bài tập nhóm môn toán kinh tế đại số tuyến tính và ứng dụng

Tìm điều kiện của tham số thực a để ma trận khả nghịch... Biện luận hang của ma trận theo tham số thực m... Tu ma tran nay ta viết được hệ mới tương đương với hệ đã cho: Từ ma trận bậc t

IY’ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÓ HỎ CHÍMINH a #Š

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY HO CHI MINH CITY

UNIVERSITY OF ECONOMICS AND LAW

BAI TAP NHOM MON TOAN

Giảng viên: PGS.TS Lê Anh Vũ

Nhóm thực hiện: Không A+ Đời Không Nề Lớp học phần: 231BMM202410

Ho Chi Minh City, 27 tháng 70 năm 2023 %

AS

Họ và tên Trân Diễm Quynh

N Trân Dạ Uyên

N Phương Anh

Hoàng Nguyên Mai Anh

Trân Lê Diệu Huy

N Tường Vy

Trân Thụy Vy

N Linh Chi

Quynh Duyén

I.1.6* Tìm điều kiện của tham số thực a để ma trận khả nghịch

|.1.7* Biện luận hang của ma trận theo tham số thực m

5 12 16 17 1 2 3 3 12 33 A=(2 5 6 6) | 25 6 đ= -| 0100

oa 6 9 17 23 3 233 D=l, 00 ol =2! 46 7|= -3| 46 1= -3| 001|=0

œ> Vậy ma trận đã cho khá nghịch khi m z ƒ6; V6-a/6,

_d) Ta có: det(D)= 8mŠ — 24m? — 56m + 168

Dé ma tran đã cho khả nghịch => det(D)zZ0

® 8m3 — 24m? — 56m + 168 # 0

> mz {V7, 3, -v7}

> Vay ma tran da cho kha nghich m¢ {V7, 3, -V7}

1.2.3 Tim nghịch đáo (nếu có) của ma trận đã cho

I.3.1 Giải và biện luận theo tham sô m (nếu có) các hệ PTTT (tông quát hay thuần nhất)

đã cho

x +2y +32 -t +2u = 7 x + 3y -227 +2t -3u = 1

a +5y -2z +t -2u = 4 b) | 2% + 7y 42 —t +2u =6

5x +12y -3z 4+2t —5u =11

4x +13y —-8z +4t -7u =m

x +3y -37 +2t —-3u =0 x +3y —-3z +2t -ầu = 3

(2% +7y —8z —3t +2u =0 a | 2x +7y 82 —3t +2u =—-2

5x +17y —19⁄ —4t +2u =0

5x +17y T192 —-4t +2u =-1 Giai

Ta thay r(A)= r(LaIBb = 3 và hệ có nghiệm theo định lý Kronecker-Capelli Từ ma trận

bậc thang ta viết hệ mới tương đương với hệ đã cho như sau:

x +2y +3Z -t +2u = 7

2S \ y —82 +3t -6u = —10

—2z +t -3u =- 4

Do đó: f(A) = 3 ( không phụ thuộc m)

(3 khim = 6

( phụ thuộc vào m) r(LAIBb =

; 4khim # 6 ``„

Theo định ly Kronecker - Capell, ta có:

( Hệ có nghiệm) © r(A) = rÌA|BÌ=3 m=6

Do đó ta có thé biện luận như dưới đây:

® Khi m-ó z0 thì m #6

> r{(A)=3# r(Lal Bh = 4 nên hệ đã cho vô nghiệm

® Khi m-6 =0 thì m =6

= r(A) = 3 = r(LA|BÌ) = 3 nên hệ đã cho có nghiệm, lại có r(A)= r[A|BÙ =3 < 5 (só

an) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 5-3=2 an tu do Thay m=6 vao bac thang cudi cung Tu ma tran nay ta viết được hệ mới tương đương với hệ đã cho:

Từ ma trận bậc thang ta có hệ mới tương đương hệ đã cho:

Cc) Lap ma tran A rồi BĐSC ta được:

Ta thay r(A) =3 <5 ( số an) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 ấn tự do Từ ma trận bậc

thang ta viết hệ mới tương đương với hệ đã cho:

Ta thay r(A)= rLaIsb = 3 và hệ có nghiệm theo định lý Kronecker-Capelli Từ ma trận

bậc thang ta viết hệ mới tương đương với hệ đã cho như sau:

a) Hay tìm điểm cân bang thị trường

b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa

b) Lượng cung và câu cân bằng của từng loại hàng là:

Qsy = Op, = —154+ 8 * 4,48 — 3,89 — 3,26 = 13,69

Ös; = 0p; = —10 — 4,48 + 12 + 3,89 — 3,26 = 28,94

Qs3 = Qp3 = —6 — 4,48 — 3,89 + 10 « 3,26 = 18,23

(Lam tròn đên chữ số thập phân thứ hai)

I.12 Xét mô hình cân bằng kinh tế vi mô với lo = 800, Go = 55, C = 50 + 0,6 (Y-T), T= 12 + 0,3Y Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng

Vay phuong trinh (IS) la 25r = 165 — 0.5Y

* Xac dinh phuong trinh (LM)

Lượng cung tiền tệ cân bằng tức là :

L =Mo «@Ằ 28Y — 400r = 8160

«&® 400r = 28Y — 8160

Vậy phương trình (LM) là: 400r = 28Y — 8160

b)_ Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình :

(15) œ 25r = 16 — 0,5Y œ (25 (0,07Y — 20.4) = 165 — 0,5Y

LM) 00+ = 28Y — 8160 r = 0.07Y — 20.4

2.25Y = 675 Y = 300

° \ = 0.07Y - 20.4 ° U = 0.6

Vậy thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng là Y=300 và r=0.8

I.14 Trong mô hình Input - Output biết ma trận hệ số đầu vào của ba ngành là

0202 0

Ta có A=l03 0.1 0,31

01 0 02

Theo giả thiết, ta có cầu cuối B= (0¡, bạ, bạ)/= (40,60,80)f Do đó, đầu ra

X= (x¡,x›:, x;)! là nghiệm của hệ phương trình

~0,2 (La) X28 eo Lt 0ã 0,9 03 IL x] = Lsol

03 0 01

a) Xác định hệ số tỷ phần gia tăng của mỗi ngành

b)Xác định đầu ra của mỗi ngành biết nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 40,

Ớ day Ila ma tran don vi cap 3

Hé Input — Output o day co dang ma tran la:

(-A)X= gel 02 0,7 oat x;Ì= Ìb,]

Trong đó: X là ma trận đâu ra, B là ma trận cau cudi

Tìm ma trận nghịch đảo của ma tran I - A, ta duoc:

(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Vậy: đầu ra của các ngành là: x = 194,2 ; xa = 228,99 ; xạ = 153,62 (đơn vị tiền)

(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

I.16 Giá sử một nèn kinh tế có ba ngành: nông nghiệp, công nghiệp và dịch vụ Biết rang

để sản xuất một đơn vị đầu ra; ngành nông nghiệp cần sử dụng 10% giá trị của ngành

mình, 30% giá trị của công nghiệp, 30% giá trị của dịch vụ, ngành công nghiệp cần sử dụng 20% giá trị của ngành mình, 60% giá trị của nông nghiệp, 10% giá trị của dịch vụ, ngành dịch vụ cần 10% giá trị của ngành mình, 60% giá trị của công nghiệp, không sử dụng giá trị của nông nghiệp

a) Lập ma trận hệ sô đầu vào cho nên kinh tế này

b) Xác định mức sản xuất đầu ra của mỗi ngành đề thỏa mãn nhu cầu cuối cùng là 10, 8, 4

Giải

15

a) Ma trận hệ số đầu vào cho nàn kinh tế này là:

Giải hệ phương trình ta được đầu ra mỗi ngành là:

= 38,15 , x,= 40,56 , x, =21,67 ( đơn vị sản xuất) (Làm tròn đến chữ sô thập

16

1 2

det(A) =| -3 2 -4|=0

5 4 1

> Hé v1, v2, v3 pttt

b) Trong không gian # có 3 véctơ

Xét ma trận B mà vụ, va, vạ lần lượt là các cột 1, 2, 3 rồi BĐSC, ta được:

c) Trong không gian R* có 3 véctơ ;

Xét ma tran C ma Vi, V2, V3 lan luot la các cột 1, 2, 3 rồi BĐSC, ta được:

Vay hé v1, v2, v3 ditt khim # 8

b) Xét ma trén B ma v1, v2, V3 lan lot la cdc cét 1, 2, 3 rồi BĐSC ta được:

Vay hé v1, Va, v3 thie nts =1

c) Xét ma trận C ma V1, V2, V3 lần lượt là các cột 1, 2, 3 rồi BĐSC ta được

Vay hé vi, V2, vedi Ant it AR

lI.3 Tìm điều kiện của tham số m đề hệ vectơ v được biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ đã

cho dưới đây

r(A)=2 (khéng phu thuộc m)

> v bttt qddthé % W243 or(A)= r([A|v]) khi m=23

Vay khi m=23 thì v được biéu thi tuyén tính qua hệ vecto v1, v2, V3

b) Xét ma trận [B|v] trong đó B tạo thành từ 3 cột lần lượt là (Vị, v, vạ) rồi BĐSC ta được:

=

r(B)=2 (không phụ thuộc m)

=> v bttt qÄ4'RỆ*#Zv#^¿› « r(B)= r([B|v])khi m=42

Vậy khi m=42 thì v được biểu thị tuyên tính qua hệ vectơ V1, V2, V3

c)_ Xét ma trận [C|v] trong đó C tạo thành từ 3 cột lần lượt là (v1, v2, vs) rồi BĐSC ta được:

Vậy khi m=46 thi v duoc biéu thị tuyến tính qua hệ vecto v1, V2, V3

1.4 Tinh >n gua, Fae hệ yecto dưới đây

a ), Va= (2, 5, 4), vạ= (6, 11,

By Ma 4, 3 2), V2= (2, 3, 5, 8), V3= (5, 6 11, 17), va= (12, 15, 27, 42)

©) vị= (1, 2, 3, 4), va= (3, 7, 9, 15), va= (6, 13, 18, 27), v= (10, 22, 30, 46)

Giải a) Từ các vectơ đã cho viết lần lượt thành cột ta được ma trận sau đây:

> (C)=2

II.5 Tìm điều kiện của tham sô m đề hệ dưới đây có hạng lớn nhất

a) wi=(1, 2, 2), ve= (3, 7, 5), v3 = (4, 9, 7), v= (13, 16, m)

b) vi=(1, 1, 2, 4), v2= (2, 3, 5, 9), va= (5, 6, 11, 21), v= (8, 10, 18, m) c) vị= (1,2, 3, 4), va= (4, 9, 9, 10), vạ = (6, 13, 15, 19), v = (11, 24, 27, m)

Giải a) Xét ma trận A mà Vị, vạ, V3, Vv lần lượt là các cột l, 2, 3, 4 rồi BĐSC ta được:

Suy ra rank( vị, va, Vạ, V) = r(A) = (2 khim = 36;

Vậy r( v1, Vo, Va, v ) = 3 là lớn nhất v4 đạt được khi và chỉ khi m # 36

b) Xét ma trận B mà vị, Va, Vạ, v lần lượt là các cột 1, 2, 3, 4 rồi BĐSC ta được:

Suy ra rank( v1, v2, va, v) = r(B) = [2khim = 34;

Vậy r( vị, V2, V3, V) = 3 là lớn nhất vá địt uất KẾT và chỉ khi m # 34

c) Xét ma trận C mà Vị, vạ, Vạ, v lần lượt là các cột l, 2, 3, 4 rồi BĐSC ta được:

Suy ra rank( vị, va, Va, v ) = r(C) = 3 với mọi m € R

Vậy r( V1, V2, V3, V) =3 là lớn nhất và đạt được với mọi m € R

|I.6 Hệ vectơ nào dưới đây là cơ sở của không gian đã chỉ ra

a) vị = (1, 2, 3), v:= (3, 1, 2), vs= (2, 3, 1) trong R3

b) vị = (1, 2, 2, 3), va= (2, 5, 6, 8), va = (3, 7, 9, 12), va = (5, 12, 15, 20) trong K4 c) v¡=(1, 2, 2,1), va=(2, 5, 5, 2), va=(5, 11, 11, 6), va=(8, 18, 18, 10) trong E4

> (A) đltt Do đó (A) là một cơ sở của RŠ

b) Ta thấy (B) gồm 4 vectơ trong E#

de(B=0 vì B` có 2 dòng giống nhau

> (B) không đltt Do đó (B) không phải là một cơ sở của E4

c) Ta thấy (C) gồm 4 vectơ trong E#

Xét ma tran C mà các cột lần lượt là v1, V2, V3, V4 ta duoc:

12 3 8

_|2 5 11 18

cal 5 1118

18 6 10

detC=0 vì € có 2 dòng giống nhau

= (C) không đltt Do đó (C) không phải là một cơ sở của E4

II.7 Tìm điều kiện của tham số m để hệ dưới đây là cơ sở của không gian đã chỉ ra a) vị =(1, 2, 3), vạ = (3, 1, 2), vạ = (2,3, m) trong 5°

c) v1 =(1, 2, 1, 2), v2 = (3, 7, 3, 7), v3 = (4, 9, 5, 8), v4 = (4, 18, 9, m) trong R4

Giai

a) Trong khéng gian R*c6 3 vécto vi, V2, V3

Xét ma tran A ma Cac vecto V1, V2, V3 la cac cột Ta được

Ma trận B là cơ sở của không gian E* khi và chỉ khi m - 23 # 0 ® m# 23

c) Trong không gian E* có 4 véctơ

Ma trận C là cơ sở của không gian E* khi và chí khim —13 # 0 <=>m # 13

II.8 Tìm tọa độ của vectơ x dưới đây đối với cơ sở (B) đã cho trong RŸ

1 3 2 xy 2 X1 + 3X; + 2X3 = 2 X1 = 1

BX=xel2 1 3] Lx] = lzÌ= lox, 4+ xX +3x3=7 © li, = -1

3 2 1 3 3 3x, + 2x +%3 = 3

x3 = 2

Vậy tọa độ của X trong (B) là (1; —1; 2)

b} Sắp 3 vectơ của (B) thành cột tạo thành ma trận B

c) Sắp 3 vectơ của (B) thành cột tạo thành ma trận B

BẢNG ĐÁNH GIÁ QUÁ TRÌNH LÀM VIỆC NHÓM

1 Tran Diễm Quỳnh |K234060724 Lam 2 bai tap, | Tích cực

việt nội dung

2 Nguyễn Trần Dạ Uyên | K234060737] Lam 2 bài tập, | Tích cực

việt nội dung

3 Nguyễn Phương Anh | K234060679 Làm 2 bài tập, Tích cực

việt nội dung

4 Nguyễn Tường Vy K234060743' Làm 2 bài tập, Tích cực

việt nội dung

5 Hoàng Nguyễn Mai | K234060678 Làm 2 bài tập, Tích cực

Anh việt nội dung

viết nội dung

việt nội dung

8 Nguyễn Linh Chi K234060682 Lam 2 bàitập, | Tích cực

việt nội dung

9 Đỗ Nguyễn Quỳnh | K234060685 Làm2 bài tập, | Tích cực

Duyên viết nội dung

10 Trần Lê Diệu Huyền | K234060697]Ì Làm 2 bài tập, | Tích cực

việt nội dung

11 Mã Bích Nhi K234060712| Tổng hợp bài làm | Tích cực

26