đề học sinh giỏi toán 9 cấp tỉnh năm 2024

Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M N.. a Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.. ,c Gọi P là gi

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

CẤP TỈNH NĂM 2024

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 06 tháng 5 năm 2023

a) Cho ba số nguyên , ,a b c thỏa mãn + + a b c và ab bc+ +ca đều chia hết cho 8 Chứng minh rằng

abc chia hết cho 64

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y lớn hơn 1 sao cho , (x+y)(y+ −1) 1 chia hết cho

c ab abc a bc abc b ca abc

Bài 4 (6.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , có H là trực tâm Gọi O là điểm đối xứng

với điểm O qua đường thẳng BC Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO cắt các 

đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M N Gọi , I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC

b) Chứng minh rằng ba điểm ,A H I thẳng hàng ,

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và đường tròn ( )O ; Q là giao điểm của hai đường

thẳng OP và BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai R Chứng

minh rằng đường thẳng QR song song với đường thẳng OI

b) Xét số nguyên n100 thỏa mãn tồn tại tập hợp S gồm n số thực dương sao cho với mỗi phần tử x

của tập S đều tồn tại 100 phần tử khác x của tập S có tích bằng x Hỏi, n nhỏ nhất bằng nhiêu?

x Tuy nhiên, khi thử lại, chỉ có x=1 và x=6 thỏa mãn

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = 1, 6

b) Do x+2y+3z=0 nên x= −2y−3z Mà xy+ yz+zx=0 nên −(y+z)(2y+3z)+ yz=0, hay

a) Cho ba số nguyên , ,a b c thỏa mãn + + a b c và ab bc ca đều chia hết cho 8 Chứng minh rằng + +

abc chia hết cho 64

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y, lớn hơn 1 sao cho (x+y)(y+ −1) 1 chia hết cho

2

1

x xy

Lời giải a) Trong ba số , ,a b c có hai số cùng tính chẵn lẻ Không mất tính tổng quát, giả sử là a và b ,

suy ra a+b chia hết cho 2 Mà + + a b c chia hết cho 8 nên c chẵn Từ đó c a( +b chia hết cho 4 Mà )

xy yz zx chia hết cho 2 Chứng minh tương tự như trên, ta có x y z, , cùng chẵn Suy ra , ,a b c cùng

chia hết cho 4 Từ đó abc chia hết cho 64 Ta có điều phải chứng minh

b) Giả sử tồn tại hai số nguyên x y, lớn hơn 1 sao cho (x+y)(y+ −1) 1 chia hết cho x2+xy+1 Khi đó

x y y x xy x y x y chia hết cho x2+xy+1 Mà x+ y và x2 +xy+1

nguyên tố cùng nhau nên x+ +y 1 chia hết cho x2+xy+1, mâu thuẫn vì x2+xy+  + + 1 x y 1 0

Vậy, không tồn tại hai số nguyên x y, lớn hơn 1 sao cho (x+y)(y+ −1) 1 chia hết cho 2

9xyz=6xyz+3xyz + + + =6 x y z 2 xy+ yz+zx + + +x y z.

Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được

Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1

Bài 4 (6.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O , có H là trực tâm Gọi O là điểm đối

xứng với điểm O qua đường thẳng BC Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO 

cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M N Gọi , I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

AMN

a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC

b) Chứng minh rằng ba điểm ,A H I thẳng hàng ,

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và đường tròn ( )O Q là giao điểm của hai đường ;

thẳng OP và BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai R Chứng

minh rằng đường thẳng QR song song với đường thẳng OI

Lời giải a) Kẻ đường kính AK của đường tròn ( )O Khi đó, ta có ABK =ACK =90 , nên

BK CH và CK BH Từ đó, tứ giác BHCK là hình bình hành, suy ra hai đoạn thẳng BC và HK có

chung trung điểm T Do điểm O đối xứng với điểm O qua đường thẳng BC nên đường thẳng OO 

vuông góc với đường thẳng BC , suy ra OO là đường trung trực của đoạn thẳng BC Mà BC là đường 

trung trực của đoạn thẳng OO nên tứ giác  BOCO là hình thoi Suy ra  O B =O C =OB=OC=R

Lại có T là trung điểm của hai đoạn thẳng HK và OO nên tứ giác  OHO K là hình bình hành Suy ra 

O H OK R Từ đây, ta có O B =O C =O H =R , suy ra  O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam

giác BHC

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 4

Website: tailieumontoan.com

b) Dễ dàng chứng minh được bổ đề sau: Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có đường cao AD, nội

tiếp đường tròn ( )O Khi đó AOC=2ABC và OAC=90 −ABC=BAD

Trở lại bài toán: Do AO HO (vì  OK HO ) và  MN⊥HO nên  AO⊥MN Mà IA=IM =IN nên

theo bổ đề thì NAO=90 −ANM =IAM

Lai áp dụng bổ đề, ta có OAC=90 −ABC=BAD Suy ra ANM =ABC và BAD=IAM

Do đó hai tia AI và AD trùng nhau, suy ra ba điểm , ,A I H thẳng hàng

c) Gọi AS là đường kính của đường tròn ( )I , khi đó AMS =ANS =ARS =90 Lai có

90

ARK = nên ba điểm , ,R S K thẳng hàng

Ta có APK =90 nên PK DT Mà T là trung điểm của đoạn thẳng HK nên D là trung điểm của

đoạn thẳng HP Suy ra QHP=QPH =OPA=OAP , từ đó HQ AO

Ta có ABC=90 −BCF =CHD=CPD Mà ABC=ANM nên CPD=ANM , suy

ra ANH  APC (g-g) Từ đó ANP AHC (c-g-c), suy ra

90

APN =ACH = −BAC=INM (theo bổ đề trên)

Từ đó INH  IPN( g−g), suy ra IH IP =IN2 = IS IA Từ đó  +

IP OP , từ đó QS OI Mà OI SK (theo tính chất đường trung

bình) nên ba điểm , ,S Q K thẳng hàng, mà ba điểm R S K thẳng hàng nên bốn điểm , , ,, , R S Q K thẳng

b) Xét số nguyên n100 thỏa mãn tồn tại tập hợp S gồm n số thực dương sao cho với mỗi phần tử x

của tập S dều tồn tại 100 phần tử khác x của tập S có tích bằng x Hỏi, n nhỏ nhất bằng nhiêu?

Lời giải a) Đặt a=2k t với k tự nhiên và t là số nguyên dương lẻ Xét các trường hợp sau

Trường hợp 1: b chãn Nếu k =0, thì a lẻ, suy ra 2 ( )

Ngoài ra, nếu b2k+1 thì ta có 4 2 ( 4 4 2 1 2 )

+ + b = b k b +  k b +

không chia hết cho 2b+1 Do đó 4 2

t Từ đó, ta dễ dàng tìm được k =0, mâu thuẫn

Từ mâu thuẫn trên, ta suy rak =0 Do đó

b) Ta sẽ chứng minh n=104 là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn Rõ ràng n101 Gọi x1   x là n phần n

tử của tập hợp S Đặt P= x x1 2 x Xét các trường hợp sau n

P x x Vậy x102 12 x  x x12 102 nên x102 x1, vô lý

Trường hợp 3: n=103 Lý luận tương tự như trên, ta cũng có P=x12yz với y z và , y z S nào đó

nên P x x12 102 103x ; và P= x uv1032 với uv và ,  u v S nào đó, nên P x103 1 22 x x Suy ra

Lúc đó, tích các phần tử của S là 1 , và với mỗi  x S ta cần chỉ ra tồn tại  a b c S đều khác x sao

cho x abc2 =1 thì lúc đó 100 phần tử còn lại của S sẽ có tích bằng x Xét =2k

x với k 1, trường hợp 1

Khóa ngày 05 tháng 12 năm 2023

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:………

LỚP 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu

a) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x0,y0,x+ =y 2.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x 2023+ +y y 2023+x

b) Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn các điều kiện 1012

Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC,

BC Gọi O là giao điểm của CM và PN, I là giao điểm của AO và BC, D là giao điểm

của MI và AC, K là giao điểm của AI và MN

a) Chứng minh KM = 2KN

b) Chứng minh ba đường thẳng AI, BD và và MP đồng quy

c) Trên các tia đối của tia BA, CA lần lượt lấy các điểm C’, B’ (với C’ khác B,

FB + FC  Ab AC ,

dấu bằng xảy ra khi nào?

Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2n+9.28 là số chính phương

-HẾT - Chú ý: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

−

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0, y = 2 hoặc x = 2, y = 0

Vậy minA =2 2023 khi x = 0, y = 2 hoặc x = 2, y = 0

b) Ta giải bài toán tổng quát sau: Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn

 có DM, BC là hai trung tuyến cắt nhau tại I nên I là trọng tâm ABD Do đó I

nằm trên đường thẳng AE Vậy AI, BD và MP đồng quy tại E

c) Vì nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ lệ diện tích giữa chúng bằng tỉ lệ giữa

hai cạnh đáy ứng với chiều cao đó Ta có:

AFC AFB

B

S S

b) Tính giá trị của P khi x =7+4 3

a+ a + b+ b + =

Câu 2 (5.0 điểm)

1 Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào “Hướng về Miền Trung

thân yêu” Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định Vì vậy

công ty phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng Hỏi ban đầu công ty

dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau

3 Cho Parabol ( ) :P y=x2 và đường thẳng ( ) : d y = mx + 4 (với m là tham số)

các tiếp tuyến Ax By , của ( )O và lấy điểm C sao cho CA CB  Trên đoạn OA lấy điểm D(D

khác O A , ) Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax By , lần lượt tại E, F Đoạn thẳng AC

cắt DE tại G , BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I Gọi J K , lần lượt là trung điểm của DE DF ,

tròn (M không trùng với A B , ) Qua M kẻ tiếp tuyến với nữa đường tròn Gọi D C , lần lượt là

hình chiếu của A B , trên tiếp tuyến ấy Tìm vị trí của M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu

• Giám thị không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngày thi : 09/03/2024

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

điểm Câu 1

.22

x x

−

=

−

22

1 Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào

“Hướng về Miền Trung thân yêu” Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng

hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định Vì vậy công ty phải bổ sung thêm 3 xe,

lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng Hỏi ban đầu công ty dự định

dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau

1.5đ

Gọi x (chiếc) là số xe dự định của công ty (x *,x54) 0.25

Số xe tham gia vận chuyển là x + 3 (chiếc)

Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định 54

a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt 0.5đ

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là:

x2 = mx +  4 x2− mx − = 4 0 0.25

Ta có  = m2 + 16  0, với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân

biệt, suy ra đường thẳng ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt

+

=+

0.25

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên cùng nữa mặt phẳng bờ AB, vẽ

các tiếp tuyến Ax By , của ( )O và lấy điểm C sao cho CA CB  Trên đoạn

OA lấy điểm D(D khác O A , ) Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt

,

Ax By lần lượt tại E và F Đoạn thẳng AC cắt DE tại G , BC cắt DF tại

H, OC cắt GH tại I Gọi J K , lần lượt là trung điểm của DE DF ,

Ta có CAE= ABC (cùng chắn AC)

Tứ giác CDBF nội tiếp ABC=CFD (cùng chắn CD)CAE=CFD ( )1

Tứ giác ADCE nội tiếpAED=ACD (cùng chắn AD)

0.25

0.25

b) Chứng minh I là trung điểm của GH và I J K , , thẳng hàng 2.0đ

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 6

Website: tailieumontoan.com

Ta có CGD= AGE=CHFTứ giác CGDH nội tiếpCGH=CDH

Mà CDH =CBF (Tứ giác CDBF nội tiếp)

0.25 0.25

(2.0 đ)

Cho nữa đường tròn (O R đường kính ; ) AB M là điểm di động trên nữa

đường tròn (M không trùng với A B , ) Qua M kẻ tiếp tuyến với nữa đường

tròn Gọi D C , lần lượt là hình chiếu của A B , trên tiếp tuyến ấy Xác định vị

trí của M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất

Vì ABCD là hình thang vuông nên DC  AB Vậy S ABCD R AB =2R2

Dấu bằng xảy ra khi DC AB= .Khi đó ABCD là hình chữ nhật

/ /

 Vậy M nằm chính giũa AB

0.25 0.75 0.25

0.25 Câu 5

- Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan chỉ có một lựa chọn đúng

- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi; không

làm bài trên đề thi

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Biết 4 2 3− − 6 2 5− = a− b Giá trị a b− bằng

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) : d y=(2m+1)x m+ − Gọi 3 m0là giá trị của

m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc

thêm 4km h so với lúc đi nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút Vận tốc của xe đạp khi đi từ /

A đến B bằng

A 15 km h / B 9km h / C 10km h / D 12km h /

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( ) 2

P y=x Trên ( )P lấy hai điểm , A B lần lượt có

hoành độ là −1 và 3 Diện tích tam giác OAB bằng

Câu 7: Cho phương trình x2−2mx m − − = với m là tham số Biết rằng phương trình đã cho luôn 4 0

có hai nghiệm phân biệt x x1, 2, khi đạt giá trị lớn nhất thì m a

m− x − m− x− m+ = Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m để phương trình có nghiệm là số hữu tỉ?

Câu 10: Cho đường tròn (O R nội tiếp trong hình thang cân ABCD (đáy lớn CD ) Đường tròn ; ) (O R; )

tiếp xúc với hai cạnh bên của hình thang lần lượt tại hai điểm M N Biết , R=10cm MN; =16cm Chu

Câu 12: Cho ba đường tròn ( ) ( ) ( )O1 , O2 , O có bán kính bằng nhau và bằng 3 3, đôi một tiếp xúc ngoài

nhau Một đường tròn ( )O chứa ba đường tròn ( ) ( ) ( )O1 , O2 , O và tiếp xúc với ba đường tròn đó lần 3

lượt tại ba điểm , ,D E F Chu vi của tam giác DEFbằng

A 9 6 3.+ B 9 6 2.+ C 18 9 3.+ D 6 9 3.+

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại , A đường cao AH đường trung tuyến , AM đường phân giác ,

trong AI của góc A của tam giác ABC Biết rằng 4

Câu 15: Cho nửa đường tròn ( )O đường kính BC=2 R Điểm A di động trên nửa đường tròn ( )O Gọi

H là hình chiếu của điểm A lên BC Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của Hlên AC và AB Giá

trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHD bằng

R

C

2

.8

R

D

2

.2

R

Câu 16: Một nhóm bạn đi câu cá Bạn câu được ít nhất câu được 1

7 tổng số cá mà cả nhóm câu được, bạn câu được nhiều nhất câu được 1

5 tổng số cá mà cả nhóm câu được Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn là khác nhau Số người của nhóm đi câu cá là

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

2 2

2 2 2

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (ABAC),có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn

( )O Gọi , , D E F tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ , , A B C Tia AO cắt BC

tại M gọi ,, P Q tương ứng là hình chiếu của M trên các cạnh AC AB ,

a) Chứng minh tam giác HFE đồng dạng với tam giác MPQ

c) Khi điểm A di động trên ( )O ,dây cung BC cố định sao cho tam giác ABC nhọn Đường thẳng

chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB AC lần lượt tại hai điểm , , R N Đường tròn ngoại tiếp

tam giác ARN cắt đường phân giác trong của BAC tại điểm thứ hai là K Chứng minh rằng đường

thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định

Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , ab bc ca+ + =27 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Họ và tên thí sinh:……….……Số báo danh:………… ………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

I Một số chú ý khi chấm bài tự luận

- Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám

khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến

0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất

cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

1 Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm

d) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( )n k; sao cho n4+42k+1 là số nguyên tố

Vậy có 3 cặp số nguyên dương (x y; ) thỏa mãn là ( ) ( ) ( )4; 2 ; 1;1 ; 3;1 0,25

k n

tròn( )O Gọi D E F, , tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ A B C, , Tia

AO cắt BC tại M,gọi P Q, tương ứng là hình chiếu của Mtrên các cạnh AC AB,

a) Chứng minh rằng tam giác HFEđồng dạng với tam giác MPQ

c) Khi điểm Adi động trên ( )O ,dây cung BC cố định sao cho tam giác ABC nhọn Đường

thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB AC, lần lượt tại hai điểm R N, Đường

tròn ngoại tiếp

tam giác ARN cắt đường phân giác trong của BAC tại điểm thứ hai là K Chứng minh rằng

đường thẳng HKluôn đi qua một điểm cố định

1,5

H

P Q

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 8

Tứ giác AFHE nội tiếp FAE+FHE=180 

Tứ giác AQMPnội tiếpQAP QMP+ =180 

Tứ giác AFHE nội tiếp FAH =FEH

Tứ giác AQMPnội tiếpMAP=MQP

qua một điểm cố định

1,0

Lại có, AKlà phân giác trong RAN Suy ra AKlà đường kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ARN.Suy ra ARK =ANK =90KR CF KN; BE

Gọi I là giao điểm của BHvà KR J, là giao điểm của CHvà KN Suy ra tứ giác

IHJKlà hình bình hành Ta có HKđi qua trung điểm Gcủa IJ (1)

E

O A

L

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 11

Câu 4 (7,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O , kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn ,

( )O , (với ,A B là hai tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OM và AB Kẻ đường kính BD của đường

tròn ( )O Đường thẳng MD cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là C Tiếp tuyến tại C của đường tròn

( )O cắt MA MB lần lượt tại ,, E F

a) Chứng minh OCD=OHD và ( )2

4

ME+MF+EF = MH MO

b) Gọi G là giao điểm của đường thẳng OE và AD Chứng minh tứ giác OAGH là hình bình hành

c) Chứng minh các đường thẳng CD HG AF đồng quy , ,

b) Trên một đường tròn cho 26 điểm phân biệt Mỗi điểm đó được tô bởi một trong 5 màu: trắng,

xanh, đỏ, tím, vàng Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu:

nâu hoặc đen Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (trắng, xanh,

đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng được tô cùng một màu (nâu hoặc đen)

-Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Họ, tên và chữ ký của GT 1: Họ, tên và chữ ký của GT 2:

Cho ,a b là hai số nguyên dương sao cho p=a2+ là số nguyên tố và b2 p − chia hết 5

cho 8 Xét ,x y là hai số nguyên sao cho ax2 −by2 chia hết cho p Chứng minh , x y

 − + = (phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm x= +4 11,x= −4 11

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 2

3

x y

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O , kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn , ( )O ,

(với ,A B là hai tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OM và AB Kẻ đường kính BD của

( )O Đường thẳng MD cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là C Tiếp tuyến tại C

của đường tròn ( )O cắt MA MB lần lượt tại , E F Gọi G là giao điểm của đường ,

thẳng OE và AD

d) Chứng minh OCD=OHD và ( )2

4

ME+MF+EF = MH MO

e) Chứng minh tứ giác OAGH là hình bình hành

f) Chứng minh các đường thẳng CD HG AF đồng quy , ,

MAC= ADC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AC)

Xét MAC và MDA có MAC=MDA và chung AMC  MAC và MDA đồng dạng

Gọi I là giao của GO và AH

2

IOA= AOC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

0,25 Lại có 1

2AOC =ADC (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do GD/ /OM nên ADC=DMO (cặp góc ở vị trí so le trong)

Nên IOA ==DMO

0,25

Ta có HIO=IAO IOA+ (tính chất góc ngoài tam giác)

= + = + = (IAO=AMO do cùng phụ với góc MAH )

Gọi N là giao của HG và CD

Chứng minh OF/ /MD (do cùng vuông góc với BC )

a= = =b c

5.b

(1,0

điểm)

Trên một đường tròn cho 26 điểm phân biệt Mỗi một điểm được tô bởi một trong 5

màu trắng, xanh, đỏ, tím, vàng Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng

được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam

giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (trắng, xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng

được tô cùng một màu (nâu hoặc đen)

Nối 5 đoạn AB AC AD AE AF và tô bằng 2 màu nâu, đen và khi đó có ít nhất 3 đoạn cùng , , , ,

màu, giả sử AB AC AD được tô cùng màu đen Xét tam giác BCD , xảy ra hai trường hợp: , ,

0,25

Trường hợp 1: Nếu ba cạnh BC BD DC được tô cùng màu nâu thì tam giác BCD có ba , ,

đỉnh cùng màu đỏ, ba cạnh cùng màu nâu (thoả mãn)

0,25

Trường hợp 2: Nếu ba cạnh BC BD DC có ít nhất một cạnh màu đen, giả sử BC đen, khi , ,

đó tam giác ABC có ba đỉnh cùng màu đỏ, ba cạnh cùng màu đen (thoả mãn)

Vậy luôn có một tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu

0,25

Chú ý:

- Nếu thí sinh làm đúng mà cách giải khác với đáp án và phù hợp kiến thức của chương trình THCS thì tổ

chấm thống nhất cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm như hướng dẫn quy định

- Tổng điểm toàn bài không làm tròn

-Hết -