đề hsg toán 8 năm 23 24 in

Số các giá trị nguyên dương của m để góc tạo bởi đường thắng d và trục Ox một góc tù là A.. Gọi I là giao của ba đường phân giác trong của tam giác ABC, kẻ IE, IF ,ID lần lượt vuông góc

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 03 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (16 câu; 8 điểm)

Thí sinh lựa chọn 1 phương án đúng và ghi vào tờ giấy thi

Câu 1: Cho biểu thức

 11 1 1 1

x x  x  x

    Giá trị của a; b là

2 2

2 2

Câu 2: Cho 1

3

x x

  Tính giá trị của biểu thức 3

3

1

x

Câu 3: Đa thức x 2x 3x 4x 5 – 24 khi phân tích thành nhân tử có số nhân

tử bậc nhất là

Câu 4: Cho đa thức   4 3 2

ax

2

Q x x  x Tìm a và b để đa thức P x  chia hết cho đa thức Q x .

A a 1;b2 B a1;b 2 C a3;b 3 D a2;b3

Câu 5: Tích

402

400

403

P D 1

401

P

2022 2021 3 2

là

Câu 7: Số xe máy của một cửa hàng bán được trong 30 ngày của 6 tháng được cho bởi

bảng sau:

Xác suất thực nghiệm của biến cố X : “Cửa hàng bán được 7 chiếc xe máy một ngày”

là

A 0,5 B 0,3 C 0, 487 0 D 0,513 0

Câu 8: Mỗi bạn Hà, Huyền, Hường tung một đồng xu cân đối và đồng chất 40 lần và

ghi lại kết quả trong bảng sau:

Người tung Số lần xuất hiện mặt sấp Số lần xuất hiện mặt ngửa

Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt ngửa” Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A sau

120 lần tung của ba bạn

A 0, 2 B 0,5(3) C 0,15 D 0,5

Câu 9: Cho ba đường thẳng d1:y x 2, d2:y3x2 và d3:y (4 m x)  1 m

Giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy là

Câu 10: Cho đường thẳng   2

5 2  m xm y  m 1 0 (d) Số các giá trị nguyên dương của m để góc tạo bởi đường thắng (d) và trục Ox một góc tù là

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I Biết BC  10cm Chu vi tứ giác AMCK

bằng

Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh ABa Một đường thẳng bất kì qua C cắt tia đối của các tia BA DA, lần lượt tại M và N Khi đó tích BM DN có giá trị bằng

A 2

4a . B 2

2a . C 3 2

.

2a

D 2

a

Câu 13: Cho tam giác ABC, điểm D trên cạnh BC sao cho 3

4

BD BC, điểm E trên

đoạn AD sao cho 1

3

AE AD Gọi K là giao điểm của BE với AC Tỉ số AK

KC là

A 1

3 4

Câu 14: Cho hình thang ABCD có ABlà đáy nhỏ, gọi Olà giao điểm của hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với ABcắt ADvà BC theo thứ tự tại M N;

Hệ thức nào sau đây đúng?



2

MN

Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều ABCD, biết cạnh đáy bằng 16cm, cạnh bên bằng

10cm, diện tích xung quanh của hình chóp đó là

288 cm D 2

864 cm

Câu 16: Một rô bốt chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 5m dừng lại 1

giây, rồi đi tiếp 10m dừng lại 2 giây, rồi đi tiếp 15m dừng lại 3giây Cứ như vậy đi từ

A đến B hết tất cả thời gian đi và dừng lại là 551 giây Biết rằng rô bốt luôn chuyển động với vận tốc 2,5m/giây Khoảng cách từ A đến B dài bao nhiêu mét?

A 380 m B 950 m C 1127,5 m D 1900 m

II PHẦN TỰ LUẬN (4 câu; 12,0 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

a Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: 3 3 3 3

a  c b  d 

Chứng minh rằng: a b c  d 3

b Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2   x xy  2 y2   y 5

Câu 2 (3,0 điểm)

(4 1)(8 1) 4,5

x x x 

b Cho đa thức f x ax3 bx2 cx 2025 với a b c, , Biết rằng f 1 là một

số nguyên lẻ Chứng minh rằng đa thức f x 0không có nghiệm nguyên

Câu 3 (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC có BC cố định và BCa a  0 ĐỉnhA thay đổi sao cho

0

60

BAC Gọi I là giao của ba đường phân giác trong của tam giác ABC, kẻ IE,

IF ,ID lần lượt vuông góc với AB BC CA, , Đường phân giác của góc B và góc C cắt đường thẳng ED lần lượt tại M và N Chứng minh rằng:

a Tam giác ADE là tam giác đều và tính tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng ED theo a?

b FI là tia phân giác của góc MFN và ABC đồng dạng với FMN

c FNM

ABC

S

S không đổi khi A thay đổi thỏa mãn 0

60

BAC

Câu 4 (1 điểm)

Cho bảng ô vuông 4 4  Ở mỗi ô vuông của bảng, ta

viết một số tự nhiên từ 1 đến 16, mỗi số viết một lần Có

hay không cách điền số sao cho tổng của 4 số ở mọi phần

của bảng vuông có dạng như hình 1 (có thể xoay về mọi

phía) đều chia hết cho 4

- Hết -

Họ và tên thí sinh: SBD:

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU

CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN LỚP 8

Một số chú ý khi chấm bài:

 Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Thí sinh

giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm

 Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm

 Tổ chấm có thể chia nhỏ thang điểm đến 0,25 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

điểm a)

(1,75

điểm)

a) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a3 c3 8(b35d3)

Chứng minh rằng: a  b c d 3

Chứng minh 3

3

n n

Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3

nên 3

3

n n

0,75

Ta có

8( 5 ) 2025

9 39 2025 3(3 13 675)

Mà 3(3b313d3) 3 suy ra a3  b3 c3 d3 3

Xét

3

a b c d a b c d

a a b b c c

      

      

Vậy a  b c d 3

0.5

0.5

b)

(1.75

điểm)

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

x   x xy  y   y

 

 

 

1

2 1 5

2

10

3 5

x

x

ktm

y









  

   

    





Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:    x y ;  2;1

1.0

điểm a)

(1.5

điểm)

(4 1)(8 1) 4,5

Biến đổi có:

2

8 (8x x2)(8x1) 72

Đặt 8x  1 y

2

2

9 ( )

8 ( )

 



 



3

y

  

0.5

1

3 8 1 3

2

y  x   x

1

3 8 1 3

4

y   x    x 

Tập nghiệm của pt s  1; 1 

0.5

điểm) f 1 là một số nguyên lẻ Chứng minh rằng đa thức f x 0không có

nghiệm nguyên

Giả sử f x 0có nghiệm nguyên

0 0 2025 0

f k g k g Do 2025 là số nguyên lẻ nên:

 

; 0

k g

Ta có f 1 1 k g 1 Do f 1 là số nguyên lẻ nên 1 k g; 1 là số

nguyên lẻ

Vậy: k;1 k đều lẻ vô lý Giả sử ban đầu sai đpcm

0.5

3 Cho tam giác ABC có BC cố định và BCa a  0 ĐỉnhA thay đổi

sao cho 0

60

BAC Gọi I là giao của ba đường phân giác trong của tam giác ABC, kẻ IE, IF,ID lần lượt vuông góc với AB BC CA, ,

Đường phân giác của góc B và góc C cắt đường thẳng ED lần lượt tại

M và N Chứng minh rằng:

a Tam giác ADE là tam giác đều và tính tổng khoảng cách từ B và C

đến đường thẳng ED theo a?

b FI là tia phân giác của góc MFN và ABC đồng dạng với FMN

c FNM

ABC

S

S không đổi khi A thay đổi thỏa mãn 0

60

BAC

4.5 điểm

I

K

O

Q

P

M N

D E

B

A

a)

(2.0

điểm)

a) Ta có IEIF ID(Tính chất 3 đường phân giác trong tam giác)

Chứng minh AEI  ADI

AE ED

60

BAC (Gt) nênAED là tam giác đều

0.5 0.5

+ Vẽ BP và CQ lần lượt đường thẳng DE tại ;P Q

PBE

 vuông tại P có PEB600nên 1

2

PE BE Theo định lý Pythagore

ta có: 3

2

BP BE Chứng minh tương tự thì 3

2

+ Mặt khác chứng minh tương tự AE ADthì BEBF và CF CD

+ Vậy BP CQ = 3

2 BE+

3 D

2 C =

3

2 BFCF = 3 3

2 BCa 2

0.5

0.5

b)

(1,5

điểm)

Ta có CFN CDN(c.g.c) nên NC là phân giác của FND

Tương tự thì MB là phân giác của NMF từ đó Ilà giao 3 đường phân giác

của MNF do đó FI là phân giác của MFN

Xét BICvà NDC có BICNDC1200; BICNDC1200

BCI NCD (gt)

nên BIC” NDC(g.g)

Do đó IBC CND ABCMNF

+ Chứng minh tương tự thì ACBNMF

Vậy ABC” FNM (g.g)

0.5

0.5

0.5

c)

(1,0

điểm)

Vì ABC” FNM nên MFNBAC600

mà FI là phân giác của MFN nên IFM IFN300

Vẽ IK FN tại K thì 1

2

2

ABC

1 2

FNM

1

1 1 1

2

FNM

ABC

S

(Không đổi)

0.5

0.5

Câu 5 (1,0 điểm) Cho bảng ô vuông

4 4  Ở mỗi ô vuông của bảng, ta viết một

số tự nhiên từ 1 đến 16 , mỗi số viết một

lần Có hay không cách điền số sao cho

tổng của 4 số ở mọi phần của bảng vuông

có dạng như hình 1 (có thể xoay về mọi

phía) đều chia hết cho 4

1.0 điểm

4

(1,0

điểm)

Đáp án Có cách điền số thỏa mãn yêu cầu Trước hết ta điền các số 0 , 1, 2,

3 vào các ô của bảng sao cho mọi phần của bảng vuông có dạng như hình 1

đều có tổng các số chia hết cho 4 Sau đó đặt các số 1, 2, …, 16 có số dư

0.5

Lưu ý:

+ Hướng dẫn chấm dưới đây là lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lô gic và có thể chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm

+ Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì thống nhất và cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm

+ Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số