bài tập nhóm môn toán cao cấp xét một doanh nghiệp có chi phí cố định

Hãy chọn túi hàng x, y để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 1850USD.. Giải Mỗi túi hàng x, y đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách Do đó vấn đề tối ưu hó

BÀI TẬP NHÓM MÔN TOÁN CAO CẤP

L Ớ K224021C P:

Giảng viên: Thầy Phạm Văn Chững

Nhóm 1

VI.9: Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là giá thuê một

đơn vị vốn là (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là 0,4 (triệu đồng) Giả

sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Cobb-Douglas Q = , giá sản phẩm trên thị trường là p = 1( triệu đồng)

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn

và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượn vốn và theo lượng lao động tại k = 54, L = 16

Giả i

a) Hàm chi phí TC = = 2K + 0,4L + 400

Hàm doanh thu TR = p.Q = 1 120

Hàm lợi nhuận = 120 (2K + 0,4L + 400)

Vậy hàm chi phí TC = 2K + 0,4L + 400

hàm doanh thu TR = 1 120

hàm lợi nhuận = 120 (2K + 0,4L + 400)

b) Chi phí cận biên:

=

=

Doanh thu cận biên:

= ; K >0, L >0

= ; K >0, L >0

Lợi nhuận cận biên:

= ; K >0, L >0

= ; K >0, L >0

 Tại mức K = 54, L = 16 ta được:

= =

= = 90

= = 51,3

= = 89,6

Vậy chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16 lần lượt là

=

=

=

= 90

51,3

= 89,6

c) Hệ số co giãn của chi phí:

K >0, L >0 ;

; K >0, L >0

Hệ số co giãn của doanh thu:

= =

= =

Hệ số co giãn của lợi nhuận:

= 80 K >0, L >0 ;

= 40 ; K >0, L >0

 Tại mức K = 54, L = 16 ta được:

= 0,21%

= 0,012%

= 80

1,879%

= 40

=

Vậy hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượn vốn và theo lượng lao động tại k = 54, L = 16 lần lượt là

= 0,21%

= 0,012%

=

=

1,879%

=

VI.10 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C = 200, 0 giá thuê một đơn vị vốn là w = 1 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là K

wL = 0,2 (triệu đồng) Gỉa sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Q = K(L + 10) và giá sản phẩm trên thị trường là p = 0,5 (triệu đồng)

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhận cận biên theo lượng vốn

và theo lượng lao động tại K = 100, L = 20

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 100, L = 20

Giải

a) Hàm chi phí: TC = K + 0,2L + 200

Hàm doanh thu: TR = 0,5K(L + 10)

Hàm lợi nhuận: π = 0,5KL + 4K – 0,2L – 200

b) Chi phí cận biên theo L: MCL (100, 20) = 0,2

Chi phí cận biên theo K: M (100, 20) = 1CK

Doanh thu cận biên theo L: M = 0,5K M (100, 20) = 50RL RL

Doanh thu cận biên theo K: M = 0,5L + 5 M (100, 20) = 15RK RK

Lợi nhuận cận biên theo L: M = 0,5K – 0,2 M (100, 20) = 49,8

Lợi nhuận cận biên theo K: M = 0,5L + 4 M (100, 20) = 14πK πK

c) Hệ số co giãn của chi phí theo L: ε = C ’ = 0,2 CL L

ε (100, 20) = 0,2 = CL

Hệ số co giãn của chi phí theo K: ε = C ’ = CK K

ε (100, 20) = = CK

Hệ số co giãn của doanh thu theo L: ε = R ’ = RL L

ε (100, 20) = 0,5.100.= RL

Hệ số co giãn của doanh thu theo K: ε = R ’ = RK K

εRK(100,20) = = 1

Hệ số co giãn của lợi nhuận theo L: ε = π ’ πL L

=

ε (100, 20) = πL

Hệ số co giãn của lợi nhuận theo K: ε = π ’ πK K

=

ε (100, 20)= πK

VI.11 Giả sử một người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm hữu

dụng của hai loại hàng này là; trong đó x, y lần lượt là khối lượng hai loại hàng hóa đó

a) Tìm hàm hữu dụng biên và hệ số co giãn theo từng loại hàng hóa

b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng

Giải:

a)

Hữu dụng biên theo hàng hóa X:

Hữu dụng biên theo hàng hóa Y:

Hệ số co giãn theo hàng hóa X:

Hệ số co dãn theo hàng hóa Y:

b) Giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng 3 đơn vị khối lượng là:

VI.12 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa

X, Y lần lượt là 50USD và 200USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích

Với điều kiện:

(*)

 Đặt và xét hàm:

 Các đạo hàm riêng của L và:

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

Ta được nhân tử duy nhất và điểm dừng duy nhất tương ứng M(3,5; 8,375)

Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và Vì nên ta được

Như vậy là, trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M( 3,5; 8,375) với

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x = 3,5, y = 8,375) làm tối ưu hóa lợi ích Umax = 280,6 (USD) trong điều kiện ngân sách (*) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là

VI.13 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa

X, Y lần lượt là 100USD và 25USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U=x(y+15);

x≥0, y≥0 (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối

ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 925USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thõa mãn điều kiện ngân sách 100x+25y=925 (USD)

Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích

U=x(y+15); x≥0, y≥0 (với điều kiện 100x+25y=925) (1) Điều kiện (1) tương đương với 100x+25y=925

 Đặt (x,y) = 100x+25y-925 và xét hàm lagrange

L = L(x,y)= U +(x,y)=x(y+15)+ 100x+25y-925); x0 , y0 (

 Các đạo hàm riêng của L và

L’ =y+15+100x L’ =x+25y

L’’ =0=L’’x y L’’ =1; xy x0 , y0

’x= 100 ’ =25;x0 , y0y

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

Ta được nhân tử duy nhất và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(6,5,11)

Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và Vì L’’xx=0=L’’yy , L’’ =1 và xy

’x= 100, ’ =25 (hằng số không phụ thuộc x,y, ) nên ta được y

5000>0 Như vậy là trong điều kiện (1) hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại tại điều kiện M(6,5,11) với Umax=6,5(11+15)=169

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x=6,5, y=11) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=169trong điều kiện ngân sách (1) ở đây lượng cầu Marshall tương ứng chính là

VI.14 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa

X, Y lần lượt là 500 và 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x+4)(y+5); x0 , y0 (x,y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi

hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 4 triệu đồng Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải:

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thõa mãn điều kiện ngân sách

500x+400y=4.000.000 (USD) Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích

U=(x+4)(y+5); x0 , y0; với điều kiện 500x+400y=4.000.000 (1)

Điều kiện (1) tương đương với 500x+400y=4.000.000 5x+4y-40.000=0

 Đặt (x,y) = 5x+4y-40.000 và xét hàm lagrange

L = L(x,y)= U +(x,y)=(x+4)(y+5)+ 5x+4y-40.000); x0 , y0 (

 Các đạo hàm riêng của L và

L’ =y+5+5 L’ =x+4+4x y

L’’ =0=L’’x y L’’ =1; xy x0 , y0

’x= 5 ’ =4; x0 , y0y

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

 

1 ,

0

x

y

x











Ta được nhân tử duy nhất  1001và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(4000,5000)

Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và Vì L’’xx=0=L’’yy , L’’ =1 và xy

’x= 5, ’ =4 (hằng số không phụ thuộc x,y, ) nên ta được y

Như vậy là trong điều kiện (1) hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại tại điều kiện M(4000,5000) với Umax=(4000+4)(5000+5)=20040020

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x=4000, y=5000) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=20040020 trong điều kiện ngân sách (1) ở đây lượng cầu Marshall tương ứng chính là =4000,

VI.15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x0, y 0) trên hai loại

hàng hóa X,Y (x,y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Đơn giá của từng loại hàng

là p = 4USD, p = 9USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố 1 2 định U = 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu 0 Hick tương ứng

Giải:

Với mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 4x + 9y; x0 , y0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 4x + 9y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= 12xy + 8x = 10800; x 0, y 0

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có:

 Điều kiện 12xy + 8x = 10800 12xy + 8x - 10800 = 0

Hàm điều kiện = 12xy + 8x - 10800

 Hàm Lagrange: L = 4x + 9y + 12xy + 8x - 10800) (

 Các đạo hàm riêng của L và

L’x = 12 + y L’y= 9 + 12x x0 , y0

L’’x = 0 = L’’y L’’xy= x0 , y0

’x= 12y + 8 ’ = 12xy x0 , y0

 Ta tìm điểm dừng:

Như vậy chỉ có duy nhất một điểm dừng M(45,) ứng với nhân tử Lagrange duy nhất

 Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(45,) và

H = = = -51840

 Do đó M(45,) là điểm cực tiểu với C = 354min

 Kết luận vấn đề của kinh tế: Để chi phí tối thiểu lượng cầu Hick tương ứng

45, Lúc đó chi phí C = 354USD nhỏ nhất

VI.16 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = xy + 2y; x0 , y0 trên hai loại hàng

hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá của từng loại hàng là p1=18USD, p =8USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định2 U0=1800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng

Giải

Vỡi mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 18x + 8y; x0 , y0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C= 18x + 8y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= xy + 2y = 1800; x0, y0

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có:

 Điều kiện xy + 2y = 1800 xy + 2y - 1800 = 0

Hàm điều kiện = xy + 2y - 1800

 Hàm Lagrange: L = 18x + 8y + xy + 2y - 1800) (

 Các đạo hàm riêng của L và

L’x= 18 + y L’ =8+y x +2 x0 , y0

L’’ =0=L’’x y L’’xy= x0 , y0

 Ta tìm điểm dừng

2

45 2 0

5

’

2

1

)

2 1800 0 ,

1 10 2 0

x

y

xy y

y x

x y













Như vậy chỉ có duy nhất một điểm dừng M(45,2(-1+10)) ứng với nhân tử Lagrange duy nhất

Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(2(-1+10,45) và

 Do đó M(2(-1+10,45) là điểm cực tiểu với Cmin=982,23

Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu lượng cầu Hick tương ứng 2(-1+10, 45 Lúc đó chi phí C=982,23USD nhỏ nhất

VI.17 Một công ty sản xuất độc quyền hai loại hàng hoá với hàm cầu lần lượt là

Q1 = 280 - , Q = 420 + Giả sử tổng chi phí xác định bởi 2

C = 40Q + 180Q + Q + Q1 2 1 1Q2 + Q Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hóa 2

để tối đa hóa lợi nhuận

Giải

Từ hàm cầu của hai sản phẩm:

Ta suy ra được:

(Q , Q ≥ 0)1 2

 Tổng doanh thu và lợi nhuận của xí nghiệp đó được cho bởi:

R = P1Q1 + P2Q2 = Q - Q - Q1 2 1Q2 + Q + Q21

π = R – C = Q - Q - Q1 2 1Q2 + Q + Q1 2

 Vấn đề xác định mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại quy về bài toán cực trị( tự do): Tìm không âm làm cực đại hàm:

π = R – C = Q - Q - Q1 2 1Q2 + Q + Q1 2

 Ta giải bài toán tương ứng Để tiện, ta đặt:

; ; ; ;

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của như sau:

π1’= Q Q + ; π ’= Q1 2 2 2 Q1 +

 Ta tìm điểm dừng:

 Ta được điểm dừng duy nhất M(30,40) Tại điểm dừng này, ta tính được:

= AC – B = > 0 π đạt cực đại 2

Do đó đạt cực đại duy nhất tại M( ) với giá trị cực đại

Vì khả vi liên tục đến cấp hai trên miền phẳng lồi:

 Hơn nữa, tại mọi điểm thuộc ta có:

Vậy M( ) còn là điểm cực đại toàn cục của , nghĩa là giá trị cực đại 207 394, 8718 cũng là giá trị lớn nhất của

 Kết luận: Khi tiêu thụ sản phẩm, sản phẩm, công ty đó sẽ đạt lợi nhuận cực đại là

VI.18 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu của hai

sản phẩm này và hàm tổng chi phí như dưới đây:

; ;

Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại

Giải:

Từ hàm cầu của hai sản phẩm: ; ; ta suy ra được: ;

 Tổng doanh thu và lợi nhuận của xí nghiệp đó được cho bởi:

;

;

 Vấn đề xác định mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại quy về bài toán cực trị( tự do): Tìm không âm làm cực đại hàm:

;

 Ta giải bài toán tương ứng Để tiện, ta đặt:

; ; ; ;

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của như sau:

; ; ; ; ;

 Ta tìm điểm dừng:

 Ta được điểm dừng duy nhất M(30,40) Tại điểm dừng này, ta tính được:

; ; ;

Do đó đạt cực đại duy nhất tại M(30,40) với giá trị cực đại

Vì khả vi liên tục đến cấp hai trên miền phẳng lồi:

 Hơn nữa, tại mọi điểm thuộc ta có:

Vậy M(30,40) còn là điểm cực đại toàn cục của , nghĩa là giá trị cực đại cũng là giá trị lớn nhất của

Kết luận: Khi tiêu thụ sản phẩm, sản phẩm, công ty đó sẽ đạt lợi nhuận cực đại là

VI.19 Cho hàm lợi ích tiêu dung U= U(Q1,Q2) = Q1Q2 + Q + 2Q của hai lượng 1 2 cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng Hãy xác định lượng cầu của hai loại hàng hóa đó

để tối đa hóa lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là 2USD, 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51USD

Giải:

 Mỗi loại hàng hóa đều phải thỏa mãn điều kiện thu nhập

 Do đó vấn đề tối đa hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại của hàm lợi ích: ; với điều kiện 2(*)

Điều kiện (*) 2

 Đặt và xét hàm Lagrange với

)

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của và (với ) như sau:

;

;

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:

Ta được nhân tử duy nhất và điểm dừng duy nhất tương ứng M(13,5)

 Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và :

H Như vậy trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M(13,5) với

 Kết luận vấn đề của kinh tế: Loại hàng ( làm tối đa hóa lợi ích (USD) trong điều kiện ngân sách Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là ,

VI.20 Cho hàm lợi ích của hai lượng cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng Hãy xác

định lượng cầu của hai loại hàng hóa đó để tối đa hóa lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là 8USD, 5USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680USD

Giải:

Mỗi loại hàng hóa đều phải thỏa mãn điều kiện thu nhập Do đó vấn đề tối đa hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại của hàm lợi ích: ; với điều kiện (*)

Điều kiện (*) tương đương với

 Đặt và xét hàm Lagrange với

)

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của và (với ) như sau:

;

;;

;

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:

Ta được nhân tử duy nhất và điểm dừng duy nhất tương ứng M(60,40)

 Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và :

H Như vậy trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại

M(60,40) với

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Loại hàng ( làm tối đa hóa lợi ích (USD) trong điều kiện ngân sách Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là ,

VI.21 Một công ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu đối với

hai loại hàng đó lần lượt là =65 – 2, ; là giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ i(i=1,2) Hãy xác định mức sản lượng , để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại biết rằng hàm chi phí kết hợp: C=2

Giải

(Q , Q > 0)1 2

 Doanh thu và lợi nhuận của xí nghiệp đó được cho bởi:

R = P1Q1 + P2Q2 = Q - Q + Q1 2 1Q2 + Q1 + Q2

π = R – C = -20 Q - 2Q - Q1 2 1Q2 + Q + Q1 2

 Vấn đề xác định mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại quy về bài toán cực trị( tự do): Tìm không âm làm cực đại hàm:

π = R – C = -20 Q - 2Q - Q1 2 1Q2 + Q1 + Q2

 Ta giải bài toán tương ứng Để tiện, ta đặt:

; ; ; ;

 Khi đó, các đạo hàm riêng cấp 1,2 của như sau:

π1’= - 5Q - Q + ; π ’= - 4Q1 2 2 2 Q1 +

 Ta tìm điểm dừng:

 Ta được điểm dừng duy nhất M( ) Tại điểm dừng này, ta tính được:

; ; ;

Do đó đạt cực đại duy nhất tại M( ) với giá trị cực đại π = max

Vì khả vi liên tục đến cấp hai trên miền phẳng lồi:

 Hơn nữa, tại mọi điểm thuộc ta có: