đề thi hsg tỉnh toán 9

Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đấtlàm tròn kết quả đến hàng đơn vị?... Bây giờ ta xét .Đặt .Với cách đặt này thìPhương trình 1trở thành:3Phương trình 2trở thành:Áp dụng bất đẳng

ĐỀ THI HSG TỈNH 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm)

a)Rút gọn biểu thức

b)Tính giá trị của biểu thức , biết x, y, z là các số thực thỏa mãn:

Bài 2 (4,0 điểm)

a)Giải phương trình

b)Giải hệ phương trình

Bài 3 (6,0 điểm)

a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương với nguyên tố cùng nhau và

b)Cho x;y là các số nguyên khác 0; 1; -1 và chia hết cho xy.Chứng minh rằng không chia hết cho y

c)Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn tới chiếc diều và phương nằm ngang) là ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn là 1,5 m Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là

; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn cũng là Biết chiều cao của tòa nhà là (Hình) Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho hình vuông tâm , cạnh là điểm di động trên đoạn

( không trùng với ) Vẽ đường tròn tâm đi qua và tiếp xúc với

tại , vẽ đường tròn tâm đi qua và tiếp xúc với tại Đường tròn

và đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai là

a) Chứng minh rằng 5 điểm cùng thuộc một đường tròn Từ đó suy ra

3 điểm

thẳng hàng

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

Ta có:

+)

Cách khác:

Ta có:

+)

Do đó

b)Tính giá trị của biểu thức , biết x, y, z là các số thực thỏa mãn:

Từ giả thiết ta có:

Nhân theo vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

Cộng theo vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

Phân tích đa thức thành nhân tử được:

Bài 2 (4,0 điểm)

a)Giải phương trình

Điều kiện:

Để đơn giản ta đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Nhẩm được Nên ta phân tích phương trình thành:

Vì vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Đặt ( ).Hệ phương trình đã cho trở thành

Bây giờ ta xét Đặt Với cách đặt này thì

Phương trình (1)trở thành:

(3) Phương trình (2)trở thành:

(4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó hay

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là

Bài 3 (6,0 điểm)

a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương với nguyên tố cùng nhau

có :

Mặt khác

Trường hợp 1 thay vào phương trình đã cho ta được:

Trường hợp 2 thay vào phương trình đã cho ta được:

(loại) Trường hợp 3 thay vào phương trình đã cho ta được:

Trường hợp 4 thay vào phương trình đã cho ta được :

nào thỏa mãn Vậy các cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

b)Cho x;y là các số nguyên khác 0; 1; -1 và chia hết cho xy.

Chứng minh rằng không chia hết cho y.

Vì chia hết cho xy nên là số nguyên

Theo giả thiết ta có là số nguyên nên

(1)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy không chia hết cho y

Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH

Suy ra

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất

Bài 4 (5,0 điểm)

( Cùng chắn cung )

Do đó 5 điểm cùng thuộc một đường tròn

Suy ra là phân giác của góc (do sđ sđ )

Mặt khác, theo chứng minh trên ta có là phân giác của góc

b) Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và Suy ra là hình chữ nhật

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

Do nên bất đẳng thức đã cho tương đương với

Bất đẳng thức (1) trở thành

(2)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng (2)

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

Do đó ta chứng minh xong bất đẳng thức (3)