bài tập cuối chương ii lời giải

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD?. a Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.. b Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II PHẦN 1 GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

A - TRẮC NGHIỆM

2.25 Cho tứ diện ABCD Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD Khẳng định nào sau đây là sai?

A BG CG DG    0

C BC BD   3BG

D GA GB GC GD     0

Lời giải

Chọn D

+) Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GB GC GD    0

Do đó đáp án A đúng.

+) Có AB AC AD AG GB AG GC AG GD        3AG

         

vì GB GC GD  0

Do đó đáp án B đúng

0

BD BG GC BG GD BG GC GD BG GB BG

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

  





Do đó đáp án C đúng

2.26 Cho hình hộp ABCD A B C D     Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC Vectơ AM

bằng

A AB AD AA 

1 2

AB AD  AA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

AB AD AA

1

2AB AD AA  

  

Lời giải

Chọn B

Ta có AM  AC CM 

Vì ABCD là hình bình hành nên ACAD AB

  

Vì M là trung điểm của CC' nên

CM  CC  AA

Do đó

1 2

AM AB AD  AA

2.27 Cho hình hộp ABCD A B C D.     Khẳng định nào dưới đây là sai?

A AB CC    AB

B AB AD AA    AC

C AD BB   AD

D AB CC   AC

Lời giải

Chọn D

+) Vì ABCD A B C D    là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có: AB AD AA    AC

Do đó đáp án B đúng.

 +) AB CC   AB B B CC   AB vì B B CC  0 ) 

Do đó đáp án A đúng.

 +) AD BB   AD  D D BB   AD vi D D BB  0 ) 

Do đó đáp án C đúng.

2.28 Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD

Tích vô hướng  AB AM

bằng

A

2

4

a

2

2

a

2

3

a

Lời giải

Chọn B

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng CD nên AM 12AC AD  

Khi đó

AB AM AB AC AD  AB AC  AB AD

2

2

2

2

a

AB AC AB AC AB AC a a

a

AB AD AB AD AB AD a a





     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

Do đó

AB AM   

 

2.29 Trong không gian Oxyz, cho a1; 2; 2 ,  b  2;0;3

Khẳng định nào dưới đây là sai?

A a b  1; 2;5 

B a b 3; 2; 1  

C 3a  3; 2;2 

Lời giải

Chọn C

(1 2; 2 0;2 3) ( 1; 2;5)

a b         nên A đúng

(1 2; 2 0;2 3) (3; 2; 1)

a b         nên B đúng.

3a  (3.1;3.( 2);3.2) (3; 6;6)   nên C sai.

2a b  (2.1 2;2 ( 2) 0;2.2 3) (0; 4;7)       nên D đúng.

2.30 Trong không gian Oxyzcho hình bình hành ABCD cóA( 1;0;3), (2;1; 1) B  vàC(3;2; 2) Toạ

độ của điểm D là

Lời giải

Chọn C

Gọi D x y z ; ; .

Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC  3;1; 4   3 x; 2 y; 2 z

      





Vậy D0;1;6

2.31 Trong không gian Oxyzcho A(1;0; 1), (0; 1; 2) B  và G(2;1;0) Biết tam giác ABC có trọng

tâm là điểm G Toạ độ của điểm C là

Lời giải

Chọn A

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên



2.32 Trong không gian Oxyz cho a(2;1; 3), b ( 2; 1;2) Tích vô hướng a b bằng

Lời giải

Chọn B

2 ( 2) 1 ( 1) ( 3) 2 11

a b          

2.33 Trong không gian Oxyzcho a(2;1; 2), b(0; 1;1) Góc giữa hai vectơ ,a b  bằng

Lời giải

Chọn B

2 0 1 ( 1) ( 2) 1 1

| | | | 4 1 4 0 1 1 2

a b

a b

a b













Suy ra ( , ) 135a b   

2.34 Trong không gian Oxyz, cho a  2;2; 2 , b1; 1; 2  

Côsin của góc giữa hai vectơ ,a b 

bằng

A

2 2

3



2 2

2

2 3



Lời giải

Chọn A

( 2) 1 2 ( 1) 2 ( 2) 2 2

3

a b

a b

a b

         













∣

B – TỰ LUẬN

2.35 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Chứng minh rằng:

SA SC SB SD  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Lời giải

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD BC    SD SA SC SB       SA SC SB SD  

2.36 Cho tứ diện ABCD , lấy hai điểm M N, thoả mãn MB  2MA0

và NC 2DN

Hãy biểu diễn MN

theo AD

và BC

Lời giải

 

 

2

MB MA

MN MB BC CN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Cộng từng vế (1) và (2): 3MB  2MA BC  2AD CN  2DN

3MN (MB 2MA) BC 2AD (CN 2DN)

          

3MN BC 2AD

      1 2

2.37 Cho hình hộp ABCD A B C D.     , gọi G là trọng tâm của tam giác BDA :

a) Biểu diễn AG

theo  AB AD,

và AA

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A G, và C thẳng hàng.

Lời giải

a) Vì G là trọng tâm của tam giác BDA' nên

 

1

3

GB GD GA GA AB GA AD GA AA

b) Vì ABCD A B C D.     là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:ACAB AD AA   2

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Từ (1) và (2), ta có

1 3

AG AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vậy ba điểm A, G và C thẳng hàng

2.38 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A2; 1;3 ,  B1;1; 1  và C  1;0; 2

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC

Lời giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

2 1 1

2 3

3

1 1 0

0 3

4

3 1 2

3 3

G

G

x

x

z z

 









  



 





Vậy

;0;

G  

b) Vì M thuộc Oz nên M 0;0;z .

Khi đó BM   1; 1; z1

và AC   3;1; 1 



Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên BM AC   0

  1 3  1 1 z 1  1 0 z 1

              Vậy M0;0;1

2.39 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp OABC O A B C    và các điểm A2;3;1 , C  1;2;3

và O 1; 2;2

Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Lời giải

Ta có O(0; 0; 0)

Gọi B x y z B; ;B B

Ta có OA2;3;1 ; OC  1; 2;3 ; OBx y z B; B; B

Vì OABC là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:





  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Vậy B1;5;4

CóOO1; 2; 2 ;  CCx C1;y C 2;z C 3

;

 B 1; B 5; B 4 ;  A 2; A 3; A 1

BB x  y  z  AA x  y  z 

Vì OABC O A B C.     là hình hộp nên:









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

Vậy A3;1;3





 

Vậy B2;3;6

2.40 Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a ( 2;1;2),b(1;1; 1)

a) Xác định toạ độ của vectơ u a  2b

b) Tính độ dài vectơ u

c) Tính cos( , )a b  .

Lời giải

a) Có 2b  (2; 2; 2) Khi đó u a  2b  ( 2 2;1 2;2 2) ( 4; 1;4)     b) | |u  16 1 16   33

c)

( 2) 1 1 1 2 ( 1) 3 cos( , )

3

| | | | 4 1 4 1 1 1

a b

a b

a b













2.41 Trong không gian Oxyzcho các điểm A(4;2; 1), (1; 1; 2) B  và C(0; 2;3)

a) Tìm toạ độ của vectơ AB

và tính độ dài đoạn thẳng AB

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho AB CM 0

c) Tìm toạ độ điểm N thuộc mặt phẳng ( Oxy), sao cho A,B,N thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có AB  (1 4; 1 2; 2 1) ( 3; 3;3)     

Có |AB  | ( 3)2 ( 3)232 3 3

b) Giả sử M x y z( ; ; ) Khi đó CM ( ;x y2;z 3)

x

z

  





   



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

x y z







  

 

 Vậy M(3; 1; 0)

c) Giả sử N x y( ; ;0) Khi đó AN (x 4;y 2;1); BN (x1;y 1; 2)

và BN



cùng phương tức là AN  k BN

Suy ra

1

2

1

2

2 2

k

k k







2.42 Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt

chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0, 4 m, cách hai tường đều là 1,5 m

a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Lời giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ

Tọa độ bóng đèn lúc đầu là A(1, 2;1,6;0,5)

Tọa độ bóng đèn lúc sau là B(1,5;1,5;0, 4)

b) Có AB (0,3; 0,1; 0,1) 

Khi đó |AB | 0,32 ( 0,1)2 ( 0,1)2 0,3

Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu của bóng đèn là 0,3 m

PHẦN 2 ĐỀ KIỂM TRA KẾT THÚC CHƯƠNG

ĐỀ KIỂM TRA KẾT THÚC CHƯƠNG 2 PHẦN 1 TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho u    1;3; 2, v     3; 1;2

khi đó u v  bằng

Lời giải Chọn D

3 3 4 4

u v      .

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ a    1;1;0

, b  1;1;0

, c  1;1;1

Trong các

mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A bc B c  3





D ba

Lời giải Chọn A

b c     b và c



không vuông góc với nhau

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a

r biểu diễn của các vectơ đơn vị là ar= + -2r ri k 3rj.

Tọa độ của vectơ ar

là

A 1;2; 3  B 2; 3;1  C 2;1; 3  D 1; 3;2 

Lời giải Chọn B

ar= + -r ri k rj= -ri r rj k+ nên a  2; 3;1 

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 2;3

Tìm tọa độ điểm A là hình chiếu vuông1

góc của A lên mặt phẳng Oyz

A A11;0;0

B A10; 2;3

C A11;0;3

D A11; 2;0

Lời giải Chọn B

Tọa độ điểm A là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng 1 Oyz

là: A10; 2;3

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 1   và B1; 4;3

Độ dài

đoạn AB là:

A 2 13 B 2 3 C 6 D 3

Lời giải Chọn A

Ta có: AB 0;6; 4

nên

ABAB    

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A1;0; 2

, B1;1;4

,

1; 4;0

C 

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

A 1; 1;2  B 1; 1;2 

C 1;1;2

D 1; 1; 2  

Lời giải

Chọn A

Gọi G x y z G; G; G ta có

1

1 3

1

1 3

1

2 3















Câu 7: Cho hình bình hành ABCD với A  2; 3; 1

,B3; 0; 1 

,C6; 5; 0

Tọa độ đỉnh D là

A D1; 8; 2 

B D11; 2; 2

C D1; 8; 2

D D11; 2; 2 

Lời giải Chọn C

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A0; 2; 1   và A1; 1; 2 

Tọa độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA2MB là

A

; ; 1

M   

; ;

M   

  C M2; 0; 5. D.

 1; 3; 4

M    .

Lời giải Chọn A

Ta có:             AM                2MB







2 3

4

3

M

M

x









Câu 9: Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A1;2; 1 

và điểm B2;1;2

A

1

;0;0 3

1

;0;0 2

3

;0;0 2

2

;0;0 3

Lời giải Chọn C

Gọi M x ;0;0Ox

Ta có:

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a  0;3;1

, b  3;0; 1 

Tính

  cos ,a b 

100

a b  

100

a b  

C cos ,  1

10

a b  

cos ,

10

a b  

Lời giải Chọn C

Ta có

 2

0.3 3.0 1 1

cos ,

a b

a b

a b

 

 

 

cos ,

10

a b

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D     có A0; 0; 0

,

3; 0; 0

A 1; 1; 2 

Lời giải Chọn B

Cách 1: Ta có AB 3; 0; 0

Gọi C x y z ; ;  DC x y;  3; z

ABCD là hình bình hành  AB DC  x y z; ;   3; 3; 0 C3; 3; 0

 

Ta có AD 0; 3; 0 Gọi A x y z  ; ;   A D   x; 3 y; 3  z



ADD A  là hình bình hành  ADA D  x y z; ;   0; 0; 3  A0; 0; 3 

 

Gọi B x y z 0; 0; 0 A B x y z0; 0; 03



ABB A  là hình bình hành  ABA B  x y z0; 0; 0  3; 0; 3  B3; 0; 3 

 

G là trọng tâm tam giác ABC

0 3 3

2 3

0 0 3

3

3 3 0

2 3

G

G

G

x

z

 







 





  





Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD.Ta có

; ;

 .Gọi G a b c ; ;  là trọng tâm tam giác A B C 

Ta có: DI 3IG

với

DI









Do đó:

3

2

2

3

a

a

c c

   



Vậy G2;1; 2 

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;2; 1 

, B2; 1;3 

, C  4;7;5

Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là

A

2 11

; ;1

3 3

11

; 2;1 3



2 11 1

; ;

3 3 3

  D 2;11;1

Lời giải Chọn A

Ta có: BA  1; 3;4  BA  26;BC  6;8;2  BC 2 26

Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC

Suy ra :

DC BC  DC  2DA 2 11; ;1

3 3

PHẦN 2 : TRẮC NGHIỆM ĐÚNG- SAI

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tứ giác ABCD là hình vuông

b) Tam giác SBD vuông cân tại S

c) (SB BD, ) 45



 

d) SB BD  a2

Lời giải Đáp án : a) Đ ; b) Đ ; c) S ; d) Đ

Vì tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên độ dài đường chéo BD bằng

2

Tam giác SBD có SB SD a  và BD a 2 nên tam giác SBD vuông cân tại S , suy ra

SBD 

Do đó (SB BD, ) 180   SBD 135

 

Suy ra

2

2

2

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Câu 2: Trong không gian Oxyz cho các điểm A1; 2;3 ,   B2;1; 2 ,  C3; 1; 2  

a) AB  ( 3;3; 1)

b) AC   ( 2; 1;1)

c) AB 3AC

d) Ba điềm A B C, , không thẳng hàng

Lời giải Đáp án : a) Đ ; b) S ; c) S ; d) Đ

Câu 3: Trong không gian Oxyz,cho hình bình hành ABCD có A(2; 1; 2), (3;1; 2)  B , C (1; 1;1)

và D x y z D; D; D

a) AB (1; 2;4)

b) DC  1 x D; 1  y D;1 z D

c) DC AB

d) Toạ độ điểm D là (0;3;3)

Lời giải Đáp án : a) Đ ; b) S ; c) S ; d) Đ

Ta có: AB(1; 2; 4),DC  1 x D; 1  y D;1 z D

Vì ABCD là hình bình

hành nên DCAB

Suy ra





(0; 3; 3) D  

Câu 4: Hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức

tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Tọa độ điểm F là (4;0;3)

b) Tọa độ AH 4;5;3

c) AH AF . 3

 

d) Góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng FG , hai

mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE) bằng 26, 6 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ)

Lời giải Đáp án : a) Đ ; b) S ; c) S ; d) Đ

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác OABC là hình chữ nhật, suy rax A x B  ,4

5

C B

y y  Do A nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm A là (4;0;0) Tường nhà là hình

chữ nhật nên tứ giác OCHE là hình chữ nhật, suy ra y H y C  , 5 z H z E  Do 3 H

nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên tọa độ điểm H là (0;5;3) Tứ giác OAFE là hình chữ

nhật nên x F x A 4;z F z E  Do 3 F nằm trên mặt phẳng (Ozx) nên tọa độ điểm F

là (4;0;3)

b) Nên AH   4;5;3

c) Suy ra AH AF    . 0 0 9 9

 

d) Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng

FG , hai mặt lần lượt là (FGQP) và (FGHE) Do mặt phẳng (Ozx) vuông góc vối hai

mặt phẳng (FGQP) và ( FGHE) nên góc PFE là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó Ta có: FP  ( 2;0;1), FE ( 4;0;0)