skkn phương pháp giải bài toán liên quan đến dãy số cách đều

Tuy nhiên trong môn Toán ở Tiểu học về mảng kiến thức liên quan đến “ dãy số cách đều” thường khó và tạo cho học sinh tâm lí “ những bài toán này quá sức với khả năng của mình”.. Với tră

52224

25

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ CÁCH ĐỀU

I PHẦN MỞ ĐẦU:

1, Lý do chọn sáng kiến:

Trong hệ thống Giáo dục có một bậc học được coi là nền móng đó là bậc Tiểuhọc Tiểu học là cấp học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triểnnhân cách của con người, đặt nền móng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn

hệ thống giáo dục quốc dân Trong các môn học ở tiểu học thì môn Toán là một trongnhững môn giữ vị trí vô cùng quan trọng

Để dạy và học tốt, Bộ GD và ĐT đã nêu ra 3 phương hướng cơ bản trong côngcuộc đổi mới giáo dục đào tạo đó là: Đổi mới chương trình SGK, đổi mới phươngpháp học và đổi mới đánh giá kết quả học tập của học sinh Trong đó việc đổi mớiphương pháp dạy học được coi là nội dung trọng yếu Đổi mới phương pháp dạy họctheo hướng tích cực phải kích thích được nhu cầu và hứng thú học tập của học sinh,chú trọng rèn luyện tự học, chủ động sáng tạo trong việc phát hiện và giải quyết vấn

đề Tuy nhiên trong môn Toán ở Tiểu học về mảng kiến thức liên quan đến “ dãy số

cách đều” thường khó và tạo cho học sinh tâm lí “ những bài toán này quá sức với khả

năng của mình”

Với trăn trở làm sao để kích thích được nhu cầu và hứng thú học tập cho học sinh,giúp các em chủ động lĩnh hội kiến thức, tự tin khi làm các dạng bài về dãy số cách

đều, tôi đã nghiên cứu và xin đưa ra “Phương pháp giải một số dạng bài toán liên

quan đến dãy số cách đều” nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung liên quan đến

dãy số cách đều nói riêng và môn Toán nói chung

2, Điểm mới của sáng kiến:

- Sáng kiến này đã có tác giả Ngô Thị Thủy (Trường Mỹ Thủy) nghiên cứu rồi.

- Sáng kiến của cô Thủy đưa ra Chuyên đề về dãy số (gồm dãy số cách đều và dãy số

không cách đều) Còn sáng kiến này chỉ nghiên cứu về dãy số cách đều.

- Sáng kiến của Cô Thủy trình bày về cách giải các dạng toán về dãy số Còn sáng kiến này không chỉ hướng dẫn cách giải cho học sinh mà còn trình bày cách dạy của giáo viên giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức từ các bài tập cụ thể rồi rút ra cách giải từng dạng tổng quát Không những thế từ hiểu biết của mình học sinh tự ra được bài tập theo từng dạng để có kỹ năng nhận diện dạng và giải

3 Phạm vi áp dụng sáng kiến:

- Dãy số cách đều là một dãy số mà các phần tử trong dãy có quan hệ chặt chẽ

với nhau Các phần tử của dãy cách đều nhau theo một khoảng cách nhất định mà tathường gọi là quy luật của dãy số

- Bài toán về dãy số cách đều là dạng bài toán có liên quan đến các dãy số cách

đều Đề bài thường cho một dãy bất kì rồi yêu cầu người giải tìm ra quy luật của dãy(tức là tìm khoảng cách giữa các phần tử trong dãy) Hoặc yêu cầu tìm một phần tử ởmột vị trí nào đó trong dãy Cũng có khi bài toán yêu cầu viết thêm các phần tử trongdãy

- Vai trò của Toán về dãy số cách đều ở Tiểu học có một vị trí quan trọng đặc

biệt Nó xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5 Dạng bài toán này giúp HS tiếp thu kiến thức

về dãy số một cách có hệ thống Nắm chắc phần kiến thức này sẽ giúp HS có hứng thúhọc toán hơn Ở các lớp1, 2, 3, dạng toán này đòi hỏi HS tư duy ở mức độ đơn giản,nhưng càng lên lớp 4,5 thì yêu cầu của bài toán càng phức tạp hơn

II PHẦN NỘI DUNG:

1 Thực trạng của vấn đề:

a Thuận lợi:

Trong quá trình thực hiện sáng kiến, tôi luôn nhận được sự quan tâm giúp

đỡ sát sao của Ban giám hiệu nhà trường và các tổ chuyên môn Bên cạnh đó,các em học sinh cũng đã ủng hộ tôi rất nhiều để tôi có điều kiện thực hiện đượcsáng kiến của mình

b Khó khăn:

- Các bài toán liên quan đến dãy số cách đều thuộc phần nâng cao ở lớp 4,5

thường khó, trừu tượng Trong khi đó tư duy của HS Tiểu học là tư duy cụ thể mangtính hình thức, trí nhớ trực quan hình tượng

- Bài tập vận dụng còn ít, chưa liên tục Do đó trong quá trình rèn luyện cho họcsinh kĩ năng giải các bài toán này gặp nhiều khó khăn, hạn chế

- Một số học sinh còn lười suy nghĩ, chưa có ý thức vươn lên trong học tập Ở lớp4&5, HS được biết đến một số bài toán liên quan đến dãy số cách đều ở mức độ đòihỏi học sinh phải tư duy thì đa phần HS cảm thấy khó, không tự đề ra được phươnghướng làm bài, giải quyết bài toán, chưa tìm ra được kết quả đúng hoặc có tìm ra đượcnhưng chỉ mang tính chất suy đoán

Để thấy được hiệu quả sát thực của sáng kiến này tôi đã chọn 15 học sinh lớp 4

có trình độ khá giỏi làm khảo sát với đề bài như sau:

Bài 1 : Tìm quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số cho tương ứng dưới đây rồi viết

thêm 5 số nữa

a, 3 ; 6; 9; 12;

b, 1; 5; 9; 13;

Bài 2 Cho dãy số tự nhiên chẵn từ 2 đến 102

a, Tìm trung bình cộng các số của dãy số trên

b, Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số ?

Bài 3 Cho dãy số lẻ liên tiếp : 1; 3; 5; 7; 9; ; x

Nhìn vào bảng tổng hợp trên tôi nhận thấy các em đạt điểm trung bình là các

em chỉ biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải được bài tập 1 và làm được một phầnnhỏ ở bài tập 2 nhưng các em vẫn còn nhầm giữa số và chữ số Các em không làmđược bài tập 3 và nội dung cơ bản của bài tập 2 Tôi nghĩ do các em cảm thấy khó,chưa có tư duy cao Những em đạt điểm khá ngoài việc giải được bài tập 1 các em đãgiải tương đối hoàn thiện bài tập 2 Chỉ có duy nhất 2 em hoàn thành gần xong vàđúng cả 3 bài tập Căn cứ vào đó, tôi nhận thấy các em học sinh khi làm bài đòi hỏi sự

tư duy thì các em còn lúng túng, làm bài thiếu chính xác Bởi vậy tôi đi nghiên cứunhững vấn đề học sinh thường vướng mắc, gặp khó khăn trong việc giải quyết các bàitoán liên quan đến dãy số cách đều để đưa ra một số dạng bài và phương pháp giải cácdạng bài đó

2 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

DẠNG 1 : TÌM QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Bài tập 1 Tìm quy luật viết số hạng của mỗi dãy số sau rồi viết thêm 5 số nữa

a, 0; 2; 4; 6; 8;

b, 1; 3; 5; 7; 9 ;

c, 6 ; 12; 18 ; 24 ;

Phân tích : Bài toán gồm mấy yêu cầu?

(2 yêu cầu: Tìm quy luật, viết thêm 5 số nữa)

- Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn (kém) nhau bao nhiêu đơn vị?

(Câu a , b 2 đơn vị, câu c là 6 đơn vị)

Vậy quy luật viết các số trong dãy số trên là gì ?

(Câu a, câu b là: Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn (kém) nhau 2 đơn vị, câu c:Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn (kém) nhau 6 đơn vị)

Bài giải ( cách 1 )

a, Nhận xét :

0 + 2 = 2 ; 2 + 2 = 4 ; 4 + 2 = 6 ; 6 + 2 = 8 ;

Quy luật: Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn (kém) nhau 2 đơn vị

Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là : , 0; 2; 4; 6; 8; 10 ; 12 ; 14; 16; 18

b, Nhận xét :

1 + 2 = 3; 3 +2 = 5; 5 + 2 = 7; 7 + 2 = 9;

Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là :1; 3; 5; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19

c, Nhận xét :

6 + 6 = 12; 12 + 6 = 18 ; 18 + 6 = 24;

Quy luật : Hai số tự nhiên liên tiếp trong dãy hơn (kém) nhau 6 đơn vị,

Dãy số mới khi viết thêm 5 số nữa là :6 ; 12; 18 ; 24 ;30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54

Tương tự, em hãy tìm quy luật khác để viết dãy số tự nhiên ở câu a? GV có thểgợi ý cho học sinh (tìm mối quan hệ giữa số hạng và số chỉ vị trí, khoảng cách) Ở đâytôi cho học sinh thảo luận nhóm để tìm ra các quy luật khác cũng để viết dãy số trên.Khi hỏi các em đều trình bày được (ở đây tôi chỉ trình bày quy luật còn viết thêm 5 sốhạng vẫn giống như trình bày cách 1) Nội dung như sau :

Bài giải ( cách 2 )

a, Nhận xét: 0 = 1  2 – 2; 2 = 2  2 - 2 ; 4 = 3  2 - 2; 6 = 4  2 – 2;

Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ thứ tự của nó  khoảng cách - 2

Tương tự :

câu b , Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ thứ tự của nó  khoảng cách - 1

câu c, Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ thứ tự của nó khoảng cách

Từ bài tập trên tôi đã giúp học sinh đưa ra được những nhận xét về cách tìm quyluật viết các số trong dãy số cách đều như sau :

Trước tiên cần dựa vào những số mà bài đã đưa ra để tìm ra quy luật.

Ở đây tôi xin trình bày 2 quy luật điển hình nhất để tập trung và phục vụ cho các

em khi làm dạng bài sau của dãy số cách đều:

Cách 1: Quy luật : Mỗi số hạng bất kì = số hạng liền trước nó + a

( trong đó a chính là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp trong dãy )

Cách 2: Quy luật : Mỗi số hạng = số chỉ thứ tự  khoảng cách

Để phát huy tính tích cực chủ động lĩnh hội kiến thức của học sinh , tôi đã chocác em thi tự đặt đề toán về dạng bài “ Tìm quy luật của dãy số cách đều” và tự giảicác bài toán đó Các em tham gia rất tích cực và thu được nhiều kết quả khả quan Sauđây tôi xin trình bày 1 số đề toán các em đã xây dựng:

Bài 1 Tìm quy luật viết số hạng trong mỗi dãy số sau:

a, 1 ; 2; 3; 4; ; 97 ; 98; 99

Tóm lại : Để giải tốt dạng toán này (tìm ra được nhiều quy luật) thì giáo viên nên hệ

thống các quy luật như 2 cách tôi vừa trình bày Tất cả những quy luật đó đều được xây dựng từ các số hạng mà bài đã đưa ra, đồng thời dựa vào số chỉ thứ tự, khoảng cách của các số hạng trong dãy Khi đó học sinh sẽ tìm ra các quy luật một cách nhanh chóng.

DẠNG 2 : TÍNH SỐ CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Bước 1 : Xây dựng công thức:

Để xây dựng công thức tôi đưa ra các ví dụ đơn giản sau:

VD1 : Cho dãy số sau :

1; 2 ; 3; 4; 5; 6 ;7 ; 8 ; 9

- Em hãy xác định quy luật của dãy? (hai số đứng liền nhau hơn (kém) nhau 1đơn vị) Ta nói khoảng cách giữa 2 số liền nhau của dãy là 1

Từ đó tôi giúp cho học sinh khái quát: Hai số liền nhau trong dãy số cách đều hơn

(kém) nhau x đơn vị thì x là khoảng cách.

Dãy số trên có bao nhiêu số hạng? HS đếm và dễ dàng phát hiện: Dãy số trên có 9

Từ các ví dụ mang tính cụ thể, trực quan HS sẽ tự mình chiếm lĩnh tri thức và đưa

ra được công thức tính đúng Do đó HS có thể làm được các bài tập mang tính kháiquát, tư duy hơn như câu d (kết quả là 57 số hạng) và bài tập minh hoạ trong phầnthực hành luyện tập sau:

Bước 2: HS thực hành làm 1 số bài tập:

Bài 1 Cho dãy số : 2; 5; 8; 11, 95; 98 ; 101

Tính xem dãy số trên có bao nhiêu số hạng ?

GV hướng dẫn HS theo các câu hỏi như sau :

+ Bài toán cho biết gì ? ( Cho dãy số : 2; 5; 8; 11, 95 ; 98 ; 101 )

+ 2 số hạng liên tiếp của dãy hơn (kém) nhau bao nhiêu đơn vị ? Vì sao ? HS trảlời: ( vì 2 + 3 = 5 , 5 + 3 = 8 , 8 + 3 = 11, , 98 + 3 = 101 Nên : Hai số đứng liền nhauhơn (kém) nhau 3 đơn vị)

+ Vậy đó là dãy số cách đều có khoảng cách là bao nhiêu ? ( là 3 )

+ Số lớn nhất của dãy số là bao nhiêu? (101)

+ Số bé nhất của dãy số là bao nhiêu? (2)

Từ đó các em muốn tính xem dãy số trên có bao nhiêu số hạng ta làm thế nào? ( Dựa vào công thức:

Số các số hạng = ( số hạng lớn nhất – số hạng bé nhất ) : khoảng cách + 1

Em sẽ tìm được số các số hạng của dãy số)

Bài giải (áp dụng công thức vừa xây dựng)

Nhận xét : 2 + 3 = 5; 5 + 3 = 8; 8 + 3 = 11; ; 98 + 3 = 101

Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị

Số các số hạng của dãy là : (101 - 2 ) : 3 + 1 = 34 ( số )

Số các số hạng = (số hạng lớn nhất - số hạng nhỏ nhất) : khoảng cách + 1

Bước 2 : Nêu quy luật

Bước 3 : Tìm số các số hạng theo công thức:

Số các số hạng = ( số hạng lớn nhất – số hạng bé nhất ) : khoảng cách + 1

Để khắc sâu kiến thức ngoài cách giải trên tôi cho học sinh thảo luận nhóm để tìm cách giải khác Nếu các em không tìm được tôi hướng dẫn các em như sau:

- Em hãy tìm quy luật khác viết dãy số trên? (mỗi số hạng = số chỉ thứ tự  3 - 1)

- Muốn tìm xem dãy số trên có bao nhiêu số hạng thì trước tiên ta phải tìm gì ?

Vậy số hạng cuối cùng của dãy đứng ở vị trí thứ 34 hay dãy số trên có 34 số hạng.

Đáp số: 34 số hạng

Ngoài 2 cách trên bài toán còn có cách 3 Tôi hướng dẫn như sau :

+ Ngoài 2 quy luật viết dãy số trên, bạn nào tìm được quy luật khác để viết dãy số?

GV gợi ý: Lấy mỗi số hạng chia cho khoảng cách (Các số hạng của dãy chia cho 3đều dư 2 và thương kém số chỉ thứ tự 1 đơn vị)

+ Muốn tìm số các số hạng của dãy ta phải làm thế nào? ( Tìm vị trí của số 101)

+ Số chỉ thứ tự của số 101 là bao nhiêu ? (là 34 vì số 101 chia cho 3 được 33 dư 2 nên

số chỉ thứ tự của 101 là : 33 + 1 = 34)

- Vậy dãy số đó có bao nhiêu số hạng? (34 số hạng)

Ta có bài giải cách 3 như sau :

Bài giải (Cách 3)

Nhận xét :

2 : 3 = 0 (dư 2) ; 5 : 3 = 1 (dư 2); 8 : 3 = 2 (dư 2);

98 : 3 = 32 (dư 2) ; 101 : 3 = 33 (dư 2) Quy luật : Mỗi số hạng của dãy số khi chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ thứ

tự của nó 1 đơn vị

Số 101 chia cho 3 được 33 dư 2 nên số chỉ thứ tự của 101 là : 33 + 1 = 34

Vậy dãy số đó có 34 số hạng

Lưu ý : Để tìm ra quy luật các em dựa vào mối quan hệ giữa số hạng, khoảng

cách, số chỉ thứ tự Qua ví dụ trên 3 là khoảng cách nên dãy số trên có thể nêu quy luậtnhư sau:

- 2 số liền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị

- Mỗi số hạng của dãy bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 3 rồi trừ đi 1

- Các số hạng của dãy chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ vị trí 1 đơn vị

Bài tập vận dụng Bài 1 Cho dãy số : 50 ; 53; 56; 59; 257; 260

Tính xem dãy số trên có bao nhiêu số hạng

Phân tích đề toán :

- Tìm quy luật của dãy số trên? (Hai số đứng liền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị)

- Vậy khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là bao nhiêu? (là 3).

- Số hạng bé nhất của dãy số trên là số nào ? (số 50)

- Số hạng lớn nhất của dãy số trên là số nào ? (số 260)

Từ đó các em sử dụng công thức vừa xây dựng để tìm kết quả

Bài giải ( Cách 1)

Nhận xét: 50 + 3 = 53; 53 + 3 = 58; 58 + 3 = 61; 254 + 3 = 257; 257 + 3 = 260Quy luật: Hai số đứng liền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị

Số các số hạng của dãy là :

(260 - 50) : 3 + 1 = 71 (số)

Vậy dãy số trên có 71 số hạng

HS có thể vận dụng linh hoạt để tìm ra một số cách giải khác tương tự cách 2, cách 3 ở VD minh hoạ, tôi hỏi:

Em hãy tìm quy luật khác để viết dãy số trên ?

(mỗi số hạng = số chỉ thứ tự  3 + 47)

Từ đó các em phải tìm gì nữa? (tìm số thứ tự của số 260)

Số thứ tự của số 260 là bao nhiêu? (là 71 vì gọi số thứ tự của số 260 là n

Tuy nhiên ở đây, 50 : 3 = 16 ( dư 2 ), 53 : 3 = 17 ( dư 2 ) nhưng không sử

dụng tương tự như cách 3 phần ví dụ minh hoạ được vì 16 là số tương đối xa so với

số chỉ vị trí là 1

Vậy bài toán này có 2 quy luật của dãy số tương ứng với 2 cách giải đó là:

- Quy luật: Hai số đứng liền nhau hơn (kém) nhau 3 đơn vị.

- Quy luật: Mỗi số hạng = số thứ tự của nó  3 + 47

Bài 3

a, Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có hai chữ số

b, Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số

- Em hãy tìm các quy luật viết các số hạng của dãy?

+ Hai số hạng liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị

- Hướng dẫn tương tự đối với câu b

Từ hướng dẫn đó tôi yêu cầu các em về nhà làm bài

Hướng dẫn giải :

Cách 1 : Số các số hạng = ( 98 - 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số )

Qua quá trình dạy học tôi nhận thấy HS thường mắc một số sai lầm sau :

Sai lầm : Bài toán yêu cầu tìm số các số hạng thì học sinh lại trả lời số hạng là (chẳng

hạn số hạng là 45 số)

Khắc phục : Giúp học sinh nhận biết, phân biệt rõ số hạng và số các số hạng

Tóm lại : Để giúp học sinh làm tốt dạng toán này, GV cần hướng dẫn học sinh có các

kĩ năng như sau:

+ Nhận ra được dãy số bài ra là dãy số cách đều và tìm ra được (khoảng cách,

số hạng bé nhất, số hạng lớn nhất của dãy số)

+ Tìm quy luật viết dãy số

+ Tìm số các số hạng của dãy số phù hợp với từng quy luật của dãy

Trên đây tôi xin đưa ra 3 quy luật viết dãy số điển hình nhất Từ đó sẽ có tương ứng 3 cách tìm số số hạng của dãy Tuy nhiên tôi hướng dẫn các em nên sử dụng cách

1 (cách sử dụng công thức ) thì thường sẽ sử dụng được đối với tất cả các bài tập ở dạng này Còn cách 2 và cách 3 liên quan đến số thứ tự, khoảng cách, số dư, khi áp dụng với 1 số bài toán sẽ không phù hợp VD như bài tập 1 tôi vừa trình bày.

DẠNG 3 : TÌM SỐ HẠNG THỨ X CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU

Bước 1 : Xây dựng công thức