Tính thể tích của các khối... Tính thể tích và vẽ lại khối Ω3 • Tính thể tích khối Ω 3 Vì khối Ω3 đối xứng qua Oz nên chỉ cần tính thể tích phần trên rồi nhân cho 2... Chương 2BÀI 2 Yêu
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
PROJECT 2
GIẢI TÍCH 2 Lớp L25 - Nhóm 1
Giảng viên hướng dẫn: Cô Trần Thị Ngọc Huyền
Thành viên thực hiện:
Họ và tên MSSV
Phạm Ngọc Thư 2313396
Nguyễn Thanh Ca 2310321
Nguyễn Bùi Nhật Minh 2312079
Nguyễn Văn Hiếu 2310968
Nguyễn Đặng Trí Dũng 2310554
Ngày 1 tháng 6 năm 2024
Trang 2Mục lục
1
Trang 3Danh sách hình vẽ
1.1 Khối Ω1 3
1.2 Khối Ω2 3
1.3 Khối Ω3 4
1.4 Hình vẽ lại của khối Ω 1 6
1.5 Thể tích khối Ω 1 6
1.6 Hình vẽ lại khối Ω 2 7
1.7 Thể tích khối Ω 2 8
1.8 Hình vẽ lại khối Ω 3 9
2.1 Ví dụ về các mặt cắt 10
2.2 Khối Ω 3 11
2.3 Mô tả chia phần để tích diện tích khối Ω 3 12
2.4 Tổng diện tích các mặt cắt của khối Ω 3 13
2
Trang 4Chương 1
BÀI 1
- KhốiΩ1giới hạn bởi hai mặt cong có phương trình trong tọa độ trụz = −rcosr, 0 ≤ 3π
2 và z = −
r
9π2
4 − r 2
Hình 1.1: Khối Ω 1
- Khối Ω2 xác định bởi ρ ≤ 1 − cos(θ), 0 ≤ θ ≤ π trong tọa độ cầu
Hình 1.2: Khối Ω 2
3
Trang 5Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
- Khối Ω3 giới hạn bởi hai mặt cong x2+ y2− z
2
9 = −1 và x2+ y2− z
2
16 = 1
Hình 1.3: Khối Ω 3
Yêu cầu: Vẽ các khối trên bằng một trong ba cách: tọa độ Descartes, tọa độ trụ, hoặc toah độ cầu (chương trình, phần mềm tùy chọn) Tính thể tích của các khối
Bài làm
1 Tính thể tích và vẽ lại khối Ω1
• Giao tuyến hai mặt đáy:
z = 0
r = 3π/2
V(Ω1) =
Z Z Z
Ω 1
1dV =
Z 2π 0
dφ
Z 3π/2 0
rdr
Z −rcosr
− √
9π 2 /4−r 2
dz
=
Z 2π 0
dφ
Z 3π/2 0
(−rcosr +p9π 2 /4 − r 2 )rdr
= 2π(−2 + 9π
2
4 +
9π3
8 )
≈ 346.13233
Trang 6Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
• Đoạn code matlab vẽ lại khối Ω1 và tính thể tích khối này
% KHAI BAO BIEN
r = l i n s p a c e ( 0 , 3∗p i / 2 , 1 0 0 ) ;
t = l i n s p a c e ( 0 , 2∗p i , 1 0 0 ) ;
% TAO LUOI
[ R, T ] = m e s h g r i d ( r , t ) ;
% TINH TOAN Z CHO MOI MAT
Z1 = −R ∗ c o s (R ) ;
Z2 = −s q r t ( 9∗p i ^2/4 − R ^ 2 ) ;
% CHUYEN SANG TOA DO DESCARTES
X1 = R ∗ c o s (T ) ;
Y1 = R ∗ s i n (T ) ;
X2 = X1 ;
Y2 = Y1 ;
% VE DO THI
f i g u r e ;
s u r f ( X1 , Y1 , Z1 , ’ FaceColor ’ , ’ r ’ , ’ FaceAlpha ’ , 1 ) ;
h o l d on ;
s u r f ( X2 , Y2 , Z2 , ’ FaceColor ’ , ’ b ’ , ’ FaceAlpha ’ , 1 ) ;
x l a b e l ( ’X ’ ) ;
y l a b e l ( ’Y ’ ) ;
z l a b e l ( ’ Z ’ ) ;
t i t l e ( ’ Khoi 1 ’ ) ;
g r i d on ;
% KHAI BAO HAM SO
f = @( r , t , z ) r ;
% KHAI BAO GIOI HAN CUA R, THETA, Z
rmin = 0 ;
rmax = 3∗p i / 2 ;
tmin = 0 ;
tmax = 2∗p i ;
zmin = @( r , t ) −s q r t ( 9∗p i ^2/4 − r ^ 2 ) ;
zmax = @( r , t ) −r ∗ c o s ( r ) ;
% TINH THE TICH
V = i n t e g r a l 3 ( f , rmin , rmax , tmin , tmax , zmin , zmax ) ;
% IN KET QUA RA MAN HINH
f p r i n t f ( ’ The t i c h cua k h o i 1 l a : %.5 f ’ , V ) ;
Trang 7Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
• Kết quả
Hình 1.4: Hình vẽ lại của khối Ω 1
Hình 1.5: Thể tích khối Ω 1
2 Tính thể tích và vẽ lại khối Ω2
• Thể tích khối Ω2:
V (Ω2) =
Z Z Z
Ω 2
1dV =
Z 2π 0
dφ
Z π 0
dθ
Z 1−cosθ 0
ρ2sinθdρ
=
Z
02πdφ
Z π 0
sinθdθ.ρ
3
3 |10−cosθ
= R02πdφRπ
0
(1 − cosθ)3
3 sinθdθ
= 2π4
3 =
8π 3
≈ 8.3776
• Sử dụng phần mềm Geogebra vẽ lại vật thể Ω2
Trang 8Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
Ta có: Phương trình tham số mặt biêng của Ω2
S2:
x = (1 − cosθ)sinθcosφ
y = (1 − cosθ)sinθsinφ, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π
z = (1 − cosθ)cosθ
−→ câu lệnh cho Geogebra
a=Surface((1-cos(θ))sin(θ)cos(ϕ),(1 - cos(θ))sin(θ)sin(ϕ),(1
-cos(θ))cos(θ), θ, 0, 180, ϕ, 360)
Ta có: Phương trình tham số đường cong:
C2 :
x = 2sin(2θ)sinθ
y = 0, 0 ≤ θ ≤ π
z = 2sin(2θ)cosθ
−→ câu lệnh cho Geogebra
B = Curve(2sin(2θ).sin(θ), 0, 2sin(2θ).cos(θ), θ, 0, 180)
• Kết quả
Hình 1.6: Hình vẽ lại khối Ω 2
• câu lệnh cho Geogebra tính thể tích khối Ω2
f u n 1 = @( t h e t a , p h i )
( ( 2 ∗ s i n ( 2 ∗ t h e t a ) ) ^ 3 ) / 3 ∗ s i n ( t h e t a ) ;
f u n 2 = @( t h e t a , p h i )
( ( 1 − c o s ( t h e t a ) ) ^ 3 ) / 3 ∗ s i n ( t h e t a ) ;
volume1 = i n t e g r a l 2 ( fun1 , 0 , p i , 0 , 2 ∗ p i ) ;
volume2 = i n t e g r a l 2 ( fun2 , 0 , p i , 0 , 2 ∗ p i ) ;
Trang 9Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
volume_Omega2 = volume2 − volume1 ;
d i s p ( [ ’ t h e t i c h k h o i 2 ’ , num2str ( volume_Omega2 ) ] ) ;
• kết quả:
Hình 1.7: Thể tích khối Ω 2
3 Tính thể tích và vẽ lại khối Ω3
• Tính thể tích khối Ω 3
Vì khối Ω3 đối xứng qua Oz nên chỉ cần tính thể tích phần trên rồi nhân cho 2
Phương trình giao tuyến:
x2+ y2− z
2
9 = −1
x2+ y2− z
2
16 = 1
−→
z = 12
√ 14 7
x2+ y2 = 5
√ 7 7
Đặt
x = rcosφ
y = rsinφ
z = z
Chia khối được chọn thành 2 phần V1, V2, ta có:
V1 =
0 ≤ r ≤ 5
√ 7 7
0 ≤ φ ≤ 2π
0 ≤ z ≤ 3√r 2 + 1
V2 =
1 ≤ r ≤ 5
√ 7 7
0 ≤ φ ≤ 2π
0 ≤ z ≤ 4√r 2 − 1
V = V 1 − V 2 =
Z Z Z 3 √
1+r 2
0
1dxdydz −
Z Z Z 4 √
r 2 −1
0
1dxdydz
= R2π 0
R 5
√ 7 7
r 2 + 1drdφ −R02πR
5√7 7
r 2 − 1drdφ ≈ 20.584584
Vậy thể tích của khối Ω 3: V (Ω 3 ) = 2V = 41.17 (đơn vị thể tích)
• Sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ khối Ω3:
Mặt x2+ y2+z
2
16 = 1;
Trang 10Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
e = Surface (sqrt(((k∧(2))/(16))+1)cos(t) , sqrt(((k∧(2))/(16))+1)sin(t),
k, t, 0, 2π, k, -((12sqrt(14))/(7)), ((12sqrt(14))/(7))) Mặt x2+ y2+z
2
16 = 1:
d = Surface(sqrt(((k∧(2))/(9)) - 1)cos(t), sqrt(((k∧(2))/(9))-1)sin(t), k, t,
0, 2π, k, -((12 sqrt(14))/(7)), ((12 sqrt(14))/(7)))
• Kết quả
Hình 1.8: Hình vẽ lại khối Ω 3
Trang 11Chương 2
BÀI 2
Yêu cầu: Để tạo mô hình cho một khối trong không gian R3, ta có thể dùng các mặt cắt song song như hình sau:
Hình 2.1: Ví dụ về các mặt cắt
Gọi n là tổng số các mặt cắt dùng để tạo ra một mô hình Chọn một trong các khối Ω1, Ω2 và Ω3, tính tổng diện tích của n mặt cắt đó
10
Trang 12Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
Bài làm
1 Chọn khối Ω3
Hình 2.2: Khối Ω 3
- Giao tuyến:
x2+ y2− z
2
16 = 1
x2+ y2−z
2
9 = −1
−→
x2+ y2 = 25
7
z2 = 288
7
⇒ z ∈ [−p288/7;p288/7] = [a; b]
- Cắt Ω 3 theo n mặt phẳng ngang → Khối Ω 3 bị chia thành n + 1 đoạn
- Ta có: z = zi= a + i∆z với ∆z = b − a
n + 1 và i = 1 ⇒ n
- Chọn n = 68
=⇒ ∆z = 2
p
288/7
69 =⇒ zi = −
r
288
7 +
2p288/7
69 i với i = 1 → n
- Do −3 ≤ zi≤ 3
⇒ 18, 36 ≤ z i ≤ 50, 64
⇒ 18 ≤ zi ≤ 51
Trang 13Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
Hình 2.3: Mô tả chia phần để tích diện tích khối Ω 3
• Đoạn S2 có:
Si= π(1 + z
2 i
16)
= π[1 + 1
16(−
p
288/7) + i2
p
288/7
69 )
2 ]
⇒ S2=P51
i=18 S(i)
=P51i=18π[1 + 1
16(−
p
288/7 + i2
p
288/7
69 )
2 )]
≈ 129.025
• Đoạn S 1 có:
Si= π[1 +z
2
16 − (−1 +z
2
9 )] = π(2 −
7zi2
144) = π[2 −
7
144(−
p
288/7 + i2
p
288/7
69 )
2 ]
⇒ S1=P17
i=1 π[2 − 7
144(−
p
288/7 + i2
p
288/7
69 )
2 ]
≈ 46.306
• Đoạn S3 có:
Si= π[1 +z
2
16 − (−1 +z
2
9 )] = π(2 −
7zi2
144) = π[2 −
7
144(−
p
288/7 + i2
p
288/7
69 )
2 ]
⇒ S3=P68i=52π[2 − 7
144(−
p
288/7 + i2
p
288/7
69 )
2 ]
≈ 46.306
• Vậy S sum = S 1 + S 2 + S 3 = 221.637
2 Đoạn code matlab tính tổng diện tích các mặt cắt
Trang 14Trường Đại Học Bách khoa - ĐHQG HCM
c l e a r ; c l c ;
PI = 3 1 4 ;
n = i n p u t ( ’ Nhap s o mat c a t : ’ ) ;
a = −s q r t ( 2 8 8 / 7 ) ;
b = s q r t ( 2 8 8 / 7 ) ;
denta_z = ( b − a ) / n ;
S1 = 0 ;
S2 = 0 ;
f o r i = 1 : ( n−1)
z = a + denta_z ∗ i ;
i f z <= −3 | | z >= 3 S1 = S1 + PI ∗ ( 1 + z ^2 / 16 − (−1 + z ^2 / 9 ) ) ;
e l s e S2 = S2 + PI ∗ ( 1 + z ^2 / 1 6 ) ; end
end
S = S1 + S2 ;
f p r i n t f ( ’ Tong d i e n t i c h l a : %.4 f \n ’ , S ) ;
- kết quả khu được:
Hình 2.4: Tổng diện tích các mặt cắt của khối Ω 3
Trang 15Chương 3
Phân công công việc
Công việc Thành viên thực hiện Phần trăm hoàn thành Bài 1 - khối Ω 1 Phạm Ngọc Thư 100%
Bài 1 - khối Ω2 Nguyễn Đặng Trí Dũng 100%
Bài 1 - khối Ω3 Nguyễn Văn Hiếu 100%
Bài 2 - giải toán Phạm Ngọc Thư 100%
Nguyễn Bùi Nhật Minh 100%
Bài 2 - giải thuật Nguyễn Đặng Trí Dũng 100%
Bài 3 Nguyễn Thanh Ca 100%
Nguyễn Văn Hiếu 100%
Nguyễn Bùi Nhật Minh 100%
Nguyễn Đặng Trí Dũng 100%
Soạn báo cáo Phạm Ngọc Thư 100%
14