skkn phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức vi ét

Cơ sở lí luận Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đấtnước,ngành giáo dục đã từng bước thay đổi chương trình , sách giáo khoa ,phương pháp giảng dạy để phù hợp với

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN

Người thầy đóng vai trò chủ đạo , hướng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , tư duy lô gic của học sinh trong học tập

và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàngthực hiện được

Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm kháiniệm, tính chất, định lí , qui tắc mà cả những kĩ năng , phương pháp giải bàitập và vận dụng vào thực tế cuộc sống Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoàiviệc hướng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm.Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng líthuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hướng thuận lợi nhất choviệc giải nó

Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiếnthức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích mônToán hơn Việc giảng bài và tìm ra phương pháp giải sao cho phù hợp với đốitượng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh

có năng khiếu và bồi dưỡng trở thành học sinh giỏi đồng thời trang bị cho các

em vốn kiến thức để các em bước vào kỳ thi THPT

Giải bài toán vận dụng hệ thức Vi-ét rèn cho học sinh tư duy phân tích,tổng hợp, phát huy được tính tích cực chủ động của học sinh

2 C¬ së thùc tiÔn

a Đối với giáo viên:

Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có

1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm

vụ theo phân phối chương trình với nội dung sách giáo khoa, sách bài tập màkhông đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét Bêncạnh đó các bài tập thể hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập số lượng khôngnhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khigiải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT Do đó kết quả học tập của học

sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không

có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học

b Đối với học sinh:

Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bàitoán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng vẫn cònmột số học sinh thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi-ét trong các kì thituyển sinh vào trường THPT

Nguyên nhân:

- Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cầntìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập

3 Lý do ch ọ n đ ề t à i

Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công

ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôntập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉdạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở sách giáo khoa, sách bài tập thì chưacung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này.Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống Như vậykết quả bài làm của các em không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào trườngTHPT đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi-ét Chính vì thế, tôi đã tiến hànhnghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, các tài liệu BDTX toán lớp 9 và các tàiliệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó đã tiến hành phândạng và với từng dạng đều có phương pháp giải và chỉ rõ ứng dụng của nó

Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến

“Phương pháp giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét”

II

THỜI GIAN, ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.Thời gian nghiên cứu:

- Thời gian thực hiện: Từ tháng 4 năm học 2019 – 2020 và trong suốt quá trình

ôn luyện cho các em thi vào 10

2

Đối tượng nghiên cứu :

Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực nghiên cứu các tài liệu liênquan, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến Học sinh

Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận

- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp cùng

khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinhnghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp

- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi

- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê sosánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài Từ

đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài

- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh

- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh

III KHẢO SÁT THỰC TẾ VÀ SỐ LIỆU TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Nói tóm lại, tình trạng thực tế của học sinh khi chưa thực hiện đề tài thìviệc giải các bài toán dạng này rất khó khăn, lúng túng và hiệu quả chưa cao

2 Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài

Trước khi thực hiện đề tài tụi đó cho đề khảo sát chất lượng 40 em học

sinh lớp 9A, trong đó có nhiều em có học lực khá, giỏi môn toán, kết quả thu được như sau :

Tôi đã rất băn khoăn , lo lắng , lên kế hoạch dạy bồi dưỡng , cung cấpcho các em những kiến thức cơ bản về hệ thức Vi-ét và đưa ra phương pháp giảicác bài toán dạng này

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀI.CUNG CẤP CHO HỌC SINH CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ THỨC VI-Ét

1.Định lí Vi-ét: (thuận)

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) thì

phương trình x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P  0)

3 Áp dụng ( nhẩm nghiệm): Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm

của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a

II CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

* Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều

kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra

a 0,  0  ' 0 có thỏa mãn không).Sau đó ta mới áp dụng hệ thức Vi- ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) thì

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và

2.Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

*Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương

trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a

Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0

Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là

 Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta

tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2

 Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

 Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại vàđưa ra lời kết luận nghiệm

- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừnglại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm

* Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4

*Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau

a) x2 - 7x + 10 = 0

b) x2 + 6x +8 = 0

Giải:

a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:

x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5

b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên x1 = -2, x2 = -4

3 Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai

một ẩn cho biết trước một nghiệm

* Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) cho biếtmột nghiệm x1 = m Tìm nghiệm còn lại x2 ?

Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1x2 = b

b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x1 = 1

3 tìm nghiệm x2,giá trị của m tương ứng

a) Giải phương trình với m = 5

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1nghiệm bằng - 2

 m2 - 4m = 0  m = 0

m = 4





4.Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

* Phương pháp : Nếu hai số u, v thỏa mãn u v S

nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)

 Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P  0) thì ta

 Bước 1: Xét biệt thức  b2  4ac 0 thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc  ' 0).

 Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức

6.Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

*Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,  0 hoặc

a 0, ' 0   )

*Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

*Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai

nghiệm không phụ thuộc vào tham số

* Ví dụ 1 Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)

Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Giải

Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có:  ' m2 2m 2 m 1 2  1 0 vớimọi m Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức

(2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét màquên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2

* Ví dụ 3 :Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0

a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

m m

   thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt

b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: 1 2

7 Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình

thỏa mãn một điều kiện cho trước

* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình

có nghiệm x1, x2 (tức là cho  0 hoặc  ' 0)

 Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: 1 2

 Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.

 Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.

* Ví dụ 1 Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0.

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãytính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

Giải hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x110 x1  5 x2  6 x1 6 5 1.

Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m  m = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m = 5 thì x1 x2 4

* Ví dụ 3 Cho phương trình: x - 2(m +1)x + 2m = 0 (1) (với ẩn là 2 x)

a) Giải phương trình (1) khi m =1

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Kết hợp với điều kiện '  0 ta được m = 2 hoặc m = -2

8 Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm.

* Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2

của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) dựa trên kết quả:

- Phương trình có hai nghiệm âm 

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Giải

a

      Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x 1x2

Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

* Ví dụ 2 Cho phương trình mx2 - 6x + m = 0 Tìm m để phương trình có hainghiệm âm

*Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Có hai nghiệm khác dấu

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải:

a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi

trình vì phương trình vô nghiệm

Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0

Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

9 Dạng toán 9: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

*Phương pháp:

* Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 ( a 

0 và   0)

* Bước 2: Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi

biểu thức đã cho rồi tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất)

* Bước 3: Tìm điều kiện của tham số để xảy ra dấu đẳng thức, đối chiếu với

điều kiện và kết luận

*Ví dụ 1: Cho phương trình : x2  (m 1)x m 2 m 2 0

Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm giá trị của m để 2 2

x x đạt giá trịnhỏ nhất

a) Giải phương trình khi m 2.

b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m Gọi

với mọi m Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

Khi đó theo định lý Viet thì

1 x 4 x x

x   =

2

4 2

3 2 m m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt được khi m 1

*Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2x – m = 0 (1) (x ; là ẩn, m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm (có thể bằng nhau) của phương trình (1) Tính biểu

a) x2 - 3x + 4 = 0 b) 2x2 - 3x + 4 = 0

Bài tập 2: Tìm m để phương trình x4 - mx2 + m -1 = 0 có:

a) Bốn nghiệm phân biệt

b) Ba nghiệm phân biệt

c) Hai nghiệm phân biệt

Bài tập 3: Cho phương trình x2 + 4x + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x12 + x22 và x12 - x22

Bài tập 4: Cho phương trình x2 - mx + 6 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

a) x1 - x2 = 1 b) x12 + x22= 37

Bài tập 5: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x - m = 0

a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu

Bài tập 7: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0(m là tham số )

Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khôngphụ thuộc vào m

Bài tập 8: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên Với giá trị nào của m thì biểuthức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó