Chu trình giao của các đường cong đại số
Chương 2 Một thuật toán tìm chu trình giao
Một phép chứng minh Định lý Bézout
A n (K) Không gian afin n-chiều trên trường K
KP n Không gian xạ ảnhn-chiều trên trường K
V Đa tạp khác rỗng Γ(V) Vành các hàm đa thức trênV
K(V) Trường các hàm hữu tỉ trên V
O P (V) Vành địa phương củaV tại P
I(V) Iđêan của vành K[x 1 , , x n ] hF, Gi Iđêan sinh bởi F và G m P (V) Iđêan cực đại của vành O P (V) gcd(F, G) Ước chung lớn nhất của F và G dimV Số chiều của không gian véctơ V
P n (K) Không gian xạ ảnhn chiều trên trường K
F ãG Chu trỡnh giao của hai đường congF = 0 và G= 0 deg x F Bậc theo biến xcủa đa thức F degF Bậc của đa thứcF detJ Định thức của ma trận J
Số bội giao của các đường cong đại số
1.1 Định nghĩa số bội giao
Trước tiên, chúng ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản của hình học đại số Các định nghĩa này được tham khảo từ các tài liệu [Ful08] và [CLO07]. Định nghĩa 1.1.1 Cho K là một trường, không gian afin n-chiều trên trường K, ký hiệuA n (K), là tập tất cả n-bộ các phần tử của K,
A n (K) ={(a 1 , , a n )|a i ∈K,1≤i≤n}. Định nghĩa 1.1.2 Một tập conV củaA n (K)được gọi là mộtđa tạp afin nếuV là tập nghiệm của một hệ các đa thứcn biến trên K, tức là tồn tại S ⊂K[x 1 , , x n ] sao cho
Mệnh đề 1.1.3 Cho U =V(S) và V =V(T) là các đa tạp afin trong A n (K) Khi đó
2 U ∪V =V(ST). Định nghĩa 1.1.4 Cho V là một đa tạp afin trong A n (K) Ta định nghĩa
Khi đóI(V) là một iđêan trong K[x1, , xn] và ta gọiI(V) là iđêan của V. Định nghĩa 1.1.5 Một đa tạp afinV ⊂A n (K)được gọi làbất khả quy nếu V viết được dưới dạng V = V 1 ∪V 2 , trong đó V 1 , V 2 là các đa tạp afin, thì V = V 1 hoặc
Mệnh đề 1.1.6 Cho V ⊂ A n (K) là một đa tạp afin Khi đó V là một đa tạp bất khả quy khi và chỉ khi I(V) là một iđêan nguyên tố của vành K[x 1 , , x n ]. Định nghĩa 1.1.7 Cho V ⊂A n (K) là một đa tạp afin bất khả quy Miền nguyên Γ(V) = K[x 1 , , x n ]/I(V) được gọi là vành tọa độ của V.
Ta có thể xem Γ(V) như là vành các hàm đa thức trên V Trường các hàm hữu tỉ trênV, kí hiệuK(V), là tập hợp
Chú ý rằngK(V)chính là trường các thương của Γ(V). Định nghĩa 1.1.8 Cho V ⊂ A n (K) là một đa tạp afin bất khả quy và P ∈ V là một điểm.Vành địa phương của V tại P, kí hiệu OP(V), là tập hợp các hàm hữu tỉ xác định tại P, tức là
Mệnh đề 1.1.9 Ta có O P (V) là một vành con của K(V) chứa Γ(V) và hơn nữa
O P (V) là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m P (V) =na b ∈ O P (V)|a(P) = 0o
Ví dụ 1.1.10 Nếu V = A 2 thì I(V) = 0 Do đó Γ(A 2 ) = K[x 1 , x 2 ] và K(A 2 ) K(x 1 , x 2 ) Khi đó
. Định nghĩa 1.1.11 Một đường cong đại số phẳng trong A 2 (K) xác định bởi đa thức F ∈K[x, y]là tập hợp
Phương trìnhF(x, y) = 0được gọi là phương trình của đường cong đại số phẳng xác định bởi đa thức F.
Mệnh đề 1.1.12 ([Ful08], Proposition 2, § 1.6) Cho F và G là các đa thức trong K[x, y] không có nhân tử chung Khi đó V(F, G) là một tập hữu hạn điểm.
Mệnh đề 1.1.13 ([Ful08], Corollary 1, § 2.9) Cho F và G là các đa thức trong K[x, y] không có nhân tử chung Khi đó dim K K[x 1 , x 2 ]/hF, Gi n
X i=1 dim K O P i (A 2 )/hF, Gi, trong đó V(F, G) = {P 1 , , P n } Nói riêng, dim K O P i (A 2 )/hF, Gi là hữu hạn với mọi i= 1, , n. Định nghĩa 1.1.14 Cho F và G là các đa thức trong K[x, y] không có nhân tử chung Ta định nghĩa số bội giao của F và G tại P ∈A 2 , kí hiệu I P (F, G), là số
Sau đây là một số ví dụ tính số bội giao của hai đường cong phẳng afin dựa vào định nghĩa.
Ví dụ 1.1.15 Cho F =Y −X 2 ,G=X Tìm số bội giao I P (F, G)với P = (0,0).
, tức làO P (A 2 )gồm các phân thức hữu tỉ theo 2 biến X, Y và có mẫu là một đa thức có hệ số hằng khác 0 Mặt khác, hF, Gi=hY −X 2 , Xi=hY, Xi Do đó ta có
Ví dụ 1.1.16 Cho F =Y −X 2 , G =Y Tìm số bội giao I P (F, G) với P = (0,0).
Ta có hF, Gi=hY −X 2 , Yi=hY, X 2 i Do đó
Mỗi phần tử của vànhOP(A 2 )/hX 2 , Yi là một lớp ghép và được biểu diễn duy nhất thành tổ hợp K-tuyến tính của hai lớp ghép [1] và [X], do đó
Ví dụ 1.1.17 Cho F = Y −X 2 , G = Y −X −2 Tìm số bội giao I P (F, G) với
Ta có khai triển Taylor của F và G trong lân cận điểm P(−1,1) là
Qua phép đổi biến u=X+ 1, v =Y −1, đa thức F và G trở thành
F˜ =vưu 2 + 2uvàG˜ =vưu, điểmP(ư1,1)được biến đổi thành điểmP˜(0,0). Bài toán quy về tìm số bội giao của F˜ và G˜ tại điểm P˜(0,0), tức là tìm
Ta có khai triển Taylor của F và G trong lân cận điểm P(2,4) là
Qua phép đổi biến u=X−2, v =Y −4, đa thức F và G trở thành
F˜ =vưu 2 ư4uvà G˜ =vưu, điểm P(2,4)được biến đổi thành điểm P˜(0,0). Bài toán quy về tìm số bội giao của F˜ và G˜ tại điểm P˜(0,0), tức là tìm
Các khái niệm ở trên được định nghĩa cho các đa tạp afin, cũng được định nghĩa tương tự cho các đa tạp xạ ảnh. Định nghĩa 1.1.18 Không gian xạ ảnh n chiều trên trường K, kí hiệu P n (K), là tập hợp tất cả các không gian véctơ con 1 chiều của K n+1
Trên K n+1 \ {(0,0, ,0)}ta xét một quan hệ tương đương như sau
Khi đú P n (K) = K n+1 /∼ Mỗi điểm của khụng gian xạ ảnh cú dạng (a1 :a2 :ã ã ã : a n+1 )là lớp tương đương của phần tử (a 1 , a 2 , , a n+1 ).
Tập hợp P 2 (K) được gọi là mặt phẳng xạ ảnh Ta có thể phủ P 2 (K) bởi ba tập hợp con
MỗiU i là một không gian afin qua phép đồng nhất, chẳng hạn
Khi đóA 2 (K)⊂P 2 (K) và tập hợp
L∞ =P 2 (K)\A 2 (K) = {(a 1 :a 2 : 0) |a 1 , a 2 ∈K,(a 1 , a 2 )6= (0,0)} được gọi là đường thẳng ở vô tận đối với không gian afinA 2 (K). Định nghĩa 1.1.19 Cho F ∈ K[x, y, z] là một đa thức thuần nhất khác không có bậc dương Đường cong phẳng xạ ảnh xác định bởi F là tập hợp
Khi khảo sát các đường cong phẳng xạ ảnh tại một điểm ta thường quy về các đường cong phẳng afin như sau
V(F) = (V(F)∩A 2 (K))∪(V(F)∩L∞). Đường cong phẳng afinV(F)∩A 2 (K) được xác định bởi đa thức
F ∗ (x, y) =F(x, y,1)∈K[x, y], đa thức này được gọi là đa thức khử thuần nhất của F đối với biến z Tùy vào điểm đang xét nằm trên mảnh nào của phủ U i mà ta xét đa thức khử thuần nhất theo biến tương ứng. Định nghĩa 1.1.20 Ta có thể định nghĩa số bội giao của hai đường cong phẳng xạ ảnh F,G tại một điểm P ∈P 2 (K) như sau
1.2 Các tính chất của số bội giao
Theo [Ful08] có bảy tính chất của số bội giao Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày bốn tính chất trong số đó để sử dụng cho các phần sau của đề án.
Mệnh đề 1.2.1 Cho F, G ∈ K[x, y] sao cho gcd(F, G) = 1 Khi đó số bội giao
IP(F, G) có các tính chất sau:
Chứng minh Để chứng minh (i), lấy S/T ∈ O P (A 2 ) Nếu P /∈ F ∩G thì S/T F S/F T =GS/GT ∈ hF, Gi Do đóO P (A 2 ) =hF, Gi, suy raI P (F, G) = 0 Mặt khác, nếu P ∈F ∩G thì hF, Gi= 0 trong O P (A 2 ) Do đó dim K (O P (A 2 )/hF, Gi)≥1. Tính chất (ii) và (iv) là hiển nhiên, vìhF, Gi=hG, Fi vàhF, Gi=hF, G+F Hi. Đối với (iii), xét hai đồng cấu K-không gian véctơ ψ : OP(A 2 ) hF, Hi → OP(A 2 ) hF, GHi, w 7→Gw, φ: O P (A 2 ) hF, GHi → O P (A 2 ) hF, Gi , w 7→w,
Rõ ràng φ là một toàn cấu Ta chứng minh ψ là một đơn cấu Thật vậy, giả sử ψ(w) = 0, khi đó Gw =uF +vGH, trong đó u, v ∈ O P (A 2 ) Vì u, v, w là các hàm hữu tỉ xác định tai P nên tồn tại đa thứcS ∈K[x, y] sao cho S(P)6= 0 và Su=A,
Sv =B,Sw =C ∈K[x, y] Từ đó suy ra
Vì F và Gkhông có nhân tử chung nên F chia hết C−BH, tức là C−BH
Hayw= 0 Vậy ψ là một đơn cấu.
Mặt khác, rõ ràng ta có imψ = kerφ Do đó ta có dãy khớp
Từ đó suy ra dim K O P (A 2 ) hF, GHi = dim K O P (A 2 ) hF, Hi + dim K O P (A 2 ) hF, Gi Tức làI P (F, GH) =I P (F, G) +I P (F, H).
1.3 Chu trình giao của các đường cong đại số Định nghĩa 1.3.1 [HS10] Với bất kỳ điểm P ∈ KP 2 , và các đường cong F, G ∈
P I P (F, G)P làchu trình giao nhau của F và G, làmột đối tượng để ghi lại giao điểm của những đường cong này.
Các thuộc tính tiêu chuẩn của các chu trình giao được thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.2 [HS10] Cho F, G, H là các đường cong đại số với gcd(F, G) gcd(F, H) = 1 Khi đó
(iii) F ã(G+F H) =F ãG nếu degG= deg(F H);
(iv) Nếu F và G là các đường thẳng phân biệt, giả sử F(x, y, z) =a 1 x+a 2 y+a 3 z và G(x, y, z) = b 1 x+b 2 y+b 3 z, thỡ chu trỡnh giao F ãG là điểm đơn P x và
(iii) Vì degG= deg(F H) nên G+F H thuần nhất Do đó
(iv) Cho F(x, y, z) = a 1 x+a 2 y+a 3 z, G(x, y, z) = b 1 x+b 2 y+b 3 z Theo quy tắc Cramer, điểm P x là giao điểm chung (duy nhất) củaF và Gvới
Do đó, theo Mệnh đề 1.2.1(i),I P x (F, G)>0 Ta cần chứng minhI P x (F, G) = 1. Cho H(x, y, z) =c 1 x+c 2 y+c 3 z, sao cho
, sao cho mọi đa thức trong K[x, y, z] đều có thể viết được dưới dạng một đa thức trong K[F, G, H] Do đó mọi phần tử q của O P x (A 2 )đều có thể viết dưới dạng q= F S 1 (F, G, H) +GS 2 (G, H) +s 0 H k
F T 1 (F, G, H) +GT 2 (G, H) +t 0 H k ,với s 0 , t 0 ∈K, t 0 6= 0, k ∈Z + và S 1 , S 2 , T 1 , T 2 là các đa thức.
Khi đó q−s 0 /t 0 ∈ hF, Gi Do đó O P x (A 2 )/hF, Gi −→ 1 và O P x (A 2 )/hF, Gi là không gian một chiều nên I P x (F, G) = 1.
Một thuật toán tìm chu trình giao
2.1 Chu trình giao của một đường cong với một tích của các đường thẳng
Cho các đa thức thuần nhất F ∈K[x, y, z] vàG∈K[y, z], giả sửGbất khả quy trên K Nếu G không chứa biến y thì G=z vì G là bất khả quy Nếu G chứa biến y thì ta có phân tích
(y−βz), (2) trong đó β là nghiệm trong K của G(y,1) Trong trường hợp này Glà một tích của các đường thẳng.
F(x, y, z) = F(x, y,0) +zF 0 (x, y, z), trong đó F(x, y,0) là phần gồm các đơn thức của F(x, y, z) không chứa biến z và zF 0 (x, y, z)∈K[x, y, z] là phần gồm các đơn thức chứa biến z của F(x, y, z).
Mặt khác, xét khai triển của F(x, y, z)tại y=βz ta có
Theo Mệnh đề 1(iii) ta có
Vỡ vậyF ãG=F(x, y,0)ãz hoặc