Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật cơ điện tử: Nghiên cứu giải thuật điều khiển cho xe tự hành 2 bánh dọc

Thông qua việc áp dụng lý thuyết động lực học ngược, người thực hiện đề tài xây dựng một bộ điều khiển cho xe đạp có thể thực hiện việc di chuyển theo quỹ đạo cho trước mà vẫn duy trì đư

TỔNG QUAN

Giới thiệu

1.1.1 Xe tự hành hai bánh dọc

Xe tự hành hai bánh dọc là dạng xe có cấu trúc giống các loại xe hai bánh – như xe đạp, mô tô – có khả năng tự di chuyển theo một yêu cầu nào đó Trong luận văn này để thuận tiện và đơn giản xin được phép gọi chung là xe đạp Đây là một loại phương tiện giao thông hai bánh, chuyển động được nhờ lực tác dụng của người điều khiển hoặc động cơ và giữ thăng bằng theo định luật bảo toàn momen quán tính Được phát minh đầu tiên vào năm 1817 tại Đức – hình ngoài cùng bên trái hình 1.1, sau nhiều năm được cải tạo và phát triển, ngày nay xe đạp đã được ứng dụng phổ biến trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau và được ưa chuộng sử dụng tại nhiều nước trên thế giới

Hình 1.1 Một số kiểu xe đạp qua các thời kỳ

Xe đạp được cấu tạo chính bởi bốn phần là tay lái, sườn xe, bánh trước và bánh sau Ngoài ra để phù hợp với mục đích và tiện lợi trong quá trình sử dụng, xe đạp sẽ được lắp thêm các bộ phận khác như: bộ truyền động (bao gồm bàn đạp, dĩa xích và xích), phanh hãm, yên xe,… như hình 1.2

Hình 1.2 Cấu tạo của xe đạp

Với ưu điểm của mình là nhỏ gọn, kết cấu đơn giản, hiệu quả năng lượng cao, thân thiện với môi trường lại linh hoạt ở nhiều loại địa hình khác nhau nên ngày nay xe đạp được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như giao thông, vận chuyển, rèn luyện thể lực và cả trong giải trí, đây cũng là công cụ di chuyển phổ biến ở các nước đang phát triển Với các ưu thế trên của xe đạp, kết hợp với tình hình của nước Việt Nam hiện nay, nếu như ứng dụng tốt phương tiện trên sẽ tạo điều kiện phát triển cho xã hội như du lịch, dân sinh, sản xuất,…

Từ lúc bắt đầu có khả năng tạo ra sản phẩm, con người luôn luôn tìm tòi nghiên cứu để có thể tạo ra được các sản phẩm ngày càng nhiều hơn và chất lượng càng tốt hơn Mặt khác, với sự phát triển ngày càng qui mô về các dây chuyền sản xuất, con người cũng ngày càng đối mặt với nhiều rủi ro hơn trong quá trình sản xuất đó mang lại Do đó để giải quyết các vấn đề trên, con người đã liên tục nghiên cứu để tìm kiếm cách giải quyết vừa có thể thay thế sức lao động của con người vừa đáp ứng được việc nâng cao năng suất sản xuất và chất lượng sản phẩm Chính sự nghiên cứu này đã cho ra đời những phát minh có thể thay thế được con người trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: cung cấp động lực (động cơ, máy hơi nước), nhận biết (cảm biến), thậm chí là cả xử lý và ra quyết định (vi xử lý, PLC, máy tính,…)

Thuật ngữ điều khiển tự động ra đời khi nhân loại cố gắng tạo ra các thiết bị có thể điều tiết các quá trình hoạt động một cách độc lập mà không cần sự can thiệp trực tiếp của con người Ở đây các thiết bị được điều khiển bởi một bộ phận được gọi là bộ điều khiển – hình 1.3 Trong quá trình hoạt động của thiết bị, bộ điều khiển sẽ không ngừng so sánh giá trị đo được của quá trình hoạt động với giá trị xác lập, từ đó điều chỉnh lại quá trình hoạt động để tạo ra giá trị ngày càng tiệm cận giá trị mong muốn

Hình 1.3 Một số bộ điều khiển tự động

Ngày nay việc điều khiển tự động đã được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như sản xuất, y tế, giao thông, cứu hộ và kể cả trong giải trí Ngày càng nhiều các thiết bị có khả năng tự điều khiển được ứng dụng trong cuộc sống và đã có được các hiệu quả nhất định Hiện nay, Việt Nam đang phát triển đi lên để trở thành nước có nền công nghiệp hiện đại thì việc đầu tư phát triển khoa học công nghệ trong đó có lĩnh vực điều khiển tự động là một hướng đi bắt buộc phải thực hiện

Nhằm thực hiện việc xây dựng một bộ điều khiển tự động cho xe đạp, người thực hiện đề ra mục tiêu nghiên cứu như sau:

− Mô hình hóa xe đạp

− Xây dựng bộ điều khiển có khả năng duy trì ổn định sự cân bằng của xe và chạy theo quỹ đạo cho trước

− Mô phỏng bộ điều khiển

1.1.4 Phạm vi và giới hạn của đề tài

Do thời gian thực hiện đề tài nên sẽ giới hạn đề tài ở việc xây dựng bộ điều khiển thực hiện việc ổn định sự cân bằng của xe đạp và chạy theo quỹ đạo cho trước Các vấn đề khác như: xác định vị trí khối tâm, hoạt động với khối lượng thay đổi, chống nhiễu,… sẽ không được đề cập trong đề tài này.

Ý nghĩa của đề tài

Với việc được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như di chuyển, thể dục , giải trí và nghiên cứu khoa học, sự phát triển của xe đạp là sản phẩm từ sự kết hợp của nhu cầu, vật liệu, trí tưởng tượng và nền công nghiệp hóa Đây cũng là sản phẩm có hiệu suất năng lượng cao nhất trong các loại máy dịch chuyển và có thể ứng dụng linh hoạt vào những môi trường khác nhau cũng như ở những điều kiện làm việc khác nhau Do đó việc nghiên cứu một bộ điều khiển có khả năng tự dò đường và tự cân bằng cho xe đạp sẽ giúp việc ứng dụng mô hình xe đạp trong các điều kiện làm việc không người được thuận lợi hơn

Trong quá trình phát triển của tự động hóa và điều khiển học, việc phát triển các thuật toán mới và các giải thuật điều khiển luôn cần có một mô hình thử nghiệm Mô hình con lắc ngược là dạng mô hình luôn được yêu thích trong việc thử nghiệm này mà điều khiển xe đạp là một dạng ứng dụng của nó Để điều khiển xe đạp ta có thể áp dụng được nhiều lý thuyết điều khiển khác nhau như: điều khiển bền vững, điều khiển thích nghi hoặc điều khiển mờ,…

Từ thế kỷ 19, xe đạp đã thu hút được sự nghiên cứu của các nhà khoa học ngay khi nó ra đời Việc tìm hiểu và phát triển các hình thức của xe đạp đã được nêu trong tài liệu [1] để cho ta có cái nhìn tổng quát hơn về chiếc xe đạp Nghiên cứu về chuyển động cũng như các đặc tính về động học và động lực học của xe đạp cũng đã được thực hiện bởi W.J.M Rankine ở [2] Đáng chú ý là nghiên cứu của Whipple [3] trong việc xây dựng phương trình chuyển động và tuyến tính hóa quanh vị trí cân bằng dựa trên động lực học Lagrange Sau đó đã có nhiều bài báo khoa học được phát hành với những nghiên cứu ngày càng sâu về xe đạp [4] – [15] Từ giữa thế kỷ 20, xe đạp đã trở thành để tài hấp dẫn trong luận án tiến sỹ, nhiều vấn đề đã được nghiên cứu và trình bày trong [16], [17], [18] Ngày nay, với sự trợ giúp của máy tính, việc mô phỏng chuyển động của xe đạp để kiểm tra luật điều khiển đã dễ dàng hơn Tiên phong trong vấn đề này là R.D Roland [19] Mô hình mô phỏng là dạng mô hình phi tuyến đã được nghiên cứu bởi N.H Getz và J.E Marsden [20] và [21] Nhờ vào máy tính, các nhà khoa học tiếp tục khảo sát được tác động của người lái lên hệ [20], [21], [24] và [25] Ngày nay, khi máy tính càng phát triển, khả năng tính toán ngày càng cao thì càng có nhiều luật điều khiển ra đời hơn Với việc kiểm tra và đánh giá các luật điều khiển này thì mô hình xe đạp nói riêng và con lắc ngược nói chung luôn được ưa thích và lựa chọn

Dựa vào đặc điểm của xe đạp là sự cân bằng của xe do tay lái quyết định, người thực hiện đề tài đề xuất phương pháp ứng dụng lý thuyết nghịch đảo động (dynamic inversion) để điều khiển xe đạp Đây là một lĩnh vực mới trong điều khiển ở Việt Nam

Xe đạp là phương tiện giao thông phổ biến ở Việt Nam và các nước có thu nhập thấp khác Việc cải tiến xe đạp có thể tạo được những tín hiệu tích cực về mặt xã hội Khi việc cải tiến xe đạp nhằm duy trì khả năng cân bằng của xe điều này sẽ tạo thuận lợi cho các đối tượng sử dụng xe đạp là trẻ em hoặc người khuyết tật Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng xe tự hành ở một số nơi mà khi yêu cầu phương tiện vận chuyển có kích thước nhỏ.

Ứng dụng

Với đặc tính tương tự như một con lắc ngược và mang theo tính chất non – honolomic, xe đạp là một đối tượng lý tưởng cho việc thử nghiệm các giải thuật điều khiển Trong những năm nay, đã có nhiều nghiên cứu về mô hình xe đạp tự động và đã có nhiều thành tựu nhất định – hình 1.4

Hình 1.4 Một số xe đạp được điều khiển tự động

Ngoài ra, với xu thế phát triển của thế giới hiện nay, việc sử dụng công cụ di chuyển có hiệu quả năng lượng cao, di chuyển linh hoạt và ít tốn diện tích cũng đang được coi trọng Việc tìm kiếm giải thuật điều khiển tự động để ứng dụng cho các loại xe hai bánh dọc có thể sẽ mang lại hiệu quả cho xã hội trong các lĩnh vực như:

− Du lịch và giải trí

− Vận chuyển hàng hóa: áp dụng cho những nơi có địa hình có khoảng cách di chuyển lớn, nhưng kích thước ngang nhỏ như đặc điểm một số kho hàng, chợ,… của nước ta

− Nhân đạo: dùng để cho trẻ em hoặc một số người khuyết tật có thể sử dụng giống như người bình thường.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Lý thuyết điều khiển tự động

Lý thuyết điều khiển tự động nghiên cứu các nguyên tắc chung để xây dựng hệ điều khiển tự động, các phương pháp khảo sát chúng mà không phụ thuộc vào bản chất vật lý của các quá trình Lý thuyết điều khiển tự động là cở sở lý thuyết để thiết kế các hệ tự động trong các lĩnh vực khác nhau của kỹ thuật, kinh tế cũng như nghiên cứu các hệ trong cơ thể sống hoặc trong mối quan hệ xã hội Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển tự động là khảo sát các đặc tính tĩnh (ở chế độ xác lập) và đặc tính động của các hệ tự động nhằm thiết kế hệ thống thỏa mãn các yêu cầu kỹ thuật cho trước, bao gồm nhiệm vụ phân tích và nhiệm vụ tổng hợp

2.1.2 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz – [28] Đối với hệ ( ) 1 0

F K , điều kiện cần và đủ để hệ ổn định với a 0 > 0 là các định thức Hurwitz đều dương Định thức Hurwitz lập từ ma trận hệ số theo quy tắc sau:

− Theo đường chéo của ma trận, viết các hệ số từ a 1 đến a n ,

− Phía trên đường chéo các hệ số tăng dần, phía dưới đường chéo các hệ số giảm dần,

− Các hệ số nhỏ hơn a 0 và lớn hơn a n đều bằng 0

Ma trận có dạng như sau: a n a a a a a a a a

Các định thức Hurwitz dương tương ứng

2.1.3 Đạo hàm của hàm vô hướng (đạo hàm Lie) – [28]

Cho một hàm vô hướng v ( ) x , đạo hàm của nó dọc theo quỹ đạo trạng thái tự do x ( ) t = Φ t f ( ) x 0 của hệ được hiểu là:

− Tính chất i Cho một vector hàm f ( ) x và hai hàm vô hướng v ( ) x , w ( ) x Khi đó sẽ có: w v L v

L wf = f ⋅ (2.4) ii Cho hai vector hàm f ( ) x , g ( ) x và một hàm vô hướng v ( ) x Vậy thì:

= (2.5) iii Cho vector hàm f ( ) x , một hàm vô hướng v ( ) x và một số nguyên k Vậy thì:

Phương pháp nghịch đảo động (Dynamic Inversion)

Cho một hàm F : R n × R + → R n ; ( )θ , t a F ( )θ , t đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của F ( )θ, t =0 Một hàm G : R n × R n × R + → R n ; ( ω , θ , t ) a G ( ω , θ , t ) được gọi là hàm nghịch đảo động (dynamic inverse) của F trong không gian

B r := ∈ n ≤ , r > 0, nếu: i G ( 0 , z+θ* ( ) t , t )=0 cho tất cả t ≥ 0 và z∈B r , i Hàm G ( F ( )θ, t ,θ, t ) là Lipschitz trong θ, liên tục từng phần theo t , ii Tồn tại một hằng số thực β, với 0 0 , à∈ R , à G (ω,θ, t ) cũng là một hàm nghịch đảo động của hàm F ( )θ, t với thụng số à G (ω,θ, t )

− Nếu G (ω,θ, t ) là hàm nghịch đảo độngcủa F ( )θ, t với thông số β 1 , thì với bất kỳ β 2 nào thỏa 0 0 thỏa

(θ −θ* ) sign ( F ( ) ( ) b,t −F a,t ) ( ) ( F θ,t ≥ β θ −θ* ) 2 (2.8) cho tất cả (θ −θ* )∈B r và tất cả t ∈ R + Khi đó

G (2.9) là một hàm nghịch đảo động của F ( )θ, t

− Định lý 2.2 Hàm nghịch đảo động của hàm hợp

Giả thiết là G 1 (ω1 ,θ1 ,θ1 , t ) là hàm nghịch đảo động của F 1 (θ1 ,θ1 , t ), theo

* θ1 với tất cả θ 2 thỏa (θ2−θ2 * ( ) t )∈B r 2, và G 2 (ω2 ,θ2 ,θ2 , t ) là hàm nghịch đảo động của F 2 (θ2 ,θ2 , t ), theo θ2 * ( ) t với tất cả θ 1 thỏa (θ1−θ1 * ( ) t )∈B r 2 Đặt

1 θ θ ω θ θ θ ω ω (2.10) là hàm nghịch đảo động của

1 θ θ θ θ θ (2.11) theo (θ1 * ( ) ( ) t ,θ2 * t ) cho tất cả (θ1 ( ) ( ) t ,θ2 t ) thỏa (θ1−θ1 * ) (× θ2 −θ2 * )∈B r 1×B r 2

− Định lý 2.3 Điều kiện đủ của hàm nghịch đảo động

Cho F : R n × R + → R n ; ( )θ , t a F ( )θ , t , đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của

F θ Đặt F ( )θ, t là một hàm số có đạo hàm và liên tục theo θ, liên tục theo t , Giả thiết các điều sau là đúng: i F (θ* ( ) t , t ) θ

∂ là non singular với tất cả t ; ii F (θ* ( ) t , t ) θ

∂ F θ t t θ được giới hạn bởi t ; iii với tất cả z∈B r , 2 F ( z * ( ) t , t )

Dưới những điều kiện đó tồn tại một r > 0 độc lập với t , và một hàm

G : n × n × + → n ; ω,θ, a ω,θ, với mỗi t > 0 và tất cả θ thỏa

−θ* θ , G (ω,θ, t ) là hàm nghịch đảo động của F ( )θ, t

− Định lý 2.4 Đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của F ( )θ, t =0, ở đây F ( )θ, t là hàm liên tục và có vi phân bậc hai theo θ, liên tục và có vi phân bậc nhất theo t Đặt

= θ , giả thiết ∂ ∂ θ F , ~ ( ) 0 t là non singular, và 2 F , ~ ( ) 0 t

∂ được giới hạn Đặt t 1 >0 không đổi, khi đó tồn tại t 0 và t 2 , với 0 ≤ t 0 < t 1 < t 2 , và

Là hàm nghịch đảo động của ~ ( ) , 1 t y

2.2.4.1 Hàm nghịch đảo độngvới sai lệch bị chặn (bounded error)

Cho F : R n × R + → R n ; ( )θ , t a F ( )θ , t , đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của

F θ cho tất cả t∈R + Đặt hàm G : R n × R n × R + → R n ; ( ω , θ , t ) a G ( ω , θ , t ) là hàm nghịch đảo động của F ( ) θ , t với thông số β cho tất cả θ thỏa

(θ −θ* t )∈B r với tất cả t ∈ R + Đặt E : R n × R + → R n ; ( )θ , t a E ( )θ , t là Lipschitz theo θ và liên tục từng phần theo t Giả thiết tồn tại γ ∈R + thỏa:

E & (2.13) cho tất cả t∈R + , và z∈B r , và θ( ) ( )0 −θ * 0 ∞ ∈B r Khi đú với mỗi à > 0, nghiệm θ* ( ) t là:

2.2.4.2 Hàm nghịch đảo độngvới sai lệch triệt tiêu (vanishing error) Đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của F : R n × R + → R n ; ( )θ , t a F ( )θ , t Giả thiết: G : R n × R n × R + → R n ; (ω , θ , t ) a G (ω , θ , t ) là hàm nghịch đảo động của

F θ, trên B r , với tham số β > 0 Đặt E : R n × R + → R n ; ( )θ , t a E ( )θ , t , là một

Lipschitz khu vực theo θ và liên tục theo t Giả thiết tồn tại hằng số κ∈( )0,∞ ,

& ∞ (2.16) cho tất cả z∈B r , θ( ) t được xác định là nghiệm của hệ thống

G θ, ,θ, θ, à θ& = − + (2.17) với điều kiện ban đầu θ( ) 0 thỏa (θ( ) ( )0 −θ * 0 )∈B r khi đó:

( ) ( ) t −θ t ≤ θ( ) ( )−θ e − ( àβ − k ) t θ * 2 0 * 0 2 (2.18) cho tất cả t ∈ R + , và nếu β à >κ , khi đú θ( ) t hội tụ về θ* ( ) t khi t → ∞

2.2.5 Xấp xỉ động lực ( Dynamic Estimation) của một hàm nghịch đảo động(Dynamic Inverse) Đặt F ( )θ, t thỏa điều kiện của định lý 2.3 Khi đó Γ( ) 0 xấp xỉ tới

∂ θ θ F , và θ ( ) 0 xấp xỉ tới θ* ( ) 0 , tập nghiệm ( Γ ( ) ( ) t , θ t ) của

→ ∂ Γ t , t F θ * , t − 1 ,θ * t θ θ khi t → ∞, với à > 0 đủ lớn tồn tại

− Cho F : R n × R + → R n ; ( )θ , t a F ( )θ , t , đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của

F θ Một hàm G : R n × R n × R + → R n ; (ω , θ , t ) a G (ω , θ , t ) được gọi là hàm nghịch đảo động F trên B r : = { z ∈ R n z ≤ r } , r > 0 , nếu i G ( 0 , z+θ* ( ) t , t )=0 cho tất cả z∈B r , t ≥ 0, ii Hàm G ( F ( )θ, t ,θ, t ) là Lipschitz theo θ, liên tục từng phần theo t , và iii Tồn tại một hàm khả vi và liên tục V :[0,∞)× B r → R ;( ) t , z a V ( ) t , z với tất cả z∈B r , thỏa

& (2.21) ở đây α1 () , α2 () , α3 () đều là tập Κ theo [0,r)

− Đặt θ* ( ) t là nghiệm độc lập của F ( )θ, t =0, với

G : n × n × + → n ; ω,θ, a ω,θ, là hàm nghịch đảo động của

F θ, trên B r Đặt θ( ) t là nghiệm của hệ thống

G θ, ,θ, θ& = − (2.22) với điều kiện ban đầu θ ( ) t thỏa (θ( ) ( )0 −θ * 0)∈B r Nếu

Phương pháp bám xấp xỉ đầu ra cho dạng hệ thống nonminimum phase

Hệ thống non-minimum phase, hay còn được gọi là hệ thống cân bằng (balance system), là một hệ thống được sử dụng cho tập các mô hình vật lý mà việc cân bằng của gia tốc trọng trường luôn được duy trì Đại biểu của các dạng mô hình này là xe đạp, xe mô tô, tên lửa và con lắc ngược trên xe di chuyển ngang

Vấn đề của hệ thống này là khi ta sử dụng bộ điều khiển để hệ thống bám theo một quỹ đạo cho trước thì ta đồng thời phải duy trì cho trạng thái bên trong (internal state) nằm trong giới hạn cho phép Để giải quyết vấn đề trên đã có nhiều nghiên cứu được thực hiện, một trong những nghiên cứu đó là ứng dụng dạng chuyển đổi trong ngoài (external/internal convertible system – E/ICS)

Khảo sát hệ thống SISO (single input, single output) có dạng như hình 2.1

Hình 2.1 Mô hình hệ thống E/ICS

Với đầu vào u ∈ R , đầu ra y ∈ R , trạng thái ( ) x ,α , với x : = ( x 1 , K , x m ) ∈ R m và α : = ( α 1 , K , α p ) ∈ R p , với n = m + p Hệ tọa độ ( ) x ,α được xác định trên không gian mở B r ∈ R n Gốc tọa độ được giả thiết là điểm cân bằng của hệ thống

− Giả thiết 2.3.1 Hàm số f ( ) x ,α và g ( ) x ,α là liên tục và khả vi với tất cả ( ) x ,α trong B r ∈ R m + p

− Giả thiết 2.3.2 Hàm số g ( ) x , α được giả thiết là nonzero cho tất cả

− Định nghĩa 2.3.1 Hệ thống có dạng như (2.23) thỏa giả thiết 2.3.1 thì được gọi là hệ thống chuyển đổi trong ngoài (external/internal convertible system – E/ICS)

− Hệ thống con trong và ngoài (E/I subsystems):

Một hệ thống E/ICS có thể được phân làm 2 hệ thống con o Hệ thống con bên ngoài (External subsystem)

Hình 2.2 Mô hình hệ thống con bên ngoài (External subsystem)

(2.24) o Hệ thống con bên trong (Internal subsystem)

Hình 2.3 Mô hình hệ thống con bên trong (Internal subsystem)

− Cấu trúc đôi (Dual Structure): hệ thống E/ICS có thể chuyển đổi qua lại các trạng thái trong và trạng thái ngoài, khi áp dụng chuyển đổi các trạng thái trong chuyển thành trạng thái ngoài và ngược lại, nên được gọi là có cấu trúc đôi (dual structure) Đặt u = g ( ) x , α − 1 ( v − f ( ) x , α ) (2.26)

Là hàm chuyển đổi trạng thái trong thành trạng thái ngoài u↔v, ta đặt λ =α 1 là đầu ra của hệ thống dual (dual output), ứng dụng hàm chuyển đổi (2.26) cho mô hình (2.23), ta có

2.3.3 Tuyến tính Jacobi tại gốc

Tuyến tính Jacobi của ∑ ( ) u tại gốc ( ) ( ) x ,α = 0 , 0 có dạng

− Dạng tuyến tính Jacobi của E/ICS tại gốc cho ta thấy khả năng điều khiển được của hệ thống này

∂ α f thì sự tuyến tính là không điều khiển được

− Nếu f và g trong ∑ ( ) u thỏa ∂ ∂ ≡ 0 x f và g ( ) 0 , 0 = 0 thì cặp ( ) A, B là không điều khiển được

Zero dynamic là một dạng hệ thống bị suy giảm khi tín hiệu đầu vào bằng

“0” Hệ thống chỉ còn các trạng thái bên trong

− Zero Dynamic của Dual Structure

2.3.5 Hệ thống cân bằng (Balance system)

− Giả thiết 2.3.3 Cặp ( ) A, B có dạng tuyến tính Jacobi tại ( ) ( ) x , α = 0 , 0 là điều khiển được

− Giả thiết 2.3.4 Đặt α 2 = [ α 2 , , α p ] T , ( x ; α 1 , α 2 ) xác định ( ) x ,α với

− Giả thiết 2.3.5 Giả thiết với tất cả ( x ; α 1 , α 2 ) ∈ B r

∂ α − α α g x f x với α 1 a v là một đơn điệu ngặt

− Định nghĩa 2.3.2 Một E/ICS thỏa mãn các giả thiết 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5 sẽ được xem là một hệ thống cân bằng

2.3.6 Điều chỉnh và bám theo quỹ đạo

− Bám theo quỹ đạo đặt y là đầu ra của [ C ( ) ( ) v , ∑ u ], giả thiết

( ) n d B y ∈ ∈ Tìm một số nguyên q ≥ 0, và một hàm q k q p m R R R R

( ) ( ) ( ) ( x 0 ,α 0 , z 0 ) là lân cận của gốc, i lim t → ∞ y ( ) t −y d ( ) t ∞ v min >0 Điều này giữ cho hệ thống ở zero dynamics vẫn duy trì được tính điều khiển Nếu ( x ( ) ( ) t , y t ) (≡ v z t , 0 ), khi đó

≡ 0 u x , u y ≡ 0, v t ≡ v z , θ ≡ 0và θ & ≡ 0, kết quả là zero dynamics của hệ thống có dạng: α s α h

& (4.15) Đây là phương trình chuyển động của con lắc dưới tác dụng của trọng trường, giá trị α = 0tương ứng với vị trí con lắc thẳng đứng

4.4 Bộ điều khiển trạng thái bên ngoài

Với hệ thống E/ICS trên, giả thiết hệ thống sẽ bám theo một quỹ đạo cho trước ( x d ( ) ( ) t , y d t ) liên tục và khả vi bậc 4 Đặt γ i , i ∈ [ ] 1 3 , thỏa đa thức:

3 +γ s +γ s +γ s có nghiệm nằm ở phần thực âm

Tín hiệu vào u x và u y sẽ đạt được mục tiêu với bộ điều khiển trạng thái ngoài như sau, ở đây ta chưa xét đến trạng thái bên trong α :

Giá trị tín hiệu đầu vào u θ được xác định khi ( ) ( x , y → x d , y d ):

( θ θ ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ c u s u v v u u s v c v c v s c v v s u y ext x ext t t y ext x ext t t t t t ext

4.5 Bộ điều khiển trạng thái bên trong Đặt α d ( ) t , t ∈ R + là quỹ đạo góc nghiêng của xe được thiết kế, thỏa mãn tính liên tục và khả vi bậc hai, với ( ) 

3 +β s +β s có nghiệm nằm ở phần thực âm Khi đó bộ điều khiển trạng thái bên trong như sau:

4.6 Góc cân bằng trạng thái trong αααα e

Từ phương trình (4.12), ta thế giá trị của α =α e , u θ = u θ ext , vế trái là “0” được: e e e e u c h c l v v s h s h h g ext r t t θ α α α α θ θ

Chia phương trình (4.19) bởi h α e cos , ta có phương trình góc cân bằng trạng thái trong

Phương trình (4.20) là đa thức lượng giác theo αe, với 

2 π α e π tiến gần đến “0”, tương ứng với vị trí thẳng đứng của xe đạp Chúng ta sẽ xác định giá trị xấp xỉ α theo α e qua phương pháp nghịch đảo động lực và sẽ chọn ra nghiệm chính xác α bằng cách lựa chọn điều kiện ban đầu thông qua bộ nghịch đảo động lực

4.7 Tính xấp xỉ góc cân bằng trạng thái trong αααα e

Sử dụng phương pháp đạo hàm Lie dọc theo

N x γ , ta xác định được giá trị xấp xỉ của αe Đầu tiên ta có:

− y ext x ext t t t y ext x ext t t t t t ext u c u v s v v u u s v c v c v s c v v s u θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

− − y ext x ext t y ext x ext t t t t r ext u s u c v u u s v c v c v s s v c u θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

(4.22) Áp dụng công thức đạo hàm Lie:

⇒ y ext Next x ext Next t y ext x ext t t t t t t ext r ext t t t t y ext Next x ext Next t y ext x ext t t t t t t t t t t t ext

⇒ y ext Next x ext Next y ext x ext ext r ext t t y ext Next x ext Next y ext x ext t t r ext

4 d d d d d y ext d x ext d d y ext Next x ext Next y y x x y y x x x u x u y x u

= + y ext Next x ext Next ext t Next r ext

Next t t y ext x ext t t r ext t t t ext t t t t r ext t t t ext t t ext r ext t t r ext t t t ext t t t t ext t r ext t ext

2 d d d y ext d x ext d y ext Next d x ext Next d d y ext Next x ext Next y y x x y u x u y u L x u L y x u

Từ phương trình (4.20), ta đặt

& (4.29) Đạo hàm phương trình (4.29) theo thời gian, ta có

Ta có một hàm xấp xỉ với α & e được biết như E (α e ,θ& , v t , v & t ) :

Vậy bộ nghịch đảo của α e , có dạng:

Ngoài ra, ta còn có các xấp xỉ khác:

4.8 Bộ điều khiển cân bằng

Thay thế lần lượt (4.34) và (4.35) vào (4.18), ta có:

(4.36) Đây là bộ điều khiển trạng thái bên trong có thể duy trì sự cân bằng của xe khi xe đang di chuyển theo một quỹ đạo cho trước

4.9.1 Quỹ đạo đường thẳng theo phương x với vận tốc không đổi là 5m/s

Giá trị ban đầu của các biến

Bảng 4.1 Số liệu trường hợp quỹ đạo đường thẳng, vận tốc thiết kế là 5 m/s

Hình 4.2 Quỹ đạo thiết kế (nét liền) và quỹ đạo di chuyển thực (nét đứt)

Theo hình 4.2 ta thấy xe sẽ vừa di chuyển tới theo phương x và vừa chuyển hướng theo phương y để có thể tiếp cận được quỹ đạo thiết kế Vào khoảng 35 – 40 m, tức là sau 7 – 8s, xe sẽ tiếp cận được quỹ đạo mà ta mong muốn

Hình 4.3 Sai số theo phương x

Hình 4.3 cho ta thấy giá trị sai số theo phương x của xe với điểm khảo sát Trong hình có một đoạn sai số tăng lên theo chiều âm, đây là thời điểm khi xe chuyển hướng theo phương y để có thể tiếp cận với quỹ đạo đề ra, lúc này xe sẽ di chuyển theo phương x chậm hơn so với điểm khảo sát nên sai số xuất hiện dấu âm Sau khi đạt giá trị cực đại tại -1,7m thì xe bắt đầu tăng tốc theo phương x để có thể bắt kịp được điểm thiết kế theo phương này Tại thời điểm 1000, tức là tương đương với 10s, xe sẽ đuổi kịp điểm khảo sát

Hình 4.4 Sai số theo phương y

Hình 4.4 cho thấy quá trình xe tiếp cận quỹ đạo theo phương y Xe sẽ tăng tốc trong khoảng thời gian đầu để nhanh chóng tiếp cận mục tiêu Khi vị trí đã xấp xỉ với mong muốn thì tốc độ tiếp cận sẽ chậm lại cho đến khi có thể trùng với mục tiêu đề ra

Hình 4.5 Vận tốc di chuyển của xe

Từ ban đầu xe sẽ được cung cấp một vận tốc đầu là 4,5 m/s Điều này nhằm để xe có thể thỏa được điều kiện ban đầu cho hệ thống điều khiển được Tốc độ của xe sau đó sẽ tăng tương ứng với quá trình di chuyển bám theo điểm khảo sát, khi xe đã tiếp cận được điểm khảo sát thì tốc độ sẽ giảm lại cho đến khi trùng với vận tốc của điểm khảo sát

Hình 4.6 cho ta thấy giá trị của góc θ của thân xe so với phương x, khi bắt đầu do chuyển hướng theo phương y để tiếp cận với quỹ đạo điểm khảo sát nên góc θ sẽ thay đổi

Hình 4.7 Giá trị góc α ( o ) ( α nét liền, α e nét đứt)

Hình 4.7 biểu diễn giá trị của góc nghiêng xe α , với đường nét liền biểu diễn góc α và đường nét đứt biểu diễn góc α e , giá trị của góc nghiêng xe lúc này nằm trong khoảng từ -2 o – +6 o điều này cho thấy xe vẫn cân bằng

Theo hình 4.8 tương tự như trường hợp trên, nhưng lúc này do vận tốc điểm khảo sát nhanh hơn nên quá trình tiệm cận xảy ra từ khoảng 60 – 70m tức là xấp xỉ 7 – 8s

So sánh hình 4.9 với hình 4.3 ta thấy giá trị sai số có tăng, tuy nhiên hình dạng của biểu đồ không khác nhiều cho thấy đối với dạng quỹ đạo này, thay đổi giá trị vận tốc sẽ làm thay đổi khả năng bám theo quỹ đạo của bộ điều khiển Với vận tốc càng cao, khả năng bám theo càng giảm

Hình 4.10 cho thấy đối với phương y sai số không khác gì so với trường hợp trước Đây là do vận tốc theo phương y được giữ như cũ

Cũng tương tự với trường hợp trên, ở đây vận tốc sẽ tiệm cận với vận tốc mới là 10m/s

Hình 4.12 Giá trị góc θ ( o ) Hình 4.12 tương tự như hình 4.6, ở đây góc θ thay đổi khi xe bám vào quỹ đạo cho trước Giá trị góc θ khác so với trường hợp trên là do góc nghiêng của quỹ đạo với phương x đã thay đổi

Hình 4.13 biểu diễn giá trị của góc nghiêng xe α , giá trị của góc nghiêng xe lúc này nằm trong khoảng từ 0 o – +7 o điều này cho thấy xe vẫn cân bằng Ở đây cho ta thấy một vấn đề tương ứng với thực tế, khi vận tốc xe tăng thì khả năng giữ cân bằng của xe càng tốt

4.9.3 Quỹ đạo đường thẳng theo phương y với vận tốc không đổi là 5m/s

Theo hình 4.14 xe sẽ di chuyển hướng về quỹ đạo ở đây là song song với trục y Với vận tốc 5m/s, xe sẽ tiếp cận quỹ đạo vào tầm 20 – 25m, tức là khoảng 4 – 5s

Góc cân bằng trạng thái trong α e