mối liên hệ giữa tọa độ descartes với các hệ tọa độ cực hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực .... Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực .... Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ .... Mối liên hệ giữa hệ tọa độ De

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

🙞···☼···🙜

BÁO CÁO

BTL GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI

Giảng viên hướng dẫn: …ThS.Vũ Thị Bích Trâm…

Sinh viên thực hiện Mã số sinh viên

2

LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng cảm ơn chân thành và sâu sắc thầy cô trường Đại học Bách ĐHQGHCM, đặc biệt là thầy cô bộ môn Giải tích 2 đã tạo điều kiện cho chúng em học tập để có được những kiến thức để viết nên bài báo cáo này và hơn hết chính là sự nhiệt tình giảng dạy và hướng dẫn của cô Vũ Thị Bích Trâm và cô Huỳnh Thị Vu, đã giúp cho bọn em có thể hoàn thành bài báo cáo này một cách hoàn hảo nhất

Khoa-Tuy quá trình làm báo cáo của bọn em đôi khi có những khó khăn, khúc mắt nhưng nhờ sự chỉ dẫn của thầy cô, bạn bè và cả những anh chị khoá trên mà bọn em đã hoàn thành bài báo cáo này trọn vẹn Trong suốt thời gian qua nhờ thầy cô và các bạn mà những tiết học của em đã không còn khô khan thậm chí là dễ hiểu hơn, từ đó mà trong thâm tâm em thầy cô luôn có chỗ đứng đặc biệt, là một người truyền lửa mang đến cho chúng em những bài học hay

Em vô cùng biết ơn thầy và cô vì những bài học vô cùng bổ ích trong thời gian qua!

3

MỤC LỤC

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 5

1 Tích phân kép 5

1.1 Định nghĩa 5

1.2 Tích phân kép trên miền bất kì tổng quát 5

1.3 Tích phân kép khi thực hiện đổi biến 5

1.4 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực 6

2 Diện tích mặt cong 6

3 Tích phân bội ba 6

3.2 Định lý Fubini 7

3.3 Ứng dụng 8

4 Mối liên hệ giữa tọa độ Descartes với các hệ tọa độ cực , hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu 8

4.1 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực 8

4.2 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ 8

4.3 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cầu 8

5 Tích phân đường 9

5.1 Tích phân đường loại 1 9

5.2 Tích phân đường loại 2 9

6 Định lý Green 9

PHẦN II: GIẢI BÀI TẬP 10

BÀI 1 10

1.1 Lý thuyết bài toán 10

1.2 Nhập bài toán vào chương trình 10

1.3 Kết quả 11

BÀI 2 12

2.1 Lý thuyết bài toán 12

2.2 Nhập bài toán vào chương trình 13

2.3 Kết quả 14

BÀI 3 15

3.1 Lý thuyết bài toán 15

4

3.2 Nhập bài toán vào chương trình 17

3.3 Kết quả 18

BÀI 4 19

4.2 Nhập bài toán vào chương trình 20

4.3 Kết quả 21

PHẦN III: GIẢI THÍCH CODE MATLAB 22

1 Tạo lưới các điểm và tính giá trị 22

2 Tính giá trị các phương trình 22

3 Vẽ mặt cong và mặt phẳng 22

4 Thiết lập trục và các thuộc tín khác 23

1.2 Tích phân kép trên miền bất kì tổng quát

Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục trên miền 𝐷

Nếu 𝐷: 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑥1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2(𝑦), với 𝑥1(𝑦), 𝑥2(𝑦)liên tục trên [𝑐, 𝑑] thì

1.3 Tích phân kép khi thực hiện đổi biến

*Định thức Jacobian:

Cho 𝑇 là phép biến đổi biến miền 𝑅 được xác định trong mặt phẳng uv thành miền 𝐷 trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 theo những công thức sau:

x = x(u, v), y = 𝑦(𝑢, 𝑣) khi đó định thứ Jacobian được tính theo công thức:

1.4 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm liên tục trên miền

Khi tâm của hệ tọa độ cực không trùng với tâm hình tròn thì lúc này 𝑟 sẽ là hàm phụ thuộc vào góc 𝜑

𝑑 𝑐

𝑏 𝑎

= ∫ [∫ [∫ 𝑓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

𝑠 𝑟

] 𝑑𝑦

𝑑 𝑐

] 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Chú ý: Theo định lý Fubini khi lấy tích phân theo 𝑧 theo ta xem 𝑧 là biến số, còn

𝑥, 𝑦 là hằng số Sau đó lấy tích phân thoe y thì ta xem y là biến số, còn x là hằng

số Cuối cùng, ta sẽ lấy tích theo 𝑥 Vì vai trò của 𝑥, 𝑦, 𝑧 như nhau nên ta có 3! =

6 cách lấy tích phân khác nhau theo thứ tự của các biến 𝑥, 𝑦, 𝑧

1 cho miền Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑧1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦)}, trong đó 𝐷 là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 Khi đó

4.1 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực

Trong hình học phẳng, hệ tọa độ cực được sử dụng để mô tả các đường cong và vùng nhất định

4.2 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ

Trong hệ tọa độ trụ, một điểm P trong không gian ba chiều được biểu diễn bởi

bộ ba có thứ tự (𝑟, 𝜃, 𝑧), trong đó r và 𝜃 là tọa độ cực của hình chiếu P lên mặt phẳng xy và z là khoảng cách từ mặt phẳng xy đến P

9

Một hệ tọa độ hữu ích khác trong không gian ba chiều là hệ tọa độ cầu Nó đơn giản hóa việc đánh giá tích phân bội ba trên các vùng được giới hạn bởi hình cầu hoặc hình nón Các tọa độ cầu (𝑝, 𝜃) của một điểm P trong không gian Lưu

5.1 Tích phân đường loại 1

Cho hàm số f(x, y) liên tục trên cung 𝐴𝐵 ̂ Khi đó:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑙 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) √𝑥′(𝑡) 2 + 𝑦′(𝑡) 2

𝑏 𝑎

𝑑𝑡

𝐴𝐵

Khi ấy tích phân theo cung 𝐴𝐵 ̂ chúng ta không quan tâm đến việc điểm A hay

B là điểm đầu hay điểm cuối của cung, mà chỉ quan tâm đến giá trị 𝑡𝜖[𝑎, 𝑏] Khi đó tích phân sẽ luôn được tính bằng cách lấy cận nhỏ a đến cận lớn b

5.2 Tích phân đường loại 2

Cho hàm số P(x, y), Q(x, y) liên tục trong miền D chưa cung tròn 𝐴𝐵 ̂ Khi đó:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄((𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ [𝑃(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑥𝐴𝐵 𝑎𝑏 ′(𝑡) + 𝑄(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 𝑦 ′ (𝑡)]𝑑𝑡

6 Định lý Green

Trong mặt phẳng xOy, cho D là miền đóng có biên là đường cong đơn giản, khép kín, trơn từng khúc C Các hàm P(x, y), Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong D Khi đó:

10

PHẦN II: GIẢI BÀI TẬP

BÀI 1

Vẽ mặt Paraboloid elliptic y=x2 + z2 bằng phần mềm

1.1 Lý thuyết bài toán

Từ phương trình đã cho ta lần lượt cho giá trị của x,y và z tăng dần từ đó ta nhận thấy các giá trị của phương trình lần lượt tạo thành hình parabolid elliptic ngang , chiều cao tăng dần theo trục Oy

1.2 Nhập bài toán vào chương trình

11

1.3 Kết quả

12

BÀI 2 Nhập hàm f(x, y) từ bàn phím.Tính tích phân I= ∫ 𝐟(𝐱, 𝐲)𝐝𝐥𝒄 , với C là đường tròn 𝒙𝟐  +  𝒚𝟐  = 𝟐𝒙, 𝒚  ≥  𝟏 Vẽ đường cong

Vì x>=1 nên lấy cận dương

<=>Ta có tích phân x theo y

13

2.2 Nhập bài toán vào chương trình

14

2.3 Kết quả

Ω 

    Bước 2: Đặt 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠ℊ

𝑧𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛ℊ

𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠ℊ Bước 3: Lặp mặt cắt Ozx

Hình tròn 𝑥2  + 𝑦2 = 1,Tâm (0;0) bán kính 1 và

𝜋 4 0 2𝜋 0

17

2 1

𝜋 4 0

2𝜋 0

𝑑𝜃 ≈ 4,29

3.2 Nhập bài toán vào chương trình

18

3.3 Kết quả

19

BÀI 4

Tính tích phân I= ∮ (𝟑𝐱 − 𝐲𝑪 𝟐)𝐝𝐱 + (𝟑𝐲 − 𝐳𝟐)𝐝𝐲 + (𝟑𝐳 −

𝐱𝟐)𝐝𝐳 với C là giao tuyến của mặt cong 2x + z = 2 và z = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

ngược chiều kim đồng hồ theo hướng của trục Oz Vẽ giao tuyến của hai mặt cong trên bằng phần mềm

4.1 Lý thuyết bài toán

20

4.2 Nhập bài toán vào chương trình

21

4.3 Kết quả

22

PHẦN III: GIẢI THÍCH CODE MATLAB

1 Tạo lưới các điểm và tính giá trị

meshgrid Tạo ra các ma trận lưới 2D từ các vector

linspace Tạo ra các vector chứa số điểm đều nhau trong một khoảng xác

định

^ Thực hiện phép nhân từng phần tử của ma trận (phép nhân phần

tử)

2 Tính giá trị các phương trình

max Trả về giá trị lớn hơn giữa hai số hoặc giữa các phần tử của

23

4 Thiết lập trục và các thuộc tín khác

24

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình Giải tích 2, Trường ĐH Bách Khoa - NXB ĐH Quốc gia TPHCM, 2018 [2] Giải tích (Calculus 8th Edition), James Stewart

25

26