năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học trong dạy học nội dung xác suất 10

Theo [12] “Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, số học ra đời trước hết do nhu cầu đếm, Hình học phát triển do sự cần thiết của ruộng đất bên bờ sông Nin sau những trận lụt hàng năm” và “

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn với tên đề tài: “Năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung Xác suất 10” dưới sự hướng dẫn của TS Vũ Tiến Việt là

kết quả nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

TS Vũ Tiến Việt

Hà Nội, ngày 16 tháng 03 năm 2023

Học viên

Nguyễn Thị Thúy

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành và hoàn thiện luận văn này, lời đầu tiên tôi xin chân thành

cảm ơn đến thầy giáo, TS Vũ Tiến Việt, người đã tận tình hướng dẫn, nhận

xét và đánh giá để tôi thực hiện luận văn này Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô của Trung tâm Đào tạo Sau đại học và Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy cũng như tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học tại Trường Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy

Tiếp đó, luận văn của tôi không thể hoàn thành nếu thiếu ý kiến đóng góp của Ban Giám hiệu, các thầy cô Tổ Toán và học sinh khối 10 và khối 12 của trường THPT Lê Lợi Chân thành cảm ơn các em học sinh của trường THPT Lê Quý Đôn và trường THPT Trần Hưng Đạo cùng học sinh của một số trường THPT trên địa bàn thành phố Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành công việc nghiên cứu của mình

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của gia đình, bạn bè luôn là nguồn động viên, cổ vũ to lớn để tiếp thêm sức mạnh cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng khó tránh khỏi những khiếm khuyết, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 16 tháng 03 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Mạch nội dung và yêu cầu cần đạt Xác suất cấp THPT 23

Bảng 1.2 Bảng so sánh nội dung Xác suất trong CT 2006 và CT 2018 27

Bảng 1.3 Kết quả khảo sát ví dụ và bài tập về Xác suất trong SGK Toán 10 32

Bảng 1.4 Thống kê bài tập liên hệ thực tiễn dựa trên số bài tập trong SGK 32

Bảng 1.5 Kết quả số liệu về hiểu biết của giáo viên về MHHTH 39

Bảng 1.6 Thực trạng về tần suất sử dụng MHHTH trong giờ học Xác suất 40

Bảng 2.1 Kết quả mong đợi của học sinh 54

Bảng 2.2 Bảng mối liên hệ giữa các kết quả xảy ra khi khoanh lụi của học sinh 64

Bảng 2.3 Bảng mô tả không gian mẫu gieo hai con xúc xắc cùng lúc 67

Bảng 2.4 Bảng so sánh số tiền được và mất khi mua số đề 73

Bảng 2.5 Bảng thống kê ghi lại theo dõi Thời tiết hàng ngày của bác An 90

Bảng 3.1 Điểm kiểm tra của học sinh 10A1 và 10A9 110

Bảng 3.2 Kết quả chạy mô hình kiểm định t Test− 112

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Nhận thức của HS về ứng dụng của XS trong cuộc sống 34Biểu đồ 1.2 Cảm nhận của học sinh khi học nội dung Xác suất 35Biểu đồ 1.3 Đánh giá của Giáo viên và Học sinh về mức độ hứng thú của Học sinh khi bài học gắn liền nội dung thực tiễn 36Biểu đồ 1.4 Thống kê của học sinh về mức độ ứng dụng của nội dung Xác suất trong cuộc sống hàng ngày 37Biểu đồ 1.5 Thống kê về vấn đề HS quan tâm khi học nội dung Xác suất 37Biểu đồ 1.6 Thống kê về mức độ cần thiết và mức độ thường xuyên vận dụng XS vào giải quyết vấn đề thực tiễn 38Biểu đồ 1.7 Thực trạng về tần suất sử dụng MHHTH trong giờ học Xác suất 40Biểu đồ 1.8 Tỷ lệ phong trào học tập của lớp khi giáo viên sử dụng MHHTH vào giảng dạy nội dung Xác suất 41Biểu đồ 1.9 Thực trạng về việc đưa nội dung liên quan đến thực tiễn vào trong dạy học nội dung Xác suất của giáo viên 42Biểu đồ 1.10 Thực trạng mức độ cần thiết của việc kết hợp MHHTH và các bài tập Xác suất có chứa yếu tố thực tiễn vào trong tiết học 43Biểu đồ 3.1 Phân bố tần số điểm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 111

DANH MỤC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa của Pollak (1979) 10

Sơ đồ 1.2 Quá trình MHH theo Stillman, Galbraith mô phỏng 11

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Swetz & Hartzler (1991) 12

Sơ đồ 1.4 Quá trình MHHTH trong tổ chức dạy học Xác suất 10 30

Sơ đồ 2.1 Sơ đồ cây biểu thị các khả năng của món quà khách hàng nhận được 61

Sơ đồ 2.2 Sơ đồ cây biểu thị các khả năng của không gian mẫu 70

Sơ đồ 2.3 Sơ đồ cây mô tả các kết quả có thể xảy ra trong ba lần sinh con của gia đình diễn viên Thành Đạt 86

Sơ đồ 2.4 Sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu của dự báo thời tiết 94

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1 Hình minh họa cho Ví dụ 1 53

Hình 2.2 Hình minh họa cho Bài toán 3 62

Hình 2.3 Hình minh họa cho Bài toán 4 66

Hình 2.4 Hình minh họa cho Bài toán 6 72

Hình 2.5 Hình minh họa cho Bài toán 7 77

Hình 2.6 Hình minh họa cho Bài toán 8 79

Hình 2.7 Hình minh họa cho Bài toán 9 – Ví dụ 1 81

Hình 2.8 Hình minh họa cho Bài toán 9 – Ví dụ 2 83

Hình 2.9 Hình minh họa cho Bài toán 11 88

Hình 2.10 Mô tả số kết quả thuận lợi cho A 91

Hình 2.11 Mô tả số kết quả thuận lợi cho B 92

Hình 2.12 Hình minh họa cho Bài toán 13 95

3 Nội dung nghiên cứu 5

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

5 Câu hỏi nghiên cứu 5

6 Giả thuyết khoa học 5

7 Phương pháp nghiên cứu 6

8 Đóng góp của luận văn 6

9 Cấu trúc luận văn 7

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 8

1.1 Một số khái niệm 8

1.2 Dạy học theo hướng phát triển NL mô hình hóa toán học 18

1.3 Dạy học mô hình hóa toán học thông qua nội dung Xác suất 10 20

1.4 Thực trạng việc dạy và học nội dung XS ở trường THPT theo MHHTH 31

1.5 Kết luận chương 46

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP TỔ CHỨC DẠY HỌC ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 48

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp 48

2.2 Một số biện pháp tổ chức dạy học MHHTH nội dung Xác suất lớp 10 51

2.3 Kết luận chương 105

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 106

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đều biết và thừa nhận rằng mỗi học sinh là một cá thể độc lập, có sự khác biệt về trình độ, năng lực, nhu cầu, sở thích và nền tảng xuất thân, … Việc học sinh tiếp nhận một tri thức như thế nào, thao tác tri thức đó ra sao, điều đó phụ thuộc chủ yếu vào các tiếp cận tri thức đó của học sinh thông qua cách tổ chức dạy học của giáo viên Là một giáo viên dạy Toán, điều mà tôi luôn mong muốn là có bài giảng chất lượng, tạo được động cơ học tập, giúp học sinh hứng thú và thấy được ý nghĩa thực tiễn của tri thức

Trong trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức

quan trọng Theo [12] “Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, số học ra đời trước hết do nhu cầu đếm, Hình học phát triển do sự cần thiết của ruộng đất bên bờ sông Nin sau những trận lụt hàng năm” và “Thông qua cái vỏ trừu tượng của Toán học, dạy học Toán phải làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn …”

Do đó, trong quá trình dạy học, người dạy biết giải quyết mọi tình huống dạy học thông qua việc khai thác và xử lý hệ thống bài tập Toán học thực tiễn, đưa các vấn đề thường gặp trong cuộc sống

Trong các lĩnh vực của Toán học thì Xác suất có ứng dụng thực tế to lớn trong cuộc sống hàng ngày Cũng có thể vì lý do đó mà Xác suất là một nội dung bắt buộc của giáo dục toán học trong nhà trường, góp phần tăng cường tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo dục toán học Xác suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành sự hiểu biết về vai trò của thống kê như là một nguồn thông tin quan trọng về mặt xã hội, biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữ liệu Từ đó, nâng cao sự hiểu biết và phương pháp nghiên cứu thế giới hiện đại cho học sinh [3]

So với chương trình Toán bậc trung học phổ thông hiện hành, chương trình mới môn Toán nói chung và Xác suất nói riêng đã có những thay đổi về nội dung và lượng kiến thức nhất định trải khắp từ chương trình Toán lớp 2 đến chương trình lớp 12 Theo [2], tác giả thống kê được:

Bậc tiểu học (chiếm 3% toàn cấp): các em sẽ làm quen một số yếu tố thống

kê và xác suất đơn giản, giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với một số yếu tố thống kê và xác suất

Bậc trung học cơ sở (chiếm 14% toàn cấp): thu nhập, phân loại, biểu diễn,

phân tích và xử lí dữ liệu thống kê, phân tích dữ liệu thống kê thông qua tần số, tần số tương đối, nhận biết một số quy luật thống kê đơn giản trong thực tiễn, sử dụng thống kê để hiểu các khái niệm cơ bản về xác suất thực nghiệm của một biến cố và xác suất của một biến cố, nhận biết ý nghĩa của xác suất trong thực tiễn

Bậc trung học phổ thông (chiếm 14% toàn cấp): Hoàn thiện khả năng thu

nhận, phân loại, biểu diễn, phân tích xử lí dữ liệu thống kê, sử dụng cá công cụ phân tích dữ liệu thống kê thông qua các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm và ghép nhóm, sử dụng các quy chế thống kê trong thực tiễn, nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa của xác suất trong thực tiễn

Đến nay, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về DH Toán theo hướng tăng cường hiệu quả của môn toán đối với học sinh phổ thông của các nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế; nhằm hình thành phát triển cho học sinh khả năng áp dụng được kiến thức và phương pháp Toán học vào thực tiễn cuộc sống

Theo Mogens Niss (1993) có thể xác định được tám năng lực toán học chính thức, trong đó năng lực mô hình hóa (MHH) là rất quan trọng bởi vì nó gắn liền với thực tiễn

Theo chương trình (CT) Giáo dục phổ thông (GDPT) môn Toán do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành ngày 26 tháng 12 năm 2018 (CT 2018) được xây dựng theo ý muốn cải cách toàn diện nền giáo dục phổ thông, bắt đầu từ việc xác định lại

mục tiêu giáo dục Mục tiêu của những chương trình trước đây (cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng) được xem là không còn phù hợp với thời đại mà khoa học, kĩ

thuật và công nghệ phát triển nhanh như vũ bão Một trong những mục tiêu chung

nhất của CT môn Toán là giúp học sinh đạt mục tiêu “Hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận

toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán” [3]

Qua nghiên cứu thực tế, tôi nhận thấy đa số học sinh gặp khó khăn nhiều hơn khi giải quyết một tình huống thực tế liên quan đến nội dung Xác suất so với một tình huống toán học hóa Hầu hết các bài tập có nội dung thực tiễn trong sách giáo

khoa mới chỉ dừng ở mức độ “tình huống mô hình toán” Việc chuyển đổi các vấn

đề thực tiễn sang toán và ngược lại, sử dụng kết quả toán để giải quyết các vấn đề thực tiễn trên thực tế là rất khó khăn thực hiện và để hỗ trợ cho học sinh trong việc chuyển đổi này tôi đặc biệt quan tâm đến việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua các tiết dạy hình thành tri thức mới thuộc nội dung XS cho học sinh lớp 10 theo chương trình GDPT 2018

Mô hình hóa Toán học trong dạy học là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, cùng với sự hỗ trợ của các phương tiện kỹ thuật và phần mềm [7] Quá trình mô hình hóa Toán học trong dạy học ở trường phổ thông, cho thấy mối quan hệ giữa các kiến thức trong sách giáo khoa và thực tiễn Vì vậy, học sinh phải có các kỹ năng phân tích, tổng hợp, so sánh, … và giáo viên phải luôn thay đổi phương pháp dạy học qua những từng tình huống cụ thể để phù hợp và thích ứng với cuộc sống

Muốn phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học nội dung Xác suất, chúng ta luôn phải dựa vào mục tiêu mà môn học Toán nói chung hay nội dung Xác suất nói riêng đưa ra là gì? Năng lực mô hình hóa Toán học được hiểu như thế nào? Việc ứng dụng mô hình hóa Toán học vào việc dạy học nội dung Xác suất cho học sinh lớp 10 mang lại hiệu quả ra sao? Việc thiết kế bài dạy theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa khi dạy học nội dung Xác suất 10 có khó khăn gì hay không và biện pháp khắc phục nào? Dù rằng, năng lực mô hình hóa toán học là một trong những năng lực cốt lõi, được đề cao trong tất cả các năng lực toán học mà học sinh cần có trên thế giới và trong CTGDPT mới tại Việt Nam Hiện nay, đã có rất nhiều công trình khoa học trong và ngoài nước đã, đang nghiên cứu về vấn đề này:

• Blum W (2002), “ICMI Study 14: Applications and modeling in mathematics

education – Discussion document”

• Nguyễn Danh Nam (2016) với báo cáo tổng kết Đề tài khoa học và công nghệ

cấp bộ nghiên cứu “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ thông”

• Lê Thị Hoài Châu (2014) với bài báo “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm

Đạo hàm” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh”

• Nguyễn Thị Nga (2014) với bài báo “Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa toán

học ở trường phổ thông” trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội”

• Phạm Thị Diệu Thùy – Dương Thị Hà (2017) với bài báo “Phát triển năng lực

mô hình hóa toán học cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình” trong Tạp chí Giáo dục số 422 (kì 2)”

Xuất phát từ quan niệm chất lượng giáo dục phổ thông là sự phù hợp với mục tiêu giáo dục phổ thông, quá trình sư phạm là quá trình thống nhất toàn vẹn được cấu trúc bởi các thành tố: mục tiêu giáo dục, nội dung giáo dục, phương pháp giáo dục, người dạy, học sinh, kiểm tra đánh giá kết quả… Tôi cho rằng việc phát triển năng lực mô hình hóa Toán học trong dạy học nội dung Xác suất cho học sinh lớp

10 có vai trò hết sức quan trọng đối với việc vận dụng quan niệm “mục tiêu dạy học lấy học sinh làm trung tâm”, “phát triển năng lực đặc thù của môn Toán”

Từ những lí do trên, với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học, rèn luyện năng lực mô hình hóa Toán học cho học lớp 10 theo chương trình GDPT

2018 thông qua nội dung Xác suất trong bộ môn Toán tôi lựa chọn vấn đề: “Năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung Xác suất 10” làm đề tài nghiên

cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung Xác suất nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, giúp học sinh xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn; giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình

được thiết lập; thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

3 Nội dung nghiên cứu

• Một là, nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn về phát triển năng lực mô

hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung Xác suất 10

• Hai là, tổng quan về nội dung xác suất trong chương trình Toán lớp 10 • Ba là, nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho học

sinh thông qua dạy học nội dung Xác suất lớp 10

• Bốn là, đề xuất biện pháp tổ chức dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán

học cho học sinh thông qua dạy học Xác suất 10 và thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của quy trình đề xuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài “Năng lực mô hình hóa toán học trong dạy

học nội dung Xác suất 10” là quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học

cho học sinh thông qua dạy học nội dung Xác suất 10 theo CT GDPT 2018

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Học sinh khối 10 của Trường THPT Lê Lợi

5 Câu hỏi nghiên cứu • Năng lực mô hình hóa toán học, năng lực mô hình hóa toán học và dạy học nội

dung Xác suất cho học sinh lớp 10 theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học được hiểu như thế nào?

• Các biện pháp sư phạm nào có thể sử dụng để phát triển năng lực MHHTH cho

học sinh lớp 10 trong dạy học nội dung Xác suất?

• Việc thực hiện các biện pháp đó thế nào và có kết quả ra sao? 6 Giả thuyết khoa học

Lựa chọn, sử dụng phương pháp thích hợp và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp sẽ giúp phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh, giúp học sinh giải quyết một số bài toán thực tế, giúp học sinh có niềm đam mê và hiểu biết hơn về môn Toán nói chung và nội dung Xác suất 10 nói riêng

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu một số tài liệu, sách báo để tổng quan các công trình trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài; xây dựng cơ sở lý luận cho năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 10 và việc rèn luyện để phát triển năng lực này trong dạy học nội dung Xác suất trong bộ môn Toán dựa vào chương trình GDPT được ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo

Nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến Xác suất, sách giáo khoa, sách bài tập Đại số lớp 10, các luận án, luận văn liên quan

7.2 Phương pháp điều tra

Tiến hành điều tra trực tiếp hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học tập của học sinh bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho người học, dự giờ quan sát hoạt động dạy học trên lớp, nghiên cứu sản phẩm học tập của học sinh

7.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến các thầy cô để thu nhập những thông tin cần thiết cho đề tài và thu nhận những ý kiến đánh giá

7.4 Phương pháp thống kê Toán học

Tiến hành thu thập, xử lý số liệu khảo sát thực trạng và nghiên cứu mối liên hệ giữa các số liệu

• Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng MHH toán học

trong dạy học và giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

• Đề xuất được một số quan điểm và biện pháp sư phạm đối với việc thiết kế hoạt

động mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung XS lớp 10

8.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

• Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả MHHTH trong quá

trình dạy và học nội dung Xác suất cho học sinh lớp 10

• Góp phần tăng cường tính ứng dụng của toán học trong chương trình môn Toán

cấp THPT đối với thực tiễn

• Những kết quả nghiên cứu được trong luận văn có thể sử dụng như một tài liệu

tham khảo cho giáo viên và học sinh trong dạy và học môn Toán cấp THPT

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn Chương 2 Biện pháp tổ chức dạy học để phát triển năng lực MHHTH Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Mô hình và mô hình hóa

1.1.1.1 Mô hình

Theo Từ điển Tiếng Việt, mô hình là hình thức diễn đạt theo mẫu nào đó bằng ngôn ngữ, hình ảnh, sơ đồ, sa bàn, ký hiệu tượng trưng cho các sự vật, con người, hiện tượng tự nhiên …

Theo [25], mô hình là một hệ thống dùng để mô tả (giải thích hoặc thiết kế) một hệ thống khác nhằm giải quyết một số mục đích được chỉ định rõ ràng Một hệ thống là một tập hợp các đối tượng liên quan, có thể là thực hoặc ảo, vật chất hoặc tinh thần, đơn giản hoặc phức tạp Cấu trúc của một hệ thống là một tập hợp các mối quan hệ giữa các đối tượng của nó Bản thân hệ thống được gọi là tham chiếu của mô hình

Theo [13], mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật Còn theo Blum, Ferry (2009) thì mô hình là một “vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “hệ thống vật” mà ta quan tâm

Vậy, có thể hiểu đơn giản, mô hình dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó nhằm hướng tới ý đồ nhất định của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó

1.1.1.2 Mô hình hóa

Ý tưởng sử dụng mô hình và mô hình hóa trong dạy học được đề xuất bởi Aristides C Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm rằng

“Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”

Ngoài quan niệm nêu trên, có rất nhiều các công trình nghiên cứu định nghĩa về mô hình hóa theo nhiều cách hiểu khác nhau, tuỳ thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giải lựa chọn Có thể kể ra, một số quan điểm như sau:

• Mô hình hóa là một chu trình giữa thực tiễn và toán học và nó được lặp đi lặp lại

nhiều lần

• Cấu trúc một chu kỳ mô hình hóa có thể được phân tách thành bốn giai đoạn

chính: xây dựng mô hình, phân tích, xác nhận và triển khai Tuy nhiên, họ nhấn

mạnh rằng các giai đoạn có thể khác nhau trong mỗi chu kỳ, tùy thuộc vào mục tiêu của người thực hiện MHH

• MHH là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng toán học Vì MHH không

phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mô hình hóa như một quá trình trong đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mô hình để sáng tạo và phát triển mô hình mới trong bối cảnh mới

Theo [14], mô hình hoá là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề toán học

Từ những quan điểm nêu trên, theo tác giả, MHH là quá trình gồm các bước có thể được lặp đi lặp lại: đơn giản hóa vấn đề/tình huống, xây dựng/sử dụng mô hình, làm việc với mô hình và xác minh kết quả MHH sử dụng trong nghiên cứu

này được coi như là một phương tiện để giải quyết vấn đề

1.1.2 Mô hình hóa toán học

Theo [10], mô hình toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả đối tượng nghiên cứu Nó có thể là hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, công thức, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay những mô hình ảo trên máy tính điện tử

Để định nghĩa về mô hình hóa toán học (MHHTH), cũng có rất nhiều quan điểm khác nhau, một trong số đó có thể kể ra như sau:

• Một là, MHHTH là sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học • Hai là, MHHTH được coi như là là một phương pháp dạy học và nghiên cứu

Mục tiêu hướng tới đó là tìm hiểu nội dung toán học từ các chủ đề và học để làm nghiên cứu

• Ba là, MHHTH được coi như một cách thức dạy toán Mục tiêu là học sinh học

toán Quan niệm này phổ biến trong các tài liệu đã nghiên cứu

• Bốn là, MHHTH được coi như là phương thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn

Khi đó, toán học như một công cụ để giải quyết các vấn đề và là cơ sở để đưa ra các quyết định về các vấn đề thực tiễn đó Tuy nhiên, quan điểm này lại chưa được nghiên cứu nhiều trong các tài liệu đã công bố

Lesh đưa ra nhận xét rằng MHH là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng toán học Vì MHH không phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mô hình hóa như một quá trình trong đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mô hình để sáng tạo và phát triển mô hình mới trong bối cảnh mới Với quan niệm này, cho thấy năng lực của mỗi cá nhân có thể được hình thành và phát triển trong quá trình dạy, học và tham gia các hoạt động

Từ các quan điểm nêu trên, theo tác giả MHHTH là một quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học và ngược lại, luôn có sự điều chỉnh và có tính lặp lại các bước thực hiện trong quá trình

1.1.3 Một số quy trình dạy học mô hình hóa toán học

Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phương trình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu Có nhiều nhà nghiên cứu đã xây dựng sơ đồ quy trình mô hình hóa Sau đây là một số ví dụ:

1.1.3.1 Sơ đồ của Pollak (1979) [15]

Sơ đồ về quy trình mô hình hóa của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều khi thực hiện mô hình hóa Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thực tế, người học sẽ thực hiện chuyển sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán rồi giải bài toán trong mô hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống thực tế ban đầu Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp mối quan hệ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần (Sơ đồ 1.1)

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa của Pollak (1979)

1.1.3.2 Sơ đồ của Stillman, Galbraith (2006) [15]

Theo Stillman, Galbraith mô phỏng để giải quyết một nhiệm vụ MHH, học sinh lần

lượt thực hiện sáu bước (Sơ đồ 1.2) Cụ thể như sau:

Sơ đồ 1.2 Quá trình MHH theo Stillman, Galbraith mô phỏng

• Bước 1: Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giải thuyết để đơn giản hóa vấn đề,

tạo ra một mô hình thực tế của tình huống;

• Bước 2: Mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học Tức

là xây dựng mô hình toán biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế;

• Bước 3: Trong môi trường toán học, cần sử dụng các công cụ và phương pháp

toán học thích hợp để giải quyết vấn đề;

• Bước 4: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế; • Bước 5: Xem xét tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả thực tế hay quyết định thực

hiện quá trình lần 2;

• Bước 6: Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học

cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng nếu cần

1.1.3.3 Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991) [27]

Theo Swetz & Hartzler, quy trình mô hình hóa toán học theo Swetz & Hartzler được mô tả gồm bốn giai đoạn (Sơ đồ 1.3)

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Swetz & Hartzler (1991)

Theo quy trình này thì mô hình hóa được xây dựng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả khi làm việc với mô hình toán học lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề thực tiễn

Tóm lại, khi thực hiện MHHTH, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tiễn được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu, … mà quá trình MHH được thực hiện theo giai đoạn/bước khác nhau Nhưng tất cả các sơ đồ về quá trình thực hiện MHHTH đều xuất phát từ vấn đề thực tiễn (hoặc tình huống thực), chuyển đổi sang thành các vấn đề toán học, giải quyết chúng trong môi trường toán học và kết thúc là lời giải/ quyết định tối ưu trong thực tiễn đó hoặc lặp lại quá trình ở một ngữ cảnh mới nhằm đối chiếu dự đoán trước đó

Ý nghĩa của quá trình mô hình hóa toán học

Với quan điểm đưa ra MHTH là đại diện cho một tình huống, một hiện tượng thực tiễn hoặc một vấn đề nào đó cần nghiên cứu và quá trình MHHTH là quá trình đưa ra một MHTH cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó,thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết chưa tối ưu, thì ý nghĩa của quá trình MHHTH xét trên hai khía cạnh:

MHHTH như thế nào được coi là có ý nghĩa (hiệu quả) và MHHTH có ý nghĩa (có hiệu quả) như thế nào trong quá trình dạy học

Một mô hình được cho là có ý nghĩa sẽ phản ánh tính đúng đắn của mô hình đó trong việc giải quyết vấn đề Theo Stillman và các cộng sự, quá trình MHHTH hướng tới 2 mục tiêu: giải quyết một vấn đề đã đặt ra; phát triển các kỹ năng MHH mà các cá nhân có thể chủ động áp dụng cho việc giải quyết các vấn đề thực tiễn Theo Palm cho rằng một tình huống có tính xác thực phải dựa trên các đặc điểm về

sự việc/sự kiện, câu hỏi đặt ra, mục đích tình huống, bộ thông tin, dữ liệu, ngôn ngữ sử dụng, công cụ sử dụng để giải quyết vấn đề

MHHTH là sự kết nối giữa toán học và thực tiễn Lesh và Lehrer khẳng định khoảng cách giữa mô hình và các vấn đề trong thế giới thực không chỉ đơn thuần là việc xác định các đối tượng tham chiếu phù hợp mà nó còn phụ thuộc vào cách biểu diễn các kí hiệu và kinh nghiệm được tích lũy và thay đổi theo thời gian

Như vậy, một quá trình MHHTH có hiệu quả sẽ phụ thuộc vào nhiều yếu tố, các bước tiến hành và các giai đoạn thực hiện quá trình

Ví dụ Khi đầu tư vào 2 thị trường A và B, lãi suất ( )% thu được là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất tương ứng:

Gọi a là tỷ lệ tiền lãi đầu tư vào thị trường A và 1 a− là tỷ lệ tiền lãi đầu tư vào thị trường B Lãi khi đầu tư vào cả 2 thị trường là: Z =aXA+ −(1 a X) B.

Do đó, bài toán trong trường hợp này là tìm giá trị của a để hàm số

( ) 2 ()29,81 16, 24 1

V Z = a + −a đạt giá trị nhỏ nhất → Như vậy, với việc xác định tình huống và mục đích cần đạt được tương ứng với tình huống đưa ra sẽ giúp cho việc thực hiện các bước tiếp theo của quá trình MHHTH để tìm ra phương án giải quyết vấn đề hợp lý và hiệu quả

Do đó, khi người dạy sử dụng MHHTH trong dạy học giúp cho người học có điều kiện tiếp cận các tình huống ngoài toán học một cách có cơ sở, người học thấy

được mối quan hệ giữa toán học và thế giới thực, từ đó định hướng được phương án giải quyết vấn đề

Tổng quát, MHHTH sẽ tạo cơ hội để:

• Hiểu biết về thế giới trong và ngoài toán học • Kết nối toán học với thế giới thực và các lĩnh vực ngoài toán học như: xã hội,

kinh tế, kĩ thuật, …

• Hỗ trợ cho việc học toán: củng cố, vận dụng các kiến thức toán học, khám phá

các mối quan hệ toán học mới, sử dụng các công nghệ hỗ trợ toán học, …

• Đảm bảo cho việc phát triển các năng lực toán học khác nhau và thái độ đúng

đắn của con người với các vấn đề thực

• Bổ sung vào bức tranh về toán học

1.1.4 Năng lực mô hình hóa toán học

1.1.4.1 Khái niệm năng lực

Trong cuộc sống, chúng ta vẫn thường nghe nhiều đến năng lực, về sự đánh giá năng lực giữa người này, người kia trong các lĩnh vực như công việc, học tập,

khía cạnh, góc độ khác nhau trong các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước

Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hành động nào đó Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

Theo từ điển năng lực của Đại học Harvard cho rằng, năng lực là những thứ mà một người phải chứng minh có hiệu quả trong: việc làm, vai trò, chức năng, công việc, nhiệm vụ

Theo Boyatzis, Brophy và Kiely cho rằng năng lực là những điều hoặc tính chất mà cá nhân cần phải có, biết và làm được để đạt được kết quả cần thiết trong công việc

Theo CT Giáo dục Trung học bang Québec, Canada năm 2004 cho rằng:

“Năng lực có thể định nghĩa như là một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực Những nguồn lực này được sử dụng một cách phù

hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm của học sinh; những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú; ngoài ra còn có những nguồn lực bên ngoài, chẳng hạn như bạn cùng lớp, thầy giáo, cô giáo, các chuyên gia hoặc các nguồn thông tin khác”[26]

Các tác giả Việt Nam đã tìm cách nhận diện năng lực và xác định cấu trúc của năng lực phục vụ cho việc xây dựng CT GDPT 2018, CT tổng thể giải thích khái

niệm năng lực như sau: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [18]

Từ những định nghĩa này, theo quan điểm của tác giả: “Năng lực là sự tổng hợp những kiến thức‚ kỹ năng cũng như khả năng và hành vi của bản thân một cá nhân nào đó để đáp ứng‚ thực hiện một công việc‚ nhiệm vụ được giao và phải bảo đảm cho công việc‚ nhiệm vụ trên được hoàn thành đạt kết quả như mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

Với quan niệm trên đây cho thấy năng lực của mỗi cá nhân có thể được hình thành và phát triển trong quá trình dạy, học và tham gia các hoạt động trải nghiệm Đồng thời, chỉ có thông qua việc thực hiện các hoạt động thì năng lực của mỗi con người mới được thể hiện rõ ràng

1.1.4.2 Năng lực mô hình hóa toán học

Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa toán học và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần Theo Blom và Jensen định nghĩa năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước Mabb định nghĩa năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác định [23]

Như vậy có thể hiểu năng lực MHH toán học là khả năng thực hiện đây đủ các giai đoạn của quy trình MHH trong dạy học Toán nhằm giải quyết vấn đề Toán học được đặt ra

1.1.4.3 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Theo quan điểm của Triết học: Phát triển là một phạm trù triết học chỉ ra tính chất của những biến đổi đang diễn ra trong thế giới Phát triển là một thuộc tính của vật chất Mọi sự vật và hiện tượng của hiện thực không tồn tại trong trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong, nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập

Trong dạy học, “Phát triển” là “rèn luyện ” những tri thức cập nhật trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập

Như vậy, để phát triển một năng lực cụ thể cho người học, cần tạo ra cho học sinh những tình huống học tập mà ở đó, học sinh phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó

Định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay, Chương trình GDPT môn Toán do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành ngày 26 tháng 12 năm 2018 được xây dựng theo ý muốn cải cách toàn diện nền giáo dục phổ thông, bắt đầu từ việc xác định lại mục tiêu giáo dục và được xây dựng theo mô hình phát triển năng lực, thông qua những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các phương pháp tích cực hóa hoạt động của người học, giúp học sinh hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực mà nhà trường và xã hội kì vọng Theo cách tiếp cận này, kiến thức được dạy học không nhằm mục đích tự thân Nói cách khác, giáo dục không phải để truyền thụ kiến thức mà nhằm giúp học sinh hoàn thành các công việc, giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống nhờ vận dụng hiệu quả và sáng tạo những kiến thức đã học [3]

Đối với môn Toán thì năng lực mô hình hóa toán học được xem là một trong năm thành phần cốt lõi của NL toán học mà dạy học cần hình thành và phát triển cho học sinh Mỗi một thành tố của năng lực môn toán cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo chất lượng (những kỹ năng thành phần), việc mô tả các biểu hiện của năng lực toán học phải cho thấy sự tiến bộ của học sinh (từ lớp này đến lớp kia) trong toàn bộ quá trình học, cho thấy sự phát triển của năng lực toán học một cách tổng thể

Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực, năng lực toán học và năng lực

MHHTH, ta có thể khẳng định rằng “Phát triển năng lực MHHTH là quá trình tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt động MHH toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra”

Theo [16], khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH, giáo viên cần chú ý đến các các cấp độ sau đây:

• Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống; • Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không biết cấu trúc và

MHH tình huống

• Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu tình huống thực tiễn, học sinh đã cấu trúc thành mô

hình đơn giản hơn nhưng chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học

• Cấp độ 3: Học sinh đã tìm mô hình thật và chuyển tình huống thực tiễn sang

thành vấn đề toán học nhưng chưa thể giải quyết vấn đề

• Cấp độ 4: Học sinh đã thiết lập được mô hình toán học và giải quyết vấn đề và

tìm ra kết quả cụ thể

• Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm

lời giải bài toán trong mối liên hệ với tình huống đã cho Từ đó, tôi cho rằng cách tốt nhất để phát triển năng lực MHH cho học sinh là người dạy tạo cơ hội để học sinh được thường xuyên rèn luyện các kỹ năng thành phần của năng lực này Hơn nữa, người dạy cần linh hoạt, sáng tạo trong việc lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh cũng như hướng dẫn học sinh thao tác và tham gia các hoạt động MHH trên máy tính điện tử Thông qua các hoạt động này, học sinh có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn luyện và phát triển năng lực chung, cũng như năng lực đặc thù toán học cần thiết cho cuộc sống và tăng cường hứng thú học tập môn Toán

1.2 Dạy học theo hướng phát triển NL mô hình hóa toán học

1.2.1 Bản chất của dạy học mô hình hóa toán học

Henry Pollak là một trong những người tiên phong trong lĩnh vực ứng dụng và mô hình hóa trong giáo dục toán học Ngay từ những năm sáu mươi của thế kỷ trước, ông đã nghiên cứu việc áp dụng MHH trong giảng dạy toán học DH MHHTH giúp cho sự quan tâm của học sinh đối với toán sẽ trở nên lâu dài

Trong những năm gần đây, việc sử dụng MHH trong giáo dục toán học ngày càng được quan tâm Nhiều quan điểm khác nhau về DH MHHTH được đưa ra, tuy nhiên đều xoay quanh hai mục đích của DH MHHTH:

• MHH là một phương tiện dạy học toán học: Người học khám phá những khái

niệm toán học khi giải quyết các tình huống thực tiễn thông qua quá trình mô hình hóa các tình huống đó

• MHH là mục đích của dạy học toán (cải thiện NL MHH cho người học): năng

lực MHH được coi như một năng lực cơ bản và mục đích giảng dạy toán học là trang bị cho người học năng lực này để giải quyết vấn đề trong toán học và trong các ngành học khác trên thực tiễn

Theo Lê Văn Tiến (2005) nhận định: DH bằng mô hình hóa là DH thông qua DH cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn

Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn Việc gắn DH toán với giải quyết các vấn đề của thực tiễn mang lại nhiều lợi ích Nó giúp học sinh hiểu ý nghĩa của tri thức học được (lý do tồn tại và lợi ích của nó cho cuộc sống xã hội) Từ đó, nó tạo động cơ, gây hứng thú học tập, rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh

Trong khi dạy học mô hình với mục đích là nhấn mạnh vào kết quả (là các mô hình) thì trọng tâm của DH MHHTH là quá trình người dạy hướng dẫn người học đưa ra những miêu tả phù hợp với tình huống thực tiễn Việc thường xuyên vận dụng toán học vào thực tế sẽ giúp học sinh nhìn thấy những khía cạnh toán học ở các tình huống thường gặp trong cuộc sống, tăng cường năng lực giải quyết các vấn

đề trong cuộc sống bằng tư duy toán học, giúp tập luyện thói quen làm việc khoa học, nâng cao ý thức tối ưu hóa trong lao động Đây là những phẩm chất quan trọng đối với người lao động trong xã hội ngày nay Để làm được điều này học sinh phải có năng lực thu nhận được thông tin toán học từ tình huống thực tế ban đầu, chuyển đổi thông tin giữa thực tế và toán học, thiết lập được mô hình toán học từ tình huống thực tế, tìm cách trả lời các câu hỏi toán học trong mô hình toán học [1] Bởi vậy, MHHTH là một quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học bằng cách biểu diễn lại với ngôn ngữ toán học, thiết lập, sáng tạo mô hình toán học và giải quyết trên mô hình đó Lời giải trên mô hình toán học sẽ được đánh giá và kiểm tra trong ngữ cảnh thực tiễn Mô hình sẽ được thay đổi nếu phương án giải quyết chưa phù hợp với yêu cầu thực tiễn ban đầu hoặc cải tiến, sáng tạo để có thể dự đoán cho tình huống mới có thể xảy ra

Vì thế, bản chất của DH MHHTH đó là dạy cho học sinh giải quyết các vấn đề/tình huống thực tiễn theo quá trình MHHTH

1.2.2 Khó khăn của người học khi thực hiện quá trình MHHTH

MHHTH là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi người học phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét [13] Trong hoạt động MHHTH, người học biết và hiểu được cách sử dụng các biểu diễn khác nhau, từ đó lựa chọn và áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp để đưa ra phương án giải quyết vấn đề hợp lý nhất

Theo Lesh, người học nên học tiếp cận bằng MHHTH để nghiên cứu và giải quyết vấn đề Do đó các yếu tố mà người học cần nắm được ở đây được chỉ rõ, đó

là: thành thạo các công cụ MHH và lý luận định tính các mô hình

Theo Stillman và cộng sự, khi giáo viên đưa các vấn đề thực tiễn vào quá trình giảng dạy trên lớp thì người học gặp khó khăn khi thực hiện các yêu cầu giải quyết vấn đề đó Nguyên nhân là do người học không biết được cần phải sử dụng kiến thức toán học, giải pháp toán học nào liên quan tới các vấn đề thực tiễn mà giáo viên đưa ra, do đó họ không thể xây dựng được bài toán toán học và tìm phương án giải quyết vấn đề bằng quá trình MHHTH Khi đó, giáo viên cần gợi mở cho người

học bằng những câu hỏi tại từng bước thực hiện, hoặc giới thiệu nội dung toán học có liên quan (đã học hoặc kiến thức mới) khi thực hiện mô hình hóa toán học trong các bài giảng tới người học

Như vậy, theo các nghiên cứu đã đưa ra, tại tất cả các giai đoạn thực hiện quá trình MHHTH thì học sinh đều gặp khó khăn Những khó khăn thường tập trung ở

các hoạt động: Nhận biết tình huống, chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học, đưa ra cách lời giải và đánh giá quá trình giải quyết vấn đề bằng MHHTH

1.3 Dạy học mô hình hóa toán học thông qua nội dung Xác suất 10

1.3.1 Nội dung Xác suất trong chương trình Toán ở cấp THPT

1.3.1.1 Vai trò và ý nghĩa của Xác suất ở cấp THPT

Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp các hiện tượng ngẫu nhiên Đó là các hiện tượng mà ta không thể nói một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra

Tại Việt Nam, lý thuyết xác suất được nghiên cứu và giảng dạy đầu tiên tại

Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội Người có công đi tiên phong là Giáo sư Nguyễn Bắc Văn, người thầy đáng kính của nhiều thế hệ sinh viên chuyên ngành Xác suất

và Thống kê Có người đã thử so sánh toán học với âm nhạc và nói rằng Đại số, Topo và Hình học giống như bản nhạc giao hưởng và ôpeza, còn Xác suất – Thống kê thì như vũ balê

Khoa học thống kê đã hình thành và phát triển, đặc biệt khi cơ sở Toán học là lý thuyết xác suất cũng phát triển mạnh, để cuối cùng thống kê toán học với nền tảng là lý thuyết xác suất thực sự trở thành một ngành Toán học ứng dụng Vì thế, Xác suất giữ một vai trò vô cùng quan trọng trong hầu hết hoạt động của con người:

“Thống kê toán và lý thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kỹ thuật, vào quản lý kinh tế và tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao động: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, ” [22]

Hiện nay, nội dung Xác suất trong việc tăng cường ứng dụng trong giảng dạy

ở trường phổ thông – một vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, “là một yêu

cầu có tính nguyên tắc, nhằm phản ánh được tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà một trong những phương hướng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng Đặc biệt, do nhu cầu của quá trình tự động hóa trong sản xuất, những ngành liên quan tới 3 hướng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những yếu tố phát triển mạnh nhất của Toán học hiện đại” [23]

Theo [12] thì “Thống kê Toán và Lý thuyết xác suất lại có nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới khoa học cho học sinh Bởi vậy ngay từ những năm cuối thập kỷ 50 của thế kỷ XX, những kết quả nghiên cứu của các nhà Toán học và Sư phạm trên thế giới đã khẳng định một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lý thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của các lĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông”

Do tầm quan trọng của Xác suất và theo xu thế phát triển chung của giáo dục Thế giới, đến nay các chủ đề này đã được đưa vào giảng dạy một cách có hệ thống nhằm tăng cường những nội dung kiến thức thực tiễn liên quan đến xác suất cho học sinh

1.3.1.2 Mục tiêu và nội dung kiến thức Xác suất 10 trong CT 2018

Trong CT GDPT các nước, môn Toán đều được coi là môn học nền tảng, là môn học độc lập, có nội dung, thời lượng riêng và đều có giải thích vì sao chúng ta học toán và chỉ ra vị trí môn Toán nói chung hay nội dung Xác suất nói riêng trong

CT GDPT

Mục tiêu nội dung Xác suất trong CT GDPT các nước được trình bày rất đa dạng, tuy nhiên phần lớn được trình bày theo cấu trúc: nêu định hướng khái quát; sau đó trình bày theo cấu trúc gồm ba thành tố:

Thứ nhất, về kiến thức và kĩ năng toán học; Thứ hai, về các năng lực toán học cần hình thành và phát triển hoặc liên quan

đến cách thức đạt được và áp dụng những hiểu biết toán học;

Thứ ba, về phẩm chất cần hình thành và phát triển ở học sinh

Tập trung mục tiêu giáo dục toán học của hầu hết các nước đều đề cập nhằm giúp học sinh có các kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, áp dụng vào cuộc sống

hàng ngày và các môn học khác, phát triển tư duy toán học và kĩ năng giải quyết vấn đề, sử dụng hiệu quả các công cụ toán học, phát triển khả năng suy luận hợp lý, giao tiếp toán học, làm việc hợp tác và độc lập, có thái độ tích cực, yêu thích toán học Ngoài ra, mục tiêu môn Toán được trình bày theo từng lớp học hoặc theo từng mạch kiến thức Việc xác định mục tiêu giáo dục môn Toán ở các nước thường hướng tới các năng lực chung của CTGDPT nước đó, trong khi chương trình môn Toán của Việt Nam chưa đề cập tới

Theo Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán; năng lực học tập độc lập và hợp tác” Vậy chúng ta có thể thấy được dù là giảng dạy nội dung gì trong bộ

môn Toán thì năng lực của học sinh luôn là kết quả cuối cùng cần đạt được của quá trình dạy học hay giáo dục Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục

tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi

là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục [3] Theo [2], nội dung Xác suất ở cấp THPT ngoài những mục tiêu riêng của nó, thì vẫn phải đảm bảo đạt các mục tiêu chủ yếu của môn Toán như sau:

Một là, hình thành và phát triển năng lực đặc thù toán học bao gồm 5 thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Đồng thời, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

Hai là, góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu: yêu đất nước, yêu con người, chăm học, chăm làm, trung thực và trách nhiệm

Ba là, có kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển

khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật, ; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn

Bốn là, có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của Toán học đối với

từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ

năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan trong suốt cuộc đời

Tóm lại, mục tiêu chung về nội dung Xác suất ở cấp THPT mà học sinh cần

đạt được là “Nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của Xác suất và ý nghĩa của Xác suất trong thực tiễn.”

Theo chương trình giáo dục phổ thông mới, mạch nội dung và yêu cầu cần đạt nội dung Xác suất cấp THPT được thể hiện cụ thể trong Bảng 1.1

Bảng 1.1 Mạch nội dung và yêu cầu cần đạt Xác suất cấp THPT

Lớp 10

Khái niệm về xác

suất

Một số khái niệm về xác suất cổ điển

• Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ

điển: phép thử ngẫu nhiên; không gian mẫu; biến cố (biến cố là tập con của không gian mẫu); biến cố đối; định nghĩa cổ điển của xác suất; nguyên lí XS bé

• Mô tả được không gian mẫu, biến cố trong một số thí

nghiệm đơn giản (ví dụ: tung đồng xu hai lần, tung đồng xu ba lần, tung xúc xắc hai lần)

Các quy tắc tính xác

suất

Thực hành tính toán xác suất trong những trường hợp đơn giản

• Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán

đơn giản bằng phương pháp tổ hợp (trường hợp xác suất phân bố đều)

• Tính được xác suất trong một số thí nghiệm lặp bằng

cách sử dụng sơ đồ hình cây (ví dụ: tung xúc xắc hai lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần tung bằng 7)

Các quy tắc tính xác suất

• Mô tả được các tính chất cơ bản của xác suất • Tính được xác suất của biến cố đối

Nội dung Yêu cầu cần đạt

Lớp 11

Khái niệm về

XS

Một số khái niệm về xác suất cổ điển

• Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ

điển: hợp và giao các biến cố; biến cố độc lập

Các quy tắc tính xác

suất

Các quy tắc tính xác suất

• Tính được xác suất của biến cố hợp bằng cách sử

dụng công thức cộng

• Tính được xác suất của biến cố giao bằng cách sử

dụng công thức nhân (trường hợp biến cố độc lập)

• Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán

đơn giản bằng phương pháp tổ hợp

• Tính được xác suất trong một số bài toán đơn giản

bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

Lớp 12

Khái niệm về XS có điều kiện

Xác suất có điều kiện

• Nhận biết được khái niệm về xác suất có điều kiện • Giải thích được ý nghĩa của xác suất có điều kiện

trong những tình huống thực tiễn quen thuộc

Các quy tắc tính xác suất

Các quy tắc tính xác suất

• Mô tả được công thức xác suất toàn phần, công thức

Bayes thông qua bảng dữ liệu thống kê 2x2 và sơ đồ hình cây

• Sử dụng được công thức Bayes để tính xác suất có

điều kiện và vận dụng vào một số bài toán thực tiễn

• Sử dụng được sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều

kiện trong một số bài toán thực tiễn liên quan tới thống kê

Tóm lại, với nội dung Xác suất, khái niệm Xác suất cổ điển được giảng dạy ở lớp 10 và 11, đồng thời bổ sung thêm kiến thức về nguyên lý xác suất bé Về các

quy tắc tính xác suất, học sinh được học trong ba năm học và bổ sung thêm kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Đây là nội dung kiến thức chỉ được giảng dạy ở bậc Đại học hiện nay

Ngoài ra, lớp 12 có chuyên đề “Biến ngẫu nhiên rời rạc Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc” liên quan đến phân bố Bernoulli, phân bố Nhị thức nhằm ứng dụng toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn, đặc biệt là kinh tế và tài chính

1.3.2 Một vài nét về việc thực hiện nội dung Xác suất ở cấp THPT

Ở Việt nam, trong một thời gian dài, nội dung Xác suất chỉ được đưa vào giảng dạy trong chương trình ở đại học Ngược lại, nội dung Xác suất lại được đưa vào giảng dạy khá sâu trong chương trình phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Anh, Pháp, Tây Ban Nha, … từ rất nhiều năm trước đó [5] Tuy nhiên, nội dung Xác suất ngày càng trở nên quan trọng trong xã hội hiện đại, sự liên quan của việc phát triển tư duy ở học sinh ở tất cả các cấp giáo dục đã tăng lên Do đó, chương trình giảng dạy mới được công bố trong những năm qua ở nhiều quốc gia như Brazil, Costa Rica, Nam Phi, Tây Ban Nha, Các Tiểu vương quốc Ả Rập Thống nhất và Hoa Kỳ đã giới thiệu thống kê từ năm đầu tiên của cấp tiểu học Những thay đổi trong việc giảng dạy Xác suất không chỉ liên quan đến số lượng mà còn liên quan đến chất lượng của nội dung Đối với các nước trên thế giới, ngay cả đối với cấp tiểu học cũng sẽ định hướng cách tiếp cận cho giáo viên giảng dạy nội dung Xác suất - Thống kê với mong đợi: điều tra thiết kế; xây dựng câu hỏi nghiên cứu; thu thập dữ liệu bằng cách sử dụng cách quan sát, khảo sát và thí nghiệm; mô tả và so sánh các số liệu; và đề xuất và biện minh cho các kết luận và dự đoán dựa trên số liệu [26] Người học dự kiến sẽ đối phó với số liệu trong các bối cảnh quan trọng và có lập trường trong việc phân tích và giải thích số liệu và đặc biệt là sử dụng số liệu và thống kê Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy và lý luận thống kê và không chỉ kiến thức thống kê ở học sinh đang được nhấn mạnh trong nhiều chương trình giảng dạy Điều này càng cho thấy tầm quan trọng của kiến thức về Xác suất và Thống kê, một ngành toán ứng dụng rất có giá trị sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lý, Cơ học, Sinh học, Kinh tế, Y học, Xã hội học, … Thấy được xu thế của thời đại, các nhà giáo dục Việt nam bắt đầu quan tâm đến việc nên

đưa Xác suất vào giảng dạy ở trường phổ thông với mục đích nhằm tiến gần và bắt kịp với thế giới bên ngoài, đồng thời cũng là để đáp ứng với việc đổi mới chương trình giáo dục và phương pháp giảng dạy ở Việt Nam [6] Cụ thể là:

• Trước những năm 1975, các lớp THPT miền Nam và một số lớp chuyên cấp 3 ở

miền Bắc được học Xác suất, sau đó bị gián đoạn

• Sau năm 1975, một thời gian dài, học sinh THPT không được học Xác suất • Hai mươi năm sau, vào năm 1995, chương trình toán thí điểm dành cho ban

khoa học tự nhiên và khoa học xã hội có xuất hiện một số rất ít về xác suất

• Từ năm 1998, trước yêu cầu đổi mới giáo dục nhiều nhà khoa học đã đi tiên

phong trong việc nghiên cứu đưa Xác suất vào môn Toán ở trường THPT Ở thời điểm này, học sinh lớp 12 chuyên ban A được học một số yếu tố về Tổ hợp và Xác suất

• Từ năm 2000, học sinh lớp 12 lại thôi không học Xác suất • Sau 3 năm thực hành thí điểm đạy học Toán theo chương trình phân ban từ năm

2002 ở một số trường THPT, Bộ GD và ĐT đã quyết định ban hành CT SGK

• Từ năm 2004 – 2005, Xác suất thì mới được đưa vào giảng dạy lần đầu trong

chương trình thí điểm phân ban của lớp 11

• Ngày 05 tháng 05 năm 2006, Bộ Giáo dục & Đào tạo ban hành chương trình

giáo dục phổ thông tổng thể, nội dung Xác suất chính thức đưa vào giảng dạy từ lớp 11

• Ngày 26 tháng 12 năm 2018, các chuyên gia giáo dục muốn đẩy mạnh hơn nữa

ứng dụng thực tiễn và giá trị thiết thực của Toán học và xác suất là mạch kiến thức rất tốt để thực hiện nhiệm vụ đó nên thay vì theo CT 2006 nội dung Xác suất chỉ xuất hiện trong chương trình lớp 11 thì ngay từ khi học cấp Tiểu học, học sinh sẽ được bắt đầu làm quen với phép thử và chỉ yêu cầu các em nhận thức được kết quả của những phép thử đơn giản Chẳng hạn, với bài “Ngày, tháng” trong sách giáo khoa toán 2 (trang 79, 80), học sinh đã được làm quen với các

yếu tố, các số liệu thống kê qua nội dung câu hỏi bài tập: “Trong tháng 12 có mấy ngày Chủ nhật, đó là ngày nào?” Hay ở lớp 3, các em có bài thực hành đo

độ dài và điền vào bảng Thậm chí trong sinh hoạt hàng ngày, các em đều đã từng tiếp xúc với khái niệm xác suất và thống kê, như khi quan sát ra đường vào giờ nào sẽ dễ gặp tắc nghẽn giao thông, hay khi nhận biết các thành viên nhỏ tuổi, cao tuổi, nam, nữ trong gia đình

Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu về nội dung Xác suất trong CT lớp 10 Tuy nhiên, năm học 2022 – 2023, ở cấp THPT, xác suất là nội dung lần đầu xuất hiện trong các bộ sách giáo khoa mới theo CT 2018 Để nói về điểm chung nhất của hai CT GDPT 2006 và CT GDPT 2018, nội dung XS ở cấp THPT đều có các nội dung chính:

• Khái niệm XS cổ điển: không gian mẫu, biến cố, biến cố đối, định nghĩa cổ điển

của XS, các phép toán trên biến cố

• Các quy tắc tính xác suất: quy tắc cộng XS, quy tắc nhân XS • Tuy nhiên, các nội dung của CT 2018 đã có sự bổ sung về nội dung và thay đổi

phân phối chương trình dạy học Bảng 1.2 Bảng 1.2 Bảng so sánh nội dung Xác suất trong CT 2006 và CT 2018

Khái niệm XS cổ điển Chỉ học trong CT lớp 11

- Học ở cả lớp 10 và lớp 11 - Bổ sung: Nguyên lý XS bé XS có điều

kiện Không học trong CT cơ bản Học tại CT lớp 12

Chuyên đề Không học

Lớp 12 có nội dung chuyên đề “Biến ngẫu nhiên rời rạc Các số đặc trưng của biến nhẫu nhiên rời rạc” nhằm ứng dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn Như vậy, ta có thể thấy được rằng trong CT GDPT 2018, nội dung về XS sẽ quán triệt các quy định cơ bản được nêu trong chương trình tổng thể; kế thừa và phát huy ưu điểm, khắc phục những hạn chế của chương trình GDPT 2006, tiếp thu

có chọn lọc kinh nghiệm của các nước tiên tiến trên thế giới, tiếp cận những thành

tựu của khoa học giáo dục, có tính đến điều kiện kinh tế và xã hội Việt Nam Giúp người học làm chủ kiến thức phổ thông; biết vận dụng hiệu quả kiến thức vào đời sống và tự học suốt đời, phát triển những phẩm chất, năng lực cần thiết đối với người lao động, ý thức và nhân cách công dân; khả năng thích ứng với những đổi thay trong bối cảnh toàn cầu hóa và cách mạng công nghiệp mới [3]

Việc thiết kế mục tiêu dạy học của nội dung XS phải tuân theo các nguyên tắc: xây dựng trên cơ sở phát triển phẩm chất, năng lực người học, có tính đến việc lĩnh hội kiến thức, làm chủ các kỹ năng và ứng dụng được trong thực tế (hình thành năng lực cốt lõi) của cá nhân người học; biểu đạt theo hoạt động học tập chứ không phải theo hoạt động giảng dạy

1.3.3 Mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung Xác suất 10

Tất cả những hiện tượng trong cuộc sống đều là sự không chắc chắc, từ kinh tế, chính trị, hoạt động xã hội Bên cạnh đó, sự phổ biến của tính ngẫu nhiên này lại đặt ra yêu cầu cần phải có các quyết định đúng đắn nhất khi đối diện với các yếu tố không chắc chắn Do đó, nội dung XS đã được đưa vào chương trình giảng dạy trong hệ thống giáo dục đào tạo từ cấp tiểu học đến Đại học

Với mục tiêu của việc dạy học nội dung XS không chỉ hướng đến việc cung cấp cho học sinh một tổng lượng kiến thức, kỹ năng phổ quát, mà còn hình thành một hệ thống giá trị của sự phát triển nhân cách sáng tạo, phát triển phẩm chất, năng lực chung cần thiết, và năng lực đặc thù của môn học

Dạng mô hình xác suất thường gặp là một mô hình gồm có 3 thành phần:

không gian mẫu, biến cố và phép đo xác suất

• Không gian mẫu: Bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra • Biến cố: Là tập con của không gian mẫu

• Phép đo xác suất: thể hiện xác suất của biến cố Phép đo xác suất (hay phân

phối xác suất là một hàm P) là cách gán một số thực P A cho mỗi biến cố ( ) A

Ví dụ 1 Mô hình phân phối nhị thức:

• Biến cố: biến cố A xuất hiện khi thực hiện 1 phép thử (biến cố A mang dấu hiệu nghiên cứu)

• Không gian mẫu: n biến cố đại diện cho n lần thực hiện phép thử: biến cố A xuất hiện 0 lần, 1 lần, 2 lần, …, k lần

• Phép đo xác suất: Công thức Bernoulli: P X( =k)=C pnkk(1− p)n k− với

( )

p=P A là xác suất xuất hiện khi thực hiện 1 phép thử

Như vậy, xác suất giúp đo lường hay định lượng sự không chắc chắn về các kết quả trong tương lai

Ví dụ 2 [24] Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: Trong

một phiên giao dịch xác suất giá tăng lên một đơn vị là p và xác suất giảm một đơn vị là 1− Sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập nhau p

i) Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch thì giá tăng so với thời điểm ban đầu là một đơn vị

ii) Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu một đơn vị Tính xác suất giá tăng trong phiên giao dịch thứ 2

Gợi ý: Gọi A là biến cố giá chứng khoán tăng một đơn vị trong một phiên giao dịch, n là số phiên giao dịch, k là số lần giá chứng khoán tăng một đơn vị trong n phiên

Khi đó, theo giả thiết ta có được n = phiên giao dịch là 3 phép thử Bernoulli 3với xác suất giá chứng khoán tăng một đơn vị trong phiên giao dịch là p, xác suất giá chứng khoán giảm một đơn vị là q= − 1 p

Theo công thức Bernoulli, ta có i) Xác suất sau 3 phiên giao dịch thì giá tăng so với thời điểm ban đầu một

3

P k = =C p −p = p q ii) Xác suất giá tăng trong phiên giao dịch thứ 2 là 2 2

ppqqppp q

1.3.4 Quy trình mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung Xác suất 10

Sau khi phân tích, tổng hợp một số quy trình MHHTH của các tác giả Pollak (1979), Swetz và Hartzler (1991), Stillman, Galbraith (2006) đã nêu ở mục 1.1.3,