luận án tiến sĩ lũy thừa hình thức của các idean đơn thức

Cuối cùng, luận án chỉra một chặn trên cho chỉ số ổn định của chỉ số chính quy, reg-stabJG,trong trường hợp JG là iđêan phủ của đồ thị hai phần G.Luận án được chia làm 04 chương.Chương 1

VIỆN TOÁN HỌC

TRƯƠNG THỊ HIỀN

LŨY THỪA HÌNH THỨCCỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2023

VIỆN TOÁN HỌC

TRƯƠNG THỊ HIỀN

LŨY THỪA HÌNH THỨCCỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết sốMã số: 9 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn:

TS Trần Nam Trung

HÀ NỘI - 2023

Cho R = k[x1, , xr] là vành đa thức trên trường k, r biến x1, , xr

với r > 1 Cho I là iđêan đơn thức của R và I(n) là lũy thừa hình thức thứ ncủa I Luận án nghiên cứu về hàm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford(gọi tắt là chỉ số chính quy) của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I,ký hiệu reg(I(n)) Dựa trên việc nghiên cứu về đa diện lồi, các môđun đốiđồng điều địa phương, luận án đã đạt được một số các kết quả chính vềdáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy reg(I(n)) khi I là iđêan đơnthức Đồng thời, luận án cũng đưa ra một chặn trên tốt cho reg(I(n)) khiI = I∆ là iđêan Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ và áp dụng trongtrường hợp I = I(G) là iđêan cạnh của đồ thị G Cuối cùng, luận án chỉra một chặn trên cho chỉ số ổn định của chỉ số chính quy, reg-stab(J(G)),trong trường hợp J(G) là iđêan phủ của đồ thị hai phần G.

Luận án được chia làm 04 chương.

Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phứcđơn hình, iđêan Stanley-Reisner, đồ thị; trình bày công thức Hochster,công thức Takayama; và nghiên cứu một số tính chất của các đa diện lồi.Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ sốchính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức.

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy củalũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứngdụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị.

Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên cho chỉ số ổn định

reg-stab(J(G)) với G là đồ thị hai phần và J(G) là iđêan phủ của đồ thị.

ii

Let R = k[x1, , xr] be a polynomial ring over a field k with r variablesx1, , xr, r > 1 Let I be a monomial ideal of R and I(n) be the n-thsymbolic power of I The thesis aims to focus on studying the Castelnuovo-Mumford regularity (briefly, regularity) function reg(I(n)) Based on inves-tigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module,we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularityfunction reg(I(n)) when I is a monomial ideal In addition, the thesis alsogives a sharp upper bound for reg(I(n)) when I = I∆ is a Stanley-Reisnerideal of a simplicial complex ∆ and applies to the case the edge ideal ofa simple graph Finally, the thesis gives an upper bound for the stabilityindex of the regularity, reg-stab(J(G)), where J(G) is a cover ideal of abipartite graph G.

The thesis is divided into four chapters.

Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the plicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’sformula We also study some important properties of the convex polyhedra.Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularityfunction reg(I(n)), when I is a monomial ideal.

sim-Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolicpowers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edgeideal of a simple graph.

Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case G is abipartite graph and J(G) is its cover ideal.

iii

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thànhdưới sự hướng dẫn của TS Trần Nam Trung Các kết quả viết chung vớicác tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưavào luận án Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Trương Thị Hiền

iv

Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, tôi đã hoàn thànhnội dung luận án "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức" Luận ánđược hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy: TS Trần Nam Trung Thầyđã dành cho tôi nhiều thời gian, tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xétquý báu, chỉnh sửa những chi tiết nhỏ trong luận án, giúp luận án của tôiđược hoàn thiện hơn về cả mặt nội dung và hình thức Thầy đã dạy chotôi kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu và cũng luôn quan tâm, giúpđỡ tôi trong mọi mặt Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâusắc của mình đến Thầy.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Lê Tuấn Hoa Thầyđã luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có cơ hội tham gia cáchội thảo quan trọng, các buổi học về các vấn đề mới Tôi cũng xin chânthành cảm ơn TS Lê Xuân Dũng, TS Đỗ Trọng Hoàng, TS Nguyễn ThuHằng những người luôn quan tâm, động viên tôi trong toàn bộ quá trìnhhọc tập, nghiên cứu của mình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện toán học, Trung tâm Đào tạo sau đạihọc, các phòng ban của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôihọc tập và nghiên cứu tại Viện Tôi cũng trân trọng cảm ơn GS.TSKH.Ngô Việt Trung, PGS.TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Giang Nam đãtạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia các buổi sinh hoạt khoa họccủa phòng Đại số-Lý thuyết số, các seminar tại Viện nghiên cứu cao cấpvề Toán.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu

v

Toán học đã có những hỗ trợ tích cực về mặt tài chính cũng như về mặttinh thần để tôi có thêm động lực và điều kiện tập trung cho việc học tậpvà nghiên cứu của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Ban chủ nhiệm KhoaKhoa học Tự nhiên - trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợiđể tôi hoàn thành việc học tập của mình Tôi xin cảm ơn các anh, chị, emnghiên cứu sinh đang học tập, nghiên cứu tại phòng Đại số và phòng Lýthuyết số, Viện toán học đã giúp đỡ tôi trong học tập và cuộc sống.

Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ, các emvà mọi người trong đại gia đình, những người luôn yêu thương, là nguồnđộng viên và truyền nhiệt huyết để tôi hoàn thành luận án này.

Tác giả

Trương Thị Hiền

N tập các số tự nhiên

I(n) lũy thừa hình thức thứ n của iđêan I

reg(I) chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của iđêan Id(I) bậc sinh lớn nhất của iđêan I

βi(M ) số Betti thứ i của môđun M

G(I) tập các đơn thức sinh tối tiểu của iđêan I

Kα(I) phức đơn hình Koszul trên liên kết với iđêan I tại bậc αHmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá m

NG(S) tập các đỉnh kề với tập S trong GdegG(u) bậc của đỉnh u trong G

G[S] đồ thị con cảm sinh của G trên SJ(G) iđêan phủ của đồ thị G

I(G) iđêan cạnh của đồ thị G

H = (V, E) siêu đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh EJ(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị HI(H) iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị H

pd(M ) chiều xạ ảnh của môđun Mlk∆F phức con nối của F trong ∆

∆∗ đối ngẫu Alexander của phức đơn hình ∆

(H) số trội cạnh thành phần của siêu đồ thị H

match(G) số ghép cặp của G

ν(G) số ghép cặp cảm sinh của Gord-match(G) số ghép cặp có thứ tự của G

1.2 Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner 9

1.3 Công thức Hochster - Công thức Takayama 12

1.5 Đa diện lồi 21

1.5.1 Tập lồi đa diện 21

ix

1.5.2 Phức bậc và đa diện 231.5.3 Đa diện hình thức 242 Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy 282.1 Hàm bậc sinh lớn nhất 282.2 Hàm chỉ số chính quy 332.3 Tính không tuyến tính của hàm chỉ số chính quy của lũy

thừa hình thức của iđêan đơn thức 38

3.1 Iđêan đơn thức không chứa bình phương 473.2 Iđêan cạnh của đồ thị G 57

Cho R = k[x1, , xr] là vành đa thức của r biến x1, , xr trên trườngk và I là iđêan thuần nhất của R Đối tượng nghiên cứu trong luận án củachúng tôi là chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chínhquy) của iđêan, ký hiệu reg(I) Đối với lũy thừa thường của iđêan I, hàmreg(In) không tuân theo quy luật nào khi n nhỏ Tuy nhiên, dựa trên tínhchất phân bậc chuẩn của đại số Rees của I thì Cutkosky, Herzog, N V.Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] đã chứng minh rằng reg(In) là mộthàm tuyến tính khi n đủ lớn Điều này có nghĩa là, tồn tại các số nguyênkhông âm d, b và n0 sao cho

reg(In) = dn + b với mọi n > n0.

Trong khi hệ số d đã được mô tả một cách rõ ràng (xem [33], [46]), thìcác thông tin về b và n0 còn rất ít Hơn nữa, hai câu hỏi rất tự nhiên đượcđặt ra (xem [9], [33], [14]):

1 Đặc trưng của số b?2 Tìm chặn tốt cho n0?

Khi chuyển sang lũy thừa hình thức của iđêan thì dáng điệu của hàmchỉ số chính quy trở nên phức tạp hơn Nhắc lại rằng, lũy thừa hình thứcthứ n của I được định nghĩa

Lý do cho sự phức tạp đó là đại số Rees hình thức, được định nghĩa bởiRs(I) = R⊕ I(1)⊕ I(2)⊕ · · · ,

không là đại số hữu hạn sinh trên trường k trong trường hợp tổng quát.Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta vẫn chưa có một ví dụ nào vềmột iđêan thuần nhất I trong vành đa thức mà limn→∞reg I(n)/n khôngtồn tại Từ đó một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là liệu giới hạnlimn→∞reg I(n)/n có tồn tại với mọi iđêan thuần nhất I trên một vành đathức (Herzog, L T Hoa, N V Trung [25, Câu hỏi 2])?

Đối với trường hợp I là iđêan đơn thức, theo kết quả của Herzog, Hibivà N V Trung [23] thì đại số Rees hình thức là hữu hạn sinh nhưng khôngnhất thiết là phân bậc chuẩn, do đó hàm chỉ số chính quy của lũy thừahình thức của iđêan đơn thức I là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn.

Nhắc lại, một hàm f : N → Q ∪{−∞} được gọi là tựa tuyến tính nếutồn tại một số nguyên dương N và các số ai ∈ Q ∪{−∞}, bi ∈ Q, vớii = 0, , N − 1, sao cho

f (n) = ain + bi, với mọi n ∈ N, n ≡ i (mod N).

Số N nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f.Ta thấy rằng, mặc dù hàm chỉ số chính quy reg I(n) của iđêan đơn thứcI là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn, nhưng các hệ số đầu ai khôngnhất thiết bằng nhau Hay nói cách khác, giới hạn limn→∞reg I(n)/n chưahẳn đã tồn tại Do đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán thứ nhất của luậnán như sau.

Bài toán 1 Cho I là một iđêan đơn thức trên R Tồn tại hay khônggiới hạn lim

chúng tôi đã mở rộng điều này đối với trường hợp I là một iđêan đơn thứcbất kì.

Công cụ để chúng tôi giải quyết bài toán thứ nhất xuất phát từ lýthuyết của đa diện lồi Giả sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn

I = Q1 ∩ · · · ∩ Qs∩ Qs+1∩ · · · ∩ Qt,

trong đó Q1, , Qs là các iđêan nguyên sơ liên kết với các iđêan nguyêntố tối tiểu của I (tức là, Qs+1, , Qt là các thành phần nguyên sơ nhúng).Ta định nghĩa đa diện lồi liên kết với I như sau:

SP(I) = NP (Q1)∩ · · · ∩ NP (Qs)⊂ Rr,

trong đó NP (Qi) là các đa diện Newton của Qi Khi đó, SP(I) là một đadiện lồi trong Rr Với véctơ v = (v1, , vr)∈ Rr, ký hiệu |v| = v1+· · ·+vr.Đặt

δ(I) = max{|v| | v là một đỉnh của SP(I)}.

Từ đó, chúng tôi thu được kết quả sau (xem Định lý 2.5, Định lý 2.7):Với mọi iđêan đơn thức I,

Như vậy chúng ta thấy rằng, nhìn chung reg I(n) không là một hàmtuyến tính đối với iđêan đơn thức I Do đó, bài toán tiếp theo chúng tôinghiên cứu như sau.

Bài toán 2 Cho I là một iđêan đơn thức Tìm một chặn tốt choreg(I(n)) theo n.

Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, theo cáctác giả L T Hoa và T N Trung (xem [30, Định lý 4.9]), ta có reg(I(n)) <

δ(I)n + dim(R/I) + 1 với mọi n > 1 Gần đây, bài toán trên đã có nhiềukết quả khi nghiên cứu đối với một loại iđêan đặc biệt hơn, iđêan cạnhcủa đồ thị G, ký hiệu I(G) Một số kết quả có thể kể đến như: Gu, Hà,O’Rourke và Skelton [19] xét trong trường hợp iđêan cạnh của một chutrình lẻ I = I(C2s+1) thì reg(I(n)) = reg(In) với mọi n > 1, và reg(I(n)) =2n +b2s+13 c − 1; theo Fakhari [17], ta có reg(I(G)(n+1)) 6 max{reg(I(G)) +2n, reg(I(G)(n+1) + I(G)n)} và trong trường hợp G là đồ thị không cóchu trình lẻ nào có độ dài bé hơn hoặc bằng 2k − 1 thì reg(I(G)(n)) 62n + reg(I(G))− 2 với mọi n 6 k + 1.

Nghiên cứu về bài toán trên, chúng tôi sử dụng công thức Takayamađể tính các môđun đối đồng điều địa phương của lũy thừa hình thức củacác iđêan đơn thức Từ đó, chúng tôi chuyển về việc nghiên cứu các điểmnguyên của một đa diện lồi trong Rr theo lý thuyết đa diện lồi Kết quảchúng tôi thu được là một chặn trên tốt cho hàm reg(I(n)) theo n trongtrường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương theo các dữ liệu tổhợp từ phức đơn hình và siêu đồ thị liên kết với iđêan (Định lý 3.7 và Địnhlý 3.12) Hơn nữa, chặn này có thể đạt được dấu bằng đối với nhiều lớpiđêan (Ví dụ 3.13).

Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau.

Bài toán 3 Cho I là iđêan đơn thức Tìm chặn trên cho b và reg-stab(I).Chú ý rằng, reg-stab(I) là chỉ số ổn định của hàm chỉ số chính quy củaiđêan I và được định nghĩa như sau:

reg-stab(I) = min{n0 | reg In = dn + b, với mọi n > n0}.

Khi I là một iđêan đơn thức bất kỳ, theo L T Hoa [29, Định lý 2.8],trong trường hợp xấu nhất thì các hệ số b và reg-stab(I) bị chặn dưới bởimột hàm mũ của bậc sinh của iđêan với số mũ là khoảng số biến Đâycũng chính là một trong những lý do tại sao việc nghiên cứu về hệ số bvà reg-stab(I) trong các trường hợp tổng quát là rất khó khăn Gần đây,bài toán đã được nghiên cứu nhiều nhưng rất khó để có được những thông

tin cho những lớp iđêan tổng quát và việc nghiên cứu chủ yếu được thựchiện cho các iđêan cạnh của một đồ thị Một số kết quả có thể kể đến như:Beyarslan, H`a và T N Trung [5] đã chứng minh rằng nếu G là rừng thìreg(In) = 2n + ν(G)− 1 với mọi n > 1, trong đó ν(G) là số ghép cặp cảmsinh của đồ thị G; Công thức này cũng đúng trong trường hợp G là đồ thịCameron-Walker (xem [3]); Alilooee, Beyarslan và Selvaraja [1] đã chứngminh rằng với bất kì đồ thị unicyclic (mà không phải là một chu trình) taluôn có reg(In) = 2n + reg(I)− 2 với mọi n > 1.

Trong trường hợp I = J(G) là iđêan phủ của đồ thị, theo một kết quảcủa N T Hang và T N Trung [22] khi nghiên cứu đối với lớp đồ thị haiphần G, tồn tại số nguyên không âm b 6 |V (G)| − d(J(G)) − 1 sao choreg(J(G)n) = d(J(G))n+b với mọi n > |V (G)|+2, tức là reg-stab(J(G)) 6|V (G)| + 2 Tuy nhiên, khi tiến hành tìm ra các trường hợp xảy ra dấubằng thì chúng tôi nhận thấy tất cả các reg-stab(J(G)) đều nhận giá trịnhỏ hơn |V (G)| + 2 Do đó, mục tiêu của chúng tôi là làm giảm chặn củareg-stab(I) trong trường hợp này Chú ý rằng, trong trường hợp đồ thịhai phần thì lũy thừa thường và lũy thừa hình thức trùng nhau Do đó,chúng tôi sử dụng các kĩ thuật đã dùng trong hai bài toán 1 và 2 nêu trênđể giải quyết bài toán 3 đối với lớp iđêan I = J(G) là iđêan phủ của đồthị hai phần G, và kết quả chúng tôi thu được đã cải tiến được chặn củareg-stab(I) trong [22] (Định lý 4.6).

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu cấu trúc của luận án Ngoài bảng kýhiệu, mục lục, phần mở đầu, phần kết luận, bảng thuật ngữ, luận án đượcchia thành bốn chương chính.

Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở cần thiết chotoàn bộ luận án Chương này gồm 5 mục Mục 1.1, chúng tôi trình bàyhai cách định nghĩa về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Mục 1.2,chúng tôi nêu sơ lược về phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner và đối ngẫuAlexander Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu công thức Hochster và công thức

Takayama Mục 1.4, chúng tôi trình bày sơ lược về một số kiến thức tronglý thuyết đồ thị như đồ thị đơn, ghép cặp trong đồ thị, siêu đồ thị Mục1.5, chúng tôi nói về tập lồi đa diện và một số các đa diện lồi.

Chương 2, chúng tôi trình bày về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ sốchính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức Mục 2.1, chúng tôinghiên cứu đối với hàm bậc sinh (hàm bậc lớn nhất của các phần tử trongmột hệ sinh tối tiểu thuần nhất) Mục 2.2, chúng tôi nghiên cứu đối vớihàm chỉ số chính quy Chúng tôi chỉ ra rằng với iđêan đơn thức I bất kìluôn tồn tại các giới hạn lim

Chương 3, chúng tôi xây dựng chặn trên cho chỉ số chính quy của lũythừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương Cụ thể trongmục 3.1, chúng tôi thu được chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừahình thức của iđêan Stanley-Reisner (Định lý 3.7) Đây là một chặn có thểxảy ra dấu bằng đối với nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13) Đồng thời, chúngtôi mở rộng kết quả đó trong trường hợp siêu đồ thị (Định lý 3.12) Cuốicùng, trong mục 3.2 chúng tôi áp dụng các chặn được xây dựng trong mục3.1 cho trường hợp iđêan cạnh của một đồ thị G (Định lý 3.18).

Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của chỉ số chính quycủa iđêan phủ của lớp đồ thị hai phần Với G là một đồ thị hai phần vàJ(G) là iđêan phủ của đồ thị, chúng tôi đã đưa ra được một chặn trên chochỉ số ổn định reg-stab(J(G)) (Định lý 4.6).

Các kết quả trong luận án được chúng tôi công bố trong ba bài báo[12], [28] và [20].

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về chỉ sốchính quy, phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner và lý thuyết đồ thị nhằmgiúp cho việc trình bày ở các chương sau được rõ ràng và có hệ thống hơn.Đồng thời, chúng tôi cũng nhắc lại một số kiến thức về đa diện lồi, côngthức Hochster và công thức Takayama Đây là những công cụ chủ yếu màchúng tôi dùng để chứng minh các kết quả chính của luận án Trong luậnán này nếu không nói gì khác thì R = k[x1, , xr] là một vành đa thứcphân bậc chuẩn của r biến trên trường k.

1.1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt là chỉ sốchính quy) được bắt nguồn từ những công trình về đường cong xạ ảnh củaCastelnuovo và được Mumford [38] phát biểu định nghĩa cho các đa tạpxạ ảnh Bất biến này có thể được định nghĩa thông qua giải tự do tối tiểuhoặc môđun đối đồng điều địa phương.

Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh khác không vàF : · · · −→ Fp −→ Fp−1 −→ · · · −→ F1 −→ F0 −→ 0là giải tự do tối tiểu của M trên R.

7

Với mỗi i > 0, j ∈ Z, ký hiệu βR

i (M ) = rank Fi = dimkTorRi (k, M ) vàβi,jR(M ) = dimkTorRi (k, M )j Đặt

bi(M ) = max{j | βi,j(M ) 6= 0},trong đó quy ước bi(M ) = −∞ nếu Fi = 0.

Chỉ số chính quy Castelnuovo–Mumford của M là đại lượng để đo độlớn của bậc sinh của Fi, i > 0 Cụ thể,

regR(M ) = max{bi(M )− i | i > 0}= max{j − i | βi,j(M ) 6= 0}.

Ký hiệu d(M) = b0(M ) Như vậy, d(M ) là bậc lớn nhất của các phầntử sinh thuần nhất tối tiểu của M, gọi tắt là bậc sinh lớn nhất của M Từđịnh nghĩa về chỉ số chính quy ta luôn có

d(M ) 6 regR(M ).

Nếu M được sinh bởi các phần tử có cùng bậc d và chỉ số chính quyregRM = d, ta nói rằng M có giải tự do tuyến tính trên R, hoặc M cómột giải tự do d-tuyến tính.

Với I là một iđêan thuần nhất khác không của R, thông qua giải tự dotối tiểu ta có

regR(I) = regR(R/I) + 1.

Ngoài ra, chỉ số chính quy của M còn được định nghĩa theo môđun đốiđồng điều địa phương của M Với i = 0, , dim(M), bất biến ai của Mđược xác định như sau:

ai(M ) = max{t | Hmi (M )t 6= 0},trong đó Hi

m(M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giám = (x1, , xr) là iđêan thuần nhất cực đại của R (Quy ước max∅ =−∞) Khi đó,

regR(M ) = max{ai(M ) + i | i = 0, , dim(M)}.

Nhận xét 1.1 1) Quy ước regR(M ) = −∞ nếu M = 0.

2) Trong trường hợp R là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường k, tacó thể ký hiệu reg M thay cho regRM.

Hai cách định nghĩa về chỉ số chính quy ở trên là tương đương Điềunày được chỉ ra bởi Eisenbud và Goto [13] Như vậy, chỉ số chính quyvừa là một chặn trên của bậc không triệt tiêu của các môđun đối đồngđiều địa phương với giá là iđêan thuần nhất cực đại, vừa được sử dụngđể chặn trên các bậc sinh của các môđun xoắn trong giải tự do phân bậctối tiểu của môđun Đây là các ý nghĩa quan trọng của chỉ số chính quyCastelnuovo-Mumford.

1.2 Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner

Một phức đơn hình ∆ trên tập hữu hạn V là tập hợp gồm các tập concủa V sao cho nếu F ∈ ∆ và G ⊆ F thì G ∈ ∆ Các phần tử F ∈ ∆ đượcgọi là mặt của ∆ Mặt lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) được gọi là mặtcực đại của ∆ Nếu ký hiệu tập các mặt cực đại của ∆ là F(∆) thì ta có∆ =< F | F ∈ F(∆) > Nếu G /∈ ∆ thì G được gọi là không mặt của ∆.Không mặt G được gọi là không mặt cực tiểu nếu G là một không mặt vàkhông có tập con thực sự nào của G là không mặt của ∆ Tập các khôngmặt cực tiểu của ∆ được ký hiệu bởi N (∆).

Với F ∈ ∆, chiều của F được xác định bởi dim F = |F | − 1 Chiều của∆ là dim ∆ = max{dim F | F ∈ ∆} Tập rỗng, ∅, là mặt duy nhất của ∆có chiều bằng −1 Nếu ∆ không chứa mặt nào thì ∆ được gọi là phức đơnhình trống, {} Nếu các mặt cực đại của ∆ có chiều bằng nhau thì ∆ đượcgọi là phức thuần.

Liên kết của F trong ∆ là một phức con của ∆ được xác định bởi:lk∆(F ) = {H ∈ ∆ | H ∪ F ∈ ∆ và H ∩ F = ∅},

và được gọi là phức nối của F trong ∆.

Mỗi phần tử trong một mặt của ∆ được gọi là đỉnh của ∆ Ký hiệuV (∆) là tập các đỉnh của ∆ Nếu tồn tại một đỉnh, giả sử j, sao cho{j} ∪ F ∈ ∆ với mọi F ∈ ∆, thì ∆ được gọi là nón trên đỉnh j Như chúngta biết nếu ∆ là một nón thì nó là phức xoắn, tức là phức có mọi nhómđồng điều bằng 0 Một phức được gọi là đơn hình nếu nó bao gồm tất cảcác tập con của tập đỉnh của nó, do đó đơn hình là một nón trên mọi đỉnhcủa nó.

Một đơn thức trong R = k[x1, , xr] là một biểu thức có dạngxa := xa1

1 · · · xar

r , trong đó x = x1, , xr và a = (a1, , ar) ∈ Nr IđêanI ⊂ R được gọi là iđêan đơn thức nếu nó được sinh bởi các đơn thức trongR Iđêan I được gọi là iđêan đơn thức không chứa bình phương nếu nó đượcsinh bởi các đơn thức có dạng xa với ai ∈ {0, 1}, i = 1, , r.

Xét tập con τ = {j1, , ji} của [r], ký hiệu xτ = xj1· · · xji Gọi ∆ làphức đơn hình trên tập V = {1, , r} Iđêan Stanley-Reisner liên kết với∆ là iđêan đơn thức không chứa bình phương, được xác định bởi:

I∆ = (xτ | τ ⊆ [r] và τ /∈ ∆) trong R = k[x1, , xr],

và vành thương k[∆] = R/I∆ được gọi là vành Stanley-Reisner của ∆.Chú ý rằng nếu I là iđêan đơn thức không chứa bình phương thì nólà iđêan Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆(I) = {τ ⊆ [r] | xτ 6∈ I}.Trong trường hợp I là một iđêan đơn thức bất kì (có thể không là iđêanđơn thức không chứa bình phương) chúng ta vẫn dùng ký hiệu ∆(I) chophức đơn hình tương ứng với iđêan đơn thức không chứa bình phương √I.Như vậy chúng ta có thể thấy rằng tồn tại tương ứng 1-1 giữa tập cácphức đơn hình trên V và tập các iđêan đơn thức không chứa bình phươngcủa R Do đó, chúng ta có thể nghiên cứu các tính chất của iđêan đơn thứckhông chứa bình phương thông qua các đối tượng tổ hợp của một phứcđơn hình và ngược lại.

Theo [35, Định lý 1.7], I∆ có phân tích nguyên sơ tối tiểu như sau:I∆ = \

I∆ =(x2x3, x1x3x4, x1x2x3, x2x3x4, x1x2x3x4)=(x2x3, x1x3x4) = (x1, x2)∩ (x2, x4)∩ (x3),và

I∆(n) = (x1, x2)n∩ (x2, x4)n∩ (x3)n.2) Cho

I = (x1x3, x1x4, x1x5, x2x3x5, x2x4x5, x3x4x5).Khi đó, phức đơn hình liên kết với I là

1.3 Công thức Hochster - Công thức Takayama

Trong phần này, chúng tôi mô tả hai công thức được xem là những côngcụ hữu ích dùng để tính chỉ số chính quy của một iđêan đơn thức theo giảitự do tối tiểu và môđun đối đồng điều địa phương.

1.3.1 Công thức Hochster

Với I là một iđêan đơn thức trong R thì giải tự do phân bậc tối tiểucủa nó là Zr-phân bậc Với α ∈ Zr, ký hiệu βi,α(I) = dimkTorRi (k, I)α.Hiển nhiên, βi,α(I) = 0 nếu α /∈ Nr.

Với α = (α1, , αr) ∈ Nr, phức đơn hình Koszul trên liên kết với I tạibậc α được xác định bởi

Kα(I) = {{0, 1} − véctơ τ | xα−τ ∈ I},

trong đó quy ước α − τ = α −Pi∈τ ei với {e1, , er} là cơ sở chính tắccủa Z-môđun tự do Zr Khi đó, công thức Hochster cho phép ta xác địnhsố Betti đa phân bậc của I theo bổ đề sau.

Bổ đề 1.3 ([35], Định lý 1.34) Với mọi i > 0 và α ∈ Nr,βi,α(I) = dimkHei−1(Kα(I); k).

Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương (iđêanStanley-Reiser), công thức Hochster về chuỗi Hilbert của môđun đối đồngđiều địa phương Hi

m(R/I∆) được phát biểu như sau.

Bổ đề 1.4 ([35], Định lý 13.13) Cho ∆ là phức đơn hình Khi đó,

.

m(R/I) Chú ý rằng Hmi(R/I)α là một k-không gian véctơ Đểcó thể tính được chiều của không gian véctơ này, chúng ta sử dụng côngthức được đưa ra bởi Takayama [43, Định lý 2.2] Công thức này là mộtmở rộng của công thức Hochster trong trường hợp iđêan đơn thức khôngchứa bình phương.

Với mỗi α = (α1, , αr) ∈ Zr, đặt Gα := {i | αi < 0} Ký hiệu G(I)là tập gồm các đơn thức sinh tối tiểu của I Gọi ∆(I) là phức đơn hìnhtương ứng với iđêan Stanley-Reisner √I, tức là

∆(I) = {{i1, , ik} ⊆ {1, , r} | xi1 xik ∈/ √I}.Phức đơn hình ∆α(I) được xác định như sau:

∆α(I) := {F \ Gα | Gα ⊆F ⊆ V, với mọi xb ∈ G(I)tồn tại i /∈ F sao cho αi < bi}.Với mỗi 1 6 j 6 r, ký hiệu ρj(I) = max{bj | xb

∈ G(I)}.Định lý 1.5 (Công thức Takayama, [43], Định lý 2.2).

dimkHmi(R/I)α =

dimkHei−|Gα|−1(∆α(I); k) nếu Gα ∈ ∆

và αj < ρj(I), j = 1, , r,

Trên thực tế cách mô tả phức ∆α(I) ở trên rất khó để áp dụng Do đó,D H Giang và L T Hoa [18] đã mô tả lại dưới dạng thuận lợi hơn nhưtrong bổ đề dưới đây:

Bổ đề 1.6 ([18], Bổ đề 1.1) ∆α(I) là phức đơn hình bao gồm các mặt códạng F \ Gα, trong đó Gα ⊆ F ⊆ V thỏa mãn xα ∈ IR/ F với RF = R[x−1i |i ∈ F ].

Khi đó công thức Takayama được phát biểu lại như sau.Bổ đề 1.7 dimkHmi(R/I)α = dimkHei−|G

α|−1(∆α(I); k).

Trong trường hợp lũy thừa hình thức, nhờ một kết quả sau đây của N.C Minh và N V Trung, ta có một công cụ hữu hiệu để tính phức ∆α(I∆(n)),và từ đó chúng ta có thể xác định chỉ số chính quy reg(I(n)

∆ ) thông qua ápdụng hệ các bất phương trình tuyến tính trong lý thuyết đa diện lồi.Bổ đề 1.8 ([36], Bổ đề 1.3) Cho ∆ là một phức đơn hình và α ∈ Nr Khiđó,

F(∆α(I∆(n))) =(

F ∈ F(∆) | X

i /∈F

αi 6 n− 1)

.Từ bổ đề trên ta có nhận xét.

Nhận xét 1.9 Cho ei là vetơ đơn vị thứ i của Nr và ∆ là phức đơn hình.Ta có ∆ei(I∆(n)) = ∆ với mọi i = 1, , r.

Trường hợp α ∈ Zr, phức ∆α(I∆(n)) có thể xác định theo bổ đề sau.Bổ đề 1.10 ([31], Bổ đề 1.3) Cho ∆ là một phức đơn hình và α ∈ Zr.Khi đó,

F(∆α(I∆(n))) =

F ∈ F(lk∆(Gα)) | X

i /∈F ∪Gα

αi 6 n− 1.

1.4 Lý thuyết đồ thị

1.4.1 Đồ thị đơn

Cho G là một đồ thị đơn trên tập đỉnh hữu hạn Ký hiệu V (G) và E(G)tương ứng là tập đỉnh và tập cạnh của G Hai đỉnh u và v được gọi là kềnhau nếu {u, v} ∈ E(G) Đồ thị G được gọi là tầm thường nếu |E(G)| = 0.

Cho S là tập con của V (G), lân cận của tập S trong G được xác định:NG(S) = {v ∈ V (G) \ S | {u, v} ∈ E(G), u ∈ S},

và lân cận đóng của tập S trong G là NG[S] = S∪ NG(S) Nếu không cầnlưu ý về đồ thị G, chúng ta có thể viết một cách đơn giản hơn là N(S) vàN [S] Nếu S chỉ có một đỉnh u, ta ký hiệu N (u) thay cho N ({u}) và N[u]thay cho N[{u}].

Đồ thị H là đồ thị con của G nếu V (H) ⊆ V (G) và E(H) ⊆ E(G) (viếttắt H ⊆ G) Đồ thị con cảm sinh của G trên tập S, ký hiệu G[S], là đồ thịcó tập đỉnh S và tập cạnh gồm tất cả các cạnh trong E(G) mà có hai đầumút thuộc S Đồ thị G \ S là đồ thị con của G thu được từ G bằng cáchxóa đi các đỉnh thuộc S và các cạnh đi qua bất kỳ đỉnh nào đó trong S.

Giả sử p: v0, v1, , vk là một dãy các đỉnh của G Khi đó,

1 p được gọi là một đường đi nếu {vi−1, vi} ∈ E(G) với i = 1, , k.Trong trường hợp này, ta nói rằng p là đường đi từ v0 đến vk;

2 p được gọi là đường đi đơn nếu nó là một đường đi và mọi đỉnh trongđường đi xuất hiện duy nhất một lần;

3 p được gọi là một chu trình nếu k > 3 và p là một đường đi với cácđỉnh khác nhau ngoại trừ đỉnh v0 trùng với đỉnh vk.

Trong các trường hợp trên, k được gọi là độ dài của p Một đường đi đơnlà dài nhất trong G nếu nó là đường đi đơn có độ dài lớn nhất giữa cácđường đi đơn của G.

Một đồ thị được gọi là liên thông nếu luôn có một đường đi giữa haiđiểm bất kì trong đồ thị Một thành phần liên thông của đồ thị G là mộtđồ thị con liên thông lớn nhất theo nghĩa bao hàm.

Một đồ thị liên thông được gọi là cây nếu nó không có chu trình Nếuđồ thị con T của G với tập đỉnh V (T ) = V (G) là cây, thì T được gọi làcây bao trùm của G Từ [6, Định lý 2.2 và Định lý 2.4], ta có

Bổ đề 1.11 Nếu G là một đồ thị liên thông, thì |E(G)| > |V (G)| − 1.Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu G là cây.

Theo [6, Mệnh đề 2.1], nếu G là cây thì với mỗi cặp đỉnh u và v trongG tồn tại duy nhất một đường đi đơn từ u đến v Độ dài của đường đi đơnnày chính là khoảng cách giữa hai đỉnh u và v và ký hiệu distG(u, v).

Bậc của một đỉnh u ∈ V (G), ký hiệu degG(u), là số cạnh đi qua đỉnhu Nếu degG(u) = 0, thì u được gọi là đỉnh cô lập; nếu degG(u) = 1, thì uđược gọi là lá Một cạnh bắt nguồn từ lá thì được gọi là một cạnh treo.

Một phủ đỉnh của G là một tập con của V (G) mà mọi cạnh của G đềuđi qua một đỉnh nào đó của tập Một phủ đỉnh được gọi là tối tiểu nếu nókhông có tập con thực sự nào là phủ đỉnh của G.

Một tập độc lập trong G là tập gồm các đỉnh mà hai đỉnh bất kì củatập đó không kề nhau Một tập độc lập được gọi là cực đại (theo quan hệbao hàm) nếu tập đó không thể mở rộng thành một tập độc lập lớn hơn.Tập gồm tất cả các tập độc lập của G, ký hiệu ∆(G), là một phức đơnhình và được gọi là phức độc lập của G.

Trong đồ thị G, tồn tại hai lớp iđêan quan trọng được định nghĩa nhưsau:

Hình 1.1: Đồ thị G

I(G) =(x1x5, x1x6, x1x7, x2x6, x2x7, x2x8, x3x5, x3x8, x4x5, x4x8), vàJ(G) =(x1x2x3x4, x1x2x5x8, x1x3x4x6x7x8, x2x3x4x5x6x7, x5x6x7x8)

=(x1, x5)∩ (x1, x6)∩ (x1, x7)∩ (x2, x6)∩ (x2, x7)∩ (x2, x8)∩ (x3, x5)∩ (x3, x8)∩ (x4, x5)∩ (x4, x8).

1.4.2 Đồ thị hai phần

Đồ thị G được gọi là đồ thị hai phần nếu tập đỉnh V (G) có thể đượcchia thành hai tập con X và Y rời nhau sao cho bất kì cạnh nào của đồthị cũng nối từ một đỉnh của X tới một đỉnh của Y Cặp (X, Y ) được gọilà hai phần của đồ thị Chú ý rằng, G là đồ thị hai phần nếu và chỉ nếunó không có chu trình lẻ (xem [6, Định Lý 4.7]).

Giả sử E(G) = {e1, , es} Ma trận liên thuộc của G được định nghĩalà ma trận A(G) = (aij) cấp s× r, trong đó aij = 0 nếu j /∈ ei và aij = 1nếu j ∈ ei Theo [4, Định lý 5], G là một đồ thị hai phần nếu và chỉ nếu

A(G) là ma trận unimodular hoàn toàn, tức là ma trận có các ma trậncon có định thức nhận các giá trị là −1, 0 hoặc 1.

Bổ đề 1.14 Cho G là đồ thị hai phần có ít nhất một cạnh Giả sử vớimỗi cạnh {i, j} của G ta có một số thực aij sao cho xi+ xj = aij Khi đó,hệ các phương trình tuyến tính

xi+ xj = aij,{i, j} ∈ E(G)không có nghiệm duy nhất.

Chứng minh Để chứng minh bổ đề trên ta chỉ cần chỉ ra hệ các phươngtrình tuyến tính thuần nhất tương ứng

xi+ xj = 0,{i, j} ∈ E(G)có nghiệm không tầm thường.

Thật vậy, giả sử (A, B) là hai phần của đồ thị G Khi đó, với i = 1, , rta đặt

yi =

1 nếu i ∈ A,−1 nếu i ∈ B.

Nhận thấy rằng (y1, , yr) là một nghiệm không tầm thường của hệthuần nhất trên, do đó bổ đề được chứng minh.

Chú ý rằng, trong trường hợp một đồ thị G bất kì thì iđêan phủ củanó, J(G), là iđêan Stanley-Reisner tương ứng với phức đơn hình

∆(J(G)) = hV (G) \ e | e ∈ E(G)i (1.1)Khi G là một đồ thị hai phần, theo [24, Định lý 1.1], thì iđêan phủ J(G)là iđêan không xoắn chuẩn tắc (normally torsion-free), tức là J(G)(n) =J(G)n với mọi n > 1 Do đó, Bổ đề 1.8 có thể viết lại như sau.

Bổ đề 1.15 Cho G là đồ thị hai phần với tập đỉnh V (G) = {1, , r} vàtập cạnh E(G) Với mọi α = (α1, , αr) ∈ Nr và n > 1, ta có

∆α(J(G)n) = V (G)\ {u, v} | {u, v} ∈ E(G) và αu+ αv 6 n− 1.1.4.3 Ghép cặp trong đồ thị

Cho G là một đồ thị đơn Một ghép cặp M trong G là một tập gồm cáccạnh đôi một rời nhau, tức là không có hai cạnh nào có đỉnh chung Ghépcặp M được gọi là ghép cặp cảm sinh nếu hai cạnh bất kì của M khôngđược nối với nhau bởi một cạnh nào đó trong G Một ghép cặp của G làcực đại nếu nó cực đại theo quan hệ bao hàm Số ghép cặp của G, ký hiệubởi match(G), là số cạnh lớn nhất trong các ghép cặp cực đại của G; vàsố ghép cặp cảm sinh của G, ký hiệu ν(G), là số cạnh lớn nhất trong cácghép cặp cảm sinh của G.

Theo Constantinescu và Varbaro [7], một ghép cặp M = {{ui, vi} | i =1, , s} được gọi là một ghép cặp có thứ tự nếu:

(i) {u1, , us} ∈ ∆(G),(ii) {ui, vj} ∈ E(G) thì i 6 j.

Khi đó, tập A = {u1, , us} được gọi là tập tham số tự do của G vàB = {v1, , vs} được gọi là tập đồng hành của A.

Số ghép cặp có thứ tự của G, ký hiệu ord-match(G), là lực lượng lớnnhất của một ghép cặp có thứ tự trong G.

Nhận xét 1.16 ν(G) 6 ord-match(G) 6 match(G).Ví dụ 1.17 Xét đồ thị G trong Ví dụ 1.13 Ta có:

1) Ghép cặp trong G : {{1, 5}, {2, 6}, {3, 8}}, ; match(G) = 3;2) Ghép cặp có thứ tự trong G :

{{1, 5}, {2, 6}}, {{2, 6}, {3, 8}}, ; ord-match(G) = 2;3) Ghép cặp cảm sinh trong G : {{1, 5}, {2, 8}}, ; ν(G) = 2.

1.4.4 Siêu đồ thị

Cho V là một tập hữu hạn Một siêu đồ thị đơn H với tập đỉnh V vàtập cạnh là tập gồm các tập con của V , sao cho các cạnh không bao hàmlẫn nhau Ký hiệu V (H) và E(H) tương ứng là tập đỉnh và tập cạnh củasiêu đồ thị H Trong trường hợp mỗi cạnh của H có lực lượng bằng 2 thìH là một đồ thị Như vậy, siêu đồ thị là khái niệm tổng quát của đồ thị.

Cho siêu đồ thị H, một cạnh được gọi là tầm thường nếu nó chỉ có mộtphần tử, một đỉnh được gọi là cô lập nếu nó không xuất hiện trong bấtkì một cạnh nào của H, một đỉnh được gọi là đỉnh kề của một đỉnh khácnếu chúng cùng thuộc một cạnh nào đó của H.

Siêu đồ thị H0 được gọi là siêu đồ thị con của H nếu V (H0) ⊆ V (H)và E(H0) ⊆ E(H) Với e là một cạnh của H, H \ e là một siêu đồ thị thuđược bằng cách xóa cạnh e từ tập cạnh của H Với một tập con S ⊆ V (H),H \ S là một siêu đồ thị thu được từ H bằng cách xóa đi các đỉnh trongS và các cạnh mà chứa bất kì đỉnh nào của tập S.

Một phủ đỉnh của siêu đồ thị là tập gồm các đỉnh của siêu đồ thị màcó giao khác rỗng với mọi cạnh của siêu đồ thị Như vậy, phủ đỉnh củasiêu đồ thị là mở rộng của khái niệm phủ đỉnh trong đồ thị Một phủ đỉnhđược gọi là tối tiểu nếu nó không có một tập con thực sự nào là phủ đỉnhcủa siêu đồ thị.

Một tập S ⊆ E(H) được gọi là một tập trội cạnh thành phần của Hnếu mọi đỉnh không cô lập của H hoặc được chứa trong một cạnh khôngtầm thường của S hoặc có một lân cận thuộc một cạnh nào đó của S Sốtrội cạnh thành phần của H được xác định:

(H) = min{|S| | S là tập trội cạnh thành phần của H}.

Cho H là siêu đồ thị với V (H) ⊆ [r], một iđêan đơn thức không chứabình phương liên kết với siêu đồ thị H là

I(H) = (xe | e ∈ E(H)) ⊆ R,

được gọi là iđêan cạnh của siêu đồ thị H.

Ngược lại, nếu I là iđêan đơn thức không chứa bình phương thì I làiđêan cạnh của một siêu đồ thị với tập cạnh được xác định một cách duynhất bởi hệ sinh của I.

Gọi H∗ = (V (H∗), E(H∗)) là siêu đồ thị đơn tương ứng với đối ngẫuAlexander I(H)∗ của I(H) Ta có V (H∗) = V (H) Từ phân tích nguyênsơ tối tiểu (xem [35, Định nghĩa 1.35 và Tính chất 1.37]):

1.5 Đa diện lồi

Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm cơ bản và mộtvài kết quả về các đa diện lồi Các kết quả đó là những kỹ thuật quantrọng giúp chúng tôi chứng minh các kết quả chính của luận án.

1.5.1 Tập lồi đa diện

Một tập con C ⊆ Rr được gọi là tập lồi nếu nó chứa đoạn thẳng nốihai điểm bất kỳ của tập C, nói cách khác, với mọi x, y ∈ C và 0 6 λ 6 1ta luôn có

(1− λ)x + λy ∈ C.

Với E là một tập bất kỳ trong Rr, ta luôn có một tập lồi chứa E Giaocủa tất cả các tập lồi chứa E được gọi là bao lồi của E, ký hiệu conv(E).Như vậy, bao lồi của E là tập lồi nhỏ nhất chứa E.

Trong không gian Euclid Rr, ta xét tích vô hướng cho bởihx, yi = x1y1 +· · · + xryr,

Định nghĩa 1.18 Giao của hữu hạn các nửa không gian đóng trong Rr

được gọi là tập lồi đa diện Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệmcủa một hệ gồm hữu hạn các bất phương trình tuyến tính có dạng

hai, xi 6 bi, i = 1, , m (0 6= ai ∈ Rr, bi ∈ R), (1.2)hoặc có thể biểu diễn dưới dạng ma trận Ax 6 b, trong đó A là matrận cấp m × r với các dòng được xác định bởi các véctơ ai ∈ Rr vàb = (b1, , bm) ∈ Rm Một tập lồi đa diện bị chặn được gọi là một đadiện lồi.

Một tập con K trong Rr được gọi là tập afin nếu λa + (1 − λ)b ∈ Kvới mọi a, b ∈ K và mọi λ ∈ R Giao của các tập afin chứa K được gọi làbao afin của K.

Định nghĩa 1.19 Cho P là tập lồi đa diện trong Rr Chiều của P, kýhiệu dim P, là chiều của bao afin của nó Một j−mặt của P là một mặtcó chiều là j Nếu dim P = t thì:

1 0−mặt được gọi là đỉnh (hay điểm cực biên) của P;2 1−mặt được gọi là cạnh P;

3 (t − 1)−mặt được gọi là mặt cực đại của P.

Nhận xét 1.20 ([41], Chương 8) 1) F là mặt của P nếu và chỉ nếu Fkhác rỗng và

F = {x ∈ P | A0x = b0},với một hệ con A0x 6 b0 nào đó của hệ Ax 6 b.2) F là mặt cực đại của P thì F được xác định bởi

Giả sử F(∆) = {F1, , Ft} với t > 1 Theo Bổ đề 1.8, giả sửF(∆α(I∆(n))) ={F1, , Fs}, trong đó 1 6 s 6 t.

Với mỗi số nguyên m > 1, xét Pm là tập lồi đa diện trong Rr được xácđịnh bởi: 

i /∈Fj

xi 6 m− 1 với j = 1, , s,P

i /∈Fj

xi > m với j = s + 1, , t,x1 > 0, , xr > 0.

(1.3)

Khi đó, α ∈ Pn.

Để nghiên cứu về Pm, ta xét tập lồi đa diện Cm trong Rr được xác địnhthông qua hệ các bất phương trình sau:

i /∈Fj

xi 6 m với j = 1, , s,P

i /∈Fj

xi > m với j = s + 1, , t,x1 > 0, , xr > 0.

Chú ý rằng, Cm = mC1 với mọi m > 1, trong đó mC1 = {my | y ∈ C1}.Tương tự như cách chứng minh trong [21, Bổ đề 2.1], ta có bổ đề sau.Bổ đề 1.21 C1 là một đa diện lồi có chiều bằng r.

Nhận xét 1.22 Do Cm = mC1, nên Cm là một đa diện lồi Lại có, Pm ⊆Cm, nên Pm cũng là một đa diện lồi.

1.5.3 Đa diện hình thức

a Bao đóng nguyên của iđêan

Bao đóng nguyên của iđêan I bất kì của R, ký hiệu I, là tập gồm cácphần tử x nguyên trên I trong R, tức là tồn tại ai ∈ Ii, i = 1, , n saocho

In = IIn−1, n > r.

Để mô tả I một cách hình học chúng ta có thể mô tả thông qua đa diệnNewton liên kết với iđêan I.

b Đa diện Newton

Với A là một tập con của R, đặt

E(A) = {α | α ∈ Nr và xα

∈ A}.

Định nghĩa 1.25 Cho I là iđêan đơn thức của R Đa diện Newton củaI là đa diện lồi trong Rr, ký hiệu NP (I), được định nghĩa là bao lồi củaE(I) trong không gian Rr, tức là

N P (I) = conv(E(I)).

Nhận xét 1.26 Theo [40, Định lý 2.3 và Bổ đề 2.5], ta có1) E(I) = NP (I) ∩ Nr ={α ∈ Nr | xnα ∈ In với n > 1 nào đó};2) NP (In) = nN P (I) = n conv{E(I)} + Rr+ với mọi n > 1.

Bổ đề sau được chứng minh trong [45, Bổ đề 6], cho ta những thông tincụ thể hơn về các hệ số của phương trình xác định siêu phẳng giá của đadiện Newton của iđêan đơn thức I.

Bổ đề 1.27 Cho I là một iđêan đơn thức của R Đa diện Newton NP (I)là tập nghiệm của hệ các bất phương trình tuyến tính có dạng

{x ∈ Rr | haj, xi > bj, j = 1, , q},sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

(i) Mỗi siêu phẳng được xác định bởi phương trình haj, xi = bj xác địnhmột mặt cực đại của NP (I) chứa sj điểm độc lập afin của E(G(I))và song song với r − sj vectơ của tập cơ sở chuẩn tắc Trong trườnghợp này, sj chính là số các thành phần tọa độ khác không của aj;(ii) 0 6= aj ∈ Nr, bj ∈ N với mọi j = 1, , q;

(iii) Nếu viết aj = (aj,1, , aj,r), thì aj,i 6 sjd(I)sj−1 với mọi i = 1, , r.Tiếp theo, chúng tôi xét về đa diện hình thức của iđêan (xem [8]) Cụthể như sau.

Với X và Y là các tập con của Rr và n là số nguyên dương, ký hiệunX ={nx | x ∈ X},

Chứng minh Với mỗi i = 1, , s, ta có NP (Qn

i) = nN P (Qi) theo [40,Bổ đề 2.5] Từ đó suy ra, SPn(I) = nSP(I).

Với v ∈ SP(I) và u ∈ Rr

+ thì v + u ∈ SP(I), theo [40, Bổ đề 2.5] Kếthợp với [41, Công thức (28), trang 106], ta có

Bổ đề 1.29 Đa diện SP(I) là tập nghiệm trong Rr của một hệ các bấtphương trình tuyến tính có dạng

{x ∈ Rr | haj, xi > bj, j = 1, 2, , q},trong đó với mỗi j, các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) 0 6= aj ∈ Nr, bj ∈ N;(ii) |aj| 6 r2d(I)r−1;

(iii) Phương trình haj, xi = bj xác định một mặt cực đại của SP(I).Chứng minh Ta thấy SP(I) là tập nghiệm trong Rrcủa hệ các bất phươngtrình tuyến tính xuất hiện trong hệ các bất phương trình xác định đa diệnN P (Qi) với i = 1, , s Kết hợp cùng với Bổ đề 1.27 và d(Qi) 6 d(I), tacó bổ đề được chứng minh.

Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàmchỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức trên vành đathức R Mở rộng kết quả của L T Hoa và T N Trung [30, Định lý 4.9],chúng tôi chỉ ra rằng với một iđêan đơn thức I bất kì, luôn tồn tại giớihạn lim

n→∞reg(I(n))/n và mô tả cụ thể giới hạn này theo đa diện liên kết vớiiđêan I Hơn nữa, chúng tôi đồng thời chỉ ra reg(I(n)) không là một hàmtuyến tính khi n đủ lớn, thậm chí ngay cả trong trường hợp iđêan đơnthức không chứa bình phương Kết quả của chương này chủ yếu được dựatrên bài báo [12].

Trước tiên, chúng tôi xét đối với hàm bậc sinh lớn nhất của lũy thừahình thức của iđêan đơn thức.

Jn(I) = Qn

1 ∩ · · · ∩ Qns.

Để cho đơn giản ta ký hiệu Jn = Jn(I) Theo Nhận xét 1.25(1), ta cóE(Jn) = SPn(I)∩ Nr Do đó, xα

∈ Jn nếu và chỉ nếu α ∈ SPn(I)∩ Nr.Nhận xét 2.1 Cho I là iđêan đơn thức và xα ∈ I, với α = (α1, , αr) ∈Nr Khi đó, xα

∈ G(I) nếu và chỉ nếu với mọi i mà αi ≥ 1 thì xα−ei ∈ I./Bổ đề 2.2 Cho I là iđêan đơn thức và xα ∈ I Với mỗi i = 1, , r, giảsử mi là một số nguyên dương sao cho xα−miei ∈ I nếu α/ i > mi Khi đótồn tại các số nguyên 0 6 ni 6 mi − 1 sao cho xα−(n1e1+···+nrer) ∈ G(I).Chứng minh Với i = 1, , r, ta chọn các số nguyên 0 6 ni < mi sao cho

xα−(n1e1+···+nrer) ∈ I

và n1 +· · · + nr đủ lớn để xα−(n1e1+···+nrer)−ei ∈ I Theo Nhận xét 2.1, ta/suy ra

i ∈ Qj.

Giả sử xα−mei ∈ Jn Khi đó, xα−mei ∈ Qn

j Do Qn

j = Qn−pj Qpj, nên tồn tạihai đơn thức m1 ∈ Qn−p

j và m2 ∈ Qp

j sao cho xα−mei = m1m2 Từ đó suyra xα−ei = (m1xm−1i )m2 Lại có, xm−1

i ∈ Qr−1j do m − 1 = (r − 1)d(I), nênxα−ei = (m1xmi −1)m2 ∈ Qnj−pQrj−1 ⊆ Qn

j, mâu thuẫn Vậy xα−mei ∈ J/ n, bổđề được chứng minh.