chuyên đề phương trình mặt phẳng đường thẳng mặt cầu toán 12

Néu hai vecto @ va b không cùng phương và gid cua chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳngœ thì ẩ,b là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng a.. MAT PHANG - DUONG THANG - MẶT CẦU nnn trình

A'+ B.B'+C.C'=0 Mặt (P) oudng gdc mat (Q)

Tính thể tích khối tứ diện ABCD

(2) Tính độ dài đường cao DH của tứ điện ABCD ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHANG - DUONG THANG - MẶT CẦU

Trong không gian Oxz, cho tứ diện ABCD biết A(3;~2;m),B(2;0;0), C(0;4;0),

D(0;0;3) Tìm giá trị dương của tham số để thể tích tứ điện bằng 8 ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

A Câu hỏi — Trả lời trắc nghiệm ằ Cõu 1 ằ Cõu 2 ằ Cõu 3 ằ Cõu 4 ằ Cõu 5 ằ Cõu 6 ằ Cõu 7 ằ Cõu 8 ằ Cõu 9

Cho hình lập phương ABCD.A'BCT7 Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

ABCD)?

Cho hình lap phtong ABCD.A'B'C'D’ Vecto nao 1a vecto phap tuyén cua mat phang

AĐÁ)?

Trong không gian Oxz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0;4;0),C(0; 0;5) Toa dé nao sau day là tọa độ vecto chỉ phương của mặt phẳng (ABC)?

Trong không gian Oxz, cho ba điểm A(3;2;1), B(-1;4;1),C(3;-2;5) Tọa độ nào sau đây là tọa độ vectơ pháp tuyến của của mặt phẳng (ABC)?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình -2x+2/—z—3=0 Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 7S a =0 Mat phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (a):2x—3z+1=0 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (e) là:

Trong không gian Ox/z, mặt phẳng (P):x+w+z~3= 0 đi qua điểm nào dudi day:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): a = + 5 =1 không đi qua điểm nào dưới đây:

A P(0;2;0) B Q(0;0;3) C M(I;2;3) D N(1;0;0) ằ Cau 10 Trong khộng gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đõy đi qua gốc tọa độ?

A x+20=0 B x-2024=0 C y+2025=0 D 2x+Sy—8z=0 ằ Cõu 11.Trong khụng gian Oxz, mặt phẳng (Oxy) di qua diộm nao sau day:

MAT PHANG - DUONG THANG - MAT CAU ằ Cõu 12.Trong khụng gian Oxyz, phương trỡnh mặt phẳng (a) di qua diộm A(2;-1;3) và cú vectơ pháp tuyến n= (2;3;-1) la:

C (a) :2x-y+3z-2=0 D (a):2x—+3z+2=0 ằ Cõu 13.Trong khụng gian Ox/z, cho mặt phẳng (P) :2x+ —2z+4=0 Mặt phẳng nào sau đõy vuông góc với (P) ?

C x+3/—z+1=0 D x+y+z-6=0 ằ Cau 14.Trong khộng gian Oxyz, khoang cỏch từ A4(1;2;-3) đến (P):x+2 +2z—10=0 là

3 3 3 ằ Cõu 15.Trong khụng gian Oxz, vectơ nào sau đõy khụng phải là vectơ phỏp tuyến của mặt phang (P):x+3y—5z+2=0

C n=(-2;-6;-10) D vi =(-3;-9;15) ằ Cau 16 Trong khộng gian Oxyz, vộcto nao sau day là một vộctơ phỏp tuyến cua (P), biột a= (-1;-2;-2), b= (-1; 0;—1) là cặp véctơ chỉ phương của (P) ?

A ủi=(2;1;2) B.n =(2;-1;-2) oe i =(2;1;-2) D ni =(-2;1;-2) : ằ Cõu 17.Trong khụng gian Oxyz, phương trỡnh mặt phẳng đi qua A(1—1;2) và cú vộcto phỏp tuyén n= (4;2;-6) la

C 2x+—-3z+2=0 D 2x++—3z—5 =0 ằ Cõu 18.Trong khụng gian Oxz, cho A(0;1;1); B(1;2;3) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua 4 và vuông góc với đường thẳng AB

C (P):x+3y+4z—7=0 D (P):x+3y+4z-26=0 ằ Cau 19.Trong khộng gian Oxyz, cho hai điểm A(2:4:1),B(—1;1;3) và mặt phẳng

(P):x~3y+2z~5=0 Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P)

A 2y+3z-11=0 B 2x-3y-l1=0 C.x-3/+2z-5=0 D.3y+2z-l1=0 ằ Cõu 20.Cho hai mặt phẳng (a) :3x—2U+2z+7= 0,() :5x—4+3z+1=0 Phương trỡnh mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả (a) và () là:

A 2x-~2z =0 B 2x+y—2z=0 C 2x-+2z=0 D 2x+—2z+1=0 ằ Cõu 21.Trong khụng gian Oxyz, cho ba điểm A(3;-2;~2), B(3;2; 0),C(0; 271) Phương trỡnh mặt phẳng (ABC) là ằ TOÁN TỪ TÂM

€ 2x-3y+6z=0 D 2x+3y+6z+12=0 ằ Cõu 22.Trong khụng gian Oxz, cho ba điểm A(0; ds 2),B(2; -2; 1),C(-2; 1; 0) Khi đú, phương trình mặt phẳng (ABC) 1a ax+y—z+d=0 Hãy xác định a va d

A a=6,d=-6 B a=1,d=1 C a=-1,d=-6 D a=—6,d=6 ằ Cau 23.Trong khong gian Oxyz, mat phang di qua diộm A( 3; -2) và song song với mặt phẳng

C 2x-y+3z+7=0 D 2x—y+3z-7=0 ằ Cõu 24 Trong khụng gian Oxz, cho điểm A(2; -1;-3) va mat phang (P) :3x—2y+4z—5=0

Mat phang (Q) đi qua 4 và song song với mặt phẳng (P) có phương trình :

C (Q):3x—2y+4z+5=0 D (Q):3x+2y+4z+8=0 ằ Cõu 25 Trong khụng gian Ox/z, cho A(1;2;3), B(3;4;4) Tim tất cả cỏc gia tri cua tham so m sao cho khoảng cách từ điểm A dén mat phang 2x+y+mz—1=0 bang dé dai doan thang AB

B Câu hỏi - Trả lời Đúng/sai ằ Cõu 26.Trong khụng gian Oxy/z, cho mặt phẳng (P) :2x+3+z—2024=0

(a) | Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là 7 =(2;3; 1)

(b) | Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là 7i

(co) | Mặt phẳng (Owz) có vectơ pháp tuyến là 7i

(d) | Điểm A1(0;0;2024) không thuộc mặt phang (P) ằ Cõu 27 Trong khụng gian Ox/z, cho hai điểm A(;0;0);B(4; 12) b

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là

(c) | Nếu ù là trung điểm đoạn thẳng AB thỡ (34a),

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình là 3x++2z—12=0 ằ Cõu 28 Trong khụng gian Ox/z, cho bốn điểm A(14); B(2;7, 9);C(0;9;13); DỊ 8;10) Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

MAT PHANG - DUONG THANG - MAT CAU

() Phương trình mặt phẳng đi qua điểm B và vuông góc với AC là x—8y—9z+14=0

(d) ằ Cau 29.Tron; g khong gian Oxyz, cho ba diộm A( 1;4),

Phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD là 8x—Ty—13z+50=0

(a) | AB=(1;6;5) (b) | Mat phang (ABC) có 1 vectơ pháp tuyến là 7 =(1;-1;1)

(c) | (ABC): x-y+z-4=0 (d) | O€(ABC) ằ Cõu 30 Trong khụng gian với hệ tọa độ Ox/z, cho ba mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0

(b) (a) qua O va song song (P) có phương trình là (a): x+2y—z=0

(c) | (P)//(R) khi m=2 (4) | (P)-L(R)khi =—10 ằ Cõu 31.Trong khụng gian Oxyz, cho M(-2;~4;3) và (P) :2x—+2z—3=0,

(b) M cach déu hai mat phang (P) va (Q)

(d) (a) song song va cách (Q) một khoảng bang 2 có phương trình là (a) :2x—y+2z-9=0 ằ Cõu 32.Cho hai mặt phẳng (P):2x—w+2z—5=0; (Q):4x—2y+4z+1~m=0 và điểm M(2;1;5)

(a) Khoảng cách từ AI đến mặt phẳng (P) bằng

Š, 3 Với =0 thì khoảng cách AI đến mặt phẳng (Q) bang ; +

() Với =3 thì khoảng cách giữa mặt phẳng (P) va mặt phẳng (Q) bằng 3

Có hai giá trị của z để khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (Q) bằng

1 Khi đó tổng tất cả giá trị của ? bằng 5 ằ TOÁN TỪ TÂM Progr |

€ Câu hỏi - Trả lời ngắn ằ Cõu 33.Cho điểm A(I;2;~1) và mặt phẳng (œ):2z—2/+z—7=0, Khoảng cỏch từ A1 đến mặt phẳng (a) có dạng h tối giản; a;beZ Tính T*—b? ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 34.Cho điểm A(I;2;~1) và mặt phẳng (œ): x~2+ 2z+2 =0 Mặt phẳng (3) song song với mặt phẳng (a) và cách A một khoảng 1 có dang (a): x—by+cz+d=0 Khi đó

S;-c+d? ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 38.Trong khụng gian Oxz, cho điểm A4(z;b,1) thuộc mặt phẳng (P):2x~y+z~3=0

Tính giá trị biểu thức S*—b ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 36.Trong khụng gian Oxy/z, cho phương trỡnh mặt phẳng (P) qua A(2;1-3) Và song song với mặt phẳng (Q):x-y+2z-1=0 cé dang x—y+az+b=0 Tinh gia tri biéu thirc

S=a-b ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 37.Trong gian Oxz, cho ba điểm A(2;—11), B(1;0;4), C(0;-2;-1) Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình dạng x+z/+bz+c =0 Tính giá trị biểu thức S=a+b+c ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 38 Trong khụng gian Ox/z, cho mặt phẳng (P) :ax +b +cz—27 =0 qua hai điểm A(3; 2; 1) va B(-3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q):3x+y+z+4=0 Tinh tổng S=a+b+c ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 39 Trong khụng gian Oxwz, mặt phẳng (P) đi qua A(I9;0); B(0;0;2) va cat tia Oy tai diộm

C sao cho thể tích khối chóp OABC bang 2 Biết điểm S(- 6; m) thuộc (P), thi m bang bao nhiéu? ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 40 Trong khộng gian Oxyz, cho (a):x+2y—z-1=0 và (3):2x+4y—mz+2=0.Tim m dộ

(a) va (8) song song véi nhau ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 41.Trong khụng gian Ox/z, cho hai điểm A(1;2;0), B(3;4;-2) và (P): x-y+z-4=0

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B va vuông góc với mặt phẳng (P) ỳ cé dang (Q):ax+by+cz+2=0 Tinh T=a+b+c ằ Điền đỏp số: ằ TOÁN TỪ TÂM Trang 28

MAT PHANG - DUONG THANG - MẶT CẦU ằ Cõu 42.Trong khụng gian Oxyz, cho cdc diộm A(0;1;2),B(2;-2;1),C(-2;1;0),M(3;0;1) Tinh khoang cach tir M dén mat phang (ABC), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 43.Trong khụng gian Oxy/z, biết mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng -7 và cỏch điểm

A(2,-3,4) một khoảng bằng 3 Tính tích hai hệ số tự do của phương trình tổng quát mặt phẳng (P) (biết hoành độ của vectơ pháp tuyến của (P) bằng 1) ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 44 Trong khụng gian Ox/z, cho cỏc điểm M(m;0;0),N(0;n;0),P(0;0;p)khụng trựng với gốc tọa độ và thỏa mãn ?m” +” +” =3,1m,rp là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng (AMINP) (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 45.Trong khụng gian Ox/z, cho điểm A(1;1;2) và mặt phẳng (P):(m—1)x+y+mz-1=0, với m là tham số Tỡm mứ để khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (P) lớn nhất ằ Điền đỏp số: ằ TOÁN TỪ TÂM

Chương 05

Vi trí tương đối hai đường thẳng Điều kiện để hơi đường thẳng vuông góc

5S" Sự cùng phương - Sự đồng phẳng:

" Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng cùng song song với một đường thẳng

"Ba vectơ được gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

Trong không gian Ox/z, cho ba vecto đ = a;a,;a,),b =(b,;b,;b,) Và =(ceec)

Hai ọ, b khụng cựng phương =a, ủ] z0 v Ba vectơ , b, ¿ đồng phẳng oi, B]L£=0

* Ba vectơ Z, b, € không đồng phẳng oa, b|.ẻ #0 a Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: rong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng A,,A, lần lượt đi qua các điểm M,,M, và tương ứng có ij = (a,;b,;¢, );i, = (270:;52) là hai vectơ chỉ phương Khi đó, ta có: ce it cing phuong eA HA, h a= èủ.M,M; cựng phương

: fa ii, cing phuong eA ASS) _ : % èủ MA; khụng cựng phương

èủ.z M,M; đồng phỏng ca aoe đ A; và A; chộo nhau â[ủ,, ữ,|-,M; =0 ằ TOÁN TỪ TÂM Peng |

A, song song A, coms Để xột vị trớ tương đối giữa hai đường thẳng ơ

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng A,,A, tương ứng có ij, = (a, 3b, ic) va i, = (a;;b,;c,) là hai vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: x=#+ủ, x=x,+4,,

Xét hệ phương trình hai ẩn t,t): 4y, +t, =,+b.f, (*)

Khi đó : ằ— Ai=A,â ii, cựng phuong voi i, va hộ (*) vụ nghiệm ằA,//A, â Hệ (*) cú vụ số nghiệm ằ A, cắt A; â Hệ (*) cú nghiệm duy nhất À- ằ A, va A,chộonhau Phuong trinh j y= y, +bt Qua M, có véctơ chỉ phương, a =(a;b;c) gon el

She SYo Tes hoặc #5 nếu {a;b;e} =0 b ở Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm

(1) M(2;0;-1) va co vécto chi phuong đ = (2;-3;1)

(2) N(L; 0; -2) va cé véc to chi phuong ii = (2;3;1) ằ Tời giải ằ TOÁN TỪ TÂM a

Trong không gian Ox/z, viết phương trình tham số của đường thẳng đ qua điểm bất kỳ thuộc đ và có vectơ chỉ phương tương ứng Biết đường thẳng đ

(1) Đi qua điểm A(I1;2) và có véctơ chỉ phương DĐ (1;2;-3) (2) Di qua diém C(3; 21) và có véc tơ chỉ phương i= (1: 2;3) ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

> Trong khong gian Oxyz, viét phương trình đường thẳng A

Qua hai diém A va B > Chon A hoặc B là điểm mà A đi qua

Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra

Trong không gian Oxz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng (1) Đi qua gốc tọa độ và H(4-2)

(2) Đi qua hai điểm M(2;0;—1) và N(2;-3;1) ằ Tời giải

Trong không gian Oxz, cho AABC có A(-1;3;2), B(2;0;5), C(0;-2;1) Viét phuong trình đường trung tuyến AM của AABC ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM Past |

Trong không gian Ox/z, viết phương trình đường thẳng A

Giao tuyến của hai mặt phẳng > Cho 1 trong 3 an x;y;z =0 dé tim 2 ẩn còn lại a): Ax+ By+Cz+D=0 va By+Cz+D=0 =? ia) x=0 Tiệp ác?” Y "> M(0;2;?)

7 ip > Vecto chỉ phương ù =[ủ,;ủ, ] vụ Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra

Trong không gian Oxz, cho hai mặt phẳng (P):2x+y-2-1 =0, (Q):x-2y+z-5 =0

Giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương là? ằ Tời giải

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (a):2z+y-z+3 =0 và

(8):x++z~1=0 Phương trình chính tắc đường thẳng A là giao tuyến của hai mặt phẳng (3) va (2) là? ằ TOÁN TỪ TÂM đỏ 58

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y~5z+4=0 và đường thẳng : = ol = =e - Goi (Q) là mặt phẳng chứa đ và vuông góc với (P) Xác định phương trình giao tuyến đ” của (Q) va (P)? ằ TOÁN TỪ TÂM

> Dạng 5 Đường thẳng là đường vuông góc chung của hơi đường thẳng điểề,2

““À_ Phương pháp - Trong không gian Oxz, viết phương trình đường thẳng A

Là đường vuông góc chung của đ, và đ, ` (ren = N0) (toa dd theo t;k)

>_MN là đường vuông góc chung

> Khi do duong thang A: N ii, = MN

Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đ:4/=2+f và d,:4y=2+s Viết

Z=—245¢ z=1+3s phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng Gjd, ằ TOAN TU TAM đ 40 |

Hai đường thẳng A,,A, tương ứng có iỉ, =(4,;b,;¢,) va i, = (a;;b,;c;) là hai vectơ chỉ phương Khi đó, ta có: ti, i,| — lmw+bl¿+ee| +bb, +¢,c,| cos(A,4,)=Eos(® | TTI” Tape dare Đường thẳng A có vectơ chỉ phương ii = (a; b;c) va mat phang (P) có vectơ pháp tuyến 7= (A; B;C) Khi đó, ta có:

: A,(P))= |aA +bB +cC| mn(e4r) "ma

Hai mặt phẳng (P, ); @ 2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là ji, =(A,;B,;C,) va ii, CA 5, “G b): Khi đó, ta có:

SH) Z)]2| SE MB Tare Gare (ae

Trong không gian Oxyz, cho hai dudng thang d,:;y=5—2t va d,:}y=2+t' Tinh z-3i z=-l+5f góc giữa hai đường thẳng đã cho ằ Tời giải ằ TOÁN TỪ TÂM ăn

Trong không gian Oxz, cho đường thăng a anon =i va mat phang

(P):2x+y+z-1=0 Tính góc giữa A va (P) ằ Lời giải

Trong không gian Ox/z, tính góc giữa hai mặt phẳng (P):x+2u+z+10=0 và

Dang 7 Vi tri tudng déi cba hơi đường thẳng

- Trong không gian Ox/z, cho hai đường thẳng: x=xX,+at d:\y=y,+a,t(teR) có vectơ chỉ phương a =(a,;a,;4,) vaM,(x,74):2)) € ; z=zy+a,t x=xj, tat! đ:4u=,+d;f'(F elR) cú vectơ chỉ phương ở =(ứi;8;;ứ;) z=z, tat"

Khi do: ằ đ//d' 7,đ cựng phuong M, ed’ xạ +8 =Ag tat" ằ dej'â hệ phương trỡnh ẩn (,f' sau: 4y +a,f = ạ +ứ;" cú đỳng một nghiệm

X t+at=x, tat ằ d va d' chộonhau â @ va @’ khụng cựng phương và 3 1, +ọ,Í = 1/ạ +a›f' vụ nghiệm

Hoặc ta có thể áp dụng theo sơ đồ sau: ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHANG - DUONG THANG - MAT CAU ' Ví dụ 7.1

Trong không gian Oxy/z, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: x=l*+f x=2+2t

(2) “xen và dt ate z=5+t ằ TOAN TU TAM

Trong không gian Oxyz, cho d, và đ, :41/=~3—t Mệnh đề nào sau đây z=0 đúng?

(1) d, va đ, đồng phẳng (2) d, cắt và vuông góc với đ,

(3) 4, vuông góc đ, và không cắt nhau (4) đ, song song với d, ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM a © Dang 8 Bai toán thực té

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15m của tháp 1 này sang vị trí B cao I0m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh Với hệ trục toạ độ Oxz cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của A và B lần lượt là ;

(1) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này

(2) Xác định toạ độ của du khách khi ở độ cao 12 mét ằ Tời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

Cầu Cổng Vang (The Golden Gate Bridge) 6 My Xét hệ trục toạ độ Ox/z với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng (Oxy) là mat nudéc va xem nhu truc Oy clung phương với cầu như hình vẽ Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Óz và điểm A thuộc mặt phẳng Oz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mat nude 227m, điểm A cách mặt | nước 75 và cách trục Oz 343m

Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm N trên dây cáp AD và điểm M trên thành cầu, biết MI cách mat nudc 75m va MN song song với cột trụ

(1) Tính độ dài AN, biết điểm M cách trục Óz một khoảng bằng 230m

(2) Người ta có thể dùng đoạn dây dài 100m để nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148 m không? Vì sao?

(nguén anh: https://www.goldengate.org/assets/1/6/¢gb-exhibit-chapter-statistics.pdf) ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

A Câu hỏi - Trả lời trắc nghiệm ằ Cõu 1 ằ Cõu 2 ằ Cõu 3 ằ Cõu 4 ằ Cõu 5 ằ Cõu 6 ằ Cõu 7

Cho đường thẳng A có một vectơ chỉ phương là ¡ =(2;~4;~6) Vectơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của A7?

Cho đường thẳng A có phương trình = = ee = = Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của A?

A ti, =(-1;2;-1) B i, =(1;-2;1) €.1,=(-3;2;-4) D.ứ,=(3;2;4) x=3-t Cho đường thẳng A có phương trình J1/=—1 (t€IR) Vecto nao sau đây là vectơ chỉ z=3t phương của Â?

Cho đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng (Oxy) Vecto nao sau day 1a vecto chi phuong cua A?

Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng AB với A(U1;2) và B(-4;3;-2) là: ÁP ere BIẾT

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(2;0;—1) và vuông góc với mặt phẳng (P):2x—w+z+3=0 là: x=2+2t x=2+2t

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(;-3;5), B(2;—1;7) có phương trình chính tắc là a Po aI 27, py Saha 8

1 2 2 1 2 = ef ye es p2? 3 _ziš, ol =ˆ =ˆ 1 2 -2 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHANG - DUONG THANG - MẶT CẦU ằ Cau 8 Trong khộng gian Oxyz, cho đường thẳng A cú phương trỡnh = = = = = , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng A?

A M(I;-3;5) B N(2;-1; 7) € P(1;-3;7) D O(3;-5,7)- x=3-t ằ Cõu 9 Trong khụng gian Oxyz, cho đường thẳng A cú phương trỡnh J=1+3i , điểm nào z=2t đưới đây thuộc đường thẳng A?

A M(3;1;2) B N(3;1;0) C P(-1;3;2) D Q(-1;-3;0) ằ Cõu 10.Trong khụng gian Oxyz, dudng thẳng nào đưới đõy đi qua điểm A(3;-3;2) x-3_+3_ z+2 x+3_-3_z+2

1 2 2 3 1 -2 cx 2 viì z-2, p.#t1_#-3_Z+5 ơi 3 2 3 2 x=5-3t ằ Cõu 11.Trong khụng gian Ox/z, điểm nào dưới đõy khụng thuộc đường thẳng A:41=1—f z=2+2t A M(3;1,-2) B N(5;1;2) Cc P(-1,-1;6) D Q(2;0;4) x=5-2t ằ Cõu 12.Trong khụng gian Oxx/z, cho hai đường thang A, :{y=5+3t, A, CC - = z=2t s

Góc giữa hai đường thẳng A, và A, bằng

A 30° B00” C 60 D 45° ằ Cau 13.Trong khong gian Oxyz, cho hai duong thang d, —=< ọ : = -_— “õn

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho

A Chéo nhau B Trùng nhau € Song song D Cắt nhau ằ Cõu 14 Trờn một phần mềm đó thiết kế sõn khấu 3D trong khụng gian Oxz Tớnh cos giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là 4, :;=#=~*, d, Meh Yd ze

2 2 ằ Cõu 15.Trong khụng gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Gọi M,„ M, Tần lượt là hỡnh chiếu vuụng góc của M lên các trục Ox, Oự Vectơ nào đưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M,M,?

A u, =(-1;2;0) B u, =(0;2;0) C u, =(1;2;0) D w, = (1;0;0) ằ Cõu 16.Trong khụng gian Oxyz, tọa độ nào sau đõy là tọa độ của một vộctơ chỉ phương của x=2+4f đường thẳng A:4=1—6£,(eIR)? z=9t ằ TOAN TU TAM

A.ls—7-]l- 3 2 4 B.| =;=;— | 324 C (2;1;0) D (4;-6;0) z & = 7 A nhs oe 2 x ytl_z-l , ằ Cõu 17.Trong khụng gian Oxz, tớnh gúc giữa hai đường thăng hp CTEEK= CC và i PHS

A 45° B 30° Cc 60° D 90° ằ Cõu 18 Tớnh cosin gúc giữa đường thẳng đ với trực Ox biết aa =e? ge pS c2, v.l

6 3 3 6 x=6+5t ằ Cõu 19.Trong khụng gian Ox/z, cho đường thẳng đ:{/=2+Ê và mặt phẳng z=l (P):3x—2y+1=0 Góc hợp bởi giữa đường thẳng đ và mặt phẳng (P) bằng

A 30 B 45° C 60° D 90° x & : ` z ah PVF og et ằ Cõu 20 Trong khụng gian Oxwz, cho đường thăng A: a a va mat phang

(a):x+y-z-2=0 Cosin của gúc tạo bởi đường thẳng A và mặt phẳng (ô) bang ˆ.- 9 5 8, 9 3 9 p YB 9 ằ Cau 21.Trong khộng gian Oxyz, cho hai mat phang (P) :2x-y-z-3=0 va (Q) :#—z-2=0

Góc giữa hai mặt phẳng (P) va (Q) bang

A 30° B 45° C 60° D 90° ằ Cau 22.Trong khộng gian Oxyz, cho ba diộm M(1;0;0), N(0;1;0) va P(0;0;1) Cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) bang

Sự E & 3 ằ Cau 23.Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a2, chiộu cao bang 2a va O là tam cua day Bang cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxz như hình vẽ bên đưới, khoảng cách từ điểm C đến mặt phang (SAB) bang ằ TOÁN TỪ TÂM

KP, 3 pe 4? et 4? me py ằ Cõu 24.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD 1a hinh chit nhat va SA L (ABCD) Cho biột

AB = 2a, AD : va SA* Cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng a E.-— 8 —ơ Bị

221 221 V221 221 ằ Cau 25.Trong khụng gian Ox/z, với mặt phẳng (Oxy) 1a mat đất, một mỏy bay cất cỏnh từ vị trớ

A(0;10;0) với vận tốc ử =(150,150;40) Tớnh gúc nõng của mỏy bay (gúc giữa hướng, chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng đơn vi)

B Cau hoi - Tra loi Diing/sai x=l ằ Cõu 26.Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc đường thẳng A, :‡=2~3f (t Đường thẳng A đi qua gốc toa dé O và vuông góc với (P) tạo với

(9 đường thẳng 4, mét géc acd cosa =—

Khi m= park eZ, E là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường (d) thẳng đ, và d,bằng 90' Giá trị biểu thức z?+b° ằ Cõu 28 Trong khộng gian Oxyz, cho dudng thang A: — ơ x -Ơ3- = và mặt phẳng

(a) | Số đo góc giữa hai đường thẳng A và (P) bang 90°

Biết hình chiếu của O lên (P) là H(3;-1;2) œ là số đo góc giữa (P)

VÌ | Sau va duong thang A, cosa “a suờg 1 Đường thẳng đ, là giao tuyến của (P) va (Oxy) Goi ở là góc giữa ứ d, và mặt phẳng (Oxz) Khi đú ỉ >30° Đường thẳng đ, vuông góc với (P) tạo với (Q):z+im~3=0 một (4) góc 30” Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số bằng =< ằ Cõu 29 Trong khụng gian Oxz, cho hỡnh chúp S.ABC cú ba điểm S(0; 0; 3), A(0; 0; 0) hp B(; 0; 0), c(0; 2;0) và mặt phẳng (P) :x++z—3=0 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ?

(a) | Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) va mat phang (ABC) bang 0

(b) | Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng : nã

(0) | Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (P) bằng —Ý^

(d) | Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (ABC) bằng mẽ x=-3+2t ằ Cõu 30.Trong khụng gian Oxy/z, cho hai duong thang d:}y=1-t va “5-2 ae z=-l+4t ” x-2 y-2 z-1 ÿ z - 3 - x $ š

(A) ậ số ứ TY Trong cỏc khăng định sau, khăng định nào đỳng ? Khăng định nào sai ?

(a) | Hai đường thẳng đ và đ' vuông góc với nhau

(b) | Hai đường thẳng đ và Z' cắt nhau tại điểm có tọa độ (—1;0;3) ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHANG - DUONG THANG - MAT CAU © | Hai đường thẳng đ' và (A) song song hoặc trùng nhau

(a) | Hai đường thẳng đ' và (A) trùng nhau ằ Cõu 31.Trong khụng gian Ox/z, Hai mỏy bay cựng xuất phỏt từ hai phi trường, trờn màn hỡnh rađa của trạm điều khiển (với đơn vị trên ba trục chính theo đơn vị km), sau khi xuất x +2t phat t gid (£20), vi trí của may bay sé mét duoc xac dinh boi céng thitc } y +¢ , vi trí máy bay số hai có tọa độ là (30+f';20+f;~10—/') Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ?

(a) Côsin góc giữa hai máy bay số một và máy bay số hai là ` sv2

(b) Sau 10 giờ kể từ thời điểm bay hai máy bay gần nhau nhất

() Nếu máy bay số một vẫn ở phi trường (đứng ở vị trí ban đầu) thì vị trí tọa độ của máy bay là (20;20; -10)

(4) Sau 5 giờ thì vị trí tọa độ máy bay số 2 trong không gian là

(35;25;—10) ằ Cõu 32 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxz, một cabin cỏp treo xuất phỏt từ điểm A(10; 3;0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là z =(2;~2;1) với tốc độ là

4,5m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét)

Các khẳng định sau đúng hay sai?

(a) x=l0+2t Phương trình tham số của đường cáp là: 4y=3—2t ,tclR z=t

(b) Giả sử sau thời gian £(s) kể từ lúc xuất phát (t > 0), cabin đến điểm

M Khi đó tọa độ điểm AM là M{s+lo-a+vŸ

(c) Cabin dừng ở điểm B có hoành độ +; = 550, khi đó quảng đường AB dài 800m

(4) ằ TOÁN TỪ TÂM Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 30°

C Câu hỏi - Trả lời ngắn wok ye zal a

Goi H là hình chiếu của A trên đường thẳng d, Duong thang AH có một vectơ chỉ ằ Cõu 33.Trong khụng gian Oxz, cho điểm A(0;2;-4) và hai đường thang d,: phương là 1 =(a;b;c) với a,b,ccZ Khi đó 2a-b+ec bằng ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 34 Trong khụng gian Ox/z, cho điểm A(2;-3;5) cú hỡnh chiếu vuụng gúc trộn cac truc Ox,

Oy, Oz là B, C, D Gọi H là trực tâm tam giác BCD Phương trình chính tắc của đường thẳng OH có dạng =- đó a+b+c bằng ọ& =b -=Ê ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 35.Trong khụng gian Oxy/z„ cho đường thẳng đ: 5 = + = m va mat phang

(a): x-2y—2z+5=0 Diém A(a; b;c) có hoành độ đương thuộc đường thẳng đ sao cho khoảng cỏch từ A đến (a) bằng 3 Tớnh tổng ứ+b—c? ằ Điền đỏp số: x=2t ằ Cõu 36.Trong khụng gian Ox/z cho hai đường thẳng đ,:- = = z đ,:=1 Gọi g là z=l-f góc giữa hai đường thắng đ,,d, Giá trị cos¿ có đạng —— Tính giá trị biểu thức b

P=b-3a+c ? ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 37.Trong khụng gian Oxz cho tam giỏc ABC cú A(1;2;-1), B(2;—13), C(-4;7;5) Tọa độ chân đường phân giác góc ABC của tam giác ABC là I(s;b;c) Tính tổng z+b+c? ằ Điền đỏp số: x=l+2t ằ Cõu 38 Trong khụng gian Ox/z, cho đường thẳng A:è=2+Ê và (P):-x+2y+2z+5= 0 Gọi z=-2-t đ là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0;-1) cắt đường thẳng A, và tạo với đường thẳng

A; một góc nhỏ nhất Vectơ chỉ phương “, =(a;b;c) Tinh tổng a+2b—3c? ằ Điền đỏp số: ằ Cõu 39.Trong khụng gian Oxz, cho mặt phẳng (P) :ax + bự +cz—1=0 với c0

Gita mat cdéu va diém:

Trong không gian Oxyz, cho diém M va S(1;R) Khi do:

Nằm nngoài Nằm trên Nằm trong âIMa(S)=H_ | @&IMa(S)=M=H | âIMa(S)=ỉ

Mat cau ằ TOAN TU TAM ề Đ Giữa mặt cầu và mặt phẳng:

“Z Trong không gian Oxz, cho (+): Ax+ Bự+Cz+ D=0 và S(I;R) Khi đó:

Không cắt Tiếp xúc Cắt theo giao tuyến là đường

Mat phangtiép | = (a) cat mat cau theo giao xúc mặt cầu tại me tuyến là đường tròn có tâm I’

Mặt pee va bán kính z on R= JP +@(1;(0))

= ˆ Giữa mặt cầu và mặt phẳng: Đi: ì Trong không gian Ox/z, cho Aa a c và S(I;R) Khi đó:

Duong thang Không cắt Tiếp xúc Cắt tại hai điểm A;B âđA(s)=ỉ An(S)={H} = An(S)={A;B} d(I;A)>R d(I;A)=R d(I;A)0

Tâm Lấy hệ số tự do trong ngoặc +—l Lấy hệ số trước x;J/;z +—2

Xác Định | pự„ Lấy căn bậc 2 vế phải X-vu2+P =0

Kớnh Điều kiện tồn tại: ứ”+0°+c°—d>0

& Cho hai điểm A,B cố định

Nếu MA L MB thì tập hợp điểm M là mặt cầu (S) có tâm 1 là trung điểm 4B và bán

Trong không gian Oxz, xác định tọa độ tâm và bán kính các mặt cầu sau:

(1) (S):x? +y? +2? -2x + 4y-6z-2=0, (2) (S):(x-1) +(y+2) +27 =9 ằ Tời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

Trong không gian O/z, cho các phương trình sau:

Có bao nhiêu phương trình mặt cầu và mặt cầu đấy nhận 1(-1;1;0) lam tam? ằ Lời giải

Trong không gian Ox/z, cho các phương trình sau:

(3) Ox? 42y? = (x+y) =z2+2x—l (4) (x+y) =2xy-z?-1 Có bao nhiêu phương trình mặt cầu? ằ TOÁN TỪ TÂM Trang 60

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;—1) và B(0; 6; 0) Chứng minh rằng nếu điểm M(x; 1;z) thỏa mãn M4.MB =0 thì M thuộc một mặt cầu (S) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) ằ Tời giải

Trong không gian Ox/z, cho hai điểm A(-2;2;-2); B(3;~3;3) Điểm M trong không gian thỏa mãn vn -5 Tính độ dài OA lớn nhất ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

> Trong khéng gian Oxyz, viét phuong trinh mat cau (S)

Loại Phương pháp Ÿ n Từ giả thiết ta đã có sẵn tâm J và bán kính R âm lía;b;c) và bán ` Phương trình (S):(x~a} +(y~b} +(x—e} = RẺ ằ Bỏn kớnh mặt cầu

Tam I(a;b;c) và qua điểm M (x, ;y, ;2,)- R=IM =|IM|= (x,—a) +(w =bŸ +(z,-c) :

> Mat cau c6 tam I(a;b;c) vaban kinh R=IM

Trong không gian Oxz, viết phương trình các mặt cầu sau:

(1) Tâm I(—1;2;~3), bán kính R=3 _ (2) Tâm ¡(0;~4;1) đường kính bằng 4 ằ Tời giải

Trong không gian Ox/z, viết phương trình các mặt cầu sau:

(1) Tõm ù(_1;2;1) đi qua gốc tọa độ (2) Tõm 1(1;2;3) đi qua điểm A(I;1;2) ằ Tời giải ằ TOÁN TỪ TÂM Praga

Dạng 3 Mặt cầu có đường kính

ws ae Phương pháp l> Trong không gian OxJ/z, viết phương trình mặt cầu (S)

Nhận M(x,,;„,;z„)và N(xy;Wy;Zy) | > Gọi I là tâm mặt cầu (5) làm đường kính =1 là trung điểm của MIN

Trong khụng gian Ox/z, cho hai điểm A(; 0; ơ3) và B(3; 2;1) Thương trỡnh mặt cầu đường kính 4B là? ằ Tời giải

Trong không gian O/z, cho hai vecto AO =(-1;-2;3) va BO =(~7;-4;-5) Phuong trình mặt cầu đường kính AB là? ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM

> Trong khéng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S)

Di qua 4 diém A;B;C;D không đồng > Goi I(a;b;c) là tọa độ tâm mặt cầu cần tim phẳng > Mat cau (5) đi qua 4 điểm

IA? = IB? © IA=IB=IC =ID © 41A? ? = tọa độ I

IA? =ID? eae Ta `3 eas

Trong không gian (3z, nếu mặt câu 6) đi qua bốn điểm

M(2;2;2),N(4;0;2),P(4;2;0) va Q(4;2;2) thì tâm 7 của (S) có tọa độ là? ằ Tời giải

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2;0;0), B(0;2;0),C(0;0;2), D(2;2;2) Viết phương trình mặt câu (5) ngoại tiếp tứ điện ABCI ằ Lời giải ằ TOÁN TỪ TÂM Trang 64

> Dạng 5 Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng/mặt phẳng

}> Trong không gian Ox/z, viết phương trình mặt cầu (S)

Tâm Te(P) va di qua A;B;C các mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Owz)

Trong trường hợp I e một trong các mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Owz) bài toán sẽ đơn giản hơn

> Mat cau (S) di qua ba diém A;B;C

IA? = IB? (2) TA? SIC? (3);

> Từ (1);(2) và (3)=1 là thỏa hệ:

TẢ =1C?

Chương 05

1 Vectơ phóp tuuến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

[Ee Vectơ phóp tuuến của mặt phẳng: 3=)

Vectơ 70 và có giá vuông góc với mặt phẳng (a) gọi là 0ectơ pháp tuyến của mặt

Phương trình tổng quót của mặt phẳng L

a=) > a “7©) Phương trình tổng quót của mặt phẳng:

Trong không gian Oxz, mỗi mặt phẳng đều có đạng phương trình

Điều kiện để hơi mặt phẳng song song, vuông góc

Mi==l; Điều kiện để hơi mặt phẳng song song:

Trong không gian Oxz,

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

c= Dinh nghia Êh không gian Oxyz,

Oxyz,cho diém M, (25/4/93) va mat phang (a) : Ax+ Bụ+Cz+D=0 Khi đó khoảng cách từ điểm M, đến mặt phẳng (œ) được tính:

Các mặt phẳng đặc biệt

= Oop mat phang dac biét: | |

TÍNH CHẤT MẶTPHẲNG ' PHƯƠNGTRÌNH ' HỆSỐ ĐẶC BIỆT

Buodc 2: Tim m6ét vecto phap tuyén 7 = | 4B, AC

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (a) di qua diém A (hoặc điểm B hoặc điểm C) và cú vectơ phỏp tuyến ùi ằ Phương trỡnh mặt phẳng (P ) là phương trỡnh mặt chắn, tức mặt phẳng (P) đi qua

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (AB C )

(2) Voi ba diém A(1;0;2),B(-2;3;1),C(3;2;1) wa Lời giai

Ta cé AB =(3;-1;-2); AC =(2;-1;-3) Mặt phẳng (ABC) cú vec tơ phỏp tuyến ứ= | AC; AB | =(-b-5;1)

Phương trỡnh mặt phẳng (ABC) là -(x+l)~5/+z—~3=0ô~x—5/+z—4=0 (2) Với ba điểm A(1;0;2),B(-2;3;1),C(3;2;1)

Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến là 7 = | AB, AC | =(-1;-5;-12)

Phuong trinh mat phang (ABC) la —x—5y—12z+25 =0 x+5y+12z-25=0 ằ TOAN TU TAM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ơ 4 vớ dụ 5.2

Trong không gian Oxz, viết phương trình mặt phẳng (ABC )

(2) Với ba điểm M(0;~2;0),N(3;0;0),PP(0;0;-3) wa Lời giai

Trong không gian Oxz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa diém M(1;3;—2), cat cac tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho Aa wa Lời giai

Phuong trinh mat chan cat tia Ox tai A(a ;0 ;0) cat tia Oy tai B (0 sb ;0), cat tia Oz tai

C(0;0;c) có dạng là (P): xy Fy 7a] (với a>0, b>0,c>0) ab c ằ OA OB OC a bc a=— b

Vỡ M(1;3;-2) nam trộn mat phang (P) nờn ta cú: —+—+——=lôââ—=l 4x+2y+z-8=0 ằ TOAN TU TAM

MAT PHANG - DUGNG THANG - MAT CAU — = nn `

E>z Dạng 4 PTMP trung trực của đoạn thẳng ơ 6ỡ lp Zz Phuong phap 2 4 ⁄ amar) ằ Trong khụng gian Oxyz, viết phương trỡnh mặt phẳng (a) trung trực đoạn thắng AB

Bước 1: Véctơ pháp tuyến của mặt (a) là: i= AB

Buoc 2: Tim toa độ trung điểm ù của đoạn AB

Bước 3: Viết phương trỡnh mặt phẳng (a) di qua diộm I va cú vectơ phỏp tuyến ùỉ = AB

Trong khéng gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 0;1) va B(-2; 2;3) Viết phương trình mặt phang trung trực của đoạn thắng AB wa Lời giai Mặt phẳng trung trực của đoạn thang AB có véctơ pháp tuyến là AB= (- 6;2; 2) và đi qua trung điểm I (1; 1;2) của đoạn thang AB

Trong không gian Oxyz„, cho hai điểm A(-3; 2;1) va B(5;-4;1) Goi M la hinh chiéu vuông góc của A trên (Ox), va N là điểm đối xứng với B qua (Oz) Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P ) cua doan thang MN wa Lời giai

MI là hình chiếu của A(-3; 2;1) trén truc (Oxy) nên ta có M(-3; 2;0)

N là đối xứng với B(5;— 4;1) qua (Oyz) nén ta co N(-5; -4; 1) Gọi ù là trung điểm MN Ta cú i{ 4-52]

Phương trình mặt phẳng 2(x+4)+2(y+1)~I[z~2] =0 ©4x+4i/—2z+2l=0 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU

Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1;2;1),B(3;0;0),

C(1;-1;-2), D(-1;1;-1) Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông

ABCD va G la trong tam AABC Viết phương trình mặt phẳng trung trực của GI wa Lời giai

Vi ABCD la hinh vu6ng nén tam duong tron ngoai tiép hinh vu6ng ABCD la giao diém của hai đường chéo AC va BD Khi do I 1 isi -3)

Vi G là trong tam tam giac ABC nên chỗ: J 3)

33 3 Gọi MI là trung điểm của đoạn thắng Gẽ nờn MÍŠ: =; -ỏ]

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thắng GI:

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'E'CTD', biết rang A(-3; 0; 0) , B (0; 2; 0)

, D(0; 0;1) , Af(I 2;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của C ”D wa Lời giai

Mà AC'= AB+ AD+ AA' > AC'= (10;4;4) =

Khi dé mat phang trung trực của CD: 2 2 n=C'D =(13;4;3) có phương trình là 13x22} 4(y-2)+3{ 2-3) 0 Dạng 5 PTMP 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khúc a NG ey Phương pháp ` 4 F Á ằ_ Trong khụng gian Oxz, viết phương trỡnh mặt phẳng (a)

(1) Qua M (x, Y, ;Zy) va song song % Cách 1:

(9): Ax+By+Cz+D=0 > Vécto phap tuyén (a) la: i.) = 7) = (4; B;C) ng > Mat phang (+) qua điểm M ¢6 Cach 2: heb > Do (a)//(8)= (a): Ax + By+Cz+D'=0 (D#D")

(2) Song song (P): Ax + By+Cz+D=0 va (a): Ax+ By+Cz+D'=0 (D#D’) cach (P) một khoảng bằng k > Vi (a)//(P)=>

⁄ ty - —ễc = k => D' = ? s1 VA* +B? +C* ho ay | > Có D'— phương trình mặt (P) hoàn chỉnh eS Ví dụ 5.1

Trong không gian Oxz, mặt phăng qua điểm A (-1 HỆ 2) và song song với mặt phẳng (a) :2x—2/+z—1=0 có phương trình là?

Có (P) song song (œ):2x-2y+z—1=0 nên (P):2x-2y+z+m=0, voi m#-1

Do (P) di qua diém A(-1;1;2) nén —2-—2+2+m=0@m=2 (nhan) Vay mat phẳng cần tìm là (P) :2x—2+z+2=0 Ÿ ` Ví dụ 5.2

Trong không gian Oxz, cho mặt phẳng (Q):x+2y+2z-3 =0 và mặt phẳng (P) không qua O, song song mặt phẳng (Q) và d((P) ;(©)) =1 Phương trình mặt phẳng

Goi phuong trinh mat phang (P) cé dang x+2y+2z+d=0 Voi d¥0;d¥-3 ằ TOAN TU TAM omg

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU P

Kết hop diéu kién = (P)cé dang: x+2y+2z-6=0

Trong không gian Oxyz, cho mat phang (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

(a,):3x-y+z-2=0, (a,):x+4y-5=0 đồng thời song song với mặt phẳng (a,) :2x+2l/—z+7 =0 Viết phương trình của mặt phẳng (?)

3x-y-2=0 x+4/-5=0 Gọi đ là giao tuyến của (a,);(œ„) d 1

Trong không gian Ox/z, cho mặt phẳng (P) :2x—2/+z—5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) , cách (P) một khoảng bằng 3 và cat truc Ox tại điểm có hoành độ dương wa Lời giai

Ta co 4((P);(Q))=a(M;(Q))=-—E* Dang 6 PTMP 1 điểm kèm điều kiện vuông góc với mặt phẳng khác

> Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (a)

Qua M(%,;a;Zạ) và L 2 mặt > Tim cap vécto Ap) va Ng):

(P): Ax+ By+Cz+D=0, > Véctơ pháp tuyến (œ) là: 7 = Lo Fi |

(Q) REO ghee > Mat phang (a) qua diém M(%,;Vạ;Zạ):

Q iP iho Hoặc bài toán sé gap: nQ “Qua M (x, 7Y, ;Zy) và vuông góc với giao tuyến của

(P): Ax+ By+Cz+D=0; (Q): Ax+ Ey+Cz+D'=0”

Qua điểm 4;B và vuụng gúc > Tỡm cặp vộctơ AB và ủ= | AB i 1

> Vécto phap tuyén (a) là: rỉ = | AB iF | ồ - :

No > Mặt phẳng (œ) qua điểm A n pS Œ NB

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (a) :3x—2u+2z+7=0, (3) :5x-4y+3z+1=0 Phuong trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả(œ) và (đ) là? wa Lời giai Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là 7, = (3;- 2;2),n, n, = (5; -4; 3)

Khi đó vecto pháp tuyến mặt phẳng can tim 1a 7 = l1; 5, ]-( 2;1;-2) Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O,VTPT ii = (2;1;- 2): ni +y—2z=0 ằ TOAN TU TAM

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B (-1:1:3) và mặt phẳng (P) :#—3/+2z—5 =0 Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mat phang (P) wa Lời giai Ta có: AB= (-3:-3:2), vectơ pháp tuyến của mp(P) là Hy = (1; -3;2) Từ giả thiết suy ra n= | AB, n | =(0:8;12) là vectơ pháp tuyến của mp (Q) Phương trình (Q) đi qua A(2;4:1) là: 0(x—2)+8(y—4)+12(z—1)y+3z—11=0

Trong khéng gian Oxyz, mat phang (P) di qua hai diém A(0;1;0) , B(2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) :x+2—z=0 có phương trình là? wa Lời giai

Ta có AB= (2;2;1), vecto phap tuyén mat phang (Q) : Họ = (1;2;-1)

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) : Hy = Họ A^AB= (4;-3;- 2)

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 4x—3—2z+C =0

Mặt phẳng (P) đi qua A(0;1;0) nên: -3+C =0€C =3

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 4x~3/~2z+3= 0 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU P ///////

> Dạng 7 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Be Phuong pháp } ằ_ Tớnh khoảng cỏch từ điểm M, (x, Y, ;Zạ) đến mặt phẳng (P): Ax+ By+Cz+D=0 như sau

Bước 1: Tìm M, (x, 7Y, ;Zy) ; viết phương trình mặt phẳng (P) : Ax+Bu+Cz+D=0

Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm M, đến mặt phẳng (P) : Ax+ Bự+Cz+D=0 theo công

, |Ax + By, +Cz +D thức đ(M,„(P))= In na

Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh 1 Điểm MI được cho thỏa mãn hệ thức

AM+ AE n mS ra tr 555p ‘4 ' wa Lời giai

Dat M(a;b;c), suy ra AM =(a;b;c) a+Q=-3 a=-3 Đề cho AM+ AE c+l=0 c=-l

Mat phang (EBD), phwong trinh theo doan chan la x+y+z-1=0

Khoang cach tte diém M dén mat phang (EBD) bang

Vậy khoảng cách bằng 343 3 ằ TOAN TU TAM

_Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.DEF, AB=6, Nể AD=2 Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm DE, DF, | | 7 `

BC Lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình bên Gọi điểm S ” DÚM ÿ thỏa mãn hệ thức SA +2SB+SC = Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (MNP)

Suy ra M3 ` a) ne 3, 2] 5 2’ / 2 72 Ta có | PM, PN |= 6 0; 38) , fi=(4;0;-3y3)

Phương trình mặt phang (MNP) 1a 4x—3V3z=0

Goi I, J lan luot la trung diém canh AC, IB > Ea 2.0} | Oo

Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (MNP) bằng đ3 ằ TOÁN TỪ TÂM

E> Dạng 8 Vị trí tương đối hơi mặt phẳng ve < ag phap ) Xét diém mat phang (P) : Ax + By+Cz+D=0 cé vecto pháp tuyến 71, với:

> Mat phang (Q) :A'x + Bly +C'z+ D'=0 co vecto phap tuyén 7i,, Ta có các vị trí tương đối sau:

^ = = Mặt (P) cắt mặt (Q) dumayjo) [Ã TP TETE — — MAW)SmsswmAQ “= TT Mặt (P) tring mat (Q)

Vi fi, Li, (do i, i, = 2-1+(-1)-4+(-2)-(-1)=0) nén (P) 1 (2) 3 f vi dy 8.2

| Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (a) sm x—y +(e -2)z+2 =0 và () :2x +1m”~2z+1=0 Hai mặt phẳng (a) và (3) vuông góc với nhau khi nào?

2 ằ TOAN TU TAM ỏm Á ví dụ 8.5

| Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x-3y+5z-1=0 va (Q):4x+(m—3)y+(m° +1)z-7=0 (m la tham s6) Tim m dé hai mặt phẳng song song wa Lời giai m—-3 _

| Trong không gian Ox/z cho A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6) Goi (P) là mặt phẳng song song với mp( ABC ) " (P ) cách đều D và mặt phẳng (ABC ) Phương trình của (P) là?

(P) cach déu D va mat phang (ABC) > d(D,(P)) = d(A,(P))

Vậy phương trình cua (P) la 6x+3y+2z-24=0 ằ TOAN TU TAM ỏmx 1 if:

(1) Bốn điểm A,B,C,D tạo thành tứ diện: | AB, AC |.AD 0 © A,B,C,D không đồng phẳng

(2) Diện tích AAABC: -.cEEEieEEErrrerrree S ane = 5 4B-AC | |

=> Duwong cao AABC: S,,, =~ AH.BC => AH =“ = =

(3) Diện tích hình bình hành ABCD: S seo = 25x pc = [ 48, AC |

(4) Thể tích tứ điện ABCD: -.- V= c|48,Ae |.AD| |

=> Dwong cao chop ABCD: i sv, |AB.AC|LAD|

V asc =—d(A,(BCD)) Sy5ep => d(A,(BCD)) = —lasep — — d

> Bai toán tính diện tích tam giác:

Trong không gian Ox/z, cho Ặ ), B( ),C ( ) Tinh dién tich tam giac ABC

Bước1: Tìm tọa độ các vectơ AB,AC => | AB, AC |,

Bước2: Sir dung S, 4 = |48,A€ | để tính diện tích AABC

Nếu bài toán yêu cầu tính đường cao trong tam giác:

Buéc 3: Sử dụng ŠS,„„;= + AH OB => AH = Secu để tính độ dài đường cao AH

)> Bòi toán tính thể tích tứ diện:

Trong không gian Oxz, cho Ặ ), BỊ ),C( ), DỊ ) Tinh thé tich tte dién ABCD

Bước1: Tìm tọa độ các vectơ AB, AC,AD > | AB, AC | AD

Bước2: Sử dụng V= c|48,A€ |AD| để tính thể tích tứ diện ABCD

Nếu bài toán tiêu cầu tính khoảne cách hạ từ đính:

Bước3: Sử dụng V„„ = +4(A,(BCD)).S„, = d(A,(BCD))=——48°2 dé tinh độ dài

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ˆ Á ví dụ 9.1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1), B(0;—2;3)

(1) Tính diện tích tam giác OAB với O là gốc tạo độ

(2) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB wa Lời giai (1) Tính diện tích tam giác OAB với O là gốc tạo độ

OA =(I;2;~1) Ta có: 1, > | OA, OB | = (4;-3;-2)

(2) Tính độ dài đường cao AH' hạ từ đỉnh A của tam giác OAB

Mặt khác ta có: OB = 4/0? + (-2)' +3? = V13 VAS o4p = 5 AH.OB

Trong không gian Oxz, cho bốn điểm A(I;-2;0), B(2; 0;3),C(-2; 1;3) va D(0; 11)

(1) Tính thể tích khối tứ điện ABCD

(2) Tính độ dài đường cao DH của tứ diện ABCD wa Lời giai

(1) Tính thể tích khối tứ điện ABCD

Ta cé: AB=(I;2;3); AC =(-3;3;3); AD =(-1;3;1)

(2) Tính độ dài đường cao D2DH của tứ diện ABCD

|AB,Ac |.Ap|- 34 426 [as,Ac | 3/26 13

Ta có | AB, AC |=(-3;~12;9)= d(D;( ABC)) = DH = ằ TOAN TU TAM

-_ Trong không gian Ox/z, cho tứ diện ABCD biết A(3;-2;m),B(2;0;0), C(0;4;0), D(0 0 ;3) Tìm giá trị dương của tham số 1 để thể tích tứ diện bằng 8 wa Lời giai

Ta có: DA =(3;~2;m~3), DB=(2;0;~3), DC =(0;4;~3) ơ can m=~6

Thể tích tứ diện: V = > la eA =

[ủi.ữ: èủ›.m.M.M: cùng phương cùng phương cùng phương không cùng phương không cùng phương dong phang đ A; và A; chộo nhau â>[ủq, i7,].M,.M, =0 ằ TOÁN TỪ TÂM

Cex ơ Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxz, hai đường thang A,,A, twong tng cé ii, = (a, 7b, ;¢,) va

=> u, = (a, HH c,) là hai vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: x=x,+at, x=x,+a,t,

Xét hệ phương trình hai an ¢,,t,: }y,+bt, =y, +0,t, (*)

Khi đó : ằA,=A, ii, =(2;2;-1)

E>z Dạng 2 Đường thẳng qua điểm & có sẵn VTCP

> Trong không gian Oxy/z, viết phương trình đường thắng A

X=X,+at 3> Phương trình 4 y = y, +bt Qua MI, có véctơ chỉ phương đ =(a;b;c P Ỗ ( ) Z=Z,+ct _

> Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra

Trong không gian Oxyz, viét phuong trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm (1) M(2; 0;—1) và có véctơ chỉ phương đ = (2; -3;1)

(2) NỈ; 0; -2) và có véc tơ chỉ phương ii = (2; 3;1) wa Lời giai

(1) M(2;0;—1) và có véctơ chỉ phương đ = (2;~3;1) x=2+2t Đường thang di qua diém M (2; 0;-1) vaco VICP a= (2; —3;1) là 4 =—3f z=-l+f

Và phương trình chính tắc là ^ 5 ˆ- 5 = “ (2) N(1;0;-2) va cé véc to chỉ phương ở = (2;3;1) x=l+2f Đường thăng đi qua điểm N(1;0;-2) và có VTCP #= (2;3;1) là đ:4 =0+3 z=-2+f Và phương trình chính tắc là _ = 5 == n 2 ằ TOÁN TỪ TÂM

Trong không gian Ox/z, viết phương trình tham số của đường thang d qua điểm bất kỳ thuộc đ và có vectơ chỉ phương tương ứng Biết đường thắng đ

(1) Đi qua điểm A(I 1;2) và có véctơ chỉ phương b = (1; 2; -3) (2) Đi qua điểm C(3; 2;1) và có véc tơ chỉ phương 1 = (1; 2;3) wa Lời giai

(1) Đi qua điểm A(U 1;2) và có véctơ chỉ phương b= (1; 2; 3) x=l+Ỉ Đường thắng đ đi qua điểm A(1;1;2) và có VICP b =(1;2;-3) là d:5 y=1+2t

Khi đó đường thắng d đi qua điểm M (2;3;-1) co VTCP b =(1;2;-3) la d:4y=3+2t z=-l-3t (2) Di qua diém C(3;2;1) và có véc tơ chỉ phương 1= (1;2;3) x=3+t Đường thang d di qua điểm C (3;2;1) và có VICP ii = (1;2;3) là đ:4=2+2t z=1+3t

Xét =—I=4=2+2.(—1)©‡y=0 =N(2;0;-2) z=1+3.(-1) zZ=-2 x=2+f Khi đó đường thắng d đi qua điểm N(2;0;-2) co VTCP ii = (1;2;3) la d:,y=0+2t zZ=—2+3t ằ TOAN TU TAM

E>z Dạng 3 Đường thẳng qua hơi điểm ae )

> Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thăng A

Qua hai điểm A và B > Chọn A hoặc B là điểm mà A đi qua

B > Nhan AB làm VTCP -> ù = AB

> Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra ˆ 4 ví dụ 5.1

Trong không gian Oxz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng () Đi qua gốc tọa độ và HỊ; 4; -2)

(2) Đi qua hai điểm M(2;0;-1) va N(2;-3;1) wa Lời giai

() Đi qua gốc tọa độ và H(1;4; -2)

Ta có: OH = (U 4; -2) Đường thắng OH qua H nhận OH= (1; 4; -2) làm VTCP: = ì = >

(2) Di qua hai diém M(2;0;-1) va N(2;-3;1)

Ta có: MN = (-1; 3; 2) Due wong thang MN qua N nhan MN = (-1; 3; 2) lam VTCP: Z mn aGAt ` x y-l z-3 a eA Vi dy 3.2

Trong không gian Oxz, cho AABC có A(-1;3;2), B(2; 0;5), C(0; ~2;1) Viết phương trình đường trung tuyến AMI của AABC wa Lời giai

Goi M(x; y;Z) là trung điểm BC Khi đó M(1;-1;3)

Khi đó phương trình đường trung tuyến AM: ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHANG - DUONG THANG - MAT CAU - ơ

E>z Dạng 4 Đường thẳng lò giao tuyén cua hai mat phang iy )

> Trong không gian Oxy/z, viết phương trình đường thắng A

Giao tuyến của hai mặt phẳng > Cho 1 trong 3ẩn z;;z =0 để tìm 2 ẩn còn lại a): Ax+ By+Cz+D=0 và By+Cz+D=0 =?

> Vecto chỉ phương 1 = ii, in z]

> Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thắng đi qua để kiểm tra ˆ Á ví dụ 44

Trong không gian Ox/z, cho hai mặt phẳng (P) :2xZ+—z—l1=0, (Q) :Z—2/+z—5=0 Giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương là? wa Lời giai

Khi đó một vectơ chỉ phương của đ là 1= | Ti, Tig | = (—1; —3; —5)

Vậy ii =(I;3; 5) cũng là một vectơ chỉ phương của đ ˆ Á ví dụ 4.2

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (a) :2x+y-z+3=0 va ( 8 ) :#Z++z—l=0 Phương trình chính tắc đường thắng A là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và () là? wa Lời giai n ,.=(2:1;-1

Goi M =(a)q(8), thi MeA và M thỏa ees sy y= 1S M12)

Z= Đường thắng A đi qua M(0;-1;2) va nhan u, = (2;-3;1) làm một vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là 5 = " _+ 7 ? ằ TOAN TU TAM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ơ 4 vớ dụ 4-5

Trong không gian Oxyz, cho mat phang (P):x+ y—5z+4=0 và đường thang ja.X†1!l_y+l Z15

2 | phương trình giao tuyến đ' của (Q) và (P)?

GỌI (Q) là mặt phẳng chứa đ và vuông góc với (P) Xac dinh wa Lời giai Gọi đường thẳng đ' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng đ trên (P) Đường thang d di qua diém A(-1;-1;-5) va co Ui, =(2;1;6)

(P) có vectơ pháp tuyến ii, =(1;1;-5) (Q) chứa đ và vuụng gúc với (P) =(P)ơ(9)= d’

Vecto pháp tuyến của (Q) la Ny = | ip, | = (11;-16;-1)

Phương trình của mặt phẳng (Q) là: Ilx—l6y—z—10=0

Do (P)ơ(Q)= đ' nờn VTCTP của đường thang d’ lau, = Fig, ii, | =—27 (3;2;]),

——> có vectơ chỉ phuong la u, =(3;2;1 ) x+15z+4=0 Gọi I= đe3(P), khi đó tọa độ T là nghiệm của hệ x+1 ytl z+5-

Giai hé ta duoc (x; y;Z) = (1; 0;1) x=l+3f Do đó đ':4=2t „suy ra đường thắng đ' đi qua điểm P(4;2;2) z=l+f ằ TOÁN TỪ TÂM

Dang 5 Đường thẳng là đường vuông góc chung củg hơi đường thẳng

> Trong không gian Oxy/z, viết phương trình đường thăng A

Là đường vuông góc chung của đ, và đ,

> Goi => MN (?) (toa do theo t;k)

> MN la duong vuong goc chung

> Khi đó đường thăng A: qua N ii, = MN

> Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong ii, MN =0 ù,.MN = 0 t=? k=? các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thắng đi qua để kiểm tra x=l+2t x=l+s

Trong không gian Oxz, cho đường thẳng d:4/=2+t và d:4=2+s Viết z=—2+5t z=1+3s phuong trinh duong vudng géc chung cua hai dwong thang d,;d, wa Lời giai Goi A là đường vuông góc chung của hai đường thắng d,;d, Đường thăng đ, có VTCP là ¡, = (2;1;5);d, có VTCP là i, =(1;1;3)

Suy ra B(1;2;1) và AB=| —l;——;~ Vy roy ⁄ 272 ` x=l-2i Phương trình đường thẳng đi qua B và có VTCP = (-2;-1;1) lajy=2-t z=l+† ằ TOÁN TỪ TÂM

> Dang 6 GOC sf Phuong phap )

Hai đường thằng A,,A, tương ứng có ii, = ( u, =(4,; b,;c, i, U,

) la hai vectơ chỉ phương Khi đó, ta có: a;D;c 17717 |) va laa, +b,b, + c\c,| cos(A,,A,)= cos (i, i ) =

Hinh vé ii] Ja] a? +02 +0? fa? +b? +02

Duong thang A cé vecto chi phwong ii = (a; b;c) va mat phang (P) có vectơ phap tuyén 7 = (A; B;C ) Khi đó, ta có:

| fi Va? +b? +07 VA? +B? +C sin(A,(P)) = cos (i 7i) )|=

Hai mat phang (P, TY ( P,) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là fi, =(A,;B,;C,) va 7, =(A,;B,;C,) Khi đó, ta có:

- A,A, + B,B, +C,C, cos((P,),(P,))=|cos( ii ii, )| = sân TT ee

Trong không gian Ox/z, cho hai đường thẳng đ :4/=5—2£ và d,:‡y=2+£' Tính z-3t z=-l+5f góc giữa hai đường thằng đã cho wa Lời giai Duong thang d, cd mot VICP i, =(1;-2;-3) Đường thang d, co mot VICP i, =(- -4; 1;5)

1.(—4)+(-2).1+(-3).5 Ta co: cos(d,,4, d, ) = i | L )+( + ( | -XŠ §, (a,,d,)0 lái, i] "ma +(-2)+(-3)'A|(4}+P+5 7 ằ TOÁN TỪ TÂM mm.

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU Á ví dụ 6.2 x-3_-4_ z+3 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng A: = và mặt phẳng

(P):2x+y+z-1=0.Tinh gdc gitta A va (P) wa Lời giai Đường thắng A có một VTCP #= (1;2; -])

Mặt phẳng (P) cú một VTPT ù = (2;1;1)

Ta có: sin(A,(P) (P))- i ng ll 1 = (A,(P))0"

HE] Vl?+22+(ƑA2+P3£ 2 \V Á ví dụ 6.5

| Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P):x+2y+z+10=0 va

Mat phang (P) có một VTPT là 7 = (1; 2;1)

Mat phang (Q) co mét VIPT là ri == 1;1;2) lif] = |L(CĐ+21+12 (0 reo)“ sear [ope

> Trong không gian Oxz, cho hai đường thẳng: x=X,+at đ:4U =0 + a,t(t C R) có vectơ chỉ phương đ= (a,;2,;4, ) và M, (579i) ed;

Z=Z,+4a,t x=x,+at' đ:U= +ứ'(t = R) cú vectơ chỉ phương đ = (ủ;;4;;4:)

Khi do: ằ d//d' đ,đ cựng phương và M, Êđ' ằ d trựng đ = đ,đ cựng phương M, eđ x, +at=x,+at' ằ do < hộ phuong trinh an t,t’ sau: + y, +4,t = ¿ +a2f cú đỳng một nghiệm

Z, +a,t =z, +a;t' xX, +at=x,+at ằ đ và đ chộo nhau â đ và đ khụng cựng phương và 4 1y +a,f = ¿+aÊˆ vụ nghiệm

Z, +a,t =z, +a;t Hoặc ta có thể áp dụng theo sơ đồ sau: ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU P ///////

Trong không gian Oxz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thăng sau: Íx=1+f x=2+2f

Ta có các vectơ chi phuong cua d va d’ Ian luot la a = (1; 2;-1) va a= (2; 4; -2)

Vi a’* nén a va a’ cung phuong

=>d va d' song song voi nhau hoac trung nhau

Xét điểm M(1;0;3) cd,tacó Mzđ nên d//đ' x2t \ 2 Ị

Ta có đ và đ lần lượt nhận đ= (2; 3;1) và đ= (3; 2;2) là các vectơ chỉ phương

Vì đ và đ không cùng phương nên đ và đ” cắt nhau hoặc chéo nhau x=l+3f d’ qua MỊI; -2;-l); có VTCP đ = (3; 2;2) nên có phương trình là: đ”:+ „=—2+ 2t'(t! = R) z=-l+2f t=—=

Xét hệ phương trình : +—1+3£=-2+2f oy t= “3 —= Hệ vô nghiệm

Vậy hai đường thẳng đ và đ' chéo nhau

Taco: d di qua M(0; 1;0) và có vecto chỉ phương a = (1;-1;2); d’ di qua M'(1; 2; -2) và có vectơ chỉ phương đ = (51 -2) ằ TOAN TU TAM

Nên phương trình tham số của đ và đ' lần lượt là: x=f x=1+5t' Äd:+=l—t và đ:=2+F z=2t z=-2-2F t=l+5t' t—5t'=1 +2

Xét hệ phương trình +l-f=2+f &4-f-Ff=l © 1 —= hệ có nghiệm duy nhất

Vậy hai đường thẳng đ và đ' cắt nhau ˆ Á ví dụ 74 x= 2t

Trong khụng gian Oxz, cho đ ae "ơ=: và đ, :41 =—3—t Mệnh đề nào sau đõy z=0 đúng?

(1) d, va d, déng phang (2) d, cat va vudng géc voi d,

(3) đ, vuông góc đ, và không cắt nhau (4) đ song song với d, wa Lời giai

Ta có: VTCP của d, la a, =(1;2;-3); VICP cua d, la a, =(2;-1,0)

Giao điểm đ,,d, (nếu có) là nghiệm: 43 = 2f y=-3-t z=0 =4! 3 @œ| —— === 3-4 2 2 3 li=-— 3 Woy) 13 3

Từ đó ta có đ, không cắt đ, (2)

Từ (1) và (2) ta có đ, vuông góc đ, và không cắt nhau

Vậy mệnh đề (3) là mệnh đề đúng ằ TOÁN TỪ TÂM

> Dang 8 Bai toán thực tế

_ Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline tte vi tri A cao 15 m cua thap 1 nay sang vi tri B cao 10m cua thap 2 trong khung canh tuyét đẹp xung quanh Với hệ trục toạ độ Oxgz cho trước - (đơn vị: mét), toạ độ của A và B lần lượt là

(1) Viết phương trình đường thắng chứa đường trượt zipline này

(2) Xác định toạ độ của du khách khi ở độ cao 12 mét wa Lời giai (1) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này

Ta có : A(3;2,5;15), B(21;27,5;10) > AB =(18;15;—5) x =3+18t Phương trình tham số đường thẳng AB là: 4= 2,5+15f (t E R) z—5t x =3+18t Vậy phương trình đường thăng chứa đường trượt zipline là 4 = 2,5 + 15f (t E R) z—5t (2) Xác định toạ độ của du khách khi ở độ cao 12 mét

Khi du khách khi ở độ cao 12 mét =z=l2~5t=l2t=Š

Thay f= s vào phương trình đường thằng AB ta được }y,5 >C (13, 8;11, 5,12) z Vậy toạ độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là C(13, 8:11, 5,12) ằ TOÁN TỪ TÂM

Cau Cong Vang (The Golden Gate Bridge) o My Xét hệ trục toạ độ Oxz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phang (Oxy) là mặt nước và xem như trục Oy cung phương với cầu như hình vẽ Dây cáp AD (xem như - là một đoạn thắng) đi qua đỉnh D thuộc trục Óz và điểm 4A thuộc mặt phẳng O/z, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 2277, điểm A cách mặt nước 75: và cách trục Oz 343m

Gia sử ta dùng một đoạn dây nối điểm N trên dây cáp AD và điểm MI trên thành cầu, biết MI cách mặt nước 751 và MN song song voi cét tru

(1) Tính độ dài MN, biết điểm MI cách trục Oz một khoang bang 230m

(2) Người ta có thể dùng đoạn day dai 100m dé néi day cap AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148 m không? Vì sao?

(nguồn anh: https://www.goldengate.org/assets/1/6/¢¢b-exhibit-chapter-statistics.pdf) wa Lời giai (1) Tinh d6 dai MN, biét diém M cach truc Oz mét khoang bang 230m

Tacé Ae Oyz va A cach mat nudc 75m va cach truc Oz 343m > A(0;343; 75) Điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 = D(0;0;227)

= phương trình đường thắng AD là 34=-343 (t E R)

Vi Ne AD= N(0;-343t; 227 +1521) Diém M trén thanh cau, M cach mat nuwdc 75m va cach truc Oz mét khoang bang

2301mm nên tọa độ điểm M là M(0;230;75)

_230 MN song song với cột trụ — MN L Oy => MN.j =0 = -343f~230= 0 6 t = xa

(2) Người ta có thể dùng đoạn dây dài 100” để nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148 m không? Vì sao? Điểm M cách trục Óz một khoảng bằng 148m

=> MN = ớ 0 —= MN=- 16 ằ TOÁN TỪ TÂM Trang 18

Vay co thé dung doan day dai 100m để nối dây cáp AD với thành cau tai vi tri diém M cach truc Oz mét khoang bang 148m ằ TOAN TU TAM

A Câu hởi - Trả lời trắc nghiệm ằ Cõu 1 ằ Cõu 2 ằ Cõu 3 ằ Cõu 4 ằ TOÁN TỪ TÂM

Cho đường thắng A có một vectơ chỉ phương là #= (2; —4; -6) Vectơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của A?

Ta có: —#—— nên u, khong cung phwong voi u

Vay u, khdéng phai la vecto chi phuong cua A

-l y+2 z-l Cho duong thang A cú phương trỡnh ơ =! 5 “— Vectơ nào sau đõy là vectơ chỉ phương của A?

A ai, =(-1;2;-1) B ui, =(1;-2;1) C ai, =(-3;2;-4) D.ứ,=(3;2;4) wa Lời giai

A: ơ = —= = ơ cú một vectơ chỉ phương là 1 = (3;-2;4) u, = (-3 32 ;-4) =-u, nén ứ, là một vectơ chỉ phương của A x=3-1 Cho đường thắng A có phương trình 4 /=—I (t E R) Vecto nao sau day la vecto chi z= 3t phương cua A?

A i, =(3;-1;3) B , =(3;-1;0) C #, =(-1;-1;3) D./,=(-1;03) wa Lời giai x=3-1 A: 5y=-l (t = R) có một vectơ chỉ phương là u, = (—I: 0;3) z=3t

Cho đường thắng A vuông góc với mặt phẳng (Oxy) Vecto nao sau day la vecto chi phương của A?

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ằ Cõu 5 ằ Cõu 6 ằ Cõu 7 ằ TOÁN TỪ TÂM

Mat phang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến la k= (0; 0; 1) Đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nén k = (0; 0;1) là một vectơ chỉ phương của A

Trong không gian Oz1/z, phương trình chính tắc của đường thằng AB với A (L 1; 2) va

—5 2 —4 —5 2 —4 wa Lời giai Đường thắng AB đi qua điểm B (-4 ;3; -2) , nhận AB = (—5; 2; -4) làm vectơ chỉ phương, x+4 y-3 z+2

5 2 -4 - có phương trình chính tắc là

là hình chiếu của M lên trục Oy = (0;2;0)

Khi đó: M,M, = (—I 2; 0) là một vectơ chỉ phương của M,M, ằ Cõu 16 Trong khụng gian Oxz, tọa độ nào sau đõy là tọa độ của một vộctơ chỉ phương của x=2+4i đường thắng A: y=1-6t,(teR)? z=9t

Từ phương trình A suy ra véctơ chỉ phuong cua A la u= (4;- 6;9) = 1a 3}

3°2°4 ˆ tn , ơ ơơ 2 x ytl zl, ằ Cõu 17 Trong khụng gian Oxyz, tinh goc gitra hai dwong thang d, T= a va i kth -l oy 23 1 1

Ta có cos(d,,d,)=|cos(i, „ii, ) | ( | =0

- yr +(-1) +2? (-1) ++Ÿ Vay (d,,d,)° 172 ¿ 1 y-l z-2 ằ Cau 18 Tớnh cosin gúc giữa đường thăng đ với truc Ox biột d: = =/ 1 27 1 * a2 6 p 3 có, 3 pt, 6 wa Lời giai

VTCP ở, =(2;1;1), VTCP của trục Ox là ¡=(1;0;0) ơ J2+0+0| 2 v6

Vậy cos(d, Ox) = cos (i, i ằ TOAN TU TAM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU x=6+5f ằ Cõu 19 Trong khụng gian Oxz, cho đường thẳng đ:41/y=2+_ và mặt phẳng z=1

(P) :3x—2y+1=0 Góc hợp bởi giữa đường thắng đ và mặt phẳng (P) bằng

Gọi ¿ là góc giữa đường thắng đ và mặt phẳng (P)

Khi do siny = cos (i, fp -1* 0) _ yp = 45° un ti, |-FFi

1 ^ ` 2 x-l ytl zZ_, 2 ằ Cau 20.Trong khong gian Oxyz, cho dwong thang A: > pa mat phang

(a) :Z+1/z—2=0 Cosin của góc tạo bởi đường thang A va mat phang (a) bang

N20 20@ Pe Đường thẳng A cú một vectơ chỉ phương ii = (2 ;—ẽ 2) và mặt phang (a) cú vectơ phỏp

tuyến 7 =(1;1;-1)

Ta có sin (A,(a)) = lcos(i, 7) = | ằ Cau 21.Trong khộng gian Oxyz, cho hai mat phang (P) :2x-y-z-3=0 va (Q) :x-z-2=0

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

Mp (P) có một VTPT fi, =(2;-1;-1) Mp (Q) cd mét VIPT ii, = (1;0;-1) ủ„m| |2+0+Í| v3

Ta có cos| (P),(Q) | = cos (ii, ,7ig)} = i, [Jf = Jaci Vay |(P),(Q) ]0° ằ Cau 22 Trong khộng gian Oxyz, cho ba điểm MỊI; 0;0), NỊ0; 1;0) và P(0; 0; I) Cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) bang

A.-L B B ie | C đề 2 ằ TOÁN TỪ TÂM ỏm 1t

MAT PHANG - DUONG THANG - MAT CAU OD) y wa Lời giai

Mặt phẳng (MNP) có một VIPT 1a i= | MN, MP =(1;1;1)

Mat phang (Oxy) có một VTPT là k= (0; 0;1)

Gọi ¿ là góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (Oxy)

VP4+P4P X3 ằ Cõu 23 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng z2, chiều cao bằng 2z và O là tâm của đáy Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên dưới, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (S4B) bằng

Ta cd cosy wa Lời giai

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nén SO | (ABCD) va ABCD là hình vuông ẠC - mA|2^|2 Suy ra OA = OB = OC 2 2

Dựa vào hình vẽ, ta có C(z;0;0),B(0;a;0),.A(—a;0;0),S(0;0;24)

Mat phang (SAB) có một cặp vectơ chi phuong u = (1; 0;2) và 0= (0;-1;2) nên có VTPT là 7 =| „2 al 2ˆ 1L ⁄ ⁄ ‘|]-@-2-9

-1 2J|2 010 -I Suy ra (SAB) có phương trình la (SAB):2x—2y—z+2a= 0

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ằ Cõu 24 Cho hỡnh chúp S.ABCD co day ABCD la hinh cht nhật và SA L (4B CD) Cho biết

AB*,AD : và SA * Cosin góc giữa hai đường thắng SC và BD bằng

Chọn hệ trục tọa độ Ox1/z như hình vẽ sao cho A=O

Suy ra SC = (2a;3a; -28) và BD = (—2a;34; 0)

Hai duong thang SC va BD có vectơ chỉ phương lần lượt là @ = (2;3;-2) va

Vay cos (SC, BD) = ằ Cõu 25 Trong khụng gian Oxz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một may bay cất cỏnh từ vị trớ

A(0;10;0) với vận tốc 0 = (150;150;40) Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng đơn

Goi A là đường thắng biếu thị cho hướng chuyển động bay lên của máy bay ằ TOÁN TỪ TÂM

Ta cĩ A nhận vectơ ừ= (150;150; 40) = 10(15;15;4) làm vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Oxy) co VIPT n= (0; 0;1)

Gọi ¿ là góc giữa đường thắng A và mặt phẳng (Oxy)

Suy ra sin¿ =|sos(8,7)|= Pa — 15.0+15.0+4.1 _ 47 i} Vlz?+152+4?A02+02+P V466

Vay goc nang cua may bay la yx 11°

B Câu hởi - Tra loi Diing/sai x=l ằ Cõu 26 Trong khụng gian Oxz, cho cỏc đường thắng A, :4= 2-3ớ (t E R) , z=3+4i

(a) | Vectơ chỉ phương của đường thắng A, là đ= (1; —3 ;4) Đường thắng đ, vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương là

(b) u = (i; 3; -2) Đường thăng đ, vuông góc với A, và song song với mặt phẳng (© (Oxy) có vectơ chỉ phuong la u, = (3 ;—3;2)

Duong thang d, qua A(I —ẽ; 2), cắt và vuụng gúc với trục Oz cú

(d) vecto chi phương là 1, = (-1;-1;0) wa Lời giai (a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng A, là a= (L -3;4)

Vectơ chỉ phương của đường thắng A, 1a a= (0;-3;4) ằ Chọn SAI

(b) Đường thẳng d, 0uông sóc tới (P) có 0ectơ chỉ phương là tị = (1; 3; -2)

Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là 1= (1; 3; -2) Đường thắng đ, vuông góc với (P) nên có 1 vectơ chỉ phuong la u = (; 3; -2) ằ Chon DUNG

(c) Duong thang d, ouông góc 0ới A 0à song song 0ới mặt phẳng (Oxy) có 0ectơ chỉ phương là u, = (3 ;—3 ;2)

Mặt phẳng (Oxy) có 1 vectơ pháp tuyến là k= (0; 0;1) Đường thắng A, cú vectơ chỉ phương là ử = (3; -3;2) Đường thắng đ, vuông góc với A, và song song với mặt phẳng (Oxy) có vectơ chi phương là 1, = |5, = (—3;3; 0) =-3 (1;-1; 0) ằ Chon SAI ằ TOAN TU TAM

(d) Duong thang d, qua A(1;-1;2), cắt oà ouông sóc 0ới trục Oz có 0ectơ chỉ phương là tỉ, = (-1;-1;0) d, | Oz Aed, Suy ra Hỉ là hình chiếu của 4A lén Oz > H(0; 0;2)

Vậy đường thẳng đ, có 1 vectơ chỉ phương là AH= (—I: L; 0) ằ Chọn SAI

2 \ 3 x=-l+f ằ Cõu 27 Trong khụng gian Ox/z, cho hai đường thăng đ : — =# 5 = = ;d,:5y=3+t va z=2—mt mat phang (P):2x+2y+z-3= 0

(a) | Khi m= 0, số đo góc giữa hai đường thắng đ, và đ, bằng 135 (b) | cos (d,,Ox) = Fz —] Đường thắng A di qua gdc toa dd O và vuông góc với (P) tạo với

(c) ^ Š ^ Lf rf 4 duwong thang d,m6t goc acd cosa = 9 a) Khi m= 5b eZ, ; là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thang d, va d,bang 90° Giá trị biểu thức a” +b = 13 wa Lời giai xt+2 y-l_ z+3

(a) Khi m=0, số đo góc giữa hai đường thắng d, oà d bằng 135° oe d có vectơ chỉ phương là 1= (—I: —2; 2)

Khi m=0,duong thang đ, có vectơ chỉ phương là ở = (1; L; 0)

Suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng đ, và d bằng 45° ằ Chọn SAI

Truc Ox co vecto chỉ phương la i= (; 0; 0) cos (d,,Ox) =|cos (i, ?) = : ằ Chon SAI

(c) Duong thang A đi qua sốc tog dd O va vudng g6c v6i (P) tạo uới đường thắng d, một góc œ có cosa=— 4

MAT PHANG - DUGNG THANG - MẶT CẦU

Mat phang (P) :2x+2+z—3=0 có vectơ pháp tuyến la n= (2; 2; 1)

Dwong thang A đi qua gốc toạ độ O va vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là fi = (2;-2;1) cos(d,,A) = lcos(i,7i)| = 4 ằ Chon DUNG 9 (d) Khi m= yi eZ, 5 là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thắng d, va d, bằng 90° Giá trị biểu thức aˆ +bˆ

Số đo góc giữa hai đường thắng đ, và đ, bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc Khi đó d10€ t0 = 0© ~3—~2m = Ú € ím=~—

Vậy a +b’ ằ Chon DUNG ằ Cõu 28 Trong khụng gian Oxz, cho đường thắng A: ơ = = = Tà và mặt phang

(a) | Số đo góc giữa hai đường thắng A và (P) bang 90°

Biết hình chiếu của O lên (P) là H(;-1;2) œ là số đo góc giữa (P) (b) và đường thăng A, cosa = 1a : l Đường thang đj là giao tuyến của (P) và (Oxy) Goi đ là góc giữa

* d, va mat phang (Oxz) Khi đó 2 > 30° Đường thăng đ, vuông góc với (P) tạo với (Q) :x+my—-3=0 mot (d) góc 30° Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số r bằng = wa Lời giai —16

A:+ i= — có vectơ chỉ phương là 1 = (-1;2;3) (a) Số ảo góc giữa hai đường thắng A 0à (P) bằng 90°

(P):x+2y—z+2025 =0 cú vectơ phỏp tuyến là ử = (1;2;—1) sin(A,(P)) = |cos (z5) =0, suy ra số đo góc giữa hai đường thằng A và mặt phẳng (P):x+2y—z+2025=0 bằng 0° ằ Chọn SAI ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU //////7

(b) Biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H (3;-1;2) ala số do góc siữa mặt phẳng (P) 0à đường thing A, cosa = N

Hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H (3;-1;2) nên vectơ pháp tuyến của (P) là

(c) Duong thang d, la giao tuyén của (P) va (Oxy) Goi 3 Ia géc giita d, va mat phing (Oxz) Khi do

(Oxy) có vectơ pháp tuyến là k= (0; 0;1) (P):x+2/—z+ 2025 =0 có vectơ pháp tuyến là ở = (1;2;-1) Suy ra vecto chi phuong cua d la K,8] =(-2,1,0)=z sin 0 = cos(a,7' = + > Bx27T mm = -8 +39

Tổng tất cả các gia tri cua tham sé m bang ằ Chon DUNG ằ Cõu 29 Trong khụng gian Oxz, cho hỡnh chúp Đ.4BC cú ba điểm S(0;0;3), A(0;0;0), B(I;0;0),

C (0; 2;0) và mặt phẳng (P) :Z+1/+z—3=0 Trong các khăng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? ằ TOÁN TỪ TÂM

(a) | Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) va mat phang (ABC ) bang 0 (b) | Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng (ABC ) bằng :

Côsin góc giữa hai mặt phang (SBC ) va mat phang (P) bang _ (c)

(d) | Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) va mat phang (ABC) bang 90° | |

(a) Côsin sóc giữa hai mặt phẳng (SAB) va mat phang (ABC) bằng 0

Nhận xét bốn điểm S(0;0;3), A(0;0;0),(1;0;0), C(0;2;0) thuộc một tứ diện vuông

S.ABC nên dễ thấy (SAB) | (ABC) => cos((SAB);(ABC)) =0 ằ Chon DUNG

(b) Côsin sóc giữa hai mặt phẳng (SBC) 0à mặt phẳng (ABC) bằng :

(ABC) có A apc) =SA= (0; 0;3) cos((SBC); (ABC)) = Ar ancy spc) 6 0+3.0+2 3| _ 2

Fi ssc))-lFicac) —0?+02+3°Aj6°+32+22 7 ằ Chọn ĐÚNG

(c) Césin géc gitta hai mat phẳng (SBC) va mat phẳng (P ) bằng Hows

Nên cos ((SBC) ; (P)) = saci Je@4342NP sear 21

(d) Goc giita hai mặt phẳng (SAC ) va mat phang (ABC) bing 90°

Nhận xét bốn điểm S(0;0;3), A(0;0;0),(1;0;0), C(0;2;0) thuộc một tứ diện vuông

S.ABC nên dễ thấy (SAC) 1 (ABC) = ((S4B);(ABC)) ° ằ Chọn ĐÚNG x=-3+2f 4 2 4 ằ Cõu 30 Trong khụng gian Oxyz, cho hai dvong thang d:;y=1-t vad’: = = = == 5 ; z=—1+4t

3 —2 nao sai ?

Câu hởi - Trả lời ngắn

Goi H là hình chiếu của A trên đường thắng d, Duong thắng AH có một vectơ chỉ ằ Cõu 33 Trong khụng gian Oxz, cho điểm A(0 :2; -4) và hai đường thằng d, : phuong la i = (a;b;c) voi a,b,ceZ Khi do 2a—b+c bang wa Loi giai

“ Tra loi: 1 x=2+Í Ta có phương trình tham số của d, la 4 =l—f z=-l+2t† Đường thắng đ, có một vectơ chỉ phương là ij = (1;-1;2)

Vì H là hình chiếu của A trên đường thẳng đ, nên AH L 7, © AH, =0 hay

Vì a,b,ceZ nên đường thắng AH có một vectơ chỉ phương là 1= 2AH= (1; L; 0)

Vay 2a-b+c=2.1-14+0=1 ằ Cau 34 Trong khộng gian Oxyz, cho diộm A(2;—3;5) cộ hỡnh chiếu vuụng gúc trờn cỏc trục Ox,

Oy, Oz 1a B, C, D Goi H là trực tâm tam giác BCD Phương trình chính tắc của đường thắng OH có dạng ~“= =-— Khi đó a+b+c bằng a =b_ =C wa Lời giai

Mặt phẳng (BCD) có phương trình ng =1 hay I5x-10/+6z—60=0 ằ TOÁN TỪ TÂM Trang 18

Hỉ là trực tâm tam giác BCD nên OH L (BCD) Do dé OH co mét vecto chi phuong ui = (15;-10;6)

Vậy phương trỡnh chớnh tắc của OH là = = ơn = 2 ĐUY ra a;b;c=-6>a+4+b+c+10-6

(a) :z—2—2z+5=0 Điểm A(a; b;c) có hoành độ dương thuộc đường thẳng đ sao cho khoảng cỏch từ A đến (a) bằng 3 Tớnh tổng ứ+b—c? ằ Cõu 35 Trong khụng gian Oxz, cho đường thắng đ 7 / wa Lời giai v⁄ Trả lời: 1 Điểm A4 có hoành độ dương thuộc đường thắng đ, tọa độ A là (2: s-t;-1+ t) voit>0

Khoảng cách từ A đến (a) bằng 3 nên ta có: pe 29 l 21 ` , ` | =3

=1 Gọi ¿ là I-f ằ Cõu 36 Trong khụng gian Oxyz cho hai đường thẳng d, = „1 = " d,:

2 N CS góc giữa hai đường thằng đ,,d, Giá trị cosw có dạng sức Tính giá trị biểu thức

Khi đó coso= tac - [-1.2+2.0+2.(~1} _4 _ AVS”

Vậy a=4,b,c=5>b—3ã+c=1I5—3.4+5=8 ằ Cõu 37 Trong khụng gian Oxz cho tam giỏc ABC cú A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-4;7;5) Toa do chan đường phân giác góc ABC của tam giác ABC là I (4; b;c) Tinh tong a+b+c? wa Lời giai Y Tra lời: 4 ằ TOAN TU TAM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU x=l-S†

Ta có: Ta có phương trình đường thang AC là j=2+ 5í /(t E R) z=-1+6t

Goi I là chân đường phân giác góc ABC của tam giác ABC => T(I—5t;2+ St;—1+ 6t)

Vi I lachan duong phan giac góc ABC cua tam giacnén ABC: cos(BA, BI) = cos(BC, Bi] & BABE = BC.BT eA] eo DETTE ISH +9 +16= 24t _ 30f +6+ 40† + 24+ l2f — 8 c t+ 26 _ 82t+22

3 3 3 3 x=l+2t ằ Cõu 38 Trong khụng gian Oxz, cho đường thắng A:4=2+Ê và (P) :—x+2/+2z+5=0 Gọi z=-2-Ÿ d là đường thẳng đi qua điểm A(-U 0; -]) cắt đường thắng A, và tạo với đường thắng

A, một góc nhỏ nhất Vectơ chỉ phương UL, = (4; b; c) Tính tổng a+2b— 3c? wa Lời giai

“ Tra loi: 9 Giả sử đường thắng đ cắt đường thắng A tại B, ta có: B (1 +2t;2+t;-2—- t) eA Đường thang ded VICP là: AB =(2f+2;£+2;~—1), mặt phẳng (P) có VTPT n =(-1;2;2)

3 6t? +14t+9 346f? +14t+9 tạo với đường thắng A, một góc ¿ nhỏ nhất khi y= 0° hay sin¿=0=>£=0

Khi đó đường thẳng đ đi qua điểm A(-1; 0;—1) và có VTCP AB= (2; 2;-1)

>0,>d Goi ¿ là góc giữa đ và A,, ta cÓ: sinw = ằ Cõu 39 Trong khụng gian Ox/z, cho mặt phẳng (P) :ax + bự +cz—L=0với ca=b=1 l _ ọ°+b? +c? A|l

Thay a= =lvào phương trình (*) được: 42+c? =2=c=-2

Và (P) tạo VỚI (Oyz) một góc 60 nên cos((P);(Oyz)) x=4+t x-S y-ll_ z-5

2 4 2 ằ Cõu 40 Trong khụng gian Oxyz cho hai đường thắng đ :4=-4-Ê;d, : z=6+2†

2 / ` + x AB Đường thăng d di qua A(5; -3;5) cat d,,d, lan lwot 0B,C Tinh tỉ số Ac wa Lời giai

Y Tra loi: 0,5 x=S5+2s Bed, = B(4+t;—4—t;6+2f) Phương trình tham số đả, :+4 =ll+4s

Ced, >C(5+2s;11+48;5+2s) Khi dé: AB =(—1+t;-1-1;2t+1); AC =(2s;4s+14;2s)

2 AC 2 ằ Cõu 41.Cho hỡnh chúp Đ.ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tai A va B, thoa man diộu kiộn,

AB= BC =ủ,AD *, SA vuụng gúc với mặt đỏy (ABCD), SA =a Goi M,N Ian luot là trung điểm của SB,CD.Tính cosin của góc giữa MỊN và (SAC )- (Làm tron két qua dén hàng phần trăm) wa Lời giai

Y Tra loi: 0,74 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ằ TOÁN TỪ TÂM

Vecto chỉ phương của MN 1a MN = bà => 2MN = (0; 3;—1)

Vecto pháp tuyến của (SAC)la n= AC, AS | =(1;-1;0)

3] 35 Vay sin( MN,(SAC))= ——

Phương trình mặt cầu

|Sử/ hương trỡnh mặt cõu: bia (CC)

LOẠI 2

Ph rs (x-a) +(y—b) +(z—e) =RŸ x+y? +z° —2ax—2by-2cz+d=0

Tim | Lay hé sé ty do trong ngoac +-1 Lấy hệ số trước x;J;z +—2

Kính Lấy căn bậc 2 vế phải

2 Vị trí tương đối s=wˆ Giữa mặt cầu và điểm:

Trong không gian Ox1/z, cho điểm M va S(I ;R) Khi do: Điểm Diéu kién t6n tai: a’ +b? +c’? -d>0

Mat cau ằ TOAN TU TAM

„+“ Giữa mặt cầu và mặt phẳng:

=4, == Trong không gian Oxyz„, cho (a) :Ax+By+Cz+D=0 va S(I;R) Khi đó:

Không cắt Tiếp xúc Cắt theo giao tuyến là đường

=(œ)na(s)=ỉ | â(a)nơ(s)={M} trũn ©(a)n(S)=C(T;r) d(I;(a))>R d(I;(a))=R d(I:(a))R d(I;A)=R d(I;A) Dạng 1 Xác định tâm - bán kính - nhận biết phương trình mặt cầu

Phương Trình (x-a) +(y—b) +(z—-c) =R x7 +1ˆ +z” —2ax— 2bụ — 2cz + d =0

(1) Hệ số trước x,y,z bằng nhau va |(1) Hệ số trước x?,y”,z? bằng bằng 1 nhau và bằng 1

Nhận xét (2) Hệ số trước các ngoặc bằng nhau |(2) Phương trình đầy du x7, y’,2’ và bằng 1 (3) Thỏa mãn điều kiện tồn tại

(3) Vế phải là hằng số dương d2+b?+c?—-d>0

Tâm Lấy hệ số tự do trong ngoặc +-—l Lấy hệ số trước x;;z +—2

Xac Dinh | px, | Lay can bac 2 vế phải R=Alz?+b? +c2—d

Kính Điều kiện tồn tại: a°+b“+cˆ—d>0

+ Cho hai điểm A,B cố định

Nếu MA L MB thì tập hợp điểm M là mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và bán kính R= =

Trong không gian Ox/z, xác định tọa độ tâm và bán kính các mặt cau sau:

Mat cau (S):x? +y? +z? -2x+4y-6z-2=0 la I(1;-2;3) va R= yl +(-2) +3? -(-2) =4 (2) (5):(x-1ÿ +(w+2} +zŸ =9

Mặt cầu (5):(x-1ÿ +(w+2} +z? =9 có tọa độ tâm I(1;-2;0) va R=3 ằ TOAN TU TAM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU V ˆ ÂVí dụ 1.2

Trong không gian Ox/z, cho các phương trình sau:

Cú bao nhiờu phương trỡnh mặt cầu và mặt cầu đấy nhận ù (-1 OE 0) lam tam? wa Lời giai

2x? +2y? =(xty) 2? +2x-1-2xy © 2x? +2” =x”+°+2xự—z”+2x—l—2xự âx)+°+z?~2x+I=0ôâ(x~I} +y°+z? =0 khụng là phương trỡnh mặt cầu

Kiểm tra: I? +(-1) =2>0 là phương trình mặt cầu, có tâm I(1;-1;0)

Kiểm tra: (-1) +1? -1=1>0 1a phương trình mặt cầu, có tâm I(-1;1;0)

(x+y) =2xy-2°4+1-4x x? 4 2xy+y? -2xy +z? -144x 0x ty tz? +4x-1=0

Kiém tra: (-2) —(-1)= 5>0 là phương trình mặt cầu, có tâm I(-2;0;0)

Vay, phuong trinh la phuong trinh mat cau va nhan

Trong không gian Oxyz, cho các phương trình sau:

(1) x’ +y? +2z?-2x=0 (2) x?+ˆ—z”+2x-y+1=0 (3) 2x7 +2y° =(x+y) —z°+2x-1 (4) (x+y) =2x—z” —l Có bao nhiêu phương trình mặt cầu? wa Lời giai (1) x+y? +2z°-2x=0 x?+?+z?~2x =0 có tâm I(I;0;0) và R= XI? +0? +0” =1 là phương trình mặt cầu

(2) x?+ˆ°—z?+2x—-u+1=0 x*+ˆ—z”+2x-+1=0 không là phương trình mặt cầu vì hệ số trước z” khác hệ số trước +“ và y

MAT PHANG - DUGNG THANG - MẶT CẦU

2x? +2y? =(xt+y) —2? +2x-Leo 2x? +2y? =x? +9? +2xy—2? +20-1 Ox ty? +z -2xy—2x+1=0 khong la phuong trinh mat cau

Trong không gian Ox/z, cho hai điểm A(0; 0;— 1) và B (0; 6;0) Chứng minh rằng nếu điểm M(x; y;Z) thoa man MA MB =0 thi M thuộc một mặt câu (S) Tìm tâm va ban kính của mặt cầu (S) wa Lời giai

Ta co MA =(-x;—y;-1-z) va MB =(-x;6-y;-z)

Khi đó theo dạng mặt cầu thì ta có: a=0,b=3,c=-— va d=0

Xét @ +b +c'=d= >0, Vậy tập hợp điểm M 1a mat cau cd tam {0 3-2) bán kính R=Va”+b“+cˆ-d= wT

Trong khéng gian Oxyz, cho hai diém A(-2; 2; -2) ; B(3; -3;3) Điểm M trong không gian thỏa mãn =< - = Tính độ đài OM lớn nhất wa Lời giai

Như vậy, điểm M thudc mat cau S) ta tam I(- 6;6;—6) và bán kính R=~108 =6v3

Do dé OM lén nhat bang OI + R=,4/(- 6) +6?+ +(-6) +6V3 N3 ằ TOAN TU TAM

E> Dạng 2 Mặt cầu có tâm và đi qua một điểm ¿Phương pháp )

> Trong không gian Ox/z, viết phương trình mặt cầu (S)

Từ giả thiết ta đã có sẵn tâm I và bán kính R

> Ban kinh mat cau Tam I(a;b;c) va ban kinh R

Tam I(a;b;c) va qua diém M(x, ; 1/ạ ;Zạ : R=IM=|IM|= \(x,-a) +(y,-b) +(z,-c)

3> Mặt câu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=IAI

Trong khéng gian Oxyz, viết phương trình các mặt câu sau:

(1) Tâm I(-1;2;-3), ban kinh R=3 (2) Tam 1(0; -4;1) đường kính bằng 4 wa Lời giai

Phương trình mặt cầu tâm I(-1;2;-3), ban kinh R=3 là:(x+1) +(y-2} +(z+3) =9

(2) Tâm I(0;~4;1) đường kính bằng 4 Đường kính của mặt cầu bằng 4 nên bán kính R =2 Phương trình của mặt cầu tâm 1(0; -4;1) la x°+ (y + 4) + (z -1) =4

Trong khéng gian Oxyz, viết phương trình các mặt câu sau:

(1) Tâm I(-1;2;1) đi qua gốc tọa độ (2) Tâm I(1;2;3) di qua diém A(1;1;2)

(1) Tam I(-1; 2;1) đi qua gốc tọa độ

Bán kính của mặt cầu là R=IO=+|I +(-2) +(—I)` =x6

Phương trình của mặt cầu tâm I(-1; 2;1) qua O la x? +y +zˆ =6

Bán kính của mặt cầu là R =xJ0?+1?+1 B

Phương trình của mặt cầu tâm HIỆP 2;3) qua A(L 1;2) là(x-1} +(y—2) +(z-3} =2 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU Ÿ ///////

E> Dạng 3 Mặt cầu có đường kính

> Trong khéng gian Oxyz, viét phương trình mặt cau (S)

Nhan M(%X„;„;z„,) và N(Xy7y 7y ) > Goi I la tam mat cau (S) làm đường kính —= ] là trung điểm của MIN

=>] Xm TẤN ,Ú⁄w TÊN Zu TẤN ;

> Ban kinh mat cau R= — =IM

Trong khéng gian Oxyz, cho hai điểm A(I 0; -3) và B(3; 2;1) Phương trình mặt câu đường kính AB là? wa Lời giai

Goi I 1a trung diém cua AB =,|(3-1)' +(2-0)° +(1+3) =2V6 => R= = V6

Phuong trinh mat cau can tim: x° + y* +z -4x-2y+2z=0

Trong khéng gian Oxyz, cho hai vecto AO = (-1; -2;3) và BO= (-7; -4; —5) Phương trình mặt câu đường kính AB là? wa Lời giai

Phương trình mặt cầu đường kính 4B thì tâm là trung điểm của 4B = I(4;3;1)

Phuong trinh mat cau (x — 4) + (y -3) +Íz — 1) = 26

Vậy phương trình mặt cầu (S) (x- 4) + (y -3) + (z -1) = 26 ằ TOAN TU TAM

E> Dạng 4 Mặt cầu qud 4 điểm không đồng phẳng ee Phuong phap `

Trong không gian Oxz, viết phương trình mặt cau (S)

Loại Phương pháp Đi qua 4 điểm A;B;C;D khong dong > Goi I (a sb ;€) là tọa độ tâm mặt cầu cần tìm phẳng > Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm

Trong không gian Oxyz, nếu mặt cau (S) đi qua bốn điểm

M(2;2;2),N(4;0;2),P(4;2;0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có tọa độ là? wa Lời giai Goi phuong trinh mat cau: (S):x7 + ” + z” + 2ax + 2by +2cz+d=0 (z +” +c°-d> 0)

Vi M,N,P,Qe (S) nên ta có hệ phương trình

Trong không gian Oxyz, cho 4 diém A(2;0;0), B(0;2;0),C(0;0;2), D(2;2;2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD wa Lời giai

Gọi phương trình mặt cầu cé dang x* + y? +z° +2ax+2by+2cz+d=0

Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD nên tọa độ các điểm A,B,C,De (S)

Suy ra phương trình mặt cầu là x” +” +z”-2x—2/—2z =0 2 ằ TOÁN TỪ TÂM

Ez Dạng 5 Mặt cầu có tâm thuộc đường thang/mat phẳng

NG A aul Phương pháp ` SE /

> Trong khéng gian Oxyz, viét phương trình mặt cầu (S)

Tam Ie(P) và đi qua A;B;C

Với (P):a.x+ ỉ.y++.z+6 =0 hoặc (P) là các mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Owz) d3 Nhận xét:

Trơng trường hợp I e một trong cac mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Oyz) bai toan sé don gian hon

> Goi I(a;b;c) la tam mat cau

> Mat cau (S) di qua ba diém A;B;C

> Từ (I);(2) và (3)—I là thỏa hệ:

3> Mặt câu có tâm I(a;b;c) và bán kính R =IA

Tõm Ieọ và đi qua A;B

Voi d;2 20 =!—~#9 -“—0 hoặc d là các q b C trục Ox;Ow;Oz d3 Nhận xét:

Trơng trường hợp le một trong các truc Ox;Oy;Oz bai toan sé don gian hon ˆ 4 ví dụ 5.1

> Goi I(a;b;c) la tam mat cau

> Taco Ted=>1(x, +at;y, +bt;2z, +ct) ằ Viết IA;IB theo Ê và tớnh độ dài |IA J 5

3> Mặt câu có tâm I(a;b;c) va ban kinh R=IA

Trong khéng gian Oxyz, cho mat cau (S) di qua 2 diém A(I 2;3),B(2;0;—2), và có tâm nằm trên trục Ox Viết phương trình mặt cầu (5)? wa Lời giai

Vỡ mặt cầu cú tõm ù thuộc trục ểx nờn tõm cú dạng ẽ (x; 0;0)

Vì mặt cầu đi qua A(1;2;3),B(2;0;-2), nén IA = IB = IA’ = IB’ â(I-x) +4+9=(2-x} +4â2x=-6ôx=-3 => [A=V42 42243? = J29

Do đó phương trình mặt cầu là (x +3) +ựˆ+z”) ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU Š— Áví dụ 5.2

Trong không gian Ox/z, tìm bán kính mặt cầu qua 2 điểm A (3; =Ƒ 2) ,B (1; ie -2) và có tõm ẽI thuộc A:ZŠ=# -]

Vi mat cau co tam ù thuộc A nờn 1(21;1+t; -t) >4_,

Vì mặt cầu đi qua hai điểm A(3;~1;2),B(I;1;-2), nên 1A = 1B

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mat cau di qua 3 điểm

A(-2; 3;3),B(-1; 1;2),C(4; 2; 2) và có tam nằm thuộc mặt phẳng (Oyz)

Vì mặt cầu có tâm I thudc mặt phẳng (Oyz) nén tam co dang I (0; b;c)

Vì mặt cầu đi qua ba điểm A(-2;3;3),B(-1;1;2),C(4;2;2) nên ta có:

Phương trinh mat cau la x? +(y—9) +(z+10) 9 ằ TOAN TU TAM oe

MAT PHANG - ĐƯỜNG THẮNG - MẶT CẦU — //////7 Nà =

Ez Dạng 6 Mặt cầu tiếp xúc đường thẳng/mặt phẳng an’ NG aul Phuong phap ) ì

) Trong không gian Oxz, viết phương trình mặt cầu (S)

Tam I (a sb ;€) và tiếp xúc với (P) > Ban kính mặt cầu

Với (P): ti Byụ+Cz+D=0 hoặc (P) là a(1;(0))= |Aa+ Bb+Cc + D| Tp xuc (a) clic mit phang (Oxy) ,(Oxz),(Oyz) VA*+B?+C’

3ÿ Nhận xét: R=|4(1:(Oxy)) = Jz? Tiep xuc (Oxy),

Trong trường hop I tiếp xúc một trong d(1;(Oxz)) = dư? Tiep xuc (Oxz) Các mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Oyz) bai a(1;(Oyz)) _ fe Tiep xuc (Owz) toán sẽ đơn giản hơn

> Mat cau tam I(a;b;c) va bán kính R= d(T;(e))

Tam I (a AUP c) va tiép xuc voi A > Ban kinh mat cau

Voi A; Xa %0 = Y Yo 272770 poge A là it; ma | a b C d(I;A) =—- Tiep xuc A cac truc Ox;Oy;Oz i

43% Nhận xét: R= d(1;O*) =alj;¿+z/ Tiep xuc Ox-

Trong trường hợp I tiếp xúc một trơng d{ I;Ow) =al x?+z? Tiep xuc Oy các trục Ox;Ow;Oz bài toán sẽ don ` (Zap 7 6 giản hon 1 ( ; z)= +1, Tiep xuc Òz

> Mat cau tam I(a;b;c) va ban kinh R = d(I;A)

Trong không gian Ox/z, viết phương trình mặt cầu tâm I(1;—2;1) va tiếp xúc với mặt

Do mat cau (S) tiếp xúc (Oxy) —=R= d(1;(Oxy)) = (2 = J0 =1

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm: (x — 1) + (y + 2) + (z — 1) =1

Goi I(a;b;c)la tam mat cau (S): ằ TOÁN TỪ TÂM omg

Trong khéng gian Oxyz, tim ban kinh mat cau di qua diém B(1;3;0) và tiếp xúc với

Vi (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) tai M (0;3;- 2)

Nên hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oyz) là H (0 sb ;€) trùng với M

Trong khong gian Oxyz, cho ba điểm A(1;-2;-4),B(2;3;4),C(3;5;7) Tim phuong | trinh mat cau cé tam la A va tiép xúc với BC

Mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với BC = R=ád| A;(BC) |= L = v0

Vậy phương trình mặt cần tim a: (x-1)' +(y+2)' +(2+4)° =2 BC

Trong khéng gian Oxyz, cho B(1;1;9), C(1;4;0) Mat cau (S) di qua B và tiếp xúc với (Oxy) tại C có phương trình là?

Gọi I(a;b;c)la tam mat cau (S):

Vi (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tai C(1;4;0) Nên hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxy) la H (a ;b ;0) trùng với C

Vay phuong trinh mat can tim la: (x- 1) +(y -4) +Íz — 5) % ằ TOÁN TỪ TÂM mm.

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU =— //////7

Ez Dạng 7 Mặt cầu cốt đường thẳng/mặt phẳng a NG el Phuong phap ` SE /

> Trong khéng gian Oxyz, viét phương trình mặt cầu (S)

Tam I(a;b;c) va cat (P) theo giao tuyén la duong tron tam I’ ban kinh r

Voi (P): Ax+ By+Cz+D=0 hodc (P) la các mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Oyz) d3 Nhận xét:

Trong trường hợp I tiếp xúc một trơng các mặt phẳng (Oxy),(Oxz),(Oyz) bai toan sé don gian hon

> Mat cau tam I(a;b;c) và bán kính R

B(x;; w,;z,) và H là trung điểm AB

Với A: 20 = Fo 7 770 hoặc A là Zz a b C các trục Ox;Ow;Oz d3 Nhận xét:

Trong trường hợp l tiếp xúc một trong các trục Ox;Oy;Oz bai toan sẽ don gian hon

> Bán kính: RÝ =7 (1;(a))+ AH? — OH’ „ 4B 4

> Mat cau tam I(a;b;c) va ban kinh R=d(I;A)

Trong khéng gian Oxyz, cho mat cau (S) :(x-2} +(y+3} +(z-4) % Mặt phang (Oxy) cắt mặt cầu (S ) có giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? wa Lời giai

Gọi H là tõm đường trũn cắt nờn Hù là hỡnh chiếu của ù Vậy H (2; — 3; 0) Bán kính đường tròn: z=wR“—-IH” =5 -4” =3 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU P ˆ Á ví dụ 7.2

Trong không gian Oxyz„, cho điểm 1(2; 4;1) va (P) :#Z++z—4=0 Tìm phương trình mặt cầu (S) tam I sao cho (S) cat (P) theo đường tròn có đường kính bằng 2 wa Lời giai J2+4+1-4i

VP +P +7 Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: R’ =d’ (L(P)) +r 41=4

Trong không gian Ox/z, cho điểm A (-2 ;—4; 5) Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho AABC vuông wa Lời giai Do 4AB= AC nên AABC vuông tại A

Gọi H trung điểm BC -> AH = BH = HC

Do đó H là hình chiếu của điểm A lên trục Oz

Xét AABH: AB” = AH’ + BH? *H’

Vay mat cau co phuong trinh: (x + 2) + (y + 4) + (z — 5) = 40

Trong khộng gian Oxyz, cho mat cau (S) cú tõm ẽ (1;-1;2) và đường thang

“==.s Duong thang d cat mat cau (S) tai hai diém A va B voi AB

Viết phương trình của mặt cầu (S) wa Lời giai

Gọi H là trung điểm AB ta có: IH =d(I,d)va TH Ld

Xét AIAH: IA=V AH? +IH? = (=) +(32) B7

Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x- 1) + (y + 1) + (z — 2) = 21 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ý

E>z Dạng 8 Vị trí tương đối liên quan mặt cầu ann’, ite )

Mat cau _ lax, + by, +cz, + d

Tinh d(1;(P)) va so sanh voi ban kinh R

Mat phang d(1;(P)) >R Mặt phẳng khụwứ cắt mặt cầu d (1 ; (P )) =R Mat phang tiép xtic mat cau tai M d(I;(P))R Đường thẳng khéng cat mat cau d(1;đ)= R Đường thẳng f/ế? xúc mặt cầu d(I;d)R Diém M nam ngodi mat cau

Diem a n ơ—- IM=R Diem M nam trén mat cau

IM Mat cau (S)có tâm 1(2; 1;-1) và bán kính R=3

Vậy điểm Mĩ nằm trong mặt cầu (S)

Trong không gian Ox/z, cho mặt cầu (S):x? + y? +z”~2x~ 2 +2z—1=0 và mặt phẳng

(P) :2x+—2z+1=0 Xét vị trí của mặt phẳng (P) so với mặt cau (S) wa Lời giai Mặt cầu (S) có tam I(1;1;-1), ban kinh R=,/? +P +(-1) +1=2 ằ TOÁN TỪ TÂM

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU V

Vay mat phang (P) tiếp xúc với mặt cau (S )

=-— và và mặt cầu (S) : x+y +z —2x+2y—4z+2=0 $6 diém chung cua (A) va (S) 1a? Đường thang (A )di qua M (1; —2; ;0)và có một vectơ chỉ phương là 1= (1; 3;— 2) Mặt cầu (S) có tâm T{I;—1 ; 2)va bán kính R =2

Ta có Mĩ =(0;1;2)và | i, MI |= (8;-2;1) =4(1,A)=

Vi d(I,A) > nên (A) không cắt mặt cầu (S) Š— Áví dụ 8.4

Trong không gian Ox/z, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình

X7 tựˆ +z”—2x+2—2z—6=0, 2x+2+z+ 2m =0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của 7 để (P) tiếp xúc với (S)?

(S) có tâm là 7(1;—1;1) và bán kính R=3

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên: d(T,(P)) =R

Trong không gian Ox/z„, cho mat cau (S) : (x = 2) + (y + 1)

4:2 y-2 == Giá trị của m dé A khong cắt mặt cầu (S) là ?

Từ phương trình đường thắng A và mặt cầu (S ) ta có:

= (t-1) +(34+mt) +(t+1) =1(m’> +2) +2.3mt+10=0 (1) Để A khụng cắt mặt cầu ) thỡ (I ) vụ nghiệm, hay (I ) cú A Dang 9 Bai toán thực tế £ TS aa -# Ví dụ 9.1

Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục tọa độ là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phỏt được đặt tại điểm ù (6; —2; 4)

(1) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 3 km Viết phương trình mặt cầu (S) biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng _

(2) Một người sử dụng điện thoại tại điểm M (5 2: -2) Hãy cho biết điểm M nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S) và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không

(3) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm N (6; 0; 3) wa Lời giai (1) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 3 km Viét phuong trinh mat cau (S) biéu dién ranh giới của vùng phủ sóng

Trạm thu phỏt súng điện thoại di động cú đầu thu phỏt được đặt tại điểm ù (6 ;—2; 4)

Do đó gọi mặt cầu (5) có tâm I (6; -2;4) và bán kính R =3 nên có phương trình:

(5):(x-6} +(y+2) +(z-4) =9, (2) Một người sử dụng điện thoại tại điểm A1 (5 32; -2) Hãy cho biết điểm MÍ nằm trong hay nằm nứoài mặt cõu (S) và người đú cú thể sử dụng được dịch vụ của trạm núi trờn hay khụng 5 5 5 y 5

Ta có: IM =(-1;4;-6) => IM =,4(-1) +4 +(-6) =V53 km > R=3km

= Điểm M nam ngoai mat cau (S) và người đó không thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên

(3) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm N (6 ;0; 3)

Ta cé: IN =(0;2;-1) > IN = 0° +2? +(-1)? = V5 km IJ =8, IM=R

Suy ra: JM = JIM? y — JI? = V10? -8? =6

Vậy khoảng cách ttr vi tri M cuia qua bong dén diém J la 6m ằ TOAN TU TAM Trang 18

A Câu hởi - Trả lời trắc nghiệm ằ Cõu 1 Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cau (S) Xx + (y- 4) + (z "ỡ % Tọa độ tõm ẽ và bán kính R của mặt cầu (5) là

Mat cau (S) có tâm 1(0; 4;1) và bán kính R =5 ằ Cõu 2 Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x” + 1Ÿ +z” —6x + 4y 8z +4= 0 Tọa độ tõm ẽ và bán kính R của mặt câu (5) là

Mat cau (S) co tam (3; -2;4) và bán kính R= (3° + (-2) +4¥-4=5, ằ Cau 3 Trong khộng gian Oxyz, cho mat cau (S): x + y* +27 —4x+8y-2z-4=0.Toa dộ tam I và bán kính R của mặt câu (5) là

Mặt cầu (S) có tâm 1(2;-4;1) và ban kinh R = J +(-4) +P -(-4) =5 ằ Cau 4 Trong khộng gian Oxyz, cho mat cau (S):(x- 1) +(y+ 2) +(z- 3) Điểm cú tọa độ nào sau đây nằm trên mặt cầu?

N20 20@ Pe ằ TOAN TU TAM rang

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU ằ Cõu 5 ằ Cõu 6 ằ Cõu 7 ằ Cõu 8 ằ Cõu 9 ằ TOÁN TỪ TÂM

Thay tọa độ của các điểm đã cho vào phương trình mặt cầu ta được điểm có tọa độ (1; -2;-1) nam trén mat cau

Trong không gian Ox/z, cho mat cau (S) tX + (y 7 1) +zˆ =2 Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (5)?

Mặt cầu (S) có tâm 1(0;1;0) va ban kinh R= 2

Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

Do đó điểm P nằm ngoài mặt cầu

Trong không gian Oxz, cho mặt cầu (S):x” + y° +z”~4xz—2y+2z—~3=0 và một điểm M (4;2;-2) Ménh dé nao sau day dung?

A Điểm Xí là tâm của mặt cầu (5) B Điểm AM nằm trên mặt cầu (5) Œ Điểm M nam trong mặt cầu (5) D Điểm M nằm ngoài mặt câu (5) wa Lời giai

Mat cau (S) có tâm 1(2;1;-1) và bán kính R =3

Vay diém M nam trong mat cau (S)

Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu?

Do phương trình mặt cầu có dạng (x — a) + (y — bì + (z — c) = R* nén vé phải của phương trinh la R* >0 Điều kiện để phương trình +” + 1ˆ +z —2axT— 2by— 2cz+ d =0 là phương trình mặt cầu?

A a+b+c-d>0 B.azˆ+b +c°+d>0 Œ ad +bˆ+cˆ—-d>0 D a? +b? +c? -d>0 wa Lời giai

Dé phuong trinh x°+y°+z°—2ax—2by—2cz+d=0 1a phwong trinh mat cau thi a+b’ +c°-d>0

Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cau?

MAT PHĂẲNG - ĐƯỜNG THANG - MẶT CẦU wa Lời giai

Nên phương trình zÝ +1“ +zˆ +2x+2—4z+11=0 không là phương trình mặt cầu P 8 Ụ 2 Ụ 218p 8 ằ Cau 10 Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào là phương trỡnh của mặt cõu tõm

Phuong trinh mat cau I(1;- 2;3) bán kính R =3 có dạng (x — 1) + (y + 2) + (y — 3) =0 ằ Cau 11 Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào là phương trỡnh của mặt cầu tõm

Phuong trinh mat cau I(-1;2;-3), R= 27 co dang (x+1} +(y-2) +(z+3) ' ằ Cau 12 Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào là phương trỡnh của mat cau tam

Do phương trình mặt cầu có tâm 1(0;3;1) nén —2a=0; -2b=-6; —2c=-2

Mat khac ban kinh R?+b?+c?—d =4j0?+32+I”—6 =2 nên giá trị đ=6 ằ Cõu 13 Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu xí + 1ˆ +zˆ +8xz—6+2z— 10 =0

A Tâm I(-4;3;-1) va ban kinh R=6 B Tam I(-4;3;-1) va ban kinh R= 36

C Tâm I(4;-3;1) và bán kính R=6 D Tam 1(4;-3;1) va bán kính R 6 wa Lời giai wa Lời giai

Phương trình x” +” +z”+8§x—6/+2z—10=0 có a=-4;b=3;c=—l,j= —10 ằ TOÁN TỪ TÂM

Vậy tâm của mặt cầu là I(~4;3;~1), bán kính R=x[l6+9+1+10 C6 =6 ằ Cõu 14 Trong khụng gian Ox/z (đơn vị của cỏc trục tọa độ là kilomet), một trạm thu phỏt súng điện thoại đi động cú đầu thu phỏt được đặt tại điểm ùẽ (—6; —ẽ]; 4) Cho biết bỏn kớnh phủ sóng của trạm là 2km Người sử dụng điện thoại đứng ở điểm nào sau đây thì sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên?

Ta cé IA =3>2;IB=V3 2,ID=6>2

Vậy người đứng tại điểm B nằm trong mặt cầu nên sẽ sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng điện thoại di động ằ Cõu 15 Trong khụng gian Ox/z (đơn vị của cỏc trục tọa độ là kilomet), một trạm thu phỏt súng điện thoại đi động cú đầu thu phỏt được đặt tại điểm I (6 ;—ẽ; 4) Cho biết bỏn kớnh phủ sóng của trạm là 2 km Người sử dụng điện thoại đứng ở điểm nào sau đây thì không sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên?

Ta cé IA = 3 cos (OL, MN} =1>OI1//MN

Do OI//MN = d(O;MN)=d(I;MN)=IH =3

B Câu hởi - Tra loi Diing/sai ằ Cau 25 Trong khộng gian Oxyz, cho mat cau (C) : (x -1) + (y + 2) +z”=lú6

(a) | Điểm A( 2;—1) nằm bên ngoài mặt cầu (C)

(b) | Diém B (0; 0; 1) nam bén trong mat cau (C )

(c) | Điểm C(0; 2;1) nằm trên mặt cầu (C)

(d) | Với điểm D(2;1;—1), ta có ID 16 = diém A(1;2;-1) nằm bên ngoài mặt cầu (C) ằ Chon DUNG

(b) Diém B(0; 0;1) nằm bên trong mat cau (C)

Ta có (0-1) + (0+ 2) +? =616 — điểm C(0;2;1) nằm bên ngoài mặt câu (C) ằ Chon SAI

(4) Với điểm D(2;1;—1), ta có ID