ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI 15 ĐỊNH LÍ GREEN, BÀI TẬP LỚN TRÊN CUNG CẤP CÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, CÁCH THỨC TÍNH TOÁN, CŨNG NHƯ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ GREEN TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 15 ĐỊNH LÍ GREEN GVHD: Đào Huy Cường Lớp: L30 Nhóm: 15 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 15 ĐỊNH LÍ GREEN GVHD: Đào Huy Cường Lớp: L30 Nhóm: 15 Danh sách thành viên: Họ tên Mai Quốc Huy Nguyễn Khoa Tân Đỗ Quốc Trí Vũ Ngọc Thuận Lý Dương Ngọc Khanh MSSV 2110201 2114726 2012277 2112394 2113690 Phân công nhiệm vụ Bài tập 3,7,9 Cơ sở lý thuyết Bài tập 14,15,17 Bài tập 20, 22, 25, viết báo cáo Bài tập 27, viết báo cáo MỤC LỤC Chương 1: MỞ ĐẦU .2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích đề tài 1.3 Nội dung đề tài Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Tích phân kép 2.2 Tích phân đường 2.2.1 Tích phân đường loại I 2.2.2 Tích phân đường loại II 2.3 Định lí Green 2.3.1 Một số khái niệm liên quan 2.3.2 Định lí Green 2.3.3 Nghiệm lại định lí Green 2.4 Ứng dụng định lí Green tính diện tích miền phẳng 2.5 Mở rộng định lí Green 2.5.1 Với miền D hợp hai miền đơn D1 D2 2.5.2 Với miền D có chứa lỗ Chương 3: ỨNG DỤNG 3.1 Các toán Bài toán Bài toán Bài toán 10 Bài toán 11 3.2 Ứng dụng tính diện tích miền phẳng tọa độ tâm 13 Bài toán 13 Bài toán 15 3.3 Ứng dụng tìm momen qn tính phẳng 16 Bài toán 16 3.4 Ứng dụng tốn tìm cơng lực 18 Bài toán 18 Bài toán 20 Bài toán 10 .20 TỔNG KẾT 21 Nội dung đạt 21 Hạn chế 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO .22 Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Giải tích mơn học quan trọng sinh viên ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật Sự phát triển nhiều ngành khoa học Vật lí học, Hóa học,… gắn liền với phát triển Tốn học nói chung Giải tích nói riêng Giải tích hàm số nhiều biến nội dung quan trọng chương trình Giải tích 2, có tính ứng dụng thực tiễn cao đời sống, kinh tế, khoa học, kĩ thuật… Một tốn thực tế vật lí tìm cơng trường lực làm vật di chuyển quỹ đạo cụ thể… lí đời tích phân đường Trong số trường hợp đặc biệt, ta xem xét quỹ đạo vật thể mà trường lực tác động khiến di chuyển đường cong kín, điều làm cho việc tính tốn tích phân đường thời gian phải chia đường cong nhiều phần đơn giản lấy tích phân, số trường hợp tìm cận tích phân đường phức tạp Để giải tốn trên, người ta có định lí đặc biệt đẻ chuyển từ tích phân đường sang tích phân kép nhằm đơn giản hóa q trình tính tốn Đó định lí Green Để hiểu rõ chất, ý nghĩa, nội dung, cách thức tính tốn ứng dụng thực tiễn lĩnh vực, nhóm phân cơng đề tài số 15: “Định lí Green” 1.2 Mục đích đề tài Đề tài nhóm làm rõ khái niệm, định nghĩa, tính chất, giới thiệu trường hợp, phương pháp chung để tính tích phân đường định lí Green Từ giới thiệu giải số tốn thực tế mà sử dụng định lí Green nhằm tính tốn tích phân đường 1.3 Nội dung đề tài Bài báo cáo chia làm hai phần chính: - Phần lý thuyết - sở lý thuyết: định nghĩa, tính chất; cơng thức tính tốn; - Phần tập tính tốn - ứng dụng thực tế Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Tích phân kép Cho hàm số � = (�, �) ≥ 0, ∀(�, �) ∈ � Định nghĩa: Tích phân kép hàm số � = (�, �) miền D là: � � �, � ���� = � � �, � �� = lim �,�→∞ � � �=1 �=1 �(�∗��, �∗�� )∆�∆� Nếu giới hạn tồn Lúc � = (�, �) gọi hàm khả tích D Tính chất tích phân kép: Nếu D=D1+D2 f(x,y) khả tích D Nếu f(x,y) khả tích D � � �, � �� = �1 � �, � �� + �2 � �, � �� � Nếu f (x,y) | f (x,y) | khả tích D � � �, � �� = � = |� �, � |�� �� = � 2.2 Tích phân đường � � � �, � �� Nếu f (x,y) g(x,y) khả tích D f (x,y) ≤ g(x,y), ∀(�, �) ∈ � (� �, � ± � �, � )�� � �, � �� ± � � �, � �� Nếu D miền đóng, bị chặn thì: Nếu f (x,y) g(x,y) khả tích D � (�� �, � )�� = � � �, � �� � � �, � �� ≤ � � �, � �� 2.2.1 Tích phân đường loại I Định nghĩa: Nếu � = (�, �) hàm số xác định đường cong trơn tích phân đường loại I f dọc theo C là: �� �(�, �)�ℓ = lim �→0 � �=1 �(�� , �� )∆ℓ� Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I khơng phụ thuộc hướng đường cong C: �� �(�, �)�ℓ = �� �(�, �)�ℓ Tính chất tích phân đường loại I: � � � �� �� �� 1�ℓ = � ��(�, �)�ℓ = � �� �(�, �)�ℓ [�(�, �) + �(�, �)]�ℓ = � Nếu C = C1 + C2 �� �� �(�, �)�ℓ + �� �(�, �)�ℓ [�(�, �) + �(�, �)]�ℓ = 2.2.2 Tích phân đường loại II �� �(�, �)�ℓ + �� �(�, �)�ℓ Định nghĩa: Nếu �(�, �) = (�(�, �), �(�, �)) hàm vector xác định đường Khi tích phân đường loại II � dọc theo cong trơn �� �(�, �)�� + �(�, �)�� = �� �(�, �)�� + �� là: �(�, �)�� Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại II phụ thuộc hướng lấy tích phân cung : 2.3 Định lí Green �� �(�, �)�� + �(�, �)�� = − �� �(�, �)�� + �(�, �)�� 2.3.1 Một số khái niệm liên quan a) Đường cong đơn Đường cong �(�), � ≤ � ≤ � gọi đơn, khơng tự cắt hai đầu mút, tức là: � < �� < �� < � ⟹ �(��) ≠ �(�� ) b) Đường cong kín Đường cong �(�), � ≤ � ≤ � gọi kín điểm đầu điểm cuối trùng nhau, tức là: �(�) = �(�) HÌNH 2.1 Các dạng đường cong mặt phẳng Nguồn: Giáo trình Giải tích c) Đường cong trơn khúc Đường cong C xác định � = �(�) � = �(�) � ∈ [�, �] gọi trơn khúc C chia thành nhiều đoạn nhỏ đoạn nhỏ �'(�) �'(�) hàm liên tục d) Chiều dương đường cong đơn, kín Cho đường cong phẳng đơn, kín C gọi D miền phẳng giới hạn C Ta quy ước chiều dương đường cong phẳng đơn kín C chiều mà ta theo chiều ta thấy miền D ln nằm bên tay trái Chiều ngược lại gọi chiều âm (a) Đường cong C với chiều dương (b) Đường cong C với chiều âm HÌNH 2.2 Chiều dương, chiều âm đường cong đơn, kín Nguồn: Jame Stewwart Calculus E.7 tr.1084 2.3.2 Định lí Green Định lý Green đưa mối quan hệ tích phân đường đường cong đơn, kín C tích phân kép miền phẳng D giới hạn C Định lí: Cho C đường cong phẳng đơn kín trơn khúc D miền phẳng giới hạn C Nếu P Q có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa D, thì: � ��� + ��� =± � �� �� − ���� �� �� Chú ý 1: Tích phân lấy dấu (+) chiều C chiều dương, lấy dấu (−) chiều C chiều âm Chú ý 2: Vế trái công thức viết thành � � ��, F=Pi+Qj Với r vector vị trí vật, r(t) hàm theo biến t có thẻ viết thành: � �(�(�)) �'(�) �� Chú ý 3: So sánh với định lí Giải tích hàm biến � � �'(�)�� = �(�) − �(�) ta thấy có tương tự với định lý Green, hai cơng thức có hàm dấu tích phân vế trái đạo hàm, hàm dấu tích phân vế phải nguyên hàm tương ứng miền lấy tích phân �� �� − ���� = �� �� � ��ê� � ��� + ��� 2.3.3 Nghiệm lại định lí Green, trường hợp D miền đơn Để ý định lí Green chứng minh cho thấy được: � �(�, �)�� =− � �(�, �)�� = � � �� ���� �� �� ���� �� HÌNH 2.3 Mơ tả miền D sau: � = (�, �)|� ≤ � ≤ �, �� (�) ≤ � ≤ �� (�) Khi đó: � �� ���� = �� � � �2 (�) �1 (�) �� (�, �)���� = �� Từ hình 2.3, dễ dàng nhận thấy: �2 �(�, �)�� = �4 �(�, �)�� = � � [�(�, �2 (�)) − �(�, �1 (�))]�� → �1 � � �(�, �)�� = �(�, �)�� = = � � � �1 �(�, �1 (�))�� �(�, �)�� + �(�, �1 (�))�� − � � �3 �3 �(�, �)�� =− �(�, �)�� + �2 �(�, �2 (�))�� =− Tương tự, chứng minh được: � �(�, �)�� = � � � � �(�, �2 (�))�� �(�, �)�� + �� ���� �� �4 �(�, �)�� �� ���� �� 2.4 Ứng dụng định lí Green tính diện tích miền phẳng Một ứng dụng phổ biến định lí Green tính diện tích miền phẳng D: � = �� = � ���� = 2.5 Mở rộng định lí Green � ��� =− � ��� = � ��� − ��� 2.5.1 Với miền D hợp hai miền đơn D1 D2 Giả sử miền D cho hình 2.4, viết D = D1 ∪D2, với D1 D2 hai miền đơn, biên D1 C1 ∪ C3 D2 C2 ∪ (-C3) Định lí Green áp dụng cho trường hợp là: �1 ∪�2 � �� + � �� = � 2.5.2 Với miền D có chứa lỗ �� �� − ���� �� �� HÌNH 2.4 Giả sử miền D cho hình 2.5, giới hạn hai đường cong đơn, kín C1 C2 C1 có chiều ngược chiều kim đồng hồ, C2 có chiều chiều kim đồng hồ Định lí Green áp dụng cho trường hợp là: �1 � �� + � �� + �2 � �� + � �� = � �� �� − �� �� �� HÌNH 2.5 Chương 3: ỨNG DỤNG 4.1 Các toán Bài toán 1: (Trích câu trang 1089 James Stewart E7) Tính tích phân đường hai cách: trực tiếp định lí Green đỉnh (0,0), (1,0) (1,2) � �� �� + �2 �3 �� với C tam giác có GIẢI Đặt: � = � �� �� + �2 �3 �� Tính tích phân đường trực tiếp: Chọn chiều đường cong C chia tam giác C thành đường thẳng phân biệt hình 3.1 có phương trình sau: C1: y = (x: → 1) ⇒dy = 0dx C2: x = (y: → 2) ⇒dx = 0dy C3: y = 2x (x: → 0) ⇒dy = 2dx Tích phân I viết lại sau: �= �1 ���� + �2 �3 �� + = �1 + �2 + �3 �2 ���� + �2 �3�� + �3 ���� + �2 �3 �� HÌNH 3.1 Tính tích phân: �1 = �2 = �3 = �1 �2 �3 �� �� + �2 �3 �� = �� �� + �2 �3 �� = �� �� + �2 �3 �� = 0 � �� + �2 03 0�� = � 0�� + 12 �3 �� = �3 �� = � 2��� + �2 (2�)3 2�� = 10 Vậy � = �1 + �2 + �3 = + − = 3 Tính tích phân đường định lí Green: (2�2 + 16�5 )�� =− 10 �� �� = � � = �2 �3 → = 2��3 �� �� Dựa vào hình 3.1, ta xác định miền � = Đặt � = �� → �, � : ≤ � ≤ 1, ≤ � ≤ 2� , đồng thời chiều C ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân chiều dương Theo định lí Green: � ���� + �2 �3 �� = = � 2��3 − � ���� = � �4 − � = �6 − �3 3 �=2� �=0 = �� = 2 − = 3 �� 2� (2��3 − �)�� � 8�4 − 2� �� = 8�5 − 2�2 �� Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Wolfram Tính tích phân trực tiếp: HÌNH 3.2 Kiểm chứng kết cách tính tích phân đường loại trực tiếp Tính tích phân định lí Green: HÌNH 3.3 Kiểm chứng kết cách dùng định lí Green Nhận xét: Sử dụng định lí Green giúp tính tích phân đường loại C đường cong kín nhanh so với việc phải tách thành nhiều tích phân nhỏ tính trực tiếp Bài tốn 2: (Trích câu trang 1090 James Stewart E7) Dùng định lí Green để tính tích phân đường (lấy chiều tích phân chiều dương): � �+e � �� + 2� + ��� �2 �� với C đường cong giới hạn hai parabol � = �2 � = �2 Đặt � = � + e � GIẢI �� �� → = � = 2� + ��� �2 → =2 �� �� Dựa vào hình 3.4, ta xác định miền �, � : ≤ � ≤ 1, �2 ≤ � ≤ � , đồng �= thời chiều C ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân chiều dương Theo định lí Green: � � �� + � �� = Suy ra: � �+e � �� �� − ���� �� �� � �� + 2� + cos � �� = HÌNH 3.4 − ���� = � Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Matlab - Khai báo biến, P(x,y) Q(x,y) = 1 �� � �2 �� � − �2 d� = I = 1/3 syms x; syms y; P = y+exp(sqrt(x)) Q = 2*x+cos(y^2) HÌNH 3.5 Kết tính tốn Matlab - Tính tích phân đường loại Green: func = diff(Q,x)-diff(P,y) I = int(int(func, x^2, sqrt(x)), 0, 1) Bài tốn 3: (Trích câu trang 1090 James Stewart E7) Dùng định lí Green để tính tích phân đường (lấy chiều tích phân chiều dương): � �3 �� − �3 �� với C đường tròn �2 + �2 = GIẢI Đặt � = �3 → �� �� = 3�2 � =− �3 → =− 3�2 �� �� Chiều C ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân chiều dương Theo định lí �����: → � �3 �� + �3 �� = � � �� + � �� = � � �� �� − ���� �� �� −3�2 − 3�2 ���� 10 Chuyển tích phân kép sang tọa độ cực � = � cos � Đặt: � = � sin � Miền D xác định sau: D = { �, : ≤ � ≤ 2, ≤ � < 2�} Vậy ta có: � �3 �� + �3 �� = =− =− � � � −3�2 − 3�2 ���� �2 + �2 ���� =− � � ���� =− 2� � � HÌNH 3.6 Đường trịn �2 + �2 = 4vẽ Geogebra (� cos � )2 + (� sin � )2 |J| ���� � ���� =− 2� �� 16 �� =− ��� Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Matlab =− 3 � �� =− 2� �4 �� Thay chuyển sang tọa độ cầu, ta xác định miền D tọa độ Decarst sau: �= �, � : − ≤ � ≤ 2, − − �2 ≤ � ≤ - Khai báo biến, P(x,y) Q(x,y) − �2 I = -24*pi syms x; syms y; P = y^3 Q = -x^3 HÌNH 3.7 Kết tính tốn Matlab - Tính tích phân đường loại Green: func = diff(Q,x)-diff(P,y) I1 = int(func,y ,-sqrt(4-x^2) ,sqrt(4-x^2)) I = int(I1,x,-2 ,2) Bài tốn 4: (Trích câu 15 trang 1090 James Stewart) Nghiệm lại định lí Green cách tính tích phân đường tích phân kép Khi biết P(x, y) = y2ex Q(x,y) = x2ey, với C bao gồm đường thẳng từ (-1,1) đến (1,1) tiếp đo đường cong parabol � = − �2 từ (1,1) trở (-1,1) GIẢI 11 Đặt: � = � �2 �� �� + �2 �� �� Tính tích phân đường trực tiếp: Chia đường cong C thành đường cong phân biệt hình 3.9: C1: y = (x: -1 → 1) ⇒dy = 0dx C2: � = − �2 (x: → -1) ⇒dy = -2xdx Tích phân I viết lại sau: �= �1 �2 �� �� + �2 �� �� + Tính tích phân: �1 = �2 = �1 �2 � �2 HÌNH 3.8 �2 �� �� + �2 �� �� = �1 + �2 � � � �� + � � �� = −1 �2 �� �� + �2 �� �� = −1 � 1 � �� + � � 0�� = −1 �� �� = � − (2 − �2 )2 �� �� + �2 �2−� ( − 2�)�� = 49 48 + − 9� = − 8� � � � Tính tích phân đường định lí Green (tính tích phân kép): Vậy � = �1 + �2 = � − � 49 − 9� � �� �� = 2�� � � = �2 �� → = 2�� � �� �� Dựa vào hình 3.1, xác định miền � = �, � : − ≤ � ≤ 1, ≤ � ≤ − �2 , Ta có � = �2 �� → đồng thời chiều C ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân chiều dương Theo định lí Green: �= = � −1 �� �� − ���� = �� �� � � � 2� � − 2� � ���� = (2��2−� − �� (2 − �2 )2 )�� = 48 − 8� � −1 �� 2−�2 2�� � − 2�� � �� Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Wolfram Tính tích phân trực tiếp: HÌNH 3.9 Kiểm chứng kết cách tính tích phân đường loại trực tiếp Tính tích phân định lí Green: 12 HÌNH 3.10 Kiểm chứng kết cách dùng định lí Green 4.2 Ứng dụng tính diện tích hình phẳng, tọa độ tâm hình phẳng Bài tốn 5: (Trích câu 20 trang 1090 James Stewart) Cho đường trịn C với bán kính 1, lăn dọc theo bên ngồi đường trịn �2 + �2 = 16, điểm cố định P C vạch đường cong gọi epicycloid, với phương trình tham số � = ��� � − ��� 5�, � = ��� � − ��� 5� Vẽ đồ thị epicycloid sử dụng định lí Green để tìm diện tích mà giới hạn GIẢI Vẽ đồ thị epicycloid: Từ hai phương trình tham số x(t) y(t), dễ dàng vẽ đường cong epicycloid tọa độ Descart cách thay giá trị t đoạn [0,2 � ] vào hai phương trình Sử dụng hàm Curve( ) để vẽ đồ thị từ phương trình tham số Geogebra: HÌNH 3.11 Đồ thị epicycloid dùng Geogebra Tính diện tích giới hạn epicycloid: Từ hai phương trình tham số, tính vi phân x y theo t (0 ≤ � ≤ 2�) � = ��� � − ��� 5� → �� = �'(�)�� = (5 ��� � − ��� 5�)'� �� = (5 ��� 5� − ��� �)�� � = ��� � − ��� 5� → �� = �'(�)�� = (5 ��� � − ��� 5�)'� �� = (5 ��� � − ��� 5�)�� Gọi D miền đóng có biên đường cong C epicycloid Dễ thấy C đường đơn giản, khép kín, trơn khúc Chọn chiều đường cong C ngược chiều kim đồng hồ, miền D nằm bên trái đường cong C, chiều lấy tích phân chiều dương Sử dụng cơng thức thứ ba để tính diện tích miền D bao epicycloid định lí Green: 13 HÌNH 3.12 �= � = = = ���� = 2� 2� 2� ��� − ��� = � 2� �(�) �'(�) − �(�) �'(�) �� (5���� − ���5�)(5���5� − 5����) − (5���� − ���5�)(5���5� − ���5�) �� (30 − 30���� ���5� − 30���� ���5�)�� 30�� + 2� −15[���( − 4�) − ���6�]�� − 15[���( − 4�) + ���6�]�� −15���6� 2� = 30� + = 30� Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Matlab Khai báo phương trình tham số: syms t x = 5*cos(t)- cos(5*t) y = 5*sin(t)- sin(5*t) Tính đạo hàm x y theo tham số t: xt = diff (x, 1) yt = diff (y, 1) Tính diện tích A định lí Green: xt = 5*sin(5*t) - 5*sin(t) yt = 5*cos(t) - 5*cos(5*t) func = (5*cos(5*t)-5*cos(t))*(cos(5*t)-5*cos(t)) +(5*sin(5*t)-5*sin(t))*(sin(5*t)-5*sin(t)) A = 30*pi HÌNH 3.13 Kết giải tốn Matlab func = x*yt-y*xt A = 1/2* int(func, 0, 2*pi) Chúng ta tính diện tích A func1 = (5*cos(5*t)-5*cos(t))*(cos(5*t)-5*cos(t)) func2 = (5*sin(5*t)-5*sin(t))*(sin(5*t)-5*sin(t)) A1 = 30*pi A2 = 30*pi theo hai cơng thức cịn lại: func1 = x*yt func2 = -y*xt A1 = int(func1, 0, 2*pi) A2 = int(func2, 0, 2*pi) HÌNH 3.14 Kết giải tốn Matlab Tổng qt: Với tốn tính diện tích giới hạn epicycloid tạo thành cho: cho đường trịn bán kính a, lăn dọc bên ngồi đường trịn cố định bán kính b Diện tích giới hạn epicycloid chúng minh [3]: � = �(� + �)(�� + �) HÌNH 3.16 Minh họa cách tạo epicycloid tổng quát Nguồn: thực Zoltán Kovács http://www.geogebra.org/m/hCfGm5UW [3] Nguồn: xem mục Tài liệu tham khảo 14 Bài tốn 6: (Trích câu 22 trang 1090 James Stewart) Cho D miền giới hạn đường cong đơn giản, khép kín, trơn khúc C mặt phẳng Oxy Sử dụng định lí Green chứng minh tọa độ tâm (�,�) miền D là: �= 2� � �2 �� � =− Trong A diện tích miền D GIẢI 2� � �2 �� Trọng tâm phẳng: Tọa độ trọng tâm (� ,� ) phẳng chiếm miền D có mật độ khối lượng �(x, y) [2] �= � � � �(�, �) �� �= Trong khối lượng m �= � � � �(�, �) �� � (∗) �(�, �) �� Giống với trọng tâm phẳng mật độ � số ta công thức tính tâm: (m = ��) �= �� � � � �� = � � � �� �= �� � � �� = � � � � �� Chứng minh: Để chứng minh momen quán tính tính cơng thức (*), ta cần chứng minh hai tích phân đường loại đưa tích phân kép Chọn chiều đường biên C phẳng ngược chiều kim đồng hồ, chiều lấy dấu tích phân chiều dương Áp dụng định lí Green: Tọa độ � với �= 2� � � �� = 2� Tọa độ � với � � � =− 2� � � �� (đ���) �(�, �) = � �(�, �) = �(�2 ) �(0) − �� = �� �� 2� �(�, �) =− �2 �� =− 2� � 2� � �(0) �� − �(�2 ) �� � � 2� 2��� = �(�, �) = �� =− 2� � � � −2��� = [2] Công thức chứng minh, nguồn chứng minh xem mục Tài liệu tham khảo 15 � �� (đ���) Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Matlab chuyển từ tích phân đường loại hai sang tích phân kép + Chứng minh công thức tọa độ � Ham duoi dau tich phan kep la: I = x/A - Khai báo biến, P(x,y) Q(x,y) syms x; syms y; syms A P = Q = 1/(2*A)*x^2 HÌNH 3.17 Hàm dấu tích phân kép sau áp dụng định lí - Tính tích phân đường loại Green: disp ("Hàm dấu tích phân kép là:") I = diff(Q,x)-diff(P,y) Green Ham duoi dau tich pha kep la: + Chứng minh cơng thức momen qn tính I = y/A trục Oy: HÌNH 3.18 Hàm dấu tích P = -1/(2*A)*y^2 Q = disp ("Hàm dấu tích phân kép là:") I = diff(Q,x)-diff(P,y) phân kép sau áp dụng định lí Green 3.3 Ứng dụng tìm momen qn tính phẳng Bài tốn 7: (Trích câu 25 trang 1090 James Stewart) Một phẳng có mật độ khối lượng số �(x, y) = � chiếm vùng mặt phẳng Oxy giới hạn đường cong đơn giản, khép kín C Chứng minh mơmen qn tính trục tọa độ là: �� =− � � �3 �� GIẢI �� = � � �3 �� Momen quán tính: Một phẳng với mật độ khối lượng �(x, y) chiếm miền D Momen quán tính phẳng trục Ox Oy tính tích phân kép miền D sau [2] �� = Với �� = ���� Chứng minh: � �2 �(�, �)�� �� = � �2 �(�, �)�� Do mật độ khối lượng số �(x, y) = � nên: �� = � �2 ��� �� = � �2 ��� [2] Công thức chứng minh, nguồn chứng minh xem mục Tài liệu tham khảo 16 Để chứng minh momen quán tính tính cơng thức (*), ta cần chứng minh hai tích phân đường loại đưa tích phân kép Chọn chiều đường biên C phẳng ngược chiều kim đồng hồ, chiều lấy dấu tích phân chiều dương Áp dụng định lí Green: Mơmen qn tính trục x với � �(�, �) =− �3 �� =− � � �3 �� =− � � �(�, �) = �(0) �(�3 ) � − �� =− �� �� = Mơmen qn tính trục y với � �� = � � � �� = 3 �(�, �) = � � � � �(�, �) = �(�3 ) �(0) � − �� = �� �� = � −3�2 �� 3�2 �� = � � 3�2 �� � � � ��2 �� (đ���) 3�2 �� = � ��2 �� (đ���) Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Matlab chuyển từ tích phân đường loại hai sang tích phân kép + Chứng minh cơng thức momen qn tính Ham duoi dau tich phan kep la: I = p*y^2 trục Ox: - Khai báo biến, P(x,y) Q(x,y) HÌNH 3.19 Hàm dấu tích syms x; syms y; syms p P = -p/3*y^3 Q = phân kép sau áp dụng định lí Green - Tính tích phân đường loại Green: disp ("Hàm dấu tích phân kép là:") I = diff(Q,x)-diff(P,y) Ham duoi dau tich pha kep la: + Chứng minh công thức momen quán tính I = p*x^2 trục Oy: P = Q = p/3*x^3 disp ("Hàm dấu tích phân kép là:") I = diff(Q,x)-diff(P,y) 17 HÌNH 3.20 Hàm dấu tích phân kép sau áp dụng định lí Green 3.4 Ứng dụng tốn tìm cơng lực Bài tốn 8: (Trích câu 14 trang 1090 James Stewart) Sử dụng định lí Green để tính � � �� với F (x,y) = ( �2 + 1, tan−1 �), C tam giác từ (0,0) đến (1,1) đến (0,1) trở (0,0) GIẢI Đặt P = �2 + Q = tan−1 � Đường cong kín C tam giác, chiều C ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân chiều dương Phương trình đường thẳng qua điểm (0,0) (1,1) là: y = x Dựa vào đồ thị, ta xác định miền D HÌNH 3.21 D: {(x,y) | ≤ � ≤ 1, � ≤ � ≤ 1} Theo định lí Green: � � �� = = � �� + � �� = � � � �� �� − ���� = �� �� � ���−1 � �( �2 + 1) − ���� = �� �� � �� � ���−1 � �( �2 + 1) − ���� �� �� ln + �2 � −1 = �� = ��� � − 2− + �2 1+� Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Wolfram � ( 1 − 0) �� + �2 = � ln − HÌNH 3.22 Kiểm chứng kết Wolfram Nhận xét: Nếu xem F (x,y) = ( �2 + 1, tan−1 �) lực có hai thành phần biến đổi theo tọa độ, cơng lực sinh di chuyển vật dọc theo tam giác theo chiều chọn công dương có độ lớn tính tốn Bài tốn ví dụ điển hình ứng dụng tích phân đường loại hai vật lí- kĩ thuật 18 Bài tốn 9: (Trích câu 17 trang 1090 James Stewart) Sử dụng định lí Green để tìm cơng thực lực F(x,y) = x(x+y) i + xy2 j, từ gốc tọa độ dọc theo trục Ox đến (1,0), sau dọc theo đường thẳng đến điểm (0,1), cuối dọc theo trục Oy trở gốc tọa độ GIẢI �� �� = � � = ��2 → = �2 �� �� Đường cong kín C tam giác, chiều C Đặt � = �(� + �) → ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân chiều dương Phương trình đường thẳng qua điểm (1,0) (0,1) là: y = − x Dựa vào đồ thị, ta xác định miền D D: {(x,y) | ≤ � ≤ 1, ≤ � ≤ − �} Theo định lí Green, cơng thực lực F: W= = � � �� = �� � 1−� � �� + � �� = (�2 − �) �� = � �� �� − ���� = �� �� �� � − �� 1−� HÌNH 3.23 � �2 − � ���� −1 − �3 + 6�2 − 6� + �� = = 12 Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Wolfram HÌNH 3.23 Kiểm chứng kết Wolfram Bài tốn 10: (Trích câu 25 trang 1090 James Stewart) Tính tích phân 2�� � + (�2 − �2 ) � �(�, �) = (x2 + y2 )2 � � �� đó: Với C dường cong đơn, kín có chiều dương bao quanh gốc tọa độ GIẢI 2�� �� 2�(�2 − 3�2 ) �2 − �2 �� 2�(�2 − 3�2 ) Đặt � = → = � = → = (x + y2 )2 �� (x2 + y2 )3 (x + y2 )3 �� (x2 + y2 )3 19 Gọi C’ đường trịn có hướng ngược chiều kim đồng hồ với tâm gốc tọa độ bán kính a Trong a đủ nhỏ để C’ nằm bên C Gọi D miền giới hạn C C’ Biên có chiều dương miền D C ∪ (-C’) Theo cơng thức mở rộng định lí Green với miền D có lỗ: � → ��� + ��� + � −�' ��� + ��� = = ��� + ��� =− −�' � � ��� + ��� HÌNH 3.24 �� �� − ���� �� �� 2�(�2 − 3�2 ) 2�(�2 − 3�2 ) − ���� = (x2 + y2 )3 (x2 + y2 )3 Do C’ đường trịn kín nên dặt x=a cos t ; y = a sin t r(t) = a cos t i +a sin t j Ta lại có: �' ��� + ��� =− =− = 2� 2� −�' ��� + ��� =− 2� �(�(�)) �'(�)�� �cos � �sin � ( − �sin �) + (�2 sin2 � − �2 cos2 �)(�cos t) �� (�2 cos2 � + �2 sin2 �)2 �3 cos3 � + �3 sin2 � cos � �� = (�2 cos2 � + �2 sin2 �)2 2� Kiểm chứng phần mềm: Kiểm chứng Wolfram cos � �� = � HÌNH 3.25 Kiểm tra kết tính � �� �� − �� �� ���� HÌNH 3.25 Kiểm tra kết tính 20 �' ��� + ��� TỔNG KẾT Nội dung đạt Đề tài nêu lên khái niệm, định nghĩa, tính chất, cơng thức liên quan đến định lí Green Cũng giới thiệu ý nghĩa quan trọng định lí này, tính tích phân đường cách đưa tích phân kép miền D bao đường cong đơn, kín trơn khúc C, đơn giản hóa q trình tính tốn thay phải tách thành nhiều tích phân đơn giản tính tốn trực tiếp Đồng thời giới thiệu số phần mềm, cơng cụ tính tốn Matlab, Wolfram, giúp kiểm tra tính xác kết quả, giảm thời gian tính tốn, hỗ trợ tính tốn tích phân phức tạp kiểm chứng lại định lí Green Bên cạnh cịn giới thiệu số tốn ứng dụng thực tiễn định lí Green thực tế mà tích phân đường tích phân kép làm như: tính cơng lực, tìm khối tâm, momen quán tính, diện tích phẳng, từ giúp có kinh nghiệm giải tốn tương xử lí tình thực tế sau Hạn chế Do hạn chế thời gian kiến thức chuyên môn, đề tài nhóm chưa thực sâu vào phân tích tính chất chưa thực chứng minh cách đầy đủ định lí Green Các phần mềm kiểm tra kết toán chưa thực phong phú, đa dạng,… việc kiểm tra phần mềm thông qua vệc kiểm tra kết cuối chưa kiểm tra tính đắn q trình biens dổi trung gian Có thể phát sinh số lỗi nhỏ việc dùng kí hiệu, cơng thức tốn học bố cục trình bày báo cáo Một số tốn giải chưa có sáng tạo, độc đáo,… Những hạn chế báo cáo nhóm nghiêm túc rút kinh nghiệm kinh nghiệm báu sau đề tài khác… 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Xuân Đại (Chủ biên), Giáo trình Giải tích 2, Chương 7: Tích phân đường, tr.140-168 [2] James Stewart, Calculus Early Transcendentals Sixth Edition, Thomson Brooks/Cole, 2008, tr.1084_1092 [3] Wolfram Alphawiki: Cách tính diện tích epicycloid tổng quát Truy cập: https://www.wolframalpha.com [4] Zoltán Kovács, Minh họa cách tạo epicycloid phần mềm Geogebra Truy cập: http://www.geogebra.org/m/hCfGm5UW [5] Gradesaver Giải thích tốn Calculus James Stewarrt Truy cập: https://www.gradesaver.com [6] Wikipedia Truy cập: http://wikipedia.org 22 ... = 2? ?? 2? ?? −�' ��� + ��� =− 2? ?? �(�(�)) �'(�)�� �cos � �sin � ( − �sin �) + (? ?2 sin2 � − ? ?2 cos2 �)(�cos t) �� (? ?2 cos2 � + ? ?2 sin2 � )2 �3 cos3 � + �3 sin2 � cos � �� = (? ?2 cos2 � + ? ?2 sin2 � )2 2�... (x2 + y2 )2 � � �� đó: Với C dường cong đơn, kín có chiều dương bao quanh gốc tọa độ GIẢI 2? ??� �� 2? ??(? ?2 − 3? ?2 ) ? ?2 − ? ?2 �� 2? ??(? ?2 − 3? ?2 ) Đặt � = → = � = → = (x + y2 )2 �� (x2 + y2 )3 (x + y2 )3... 2. 2.1 Tích phân đường loại I 2. 2 .2 Tích phân đường loại II 2. 3 Định lí Green 2. 3.1 Một số khái niệm liên quan 2. 3 .2 Định lí Green 2. 3.3