TỔNG QUAN
G IỚI THIỆU
Khái niệm vật liệu biến đổi chức năng (Functionally Graded Materials – FGM) được đề cập lần đầu tiên vào năm 1984 tại Nhật Bản bởi một nhóm các nhà khoa học vật liệu Vật liệu mới này có đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác của tấm, có khả năng chịu được môi trường nhiệt độ cao và loại bỏ được hiện tượng tập trung ứng suất tại ví trí tiếp xúc giữa các lớp vật liệu khác nhau, hạn chế được sự bong tách giữa các lớp (Hình 1.1)
Vật liệu FGM là hỗn hợp của nhiều loại vật liệu, phổ biến thường gồm hai thành phần là gốm (ceramic) và kim loại (metal) với các đặc trưng cơ học được phân thành
3 vùng: vùng chịu nhiệt cao (gốm), vùng chuyển tiếp (gốm – kim loại) và vùng chịu nhiệt thấp (kim loại) như Hình 1.2 Vật liệu FGM tận dụng được lợi thế của các vật liệu thành phần: khả năng chịu nhiệt và chịu ăn mòn tốt của gốm (ceramic) và khả năng chịu lực và độ bền của kim loại (metal), vì vậy nó có nhiều đặc tính ưu việt hơn so với loại vật liệu thuần nhất có thành phần cấu tạo tương tự
Hình 1.1 Vật liệu composite phân lớp và phân lớp chức năng FGM
Hình 1.2 Mô hình vật liệu FGM
Nhờ vào những đặc tính ưu việt trên mà vật liệu biến đổi chức năng FGM đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như ngành Hàng không, ngành Công nghiệp và Xây dựng Vì vậy mà nhiều nghiên cứu về ứng xử của tấm FGM được các nhà khoa học quan tâm và công bố trong những năm gần đây Đa số các nghiên cứu trước đây đều sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (Finite Element Method – FEM) được thể hiện trong Hình 1.3 với tải trọng chuyển động trên tấm nên gặp khó khăn khi tải di động tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên, ngoài ra phương pháp này yêu cầu phải luôn cập nhật vị trí của véc tơ tải trọng
Do đó để giải quyết bài toán tấm dài vô hạn sẽ tốn nhiều thời gian và chi phí tính toán
Gần đây, trong nỗ lực để khắc phục các hạn chế trên, Koh và cộng sự (2003) [1]đã đề xuất phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) cho bài toán ứng xử dầm và tấm chịu tải trọng di động Trong Luận văn này, bài toán tấm FGM dài vô hạn đặt trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sẽ được giải quyết nhanh hơn và ít tốn kém hơn bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM thể hiện trong Hình 1.4 Ưu điểm của phương pháp này là tải di động sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử luôn chuyển động Ngoài ra, tải di động sẽ không phải di chuyển từ phần tử này đến phần tử khác, do đó tránh được việc cập nhật véc tơ tải trọng Hơn nữa, phương pháp này cho phép phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau và điều này có thể hữu ích khi các tải tác dụng tại các điểm tùy ý Nghiên cứu này cho thấy MEM là một trong những phương pháp thích hợp để phân tích bài toán động lực học kết cấu tấm chịu tải trọng di động
Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và tấm cố định (FEM)
Hình 1.4 Mô hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM)
Bên cạnh đó, Luận văn sử dụng mô hình nền có độ cứng biến thiên nhằm mô phỏng gần đúng hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực tế Tấm được đặt trên nền đất có hệ số độ cứng nền biến thiên k wf (x) và hệ số độ cản nền biến thiên c f (x) Đồng thời, sự ảnh hưởng của nhiệt độ đến kết cấu tấm cũng sẽ được xét đến, vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ xét trong điều kiện bình thường, bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ.
T ÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
1.2.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới về kết cấu tấm chịu tải di chuyển
Phân tích ứng xử của kết cấu tấm chịu tải trọng di động đã được nghiên cứu rất nhiều trên thế giới Kim và Reoset (1998) [2] đã khảo sát ứng xử của tấm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng hằng số và tải trọng điều hòa di chuyển Sau đó, Kim (2004) [3] đã phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn hồi và nền hai thông số dưới tác dụng đồng thời của tải trọng nén và tải trọng di chuyển Huang và Thambiratnam (2001-2002) [4] [5] [6] đã khảo sát ứng xử tĩnh và động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh, tải trọng chuyển động đều và chuyển động có gia tốc Sun (2005) [7] đã xây dựng lời giải giải tích cho bài toán tấm mỏng Kirchhoff trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng tập trung điều hòa và tải trọng dạng đường điều hòa di chuyển
Các công trình nghiên cứu kể trên đang áp dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân chuyển động của tấm Phương pháp này có thể cho nghiệm chính xác nhưng trong các bài toán phức tạp, hệ có nhiều bậc tự do hay chuyển động có gia tốc thì để tìm được lời giải cho bài toán là rất khó khăn Do đó, phương pháp giải tích được sử dụng khá hạn chế trong nghiên cứu phân tích động học của các kết cấu phức tạp trong thực tế Với sự phát triển của công nghệ máy tính, nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán động lực học kết cấu, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn FEM Yoshida và Weaver (1971) [8] đã khảo sát ứng xử của tấm có biên tựa đơn dưới tác dụng của tải trọng di chuyển và khối lượng di chuyển bằng phương pháp phần tử hữu hạn FEM Wu và cộng sự (1987) [9] đã sử dụng phương pháp FEM nghiên cứu phân tích ứng xử động của tấm phẳng chịu tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau
Trong phương pháp FEM, tất cả các ma trận kết cấu được thực hiện trên một hệ tọa độ cố định, khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì phải cập nhật lại các ma trận kết cấu và tải trọng có thể vượt khỏi biên bài toán Điều này là một nhược điểm rất lớn của FEM Để khắc phục các nhược điểm trên của FEM thì phương pháp phần tử chuyển động MEM được đề xuất và ứng dụng rộng rãi Koh và cộng sự (2006-2007) [10] [11]lần lượt đã phát triển phương pháp MEM cho bài toán phân tích ứng xử của tấm hình vành khăn và ứng xử của nền bán không gian đàn hồi chịu tải trọng di chuyển Xu và cộng sự (2009) [12]đã phát triển phương pháp MEM từ bài toán dầm cho bài toán tấm để phân tích ứng xử của tấm mỏng đặt trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng di chuyển Trong nghiên cứu này, phương trình chuyển động của tấm dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và nền Winkler được sử dụng để mô hình nền đàn nhớt Tran và cộng sự (2014-2017) [13] [14] [15] [16] [17] đã phát triển phương pháp MEM để phân tích ứng xử của tàu cao tốc trong nhiều trường hợp khác nhau Dai và cộng sự (2018) [18] [19] [20] đã phân tích ứng xử của tàu cao tốc với nhiều mô hình nền khác nhau
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trên thế giới về kết cấu tấm FGM
Vật liệu biến đổi chức năng FGM là vật liệu composite thế hệ mới được một nhóm nhà khoa học Nhật Bản giới thiệu vào năm 1984 Tấm FGM đã khắc phục được hiện tượng tập trung ứng suất và hiện tượng tách lớp của tấm composite Nhờ vào những đặc tính ưu việt mà vật liệu FGM đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Bài toán phân tích ứng xử của tấm FGM đã được nhiều nhà nghiên cứu thực hiện như Chi và Chung (2006) [21] đã phân tích tấm FGM hình vuông có bề dày trung bình và bốn biên tựa đơn với các quy luật phân bố thể tích của tấm khác nhau dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp biến đổi Fourier Uymaz và Aydogdu (2007) [22] đã khảo sát dao động của tấm FGM vuông với các điều kiện biên khác nhau sử dụng phương pháp Ritz và công thức chuyển vị Chebyshev Sau đó, Atmane và cộng sự (2010) [23] đã đề xuất một lý thuyết biến dạng cắt mới để phân tích dao động của tấm FGM trên nền Pasternak sử dụng phương pháp Navier Thai và Vo (2013) [24] đã phát triển lý thuyết biến dạng cắt theo hàm sin cho bài toán phân tích uốn, ổn định và dao động của tấm FGM Melekzadeh và Monajjemzadeh (2013-2015) [25] [26] lần lượt đã phân tích ứng xử của tấm FGM trong môi trường nhiệt độ và ứng xử phi tuyến của tấm FGM chịu tải trọng di chuyển Zenkour và Radwan (2018) [27] đã trình bày một nghiên cứu tổng quát về ứng xử tĩnh và dao động của tấm FGM trên nền Pasternak với lý thuyết biến dạng cắt sử dụng hàm hyperbolic Để khắc phục các hạn chế của phương pháp giải tích, các nhà nghiên cứu đã giải quyết các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn FEM trong nghiên cứu về tấm FGM Talha và Singh (2010) [28] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do của tấm FGM với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử đẳng tham số 9 nút (FEM-9) để tính toán chuyển vị và tần số dao động của tấm M K Singha và cộng sự (2011) [29] đã sử dụng FEM để phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và dao động tự do tấm P-FGM Michalska và Mania (2013) [30] đã khảo sát tấm FGM chữ nhật mỏng tựa đơn chịu tải trọng xung và nhiệt độ với lời giải phần tử hữu hạn Bhandari và Purohit (2014)
[31] đã phân tích tấm FGM được mô hình 3D bằng phần mềm ANSYS Ramu và Mohanty (2014) [32] đã phân tích tấm P-FGM bằng FEM sử dụng phần mềm MATLAB để lập trình tính toán, đưa ra các kết quả quan trọng về tấm FGM như dao động tự nhiên trong các điều kiện biên khác nhau Liu và cộng sự (2015) [33] đã phân tích nứt trên tấm FGM sử dụng FEM, phần tử tam giác ba nút và lý thuyết tấm dày Reissner-Mindlin Shahidzadeh và cộng sự (2016) [34] đã phân tích ứng xử của tấm FGM vuông với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp phần tử hữu hạn FEM sử dụng phần mềm Abacus và Fortran Đối với bài toán phân tích ứng xử của tấm vật liệu biến đổi chức năng FGM bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM, gần đây trong nghiên cứu của Luong và cộng sự (2020) [35] đã trình bày phương pháp phần tử chuyển động MEM để phân tích động lực học tấm FGM trên nền Pasternak chịu tải điều hòa chuyển động
1.2.3 Các công trình nghiên cứu trong nước Ở nước ta, trong những năm gần đây cũng có khá nhiều nghiên cứu về vật liệu FGM được công bố Bùi Quốc Bình (2009) [36] giới thiệu phương pháp mô hình hóa vật liệu chức năng theo lý thuyết tấm Mindlin, khảo sát tấm với các đặc trưng của tấm và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS Phượng và cộng sự (2012) [37] nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm FGM chữ nhật tựa khớp trên chu vi chịu tải trọng vuông góc với mặt trung bình theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff-Love Dũng và Lân (2014) [38] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM để tính toán độ võng và ứng suất của tấm FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ Đức và cộng sự (2016) [39] đã tiến hành phân tích ổn định phi tuyến của tấm E-FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt độ bằng phương pháp Galerkin sử dụng lý thuyết tấm cổ điển
Một số Luận văn Cao học ngành Kỹ thuật xây dựng tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh cũng đã nghiên cứu về tấm chịu tải trọng di động, cụ thể như sau: Anh (2013) [40] đã sử dụng phương pháp MEM để phân tích ứng xử động của tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Duy (2013) [41] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để khảo sát ứng xử của tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền Hùng (2014) [42] cũng đã dùng
MEM để phân tích ứng xử tấm composite laminate chịu tác dụng các loại tải trọng trên nền đàn nhớt Cũng trong năm này, Nhi (2014) [43] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM để phân tích ứng xử động lực học của kết cấu tấm đặt trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động Thế (2015) [44] đã phân tích động lực học tấm dày Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM Anh (2015) [45] đã phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động 2-D Sỹ (2021) [46] đã phân tích ứng xử động của tấm FGM chịu tải trọng di chuyển có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM
1.2.4 Tính cấp thiết của đề tài
Theo tổng quan tài liệu nghiên cứu, phân tích ứng xử của tấm vật liệu biến đổi chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM chưa được thực hiện
Do đó, Luận văn sẽ tập trung phân tích ứng xử của tấm vật liệu chức năng với những đặc tính cơ học ưu việt bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM mang nhiều ưu điểm so với các phương pháp trước đây Mô phỏng nền có độ cứng biến thiên sẽ được phản ánh thực tế hơn khi chịu tải trọng di chuyển so với nền Winkler chỉ phù hợp với mô hình ứng xử của nền được đơn giản hóa Đồng thời, sự ảnh hưởng của nhiệt độ đến kết cấu tấm cũng sẽ được tập trung nghiên cứu trong Luận văn, vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ xét trong điều kiện bình thường, không kể đến sự ảnh hưởng của nhiệt độ.
M ỤC TIÊU VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Mục tiêu chính của Luận văn nhằm phân tích ảnh hưởng của nhiệt độ và tải trọng di động đến ứng xử của tấm chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên Trong đó, phương pháp phần tử chuyển động MEM được phát triển để giải quyết tốt hơn và khắc phục những hạn chế của các phương pháp phần tử hữu hạn FEM truyền thống và thể hiện chính xác hơn ứng xử động của hệ kết cấu, cũng như mô phỏng chính xác hơn mô hình nền không đồng nhất trong thực tế
1.3.2 Hướng nghiên cứu Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề nghiên cứu trong Luận văn bao gồm:
• Trình bày cách thành lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp MEM
• Phát triển chương trình tính toán bằng Matlab để giải hệ phương trình tĩnh, dao động tự do và phương trình động của bài toán
• Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của Luận văn với kết quả nghiên cứu của tác giả khác
• Thực hiện các ví dụ số để phân tích đánh giá kết quả bài toán và rút ra các kết luận.
C ẤU TRÚC DỰ KIẾN TRONG LUẬN VĂN
Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm FGM chịu ảnh hưởng của nhiệt độ và tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài
Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết để phân tích động lực học tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động và ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM
Chương 3: Trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán
Chương 4: Ðưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
M Ô TẢ VỀ BÀI TOÁN
Trong Luận văn này, ứng xử động lực học của tấm FGM có chiều dài L, chiều rộng B và chiều dày h được đặt trên nền đất hệ số độ cứng nền biến thiên k wf (x) và hệ số độ cản nền biến thiên c f (x), chịu tác dụng của tải tập trung P di chuyển dọc theo phương x qua tâm tấm, tác động của nhiệt độ lên tấm được thể hiện thông qua hàm phân bố nhiệt độ T(z) như trên Hình 2.1 Hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung hòa của tấm và mô hình tấm có miền hình học R 2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm được giả thiết hoàn toàn phẳng và vật liệu của tấm là đẳng hướng, tuân theo định luật Hooke, có môđun đàn hồi E, hệ số Poisson v và khối lượng riêng
Hình 2.1 Mô hình tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ
B ÀI TOÁN TẤM CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN
Tấm là một kết cấu phẳng trong đó chiều dày h của tấm có kích thước rất nhỏ so với kích thước hai cạnh còn lại Tùy theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích thước cạnh ngắn B của tấm mà có thể chia tấm thành hai loại sau, dựa theo nghiên cứu của Chu (1997) [47]:
▪ Tấm dày: là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ 1
▪ Tấm mỏng: là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất gây ra bởi sự uốn do tải trọng vuông góc với tấm gây ra khi tấm có độ võng nhỏ Tấm mỏng có tỉ lệ 1 1
Tuy nhiên, nếu tấm mỏng có độ võng lớn ( max
4 w h ) thì các ứng suất do uốn bị ảnh hưởng rất nhiều bởi ứng suất màng Khi đó, phải tính toán với lý thuyết tấm có biến dạng lớn
Lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff (hay còn gọi là lý thuyết tấm cổ điển) là lý thuyết tấm đơn giản nhất Lý thuyết này không kể đến thành phần biến dạng trượt do ứng suất cắt trong tấm gây ra nên sẽ không cho kết quả chuyển vị và tần số dao động chính xác đối với tấm có tỉ lệ 1
B Đối với các tấm này thì sử dụng lý thuyết tấm Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) sẽ cho kết quả chính xác hơn vì có kể thêm biến dạng trượt do ứng suất cắt trong tấm
Lý thuyết tấm Mindlin được dựa theo các gải thuyết như sau:
▪ Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung hòa khi biến dạng
▪ Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung gian không bị kéo và nén và là mặt trung hòa của tấm khi biến dạng
▪ Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng của tấm z
Trong lý thuyết tấm Mindlin thì các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình gây ra và phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra
Trong Luận văn này sẽ phân tích ứng xử của tấm P-FGM theo mô hình tấm Reissner-Mindlin
2.2.2 Mô hình nền Pasternak biến thiên
Mô hình nền hai thông số đàn hồi - cản nhớt biến thiên được khảo sát trong Luận văn nhằm mô phỏng chính xác hơn đặc tính ứng xử của các lớp đất nền không đồng nhất trong thực tế.Phương pháp này có nhiều ưu điểm khắc phục được những hạn chế so với các phương pháp trước đó để giải quyết các bài toán phức tạp, mô phỏng chính xác và phù hợp hơn với thực tế làm việc của đất nền Vì hầu hết các bài toán khảo sát động lực học kết cấu tấm trước đây chỉ xét đến mô hình nền đồng nhất Luận văn sử dụng mô hình nền như trong Hình 2.2, mô hình nền gồm các lò xo đàn hồi có độ cứng k wf và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số c f phân bố trên bề mặt diện tích tấm Sự thay đổi đặc tính độ cứng nền dọc theo phương chiều dài của tấm được giả định theo quy luật như sau theo Phước và cộng sự (2014) [48]:
0 1 n wf L k (x) k= − x (2.1) trong đó: x - tọa độ tổng thể tâm phần tử tấm;
L - chiều dài tấm; k wf - đặc tính độ cứng nền (độ cứng của lò xo); k 0 - giá trị hằng số của đặc tính nền tương ứng;
0 1 - hệ số tương quan và đặc biệt =0, xem nền có độ cứng là hằng số;
0 n - giá trị hàm mũ, trường hợp n=1, n=2 nền có độ cứng biến thiên tuyến tính và parabol dọc theo chiều dài tấm
Như vậy có thể thấy rằng mô hình nền này bao gồm các công thức của nền hằng số, tuyến tính và bậc 2 wf 0
Hình 2.2 Mô hình tấm trên nền có độ cứng biến thiên
Như đã phân tích ở trên, mô hình nền đàn nhớt gồm các lò xo đàn hồi có độ cứng k wf và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số c f phân bố trên bề mặt diện tích tấm Tuy nhiên, chỉ sự thay đổi đặc tính độ cứng của nền thì không phản ánh đầy đủ các đặc tính của nền đàn nhớt biến thiên mà cần phải có sự biến thiên đồng thời của cả độ cứng và cản nhớt nền Do đó, ngoài sự thay đổi độ cứng nền như trong công thức (2.1) thì đặc tính cản nhớt của nền được đề nghị biến thiên dọc theo phương chiều dài của tấm cùng quy luật với sự biến thiên của độ cứng nền như sau: n f 0 c (x)= c 1- x
(2.3) trong đó: x - tọa độ tổng thể tâm phần tử tấm;
L - chiều dài tấm; c f - đặc tính độ cản nền (cản nhớt); c 0 - giá trị hằng số của độ cản nền tương ứng;
0 1 - hệ số tương quan và đặc biệt =0 xem nền có cản nhớt là hằng số;
2.2.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị
Xét tấm FGM có chiều dài L, chiều rộng B và chiều dày h được đặt trên nền
Pasternak biến thiên chịu tác dụng của tải trọng P di chuyển dọc theo phương x qua tâm tấm như trên Hình 2.3 Hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung hòa của tấm và mô hình tấm có miền hình học R 2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm
Gọi u x y v x y w x y 0 ( , ), ( , ), 0 0 ( , ) lần lượt là chuyển vị theo phương x, y và z của một điểm thuộc mặt trung hòa của tấm và β= x ( , )x y y ( , )x y T là véc tơ góc xoay của pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục Oy và Ox với quy ước chiều dương được cho như trong Hình 2.3
Trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong mặt phẳng thuộc mặt trung hòa của tấm FGM theo lý thuyết tấm Mindlin được cho bởi:
Các thành phần chuyển vị u, v, và w theo phương x, y và z tại một điểm bất kỳ trong tấm được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng thuộc trục trung hòa như sau:
(2.5) trong đó, nếu gọi xz và yz lần lượt là biến dạng cắt của tấm thì góc xoay của mặt trung hòa của tấm quanh trục y và x lần lượt được xác định như sau:
Hình 2.3 Mô hình tấm FGM trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển
2.2.4 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Trường biến dạng của một điểm bất kỳ trong tấm FGM theo lý thuyết tấm Mindlin được xác định như sau:
γ (2.9) trong đó: ε m - trường biến dạng màng của tấm được xác định theo công thức:
ε (2.10) κ - độ cong của tấm được xác định theo công thức:
Ký hiệu “,” – thể hiện đạo hàm đối với biến là ký hiệu đi liền sau
Mối quan hệ giữa các thành phần ứng suất và biến dạng của tấm FGM tuân theo định luật Hooke, được trình bày như sau:
Các hằng số vật liệu được xác định bởi công thức:
(2.14) trong đó: E - môđun đàn hồi của vật liệu và - hệ số poisson
2.2.5 Lý thuyết tấm FGM chịu ảnh hưởng của nhiệt độ
Vật liệu biến đổi chức năng (FGM - Functionally Graded Materials) là vật liệu composite thế hệ mới mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác của tấm Vật liệu FGM đã khắc phục được những hạn chế vật liệu composite là giảm ứng suất tập trung và hạn chế được sự bong tách giữa các lớp Có được tính chất này là nhờ trong vật liệu FGM tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi một cách liên tục theo chiều dày của tấm
Vật liệu FGM phổ biến được kết hợp từ hai vật liệu gốm và kim loại, trong đó tỉ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt giàu gốm đến mặt kia giàu kim loại Sự biến thiên của các thuộc tính của vật liệu FGM theo hàm tỉ lệ thể tích được thiết lập theo công thức:
P c - thuộc tính của vật liệu gốm (mặt trên tấm);
P m - thuộc tính của vật liệu kim loại (mặt dưới tấm);
P z - thuộc tính của vật liệu tại tọa độ z bất kỳ trên chiều dày tấm;
V c - hàm tỉ lệ thể tích
P HƯƠNG PHÁP MEM CHO BÀI TOÁN TẤM FGM CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN VÀ ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ
ảnh hưởng của nhiệt độ
2.3.1 Phần tử đẳng tham số
Trong phương pháp phần tử hữu hạn FEM, khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biên là các đường cong hay mặt cong thì nếu chỉ sử dụng phần tử một chiều thẳng hay các phần tử hai chiều dạng tam giác hoặc tứ giác thì sẽ không đủ đảm bảo độ chính xác của kết quả Điều này đã dẫn đến việc xây dựng và phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ hơn với các biên là mặt cong hay đường cong Các phần tử này được gọi là phần tử có biên cong hay phần tử đẳng tham số (Izoparametric Element)
Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần tử được gọi là phần tử chuẩn (Master Element) trong hệ tọa độ tự nhiên Oξη thành phần tử thực tương ứng có dạng tùy ý trong tọa độ vuông góc Oxy Trong Luận văn này, phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nice-node Element – Q 9 ) thuộc loại đẳng tham số được sử dụng để mô hình hóa các bài toán tấm
Hình 2.5 a Phần tử Q 9 trong hệ tọa độ tổng thể ( , )x y b Phần tử Q 9 trong hệ tọa độ tự nhiên ( , ) Các hàm nội suy Lagrange N i i ( = 1 9) của phần tử Q 9 được cho bởi công thức:
Vì phần tử đẳng tham số nên tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử được xác định bởi nội suy tuyến tính:
( , )x y i i là tọa độ của nút thứ i i( = 1 9) trong hệ tọa độ tổng thể ( , )x y
Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:
0, i , 0, i , 0, i , x i ,, y i , u v w - lần lượt là các thành phần chuyển vị tại nút i của phần tử
Ma trận Jacobi cho phép biến đổi tọa độ được cho trong dạng như sau:
Quan hệ giữa đạo hàm của các hàm dạng N i trong hệ tọa độ tự nhiên Oξη và các đạo hàm trong hệ tọa độ tổng thể Oxy lần lượt là:
J (2.62) Định thức ma trận Jacobi trong công thức tích phân được chuyển đổi như sau:
Công thức tích phân (2.63) có thể được giải bằng phương pháp giải tích, nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp lại rất khó khăn Đặc biệt, khi ξ, η biến thiên theo đường cong Phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn Công thức (2.63) được tính bằng phương pháp cầu phương Gauss trong mặt phẳng và có dạng như sau:
( i , j ) - tọa độ điểm Gauss nằm trong phần tử; w ,w i j - các trọng số tương ứng; n - số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương
Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss
Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm
( , ) f là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng ( 2 n − 1 ) Trong phép cầu phương
Gauss, vị trí các điểm Gauss được xác định sao cho với một số điểm n đã cho thì đạt được độ chính xác lớn nhất Các điểm Gauss được đặt đối xứng với tâm của khoảng tích phân và các trọng số là như nhau với các điểm Gauss đối xứng nhau
2.3.2 Phương pháp MEM cho kết cấu tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển và ảnh hưởng của nhiệt độ
Tấm được rời rạc hóa thành N e phần tử tứ giác 9 nút đẳng tham số ( ) Q 9 sao cho
= e= và ( ) i ( ) j , i j như thể hiện trên Hình 2.6
Hình 2.6 Rời rạc tấm thành N e phần tử và hệ tọa độ chuyển động ( ) r s ,
Phương pháp phần tử chuyển động MEM sử dụng hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , có gốc tọa độ được gắn tải trọng và chuyển động cùng vận tốc với tải trọng như trên Hình 2.6 Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , và hệ tọa độ cố định
= (2.65) trong đó: S là quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm tức thời t
Khi tải trọng chuyển động với vận tốc ban đầu V o và gia tốc a thì mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ được viết là:
Mối quan hệ vi phân của r theo t được xác đinh bởi: r ( 0 )
(2.67) trong đó: v=(V 0 +at) là vận tốc của tải trọng tại thời điểm t
Mối quan hệ của trường chuyển vị giữa hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , và hệ tọa độ cố định ( x y , ) là:
Sử dụng phép biến đổi tọa độ, mối quan hệ vi phân giữa hai hệ trục tọa độ lần lượt được viết như sau: u x y 0 ( , ) u r s 0 ( , ) x r
Phương trình vi phân chuyển động (2.50) của phần tử tấm được viết trong hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , như sau:
(2.82) trong đó: b ( , ) r s là véctơ tải trọng được biến đổi sang hệ tọa độ ( , ) r s được xác định theo công thức: b ( , ) r s = 0 0 P r − ( ) ( s 0) 0 0 T (2.83)
Trường chuyển vị u và chuyển vị theo phương đứng w tại một điểm trong phần tử được nội suy từ các thành phần chuyển vị nút của phần tử lần lượt được viết là: u Nd = ( ) e (2.84) w=N d w ( ) e (2.85) trong đó:
N - ma trận hàm dạng được xác định bởi công thức:
N w – véc tơ hàm dạng xác định bởi công thức:
N w = 0 0 N 1 0 0 0 0 N 9 0 0 1 45 (2.87) d ( ) e - véc tơ chuyển vị nút của phần tử được xác địn bởi công thức:
Các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử được trình bày ở dạng ma trận như sau:
B m - ma trận gradient biến dạng màng xác định bởi công thức:
B b - ma trận gradient biến dạng uốn xác định bởi công thức:
B s - ma trận gradient biến dạng cắt xác định bởi công thức:
Thay công thức (2.84), (2.85), (2.89), (2.90) và (2.91) vào công thức (2.82) và thực hiện sắp xếp lại, phương trình chuyển động của phần tử tấm được viết như sau:
Phương trình chuyển động của phần tử tấm FGM đẳng tham số 9 nút được viết trong hệ tọa độ chuyển động trên nền có độ cứng biến thiên khi chịu ảnh hưởng của nhiệt độ:
M - ma trận khối lượng của phần tử tấm FGM chuyển động được xác định theo công thức:
C - ma trận cản của phần tử tấm FGM chuyển động được xác định theo công thức:
K - ma trận độ cứng của phần tử tấm FGM chuyển động được xác định theo công thức:
0 0 det det det det det e e e e e e m mb b
P - véctơ tải trọng của phần tử tấm chuyển động được xác định theo công thức:
( ) ,r - đạo hàm bậc nhất theo r ;
( ) ,rr - đạo hàm bậc hai theo r ;
( ) ,ss - đạo hàm bậc hai theo s ; trong đó:
Các ma trận hằng số vật liệu bị thay đổi khi chịu ảnh hưởng của nhiệt độ được trình bày như sau:
Với hệ số hiệu chỉnh cắt s = 5/6 và các hằng số vật liệu:
Các thành phần ứng lực nhiệt được xác định bởi công thức sau:
Trong trường hợp tải trọng chuyển động đều với vận tốc V = hằng số và gia tốc a
= 0, ta có công thức (2.97) đến (2.100) được viết lại là:
0 0 det det det det e e e e e m mb b
Trong phương pháp MEM, do tải trọng được gán tại nút của lưới chia phần tử nên véc tơ tải trọng của phần tử P ( ) e là véc tơ 0
Ghép nối các ma trận phần tử vào ma trận tổng thể thì phương trình chuyển động tổng quát của tấm được viết dưới dạng quen thuộc là:
Md Cd Kd P (2.109) trong đó:
M - ma trận khối lượng tổng thể của tấm;
C - ma trận cản tổng thể của tấm;
K - ma trận độ cứng tổng thế của tấm;
P - véc tơ tải trọng tổng thể của tấm; d - véc tơ chuyển vị tổng thể của tấm; d - véc tơ vận tốc của chuyển vị tổng thể của tấm; d - véc tơ gia tốc của chuyển vị tổng thể của tấm
Trong bài toán phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải trọng tĩnh thì phương trình (2.109) trở thành:
Kd P (2.110) Đối với bài toán phân tích dao động, tần số dao động tự nhiên của tấm được xác định từ bài toán trị riêng (Eigenvalue Problem) của phương trình:
( K − 2 M d ) = 0 (2.111) với: là tần số dao động tự nhiên của tấm.
P HƯƠNG PHÁP N EWMARK
Phương pháp số Newmark được sử dụng trong Luận văn để giải bài toán chuyển động Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm i suy ra giá trị của thời điểm tại i+1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước thời gian Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị
2.4.1 Phương pháp tìm nghiệm dạng gia tốc
Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:
1 n + = n + + n t 2−t n + t n + d d d d d (2.113) trong đó: Độ lớn bước thời gian là t; giá trị gia tốc tại các thời điểm t, t+ t tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là n, n+1 được kí hiệu lần lượt là d n , d n+ 1
Thay hai phương trình (2.112) và (2.113) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là n+1như sau:
Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian d n + 1 có dạng: eff n+ 1= eff
M d P (2.115) với M eff là khối lượng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian, chúng được xác định bởi các biểu thức sau:
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.115) thu được giá trị của gia tốc d n + 1 tại cuối bước thời gian là n+1 Thay giá trị gia tốc d n + 1 vừa tìm được vào phương trình (2.112) và (2.113) suy ra được giá trị của vận tốc d n + 1 và chuyển vị d n + 1 tại thời điểm n+1
2.4.2 Phương pháp tìm nghiệm dạng chuyển vị
Một phương pháp khác để giải phương trình chuyển động theo phương pháp Newmark mà không dùng cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụng M eff trong (2.115) như trong dạng gia tốc mà nghịch đảo ma trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị nên gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình
Từ hai phương trình trong (2.112), (2.113), suy ra biểu thức của gia tốc d n + 1 và vận tốc d n + 1 tại thời điểm cuối của bước thời gian n+1 theo các đại lượng còn lại như sau:
Thay hai phương trình trong (2.118), (2.119) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là n+1, kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian n+ 1 d có dạng là: eff n+ 1 = eff
K d P (2.120) với K eff là độ cứng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị và chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây: eff 2
Giải phương trình đại số tuyến tính (2.120) thu được giá trị của chuyển vị tại cuối bước thời gian d n+ 1 Thay giá trị chuyển vị d n+ 1 vừa tìm được vào các phương trình (2.118) và (2.119) suy ra giá trị của vận tốc d n + 1 và gia tốc d n + 1
T HUẬT TOÁN SỬ DỤNG TRONG L UẬN VĂN
Luận văn sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình tìm nghiệm ở dạng chuyển vị Các bước để giải phương trình chuyển động trong Luận văn theo phương pháp Newmark được trình bày như sau:
Các bước tiến hành trong Luận văn như sau:
• Xác định các dữ liệu của bài toán gồm: các thông số kết cấu tấm FGM gồm đặc trưng vật liệu mặt trên tấm và đặc trưng vật liệu mặt dưới tấm là trọng lượng riêng , môđun đàn hồi E , hệ số Poission , hệ số giãn nở nhiệt của tấm, kích thước ( L B H , , ), chỉ số tỉ lệ thể tích n; các thông số của nền gồm độ cứng của đất nền k wf biến thiên dọc theo phương chiều dài tấm, độ cản của nền c f , sức kháng cắt k sf và các thông số tải trọng gồm giá trị tải trọng P, vận tốc của lực di chuyển V và nhiệt độ T Các thông số lần lượt được liệt kê trong các Bảng 2.2, Bảng 2.3 và Bảng 2.4
Bảng 2.2 Thông số tấm FGM Vật liệu Module đàn hồi (N/m 2 )
Hệ số độ cứng nền
Hệ số độ cản nền (N.s/m 3 )
Sức kháng cắt (N/m 3 ) k wf c f k sf
Bảng 2.4 Thông số tải trọng và nhiệt độ tác dụng lên tấm
Lực tập trung Vận tốc Nhiệt độ
• Thiết lập các ma trận khối lượng M, các ma trận độ cứng K, ma trận cản C của kết cấu tấm và nền bằng cách ghép nối ma trận
• Xác định ma trận tải trọng tác dụng lên tấm cần khảo sát Sau đó thiết lập phương trình chuyển động và chọn bước thời gian t
• Nhập điều kiện ban đầu d 0 ,d 0 và 0 1 ( 0 0 0 )
• Rời rạc hóa véc tơ tải trọng theo biến thời gian
Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân Newmark Giải bài toán theo dạng tìm chuyển vị, xuất các kết quả, vẽ biểu đồ và lập bảng thống kê để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng của nhiệt độ Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá và kết luận
2.5.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị
• Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng
• Tính véc tơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm n+1
• Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.120) để tìm gia tốc tại thời điểm n + 1 là d n + 1
• Tìm các giá trị vận tốc và chuyển vị tại thời điểm n+1theo các phương trình (2.118), (2.119)
2.5.3 Độ ổn định và hội tụ theo phương pháp Newmark
Như đã đề cập ở trên, phương pháp Newmark với và còn gọi là phương pháp gia tốc trung bình cho sự ổn định không điều kiện và độ chính xác tốt
Do đó Luận văn này sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình với và để giải bài toán Sự hội tụ sẽ được tiến hành kiểm tra trong Luận văn
Trong Luận văn này sử dụng phương pháp Newmark và ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản (R2021a) để tìm nghiệm dạng chuyển vị
L ƯU ĐỒ TÍNH TOÁN
Hình 2.7 Lưu đồ tính toán
KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ
C ÁC BÀI TOÁN SỐ TRONG L UẬN VĂN
Các bài toán được thực hiện trong Luận văn bao gồm:
❖ Kiểm chứng chương trình Matlab
• Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng tĩnh
• Bài toán 2: Phân tích dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm FGM
• Bài toán 3: Phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng di động trên nền Pasternak
❖ Phân tích động lực học của tấm FGM
• Bài toán 1: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị theo bước lặp thời gian t
• Bài toán 2: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên FGM nền có độ cứng k wf thay đổi chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ
• Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf và hệ số cản nền c f cùng biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ
• Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên và hệ số cản nền c f thay đổi chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ
• Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên FGM nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ với hệ số tương quan α của nền thay đổi
• Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi số mũ n của nền thay đổi
• Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi chiều dày tấm h thay đổi
• Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi chỉ số tỉ lệ thể tích n của tấm thay đổi
• Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi vận tốc lực di chuyển V thay đổi
• Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi giá trị tải di chuyển P thay đổi
• Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ trong môi trường nhiệt độ thay đổi
• Bài toán 12: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ khi thành phần cấu tạo tấm FGM thay đổi.
K IỂM CHỨNG CHƯƠNG TRÌNH M ATLAB
3.2.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng tĩnh
Xét tấm vật liệu chức năng FGM hình vuông có L x =L y =1, độ dày được tính với tỉ số L/h , biên tựa đơn 4 cạnh, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q=1 ở mặt trên tấm Tấm FGM được cấu tạo bởi mặt trên là vật liệu giàu gốm (Zirconia – ZrO2) và mặt dưới là vật liệu giàu kim loại (Aluminum – Al) Thông số vật liệu của tấm được trình bày trong Bảng 3.1 Chỉ số tỉ lệ thể tích n lần lượt được thay đổi theo các giá trị n=0 (gốm), n=0.5, n=1, n=2, n= ∞ (kim loại) Sự hội tụ của bài toán được khảo sát bằng cách rời rạc hóa các phần tử tấm theo phương x và phương y với các giá trị lưới chia lần lượt là 5x5, 10x10, 15x15 và 19x19
Bảng 3.2 và Hình 3.1 cho thấy sự hội tụ chuyển vị không thứ nguyên
2 2 m w=wL BE h tại tâm tấm FGM theo lưới chia phần tử Kết quả phân tích từ chương trình Matlab được so sánh với các kết quả trong nghiên cứu của Ferreira và cộng sự (2005) [51], cho thấy kết quả thu được từ chương trình Matlab là tương đối chính xác khi đối chiếu với nghiên cứu được công bố trước đây Trong đó, với lưới chia 19x19, chương trình Matlab cho ra các chuyển vị không thứ nguyên có sai khác nhiều nhất so với [51] đã công bố là 5.18% và ít nhất là 0.09% Bên cạnh đó, có thể thấy rằng kết quả càng tiến đến hội tụ khi lưới chia càng mịn và số lượng phần tử trong lưới càng lớn
Ngoài ra, kết quả thu được từ chương trình Matlab cũng cho thấy rằng chuyển vị không thứ nguyên ở giữa tấm FGM tăng khi chỉ số tỉ lệ thể tích n của tấm tăng Điều này là hợp lí vì khi chỉ số tỉ lệ thể tích n của tấm tăng lên, tính chất dẻo của kim loại trong tấm tăng theo và tính chịu lực của gốm giảm, khiến lực tác động lên tấm gây ra chuyển vị lớn hơn
Bảng 3.1 Thông số vật liệu tấm FGM (ZrO2/Al)
Vật liệu Môđun đàn hồi E
Hệ số poisson Trọng lượng riêng (kg/m 3 ) Zirconia
(Al, mặt giàu kim loại) E m = 70 = 0.3 m = 2702
Bảng 3.2 Chuyển vị không thứ nguyên tại tâm tấm FGM theo các lưới chia phần tử
Lưới chia Chỉ số tỉ lệ thể tích n
Sai khác (%) giữa lưới chia
Hình 3.1 Chuyển vị không thứ nguyên của tấm FGM và các lưới chia phần tử
Chuyển vị không thứ nguyên
3.2.2 Bài toán 2: Phân tích dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm FGM
Xét tấm vật liệu chức năng FGM hình vuông có L x =L y =1, độ dày được tính với tỉ số L/h , biên tựa đơn 4 cạnh, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q=1 ở mặt trên tấm Tấm FGM được cấu tạo bởi mặt trên là vật liệu giàu gốm (Zirconia – ZrO2) và mặt dưới là vật liệu giàu kim loại (Aluminum – Al), với các thông số vật liệu được trình bày trong Bảng 3.1 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên
= − của mode dao động thứ nhất của tấm được thể hiện trong Bảng 3.3 và Hình 3.2 Các lưới chia phần tử được sử dụng trong bài toán lần lượt là 4x4, 8x8, 12x12, 16x16 và 20x20
Kết quả thu được cho thấy tần số dao động tự nhiên mode dao động thứ nhất giảm dần khi chỉ số tỉ lệ thể tích n tăng dần Bên cạnh đó, tần số dao động tự nhiên cũng hội tụ tốt hơn khi lưới chia càng mịn và số lượng phần tử càng lớn Với lưới 20x20 thì phần trăm sai khác là khá thấp so với kết quả của Uymaz và Aydogdu (2007) [22] được trình bày trong Bảng 3.3 Trong đó, sai khác nhiều nhất là 2.97% khi chỉ số tỉ lệ thể tích n=∞ và ít nhất là 1.18% khi chỉ số tỉ lệ thể tích n=0.5 Các kết quả với sai khác tương đối nhỏ nêu trên cho thấy độ tin cậy của phương pháp MEM
Bảng 3.3 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode dao động thứ nhất tấm FGM theo lưới chia phần tử
Lưới chia Chỉ số tỉ lệ thể tích n
MEM (4x4) 1.9979 1.8187 1.7532 1.7017 1.4558 MEM (8x8) 1.9838 1.8057 1.7408 1.6899 1.4456 MEM (12x12) 1.9825 1.8045 1.7397 1.6888 1.4446 MEM (16x16) 1.9822 1.8042 1.7394 1.6886 1.4444 MEM (20x20) 1.9821 1.8042 1.7394 1.6885 1.4443
(2007) [22] 1.9570 1.7832 1.6999 1.6401 1.4027 Sai khác (%) giữa lưới chia
Hình 3.2 Dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode thứ nhất của tấm FGM và các lưới chia phần tử
Kế đến, phương pháp MEM và chương trình Matlab được tiến hành so sánh với lời giải FEM-9 của Talha và Singh (2010) [28] thông qua các tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với 5 mode dao động đầu tiên của tấm được trình bày trong Bảng 3.4 Tấm FGM được sử dụng có chiều dày tính theo tỉ lệ L/h , chỉ số tỉ lệ thể tích n=10, biên tựa đơn 4 cạnh và các thông số khác của tấm được giữ nguyên Lưới chia phần tử 5x5 được sử dụng để phân tích bài toán Kết quả so sánh giữa phương pháp MEM và nghiên cứu được công bố [28] chỉ xuất hiện sai khác nhỏ hơn 1%, khẳng định độ tin cậy của phương pháp MEM và chương trình Matlab được sử dụng
Dao động tự do không thứ nguyên mode thứ nhất
Bảng 3.4 Bảng so sánh tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode đầu tiên của tấm FGM với L/h và lưới chia 5x5
Mode dao động MEM Talha và Singh (2010) [28] Sai số (%)
Hình 3.3 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của 5 mode dao động đầu tiên của tấm với L/h
Tiếp theo, Luận văn sẽ trình bày sự ảnh hưởng của chiều dày tấm đối với tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode thứ nhất của tấm Trong bài phân tích này, Luận văn khảo sát các tấm có chiều dày tính theo tỉ lệ lần lượt là L/h=2, 5, 10,
20, 50 có biên ngàm 4 cạnh (CC – CC – CC – CC), cùng với các thông số khác của tấm được giữ nguyên Lưới chia phần tử được sử dụng là 5x5 và chỉ số tỉ lệ thể tích n của tấm lần lượt là n=0 (gốm), 1, 2 và ∞ (kim loại) Kết quả phân tích được thể hiện
Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên
Luận văn Talha & Singh (2010) [28] trong Bảng 3.5 và Hình 3.4 và so sánh với nghiên cứu được công bố của Uymaz và Aydogdu (2007) [22] Độ tin cậy của phương pháp MEM dùng trong phân tích cũng được khẳng định khi độ sai khác giữa các kết quả thu được và số liệu trong nghiên cứu [22] đối với
L/h đều nhỏ hơn 3% Sai khác nhiều nhất là khi tấm có n=2 với sai khác so với
[22] là 2.38%, và ít nhất khi là tấm có n=0 với sai khác là 0.29% Các kết quả thu được cho thấy khi tỉ lệ L/h tăng dần, đồng nghĩa với chiều dày tấm giảm dần, thì tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm cũng tăng dần
Bảng 3.5 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode đầu tiên của tấm FGM với tỉ lệ chiều dày L/h và chỉ số tỉ lệ thể tích n khác nhau
L/h Chỉ số tỉ lệ thể tích n
(2007) [22] 3.3496 3.0249 2.8809 2.7658 2.4009 Sai khác (%) giữa tỉ lệ chiều dày L/hP và [22] 0.29 0.72 1.73 2.38 1.18
Hình 3.4 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode dao động đầu tiên của tấm FGM với các tỉ lệ chiều dày L/h khác nhau
Tiếp theo, Luận văn tiến hành khảo sát sự ảnh hưởng của thành phần cấu tạo vật liệu tấm FMG đối với tần số dao động tự do không thứ nguyên mode dao động thứ nhất của tấm Trong bài toán này, hai tấm FGM cấu tạo từ các vật liệu khác nhau được phân tích bằng phương pháp MEM thực hiện bởi chương trình Matlab, với các chỉ số tỉ lệ thể tích lần lượt là n= 0, 0.5, 1, 2 và ∞, chiều dày theo tỉ lệ L/h=5 và lưới chia phần tử là 15x15 Trong đó, tấm đầu tiên được kí hiệu là FGM1 gồm Zirconia (ZrO2) là mặt giàu gốm và Aluminum (Al) là mặt giàu kim loại Tấm thứ hai được kí hiệu là FGM2 cũng được cấu tạo từ ZrO2 là mặt giàu gốm và Ti-6Al-4V là mặt giàu kim loại Các thông số vật liệu của tấm FGM1 và tấm FGM2 được liệt kê ở Bảng 3.6 và Bảng 3.7 Ngoài những thay đổi được nêu trên, các thông số khác của cả hai tấm được giữ nguyên
Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên
Tỉ lệ chiều dày L/h n=0 (Gốm) n=0.5 n=1 n=2 n=∞ (Kim loại)
Bảng 3.6 Thông số vật liệu tấm FGM1 (ZrO2/Al)
Vật liệu Môđun đàn hồi
Hệ số Poisson Trọng lượng riêng
(Al, mặt giàu kim loại) E m = 70 = 0.3 m = 2702
Bảng 3.7 Thông số vật liệu tấm FGM2 (ZrO2/Ti-6Al-4V)
Vật liệu Môđun đàn hồi
Hệ số Poisson Trọng lượng riêng
Các kết quả phân tích tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên mode đầu tiên của hai tấm được thể hiện trong Bảng 3.8 và Hình 3.5 cho thấy tần số dao động tự nhiên giảm dần khi chỉ số tỉ lệ thể tích n tăng dần So sánh giữa hai tấm thì tấm FGM2 có tần số dao động tự nhiên lớn hơn tấm FGM1, với chiều dày và chỉ số tỉ lệ thể tích n của hai tấm là như nhau Điều này khẳng định thành phần vật liệu cấu tạo tấm FGM có ảnh hưởng đến tần số dao động tự nhiên của tấm Khi tiến hành thay đổi E m p (GPa) trong tấm FGM1 đến giá trị E m 5.7 (GPa) trong tấm FGM2 thì E m tăng 51% và tấm trở nên cứng hơn, dẫn đến tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của tấm tăng dần Từ đó, có thể rút ra được nhận xét rằng môđun đàn hồi E của thành phần cấu tạo tấm FGM tăng thì tần số dao động tự nhiên của tấm sẽ tăng
Bảng 3.8 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên mode dao động thứ nhất của tấm FGM1 và FGM2 theo chỉ số tỉ lệ thể tích n
Loại tấm Chỉ số tỉ lệ thể tích n
Hình 3.5 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên mode dao động thứ nhất của tấm FGM1 và FGM2 theo tỉ lệ thể tích n
3.2.3 Bài toán 3: Phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng di động trên nền Pasternak chịu ảnh hưởng của nhiệt độ
Xét tấm vật liệu chức năng FGM (dài L m, rộng Bm, dày h=0.1m) với hai cạnh ngắn của tấm có biên tựa đơn và hai cạnh dài có biên tự do Tấm đặt trên nền Pasternak chịu tải trọng P 6 N chuyển động đều với vận tốc V m/s dọc theo trục x của tấm Thông số vật liệu của tấm được thể hiện trong Bảng 3.1 và các hệ số
Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên
Chỉ số tỉ lệ thể tích n
FGM1 FGM2 của nền lần lượt là: k wf =1x10 7 N/m 3 , k sf =1x10 5 N/m và c f =1x10 4 Ns/m 3 Tấm được rời rạc hóa thành các phần tử kích thước 1m x 1m
P HÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA TẤM FGM
Để phân tích ứng xử động lực học của tấm vật liệu chức năng FGM dưới tác dụng của tải trọng di động chịu ảnh hưởng của nhiệt độ trên nền có độ cứng biến thiên, Luận văn tiến hành khảo sát tấm FGM có kích thước L m, Bm và độ dày h=0.1m, được rời rạc hóa thành các phần tử 1m x 1m Tấm được cấu tạo từ Si3N4 là mặt giàu gốm và SUS304 là mặt giàu kim loại, với các thông số vật liệu được liệt kê trong Bảng 3.10 Ngoại trừ được ghi rõ trong từng bài toán phân tích, các hệ số nền và thông số tải trọng tác dụng lên tấm được sử dụng trong các bài toán nêu trong Luận văn này được trình bày trong Bảng 3.11 và Bảng 3.12
Bảng 3.10 Thông số vật liệu tấm FGM Si3N4/SUS304
Vật liệu Môđun đàn hồi E (GPa)
Hệ số poisson Trọng lượng riêng (kg/m 3 ) Silicon Nitride
(Si3N4, mặt giàu gốm) E c = 323 = 0.32 c = 2370 Stainless Steel
(SUS304, mặt giàu kim loại) E m = 208 = 0.24 m = 8166
Bảng 3.11 Các thông số nền
Hệ số độ cứng nền
Hệ số độ cản nền (N.s/m 3 )
Bảng 3.12 Thông số tải trọng và nhiệt độ tác dụng lên tấm Lực tập trung Vận tốc Nhiệt độ
3.3.1 Bài toán 1: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị theo bước lặp thời gian t
Luận văn tiến hành tính toán bước thời gian t hợp lí để sử dụng cho các bài toán số tiếp theo bằng cách khảo sát sự hội tụ của chuyển vị của phương pháp MEM được dùng để phân tích ứng xử của tấm Các bước thời gian được dùng để khảo sát là t 0.1s, 0.025s, 0.005s, 0.0025s, 0.001s Sự hội tụ chuyển vị của tấm cùng các bước thời gian được trình bày trong Bảng 3.13 và Hình 3.7
Bảng 3.13 Sự hội tụ của chuyển vị (mm) theo các bước thời gian t
t (s) Chuyển vị (mm) Độ lệch (%) so với
Hình 3.7 Chuyển vị của tấm với các bước thời gian t khác nhau
Kết quả khảo sát cho thấy chênh lệch giữa những chuyển vị thu được có xu hướng nhỏ dần khi bước thời gian t càng nhỏ, chứng tỏ kết quả càng hội tụ về một trị số nghiệm Với tấm có lưới chia là các phần tử rời rạc kích thước 1m x 1m, chênh lệch chuyển vị giữa t = 0.0025s và t = 0.001s là rất nhỏ (0.00000868%) Vì vậy, Luận văn tiến hành sử dụng bước lặp thời gian t = 0.0025s trong việc khảo sát các bài toán số để đạt được nghiệm chính xác, phù hợp với khả năng thực hiện tính toán của Matlab hiện có và quỹ thời gian nghiên cứu được dùng để thực hiện tính toán
3.3.2 Bài toán 2: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt độ khi hệ số độ cứng k wf thay đổi
Trong bài toán này, ảnh hưởng của độ cứng nền đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong 4 trường hợp k 1 = 1x10 7 (N/m 3 ), k 2 = 5x10 7 (N/m 3 ), k 3 9.5x10 7 (N/m 3 ) và k 4 = 10x10 7 (N/m 3 ).Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện trên Hình 3.9 và kết quả tương ứng chuyển vị tại giữa tấm (xm) được trình bày trong Bảng 3.14 với các độ cứng nền tăng dần Hình 3.8 thể hiện rõ hơn chuyển vị lớn nhất của tấm tương ứng với độ cứng nền thay đổi
Bảng 3.14 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền k wf thay đổi
Hệ số độ cứng nền k wf Chuyển vị w (mm) Chênh lệch so với k 1 (%) k 1 = 1x10 7 -6.4241 k 2 = 5x10 7 -3.0162 53.05 k 3 = 9.5x10 7 -2.1189 67.02 k 4 = 10x10 7 -2.0583 67.96
Hình 3.8 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền k wf thay đổi
Hình 3.9 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền k wf thay đổi
Từ kết quả được cho trong Bảng 3.14, Hình 3.8 và Hình 3.9, ta nhận thấy rằng khi hệ số độ cứng nền tăng dần thì chuyển vị giảm dần, cụ thể hơn khi k wf tăng 10 lần thì chuyển vị giảm 3.12 lần (tương đương với 67.96%) Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu, vì thế khi xây dựng công trình để giảm lún cho công trình phải gia cố nền nhằm tăng độ cứng cho nền
Hệ số độ cứng nền k wf (10 7 N/m 3 )
Chiều dài tấm theo phương x(m) kwf7 kwf^7 kwf=9.5e7 kwf8
3.3.3 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf và hệ số cản nền c f cùng biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ
Trong bài toán này, để khảo sát ảnh hưởng của sự biến thiên của độ cứng nền k wf và hệ số cản nền c f đến chuyển vị của tấm, tấm được đặt trên nền có sức kháng cắt k sf 5 N/m 3 , cùng với độ cứng k wf và hệ số cản nền c f là hằng số hoặc biến thiên theo quy luật như công thức được trình bày trong Bảng 3.15 Luận văn tiến hành phân tích 3 trường hợp như trong Bảng 3.16
Bảng 3.15 Quy luật công thức của các thông số nền sử dụng
Hệ số độ cứng nền (N/m 3 )
Hệ số độ cản nền (N.s/m 3 ) Biến thiên ( ) 9.5 10 1 7 n wf k x x
Bảng 3.16 Các giá trị chuyển vị thu được tại tâm tấm từ ba trường hợp
Trường hợp Độ cứng k wf Hệ số cản c f
Chuyển vị tại tâm tấm w (mm)
% Chênh lệch so với trường hợp 1
Các chuyển vị thu được từ phân tích với phương pháp MEM được trình bày trong Bảng 3.16, Hình 3.10 và Hình 3.11 Kết quả khảo sát cho thấy tấm có chuyển vị lớn nhất xảy ra ở trường hợp 1 khi nền độ cứng k wf và hệ số cản c f cùng biến thiên dọc theo chiều dài tấm và chuyển vị nhỏ nhất ở trường hợp 2 khi k wf là hằng số và c f biến thiên Chênh lệch giữa hai chuyển vị này xấp xỉ 31.37%, cho thấy độ cứng nền có ảnh hưởng tương đối lớn đến chuyển vị của kết cấu Các kết quả thu được còn cho thấy chuyển vị của tấm nhỏ hơn khi hệ số cản nền c f là hằng số, so với khi hệ số cản nền biến thiên Tuy nhiên, sự ảnh hưởng của hệ số này là tương đối nhỏ, được xác minh bởi sự chênh lệch chỉ xấp xỉ 1.47% giữa trường hợp 3 khi c f là hằng số và trường hợp 1 khi c f biến thiên
Hình 3.10 Chuyển vị lớn nhất của ba trường hợp được xét
Những kết quả này phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu là khi độ cứng và hệ số cản của nền giảm (khi có tính chất biến thiên) thì chuyển vị của kết cấu tăng Vì thế, khi xây dựng công trình phải tìm cách giảm lún bằng cách gia cố nền, để tăng hệ số cản nền c f và đặc biệt là hệ số độ cứng k wf của nền
-1,00 kwf biến thiên và cf hằng số kwf hằng số và cf biến thiên kwf và cf biến thiên
Hình 3.11 Chuyển vị dọc theo chiều dài tấm của ba trường hợp được xét
3.3.4 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm FGM trên nền có độ cứng k wf biến thiên và hệ số cản nền c f thay đổi chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ
Trong bài toán này, ảnh hưởng của hệ số cản nền đối với ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong 4 trường hợp c f1 = 1x10 6 (N/m 3 ), c f2 = 5x10 6 (N/m 3 ), c f3 = 10x10 6 (N/m 3 ) và c f4 = 15x10 6 (N/m 3 ).Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện trong Hình 3.13, và kết quả tương ứng chuyển vị tại giữa tấm (xm) được trình bày trong Bảng 3.17, với các hệ số cản nền tăng từ 1 đến 15 lần Hình 3.12 thể hiện rõ hơn chuyển vị lớn nhất của tấm tương ứng với hệ số cản nền thay đổi
Bảng 3.17 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền c f thay đổi
Hệ số độ cứng nền c f Chuyển vị w (mm) Chênh lệch so với c f1 (%) c f1 = 1x10 6 -3.0592 c f2 = 5x10 6 -2.4061 21.35 c f3 = 10x10 6 -1.8008 41.14 c f4 = 15x10 6 -1.4303 53.25
Chiều dài tấm theo phương x(m) kwf biến thiên và cf hằng số kwf hằng số và cf biến thiên kwf và cf cùng biến thiên
Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền c f thay đổi
Hình 3.13 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số cản nền c f thay đổi
Từ kết quả thu được, ta nhận thấy rằng khi hệ số cản nền tăng dần thì chuyển vị giảm dần, cụ thể hơn khi c f tăng 15 lần thì chuyển vị giảm 2.14 lần (tương đương với 53.25%) Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi nền có hệ số cản lớn thì chuyển vị của kết cấu sẽ giảm, vì khi nền có hệ số cản nhớt càng lớn
Chiều dài tấm theo phương x(m) cf6 cf1\f cf2cf cf3cf thì khả năng hấp thụ năng lượng tạo ra khi tải di chuyển trên tấm càng nhiều và phần năng lượng ở dạng động năng càng nhỏ dẫn đến chuyển vị giảm
3.3.5 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên FGM nền có độ cứng k wf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng của nhiệt độ với hệ số tương quan α của nền thay đổi Ảnh hưởng của hệ số tương quan α đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong 5 trường hợp α 1 =0.2, α 2 =0.5, α 3 =0.7, α 4 =0.8 và α 5 =0.9 Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện trên Hình 3.15, và kết quả tương ứng chuyển vị tại giữa tấm (xm) được trình bày trong Bảng 3.18, với các giá trị hệ số tương quan α khác nhau Hình 3.14 thể hiện rõ hơn chuyển vị lớn nhất của tấm tương ứng với hệ số tương quan α thay đổi
Bảng 3.18 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số tương quan α thay đổi
Hệ số tương quan α Chuyển vị w (mm) Chênh lệch so với α 1 (%) α 1 =0.2 -2.3928 α 2 =0.5 -3.0592 27.85 α 3 =0.7 -3.9147 63.60 α 4 =0.8 -4.6660 95.00 α 5 =0.9 -6.0321 152.09
Hình 3.14 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị hệ số tương quan α thay đổi
Hình 3.15 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số tương quan α thay đổi