Phần 2: Một số ứng dụng của ma trận và hệ phươngtrình tuyến tính.ĐỖ HOÀI NAM1... Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính lên các bài toán kinh tế...23... Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
──────── * ───────
BÀI PHẢN BIỆN NHÓM 4 (CHẤM NHÓM 3)
HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001
CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG Phần 1: Một số bài tập về hệ phương trình tuyến tính và ma
trận.
Phần 2: Một số ứng dụng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính.
ĐỖ HOÀI NAM
1
Trang 2Hà Nam,tháng 4 năm 2023
MỤC LỤC
NỘI DUNG 3
Phần 1 : Giải các bài tập sau 3
Bài 1: 3
Bài 2: 3
Bài 3: 4
Bài 4: 4
Bài 5: 6
Bài 6: 7
Bài 7 9
Bài 8: 10
Bài 9 12
Bài 10 12
Bài 11 13
Bài 12 14
Bài 13 15
Bài 14 16
Bài 15 17
Bài 16 18
Phần 2 Tìm hiểu một số ứng dụng theo chủ đề ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 19
1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 19
2 Ứng dụng của định thức: 21
3 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính lên các bài toán kinh tế 23
Trang 34 Kết luận về ứng dụng của Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính: 25
Bản chính làm sai mục lục (nhóm phản biện đã sửa)
NỘI DUNG
Phần 1 : Giải các bài tập sau.
Bài 1:Tính , biết: ;
Giải:
Ta có:
⟹
⟹
Vậy
Bài 2: Cho ma trận sau Tính
Giải:
Ta có:
=
………
Từ đó ta nhận thấy rằng:
3
Trang 4
Lỗi: không dùng dấu x vì dễ nhầm với ẩn x
Bài 3: Tìm ma trận biết , trong đó:
Giải:
Ta có:
Vậy
Bài 4: Tìm ma trận thỏa mãn
Tương tự :
Trang 5
Lỗi: Sai chỗ tìm
Sửa:=
Vậy X=
Bài 5: Cho ma trận Tìm ma trận thỏa mãn
Giải:
Ta có:
tồn tại ma trận nghịch đảo
Hơn nữa:
Ta có:
Vậy
Lỗi :Chỗ suy ra X viết sai thứ tự ma trận Sửa :
5
Trang 6Bài 6: Tìm ma trận biết ,trong đó:
Giải:
Ta có: 0 nên tồn tại
Nhân vào 2 vế ta được:
Ta có:
(1)
Áp dụng công thức:
Tương tự có: ; ; ; ; ;
(2)
Từ (1) và (2):
Vậy:
Trang 7Lỗi:sai từ bước tính và thiếu ngoặc của bước tính X= (I+2B).A Sửa:
X= (I+2B).A = -1
= =
Bài 7 Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo
Giải:
Để ma trận khả đảo thì phải tồn tại ma trận nghịch đảo của là
Mà nên
Triển khai định thức theo dòng 2 ta được:
+++
Vậy thì ma trận A khả đảo.
Lỗi: trong khi tính Det(A) bên trong lại có dấu của ma trận Sửa: +++
7
Trang 8Bài 8: Tính các định thức sau:
Giải:
(nhân dòng 1 với rồi cộng vào dòng 3)
Triển khai định thức theo cột 1 ta được :
b) D =
Triển khai định thức theo dòng 1 ta được :
Vậy
Tất cả các dấu định thức đều sai từ đầu : đề bài yêu cầu tính định thức mà trên bài làm đều để ở dạng ma trận
Sửa lại tất cả bài (sửa lại cả đề)
Giải:
Trang 9
Triển khai định thức theo cột 1 ta được :
D = 1 =1 = -81
b) D =
Triển khai định thức theo dòng 1 ta được :
D= x.+ y + z
=x + y + z
= x.(-1).) + y + z.(-1)
=
Bài 9: Sử dụng tính chất của định thức, chứng minh rằng định thức sau bằng 0:
Giải:
- Ta nhận thấy:
+ dòng 3 là tổ hợp tuyến tính của dòng 1 và dòng 2:
:
⟹ = 0
Vì thỏa mãn điều kiện có 1 dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại Bài 10: Giải phương trình:
Đặt A= , ta có:
hoặc
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là hoặc
Lỗi:+ đặt A là định thức xong lại đi tính det(A)
9
Trang 10+ phải là x -5x + 6 = 0
Bài 11 Tính định thức cấp n của ma trận:
Giải:
(Do ma trận trở thành ma trận tam giác trên)
Bài 12: Tính hạng của các ma trận sau:
a) b)
Giải:
a)
Vậy hạng của ma trận A là 3
Lỗi: : tại vị trí A = 5.2 - (-3)=13 23
Sửa:
b)
Trang 11Vậy hạng của ma trận A là 4.
Bài 13: Tính hạng của các ma trận sau tùy ý theo m:
a) b)
Giải:
+) Với:
Thì ma trận bậc bậc thang cuối cùng có hạng bằng 3 suy ra ma trận A có hạng bằng 3
+) Với:
Thì ma trận bậc thang cuối cùng có hạng bằng 4 suy ra ma trận A có hạng bằng 4 Vậy ma trận A có hạng bằng 3 khi và ma trận A có hạng bằng 4 khi
Lỗi:: tại vị trí -2*1+(-1)=-3
Sửa:
+)Với :
Thì ma trận bậc bậc thang cuối cùng có hạng bằng 3 suy ra ma trận A có hạng bằng 3
11
Trang 12+) Với: 1
Thì ma trận bậc thang cuối cùng có hạng bằng 4 suy ra ma trận A có hạng bằng 4 Vậy ma trận A có hạng bằng 3 khi 1 và ma trận A có hạng bằng 4 khi 1
b)
Ta nhận thấy ma trận bậc thang cuối cùng có hạng bằng 3 với mọi
Vậy hạng của ma trận bằng 4 với mọi
Lỗi: Hạng của ma trận bằng 3 với mọi m
Bài 14: Tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3:
a) b)
Giải:
a)
Vậy để hạng của ma trận bằng 3.
b)
Vậy để hạng của ma trận bằng 3.
Bài 15:
Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss
Trang 13Vì nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (2,1,3,1)
Lỗi: ban đầu phải là
Bài 16:
Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm
Giải:
=
Để phương trình có vô số nghiệm thì r(A)=r() < n =3 khi và chỉ khi
Phương trình có vô số nghiệm với m=3 thì r(A) = r() = 2 ( thỏa mãn )
Vậy để phương trình A có vô số nghiệm thì m =3
Phần 2 Tìm hiểu một số ứng dụng theo chủ đề ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính.
1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Cho ma trận và một sự tương ứng giữa các kí tự và số sau:
13
Trang 14Một người muốn gửi dòng mật khẩu cho đồng nghiệp Để đảm báo bí mật anh
ta đã dùng bảng tương ứng để chuyển mật khẩu thành dãy số và viết dãy số thành ma trận theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên dòng Sau khi tính và chuyển về dãy ta có:
2 35 -5 3 8 -4 5 65 -11
Hãy giải mã dòng tin trên.
Giải:
Ta có:
Vì ma trận là ma trận vuông cấp 3 nên ma trận là ma trận vuông cấp 3.
Vì ma trận cỡ nên có 3 cột mà có 9 phần từ nên nó là ma trận cỡ
Ta có:
Ta có:
Tương tự:
Trang 15Viết thành dãy số:
4 5 3 7 5 1 7 8 6
Ta được mã : DHCN HANOI
2 Ứng dụng của định thức:
Định thức dùng để tính toán các bài toán và kiểm tra điều kiện của ma trận
Ví dụ: Ma trận sau có khả đảo (khả nghịch) không? Nếu có tìm ma trận
nghịch đảo của nó.
Giải:
Ma trận khả nghịch khi
=> Vậy ma trận khả nghịch
Tìm ma trận nghịch đảo
Vậy ma trận nghịch đảo của A là:
Lỗi: sai từ bước tính
15
Trang 16Sửa lại:
Ma trận khả nghịch khi
=> Vậy ma trận khả nghịch
Tìm ma trận nghịch đảo
Vậy ma trận nghịch đảo là:
3 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính lên các bài toán kinh tế
Đề: Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A,B,C Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt , lắp ráp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau:
Trang 17Các bộ phận cắt , lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120 giờ công Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết công suất?
Giải:
Gọi , , lần lượt là số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất (cái) Điều kiện: , , N
Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: (giờ)
Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm: (giờ)
Thời gian đóng gói để sản xuất sản phẩm:
Để nhà máy hoạt động hết năng suất cần điều kiện:
Ta có:
Vậy số lượng sản phẩm A, B, C nhà máy cần sản xuất là: 50; 200; 100 (cái)
*Nhóm còn thiếu một ứng dụng quan trọng của hệ phương trình tuyến tính là: ứng dụng trong giải bài toán mạch điện
17
Trang 184 Kết luận về ứng dụng của Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính:
Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng nhiều trong kinh tế để mô tả các mối quan hệ kinh tế liên ngành (bảng cân đối liên ngành, ma trận hạch toán xã hội)
và các hiện tượng kinh tế khác
Ma trận nghịch đảo được ứng dụng Trong Bảo Mật, Mật Mã Thông Tin, Tin Nhắn
Định thức dùng để tính toán các biểu thức, công thức toán học