SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm 2022 2023 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang) Câu 1 (5,5 điểm) 1 Cho biểu thức , vớ[.]
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
…………………………
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm 2022 -2023
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang)
Câu 1 (5,5 điểm).
1 Cho biểu thức: , với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để biểu thức có giá trị bằng 2.
c) Tìm các số chính phương thỏa mãn để giá trị của biểu thức là số nguyên.
2 Cho a = và b = Tính giá trị của biểu thức .
(Học sinh khơng dùng máy tính cầm tay bấm để ghi kết quả).Câu 2 ( 4,5 điểm).
Giải các phương trình sau:a)
b)
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:
Câu 4 (6,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định với , điểm thay đổi sao cho
tam giác vng tại Kẻ vng góc với Gọi là trung
điểm của , đường thẳng qua vng góc với cắt các đường phân giác của các góc và lần lượt tại và Gọi là giao điểm của với , là giao điểm của với
.
a) Chứng minh rằng
b) Giả sử , tính số đo góc
c) Chứng minh rằng
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác và theo
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 2
Giám thị 1: Giám thị 2:
MÃ KÍ HIỆU………………………
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm 2022-2023
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương.
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm - Bài hình nếu hình vẽ khơng khớp với CM, hoặc khơng vẽ hình thì khơng chấm.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
CâuNội dungĐiểm
Câu 1
Câu 1(3,5 điểm)
1 Cho biểu thức: , với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để biểu thức có giá trị bằng 2.
Trang 3c) (1,0 điểm)1c (1,0 điểm)với , 0,25
là số chính phương thỏa mãn thì là số nguyên Để có giá trị ngun thì là các ước của 2 Ư(2)
0,25Ta có: 0,25 Vậy là các giá trị cần tìm. 0,252( 1,0 điểm)
2 Cho a = và b = Tính giá trị của biểu thức .
(Học sinh khơng dùng máy tính cầm tay bấm để ghi kết quả).
0,25 = = 1 0,25 = 0,250,25Câu 2 2a( 2,5 điểm)a) (2,5 điểm)Giải phương trình:Điều kiện: 0,25Đặt thì 0,250,25Phương trình thành 0,5
Với thì (vô nghiệm do vế
phải luôn âm) 0,5
Với thì
0,25
Trang 4Vậy PT đã cho có nghiệm x = 1 0,25
2b (2,0 điểm)
b) (2,0 điểm)Giải phương trình:
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành 0,25
0,25
0,25
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành 0,25
0,25PT vơ nghiệm ( vì ).0,250,25KL: Phương trình có một nghiệm 0,25Câu 3(2,0 điểm)(2,0 điểm)Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: (1) 0,25
Vì với mọi nguyên nên từ (1) ta có
, vì ngun nên
0,25
Với thay vào (1) ta có 0,25
Với thay vào (1) ta có 0,25
Với thay vào (1) ta có 0,25
Với thay vào (1) ta có hoặc 0,25
Với thay vào (1) ta có 0,25
Vậy phương trình (1) có 4 cặp nghiệm ngun là:
0,25
Trang 5a (1,25 điểm)BEDACMHQP0,25
Ta có cân, lại có là phân giác của nên là
trung trực của hay là trung trực của và 0,25
vng tại nên ta có 0,25
vng tại nên ta có 0,25
Mà (vì cùng phụ với )
(HS dùng tam giác đồng dạng để chứng minh thì cho điểm tương đương)
0,5
b (1,5 điểm)
là trung trực của , 0,5
Xét hai tam giác vuông: và có ( vì cùng phụ với
) , (vì )
=
0, 5
vng cân tại 0,25
0,25c
(2,0 điểm)
Ta có là hai đường phân giác của hai góc kề bù và
0,25
; , mà 0,25
Trang 6Tam giác vng có (2) 0,25
Từ (1) và (2) (3) 0,25
Tam giác vng có (4)
Và (5) 0,25
Từ (4) và (5) (6) 0,25
Từ (3) và (6) ta có 0,25
d (1,0 điểm)
là trung trực của , tương tự là trung trực của
, nên tứ giác là hình thang vng0,25Do đó (*) 0,25 (**)Từ (*) và (**) ta có 0,25
Đẳng thức xảy ra khi khi đó vng cân tại Vậy giá trị nhỏ
nhất của tổng diện tích hai tam giác và là 0,25
Câu 5
(2,0 điểm)Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có 0,5
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có nên 0,25
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta lại có
Trang 70,5
Đẳng thức xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 5 khi a = b =2.
0,25……………….Hết……………….
Cách 2 cho PT nghiệm nguyên
Ta có (1).
Để phương trình (1) có nghiệm ngun x thì theo y phải là số chính phương.
Ta có
chính phương nên
0,25
+) Nếu , thay vào phương trình (1), ta có:
.
+) Nếu
0,25
+) Nếu
* Với , thay vào phương trình (1) ta có: .
* Với , thay vào phương trình (1) ta có
0,25
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: 0,25
Trang 8PHẦN KÝ XÁC NHẬN:
TỔNG SỐ TRANG (GỒM ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM) LÀ: 06 TRANG.NGƯỜI RA ĐỀ THI
Bùi Thị Khảo
NGƯỜI THẨM ĐỊNHPHẢN BIỆN CỦA TRƯỜNG
Nguyễn Thị Nhung