Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích tấm chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng cơ và nhiệt sử dụng phương pháp phần tử chuyễn động MEM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

LÊ HOÀI PHÚC

PHÂN TÍCH TẤM CHỨC NĂNG FGM TRÊN NỀN CÓ ĐỘ CỨNG BIẾN THIÊN CHỊU TẢI TRỌNG CƠ VÀ NHIỆT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG MEM

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ hướng dẫn: PGS TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 20/05/1994 Nơi sinh: TP HCM

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích tấm chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng cơ và nhiệt sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Analysis of functionally graded material FGM plate on a variable stiffness foundation under thermal and dynamic loadings using Moving Element Method MEM)

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Sử dụng các mô hình tính toán bằng phần tử chuyển động để phân tích ứng xử động lực học của tấm chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng của nhiệt độ và tải trọng di động

2 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập các công thức tính toán cho các ví dụ số 3 Kết quả các ví dụ số sẽ đưa ra các kết luận quan trọng về ứng xử động lực học của tấm chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng của nhiệt độ và tải trọng di động

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/09/2022 IV NGÀY HOÀNH THÀNH NHIỆM VỤ: 27/12/2022

TS Cao Tấn Ngọc Thân

Tp HCM, ngày tháng năm 2023

PGS TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

LỜI CẢM ƠN

Năm năm trên giảng đường Đại học và gần ba năm của chương trình Sau Đại học, tôi cảm thấy rất hạnh phúc vì đã được học tập, nghiên cứu khoa học tại ngôi trường thân yêu mang tên trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Tôi sẽ không thể nào quên được sự chỉ bảo tận tình, cũng như tình cảm yêu thương, quan tâm của Quý Thầy Cô của Trường nói chung và đặc biệt là Khoa Kỹ thuật Xây dựng nói riêng

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến toàn thể Quý Thầy Cô Đặc biệt nhất, tôi xin gửi lời cám ơn, tình cảm quý trọng, chân thành đến Thầy PGS TS Lương Văn Hải và Thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân Sự hướng dẫn tận tình và tinh thần nghiên cứu khoa học nghiêm túc là điều mà tôi may mắn được nhận được từ các Thầy trong suốt thời gian thực hiện Luận văn thạc sĩ

Tôi cũng rất hạnh phúc và muốn nói lời cảm ơn, yêu thương nhất gửi đến gia đình và những anh chị, bạn bè đồng khóa đã luôn động viên tinh thần của tôi, giúp đỡ tôi trên bước đường học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 27 tháng 12 năm 2022

Lê Hoài Phúc

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Kết cấu tấm chịu tác động của tải trọng di động hiện đang được ứng dụng rộng rãi trong các ngành xây dựng và giao thông Do tính ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, nên vấn đề phân tích ứng xử động của tấm đã nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước Các nghiên cứu trước đây thường chỉ mô hình kết cấu tấm trên nền có độ cứng đồng nhất, chịu tải cơ học trong điều kiện bình thường, bỏ qua yếu tố ảnh hưởng của nhiệt độ lên kết cấu tấm Tuy nhiên, độ cứng đồng nhất chỉ phù hợp với mô hình ứng xử của nền được đơn giản hóa Do đó, việc nghiên cứu mô hình nền có độ cứng biến thiên của Luận văn nhằm mô phỏng chính xác hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực tế Luận văn cũng sẽ tập trung nghiên cứu các vấn đề liên quan đến ảnh hưởng của sự biến đổi nhiệt độ đến kết cấu tấm, để hiểu rõ hơn về ứng xử của tải trọng nhiệt, tạo cơ sở ứng dụng rộng rãi các kết cấu tấm chịu được sự ảnh hưởng của nhiệt độ Ý tưởng mới của Luận văn nhằm phát triển phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) với nhiều ưu điểm hơn phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (Finite Element Method – FEM), trong đó các phần tử tấm sẽ được xem như di chuyển và tải trọng có thể được xem là đứng yên trên trên nền có độ cứng biến thiên, bên cạnh đó có xét đến yếu tố nhiệt độ khi tác dụng lên các mặt của kết cấu tấm Do đó, Luận văn được thực hiện với mục đích tập trung phân tích ứng xử động của kết cấu tấm vật liệu chức năng (Functionally Graded Material – FGM) theo mô hình tấm dày Reissner-Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển, đồng thời có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp MEM

Các kết quả nghiên cứu trong Luận văn hy vọng sẽ là một trong những tài liệu tham khảo hữu ích nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho công việc thiết kế, thi công và bảo dưỡng các kết cấu trong thực tế

ABSTRACT

Plate structures under the influence of moving loads are present widely within the construction and transportation industries Owing to their practical characteristics, analyses of a plate with moving loads have attracted major interests from national and international researchers Previous studies mostly model plates on constant stiffness foundations with mechanical loadings applied under normal conditions, neglecting the effects of temperature Nevertheless, constant stiffnesses should only be suitable for simplified foundation models; therefore, in order to provide a more apprehensible representation of heterogenous ground layers found in real-world scenarios, this thesis employs a variable stiffness function into its foundation model Furthermore, this study also examines the effects that tempature changes impose onto plate structures, to better understand the influence of temperature loadings and present a case for wider utilization of plates resilient to temperature fluctuations The Moving Element Method (MEM) will be applied into all analyses undertaken within the scope of this thesis to demonstrate its advantanges over the traditional Finite Element Method (FEM), where plate elements shall be considered moving on a variable stiffness foundation under an assumed static load, with temperature effects accounted for on the plate’s surface To summarize, the purpose of this thesis is to analyze dynamic reactions of a Functionally Graded Material (FGM) plate structure modelled after the Reissner-Mindlin thick plate, on a variable stiffness foundation under a moving load, while simultaneously considering the effects of temperature changes using MEM

Results presented in this thesis will hopefully be one of the more reliable resources to facilitate the design, construction and maintenance of structures in real-world applications

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS TS Lương Văn Hải và Thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 27 tháng 12 năm 2022

Lê Hoài Phúc

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xii

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xiv

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 GIỚI THIỆU 1

1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 3

1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới về kết cấu tấm chịu tải di chuyển 3

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trên thế giới về kết cấu tấm FGM 5

1.2.3 Các công trình nghiên cứu trong nước 6

1.2.4 Tính cấp thiết của đề tài 7

1.3 MỤC TIÊU VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 7

1.3.1 Mục tiêu 7

1.3.2 Hướng nghiên cứu 8

1.4 CẤU TRÚC DỰ KIẾN TRONG LUẬN VĂN 8

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9

2.1 MÔ TẢ VỀ BÀI TOÁN 9

2.2 BÀI TOÁN TẤM CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN 10

2.2.1 Lý thuyết tấm Mindlin 10

2.2.2 Mô hình nền Pasternak biến thiên 11

2.2.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị 13

2.2.4 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 14

2.2.5 Lý thuyết tấm FGM chịu ảnh hưởng của nhiệt độ 16

2.2.6 Tấm FGM trên nền Paternak biến thiên 21

2.3 PHƯƠNG PHÁP MEM CHO BÀI TOÁN TẤM FGM CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN VÀ ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ 24

2.3.1 Phần tử đẳng tham số 24

2.3.2 Phương pháp MEM cho kết cấu tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ 28

2.4 PHƯƠNG PHÁP NEWMARK 36

2.4.1 Phương pháp tìm nghiệm dạng gia tốc 36

2.4.2 Phương pháp tìm nghiệm dạng chuyển vị 37

2.5 THUẬT TOÁN SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 38

2.5.1 Thông số đầu vào 38

2.5.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị 40

2.5.3 Độ ổn định và hội tụ theo phương pháp Newmark 40

2.6 LƯU ĐỒ TÍNH TOÁN 41

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 42

3.1 CÁC BÀI TOÁN SỐ TRONG LUẬN VĂN 42

3.2 KIỂM CHỨNG CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 44

3.2.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng tĩnh 44

3.2.2 Bài toán 2: Phân tích dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm FGM 46

3.2.3 Bài toán 3: Phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng di động trên nền Pasternak chịu ảnh hưởng của nhiệt độ 52

3.3 PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA TẤM FGM 54

3.3.1 Bài toán 1: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị theo bước lặp thời gian

t 55 3.3.2 Bài toán 2: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM chịu tải

trọng di động trong môi trường nhiệt độ khi hệ số độ cứng kwf thay đổi 56 3.3.3 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có

độ cứng kwf và hệ số cản nền cf cùng biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ 58 3.3.4 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có

độ cứng kwf biến thiên và hệ số cản nền cf thay đổi chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ 60 3.3.5 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên FGM nền có

độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ với

hệ số tương quan α của nền thay đổi 62

3.3.6 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có

độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi

số mũ n của nền thay đổi 63

3.3.7 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có

độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi

chiều dày tấm h thay đổi 65

3.3.8 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có

độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi chỉ số tỷ lệ thể tích n của tấm thay đổi 67

3.3.9 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có

độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi

vận tốc lực di chuyển V thay đổi 69

3.3.10 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền

có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ

khi giá trị tải di chuyển P thay đổi 71

3.3.11 Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền

có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ

trong môi trường nhiệt độ thay đổi 72

3.3.12 Bài toán 12: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi thành phần cấu tạo tấm FGM thay đổi 74

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79

4.1 KẾT LUẬN 79

4.2 KIẾN NGHỊ 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

MÃ NGUỒN CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 88

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 103

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Vật liệu composite phân lớp và phân lớp chức năng FGM 1

Hình 1.2 Mô hình vật liệu FGM 2

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và tấm cố định (FEM) 3

Hình 1.4 Mô hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM) 3

Hình 2.1 Mô hình tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ 10

Hình 2.2 Mô hình tấm trên nền có độ cứng biến thiên 12

Hình 2.3 Mô hình tấm FGM trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển 14

Hình 2.4 Quan hệ giữa Vcvới tỉ số /z h và chỉ số thể tích n 18

Hình 2.5 a Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể ( , )x y ; b Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên ( , )  25

Hình 2.6 Rời rạc tấm thành Ne phần tử và hệ tọa độ chuyển động ( )r s 28,

Hình 2.7 Lưu đồ tính toán 41

Hình 3.1 Chuyển vị không thứ nguyên của tấm FGM và các lưới chia phần tử 45

Hình 3.2 Dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode thứ nhất của tấm FGM và các lưới chia phần tử 47

Hình 3.3 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của 5 mode dao động đầu tiên của tấm với L/h=20 48

Hình 3.4 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode dao động đầu tiên của tấm FGM với các tỉ lệ chiều dày L/h khác nhau 50

Hình 3.5 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên mode dao động thứ nhất của tấm FGM1 và FGM2 theo tỉ lệ thể tích n 52

Hình 3.6 Chuyển vị tại tâm tấm (mm) với các hệ số tỉ lệ thể tích n khác nhau 53

Hình 3.7 Chuyển vị của tấm với các bước thời gian t khác nhau 55

Hình 3.8 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền kwf thay đổi 57

Hình 3.9 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền kwf thay đổi 57

Hình 3.10 Chuyển vị lớn nhất của ba trường hợp được xét 59

Hình 3.11 Chuyển vị dọc theo chiều dài tấm của ba trường hợp được xét 60

Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền cf thay đổi 61

Hình 3.13 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số cản nền cf thay đổi 61

Hình 3.14 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị hệ số tương quan α thay đổi 62

Hình 3.15 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số tương quan α thay đổi 63

Hình 3.16 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị số mũ n thay đổi 64

Hình 3.17 So sánh chuyển vị của tấm khi số mũ n thay đổi 64

Hình 3.18 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị chiều dày tấm h thay đổi 66

Hình 3.19 So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi 66

Hình 3.20 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các chỉ số tỉ lệ thể tích n thay đổi 68

Hình 3.21 So sánh chuyển vị của tấm khi chỉ số tỉ lệ thể tích n thay đổi 68

Hình 3.22 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị vận tốc tải di chuyển V thay đổi 70

Hình 3.23 So sánh chuyển vị của tấm khi giá trị vận tốc tải di chuyển V thay đổi 70

Hình 3.24 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị tải trọng di chuyển P thay đổi 71

Hình 3.25 So sánh chuyển vị của tấm khi giá trị tải trọng di chuyển P thay đổi 72

Hình 3.26 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị nhiệt độ T thay đổi 73

Hình 3.27 So sánh chuyển vị của tấm khi giá trị nhiệt độ T thay đổi 74

Hình 3.28 So sánh chuyển vị theo chiều dài phương x của các tấm khi vật liệu cấu tạo thay đổi ở 300oK 76

Hình 3.29 So sánh chuyển vị theo chiều dài phương x của các tấm khi vật liệu cấu tạo thay đổi ở 400oK 77

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss 28

Bảng 2.2 Thông số tấm FGM 39

Bảng 2.3 Thông số nền 39

Bảng 2.4 Thông số tải trọng và nhiệt độ tác dụng lên tấm 39

Bảng 3.1 Thông số vật liệu tấm FGM (ZrO2/Al) 45

Bảng 3.2 Chuyển vị không thứ nguyên tại tâm tấm FGM theo các lưới chia phần tử 45

Bảng 3.3 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên  của mode dao động thứ nhất tấm FGM theo lưới chia phần tử 46

Bảng 3.4 Bảng so sánh tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode đầu tiên của tấm FGM với L/h=20 và lưới chia 5x5 48

Bảng 3.5 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode đầu tiên của tấm FGM với tỉ lệ chiều dày L/h và chỉ số tỉ lệ thể tích n khác nhau 49

Bảng 3.6 Thông số vật liệu tấm FGM1 (ZrO2/Al) 51

Bảng 3.7 Thông số vật liệu tấm FGM2 (ZrO2/Ti-6Al-4V) 51

Bảng 3.8 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên mode dao động thứ nhất của tấm FGM1 và FGM2 theo chỉ số tỉ lệ thể tích n 52

Bảng 3.9 Chuyển vị tại tâm tấm (mm) với các hệ số tỉ lệ thể tích n khác nhau 53

Bảng 3.10 Thông số vật liệu tấm FGM Si3N4/SUS304 54

Bảng 3.11 Các thông số nền 54

Bảng 3.12 Thông số tải trọng và nhiệt độ tác dụng lên tấm 54

Bảng 3.13 Sự hội tụ của chuyển vị (mm) theo các bước thời gian t 55

Bảng 3.14 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền kwf thay đổi 56

Bảng 3.15 Quy luật công thức của các thông số nền sử dụng 58

Bảng 3.16 Các giá trị chuyển vị thu được tại tâm tấm từ ba trường hợp 58

Bảng 3.17 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền cf thay đổi 60

Bảng 3.18 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số tương quan α thay đổi 62

Bảng 3.19 So sánh chuyển vị của tấm khi số mũ n thay đổi 64Bảng 3.20 So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi 65Bảng 3.21 So sánh chuyển vị của tấm khi chỉ số tỉ lệ thể tích n thay đổi 67Bảng 3.22 So sánh chuyển vị của tấm khi giá trị vận tốc tải di chuyển V thay

FGM 75Bảng 3.27 Chuyển vị lớn nhất của các tấm khi vật liệu cấu tạo thay đổi ở 300oK

76Bảng 3.28 Chuyển vị lớn nhất của các tấm khi vật liệu cấu tạo thay đổi ở 400oK

77

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) FGM Vật liệu biến đổi chức năng (Functionally Graded Material) MEM Phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element

Method)

Q9 Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral Nine-Node Element)

Ma trận và véc tơ

b Véc tơ tải trọng tác dụng lên tấm

M(e) Ma trận khối lượng của phần tử tấm

Meff Ma trận khối lượng hiệu dụng

P(e) Véc tơ tải trọng của phần tử tấm

Peff Véc tơ tải trọng hiệu dụng

u Trường chuyển vị tại một điểm trên mặt trung hòa của tấm

L, B, h Chiều dài, chiều rộng, chiều dày của tấm

Ec, c Môđun đàn hồi, khối lượng riêng của vật liệu gốm

Em, m Môđun đàn hồi, khối lượng riêng của vật liệu kim loại

E(z), (z) Môđun đàn hồi, khối lượng riêng của vật liệu tại vị trí z trên

chiều dày tấm vật liệu chức năng

Pc, Pm, P(z) Thuộc tính vật liệu gốm, vật liệu kim loại, thuộc tính vật liệu

tại vị trí tọa độ z của tấm vật liệu chức năng

Vc, n Hàm tỉ lệ thể tích, chỉ số tỉ lệ thể tích của tấm vật liệu chức năng

kwf, ksf, cf Thông số nền thứ nhất, thông số nền thứ hai, độ cản của nền

u, v, w Chuyển vị của tấm theo phương x, y, z

u0, v0, w0Chuyển vị theo phương x, y, z của mặt phẳng trung hòa của

  Miền khảo sát của bài toán, miền khảo sát của phần tử

( , )  Hệ tọa độ địa phương của phần tử tấm

V0, V Vận tốc ban đầu, vận tốc tại thời điểm t của tải trọng S Quãng đường di chuyển của tải trọng

Tkhaosat Tổng thời gian khảo sát

,

Vật liệu FGM là hỗn hợp của nhiều loại vật liệu, phổ biến thường gồm hai thành phần là gốm (ceramic) và kim loại (metal) với các đặc trưng cơ học được phân thành 3 vùng: vùng chịu nhiệt cao (gốm), vùng chuyển tiếp (gốm – kim loại) và vùng chịu nhiệt thấp (kim loại) như Hình 1.2 Vật liệu FGM tận dụng được lợi thế của các vật liệu thành phần: khả năng chịu nhiệt và chịu ăn mòn tốt của gốm (ceramic) và khả năng chịu lực và độ bền của kim loại (metal), vì vậy nó có nhiều đặc tính ưu việt hơn so với loại vật liệu thuần nhất có thành phần cấu tạo tương tự

Hình 1.1 Vật liệu composite phân lớp và phân lớp chức năng FGM

Hình 1.2 Mô hình vật liệu FGM

Nhờ vào những đặc tính ưu việt trên mà vật liệu biến đổi chức năng FGM đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như ngành Hàng không, ngành Công nghiệp và Xây dựng Vì vậy mà nhiều nghiên cứu về ứng xử của tấm FGM được các nhà khoa học quan tâm và công bố trong những năm gần đây Đa số các nghiên cứu trước đây đều sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (Finite Element Method – FEM) được thể hiện trong Hình 1.3 với tải trọng chuyển động trên tấm nên gặp khó khăn khi tải di động tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên, ngoài ra phương pháp này yêu cầu phải luôn cập nhật vị trí của véc tơ tải trọng Do đó để giải quyết bài toán tấm dài vô hạn sẽ tốn nhiều thời gian và chi phí tính toán

Gần đây, trong nỗ lực để khắc phục các hạn chế trên, Koh và cộng sự (2003) [1]đã đề xuất phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) cho bài toán ứng xử dầm và tấm chịu tải trọng di động Trong Luận văn này, bài toán tấm FGM dài vô hạn đặt trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sẽ được giải quyết nhanh hơn và ít tốn kém hơn bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM thể hiện trong Hình 1.4 Ưu điểm của phương pháp này là tải di động sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử luôn chuyển động Ngoài ra, tải di động sẽ không phải di chuyển từ phần tử này đến phần tử khác, do đó tránh được việc cập nhật véc tơ tải trọng Hơn nữa, phương pháp này cho phép phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau và điều này có thể hữu ích khi các tải tác dụng tại các điểm tùy ý Nghiên cứu này cho thấy MEM là một trong những phương pháp thích hợp để phân tích bài toán động lực học kết cấu tấm chịu tải trọng di động

(Ceramic)

(Metal) Vùng chuyển tiếp

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và tấm cố định (FEM)

Hình 1.4 Mô hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM)

Bên cạnh đó, Luận văn sử dụng mô hình nền có độ cứng biến thiên nhằm mô phỏng gần đúng hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực

tế Tấm được đặt trên nền đất có hệ số độ cứng nền biến thiên kwf (x) và hệ số độ cản nền biến thiên cf (x) Đồng thời, sự ảnh hưởng của nhiệt độ đến kết cấu tấm cũng sẽ

được xét đến, vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ

xét trong điều kiện bình thường, bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ

1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới về kết cấu tấm chịu tải di chuyển

Phân tích ứng xử của kết cấu tấm chịu tải trọng di động đã được nghiên cứu rất nhiều trên thế giới Kim và Reoset (1998) [2] đã khảo sát ứng xử của tấm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng hằng số và tải trọng điều hòa di chuyển Sau đó, Kim (2004) [3] đã phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn hồi và nền hai thông số dưới tác dụng đồng thời của tải trọng nén và tải trọng di chuyển Huang và Thambiratnam (2001-2002) [4] [5] [6] đã khảo sát ứng xử tĩnh và động của tấm trên

nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh, tải trọng chuyển động đều và chuyển động có gia tốc Sun (2005) [7] đã xây dựng lời giải giải tích cho bài toán tấm mỏng Kirchhoff trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng tập trung điều hòa và tải trọng dạng đường điều hòa di chuyển

Các công trình nghiên cứu kể trên đang áp dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân chuyển động của tấm Phương pháp này có thể cho nghiệm chính xác nhưng trong các bài toán phức tạp, hệ có nhiều bậc tự do hay chuyển động có gia tốc thì để tìm được lời giải cho bài toán là rất khó khăn Do đó, phương pháp giải tích được sử dụng khá hạn chế trong nghiên cứu phân tích động học của các kết cấu phức tạp trong thực tế Với sự phát triển của công nghệ máy tính, nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán động lực học kết cấu, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn FEM Yoshida và Weaver (1971) [8] đã khảo sát ứng xử của tấm có biên tựa đơn dưới tác dụng của tải trọng di chuyển và khối lượng di chuyển bằng phương pháp phần tử hữu hạn FEM Wu và cộng sự (1987) [9] đã sử dụng phương pháp FEM nghiên cứu phân tích ứng xử động của tấm phẳng chịu tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau

Trong phương pháp FEM, tất cả các ma trận kết cấu được thực hiện trên một hệ tọa độ cố định, khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì phải cập nhật lại các ma trận kết cấu và tải trọng có thể vượt khỏi biên bài toán Điều này là một nhược điểm rất lớn của FEM Để khắc phục các nhược điểm trên của FEM thì phương pháp phần tử chuyển động MEM được đề xuất và ứng dụng rộng rãi Koh và cộng sự (2006-2007) [10] [11]lần lượt đã phát triển phương pháp MEM cho bài toán phân tích ứng xử của tấm hình vành khăn và ứng xử của nền bán không gian đàn hồi chịu tải trọng di chuyển Xu và cộng sự (2009) [12]đã phát triển phương pháp MEM từ bài toán dầm cho bài toán tấm để phân tích ứng xử của tấm mỏng đặt trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng di chuyển Trong nghiên cứu này, phương trình chuyển động của tấm dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và nền Winkler được sử dụng để mô hình nền đàn nhớt Tran và cộng sự (2014-2017) [13] [14] [15] [16] [17] đã phát triển phương pháp MEM để phân tích

ứng xử của tàu cao tốc trong nhiều trường hợp khác nhau Dai và cộng sự (2018) [18] [19] [20] đã phân tích ứng xử của tàu cao tốc với nhiều mô hình nền khác nhau

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trên thế giới về kết cấu tấm FGM

Vật liệu biến đổi chức năng FGM là vật liệu composite thế hệ mới được một nhóm nhà khoa học Nhật Bản giới thiệu vào năm 1984 Tấm FGM đã khắc phục được hiện tượng tập trung ứng suất và hiện tượng tách lớp của tấm composite Nhờ vào những đặc tính ưu việt mà vật liệu FGM đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Bài toán phân tích ứng xử của tấm FGM đã được nhiều nhà nghiên cứu thực hiện như Chi và Chung (2006) [21] đã phân tích tấm FGM hình vuông có bề dày trung bình và bốn biên tựa đơn với các quy luật phân bố thể tích của tấm khác nhau dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp biến đổi Fourier Uymaz và Aydogdu (2007) [22] đã khảo sát dao động của tấm FGM vuông với các điều kiện biên khác nhau sử dụng phương pháp Ritz và công thức chuyển vị Chebyshev Sau đó, Atmane và cộng sự (2010) [23] đã đề xuất một lý thuyết biến dạng cắt mới để phân tích dao động của tấm FGM trên nền Pasternak sử dụng phương pháp Navier Thai và Vo (2013) [24] đã phát triển lý thuyết biến dạng cắt theo hàm sin cho bài toán phân tích uốn, ổn định và dao động của tấm FGM Melekzadeh và Monajjemzadeh (2013-2015) [25] [26] lần lượt đã phân tích ứng xử của tấm FGM trong môi trường nhiệt độ và ứng xử phi tuyến của tấm FGM chịu tải trọng di chuyển Zenkour và Radwan (2018) [27] đã trình bày một nghiên cứu tổng quát về ứng xử tĩnh và dao động của tấm FGM trên nền Pasternak với lý thuyết biến dạng cắt sử dụng hàm hyperbolic

Để khắc phục các hạn chế của phương pháp giải tích, các nhà nghiên cứu đã giải quyết các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn FEM trong nghiên cứu về tấm FGM Talha và Singh (2010) [28] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do của tấm FGM với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử đẳng tham số 9 nút (FEM-9) để tính toán chuyển vị và tần số dao động của tấm M K Singha và cộng sự (2011) [29] đã sử dụng FEM để phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và dao động tự do tấm P-FGM Michalska và Mania (2013) [30] đã khảo sát tấm FGM chữ nhật mỏng tựa đơn chịu tải trọng xung và nhiệt độ với lời giải phần tử hữu hạn Bhandari và Purohit (2014)

[31] đã phân tích tấm FGM được mô hình 3D bằng phần mềm ANSYS Ramu và Mohanty (2014) [32] đã phân tích tấm P-FGM bằng FEM sử dụng phần mềm MATLAB để lập trình tính toán, đưa ra các kết quả quan trọng về tấm FGM như dao động tự nhiên trong các điều kiện biên khác nhau Liu và cộng sự (2015) [33] đã phân tích nứt trên tấm FGM sử dụng FEM, phần tử tam giác ba nút và lý thuyết tấm dày Reissner-Mindlin Shahidzadeh và cộng sự (2016) [34] đã phân tích ứng xử của tấm FGM vuông với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp phần tử hữu hạn FEM sử dụng phần mềm Abacus và Fortran

Đối với bài toán phân tích ứng xử của tấm vật liệu biến đổi chức năng FGM bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM, gần đây trong nghiên cứu của Luong và cộng sự (2020) [35] đã trình bày phương pháp phần tử chuyển động MEM để phân tích động lực học tấm FGM trên nền Pasternak chịu tải điều hòa chuyển động

1.2.3 Các công trình nghiên cứu trong nước

Ở nước ta, trong những năm gần đây cũng có khá nhiều nghiên cứu về vật liệu FGM được công bố Bùi Quốc Bình (2009) [36] giới thiệu phương pháp mô hình hóa vật liệu chức năng theo lý thuyết tấm Mindlin, khảo sát tấm với các đặc trưng của tấm và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS Phượng và cộng sự (2012) [37] nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm FGM chữ nhật tựa khớp trên chu vi chịu tải trọng vuông góc với mặt trung bình theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff-Love Dũng và Lân (2014) [38] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM để tính toán độ võng và ứng suất của tấm FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ Đức và cộng sự (2016) [39] đã tiến hành phân tích ổn định phi tuyến của tấm E-FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt độ bằng phương pháp Galerkin sử dụng lý thuyết tấm cổ điển

Một số Luận văn Cao học ngành Kỹ thuật xây dựng tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh cũng đã nghiên cứu về tấm chịu tải trọng di động, cụ thể như sau: Anh (2013) [40] đã sử dụng phương pháp MEM để phân tích ứng xử động của tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Duy (2013) [41] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để khảo sát ứng xử của tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền Hùng (2014) [42] cũng đã dùng

MEM để phân tích ứng xử tấm composite laminate chịu tác dụng các loại tải trọng trên nền đàn nhớt Cũng trong năm này, Nhi (2014) [43] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM để phân tích ứng xử động lực học của kết cấu tấm đặt trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động Thế (2015) [44] đã phân tích động lực học tấm dày Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM Anh (2015) [45] đã phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động 2-D Sỹ (2021) [46] đã phân tích ứng xử động của tấm FGM chịu tải trọng di chuyển có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM

1.2.4 Tính cấp thiết của đề tài

Theo tổng quan tài liệu nghiên cứu, phân tích ứng xử của tấm vật liệu biến đổi chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM chưa được thực hiện Do đó, Luận văn sẽ tập trung phân tích ứng xử của tấm vật liệu chức năng với những đặc tính cơ học ưu việt bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM mang nhiều ưu điểm so với các phương pháp trước đây Mô phỏng nền có độ cứng biến thiên sẽ được phản ánh thực tế hơn khi chịu tải trọng di chuyển so với nền Winkler chỉ phù hợp với mô hình ứng xử của nền được đơn giản hóa Đồng thời, sự ảnh hưởng của nhiệt độ đến kết cấu tấm cũng sẽ được tập trung nghiên cứu trong Luận văn, vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ xét trong điều kiện bình thường, không kể đến sự ảnh hưởng của nhiệt độ

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 1.3.1 Mục tiêu

Mục tiêu chính của Luận văn nhằm phân tích ảnh hưởng của nhiệt độ và tải trọng di động đến ứng xử của tấm chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên Trong đó, phương pháp phần tử chuyển động MEM được phát triển để giải quyết tốt hơn và khắc phục những hạn chế của các phương pháp phần tử hữu hạn FEM truyền thống và thể hiện chính xác hơn ứng xử động của hệ kết cấu, cũng như mô phỏng chính xác hơn mô hình nền không đồng nhất trong thực tế

1.3.2 Hướng nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề nghiên cứu trong Luận văn bao gồm: • Trình bày cách thành lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp MEM

• Phát triển chương trình tính toán bằng Matlab để giải hệ phương trình tĩnh, dao động tự do và phương trình động của bài toán

• Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của Luận văn với kết quả nghiên cứu của tác giả khác

• Thực hiện các ví dụ số để phân tích đánh giá kết quả bài toán và rút ra các kết luận

1.4 Cấu trúc dự kiến trong luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm FGM chịu ảnh hưởng của nhiệt độ và tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết để phân tích động lực học tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động và ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM

Chương 3: Trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

Chương 4: Ðưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày các công thức cơ bản của tấm FGM chịu uốn theo lý thuyết tấm dày Reissner-Mindlin Đồng thời giới thiệu mô hình cấu tạo nền có độ cứng biến thiên và thiết lập công thức để phân tích động lực học kết cấu tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động và ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp MEM Phương pháp Newmark cũng được trình bày để giải bài toán động lực học theo miền thời gian

Trong Luận văn này, ứng xử động lực học của tấm FGM có chiều dài L, chiều rộng B và chiều dày h được đặt trên nền đất hệ số độ cứng nền biến thiên kwf (x) và hệ số độ cản nền biến thiên cf (x), chịu tác dụng của tải tập trung P di chuyển dọc theo phương x qua tâm tấm, tác động của nhiệt độ lên tấm được thể hiện thông qua hàm phân bố nhiệt độ T(z) như trên Hình 2.1 Hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung hòa của tấm và mô hình tấm có miền hình học   R2

và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm được giả thiết hoàn toàn phẳng và vật

liệu của tấm là đẳng hướng, tuân theo định luật Hooke, có môđun đàn hồi E, hệ số Poisson v và khối lượng riêng 

Hình 2.1 Mô hình tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ

2.2 Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 2.2.1 Lý thuyết tấm Mindlin

Tấm là một kết cấu phẳng trong đó chiều dày h của tấm có kích thước rất nhỏ so

với kích thước hai cạnh còn lại Tùy theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích thước cạnh

ngắn B của tấm mà có thể chia tấm thành hai loại sau, dựa theo nghiên cứu của Chu

(1997) [47]:

▪ Tấm dày: là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ 1

 và độ võng max

hw  Tuy nhiên, nếu tấm mỏng có độ võng lớn ( max

w  ) thì các ứng suất do uốn bị ảnh hưởng rất nhiều bởi ứng suất màng Khi đó, phải tính toán với lý thuyết tấm có biến dạng lớn

Lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff (hay còn gọi là lý thuyết tấm cổ điển) là lý thuyết tấm đơn giản nhất Lý thuyết này không kể đến thành phần biến dạng trượt do ứng

suất cắt trong tấm gây ra nên sẽ không cho kết quả chuyển vị và tần số dao động chính xác đối với tấm có tỉ lệ 1

B  Đối với các tấm này thì sử dụng lý thuyết tấm Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) sẽ cho kết quả chính xác hơn vì có kể thêm biến dạng trượt do ứng suất cắt trong tấm

Lý thuyết tấm Mindlin được dựa theo các gải thuyết như sau:

▪ Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung hòa khi biến dạng

▪ Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung gian không bị kéo và nén và là mặt trung hòa của tấm khi biến dạng

▪ Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng của tấm z

Trong lý thuyết tấm Mindlin thì các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình gây ra và phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra

Trong Luận văn này sẽ phân tích ứng xử của tấm P-FGM theo mô hình tấm Reissner-Mindlin

2.2.2 Mô hình nền Pasternak biến thiên

Mô hình nền hai thông số đàn hồi - cản nhớt biến thiên được khảo sát trong Luận văn nhằm mô phỏng chính xác hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực tế.Phương pháp này có nhiều ưu điểm khắc phục được những hạn chế so với các phương pháp trước đó để giải quyết các bài toán phức tạp, mô phỏng chính xác và phù hợp hơn với thực tế làm việc của đất nền Vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ xét đến mô hình nền đồng nhất Luận văn sử dụng mô hình nền như trong Hình 2.2, mô hình nền gồm các lò xo đàn hồi có

độ cứng kwf và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số cf phân bố trên bề mặt diện tích tấm Sự

thay đổi đặc tính độ cứng nền dọc theo phương chiều dài của tấm được giả định theo quy luật như sau theo Phước và cộng sự (2014) [48]:

0 1

xk (x) k     

k - giá trị hằng số của đặc tính nền tương ứng;

0  1 - hệ số tương quan và đặc biệt  = , xem nền có độ cứng là hằng 0số;

n  - giá trị hàm mũ, trường hợp n=1, n=2 nền có độ cứng biến thiên tuyến

tính và parabol dọc theo chiều dài tấm

Như vậy có thể thấy rằng mô hình nền này bao gồm các công thức của nền hằng số, tuyến tính và bậc 2

Lxk (x)= k 1-

   

      

Như đã phân tích ở trên, mô hình nền đàn nhớt gồm các lò xo đàn hồi có độ cứng

kwf và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số cf phân bố trên bề mặt diện tích tấm Tuy nhiên, chỉ sự thay đổi đặc tính độ cứng của nền thì không phản ánh đầy đủ các đặc tính của nền đàn nhớt biến thiên mà cần phải có sự biến thiên đồng thời của cả độ cứng và cản nhớt nền Do đó, ngoài sự thay đổi độ cứng nền như trong công thức (2.1) thì đặc tính cản nhớt của nền được đề nghị biến thiên dọc theo phương chiều dài của tấm cùng quy luật với sự biến thiên của độ cứng nền như sau:

xc (x)= c 1-

c - đặc tính độ cản nền (cản nhớt);

c - giá trị hằng số của độ cản nền tương ứng;

0  1 - hệ số tương quan và đặc biệt  = xem nền có cản nhớt là hằng 0số;

n  - giá trị hàm mũ

2.2.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị

Xét tấm FGM có chiều dài L, chiều rộng B và chiều dày h được đặt trên nền Pasternak biến thiên chịu tác dụng của tải trọng P di chuyển dọc theo phương x qua

tâm tấm như trên Hình 2.3 Hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy

trùng với mặt trung hòa của tấm và mô hình tấm có miền hình học 2

  và trục z

vuông góc với mặt phẳng tấm

Gọi u x y v x y w x y0( , ), ( , ),0 0( , ) lần lượt là chuyển vị theo phương x, y và z của một

điểm thuộc mặt trung hòa của tấm và β= x( , )x y y( , )x y T là véc tơ góc xoay

của pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục Oy và Ox với quy ước chiều dương được

cho như trong Hình 2.3

Trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong mặt phẳng thuộc mặt trung hòa của tấm FGM theo lý thuyết tấm Mindlin được cho bởi:

Các thành phần chuyển vị u, v, và w theo phương x, y và z tại một điểm bất kỳ

trong tấm được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng thuộc trục trung hòa như sau:

trong đó, nếu gọi xz và yz lần lượt là biến dạng cắt của tấm thì góc xoay của mặt

trung hòa của tấm quanh trục y và x lần lượt được xác định như sau:

0( , )

wx y

Hình 2.3 Mô hình tấm FGM trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển

2.2.4 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Trường biến dạng của một điểm bất kỳ trong tấm FGM theo lý thuyết tấm Mindlin được xác định như sau:

Ký hiệu “,” – thể hiện đạo hàm đối với biến là ký hiệu đi liền sau

Mối quan hệ giữa các thành phần ứng suất và biến dạng của tấm FGM tuân theo định luật Hooke, được trình bày như sau:

trong đó: E - môđun đàn hồi của vật liệu và  - hệ số poisson

2.2.5 Lý thuyết tấm FGM chịu ảnh hưởng của nhiệt độ

Vật liệu biến đổi chức năng (FGM - Functionally Graded Materials) là vật liệu composite thế hệ mới mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác của tấm Vật liệu FGM đã khắc phục được những hạn chế vật liệu composite là giảm ứng suất tập trung và hạn chế được sự bong tách giữa các lớp Có được tính chất này là nhờ trong vật liệu FGM tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi một cách liên tục theo chiều dày của tấm

Vật liệu FGM phổ biến được kết hợp từ hai vật liệu gốm và kim loại, trong đó tỉ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt giàu gốm đến mặt kia giàu kim loại Sự biến thiên của các thuộc tính của vật liệu FGM theo hàm tỉ lệ thể tích được thiết lập theo công thức:

Quy luật phân bố của hàm tỉ lệ thể tích là cơ sở để phân loại vật liệu FGM thành ba loại như sau: vật liệu P-FGM có Vc thay đổi theo quy luật lũy thừa Power-Law, vật liệu E-FGM có Vc thay đổi theo quy luật hàm e-mũ và vật liệu S-FGM có Vc thay đổi theo quy luật hàm logarit chuẩn

Luận văn này tập trung phân tích ứng xử của tấm vật liệu chức năng P-FGM với hàm tỉ lệ thể tích Vc của tấm P-FGM tuân theo quy luật lũy thừa Power-Law được viết như sau:

Sự thay đổi của hàm tỉ lệ thể tích Vc theo tỉ số /z h khi thay đổi chỉ số tỉ lệ thể tích n được thể hiện trên Hình 2.4 Khi giá trị của n lớn (n 10) thì Vc có giá trị rất bé trên suốt chiều dày tấm, khi đó có thể xem như vật liệu kim loại của tấm chiếm

ưu thế Đối với giá trị của n bé (n 0.1)thì Vc có giá trị tiến đến 1 trên suốt chiều dày tấm, khi đó có thể xem như vật liệu gốm của tấm chiếm ưu thế

Các thuộc tính của vật liệu FGM thay đổi theo hàm tỉ lệ thể tích bao gồm: môđun đàn hồi E z , khối lượng riêng ( ) ( )z và hệ số poisson ( )z được trình bày như sau:

 =  −  +  +

Hình 2.4 Quan hệ giữa Vcvới tỉ số /z h và chỉ số thể tích n

Ảnh hưởng của hệ số Poisson ( )z đến ứng xử của tấm FGM là nhỏ hơn rất nhiều so với ảnh hưởng của môđun đàn hồi E z( ), theo nghiên cứu của Delale và Erdogan (1983) [49] Do đó, hệ số Poisson của tấm FGM được xem là hằng số được xác định theo công thức:

lượng riêng , hệ số poisson  như đã trình bày ở trên Hệ số giãn nở nhiệt  được trình bày như sau:

−−

Với giả thiết biến thiên nhiệt độ chỉ theo phương chiều dày z của tấm và trường nhiệt độ được xem là hằng số trong mặt phẳng Oxy Trong trường hợp này, hàm phân

bố nhiệt độ dọc theo chiều dày tấm có thể nhận được thông qua việc giải phương trình trạng thái truyền nhiệt:

2.2.6 Tấm FGM trên nền Paternak biến thiên

Phương trình chuyển động của tấm FGM trên nền Paternak biến thiên chịu tải trọng di chuyển được thiết lập dựa trên nguyên lý công ảo Công nội ảo của tấm được cho bởi công thức:

dzQ