skkn một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích

Năm học 2022 - 2023 là năm học thứ hai áp dụng chương trình giáo dục phổ thông 2018 ở bậc trung học cơ sở lớp 6, lớp 7; đòi hỏi đội ngũ giáo viên phải không ngừng đổi mới nội dung, phươ

1 Phần mở đầu

1.1 Lý do chọn sáng kiến

Mục tiêu của giáo dục phổ thông 2018 là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng

và bảo vệ Tổ quốc

Năm học 2022 - 2023 là năm học thứ hai áp dụng chương trình giáo dục phổ thông 2018 ở bậc trung học cơ sở ( lớp 6, lớp 7); đòi hỏi đội ngũ giáo viên phải không ngừng đổi mới nội dung, phương pháp, để trong mỗi tiết dạy bình thường ở trường phổ thông học sinh được hoạt động nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn và quan trọng là được suy nghĩ nhiều hơn trên con đường chủ động chiếm lĩnh nội dung học tập

Chuyên đề “giải phương trình tích” được học khá kỹ ở chương trình lớp 8,

nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng Qua thực tế giảng dạy học sinh giải phương trình tích thì tôi nhận thấy rằng: Đa số học sinh làm sai do chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo cho từng bài toán cụ thể Đây cũng là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáo viên dạy toán 8 Nhằm đáp ứng nhu cầu này và tháo gỡ những vướng mắc trong học tập của học sinh, từ đó đã

thúc đẩy tôi suy nghĩ chọn sáng kiến : “Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích” Sáng kiến này tôi biết là đã có nhiều người nghiên cứu và

có nhiều hướng giải quyết, song bám sát thực tế nhà trường và tâm lí, hoàn cảnh đối tượng của mình tôi mạnh dạn nghiên cứu theo quan điểm của bản thân

Sáng kiến nghiên cứu giải phương trình tích và các bài tập vận dụng trong chương trình học kỳ II môn đại số lớp 8 theo chương trình GDPT năm 2006

Khi xây dựng sáng kiến này bản thân tôi hướng đến mục đích cụ thể nhằm triển khai có hiệu quả phương pháp mà mình đã tích lũy qua nhiều năm làm công tác giảng dạy môn Toán cho học sinh THCS, đặc biệt là áp dụng trong năm học 2022 – 2023

1.2 Điểm mới của sáng kiến

Điểm mới của sáng kiến là đưa ra các giải pháp cụ thể và thiết thực trong việc tạo hứng thú cho học sinh học giải theo các bước giảng dạy trên lớp và tự học ở nhà

Khi học nội dung này học sinh rất thích thú, vì có các ví dụ đa dạng, có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó

2 Phần nội dung

2.1 Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu

Thuận lợi:

Nhà trường và các tổ chức đoàn thể rất quan tâm đến việc nâng cao chất

lượng học tập và giáo dục đạo đức, lối sống cho học sinh

Đội ngũ giáo viên luôn chấp hành tốt quy chế chuyên môn, nhiệt tình trong công tác giảng dạy, có tinh thần trách nhiệm, gần gũi với học sinh

Đa số học sinh chăm ngoan, biết vâng lời, có ý thức học tập, tu dưỡng và rèn luyện đạo đức

Nhiều phụ huynh quan tâm đến việc học tập của con em mình

Khó khăn :

Lực học của các em không đồng đều Một số em học sinh tiếp thu còn chậm không đáp ứng được yêu cầu của chương trình Điều kiện kinh tế của gia đình học sinh còn nghèo nên có sự ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng học tập của học sinh

Thời lượng thực hiện giảng dạy còn hạn chế Một số em học sinh tiếp thu còn chậm

Thời gian thực tế trên lớp ít nên việc lồng ghép các dạng toán có liên quan còn khó khăn do đó có những bài toán mới học sinh còn bỡ ngỡ chưa biết cách giải

Kết quả khảo sát chất lượng về chuyên đề giải phương trình tích (bài kiểm tra 15 phút làm trong học kì 2 năm học 2021-2022) như sau:

TSHS SL Giỏi% SL Khá% SL Trung bình% SLYếu kém%

2.2 : Giải pháp thực hiện

Nghiên cứu sáng kiến nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng“ phương trình tích” Đồng thời vận dụng các phương pháp đó để giúp học sinh dễ nhớ, dễ làm các bài tập về phương trình tích đặc biệt nắm chắc phương pháp giải phương trình tích

Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ giải phương trình tích” là gì ? Và những dạng bài tập nào thì vận dụng được nó và vận dụng như thế nào?

Phân tích vế trái thành một tích ( thừa số ) là biến đổi vế trái thành một tích của các đa thức; đơn thức khác của ẩn và vế phải bằng 0

2 2.1: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải dạng bài tập cơ bản:

Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0 ( I )

Phương pháp giải :

Trước hết giáo viên nhắc lại một tính chất của phép nhân có liên quan:

ab = 0  a = 0 hoặc b = 0 ( với a; b là các số )

Đối với phương trình ta cũng có : ( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0

 2x – 3 = 0 hoặc x + 1 = 0

Do đó để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình:

1/ 2x – 3 = 0  2x 3 x 1,5

2/ x + 1 = 0  x = - 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = - 1

Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích

Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau

GV? : Để giải phương trình tích : A(x1) A(x2 ) ……….A(xn ) = 0 ( II ) thì ta cần giải những phương trình nào ?

HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau

A( x1 ) = 0 ( 1 )

A( x2 ) = 0 ( 2 )

………

A ( xn ) = 0 ( n )

Nghiệm của các phương trình ( 1 ); ( 2 ) ( n ) là nghiệm của phương trình ( II ) Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình ( II )

Giáo viên chỉ ra những sai sót thường gặp khi giải phương trình tích như sau khi sau khi đã biến đổi về dạng A(x).B(x) = 0 thì nhiều học sinh giải như sau:

A(x).B(x) = 0  A(x) hoặc B(x) sau đó không biết cách biến đổi để giải tiếp

Do đó giáo viên cần nhấn mạnh cách giải đúng là A(x).B(x) = 0  A(x) =0 hoặc B(x) =0 sau đó ta giải 2 phương trình là A(x) = 0 và B(x) = 0 sau đó lấy tất cả các nghiệm của cả 2 phương trình trên

Một số ví dụ giải dạng bài tập cơ bản:

Ví dụ 1: Giải phương trình

3x.(2x+8)=0

Đây là một bài tập cơ bản nhưng rất nhiều học sinh khi giải sẽ biến đổi như sau: 3x.(2x+8)=0  3x=0 hoặc 2x+8=0

3x ( 2x + 8 ) = 0 3 0 3 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 3; 4 

Như vậy học sinh đã nhầm lẫn khi giải phương trình 3x=0 nên lấy sai nghiệm

Do đó giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách giải đơn giản hơn như sau:

3x ( 2x + 8 ) = 0 0 0 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 0; 4 

Tức là giáo viên cần chỉ ra cho học sinh với phương trình này ta có thể coi vế trái có 3 nhân tử là 3; x; 2x+8 trong đó 3 khác 0 nên vế trái bằng 0 khi x=0 hoặc 2x+8=0 thay vì coi vế trái có 2 nhân tử là 3x và 2x+8

Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 1 1 3 7

7 x 7 x x Đối với dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh các bước giải cụ thể :

Bước 1: Thực hiện phép nhân ở vế phải

Bước 2: Thực hiện chuyển toàn bộ từ vế phải sang vế trái và phân tích vế trái

thành nhân tử( vế phải bằng 0) và giải phương trình tích:

 

1 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 7

1;

3

 

 

 

Ví dụ 3 : Giải phương trình : x2  2x 1 4 0

Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi

vế trái dựa vào hằng đẳng thức

Giải : Ta có :

2 2

 

x

 x 3 x1 0

3 0 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   1;3 

Ví dụ 4: Giải phương trình : x122x 1 x2  x22 0

Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra được ta phải đưa vế trái thành dạng một tích bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức Muốn vậy học sinh cần nhận ra vế trái có dạng bình phương của một tổng: Ta xem ( x- 1 ) =A ; ( x + 2 ) = B  phương trình có dạng ( A + B )2= 0

Giải : ta có x 12  2x 1 x 2  x 22  0

 x 1  x 22  0

 x1  x2 0

 1 2 0

x x x

2 1 1

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1

2

 



 

 

2 2.2: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình cơ bản đưa về

phương trình tích:

Ví dụ 1 : Giải phương trình : x33x2 2x0

Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau:

Cách 1 : Ta có : x3 3x2 2x  0 x x 2 3x 2 0

 x x 2  x 2x2 0 ( tách 3x = x + 2x )

 x x 2x2x2 0

  ( nhóm hạng tử )  x x x  12x1 0 ( đặt nhân tử chung )

 x x 1 x2 0 ( đặt nhân tử chung )

 x=0 hoặc x+1=0 hoặc x+2=0

1 x=0

2 x+1=0 x = -1

3 x+2=0 x= -2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2   

Cách 2: Giải : Ta có

x33x2 2x  0 x3x22x22x 0 ( tách 3x2 x2 2x2 )  x3x2  2x22x  0 x x2 12x x 1 0

 x 1 x2  2x   0 x 1 x x 2 0 ( đặt nhân tử chung )  x=0 hoặc x+1=0 hoặc x+2=0

1 x=0

2.x+1=0 x= -1

3.x+2=0 x= -2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2   

Ví dụ 2: Giải phương trình : x3  19x 30 0

Đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung ; cũng không ở dạng hằng đẳng thức nào cả, do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào đã biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử) ở đây ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x

Giải : Ta có :

x3  19x 30 0  x3 9x 10x 30 0

 x3  9x 10x 30   0 x x 2  9 10x 3  0

 x x 2 3210x3  0 x x  3 x3 10x3 0

 x3x x  310  0 x3 x2 3x 10 0

 x 3 x2  5x 2x 10   0 x 3 ( x2  5 )x 2x 10  0

 x3x x  52x 5  0 x3 x 5 x2 0

 x+3=0 hoặc x-5=0 hoặc x+2=0

1 x+3=0 x= -3

2 x-5=0 x= 5

3 x+2=0 x=-2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =   3; 2;5 

Ví dụ 3 : Giải phương trình : 3x2 5x 20

Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5x = 6x – x

Giải : Ta có : 3x2 5x 2 0  3x26x x  2 0

 3x26x x2  0 3x x 2  x2 0

 x2 3  x 1 0

 x+2=0 hoặc 3x-1=0

1 x+2=0 x= -2

2.3x-1=0 x=1/3

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S= 2;1

3



Ví dụ 4 : Giải phương trình : 4x3  14x2  6x  0

Đối với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành tích bằng cách đặt nhân tử chung để biểu thức trong ngoặc đơn giản hơn, sau đó dùng phương pháp tách hạng tử để đưa về dạng tích

Giải : Ta có : 4x3 14x2 6x 0 2 2x x 2 7x3 0

 2 2x x 2 6x x 3  0 2x2x26xx3 0

 2x2x x 3  x3  0 2x x 3 2  x1 0

 2x=0 hoặc x+3=0 hoặc 2x+1=0

1 2x=0 x= 0

2.x+3=0 x=-3

3.2x+1=0 x=-1/2

Vậy : tập nghiệm của phương trình là : S = 0; 3; 1

2

 

Ví dụ 5: Giải phương trình : x2  9x 20  0

Đối với phương trình này vế trái chưa xuất hiện nhân tử chung, do đó

ta cần biến đổi để đưa vế trái về dạng tích bằng cách tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x29x20 0  x2 4x5x20 0

 x2 4x 5x20  0 x x 45x4 0

 4  5 0 4 0 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =   4; 5  

Ví dụ 6: Giải phương trình : x2 x 6 0

Ta biến đổi vế trái của phương trình thành tích bằng cách tách hạng tử

x = 3x – 2x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung

Giải : Ta có : x2  x 6 0  x2 3x 2x 6 0

 x2 3x 2x6  0 x x 3 2x3 0

 3  2 0 3 0 3

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =   3; 2

Ví dụ 7: Giải phương trình : x2  3x20

Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau Sau đây là một

số cách giải:

Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x

Ta có : x2  3x  2 0 x2 x 2x 2 0

 x2  x  2x 2  0 x x  1 2x 1 0

 1  2 0 1 0 1

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1; 2

Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6

Ta có : x2  3x  2 0 x2  3x 4 6 0 

 x2 4 3x 6  0 x2 x 2 3x 20

 x 2  x2 3 0

 1  2 0 1 0 1

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1; 2

Cách 3 : Biến đổi 3

3 2

2

  ; 9 1

2

4 4

 

Ta có : 2 2 3 9 1

2 4 4

x  x   x  x   

               

                 

3 1 3 1 0

        

 1  2 0 1 0 1

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1; 2

2 2.3: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nâng cao đưa về phương trình tích:

Dạng 1 Dạng phương trình trùng phương

Ví dụ 1: Giải phương trình x4  13x2 36 0

Đây là phương trình bậc 4 ẩn x để giải dạng phương trình này ta cần đặt ẩn phụ sau khi tìm được giá tri của ẩn phụ ta thay giá trị đó vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm

Ở đây ta đặt x2  (Với a ≥ 0) ta có cách giải sau a

Giải :Ta có : x4  13x2 36 0  a2  13a36 0

 a2  4a 9a 36 0   a2  4a 9a 36 0

 a a  4 9a 4   0 a 4 a 9  0

4 0 4

Vì ta đặt x2 = a Suy ra

2

2

3 9

x x









Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =    2; 3

Ví dụ 2 Giải phương trình : 2x4 5x2 2 0

Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ

là : Đặt x2  (Với a ≥ 0) nên ta có cách giải sau a

Giải :Ta có : 2x45x2   2 0 2a25a 2 0

 2a2 4a a   2 0 2a24aa2 0(tách 5a = 4a + a )  2a a 2  a2  0 a2 2  a1 0 (nhóm và đặt NTC )

2 0 2

Đối chiếu với điều kiện của a ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm : tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 

Ví dụ 3 : Giải phương trình : 9x4 6x2   ta biến đổi vế trái bằng cách 1 0 đặt ẩn phụ x2  để đưa về dạng tích a

Giải : Ta có : 9x46x2   1 0 9a2 6a 1 0

 3a2 2.3a12  0 3a12 0

 3 1 0 1

3

Vì đặt 2 2 1

3

x a x  Trường hợp này cũng không thể xảy ra

Vì x 2 0 với mọi giá trị của x Vậy phương trình vô nghiệm

Tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 

Ví dụ 4: Giải phương trình : 2x4 7x2  4 0

Đặt x2 a Ta có cách giải sau

2x4  7x2  4 0  2a2  7a 4 0

 2a2  8a a  4 0  2a2  8aa 4 0

 2a a  4  a 4  0 a 4 2  a1 0

4 0 4

Vì đặt x2  a  x2  4 x 2

Và : x 2 1 / 2 loại

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =   2

Ví dụ 5 : Giải phương trình : 2x4  20x2 18 0

Đặt x2  a nên ta có cách giải sau

2x4  20x2  18   0 2a2  20x 18  0

 2a2  10a9  0 2a2 9a a 9 0

 2a2  9a a 9  0 2a a  9  a 9 0

2 9  1 0 9 0 9

Vì đặt x2   a x2   9 x  3

Và : x2  1 x1

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =    1; 3 

Dạng 2: Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu đưa về phương trình tích:

Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác không Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này:

Ví dụ 1: Giải phương trình :

x

x x x x



 

  ( I )

Điều kiện xác định của phương trình là : 0 0



Giải : Ta có

( I )  x x22 1x x x 2 2  x2x x x 2x  2 x x 2 2

 x 2 x x 2   2 x2  2x x 2  2

2 0  1 0 0 0

Vì điều kiện xác định của phương trình là : x  0 và x  2

Nên với x = 0 loại Do đó tập nghiệm của phương trình là : S =    1

Ví dụ 2 : Giải phương trình :  

2

2 11

x x





   ( II ) ĐKXĐ: x  2 Giải : Ta có :

2

x x





   

2

 x 22  3 x 2  2 x 11

 x2  9x20 0  x2  4x 5x20 0 ( tách -9x = -4x – 5x )  x2  4x  5x 20  0 x x  4 5x 4 0