bài toán tương giao liên quan tới mặt bậc hai

Quỹ tích những tiếp tuyến của mặt bậc hai tại một tiếp điểm được gọi là mặtphẳng tiếp xúc với mặt bậc hai tại điểm ấy.. CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH1.5 Các bài toán tương g

BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN TỚI

MẶT BẬC HAI

Nhóm 5 Sinh viên K47A - Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Ngày 20 tháng 11 năm 2021

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

MẶT BẬC HAI

***

Lời nói đầu 4

1.1 Mặt bậc hai 5

1.1.1 Giới thiệu một số mặt bậc hai 5

1.2 Tâm của mặt bậc hai 7

1.2.1 Cách tìm tâm của mặt bậc hai 8

1.2.2 Điều kiện để mặt bậc hai có tâm 8

1.3 Tiệm cận của mặt bậc hai 9

1.3.1 Phương tiệm cận và đường tiệm cận 9

1.3.2 Cách tìm đường tiệm cận 10

1.3.2.1 Bài toán minh họa 10

1.4 Tiếp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc 11

1.4.1 Tiếp tuyến của mặt bậc hai 11

1.4.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt bậc hai 11

1.4.2.1 Bài toán minh họa 12

1.5 Các bài toán tương giao 14

1.5.1 Giao tuyến của hai mặt bậc hai 14

1.5.1.1 Bài toán minh họa 14

1.5.2 Giao tuyến của mặt bậc hai với mặt phẳng 16

1.5.2.1 Bài toán minh họa 17

1.5.3 Giao tuyến của mặt bậc hai với đường thẳng 19

1.5.3.1 Bài toán minh họa 20

1.5.3.1 Một số bài toán minh họa khác 24

Tài liệu tham khảo 24

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Lời nói đầu

Hình học, là một phân nhánh của toán học, ra đời từ thời Euclid (thế kÿ III TCN), đã mở ra vôvàn điều kì diệu để con người tìm tòi và khám phá Trong chương trình học phổ thông ở Việt Nam,học sinh đã được tiếp cận cả hai mảng: Hình học phẳng và Hình học không gian Những kiến thức

cơ bản đó chính là nền tảng để học tập và nghiên cứu ở bậc Đại học Đặc biệt, sinh viên theo họcnhững chuyên ngành về Toán có cơ hội tiếp cận với những khái niệm mới, chuyên sâu hơn, chẳnghạn như: đường bậc hai, mặt bậc hai, trong bộ môn Hình học giải tích

Nếu so với kiến thức về đường bậc hai có vẻ gần gũi với chương trình học ta từng được tiếpxúc ở bậc Trung học phổ thông, thì mảng lý thuyết liên quan đến mặt bậc hai lại khá mới mẻ, mở

ra nhiều vấn đề chuyên sâu trong không gian cần được sinh viên nghiên cứu và thấu hiểu

Là sinh viên khoa Toán 3 Tin học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đểphục vụ cho quá trình học tập tại trường, cũng như cho công việc nghiên cứu và giảng dạy trongtương lai, nhóm sinh viên chúng em đã tìm kiếm và tổng hợp kiến thức, hình ảnh, ví dụ về nhữngvấn đề trọng tâm có liên quan đến chủ đề <Mặt bậc hai= Hi vọng những gì chúng em tìm hiểu vàbiên soạn sẽ hỗ trợ thêm một phần kiến thức cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán nói riêng,cũng như các bạn có cùng niềm đam mê nghiên cứu Toán học

Về phương thức biên soạn, nhóm chúng em chia thành 5 nội dung chính:

1 Định nghĩa mặt bậc hai

2 Tâm của mặt bậc hai

3 Phương tiệm cận và đường tiệm cận

4 Tiếp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc

5 Các bài toán tương giao

Tìm hiểu nội dung lý thuyết liên quan, quan sát trực quan hình vẽ, kết hợp với nghiên cứu các

ví dụ minh họa để nắm vững phương pháp xử lí bài toán và chú ý đến các nhận xét, kết luận đượcrút ra sẽ giúp chúng ta có thể làm chủ được <Mặt bậc hai=, một chủ đề vô cùng quan trọng và cầnthiết cho quá trình học tập, giảng dạy cũng như nghiên cứu Toán học

Vì lượng kiến thức, trình độ chuyên môn cũng như thời gian có hạn, nên trong tài liệu khôngthể tránh khỏi những sai sót, nhóm sinh viên chúng em rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô vàbạn đọc Chúng em xin chân thành cảm ơn!

• Lưu Lê Khải Cường

• Bùi Thu Tâm

• Phạm Xuân Thảo

• Mai Nam Vũ

MẶT BẬC HAI 1.1 MẶT BẬC HAI

1.1 Mặt bậc hai

Định nghĩa 1. Trong không gian với hệ tọa độ affine Oxyz, tập hợp (S) gồm tất cả các điểm

M có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn phương trình bậc hai (*) được gọi là một mặt bậc hai.

✓ Phần bậc hai được gọi là phần toàn phương

✓ Phần bậc nhất được gọi là phần tuyến tính

MẶT BẬC HAI 1.2 TÂM CỦA MẶT BẬC HAI

1.2 Tâm của mặt bậc hai

Định nghĩa 2. Điểm I được gọi là tâm của mặt bậc hai (S) nếu trong mục tiêu affine mà điểm

I là gốc tọa độ, phương trình mặt bậc hai của (S) có dạng:

1.2 TÂM CỦA MẶT BẬC HAI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1.2.1 Cách tìm tâm của mặt bậc hai

Giả sử, trong mục tiêu affine

+ 22(y′+ y0)2

+ 33(z′+ 0)2

+ 2a12(x′+ x0)(y′+ y0) + 2a23(y′+ y0)(z′+ z0) + 2a13(x′+ x0)(z′+ z0)+ 2a14(x′+ x0) + 2a24(y′+ y0) + 2a34(z′+ z0) + a44

Kết luận Như vậy, tâm của mặt bậc hai (S) cho bởi phương trình (*) là điểm I có tọa độ ( x0, y , z0 0)

là nghiệm của hệ phương trình (2) nêu trên

1.2.2 Điều kiện để mặt bậc hai có tâm

Mặt bậc hai (S) là mặt bậc hai có tâm khi và chß khi hệ phương trình bậc nhất (2) nói trên có

gồm các hệ số của phương trình mặt bậc hai với quy ước aij = aji với i, j = 1, 2 3 ,

Ta thừa nhận: Nếu det(A) = 0 thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất và (S) là một mặt bậc

hai có tâm

MẶT BẬC HAI 1.3 TIỆM CẬN CỦA MẶT BẬC HAI

Nhận xét.

1 Từ định nghĩa, ta suy ra nếu điểm M ∈ (S) thì điểm M′đối xứng với nó qua I cũng thuộc (S) Vậy tâm của mặt bậc hai chính là tâm đối xứng của nó Điều này có nghĩa là phép đối xứng qua I biến (S) thành chính nó.

2 Khi tịnh tiến mặt bậc hai tới tâm của nó thì phương trình sẽ mất số hạng bậc một, phươngtrình bậc hai sau khi tịnh tiến là:

+ 22y2

+ 33z2

+ 2 12xy+ 2 23yz+ 213xz + (x0, y , z0 0) = 0.

3 Nếu I là tâm của (S) và I ∈ ( S ) thì I được gọi là điểm kỳ dị của (S)

1.3 Tiệm cận của mặt bậc hai

1.3.1 Phương tiệm cận và đường tiệm cận

Định nghĩa 3. Ta nói #»v = (α, β, γ) =#»0 là vector chß phương tiệm cận của mặt bậc hai nếu

(α, β, γ) là nghiệm của phương trình:

Tương tự như trên, khi t → ∞ : Q + R t → 0

Suy ra Q = 0 hay αF′x(x0, y0, z0) + βF y(x′ 0, y0, z0) + γF z(x′ 0, y0, z0) = 0.

1.3 TIỆM CẬN CỦA MẶT BẬC HAI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

 Kiểm tra tâm I(x0, y , z0 0) thuộc (S) hay không để khẳng định có hay không đường tiệm cận.

 Phương trình đường tiệm cận tìm được là:

1.3.2.1 Bài toán minh họa

 Bài toán 1.Cho mặt bậc hai (S): 2x2+ 5 +8 + 2y2 + 12 +6 +8 + 14 16

Nhận xét. Trong quá trình viết phương trình đường tiệm cận sẽ xảy ra các trường hợp sau:

1 Không có tâm, do đó không có đường tiệm cận

MẶT BẬC HAI 1.4 TIẾP TUYẾN VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC

2 Không có phương tiệm cận, suy ra không có đường tiệm cận

3 Có phương tiệm cận, có tâm nhưng tâm lại thuộc (S), suy ra không có đường tiệm cận

4 Có vô số tâm, suy ra không xác định đường tiệm cận

1.4 Tiếp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc

1.4.1 Tiếp tuyến của mặt bậc hai

Định nghĩa 4. Đường thẳng cắt mặt bậc hai tại hai điểm trùng nhau được gọi là tiếp tuyếncủa mặt bậc hai tại điểm trùng đó

Phân tích. Cho mặt bậc hai (S) : F (x; ; y z ) = 0 và M( x0; y0; z0) ∈ S( )

Đường thẳng d đi qua M có phương trình tham số:

1.4.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt bậc hai

Định nghĩa 5. Quỹ tích những tiếp tuyến của mặt bậc hai tại một tiếp điểm được gọi là mặtphẳng tiếp xúc với mặt bậc hai tại điểm ấy

Quỹ tích là một tập hợp các điểm trong không gian, thỏa mãn một tính chất, thuộc tính nào

đó Mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai tại một điểm chính là quỹ tích của những tiếp tuyếntại điểm đó

1.4 TIẾP TUYẾN VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Phân tích. Từ kết quả trên, phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; ;y0z0) của mặt bậc hai (S) có

(x − x0)F x(x′ 0; y0; z0) + (y − y0)F y(x′ 0; y0; z0) + (z − z0)F z(x′ 0; y0; z0) = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai (S) tại điểm M có dạng:

(x − x0)F x(x′ 0; y0; z0) + (y − y0)F y(x′ 0; y0; z0) + (z − z0)F z(x′ 0; y0; z0) = 0.

Nhận xét. Mặt phẳng tiếp xúc giao nhau với mặt bậc hai theo một đường cong bậc hai suy biến

1.4.2.1 Bài toán minh họa

 Bài toán 2.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai (S) : x2+ y2

MẶT BẬC HAI 1.4 TIẾP TUYẾN VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC

tương đương

−2(x + 2) + 6 + 16 y z= 0hay

−2x + 6 + 16 y z − 4 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai (S) tại A( 2 − , 0, 0) là: x − 3 y − z + 2 = 0 □8

 Bài toán 3.Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc của

− y2+ 5 + 6z2 + 4

zx x − z = 0 và qua trục Oy.

Lời giải.

Xét giao điểm của Oy và (S), ta thấy Oy cắt (S) tại điểm O(0 0 , ,0) duy nhất

Suy ra, mặt phẳng tiếp xúc với (S) qua Oy sẽ tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm là O(0 0 0) , ,

2x − z = 0.

1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1.5 Các bài toán tương giao

1.5.1 Giao tuyến của hai mặt bậc hai

Phương pháp

• Lập hệ phương trình gồm hai phương trình của hai mặt bậc hai đã cho

• Dùng các phép biến đổi để nhận dạng giao tuyến thuộc loại đường nào

1.5.1.1 Bài toán minh họa

 Bài toán 4.Tìm giao tuyến của hai mặt bậc hai x2+ y2

MẶT BẬC HAI 1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Suy ra hai mặt phẳng trên cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là hai đường tròn.

Do đó, giao tuyến của hai mặt bậc hai đã cho cũng là đường tròn

Gọi hai đường tròn đó lần lượt là (C1) và (C2) Tâm I1của (C1) là hình chiếu của I trên (P1)

Đường thẳng đi qua I1và I (0; 0; 25) và có vector chß phương #» v = (0; −3; 4) có dạng: (d1):

Tương tự, ta cũng có tâm và bán kính của (C2) là I2(0; −12; 9) và r2= 15 □

 Bài toán 6.Chứng minh hyperboloid 1 tầng:x

1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Giao tuyến của hyperboloid và mặt cầu có phương trình:

Ta lại có: (S) có tâm O (0; 0; 0) và bán kính R = a và d [O, ( α1)] = d [O, α( 2)] = 0

Vậy hai mặt bậc hai cắt nhau theo hai đường tròn có cùng tâm O và bán kính R = a. □

1.5.2 Giao tuyến của mặt bậc hai với mặt phẳng

Định lý.Giao của một mặt bậc hai và một mặt phẳng là một đường bậc hai, hoặc một đường thẳng,hoặc một mặt phẳng

Chứng minh. Giả sử cho mặt bậc hai (S) và mặt phẳng (P ) Ta hãy chọn một hệ tọa độ Oxyzsao

cho mặt phẳng Oxy là mặt phẳng (P ) Khi đó phương trình của (P ) đối với hệ tọa độ đó là z = 0 Giả sử đối với hệ tọa đó, phương trình của (S) có dạng (1) thì giao của (S) và (P ) gồm những điểm

có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình sau:

• a11, a22, a12không đồng thời bằng 0: giao của (S) và (P ) là một đường bậc hai trong mặt phẳng

Oxy

MẶT BẬC HAI 1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

• a11= a22= a12= 0 nhưng a1và a2không đồng thời bằng 0: giao của (S) và (P ) là một đường

ví dụ đơn giản, để có cái nhìn trực quan trong cách xử lí vấn đề

1.5.2.1 Bài toán minh họa

 Bài toán 7.Cho mặt nón tròn xoay (S): x2+ y2

Do đó, (P ) cắt (S) cho giao tuyến là một đường tròn khi

(P ) song song với (Oxy )

Suy ra (P ) có phương trình Cz + D = 0.

 Bài toán 8.Cho mặt nón (S): x

1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Thay (∗∗) vào (∗) ta được:

Phương trình (2) là phương trình mặt cầu có tâm I (0 0 , , ∓Bma2)

Do đó, cặp mặt phẳng Ay ± Bz + m = 0 sẽ cắt mặt cầu theo giao tuyến là cặp đường tròn. □

 Bài toán 9.Xét giao tuyến của Hyperboloit 1 tầng x

Do đó hình chiếu của hai đường thẳng thực căt nhau, giao điểm của chúng là: x = 6; y = −2 Nên

giao tuyến cần xét cũng là hai đường thẳng thực cắt nhau với tọa độ giao điểm là

MẶT BẬC HAI 1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Đặt y0− x0+ 2z0= −m Ta có giao của mặt phẳng với mặt bậc hai đã cho là:

Nếu mặt phẳng cần tìm tiếp xúc với mặt thì phải tiếp xúc tại điểm (3, −1, 1), nên điều kiện cần cũng

1.5.3 Giao tuyến của mặt bậc hai với đường thẳng

trình bậc hai theo biến t nên đây cũng sẽ là phương hướng để ta xử lí bài toán.

1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Phương trình đường thẳng d tổng quát (tham số):

2 Viết phương trình tương giao giữa chúng.

Dựa vào phương trình mặt bậc hai và phương trình đường thẳng ta viết được phương

trình tương giao có dạng như sau: P t2+ Qt + R = 0 (*).

Xét phương trình tương giao (*) dưới dạng P t2+ Qt + R = 0 có:

Trường hợp 1: P = 0 Xét ∆ = Q2

− 4P R:

• Nếu ∆ > 0 ( , d ) cắt (α) tại hai điểm phân biệt.

• Nếu ∆ = 0, (d) tiếp xúc với (α).

• Nếu ∆ < 0 ( , d ) cắt (α) tại hai điểm ảo.

Trường hợp 2: P = 0 Khi đó, phương trình trở thành: Qt + R = 0.

• Nếu Q = 0, (d) cắt (α) tại một điểm duy nhất.

• Nếu Q = 0 và R = 0, (d) không cắt ( ) α

• Nếu Q = 0 và R= 0,(d ) nằm trong (α)

1.5.3.1 Bài toán minh họa

 Bài toán 11.Tìm giao tuyến của mặt bậc hai (α) : x2+y

MẶT BẬC HAI 1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Ta sẽ tính được ∆ = −258 < 0 cho nên phương trình (1) sẽ có hai nghiệm ảo t1, t2và tương ứng với

1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Mở rộng.Dựa vào bài toán gốc trên chúng ta có thể mở rộng ra nhiều dạng toán khác nhau thôngqua việc chèn bài toán vào các bài toán lớn hơn hay là đi các phương hướng ngược lại với bài toán(từ các điểm và mặt bậc hai tìm đường, ) hay thậm chí là đưa ra các thông tin để người làm phải đitìm phương trình đường thẳng và phương trình mặt bậc hai Dưới đây nhóm sẽ giới thiệu qua một

số dạng toán để các bạn tham khảo:

 Dạng 1 Giao giữa mặt và đường biết đường song song với một đường khác và

đi qua một điểm.

Tìm giao tuyến của mặt bậc hai (α) trên với đường thẳng d1biết d1có vtcp #»u1= (A01;B01;C01)

và đi qua M(x01; y01; z01) và d1song song với d2:x − x02

Nhận xét.Dạng bài này không khác với bài gốc là bao nhiêu Vấn đề duy nhất của chúng ta là cần

tìm ra phương trình của đường thẳng d1, từ đó xử lí giống bài toán gốc và tìm tương giao giữa ( )α

(nếu tồn tại 1 cặp tương ứng có 2 phần từ bằng 0 thì nó sẽ bị loại khỏi dãy tß số bằng nhau)

Khi đó, ta có đường thẳng d1là đường thẳng đi qua điểm M(x01; y01; z01) và có vectơ chß phương

MẶT BẬC HAI 1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Tìm mặt phẳng (P ) tiếp xúc với (α) chứa đường thẳng d cũng tiếp xúc ( ) α

Nhận xét.Tiếp tuyến là một dạng đặc biệt được sinh ra từ bài toán về tương giao giữa đường vàmặt bậc hai do những tính chất đặc biệt nó mang lại và cũng vì vậy về phương pháp cũng như địnhhướng giải cụ thể với ví dụ sẽ được nói rõ ràng hơn trong phần tiếp tuyến

Do đề bài đã cho phương trình của đường thẳng tiếp xúc với mặt bậc hai nên ta có thể tìm trực tiếp

điểm tiếp xúc M của cả hai và từ đó tìm ra phương trình của mặt phẳng cần tìm.

Cách làm. Viết phương trình tương giao của (α) với d

Do d tiếp xúc (α) nên ta sẽ tìm được tọa độ điểm tiếp xúc M(x0; y0; z0) của cả hai

Lúc này phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai (α) tại điểm M(x0; ;y0z0) có dạng:

(x − x0)F x(x′ 0, y0, z0) + (y − y0)F y(x′ 0, y0, z0) + (z − z0)F z(x′ 0, y0, z0) = 0.

 Dạng 3 Cho đường thẳng thay đổi theo quy tắc nhất định cùng với mặt bậc

hai, từ đó xác định quỹ tích các điểm đặc biệt trên đường.

Cho mặt bậc hai (α) nào đó, đồng thời cho đường thẳng d thay đổi luôn song song hoặc vuông góc với một đường thẳng khác và cắt (α) tại một số điểm Từ đó tìm quỹ tích của những điểm

đặc biệt

Nhận xét.Bài toán này góp phần giúp kiểm tra khả năng tư duy xử lí hình ảnh và đặc biệt không

hề bị rập khuôn về cách làm xử lí để tìm ra quỹ tích cũng như điểm đặc biệt Nhưng cũng vì vậyrất khó để tổng quát hóa hoàn toàn bài toán Thay vào đó, chúng ta sẽ xử lí đơn giản một ví dụ vềdạng bài toán này để có cái nhìn trực quan trong cách xử lí

 Bài toán 13.Cho mặt bậc hai (S) : 5x2+ 4xy+ 8y2 + 80 = 0 Đường thẳng

1.5 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

□

1.5.3.1 Một số bài toán minh họa khác

Như đã nói, thông qua bài toán gốc chúng ta có thể mở rộng ra nhiều dạng toán khác nhau thôngqua một số phương pháp khác nhau Và vì các dạng toán quá nhiều và đa dạng nên nhóm sẽ chß giớithiệu một số ví dụ các bài toán khác để người đọc tham khảo cũng như thử vận dụng kiến thức củamình để xử lí

 Bài toán 14.Một hình bình hành nội tiếp trong elip x2+ 4y2= 25 Một cạnh của hình

bình hành có phương trình x + 2y − 7 = 0 Tìm phương trình của cạnh còn lại.

 Bài toán 15.Một hình bình hành ngoại tiếp đường bậc hai 2x2

−4xy +y2 2 +6

− x y −3 = 0.

Một đßnh của nó là A(3; 4) Tìm các đßnh còn lại.

 Bài toán 16.Qua điểm (5; 1; 2) tìm quỹ tích các đường thẳng sao cho nó cắt mặt x