Danh mục các ký hiệuRn không gian Euclid n chiềuRn+ tập hợp tất cả các véctơ với các thành phần không âm của RnintRnY ⊂ X Y là tập hợp con của XdimV số chiều của không gian Vx = x1, x2,
Không gian véctơ Euclid
Dưới đây là các định nghĩa và tính chất về không gian véctơ Euclid và các kiến thức có liên quan như tích vô hướng, góc giữa hai véctơ, Định nghĩa 1.1 Cho V là không gian véctơ thực, tích vô hướng của hai véctơx, y là một số thực, ký hiệu hx, yi thỏa mãn các tính chất sau:
3.hx 1 +x 2 , yi=hx 1 , yi+hx 2 , yi ∀x 1 , x 2 , y ∈V.
Không gian véctơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclid, ký hiệu là E. Định nghĩa 1.2 (Độ dài của một véctơ) Giả sửE là một không gian Euclid Khi đó chuẩn hay độ dài của một véctơx∈E là đại lượng kxk:=p hx, xi.
Nhận xét 1.3 Trong R n ta định nghĩa tích vô hướng như sau: hx, yi n
X i=1 x i y i , x= (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n ). Định nghĩa 1.4 (Góc giữa hai véctơ) Giả sử E là một không gian Euclid Với mọi véctơ x, y 6= 0 của E, ta gọi góc giữa x và y là góc α với 0≤α≤π sao cho cosα= hx, yi kxk ã kyk. Khái niệm tổng quát với khái niệm góc trong hình học thông thường.
Theo định nghĩa trên hai véctơ x, y vuông góc với nhau khi và chỉ khi hx, yi= 0. Định nghĩa 1.5 Giả sử S 1 , S 2 là hai tập hợp các véctơ trongE Ta gọi S 1 trực giao(vuông góc) với S2 nếu hx, yi= 0 với mọi véctơ x∈S1, y ∈S2.
Không gian véctơ các ma trận
Phần này nhắc lại rằng tập các ma trận cỡ m×n là một không gian véctơ Euclid với tích vô hướng xác định bởi hàm vết ma trận và một số không gian véctơ con của nó cỡ m×n. Định nghĩa 1.6 Cho A = (a ij ), B = (b ij ) và c∈ R ta có thể định nghĩa phép cộng
A+B và phép nhân với vô hướng cAnhư sau:
A+B = (a ij +b ij ), cA= (ca ij ).
Ta kí hiệu R m×n là tập hợp tất cả các ma trận cỡ m×n.
Mệnh đề 1.7 R m×n là một không gian véctơ với dimR m×n =mn. Định nghĩa 1.8 Một ma trận vuông A = (a ij ) được gọi là ma trận đối xứng nếu a ij =a ji với mọi chỉ sối, j Điều này có nghĩa là
Ma trận A được gọi là phản xứng nếua ij =−a ji với mọi chỉ số i, j Nói cách khác,
A T =−A. Định nghĩa 1.9 ChoA, B là hai ma trận vuông cấpn Khi đó tích vô hướng của hai ma trận A và B được xác định bởi
X j=1 aijbji, (1.1) trong đó a ij là phần tử (i, j)của A, b ji là phần tử (j, i)của B. Định nghĩa 1.10 Ma trận A là xác định dương nếuhAx, xi>0,∀x6= 0, và được gọi là nửa xác định dương nếu hAx, xi ≥0,∀x∈V.
Mệnh đề 1.11 Ma trận đối xứng B ∈ R n×n là xác định dương (tương ứng nửa xác định dương) nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó là dương (tương ứng không âm).
Nhận xét 1.12 ChoA, B là hai ma trận vuông cấp n Khi đó ta có một số tính chất:
3 Nếu A và B là hai ma trận nửa xác định dương thì A∗B ≥0.
Mệnh đề 1.13 R n×n và S n là các không gian véctơ Euclid với tích vô hướng xác định như (1.1).
Dạng toàn phương
Định nghĩa 1.14 Dạng toàn phương n biến x 1 , x 2 , , x n là một hàm bậc hai dạng: f(x) =f(x 1 , x 2 , , x n ) n
X i=1 a ii x 2 i + 2X i 0 ta có λk ∈ K Hơn nữa nếu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi Một tổ hợp tuyến tínhPm i=1λ i a i được gọi là một tổ hợp dương nếu λ i ≥0 với mọi ilà tổ hợp dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ sốλ i dương chặt.
Nhận xét 1.21 Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi. Định lý 1.22 (Định lý Caratheodory) Giả sử dimX = n < ∞ và A ⊂ X Khi đó, với mọi x∈ coA, x là một tổ hợp lồi của một họ không quá n+ 1 véctơ thuộc A Tức là tồn tại hệ {a 0 , a 1 , , a m } ⊂A và các số λ 0 , , λ m ≥0, với m≤n, sao cho m
X i=0 λ i a i Định nghĩa 1.23 Cho A và B là hai tập con của không gian véctơ X Một phiếm hàm tuyến tính f ∈X ∗ \ {0} được gọi là táchA và B nếu f(a)≤f(b) (hoặc f(a)≥f(b));a∈A, b∈B.
Một cách tương đương với tồn tại một số α∈R sao cho f(a)≤α≤f(b), ∀a∈A, b∈B.
Lúc đó, ta nói siêu phẳng
H(f;α) =f −1 (α) ={x∈X |f(x) =α}, tách A và B Trường hợp B là tập một điểm B ={x0}, ta nói đơn giản H(f;α) tách
A và x 0 Rõ ràng siêu phẳng tách hai tập nếu có là không duy nhất. Định lý 1.24 (Định lý tách tập lồi) Định lý tách 1: Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng trong R n sao cho A∩B =∅. Khi đó có một siêu phẳng tách A và B. Định lý tách 2: Cho A và B là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho A∩B =∅ Giả sử có ít nhất một tập là compact Khi đó hai tập này có thể tách mạn được bởi một siêu phẳng. Định nghĩa 1.25 Hàmf :X →R được gọi là thuần nhất dương nếu f(λx) =λf(x),∀x∈X,∀λ >0. Định nghĩa 1.26 (Hàm lồi) Cho hàmf :X→R∪ {−∞,∞} thì domf :={x∈X/f(x)−∞với mọi x∈X Hàm f là một hàm lồi nếu epif là một tập lồi trong R×X.
Mệnh đề 1.27 Cho f :X→R lồi khi và chỉ khi f(λx 1 + (1−λ)x 2 )6λf(x 1 ) + (1−λ)f(x 2 ),∀x 1 , x 2 ∈X, λ∈[0,1]. Định lý sau đây đưa ra một số tính chất quan trọng của hàm lồi đối với bài toán cực trị. Định lý 1.28 ([1]) Cho f :X →R là một hàm lồi thật sự.
(ii) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
(iii) Mỗi điểm dừng của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
Bổ đề Farkas
Bổ đề 1.29 (Bổ đề Farkas [5]) Giả sử f, g1, , gm :R n →R là những hàm lồi Giả thiết rằng điều kiện Slater đúng với g 1 , , g m , nghĩa là tồn tại một x¯ ∈ R n sao cho gj(¯x)