tần số của biến dao động khớp, 𝛿 là độ lệch pha giữa 2 khớp liền kề nhau, và 𝜙 0 là góc khớp bù được dùng để điều khiển hướng dao động

Hình 3.1.2 Mẫu hình di chuyển lateral undulation của robot rắn [76]

• Vận tốc tiếp tuyến bị ảnh hưởng bởi thông số hình dáng [75]

• Công cụ hiệu quả dành cho điều khiển chuyển động hệ thống cơ khí

• Mối quan hệ theo dạng: Φ: 𝒬 → ℝ gọi là hàm ràng buộc

• Chúng ta có thể tạo ra một tập bất biến có thể bị tác động qua bộ điều khiển hồi tiếp

• Tính ràng buộc này là ảo không có thực Điều khiển vận tốc Điều khiển góc đầu

Bộ điều khiển hình dáng

• Có thể giống về động học, nhưng khác nhau về động lực học

Theo hình dáng (lateral undulation), chúng ta có mối quan hệ:

𝜃 𝑖 − 𝜃 𝑖+1 = 𝛼 sin(𝜆 + (𝑖 + 1)𝛿) , 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 2 (3.1a) 𝜃 𝑁−1 − 𝜃 𝑁 = 𝛼 sin(𝜆 + (𝑁 − 2)𝛿) + 𝜙 0 (3.1b) Khi (𝛼, 𝛿) là thông số hình dáng robot rắn, và (𝜆, 𝜙 0 ) ∈ 𝑆 1 × ℝ 𝑁 là

Mối quan hệ (3.1a) - (3.1b) là VHC [73], [74] và chúng có tính chất bất biến qua bộ hồi tiếp

Mối quan hệ (3.1a) - (3.1b) có thể viết lại như sau:

Phương trình (3.3) có thể viết lại như ℎ(𝜆, 𝜙 0 , 𝜃) = 0

Nếu chúng ta xem ℎ(𝜆, 𝜙 0 , 𝜃) là một hàm ngõ ra cho hệ thống (2.26) cùng với (3.2), tập bất biến cho (3.4) là Γ = {(𝜃, 𝜃̇, 𝑝, 𝑝̇, 𝜆, 𝜆̇, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) ∈ ℝ 2𝑁+8 : 𝐷𝜃 = Φ(𝜆) + 𝑏𝜙 0 , 𝐷𝜃̇ = Φ ′ (𝜆)𝜆̇ + 𝑏𝜙̇ 0 } Chúng ta xem Γ là tập ràng buộc như VHC (3.1a), ổn định VHC (3.1a) theo Γ

Từ đây chúng ta có luật điều khiển tuyến tính hóa vào ra:

Khi 𝐾 𝑃 , 𝐾 𝐷 là ma trận đường chéo dương chứa độ lợi của biến khớp điều khiển Sau khi ổn định tiệm cận Γ chúng ta cho 2 biến điều khiển ngõ vào mới là (𝑢 𝜆 , 𝑢 𝜙 0 ) để giải điều khiển theo hướng Trước tiên chúng ta giảm hệ thống theo nguyên lý bất biến Γ Nhân 2 vế của

(2.26a) cho 𝑒 𝑇 là để triệt tiêu 𝐷 𝑇 , và theo nguyên lý tập bất biến ảo Γ, phương trình động lực học mới của Robot rắn là:

Mỗi ký hiệu Ψ 𝑖 ( ) được tính từ tập ràng buộc Γ Phương trình (3.6) mô tả một hệ thống điều khiển với 2 biến ngõ vào (𝑢 𝜙 0 , 𝑢 𝜆 ) Hệ thống này hoàn toàn mô tả chuyển động của Robot rắn theo VHC (3.1) Đặc điểm của hệ thống (3.6) là ổn định 𝜃 𝑁 theo vùng lân cận nhỏ bất kỳ của 𝜃 𝑟𝑒𝑓 , để điều khiển ổn định 𝑣 𝑡 = 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 𝑝̇ theo vùng lân cận nhỏ bất kỳ của 𝑣 𝑟𝑒𝑓 và điều khiển 𝑣 𝑛 = 𝑣 𝜃 𝑇 𝑁 𝑝̇ theo vùng lân cận gốc tọa độ 0 Nghĩa là chúng ta cần (𝜆̇, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) bị giới hạn

Từ (2.26a) nhân 2 vế của phương trình cho 𝑒 𝑇 là để triệt tiêu 𝐷 𝑇 ta có:

Từ công thức này ta có thể điều khiển góc đầu Robot rắn dưới ảnh hưởng của 2 biến điều khiển hướng đầu và điều khiển vận tốc, đặt ký hiệu tương ứng cho 𝛹 1 ( ), 𝛹 2 ( ), 𝛹 3 ( ) từ công thức trên

Từ công thức này có thể điều khiển vị trí cho Robot rắn, đặt ký hiệu tương ứng cho 𝛹 4 ( ), 𝛹 5 ( ), 𝛹 6 ( ), 𝛹 7 ( ) theo công thức trên ■

3.1.3 ĐIỀU KHIỂN GÓC ĐẦU ROBOT RẮN

Dùng biến ngõ vào 𝑢 𝜙 0 chúng ta sẽ điều khiển góc đầu Robot rắn qua (𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) theo

(3.6a), (3.6c) Để làm điều này chúng ta thiết kế bộ hồi tiếp độ lợi cao 𝑢 ∅ 0 (𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) để (𝜃 𝑁 − 𝜃 𝑟𝑒𝑓 , 𝜃̇ 𝑁 ) xấp xỉ gần 0 và (𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) bị chặn Phân tích này độc lập với 𝑢 𝜆 vì dùng kỹ thuật phân tách thời gian Qua (3.6a), (3.6c) phương trình động học của biến (𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) trong hệ thống ràng buộc có thể viết như sau: Điều khiển góc đầu Robot rắn theo biến 𝜙 0 𝜃̈ 𝑁 = 𝑓 1 ((𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜆, 𝜆̇, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 , 𝑢 𝜆 ) + Ψ 3 ( )𝑢 𝜙 0 (3.8) 𝜙̈ 0 = 𝑢 𝜙 0

Giả sử luật điều khiển góc đầu cho (3.8)

𝑢 𝜙 0 = 1 𝜖 [𝜃̇ 𝑁 + 𝑘 𝑁 ((𝜃 𝑁 − 𝜃 𝑟𝑒𝑓 )] − 𝑘 1 𝜙 0 − 𝑘 2 𝜙̇ 0 (3.9) Theo đó 𝑢 𝜆 (𝑡), 𝜆̇(𝑡) được định nghĩa 𝑡 ≥ 0, sau đó 𝑘 𝑁 , 𝑘 1 , 𝑘 2 > 0, sẽ tồn tại 𝜖 ∗ , 𝑘 > 0 sao cho 𝜖 ∈ (0, 𝜖 ∗ )

Ngoài ra biến (𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) bị chặn

Xem biến trạng thái 𝜆(𝑡), 𝜆̇(𝑡) và ngõ vào 𝑢 𝜆 (𝑡) là tín hiệu bên ngoài, hệ thống điều khiển

(3.8) có thể xem như là hệ thống có thời gian thay đổi với các biến trạng thái

(𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) Dưới luật điều khiển (3.9) hệ thống động lực học vòng kín (3.8) trong dạng có nhiễu suy biến chuẩn trở thành:

𝜃̇ 𝑁 = 𝜔 𝑁 𝜖𝜔̇ 𝑁 = 𝜖[𝑔 1 (𝑡, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 , 𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 ) − 𝑘 1 𝜙 0 − 𝑘 2 𝜙̇ 0 ] + 𝜓 3 ( )(𝜔̇ 𝑁 + 𝑘 𝑁 Δ𝜃 𝑁 ) (3.12) Khi 𝑔 1 (𝑡, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 , 𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 ) = 𝑓 1 (𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜆(𝑡), 𝜆̇(𝑡), 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 , 𝑢 𝜆 (𝑡)) Ở đây chúng ta dùng kỹ thuật phân tách thời gian để phân tích độc lập sự lựa chọn 𝑢 𝜆 Chú ý (3.12) là hệ thống có nhiễu suy biến được rút gọn thành Δ𝜃̇ 𝑁 = −𝑘 𝑁 Δ𝜃 𝑁 (3.13)

Khi Δ𝜃 𝑁 = 𝜃 𝑁 − 𝜃 𝑟𝑒𝑓 , và lớp giới hạn động học

Khi 𝑦 = 𝜔 𝑁 + 𝑘 𝑁 ∆𝜃 𝑁 Gốc hệ tọa độ là điểm cân bằng ổn định mũ của hệ thống rút gọn

Ngoài ra gốc tọa độ cũng là điểm cân bằng ổn định mũ của hệ thống lớp giới hạn Theo định lý nhiễu suy biến trong khoảng thời gian vô hạn [77] cho tất cả 𝜉 0 , 𝑦 0 ∈ ℝ 𝑣à 𝑡 0 ≥ 0, hệ thống nhiễu suy biến (3.12) có một nghiệm duy nhất (∆𝜃 𝑁 (𝑡, 𝜖), 𝜔 𝑁 (𝑡, 𝜖)) sao cho

Cho tất cả 𝑡 ∈ (0, ∞) Điều này chứng minh phần đầu của giả thuyết, Trong phần hai biến trạng thái (𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) động lực học vòng kín trở thành:

Từ (3.15a) và (3.15b) có thể thấy được 𝑓 𝑁 (𝑡, 𝜖) là giới hạn đồng dạng và có bậc Ο(1) Khi hệ thống không có ngoại lực 𝜙̈ 0 + 𝑘 2 𝜙̇ 0 + 𝑘 1 𝜙 0 = 0 là một hệ thống Linear Time Invariant và có điểm cân bằng ổn định mũ ngay tại góc tọa độ (𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ) = (0,0) hệ thống (3.16) ổn định ngõ vào, điều này đã chứng minh được phần hai của giả thuyết ■

3.1.4 ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC ROBOT RẮN

Theo mô hình (3.6), chúng ta điều khiển (𝑝, 𝑝,̇ 𝜆, 𝜆̇) Ánh xạ 𝑝̇ → (𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 ) để điều khiển vận tốc, chúng ta xem xét hệ thống con (∆𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 , 𝜆, 𝜆̇) với ∆𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑡 − 𝑣 𝑟𝑒𝑓 Để đạt được vận tốc tiếp tuyến và pháp tuyến chúng ta đạo hàm (2.22a) - (2.22b) theo (3.6b):

Sai số của động học vận tốc theo dạng: Δ𝑣̇ 𝑡 = 𝑓 2 (𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜆, 𝜆̇, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 , Δ𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 ) + 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )𝜆̇ (3.18a) 𝑣̇ 𝑛 = 𝑓 3 (𝜃 𝑁 , 𝜃̇ 𝑁 , 𝜆, 𝜆̇, 𝜙 0 , 𝜙̇ 0 , Δ𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 ) + 𝑣 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 4 ( )𝑣 𝜃 𝑁 𝑣 𝑛 (3.18b)

𝜆̈ = 𝑢 𝜆 (3.18c) Để ổn định (3.18a)-(3.18b) lân cận điểm cân bằng, chúng ta dùng phương pháp đệ quy hàm điều khiển Lyapunov với kỹ thuật backstepping [78]

Trước tiên chúng ta định nghĩa hàm Lyapunov

Và đạo hàm theo thời gian (3.18a) ta có 𝑉̇ 1 = Δ𝑣 𝑡 Δ𝑣̇ 𝑡 = Δ𝑣 𝑡 (𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )𝜆̇ + 𝑓 2 ( ) (3.20) Chúng ta dùng 𝜆̇ như biến ảo ngõ vào bằng định nghĩa 𝜆̇ = −𝑘 𝜆 Δ𝑣 𝑡 , 𝑘 𝜆 là constant

Giới thiệu biến sai số mới

𝑧 = 𝜆̇ + 𝑘 𝜆 Δ𝑣 𝑡 (3.21) Để điều khiển về 0, viết lại (3.20) như sau 𝑉̇ 1 = −𝑘 𝜆 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )(Δ𝑣 𝑡 ) 2 + Δ𝑣 𝑡 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )𝑧 + Δ𝑣 𝑡 𝑓 2 ( ) (3.22) Để biểu diễn backstepping theo z, định nghĩa hàm Lyapunov theo dạng

𝑉 2 = 𝑉 1 + 1 2 𝑧 2 + 1 2 𝑣 𝑛 2 (3.23) Đạo hàm (3.23) theo thời gian cho (3.18a) - (3.18c)

𝑉̇ 2 = −𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )𝑘 𝜆 Δ𝑣 𝑡 2 + 𝑧 (𝑢 𝜆 + 𝑘 𝜆 Δ𝑣̇ 𝑡 + Δ𝑣 𝑡 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )) + 𝑣 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 4 ( )𝑣 𝜃 𝑁 𝑣 𝑛 2 + 𝑣 𝑛 (𝑓 3 − 𝑣 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )𝜆̇) + 𝑣 𝑛 𝑣 𝜃 𝑇 𝑁 Ψ 6 ( )(𝑧 − 𝑘 𝜆 Δ𝑣 𝑡 ) (3.24) Để đạt được mục tiêu điều khiển vận tốc, định nghĩa hàm hồi tiếp

Chọn 𝛾, 𝛾́ số dương tùy ý Cho 𝛼 < 𝛾 𝜖 6

6 Do đó hệ số trước 𝛥𝑣 𝑡 2 trong (3.29) là số âm Ngoài ra nếu 𝑐 𝑛 > 𝑐 2 𝑡 + 𝑚𝑘 𝜆 𝛾 6 sao cho 𝛾, 𝛾́ > 0 đủ nhỏ, hệ số 𝑣 𝑛 2 trong (3.29) sẽ âm

Có thể rút ra kết luận sao cho 𝑘 𝜆 và 𝑐 𝑛 − 𝑐 𝑡 đủ lớn và 𝛼 đủ nhỏ, tồn tại 𝛽 > 0 sao cho

𝑉̇ 2 ≤ −𝛽𝑉 2 + 𝛾 7 2 𝛾 𝛿 𝜙 2 0 + 2𝑚𝛾́ 𝑐 𝑛 𝑣 𝑟𝑒𝑓 2 (3.30) Từ (3.30) có thể so sánh với tiên đề [76]

𝑉 2 (𝑡) ≤ 𝑉 2 (0) exp(−𝛽𝑡) + ( 𝛾 2𝛾 7 𝛾 𝛿 𝜙 2 0 + 2𝑚𝛾́ 𝑐 𝑛 𝑣 𝑟𝑒𝑓 2 )/(𝛽) (3.31) Điều này cho thấy nghiệm của (3.18a), (3.18b), (3.18c), 𝛥𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 , 𝜆̇ luôn bị giới hạn, 𝑉 2 hội tụ đến bán kính của quả bóng ( 𝛾 2𝛾 7 𝛾 𝛿 𝜙 2 0 + 2𝑚𝛾́ 𝑐 𝑛 𝑣 𝑟𝑒𝑓 2 )/(𝛽) và do đó ‖Δ𝑣 𝑡 , 𝑣 𝑛 , 𝜆̇ ‖ hội tụ đến lân cận của gốc tạo độ bởi √( 𝛾 2𝛾 7 𝛾 𝛿 𝜙 2 0 + 2𝑚𝛾́ 𝑐 𝑛 𝑣 𝑟𝑒𝑓 2 )/(2𝛽)

Ngoài ra chúng ta có thể dùng hàm Lyapunov 𝑉 1 = 2Δ𝑣 1

𝑡 2 để điều khiển ổn định vận tốc dài Đạo hàm theo thời gian (3.18a), (3.18b), (3.18c) cho bởi (3.22) và dùng 𝑢 𝜃 𝑇 𝑁 𝛹 6 như giới hạn đồng dạng ta có :

𝑉̇ 1 ≤ −𝑘 𝜆 𝛾 6 𝛥𝑣 𝑡 2 + 𝛾 6 |Δ𝑣 𝑡 ||𝑧| + |Δ𝑣 𝑡 ||𝑓 2 ( )| (3.32) Trong phần trước |𝑧| bị giới hạn, do tồn tại 𝛿 2 sao cho ‖𝑓 2 ( )‖ < 𝛿 2

𝑉̇ 1 ≤ −(𝑘 𝜆 𝛾 6 − 𝛾 2 6 − 1 2 )𝛥𝑣 𝑡 2 + 𝛾 2 6 𝛿 𝑧 2 + 1 2 𝛿 2 2 (3.33) d Cho 𝑘 𝜆 đủ lớn tồn tại 𝛽 > 0 sao cho 𝑉̇ 1 ≤ −2𝛽𝑉 1 + 𝑑 (3.34) Từ đó ta có

𝑉 1 (𝑡) ≤ exp(−2𝛽𝑡) 𝑉 1 (0) + 2𝛽 1 𝑑, 𝑡 > 0 (3.35) Do đó Δ𝑣 𝑡 sẽ hội tụ

Khi 𝛽 = 𝑘 𝜆 𝛾 6 − 𝛾 6 2 𝛾 − 1 2 chọn 𝑘 𝜆 đủ lớn làm cho giới hạn Δ𝑣 𝑡 ít hơn 𝜖 cho 𝜖 > 0 bất kỳ ■

BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP ĐỘNG LỰC HỌC

Để Robot rắn chuyển động theo hình dáng lateral, cần phải tạo ra hình dáng tham chiếu Định nghĩa sai số thứ i giữa góc khớp Robot rắn 𝑞 𝑖 và góc tham chiếu Φ 𝑖 (được hình thành bởi công thức cho trước)

Khi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑁 − 1} và Φ 𝑖 ∈ ℝ là ký hiệu cho quỹ đạo góc khớp tham chiếu

𝑦 𝑁 = 𝜃 𝑁 − Φ 𝑁 (3.37) Φ 𝑁 ∈ ℝ là góc đầu tham chiếu cho Robot rắn Để giải bài toán điều khiển Robot rắn cần chia ra thành 3 phần [74]

Phần 1: Mục tiêu làm cho biến hình dáng Robot theo biến tham chiếu bị giới hạn, giải bài toán theo dấu quỹ đạo ổn định tiệm cận

𝑡→∞lim‖𝑦 𝑖 (𝑡)‖ = 0, 𝑖 = {1, … , 𝑁 − 1} (3.38) Phần 2: Mục tiêu điều khiển góc đầu Robot theo góc đầu mong muốn

Phần 3: Mục tiêu điều khiển Robot rắn theo quỹ đạo thẳng mong muốn, định nghĩa tập con 𝒫 ⊂ ℝ 2 với hệ tọa độ trong mặt phẳng x-y mong muốn là (𝑝 𝑥𝑑 , 𝑝 𝑦𝑑 ), nó được hình thành thông số qua biến phụ thuộc vào thời gian Θ(𝑡)

𝒫 = {(𝑝 𝑥𝑑 (Θ), 𝑝 𝑦𝑑 (Θ)) ∈ ℝ 2 : Θ ≥ 0} (3.40) Định nghĩa sai số quỹ đạo của tâm Robot 𝑝̃ = [𝑝 𝑥 (𝑡) − 𝑝 𝑥𝑑 (Θ), 𝑝 𝑦 (𝑡) − 𝑝 𝑦𝑑 (Θ)] 𝑇 ∈ ℝ 2 Để Robot hội tụ vị trí tâm theo quỹ đạo mong muốn:

Khi 𝜀 ∈ ℝ > 0 là số dương chọn tùy ý

3.2.2 ĐIỀU KHIỂN THEO QUỸ ĐẠO VỚI RÀNG BUỘC ẢO Ý tưởng về ràng buộc ảo rất hữu ích cho điều khiển chuyển động Trong phần này sẽ giải thích bài toán điều khiển theo quỹ đạo của Robot rắn Khi giải quyết vấn đề điều khiển biến khớp Robot rắn theo biến khớp tham chiếu (3.36) dùng ràng buộc ảo và kết hợp vấn đề này với ràng buộc ảo dựa vào luật dẫn hướng line of sight (LOS) để điều khiển góc đầu Robot rắn (3.37), thì cũng giải được vấn đề điều khiển theo quỹ đạo (3.37) Mục tiêu chính của vấn đề là dùng phương pháp này, điều khiển Robot rắn theo mẫu hình dáng lateral mong muốn (chuyển động thân Robot sẽ được định nghĩa trước) tất cả các nghiệm của phương trình động lực học sẽ chuyển động tương tự như mong muốn Ngoài ra còn có thể xây dựng bộ điều khiển dựa vào ràng buộc ảo Bộ điều khiển được xây dựng theo phương pháp hồi tiếp, phương trình động lực học được xây dựng phù hợp theo cấu trúc mong muốn như hệ thống bất biến dương, ổn định mũ theo ràng buộc cho trước Do đó có thể định nghĩa một tập ràng buộc chung cho cả hệ thống và thiết kế bộ điều khiển ngõ vào (2.40a) ổn định mũ theo tập ràng buộc đã cho Tính hình học của tập ràng buộc được định nghĩa dựa vào việc mối quan hệ hình học giữa các hệ tọa độ của hệ thống được goi là ràng buộc ảo Gọi tên là ràng buộc ảo vì cấu trúc không được kết nối từ hệ thống vật lý thông thường mà từ hoạt động của bộ điều khiển hồi tiếp

3.2.2.1 ĐỊNH NGHĨA RÀNG BUỘC ẢO

Ràng buộc ảo được hình thành qua hàm hệ tọa độ phụ thuộc Φ 𝑖 : 𝒬 → ℝ gọi là hàm ràng buộc ảo, trong mối quan hệ Φ 𝑖 (𝑥) = 0 có thể dùng qua hồi tiếp Đối với Robot rắn Φ = [Φ 𝑖 , … , Φ 𝑁 ] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 (3.42)

Mỗi phần tử được định nghĩa một ràng buộc theo hệ tọa độ góc của hệ thống Để thiết kế bộ điều khiển, cần 3 biến điều khiển mới cho hệ thống gọi là biến ràng buộc

Theo [80] đã định nghĩa ràng buộc ảo động lực học, ràng buộc ảo phụ thuộc vào phần bù động lực học Ý tưởng là làm cho ràng buộc ảo phụ thuộc vào biến động lực học, dùng để điều khiển hệ thống theo ràng buộc ảo đã cho trước Mục tiêu được giải thích như sau :

1 Giới thiệu 2 biến mới [𝜙 0 , 𝜙̇ 0 ] 𝑇 ∈ ℝ 2 , đạo hàm bậc 2 của 𝜙 0 sẽ được dùng để thêm vào biến điều khiển ngõ vào mục tiêu là điều khiển Robot rắn đi theo quỹ đạo mong muốn, quỹ đạo này được hiệu chỉnh hướng Robot theo luật dẫn hướng cho trước

2 Định nghĩa đối tượng điều khiển cho biến khớp và biến góc đầu của Robot rắn như vấn đề điều khiển theo quỹ đạo Thay thế thành phần phụ thuộc vào thời gian của biến khớp tham chiếu bẳng biến mới 𝜂, với 𝜂̇ = 2𝜋/𝑇 và 𝜂(0) = 0 Khi T ký hiệu là chu kỳ của chuyển động theo chu kỳ của biến hình dáng Robot rắn Định nghĩa vecto hệ tọa độ của hệ thống

𝑥̂ = [𝑞 1 , … , 𝑞 𝑁−1 , 𝜃 𝑁 , 𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝜙 0 , 𝜂] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁+2 (3.43) Và theo biến trạng thái 𝑇𝒬̂

3.2.2.2 ĐỊNH NGHĨA RÀNG BUỘC ẢO CHO GÓC KHỚP

Chuyển động theo hình dáng Robot rắn đã được trình bày theo Hirose [2] Hirose đã dùng phương pháp thực nghiệm để nghiên cứu rắn trong tự nhiên và đã cho ra phương trình toán học xấp xỉ mẫu hình dáng chuyển động chung nhất của con rắn, được biết đến là chuyển động lateral undulation Trong thực tế hình dáng con rắn mô tả theo dạng hình cung với hệ tọa độ x-y trên mặt phẳng theo dạng hình cong tại chiều dài cánh cung s:

Khi a, b, c là hệ số dương Dao động của Robot rắn theo dạng hình cong khúc khuỷu giống lateral undulation đạt được nếu biến khớp của Robot di chuyển theo quỹ đạo khớp tham chiếu giống như dạng hàm sin với đặc tính biên độ, tần số, và góc pha Thực tế hình dáng di chuyển dùng theo định nghĩa trạng thái mới, định nghĩa hàm ràng buộc của biến khớp thứ i cho Robot rắn Φ 𝑖 = 𝛼 sin(𝜂 + (𝑖 − 1)𝛿) + 𝜙 0 (3.46)

Khi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑁 − 1}, 𝛼 kí hiệu là biên độ của chuyển động khớp hình sin, và 𝛿 là độ lệch pha, 𝜙 0 là giá trị cố định dùng cho tất cả các biến khớp Theo [75] 𝜙 0 ảnh hưởng đến điều khiển hướng của Robot rắn trên mặt phẳng Dùng 𝜙 0 để hiệu chỉnh hướng của Robot rắn theo hướng tham chiếu Điều này đạt được nếu thêm góc 𝜙 0 theo quỹ đạo tham chiếu của mỗi khớp, nó sẽ lái vị trí tâm của Robot rắn theo quỹ đạo mong muốn Hàm ràng buộc (3.46) là động lực học, nó sẽ phụ thuộc vào phần bù động lực học

3.2.2.3 ĐỊNH NGHĨA RÀNG BUỘC ẢO CHO GÓC ĐẦU

Dùng luật dẫn hướng line of sight (LOS) làm góc tham chiếu cho góc đầu Robot rắn LOS là phương pháp được dùng nhiều trong hệ thống điều khiển tàu biển [79] Thuật toán điều khiển dẫn hướng được dựa vào định nghĩa góc đầu tham chiếu cho Robot qua luật dẫn hướng và thiết kế bộ điều khiển để theo dấu góc đầu này

Hệ tọa độ tổng quát của Robot rắn theo phương x được định nghĩa là quỹ đạo mong muốn

Theo đó vị trí tâm của Robot rắn theo phương y, ký hiệu là 𝑝 𝑦 là khoảng cách ngắn nhất giữa vị trí Robot rắn và quỹ đạo mong muốn (cross track error) Để giải quyết vấn đề này, dùng luật dẫn hướng LOS như là ràng buộc ảo Định nghĩa góc đầu mong muốn là hàm cross track error: Φ 𝑁 = −𝑡𝑎𝑛 −1 ( 𝑝 Δ 𝑦 ) (3.47)

Hình 3.2.2.3 Hệ thống dẫn hướng line of sight LOS [71]

Khi Δ > 0 là thông số thiết kế (look ahead distance) Ý tưởng là lái góc đầu Robot rắn sao cho Robot hướng đến một điểm đặt trong khoảng cách Δ dọc theo quỹ đạo mong muốn, sẽ làm cho Robot di chuyển về phía trước và bám theo quỹ đạo

3.2.2.4 ĐỊNH NGHĨA RÀNG BUỘC ẢO CHO HỆ THỐNG Định nghĩa hàm ràng buộc ảo theo [74]: Φ = [𝛼 sin(𝜂) + 𝜙 0 , … , 𝛼 sin(𝜂 + (𝑁 − 1)) + 𝜙 0 , tan −1 ( 𝑝 Δ 𝑦 )] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 (3.48) Γ = {(𝑥̂, 𝑥̂̇) ∈ Τ𝒬̂: 𝑞 𝑖 = Φ 𝑖 (𝜂, 𝜙 0 ), 𝜃 𝑁 = Φ 𝑖 (𝑝 𝑦 ), 𝑞̇ 𝑖 = 𝜂̇ 𝜕Φ 𝜕𝜂 𝑖 + 𝜙̇ 0 𝜕Φ 𝜕𝜙 𝑖

Khi 𝑖 ∈ {1, … , 𝑁 − 1} ràng buộc (3.49) là một tập ràng buộc con 6 thành phần của 𝒬̂, tập con có 3 biến ràng buộc khác nhau 𝜂, 𝜙 0 , 𝑝 𝑦 Mục tiêu của điều khiển ngõ vào là dùng ràng buộc ảo (3.48) để làm cho hệ thống vòng kín ổn định dạng mũ theo tập ràng buộc con Γ, qua đó đạt được mục tiêu điều khiển (3.38) và (3.39) Tiếp theo định nghĩa vectơ biến điều khiển ngõ ra 𝑦 ∈ ℝ 𝑁 cho hệ thống (2.40) là sai số giữa hệ tọa độ góc khớp và hàm ràng buộc:

𝑦 = [𝑞 1 − Φ 1 (𝜂, 𝜙 0 ), … , 𝑞 𝑁−1 − Φ 𝑁−1 (𝜂, 𝜙 0 ), 𝜃 𝑁 = Φ 𝑁 (𝑝 𝑦 )] 𝑇 ∈ ℝ 𝑁 (3.50) Định nghĩa biến ngõ vào điều khiển mới 𝜗 và 𝜙̈ 0 sao cho (𝑦 𝑖 , 𝑦̇ 𝑖 ) → (0,0) với 𝑖 ∈ {1, … , 𝑁}

Nếu (3.48) ổn định, có thể chọn luật hồi tiếp, luật này sẽ làm hệ thống vòng kín ổn định mũ theo định nghĩa hàm ràng buộc

Với 𝑖 ∈ {1, … , 𝑁 − 1} Đạo hàm Lie (3.50) theo nghiệm (2.40):

KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 41

BỘ ĐIỀU KHIỂN THEO HƯỚNG

Mô hình Robot rắn từ (2.26) và (2.27) 𝑀 𝜃 𝜃̈ + 𝑊𝜃̇ 2 − 𝑙𝑆 𝜃 𝐾𝑓 𝑅,𝑥 + 𝑙𝐶 𝜃 𝐾𝑓 𝑅,𝑦 = 𝐷 𝑇 𝑢

Bảng 4.1 Thông số Robot rắn Độ lợi Giá trị

Bảng 4.2 Giá trị độ lợi của mô hình

Hình 4.1: Vị trí trọng tâm robot rắn trong thời gian di chuyển

 Thể hiện tọa độ trọng tâm của robot rắn theo hướng mong muốn (-pi/4)

 Biến phát sinh 𝜙 0 cho thấy điều khiển góc đầu robot rắn theo ràng buộc lateral

Hình 4.3: Biến 𝒅 𝝀 điều khiển vận tốc dài của robot rắn

 Thể hiện mục tiêu điều khiển vận tốc dài của robot rắn để làm cho robot rắn di chuyển về phía trước

Hình 4.4: Vận tốc dài so với vận tốc mong muốn 5cm/s

 Vận tốc dài thể hiện tốc độ di chuyển về phía trước của Robot rắn, mặc dù vận tốc đạt được không như mong muốn

Hình 4.5: Hình dáng của 3 khâu di chuyển theo lateral undulation

 Khi áp dụng luật điều khiển (3.3) sẽ cho ra hình dáng di chuyển của robot rắn theo lateral undulation trong hình 4.5 chỉ lấy ví dụ 3 khâu cuối cùng của robot rắn

Hình 4.6: Góc đầu của robot rắn bám theo hướng mong muốn

Hình 4.6: cho ta thấy góc đầu Robot rắn đi theo hướng tham chiếu với biên độ nhỏ cho thấy bộ điều khiển sử dụng tốt Hình 4.2: biến 𝜙 0 đóng vai trò như ngõ vào điều khiển VHC theo dạng lateral undulation mà vẫn dao động quanh điểm 0 Hình 4.5: bộ điều khiển áp dụng làm cho những đoạn của robot rắn di chuyển theo dạng sóng sin như yêu cầu đã cho Hình 4.4: vận tốc dài của Robot rắn sau 20s mới đạt được 2.5cm/s chỉ bằng một nửa so với yêu cầu đặt ra 5cm/s, là do bộ trọng số chọn không tốt có thể khắc phục bằng cách tối ưu hóa

Tuy nhiên trong hình 4.3 cho thấy biến 𝑑 𝜆 bị chặn thỏa điều kiện ban đầu nên dù vận tốc chỉ là 2.5cm/s nhưng Robot rắn vẫn di chuyển về phía trước Cuối cùng hình 4.1 tọa độ y của trọng tâm Robot rắn hội tụ về 0, điều đó có nghĩa robot rắn hướng theo trục x, thỏa điều kiện ban đầu.

BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP ĐỘNG LỰC HỌC

Mô hình Robot rắn từ (2.40) 𝑞̈ 𝑎 = 𝜗 ∈ ℝ 𝑁−1

Bảng 4.2: Bảng thông số Robot rắn

 Biến 𝜙 0 điều khiển hướng cho Robot di chuyển bị giới hạn dao động quanh điểm 0

Hình 4.8 Góc khớp Robot theo góc tham chiếu định nghĩa trước

 Áp dụng luật ràng buộc ảo Robot rắn sẽ di chuyển theo hình dạng lateral

Hình 4.9 Góc đẩu Robot theo hướng góc đầu tham chiếu –pi/4

 Sai số góc đầu hội tụ dạng mũ về điểm 0

Hình 4.10 Chuyển động của tâm Robot rắn trên mặt phẳng x-y

 Vị trí tâm của Robot rắn hội tụ nhanh và di chuyển theo quỹ đạo thẳng mong muốn

Theo hình 4.9 ta thấy Robot đi theo hướng mong muốn và có thể hội tụ nhanh, hình 4.8 chứng tỏ Robot rắn có thể di chuyển theo hình dạng lateral mong muốn Mặc dù áp dụng phương pháp tuyến tính hóa nhưng đặc tính phi tuyến của Robot rắn vẫn rất nhiều.

KẾT LUẬN

Bộ điều khiển theo hướng: mô hình Robot rắn phân tích theo kỹ thuật phi tuyến sẽ cho thấy tính chất đầy đủ của một hệ phi tuyến phức tạp Đồng thời kỹ thuật này chứng minh sự tiện lợi về khả năng điều khiển hướng kết hợp với điều khiển vận tốc Robot rắn có thể di chuyển theo hình dạng mong muốn, theo hướng yêu cần và một phần nào đó đạt được vận tốc đủ để đẩy Robot rắn di chuyển khá nhanh về phía trước

Bộ điều khiển hồi tiếp động lực học: mô hình Robot rắn phân tích theo kỹ thuật tuyến tính hóa chỉ có thể điều khiển Robot rắn đi theo hướng cho trước Nhưng kỹ thuật này đã cho thấy một cách tiếp cận khác về điều khiển Robot rắn, có thể tìm cách đưa một hệ thống phi tuyến phức tạp về dạng kinh điển để có thể dễ dàng điều khiển hơn

 Nghiên cứu, phân tích động lực học robot rắn di chuyển trên mặt đất

 Áp dụng phương pháp ràng buộc ảo để thiết kế bộ điều khiển theo hướng

 Mô phỏng chuyển động của robot rắn trên matlab, đạt kết quả khi đi thẳng

Kết quả chưa đạt được

 Chuyển hướng không như mong muốn do chọn bộ trọng số không phù hợp

 Vận tốc không được như yêu cầu do chọn bộ trọng số không phù hợp

[1] J Gray, “The mechanism of locomotion in snakes”, Journal of Experimental Biology 23 (2) (1946) 101–120

[2] S Hirose, “Biologically Inspired Robots: Snake-Like Locomotors and

Manipulators”, Oxford University Press, Oxford, 1993

[3] B Moon, C Gans, “Kinematics, muscular activity and propulsion in gopher snakes”, Journal of Experimental Biology 201 (1998) 2669–2684

[4] S.Ma, “Analysis of snake movement forms for realization of snake-like robots”, in:

Proc IEEE Int Conf Robotics and Automation, Detroit,MI USA, vol 4,May 1999, pp

[5] D Hu, J Nirody, T Scott, M Shelley, “The mechanics of slithering locomotion”, Proceedings of theNational Academy of SciencesUSA 106 (2009) 10081–10085

[6] P Krishnaprasad, D Tsakiris, “G-snakes: nonholonomic kinematic chains on lie groups”, in: Proc 33rd IEEE Conf Decision and Control, Lake Buena Vista, FL USA, vol

[7] S Kelly, R.M Murray, “Geometric phases and robotic locomotion”, Journal of Robotic Systems 12 (6) (1995) 417–431

[8] J.P Ostrowski, “The mechanics and control of undulatory robotic locomotion”, Ph.D Dissertation, California Institute of Technology, 1996

[9] M Tanaka, F.Matsuno, “Modeling and control of a snake robot with switching constraints”, in: SICE Annual Conference, 2008

[10] H Date, Y Takita, “Control of 3D snake-like locomotive mechanism based on continuum modeling”, in: Proc ASME 2005 International Design Engineering Technical

[11] J Li, J Shan, “Passivity control of underactuated snake-like robots”, in: Proc 7th World Congress on Intelligent Control and Automation, June 2008, pp 485–490

[12] P Liljebọck, K.Y Pettersen, ỉ Stavdahl, J.T Gravdahl, “Fundamental properties of snake robot locomotion”, in: Proc IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and Systems,

[13] T Kane, D Lecison, “Locomotion of snakes: a mechanical ‘explanation’”, International Journal of Solids and Structures 37 (41) (2000) 5829–5837

[14] A Shapiro, A Greenfield, H Choset, “Frictional compliance model development and experiments for snake robot climbing”, in: Proc IEEE Int Conf Robotics and

[15] P Liljebọck, ỉ Stavdahl, K.Y Pettersen, “Modular pneumatic snake robot: 3D modelling, implementation and control,Modeling, Identification and Control”, (MIC)

[16] A.A Transeth, R.I Leine, C Glocker, K.Y Pettersen, “3D snake robot motion: non- smooth modeling, simulations, and experiments”, IEEE Transactions on Robotics 24 (2)

[17] E Kanso, J.Marsden, C.W Rowley, J.B.Melli-Huber, “Locomotion of articulated bodies in a perfect fluid”, Journal of Nonlinear Science 15 (2005) 255–289

[18] F Boyer, M Porez, W Khalil, “Macro-continuous computed torque algorithm for a three-dimensional eel-like robot”, IEEE Transactions on Robotics 22 (4) (2006) 763–

[19] Z Zuo, Z Wang, B Li, S Ma, “Serpentine locomotion of a snake-like robot in water environment”, in: IEEE Int Conf Robotics and Biomimetics, 2008, pp 25–30

[20] K Morgansen, V Duidam, R Mason, J Burdick, R Murray, “Nonlinear control methods for planar carangiformrobot fish locomotion”, in: Proc IEEE Int Conf

Robotics and Automation, vol 1, 2001, pp 427–434

[21] Y Shan, Y Koren, “Design and motion planning of a mechanical snake”, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 23 (4) (1993) 1091–1100

[22] Z Bayraktaroglu, P Blazevic, “Understanding snakelike locomotion through a novel push-point approach”, Journal of Dynamic Systems, Transactions of ASME 127 (1)

[23] H Date, Y Takita, “Adaptive locomotion of a snake like robot based on curvature derivatives”, in: Proc IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and Systems, San Diego, CA,

[24] P Liljebọck, K.Y Pettersen, ỉ Stavdahl, J.T Gravdahl, “Hybrid modelling and control of obstacle-aided snake robot locomotion”, IEEE Transactions on Robotics 26 (5)

[25] G.S Chirikjian, “Theory and applications of hyper-redundant robotic manipulators”, Ph.D Dissertation, California Institute of Technology, Pasadena,

[26] G Chirikjian, J Burdick, “The kinematics of hyper-redundant robot locomotion”, IEEE Transactions on Robotics and Automation 11 (6) (1995) 781–793

[27] H Yamada, S Hirose, “Study on the 3D shape of active cord mechanism”, in: Proc

IEEE Int Conf Robotics and Automation, 2006, pp 2890–2895

[28] G Endo, K Togawa, S Hirose, “Study on self-contained and terrain adaptive active cord mechanism”, in: Proceedings IEEE/RSJ Int Conf on Intelligent Robots and Systems, vol 3, October 1999, pp 1399–1405

[29] K Togawa, M Mori, S Hirose, “Study on three-dimensional active cord mechanism: development of ACM-R2”, in: Proc IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and Systems, vol 3, 2000, pp 2242–2247

[30] P Wiriyacharoensunthorn, S Laowattana, “Analysis and design of a multilink mobile robot (Serpentine)”, in: Proc IEEE Int Conf Robotics, Intelligent Systems and Signal

[31] M Yim, “New locomotion gaits”, in: Proc IEEE Int Conf on Robotics and Automation, vol 3, May 1994, pp 2508–2514

[32] M Yim, D Duff, K Roufas, “Walk on thewild side”, IEEE Robotics & Automation Magazine 9 (4) (2002) 49–53

[33] R Worst, R Linnemann, “Construction and operation of a snake-like robot”, in:

Proc IEEE Int Joint Symp Intelligence and Systems, Rockville, MD, USA, November 1996, pp 164–169

[34] H Kimura, S Hirose, “Development of genbu: active wheel passive joint articulated mobile robot”, in: IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and Systems, vol 1, 2002, pp

[35] S.R Taal, H Yamada, S Hirose, “3 axial force sensor for a semi-autonomous snake robot”, in: Proc IEEE Int Conf Robotics and Automation, 2009, pp 4057–4062

[36] M Hara, S Satomura, H Fukushima, T Kamegawa, H Igarashi, F Matsuno, “Control of a snake-like robot using the screw drive mechanism”, in: IEEE Int Conf Robotics and Automation, 2007, pp 3883–3888

[37] T.L.T Chen, S Liu, J Yen, “A bio-mimetic snake-like robot: sensor based gait control”, in: IEEEWorkshop on Advanced robotics and its Social Impacts, 2008 ARSO

[38] Z.Y Bayraktaroglu, “Snake-like locomotion: experimentations with a biologically inspired wheel-less snake robot”, Mechanism and Machine Theory 44 (3) (2008) 591–602

[39] J Gonzalez-Gomez, J Gonzalez-Quijano, H Zhang, M Abderrahim, “Toward the sense of touch in snakemodular robots for search and rescue operations”, in: Proc

ICRA 2010 Workshop ‘‘Modular Robots: State of the Art’’, 2010, pp 63–68

[40] P Liljebọck, ỉ Stavdahl, A Beitnes, “SnakeFighter development of a water hydraulic fire fighting snake robotc”, in: Proc IEEE Int Conf Control, Automation,

Robotics, and Vision, ICARCV, Singapore, December 2006

[41] T Sato, W Watanabe, A Ishiguro, “An adaptive decentralized control of a serpentine robot based on the discrepancy between body, brain and environment”, in:

Proc IEEE Int Conf Robotics and Automation, May 2010, pp 709–714

[42] Z.Wang, S.Ma, B Li, Y.Wang, “Stability and adaptability of passive creeping of a snake-like robot”, in: Proc IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and Systems, 2010, pp

[43] K Watanabe, M Iwase, S Hatakeyama, T Maruyama, “Control strategy for a snake- like robot based on constraint force and verification by experiment”, in: IEEE/RSJ Int

Conf Intelligent Robots and Systems, 2008, pp 1618–1623

[44] B.Murugendran, A.A Transeth, S.A Fjerdingen, “Modeling and path-following for a snake robot with active wheels”, in: Proc IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and

[45] F Chernousko, “Snake-like locomotions of multilink mechanisms”, Journal of Vibration and Control 9 (1–2) (2003) 235–256

[46] A.A Transeth, N van de Wouw, A Pavlov, J.P Hespanha, K.Y Pettersen, “Tracking control for snake robot joints”, in: Proc IEEE/RSJ Int Conf Intelligent Robots and

Systems, San Diego, CA, USA, October–November 2007, pp 3539–3546

[47] G.P Hicks, “Modeling and control of a snake-like serial-link structure”, Ph.D

Dissertation, North Carolina State University, 2003

[48] Matsuno F, Sato H (2005), “Trajectory tracking control of snake robots based on dynamic model” In: Proc IEEE international conference on robotics and automation, pp

[49] Date H, Hoshi Y, Sampei M (2000), “Locomotion control of a snake-like robot based on dynamic manipulability” In: Proc IEEE/RSJ international conference on intelligent robots and systems, Takamatsu, Japan

[50] Tanaka M, Matsuno F (2008), “Control of 3-dimensional snake robots by using redundancy” In: Proc IEEE international conference on robotics and automation,

[51] Ma S, Ohmameuda Y, Inoue K, Li B (2003), “Control of a 3-dimensional snake-like robot” In: Proc IEEE international conference on robotics and automation, vol 2, Taipei,

[52] Tanaka M, Matsuno F (2009), “A study on sinus-lifting motion of a snake robot with switching constraints” In: Proc IEEE international conference on robotics and automation, pp 2270–2275 12-17 May 2009

[53] Prautsch P, Mita T, Iwasaki T (2000), “Analysis and control of a gait of snake robot”

Trans IEE J Ind Appl Soc 120-D:372–381

[54] K A McIsaac and J P Ostrowski, “Motion planning for anguilliform locomotion,”

IEEE Trans Robot Autom., vol 19, no 4, pp 637–652, Aug 2003

[55] G Hicks and K Ito, “A method for determination of optimal gaits with application to a snake-like serial-link structure,” IEEE Trans Autom Control, vol 50, no 9, pp

[56] S Ma, Y Ohmameuda, and K Inoue, “Dynamic analysis of 3-dimensional snake robots,” in Proc IEEE/RSJ Int Conf Intell Robot Syst., vol 1 Sep./Oct 2004, pp 767–

[57] S Ma, “Analysis of creeping locomotion of a snake-like robot,” Adv Robot., vol

[58] P Liljeback, I U Haugstuen, and K Y Pettersen, “Path following control of planar snake robots using a cascaded approach,” IEEE Trans Control Syst Technol., vol 20, no 1, pp 111–126, Jan 2012

[59] E Rezapour, K Y Pettersen, P Liljeback, and J T Gravdahl, “Path following control of planar snake robots using virtual holonomic constraints,” in Proc IEEE Int Conf

[60] P Liljeback, K Y Pettersen, O Stavdahl, and J T Gravdahl, “Controllability and stability analysis of planar snake robot locomotion,” IEEE Trans Autom Control, vol

[61] S Toyoshima, M Tanaka, and F Matsuno, “A study on sinus-lifting motion of a snake robot with sequential optimization of a Hybrid system,” IEEE Trans Autom Sci

Eng., vol 11, no 1, pp 139–144, Jan 2014

[62] R L Hatton, R A Knepper, H Choset, D Rollinson, C Gong, and E Galceran,

“Snakes on a plan: Toward combining planning and control,” in Proc IEEE Int Conf

[63] C Ye, S Ma, B Li, and Y Wang, “Turning and side motion of snake-like robot,” in Proc IEEE Int Conf Robot Autom., vol 5 Apr./May 2004, pp 5075–5080

[64] M Sato, M Fukaya, and T Iwasaki, “Serpentine locomotion with robotic snakes,”

IEEE Control Syst., vol 22, no 1, pp 64–81, Feb 2002

[65] A Crespi, A Badertscher, A Guignard, and A J Ijspeert, “Amphibot I: an amphibious snake-like robot,” Robotics and Autonomous Systems, vol 50, no 4, pp 163–

[66] E Cappo, M Travers, and H Choset, “Head-orientation for a sidewinding snake robot using modal decomposition,” in SPIE Defense+ Security International Society for

[67] Ehsan Rezapour, Pồl Liljebọck, “Path Following Control of a Planar Snake Robot with an Exponentially Stabilizing Joint Control Law” Norwegian University of Science and Technology (NTNU), NO-7491 Trondheim, Norway - SINTEF ICT, Dept of Applied Cybernetics, NO-7465 Trondheim, Norway

[68] Ehsan Rezapour, Kristin Y Pettersen, Liljebọck P, and Jan T Gravdahl, “Differential

Geometric Modelling and Robust Path Following Control of Snake Robots Using Sliding Mode Techniques”, 2014 IEEE International Conference on Robotics &

Automation (ICRA), Hong Kong Convention and Exhibition Center

[69] Ehsan Rezapour, Kristin Y Pettersen, Jan T Gravdahl, and Liljebọck P, “Body Shape and Orientation Control for Locomotion of Biologically-Inspired Snake Robots”, 2014

5 th IEEE RAS & EMBS International Conference on Biomedical Robotics and Biomechatronics (BioRob)

[70] Liljebọck P, Kristin Y Pettersen, ỉyvind Stavdahl, and Jan Tommy Gravdahl, “Path

Following Control of Snake Robots in unstructured environments”, 2011 IEEE

International Conference on Robotics and Automation Shanghai International Conference Center May 9-13, 2011, Shanghai, China

[71] Liljebọck P, Pettersen KY, “Waypoint Guidance Control of Snake Robots”, IEEE 2011 Shanghai International Conference Center

[72] A Mohammadi, E Rezapour, M Maggiore, and K.Y Pettersen, "Direction Following

Control of Planar Snake Robots Using Virtual Holonomic Constraints", Proc 53rd

IEEE Conference on Decision and Control (CDC), Los Angeles, CA, USA, Dec 2014

[73] Liljebọck P, Pettersen KY, ỉyvind Stavdahl, J.T Gravdahl, “A review on modelling, implementation, and control of snake robots”, journal homepage: www.elsevier.com/locate/robot

[74] E Rezapour, K Y Pettersen, P Liljeb¨ ack, J T Gravdahl, and E Kelasidi, “Path following control of planar snake robots using virtual holonomic constraints: theory and experiments,” Robotics and Biomimetics, SpringerOpen, 2014

[75] P Liljebă ack, K Y Pettersen, ỉ Stavdahl, and J T Gravdahl, “Snake Robots:

Modelling, Mechatronics, and Control” Springer, 2013

[76] K.Y Pettersen, A Mohammadi, E Rezapour, A Hofmann, M Maggiore, “Virtual

Holonomic Constraint Based Direction Following Control of Snake Robots”, IEEE

[77] H K Khalil, “Nonlinear Systems” Prentice Hall, 3rd edn, 2002

[78] M Krstic, I Kanellakopoulos, P V Kokotovic et al., “Nonlinear and adaptive control design” John Wiley & Sons New York, 1995, vol 8

[79] Fossen TI (2002), “Marine control systems: guidance, navigation and control of ships, rigs and underwater vehicles” Trondheim, Norway, Marine Cybernetics

[80] M Maggiore and L Consolini, “Virtual holonomic constraints for Euler-Lagrange systems,” IEEE Trans Automat Contr., vol 58, no 4, pp 1001–1008, 2013

[81] Consolini L, Maggiore M (2010), “Control of a bicycle using virtual holonomic constraints” In: Proc 49th IEEE conference on decision and control, Atlanta, Georgia,

Bài báo: “AN APPLICATION OF CPG IN MOTION CONTROL OF A

SNAKE ROBOT”, The 11th SEATUC Symposium tại trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh

Bài báo: “KINEMATIC, DYNAMICS ANALYSIS AND MOTION

CONTROL OF THE SNAKE ROBOT IN PLANAR PLANE”, The 11th

SEATUC Symposium tại trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh.