Mục tiêu: - Mục tiêu của nghiên cứu này là 1 xem xét và đánh giá mô hình các phương trình tựa khí động QGD trong tính tốn mơ phỏng dịng khí lỗng, và 2 phát triển và tích hợp các điều kiệ
Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
Trong các thập kỷ qua việc mô phỏng số chính xác dòng khí loãng ở trạng thái bất cân bằng vẫn còn rất nhiều thách thức trong lĩnh vực tính toán số khí động lực học (CFD)
Ba vấn đề cần quan tâm của dòng khí loãng trong công nghệ đó là: 1) tốc độ cao của tàu bay xuyên qua khí quyển loãng; 2) tốc độ thấp trong các vi thiết bị cơ điện tử (MEMS); và 3) tốc độ cao của dòng khí loãng trong các thiết bị hoạt động ở điều kiện gần chân không Các số Mach và Knudsen là các thông số cơ bản để chỉ sự mất cân bằng nhiệt cho các trường hợp này (số Mach cao, số Knudsen cao, hoặc cả hai) Thiết kế khí động học của phương tiện bay tốc độ cao đòi hỏi phải dự đoán chính xác về nhiệt độ, áp suất và vận tốc của dòng khí tác động trên bề mặt phương tiện bay trong chuyến bay Trong đó nhiệt độ khí trên bề mặt lớn nhất hoặc sự truyền nhiệt được tích hợp theo thời gian trên toàn bộ bề mặt phương tiện bay là phần quan trọng nhất của quá trình thiết kế hệ thống bảo vệ nhiệt cho chúng Đối với thiết bị MEMS các dự đoán chính xác ứng xử dòng khí trong các MEMS, sự truyền nhiệt và nhiệt độ dòng khí ở bề mặt có thể giúp điều chỉnh tốc độ quay của đĩa cứng cũng như cải thiện tuổi thọ và năng suất hoạt động của các vi thiết bị MEMS Thông số cơ bản để chỉ định các chế độ dòng khí khác nhau là số Knudsen, Kn, được định nghĩa là tỷ số giữa quãng đường trung bình tự do, λ, của các hạt khí với chiều dài đặc trưng của vật thể, L Ở độ cao thấp, mật độ dòng khí lớn khi đó, λ nhỏ dẫn đến số
Kn sẽ nhỏ và sự tính toán mô phỏng cho dòng khí loãng sẽ được giải bằng phương trình
Euler (Kn ≤ 0.001) hoặc phương trình Navier-Stokes-Fourier (NSF) không dùng điều kiện biên vận tốc trượt và nhiệt độ (0.001 < Kn < 0.01) Ở độ cao lớn hơn, mật độ dòng khí thấp (khí loãng), khi đó λ lớn dẫn đến số Kn lớn và trạng thái không cân bằng của dòng khí được xem xét Ở đây là sự ít va chạm giữa các hạt khí trong dòng khí xung quanh bề mặt của phương tiện bay Việc thiếu các va chạm này có nghĩa là các phương trình NSF trở nên không phù hợp trong vùng khí loãng chỉ định bởi số Kn lớn Một cách tiếp cận để
3 cải thiện các phương trình NSF trong khoảng 0.01 ≤ Kn < 0.1 là áp dụng các điền kiện biên cho vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ Khi số Kn tăng vào khoảng 0.1≤ Kn ≤ 1, được gọi là vùng chuyển tiếp liên tục: các phương trình NSF trở nên không phù hợp bởi giả thiết trạng thái cân bằng cho dòng khí đã bị phá vỡ Việc tính toán mô phỏng dòng khí loãng cho Kn ≥ 0.1 với phương pháp CFD dùng phương trình NSF vẫn đang là thách thức cho các nhà nghiên cứu CFD đến nay
Các phương pháp điển hình được sử dụng để mô phỏng số dòng khí loãng là phương pháp mô phỏng thống kê Montecarlo (DSMC) [1] và Computational Fluid Dynamics (CFD) Phương pháp DSMC đã mô phỏng thành công dòng khí loãng cho tất cả các chế độ khác nhau của số Kn, nhưng chi phí tính toán là rất tốn kém khi so sánh với các phương pháp CFD dùng phương trình NSF với điều kiện biên vận tốc trượt và nhiệt độ trên bề mặt, có thể mô phỏng thành công một dòng khí loãng đến tiệm cận Kn = 0.1 [2-4] Chi phí tính toán của phương pháp CFD là thấp hơn rất nhiều so với phương pháp DSMC, đặc biệt là tính toán trong ba chiều Trong đó độ chính xác của các mô phỏng CFD phụ thuộc vào các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ trên bề mặt Một cách thức khác trong tính toán CFD được xem xét đến đó là mô hình tựa khí động (Quasi-Gas Dynamic - QGD) đã được đề xuất để tính toán dòng khí loãng [5-7] Mô hình QGD cũng được phát triển dựa trên các định luật bảo toàn chất lưu của cơ học môi trường liên tục và chỉ khác với mô hình NSF bởi sự bổ sung các số hạng tiêu tán với một tham số nhỏ được xem như là một hệ số Và do đó, các phương trình trong mô hình QGD được gọi là các phương trình tựa khí động Hiện nay, mô hình tính toán QGD đã được tích hợp vào phần mềm mã nguồn mở OpenFOAM [8] để mô phỏng các sóng sốc cho các trường hợp đơn giản nhưng chưa có bất cứ một đánh giá nào cho các đại lương dòng khí loãng trên bề mặt như nhiệt độ, áp suất, truyền nhiệt, và vận tốc trượt vì sự thiếu các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ cho mô hình QGD này Trong nghiên cứu này chúng tôi sẽ đánh giá, phát triển và tích hợp điều kiện biên cho mô hình QGD trong phần mềm OpenFOAM [9]
Nghiên cứu về lĩnh vực tính toán số khí động lực học cho dòng khí loãng là một hướng nghiên cứu mới trong nước trong những năm gần đây, một số các nghiên cứu trong nước [10-17] về dòng khí loãng tập trung vào việc phát triển các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai Trong các công việc trước về nghiên cứu điều kiện biên mới cho dòng khí loãng [10-16], cho phương pháp CFD sử dụng phương trình NSF để mở rộng các tính toán mô phỏng số cho sự truyền nhiệt và nhiệt độ của dòng khí loãng ở tốc độ cao cho phương tiện bay và tốc độ thấp trong các thiết bị MEMS với số Kn
≥ 0.1 Các điều kiện biên mới này đã giúp cải thiện kết quả tính toán mô phỏng dòng khí loãng dùng phương trình NSF Ngoài ra, chúng tôi cũng mong đợi nghiên cứu này sẽ phát triển, đánh giá và tích hợp các điều kiện biên cho mô hình tựa khí động QGD để cải thiện hơn nữa các kết quả đã đạt được trước đây dùng phương pháp CFD với số Kn < 0.1
Tính cấp thiết của đề tài
Ngày nay với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật công nghệ trong đó các tàu bay được thiết kế để bay ở cao và các tên lửa được thiết kế ở các vận tốc siêu âm và siêu vượt âm Vì vậy thiết kế khí động học dòng khí loãng cho chúng rất quan trọng và đòi hỏi phải dự đoán chính xác về khí động học trong chuyến bay Trong đó tính toán mô phỏng chính xác truyền nhiệt và nhiệt độ là phần quan trọng nhất của quá trình thiết kế hệ thống bảo vệ nhiệt cho các phương tiện bay ở tốc độ cao trên âm Đối với các vi thiết bị cơ điện tử (MEMS) sự phát triển mạnh mẽ các vi thiết bị ở các kích thước micro và nano trong công nghệ điện tử và máy tính đã phục vụ cho cuộc sống con người như ổ đĩa cứng (HDD), và các vi công tắc tần số vô tuyến (RF-MEMS), các dự đoán chính xác về ứng xử của vi dòng trong MEMS sẽ giúp tối ưu hóa thiết kế chúng, về truyền nhiệt và nhiệt độ dòng khí ở bề mặt có thể giúp điều chỉnh tốc độ quay của đĩa cứng cũng như cải thiện đáng kể độ tin cậy đọc/ghi của HDD và khả năng tăng mật độ lưu trữ dữ liệu Chính vì vậy vấn đề cấp thiết trong nghiên cứu này là tính toán mô phỏng dòng khí loãng cho các tàu bay ở tốc độ cao và trong các vi thiết bị micro và nano với phương pháp tính toán khí động lực học (CFD) sẽ giảm rất nhiều chi phí tính toán so với phương pháp mô phỏng thống kê Monte-Carlo (DSMC)
Mục tiêu đề tài
Mục tiêu của nghiên cứu này là 1) xem xét và đánh giá mô hình các phương trình tựa khí động (QGD) trong tính toán mô phỏng dòng khí loãng, và 2) phát triển và tích hợp các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ cho mô hình QGD để mô phỏng cho dòng khí loãng ở tốc độ cao cho phương tiện bay và trong các thiết bị MEMS ở tốc độ thấp Từ đó sẽ đề xuất một mô hình QGD hoàn thiện với đầy đủ các điều kiện biện cho tính toán dòng khí loãng, và mô hình tích hợp này sẽ được đánh giá toàn diện đầu tiên cho dòng khí loãng cho các biên dạng hình học phức tạp về khí động học ứng dụng trong công nghiệp có liên quan.
Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
1.4.1 Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là khí động học của dòng khí loãng cho các phương tiện bay ở tốc độ cao trên âm và các vi thiết bị MEMS ở tốc độ thấp dưới âm với số Mach, Ma được định nghĩa là tỉ số giữa vận tốc chuyển động của vật thể trong môi trường nhất định đối với vận tốc âm thanh trong môi trường đó, số Ma từ 0.1 đến 0.3 Việc dự đoán chính xác về mặt khí động học cho các thiết bị bay tốc độ cao sẽ đảm bảo chúng đi đúng quỹ đạo như tên lửa,…, và thiết kế các hệ thống bảo vệ nhiệt cho chúng như phi thuyền Đối với các vi thiết bị MEMS việc dự đoán chính xác ứng xử dòng khí loãng trong các MEMS sẽ giúp tối ưu hóa các thiết kế của vi MEMS và nâng cao hiệu suất làm việc của chúng
Nghiên cứu này sẽ tập trung nghiên cứu dòng khí loãng trong vùng trượt (nghĩa là 0.01 ≤ Kn ≤ 0.1) và vùng chuyển tiếp (0.1 ≤ Kn ≤ 1) cho dòng khí ở tốc độ cao và tốc độ thấp Đây là nghiên cứu đầu tiên đánh giá mô hình tưa khí động QGD với các điều kiện biên trượt và nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai trong tính toán mô phỏng dòng khí loãng mà ứng dụng trong các ngành công nghiệp như cơ khí hàng không, hàng không vũ trụ cho các phương tiên bay ở tốc độ cao và các ngành kỹ thuật cơ khí chế tạo và cơ điện tử trong việc thiết kế tối ưu cho các thiết bị MEMS
Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
Phát triển và đánh giá điều kiện biên: Mặc dù đã có nhiều điều kiện biên đã được phát triển trong các nghiên cứu trước đây cho dòng khí loãng với tốc độ cao cho các phương tiện bay và ở tốc độ thấp trong các vi thiết bị MEMS Tuy nhiên, đa số chúng được dùng với bộ giải cho phương trình NSF từ trước đến nay Vì vậy, việc đánh giá và hiệu chỉnh các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ cho dòng khí loãng để có thể dùng được với bộ giải mô hình tưa khí động QGD có thể được mô phỏng thành công dòng khí loãng được ứng dụng trong các ngành công nghiệp Các điều kiện biên được phát triển dưa trên ứng suất tiếp và truyền nhiệt của dòng khí tại bề mặt cố thể, vì vậy chúng tôi sẽ xem xét các ứng suất tiếp và truyền nhiệt được phát triển trong mô hình QGD để và hiệu chỉnh các điều kiện biên và tích hợp chúng vào bộ giải QGD để cải thiện các kết quả tính toán dòng khí loãng
Quá trình tính toán mô phỏng số : Một phần mềm tính toán mô phỏng dòng khí loãng sẽ được phát triển trong thời gian dài, nhưng trong nghiên cứu này chúng tôi sẽ sử dụng phần mềm mã nguồn mở OpenFOAM, để tích hợp các điều kiện biên vào bộ giải
QGDFoam OpenFOAM (Open-source Field Operation và Manipulation) là một tập hợp các mã nguồn mở thư viện lớp C ++, dựa trên phương pháp thể tích hữu hạn để giải quyết các phương trình vi phân từng phần trong không gian ba chiều (3D) cho cơ học chất lỏng và chất khí Việc sử dụng phần mềm mã mở này cho phép chúng tôi tập trung vào việc giải thích các tính vật lý của các kết quả hơn là phát triển mã nguồn sẽ mất nhiều thời gian
- Việc tính toán mô phỏng số của mô hình QGD hoàn thiện với các điều kiện biên sẽ được đánh giá ở các biên dạng khí động học khác nhau và kết quả tính toán mô phỏng mỗi trường hợp sẽ được so sánh với kết quả DSMC và thực nghiệm đã được công bố trước đây [4, 5] Năm trường hợp tương ứng với năm bài toán dưới đây sẽ được chọn để kiểm tra và đánh giá tính xác thực của mô hình QGD Trong mỗi trường hợp, các dòng khí loãng sẽ có các vận tốc và góc tấn khác nhau
1 - Dòng khí loãng ở tốc độ cao trên tấm phẳng (số Mach, Ma = 6 - 13): đây là trường hợp chuẩn để kiểm tra và đánh giá các điều kiện biên
2 - Vi cánh NACA0012 ở các tốc độ khác nhau (số Mach, Ma = 0.8 - 2) và góc tấn khác nhau (AOA = 0 o – 10 o ): dự đoán về sự truyền nhiệt và nhiệt độ khí trên bề mặt cánh;
3 - Mặt dốc (ramp), số Mach, Ma = 5: Mặt dốc bao gồm một mặt phẳng phía trước và mặt dốc phía sau Sự tương tác của sóng sốc rất thường gặp trong thiết kế phương tiện bay ở tốc độ cao bởi vì điều này có thể tạo ra tải nhiệt độ cao trên bề mặt và tăng khả năng phá hủy hệ thống bảo vệ nhiệt Do đó, trường hợp này là một thử nghiệm đầy thách thức để đánh giá độ chính xác của mô phỏng số cho truyền nhiệt và nhiệt độ dòng khí trên bề mặt
4 - Vi ống bậc ngược (Backward facing step microchannel), số Mach, Ma = 0.1 – 0.2: Đây là một dạng hình học điển hình được sử dụng trong các thiết bị ở kích thước micro và nano Ứng xử của dòng khí loãng sẽ bị điều chỉnh bởi sự tách ra và tuần hoàn Chúng là hai tính năng quan trọng của dòng khí loãng với sự thay đổi tiết diện của vi ống bậc ngược Những tính năng này có tác dụng quan trọng trên sự ứng xử của dòng khí loãng như lưu lượng khối và truyền nhiệt
5 - Khoang với nắp truyền dẫn ở kích thước micrô (Lid-driven micro-cavity), số Mach, Ma = 0.01 - 0.1: Dự đoán sự truyền nhiệt và nhiệt độ khí trên bề mặt di động của nắp.
Phương pháp nghiên cứu dùng thực hiện trong đề tài
Phương pháp nghiên cứu trong đề tài là phương pháp nghiên cứu lý thuyết dựa trên cơ học môi trường liên tục của chất lưu Phương pháp này được dùng trong việc phát triển mô hình tựa khí động QGD để xây dựng và tích hợp các điều kiện biên cho mô hình Các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ dùng lý thuyết khí động lực học để phát triển Ngoài ra, phương pháp thể tích hữu hạn được dùng để xây dựng giải thuật số cho việc giải các phương trình QGD tích hợp với các điều kiện biên, và các phương trình vi phân phi tuyến trong mô hình QGD với các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ Các kết quả tính toán trong đề tài dùng mô hình QGD sẽ được so sánh với các kết quả
8 tính toán số đạt được từ phương pháp DSMC và thực nghiệm (nếu có) Cơ sở lý thuyết và các nội dung của phương pháp nghiên cứu được trình bày chi tiết trong Chương 2
Phương trình tựa khí động QGD
Trong phần này, các phương trình của mô hình tựa khí động QGD bỏ qua ngoại lực và nguồn nhiệt được trình bày ở dạng vectơ như sau [8],
(2.1) trong đó, mật độ dòng lưu lượng, j m , được tính bởi j m u uu p , (2.2) với t là thời gian, ρ là mật độ, u là vận tốc, p là áp suất, ký hiệu „∙‟ là tích vô hướng và δ là hệ số tiêu tán và được xác định theo [8], s h pSc C
(2.3) mà α là một hằng số dương nhỏ để điều chỉnh giải pháp tính toán số, C s là vận tốc âm thanh, μ là độ nhớt, Sc là số Schmidt, và Δ h là bước không gian tính toán [8]
Phương trình động lượng [8] u j u m p Π NS Π QGD , t
(2.4) mà tenxơ ứng suất NSF, Π NSF , được tính
10 trong đó chỉ số T là chuyển vị, và I là tenxơ đơn vị, và tenxơ ứng suất QGD, Π QGD được tính như sau [8],
(2.6) trong đó ε là số mũ đoạn nhiệt
(2.7) mà E là năng lượng tổng, E = e + 0.5|u 2 | với e là nội năng và thông lượng nhiệt NSF, q NSF , được tính theo định luật Fourier, q NSF k T , (2.8) mà k là độ dẫn nhiệt, và thông lượng nhiệt QGD, q QGD , được tính theo [8],
Phương trình QGD trở thành phương trình NSF khi hệ số tiêu tán, δ, tiến đến không Áp suất dòng khí, p, được tính theo phương trình trạng thái khí lý tưởng, p = ρRT, (2.10) trong đó R là hằng số riêng của khí và độ dẫn nhiệt, k, được tính bằng c p , k Pr
(2.11) trong đó Pr là hằng số Prandlt và c p là nhiệt dung riêng đẳng áp của khí Độ nhớt μ = μ(T) là một hàm của nhiệt độ trong đó μ → μ + Sc QGD pδ mà Sc QGD là hệ số điều chỉnh dương [8] và độ nhớt, μ, được tính theo định luật Sutherland [3]
(2.12) trong đó A s và T s là các hằng số của khí [3] Hệ phương trình QGD nói trên đã được tích hợp vào OpenFOAM qua bộ giải QGDFoam [9] Bộ giải này đã mô phỏng thành công cho dòng khí có độ nhớt ở tốc độ cao không có các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ trong [8].
Điều kiện biên trƣợt vận tốc và nhảy nhiệt độ
Trong nghiên cứu này, các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai đối với dòng khí loãng sẽ được tích hợp vào bộ giải QGDFoam để mô phỏng vi dòng khí loãng tốc độ thấp bên trong các vi thiết bị và dự đoán các đại lượng bề mặt như vận tốc trượt và nhiệt độ khí trên bề mặt Trước hết, các điều kiện biên cổ điển bậc nhất như Maxwell cho vận tốc trượt và Smoluchowski cho nhảy nhiệt độ được trình bày để tích hợp vào bộ giải QGDFoam, và điều kiện biên Maxwell tổng quát được biểu thị như sau [18]:
(2.13) mà là thành phần của gradient vuông góc đối với bề mặt, tenxơ S = I - nn đảm bảo sự trượt chỉ xảy ra theo phương tiếp tuyến với bề mặt, trong đó n là véc tơ pháp tuyến đơn vị được xác định là dương theo hướng nó đi ra khỏi miền tính toán xem xét Tenxơ
2 Π mc u T I 3 u và uw là vận tốc bề mặt Hệ số điều tiết động lượng tiếp, ζ u , xác định tỷ lệ các hạt khí phản xạ đều từ bề mặt (1 − ζ u ) hoặc phản xạ khuếch tán ζ u và có giá trị 0 ≤ ζ u ≤ 1 Khoảng cách tự do trung bình của các hạt khí, λ, được xác định như sau [3],
12 Điều kiện biên nhảy nhiệt độ Smoluchowski cổ điển được phát triển dựa trên sự bảo toàn thông lượng nhiệt theo hướng vuông góc với bề mặt, và được biểu thị bởi [19]:
(2.15) trong đó T w là nhiệt độ bề mặt, γ là tỷ lệ nhiệt dung riêng, và ζ T là hệ số điều tiết trao đổi nhiệt và có giá trị thay đổi từ 0 đến 1 Trao đổi nhiệt hoàn hảo giữa dòng khí và bề mặt tương ứng với ζ T = 1, và không có sự trao đổi nhiệt là ζ T = 0 Gần đây, các điều kiện biên nhảy nhiệt độ được hiệu chỉnh để xem xét đến quá trình sinh nhiệt nhớt trong thông lượng nhiệt trên bề mặt [12, 20] Quá trình sinh nhiệt nhớt lần đầu tiên đã được Maslen đưa ra trong [21], và nó được tích hợp vào trong điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson trong [20] mà được phát triển dựa trên phương pháp mô men Grad Điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson hiệu chỉnh được phát triển trong [20] dự đoán nhiệt độ khí ở bề mặt tốt hơn so với điều kiện biên nhảy nhiệt độ Smoluchowski hiệu chỉnh có tích hợp quá trình sinh nhiệt nhớt [12] trong mô phỏng dòng khí loãng ở tốc độ cao siêu âm và siêu vượt âm Do đó, điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson hiệu chỉnh trong [20] được chọn để tích hợp vào bộ giải QGDFoam để mô phỏng các trường hợp hiện tại của nghiên cứu này và cũng xem xét ảnh hưởng của quá trình sinh nhiệt nhớt trong mô hình QGD Điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson hiệu chỉnh được trình bày như sau [20],
(2.16) trong đó c v là nhiệt dung riêng đẳng tích Số hạng thứ hai bên phải của phương trình (2.16) biểu thị cho quá trình sinh nhiệt nhớt tại bề mặt của dòng khí khi có sự trượt của các hạt khí trên bề mặt
Một cách khác trong việc dự đoán các đại lượng bề mặt đó là sử dụng các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ bậc hai Điều kiện biên trượt vận tốc bậc hai đối với bề mặt phẳng có thể được biểu thị như sau [22]
= - - , u A λ 1 S u A λ 2 S u u (2.17) trong đó A 1 và A 2 là các hệ số bậc nhất và bậc hai Trong nghiên cứu trước, chúng tôi đã đề xuất một dạng mới của điều kiện biên nhảy nhiệt độ bậc hai trong [10], và đưa ra dự đoán tốt về nhiệt độ khí ở bề mặt đối với các dòng khí loãng,
T = - C λ T C λ T T γ+1 Pr (2.18) trong đó C 1 và C 2 là các hệ số bậc nhất và bậc hai Trong trường hợp các giá trị A 2 = 0 và
C 2 = 0 khi đó các điều kiện biên bậc hai vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ trong các phương trình (2.17) và (2.18) sẽ trở thành các điều kiện biên bậc nhất Maxwell và Smoluchowski tương ứng Các điều kiện bậc nhất và bậc hai trong các phương trình trên sẽ được tích hợp vào bộ giải QGDFoam để hoàn thành một bộ giải hoàn chỉnh đầy đủ cho mô phỏng dòng khí loãng Cách thức để tích hợp các điều kiện biên trượt và nhảy vào trong bộ giải
QGDFoam tương tự như tích hợp vào trong bộ giải rhoCentralFoam [2] trong phần mềm mã nguồn mở OpenFOAM đã được trình bày chi tiết trong [3].
Tích hợp các điều kiện biên trƣợt và nhảy vào bộ giải QGDFoam
Hầu hết các điều kiện biên trượt và nhảy có thể được biểu diễn trong OpenFOAM ở dạng tổng quát như sau [3, 22],
a S n (2.19) trong đó a là hệ số cụ thể của từng điều kiện biên và Φ là giá trị giới hạn trong trường hợp không trượt hoặc nhảy, ví dụ: vận tốc bề mặt, u w hoặc nhiệt độ bề mặt T w , và ϕ là biến số quan tâm ở đây có thể là nhiệt độ hoặc vận tốc Tenxơ S được bỏ qua đối với biến vô hướng là nhiệt độ vì nó không bị ảnh hưởng Gradient pháp tuyến được biểu thị số theo phương pháp sai phân hữu hạn trong OpenFOAM là,
14 trong đó ϕ i, biểu thị giá trị trong phần tử lưới tiếp giáp với mặt biên và hệ số C ∆ = 1/|d|, với d là khoảng cách từ tâm phần tử lưới tiếp giáp đến tâm mặt biên Các điều kiện biên trượt và nhảy được cài đặt trong OpenFOAM như các điều kiện biên trượt từng phần Nó là một hỗn hợp của một giá trị cố định (điều kiện Dirichlet) và một điều kiện gradient pháp tuyến bằng không (điều kiện Neumann) Hệ số phân số σ (0 ≤ ζ ≤ 1) được sử dụng để kiểm soát sự hỗn hợp của hai yếu tố này Giá trị ζ = 0 biểu thị điều kiện gradient chuẩn bằng 0 và giá trị ζ = 1 biểu thị điều kiện giá trị cố định với giá trị tham chiếu, Ф, trong OpenFOAM Hệ số phân số, σ, được biểu thị như sau [3, 22],
(2.21) trong đó a là hệ số cụ thể của các điều kiện biên biên trượt và nhảy Các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc hai trong các phương trình (2.17) và (2.18) giờ đây được biến đổi để được biểu diễn dưới dạng tổng quát của phương trình (2.19) Sau đó, các điều kiện biên bậc hai phải được tính toán bằng cách kết hợp phương trình (2.20) trong việc hạ bậc các số hạng bậc hai và các điều kiện bậc hai được biểu diễn lại như sau:
Bảng 1.1: Hệ số a của các điều kiện biên trượt và nhảy Điều kiện biên trượt và nhảy Hệ số a Điều kiện biên Maxwell (Phương trình (2.13))
Điều kiện biên Smoluchowski (Phương trình (2.15)) 2 2
15 Điều kiện biên Patterson hiệu chỉnh (Phương trình (2.16)) 2
Điều kiện biên trượt bậc hai (Phương trình (2.22)) A 1λ + A2λ 2 C∆ Điều kiện biên nhảy bậc hai (Phương trình (2.23)) 2 1 C λ+C λ C 1 2 2
Các giá trị của hệ số a trong các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc một và bậc hai hiện được trình bày trong Bảng 1.1 Tất cả các điều kiện biên trượt và nhảy có trong các phương trình (2.13), (2.15), (2.16), (2.22), và (2.23) được tích hợp vào bộ giải QGDFoam trong phần mềm OpenFOAM
Giới thiệu
Mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao đóng một vai trò quan trọng trong việc dự đoán môi trường khí động học cho các phương tiện bay tốc độ cao và có bốn chế độ khác nhau đặc trưng cho các dòng khí loãng Tham số cơ bản để chỉ rõ các chế độ dòng khí loãng khác nhau này là số Knudsen, Kn, được định nghĩa là tỷ số giữa khoảng cách tự do trung bình của các hạt khí trước khi va chạm với chiều dài đặc trưng của cố thể Các chế độ khác nhau của dòng khí loãng tương ứng với số Kn, chẳng hạn như chế độ dòng liên tục 0,0001 ≤ Kn ≤ 0,01, chế độ trượt 0,01 ≤ Kn ≤ 0,1, chế độ chuyển tiếp 0,1 ≤ Kn ≤ 10, và chế độ phân tử tự do Kn ≥ 10 Về mặt lý thuyết, phương pháp mô phỏng thống kê trực tiếp Monte-Carlo (DSMC) đã mô phỏng thành công cho các dòng khí loãng ở bốn chế độ nêu trên Tuy nhiên, chi phí tính toán của nó khá cao so với tính toán số động lực học lưu chất (CFD) Phương pháp DSMC được áp dụng để mô phỏng dòng khí có độ nhớt tốc độ cao Dữ liệu chuyến bay của tàu con thoi đã được dự đoán thành công bằng phương pháp DSMC trong chế độ chuyển tiếp và phù hợp với dữ liệu thực nghiệm [23] Hơn nữa, hàm phân bố vận tốc phân tử được mô phỏng bằng phương pháp DSMC trong cấu trúc sóng xung kích hoàn toàn phù hợp với kết quả thực nghiệm [24] Chúng ta cũng biết rằng phương pháp DSMC cho các kết quả tính toán số trong mô phỏng dòng khí loãng chính xác hơn so với các kết quả tính toán bởi phương pháp CFD [25] Vì vậy, dữ liệu DSMC đã được dùng để kiểm chứng các kết quả CFD trong [13, 25-29] Phương pháp CFD giải các phương trình NSF với các điều kiện biên trượt và nhảy thích hợp, có thể mô phỏng thành công các dòng khí loãng trong chế độ trượt Phương trình tựa khí động QGD là một phương pháp tiếp cận CFD khác trong mô phỏng các dòng khí loãng Ban đầu chúng được phát triển dựa trên lý thuyết động học của hàm phân phối [5-9] và được mô phỏng thành công cho các dòng khí có độ nhớt ở tốc độ siêu âm [30] Các phương trình QGD khác với các phương trình NSF bởi các số hạng tiêu tán bổ sung Gần đây, các phương
17 trình này đã được giải bằng phương pháp số trong phần mềm OpenFOAM [9] qua bộ giải
QGDFoam [8] để mô phỏng dòng khí có độ nhớt tốc độ cao trong một phạm vi rộng của số Mach Các giải thuật số cho các phương trình QGD được thực hiện trong hệ tọa độ Descartes và hình trụ cho các lưới không gian có cấu trúc và phi cấu trúc cho các dòng hai và ba chiều [8] Các xấp xỉ hỗn hợp giữa thể tích hữu hạn và sai phân hữu hạn được xây dựng trên lưới không gian phi cấu trúc với lưu trữ các biến đồng vị trí và một lược đồ thời gian rõ ràng cho phép xấp xỉ đối lưu [8] Bộ giải QGDFoam đã được mô phỏng cho các trường hợp hai chiều như dòng chảy phẳng ở số Mach cao; kết quả tính toán của QGD được so sánh với kết quả được đưa ra bởi bộ giải NSF trong OpenFOAM cho dòng khí có độ nhớt tốc độ cao, được đặt tên là rhoCentralFoam Tuy nhiên, bộ giải QGDFoam vẫn chưa dự đoán được các đại lượng bề mặt như áp suất bề mặt, nhiệt độ khí tại bề mặt và vận tốc trượt trong dòng khí loãng do thiếu các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ Vì vậy, việc bổ sung các điều kiện này cho bộ giải QGD là cần thiết và sẽ nâng cao cách tiếp cận này Mô hình QGD với điều kiện biên vận tốc trượt Maxwell cổ điển và nhảy nhiệt độ Smoluchowski đã mô phỏng thành công dòng khí loãng đi qua một tấm phẳng trong các trường hợp giá trị Mach và Knudsen lớn [30]
Một số điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai đã được đề xuất để mô phỏng các dòng khí loãng trong [3, 10, 18-20, 22, 31-36] Thật cần thiết để có dự đoán chính xác về các đại lượng bề mặt như áp suất, nhiệt độ khí tại bề mặt và vận tốc trượt trong chuyến bay để thiết kế các phương tiện tốc độ cao Ta biết rằng độ chính xác của các đại lượng bề mặt trong CFD phụ thuộc vào điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bởi vì áp suất bề mặt tác dụng lên bề mặt được tích hợp để tính lực khí động học và mô men Nhiệt độ bề mặt lớn nhất hoặc thông lượng nhiệt được tích hợp theo thời gian và được ánh xạ trên bề mặt để thiết kế hệ thống bảo vệ nhiệt cho phương tiện bay ở tốc độ cao Điều kiện biên vận tốc trượt Maxwell bậc nhất được Maxwell phát triển vào năm 1890 cho một tấm phẳng, dựa trên công trình nghiên cứu trước đó của ông về lý thuyết độ nhớt trong chất khí [18] Điều kiện biên nhảy nhiệt độ Smoluchowski bậc nhất là sự phát triển ban đầu của Smoluchowski Nó được tính bởi thông lượng nhiệt, được
18 tính theo định luật Fourier, tới bề mặt theo hướng pháp tuyến [19] Mặc dù chúng không hoàn hảo nhưng vẫn là những mô tả đơn giản và hữu ích nhất về các điều kiện biên trượt và nhảy nhiệt độ Chúng được thiết kế để làm việc với các phương trình chủ đạo trong CFD Độ chính xác của các đại lượng bề mặt DSMC và CFD được quyết định bởi các hệ số lưu trú động lượng tiếp tuyến và hệ số lưu trú nhiệt trong các điều kiện biên trượt và nhảy bậc nhất, thay đổi từ 0 đến 1.0 Các hệ số lưu trú này xác định tỷ lệ các phân tử được phản xạ từ bề mặt là đều (gương) hoặc khuếch tán Chúng ta không biết chính xác giá trị của chúng trong các thực nghiệm để đặt giá trị chúng trong các mô phỏng nhằm so sánh các đại lượng bề mặt tính toán và dữ liệu thực nghiệm Do đó, các đại lượng bề mặt QGD dự đoán của chúng tôi được so sánh với dữ liệu DSMC trong công việc hiện tại Do đó, chúng tôi đặt các hệ số này giống nhau cho cả hai phương pháp Điều kiện biên vận tốc trượt Maxwell bậc nhất và nhảy nhiệt độ Smoluchowski được lựa chọn để bổ sung cho bộ giải QGD
Các điều kiện biên vận tốc trượt bậc hai được phát triển cho dòng khí loãng trên một bề mặt phẳng [31–35] để tính toán cho vi dòng khí loãng đẳng nhiệt Chúng thêm một số hạng gradient pháp tuyến bậc hai của vận tốc Các điều kiện nhảy nhiệt độ bậc hai cũng được đề xuất cho các dòng khí loãng [10, 32, 35, 36] Điều kiện biên nhảy nhiệt độ được đề xuất trong [10] đối với các dòng khí loãng và có sự tiệm cận tốt với dữ liệu DSMC Các điều kiện nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai trong các công bố trước nói chung bắt nguồn từ thông lượng nhiệt (định luật Fourier) theo phương vuông góc đối với bề mặt Một vấn đề tương tự đối với các điều kiện biên bậc nhất là các hệ số tự do của các số hạng bậc nhất và bậc hai trong các điều kiện biên bậc hai vẫn còn là chủ đề được thảo luận nhiều Hệ số trượt bậc hai được đề xuất cho các vi dòng khí loãng đẳng nhiệt từ lý thuyết hoặc thực nghiệm Chúng được khảo sát bằng phươn pháp số trong mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao để tìm ra hệ số trượt bậc nhất và bậc hai mong muốn [10, 22, 37]
Cần lưu ý rằng nhiệt độ khí bề mặt trong phương pháp DSMC được tính từ các thành phần vận tốc của dòng khí [1] Vì vậy, vẫn còn một khoảng cách giữa kết quả CFD và DSMC trong việc dự đoán nhiệt độ khí bề mặt Sự sinh nhiệt nhớt sau đó được xem xét trong tính toán CFD qua thông lượng nhiệt tại bề mặt để khắc phục vấn đề này Maslen
19 lần đầu tiên giới thiệu sự sinh nhiệt nhớt (công trượt) do sự trượt của dòng khí trên bề mặt phẳng, và ảnh hưởng đáng kể đến thông lượng nhiệt bề mặt [21] Nó được mở rộng để áp dụng cho việc tính toán thông lượng nhiệt tại các bề mặt cong [11] Thông lượng nhiệt bề mặt bao gồm sinh nhiệt nhớt được đưa vào điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson [20, 38] để đề xuất điều kiện nhảy Patterson hiệu chỉnh trong [20] Điều kiện biên nhảy được hiệu chỉnh này đã dự đoán nhiệt độ khí bề mặt cho dòng khí loãng tốc độ cao tốt hơn so với dữ liệu DSMC Nó cũng được lựa chọn để bổ sung vào bộ giải QGD trong công việc hiện tại
Sự sinh nhiệt nhớt được tính bằng tích vô hướng của vận tốc trượt và ứng suất tiếp Vì vậy, dự đoán vận tốc trượt giờ đây trở nên cần thiết trong việc dự đoán nhiệt độ khí bề mặt
Nghiên cứu hiện tại tập trung vào việc xem xét lại và đánh giá các điều kiện biên trượt và nhảy khác nhau để sử dụng với các phương trình QGD nhằm nâng cao áp dụng của mô hình này Việc xử lý thích hợp các điều kiện biên trượt và nhảy là rất quan trọng khi so sánh dữ liệu DSMC hoặc dữ liệu thực nghiệm với kết quả CFD Vì vậy, các trường hợp mô phỏng chuẩn nên được lựa chọn cho đánh giá này và được tiến hành để khảo sát xem chúng hoạt động như thế nào trong các dòng khí loãng tốc độ cao Chúng tôi chọn các dạng hình học đơn giản tương ứng với mặt nêm, mặt dốc và vi cánh NACA 0012 trong tất cả các trường hợp mô phỏng Chúng được mô phỏng với số Mach, Ma, nằm trong khoảng từ 2 đến 5, và argon, nitơ và không khí là các lưu chất được chọn trong các mô phỏng Vi cánh NACA 0012 là đối xứng và thường được sử dụng để làm các mô phỏng chuẩn cho các trường hợp thử nghiệm khí động học [27, 28, 20, 37] Thách thức chính đối với trường hợp mặt dốc là dự đoán chính xác các điểm phân tách dòng và gắn lại dòng Hầu hết các nhà nghiên cứu đã nghiên cứu sự phân tách dòng gây ra bởi một đoạn dốc nén ớ góc nhỏ (dưới 30 o “độ”) trong điều kiện vận tốc dòng trên âm Ngược lại, một số nghiên cứu đã khảo sát dòng khí ở độ dốc nén có góc lớn (lớn hơn 30 o ) trong điều kiện dòng trên âm [39] Cấu hình mặt dốc trong [40] với góc lớn 35 o được chọn trong nghiên cứu hiện tại của dòng trên âm Các dòng khí loãng có enthalpy thấp, mà có trạng thái bất cân bằng hóa học là không quan trọng, được giả định cho tất cả các trường hợp được xem xét ở đây Kết quả mô phỏng các đại lượng bề mặt sử dụng bộ giải QGDFoam
20 với các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ khác nhau được so sánh với dữ liệu DSMC Khi đó, bộ giải QGD này sẽ mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng mô hình QGD và nâng cao khả năng của nó [8].
Thiết lập lưới và mô hình tính toán số
Hình 3.1, 3.2 và 3.3 trình bày các thiết lập mô hình tính toán số tương ứng cho các trường hợp mặt nêm, mặt dốc và các vi cánh NACA0012 Các lưới tính toán được thiết kế để bao quanh các sóng sốc Nhiều kích thước lưới hình chữ nhật khác nhau đã được sử dụng để đạt được sự hội tụ về lưới của tất cả các mô phỏng Ở đây, kết quả mô phỏng QGD của trường hợp mặt dốc sử dụng điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski được trình bày để minh chứng với năm kích thước lưới khác nhau Trong Hình 3.4, sự phân bố áp suất bề mặt là khác nhau đối với từng loại trong số năm kích thước lưới này Lưới cuối cùng được chọn dựa trên sai số trung bình 3% của áp suất bề mặt giữa hai kích thước lưới khác nhau và kích thước lưới hội tụ là ∆x = ∆y = 0.25mm Một cuộc khảo sát hội tụ lưới tương tự đối với trường hợp nêm cũng được thực hiện để thu được kích thước lưới cuối cùng là ∆x = ∆y = 0.25mm Lưới cấu trúc loại C được sử dụng để mô phỏng vi cánh
NACA0012, với chiều dài dây cung, c = 4cm và góc tấn (AOA) là 10 o , và lưới cuối cùng có 600 phần tử trên bề mặt vi cánh được chọn từ nghiên cứu trước trong [28, 37] Lưới của trường hợp nêm khá đơn giản và không được hiển thị ở đây Lưới cấu trúc của vi cánh NACA0012 và các trường hợp mặt dốc được trình bày trong Hình 3.5 và 3.6 Các điều kiện dòng khí tự do gồm (p ∞, T ∞ , u ∞ ) được duy trì trong suốt quá trình tính toán tại biên đầu vào, trong đó chỉ số dưới “∞” biểu thị các điều kiện dòng tự do Các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ được áp dụng cho bề mặt, và một điều kiện biên zeroGradient được áp dụng cho áp suất trên bề mặt Các biên khác của miền tính toán được áp dụng điều kiện biên zeroGradient cho các biến của dòng khí (p, T, u) Điều này chỉ rõ rằng các gradient pháp tuyến của các biến dòng khí biến mất tại các biên đó, và dòng khí sau đó được phép rời khỏi miền tính toán Điều kiện dòng tự do, loại khí và số
Kn của tất cả các trường hợp mô phỏng được trình bày trong Bảng 3.1 Độ dài đặc trưng để tính số Kn cho tất cả các trường hợp là chiều cao của nêm, H, dây cung của vi cánh, c,
21 và chiều dài của phần tấm phẳng của mặt dốc Bộ giải QGDFoam bao gồm các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ, được dùng để chạy các mô phỏng CFD, và được gọi là mô phỏng QGD Bộ giải dsmcFoam mô phỏng các trường hợp mặt dốc và nêm DSMC trong OpenFOAM Dữ liệu DSMC của vi cánh NACA0012 trong [28, 37] được chọn để so sánh với các dữ liệu vi cánh của mô phỏng QGD Mô hình VHS và một lưới cấu trúc với kích thước ô xấp xỉ một phần ba của khoảng cánh tự do trung bình các hạt khí tự do, λ ∞, được sử dụng cho các mô phỏng DSMC Điều kiện trượt và nhảy (T,u) Điều kiện zeroGradient (p) Điều kiện zeroGradient (p,T,u) Điều kiện zeroGradient (p,T,u) Điều kiện zeroGradient
Hình 3.1 Mô hình tính toán số của trường hợp nêm
T ∞ u ∞ Điều kiện zeroGradient (p,T,u) Điều kiện zeroGradient (p,T,u) Điều kiện zeroGradient (p,T,u) Điều kiện trượt và nhảy (T,u) Điều kiện zeroGradient (p)
Hình 3.2 Mô hình tính toán số của trường hợp mặt dốc (ramp)
Bảng 3.1: Điều kiện dòng khí tự do, loại khí và số Kn các trường hợp [13, 28, 37] Các trường hợp Ma p(Pa) T(K) T w (K) u(m/s) Loại khí Kn AOA (deg.)
Vi cánh NACA0012 2 2.784 161 290 509 Không khí
Vi cánh NACA0012 2 0.724 161 290 509 Không khí
Hình 3.4 Phân bố áp suất bề mặt dọc bề mặt mặt dốc csho các lưới khác nhau
Hình 3.3 Mô hình tính toán số của trường hợp vi cánh NACA0012 Điều kiện trượt và nhảy (T,u) Điều kiện zeroGradient (p) Điều kiện zeroGradient (p,T,u) Điều kiện zeroGradient(p,T,u) Điều kiện zeroGradient (p,T,u) p ∞
Kết quả mô phỏng tính toán số
Phần này trình bày các đại lượng bề mặt (p, T, u) được dự đoán từ các mô phỏng dùng mô hìnhQGD với các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy bậc nhất và bậc hai khác nhau và dữ liệu DSMC So sánh giữa kết quả mô phỏng QGD và DSMC được thực hiện để đánh giá việc sử dụng các điều kiện biên trượt và nhảy với mô hình QGD trong việc mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao (trên âm) Các hệ số lưu trú cho các động lượng tiếp tuyến và nhiệt trong các điều kiện biên trượt và nhảy bậc nhất được chọn là một cho cả hai phương pháp DSMC và QGD để đảm bảo rằng cả hai phương pháp đều đồng nhất cho các hệ số này Hệ số của các số hạng bậc hai trong các điều kiện biên trượt và nhảy thu được đối với dòng khí loãng ở tốc độ cao từ các nghiên cứu trong [10, 22, 37] được tham khảo để chọn các giá trị của chúng trong mô phỏng QGD sử dụng điều kiện biên trượt và nhảy bậc hai Các giá trị A 1 = C 1 = 1 được chọn cho tất cả các mô phỏng QGD sử dụng các điều kiện biên bậc hai Các giá trị A 2 = C 2 = 0.5 được chọn cho các trường hợp nêm, mặt dốc và các trường hợp vi cánh NACA0012 (Kn = 0,026) và các giá trị A 2 = C 2 = 0.25 cho các vi cánh NACA0012, Kn = 0,1 Bằng cách đặt các giá trị A 1 = C 1 = 1, ảnh hưởng của các số hạng bậc hai lên các đại lượng bề mặt được kiểm tra bằng cách so sánh kết quả mô phỏng sử dụng điều kiện biên bậc hai và những kết quả sử dụng điều kiện biên bậc nhất Maxwell-Smoluchowski Các kết quả mô phỏng của áp suất bề mặt, nhiệt độ khí bề
Hình 3.5 Một lướicấu trúc của vi cánh NACA0012 và lưới gần đầu cánh trước [28, 37]
24 mặt, và vận tốc trượt được biểu thị với các khoảng cách được chuẩn hóa bởi độ dài của nêm và mặt dốc, và dây cung vi cánh
Kết quả mô phỏng của trường hợp nêm được vẽ đồ thị dựa trên khoảng cách chuẩn hóa, S/L, trong đó S là khoảng cách chạy dọc theo bề mặt hình nêm, được biểu thị trong Hình 1 Sự phân bố áp suất bề mặt được trình bày trong Hình 3.7 Gần phía trước nêm, áp suất khí bề mặt được dự đoán bởi các mô phỏng QGD thu được các giá trị lớn nhất với 1) 58.30Pa sử dụng điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski, 2) 58.19Pa sử dụng điều kiện biên bậc hai, 3) 59.63Pa sử dụng điều kiện biên Maxwell – Patterson hiệu chỉnh, và 4) 44.52Pa cho dữ liệu DSMC Sau đó, tất cả chúng giảm nhanh dọc theo bề mặt nêm Kết quả mô phỏng QGD gần nhau dọc theo bề mặt nêm và tiếp cận dữ liệu DSMC trong khoảng S/L ≥ 0.1 Có sự khác biệt đáng kể giữa các giải pháp QGD và DSMC do hiệu ứng bất cân bằng cao của dòng khí ở đó [13]
Hình 3.8 trình bày sự phân bố nhiệt độ khí dọc bề mặt hình nêm, và cao nhất ở đầu trước nêm Giá trị lớn nhất của chúng là 352.96K cho mô phỏng QGD với điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski, 2) 374.42K cho mô phỏng QGD với điều kiện biên bậc hai, 3) 372.13K cho mô phỏng QGD với điều kiện biên Maxwell – Patterson hiệu chỉnh, và 4) 370.55K cho dữ liệu DSMC Nhiệt độ lớn nhất DSMC gần với nhiệt độ của mô hình
Hình 3.6 Lưới cấu trúc của trường hợp “ramp”
QGD sử dụng điều kiện biên nhảy nhiệt độ bậc hai hoặc Patterson hiệu chỉnh Điều này có thể được giải thích là do ảnh hưởng của số hạng bậc hai hoặc sự sinh nhiệt nhớt trong các điều kiện biên nhảy ở phía đầu trước nêm Điều kiện biên nhảy nhiệt độ Smoluchowski dự đoán nhiệt độ khí bề mặt thấp hơn với nhiệt độ của mô phỏng DSMC Sau vị trí gần phía đầu nêm, tất cả nhiệt độ giảm dần dọc theo bề mặt nêm và tất cả các kết quả mô phỏng QGD đều dự đoán nhiệt độ khí bề mặt cao hơn so với dữ liệu DSMC
Vận tốc trượt dọc theo bề mặt nêm được thể hiện trong Hình 3.9 Mô hình QGD dự đoán vận tốc trượt lớn nhất khoảng 1) 200.05m/s cho mô phỏng với điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski, 2) 196.02m/s cho mô phỏng với điều kiện biên trượt và nhảy bậc hai, 3) 193.96m/s cho mô phỏng với các điều kiện biên Maxwell – Patterson hiệu chỉnh ở gần đầu phía trước nêm, trong khi mô phỏng DSMC dự đoán là khoảng 166.81m/s Qua vị trí phía đầu trước nêm, chúng nhanh chóng giảm xuống một giá trị hữu hạn gần như không đổi cho đến vị trí S/L = 0.8 và chúng bắt đầu tăng cho đến vị trí S/L 1.0 Mô hình QGD đồng ý khá tốt với dữ liệu DSMC, ngoại trừ sự khác biệt rõ giữa dữ liệu QGD và DSMC ở phía đầu nêm Cần lưu ý rằng vận tốc trượt của mô phỏng DSMC
Hình 3.7 Phân bố áp suất khí dọc bề mặt nêm
26 thấp hơn so với vận tốc của mô phỏng QGD Vì vậy, nhiệt độ khí bề mặt DSMC thấp hơn nhiệt độ mô phỏng QGD vì nó được tính từ các thành phần của vận tốc khí trong DSMC [1]
Hình 3.8 Phân bố nhiệt độ khí dọc bề mặt nêm
Hình 3.9 Phân bố vận tốc trượt khí dọc bề mặt nêm
3.3.2 Trường hợp mặt dốc “ramp”
Dòng khí loãng qua một mặt dốc được mô phỏng với góc lớn với vận tốc lớn, Mach, Ma=5 Mặt dốc bao gồm các bộ phận tấm phẳng và đoạn dốc Do tương tác giữa các sóng sốc, cấu trúc trường dòng khí trên mặt dốc rất phức tạp và có hiện tượng tách dòng và gắn lại Mục đích của nghiên cứu ở đây là phân tích sự hình thành của sự phân tách và gắn lại dòng khí trên bề mặt Các đại lượng bề mặt dự đoán (p, T, u) được biểu diễn với khoảng cách chuẩn hóa, S/L, trong đó S là khoảng cách chạy dọc theo bề mặt dốc nén, được biểu thị trong Hình 3.2 Sự phân bố áp suất bề mặt được trình bày trong Hình 3.10 Do hiệu ứng bất cân bằng cao gần phía trước của phần tấm phẳng [13], tất cả các mô phỏng QGD dự đoán áp suất bề mặt cao hơn so với dữ liệu DSMC Qua vị trí đầu này, tất cả các kết quả QGD giảm xuống tới một giá trị trên tấm phẳng cho đến vị trí S/L ≤ 0.2 trong khi dữ liệu DSMC gần như không đổi Qua vị trí đầu này, các dòng khí bắt đầu đi vào khu vực của vùng tuần hoàn Vì vậy tất cả các áp suất bề mặt tăng dần dọc theo bề mặt tấm phẳng đến vị trí bản lề (S/L = 0.5) và tiếp tục tăng nhanh về cuối bề mặt đường dốc do sự tồn tại của độ dốc Hơn nữa, tương tác sóng sốc tạo ra một vùng áp suất cao trên bề mặt đường dốc Phương pháp DSMC dự đoán áp suất cao hơn so với mô hình QGD trong khoảng 0.35 ≤ S/L ≤ 0.95
Hình 3.10 Phân bố áp suất khí dọc bề mặt “ramp”
Sự phân bố nhiệt độ khí bề mặt được trình bày trong Hình 3.11 Gần phía trước đầu mặt dốc, tất cả các kết quả mô phỏng DSMC và QGD đều thu được giá trị lớn nhất Qua vị trí phía đầu trước, nhiệt độ khí bề mặt tiếp cận một giá trị hữu hạn gần như không đổi cho đến cuối mặt dốc (0,35 ≤ S/L ≤ 1) Tất cả nhiệt độ dự đoán bởi mô hình QGD và DSMC đều tương đồn nhau trong khoảng 0,35 ≤ S/L ≤ 1 Có sự khác biệt giữa kết quả
DSMC và QGD gần phía trước phần tấm phẳng Mô phỏng với điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski dự đoán nhiệt độ thấp nhất, trong khi mô phỏng dùng điều kiện biên Maxwell – Patterson hiệu chỉnh cải thiện dự đoán nhiệt độ giữa các mô phỏng QGD ở gần phía đầu trước nhờ tác động của sự sinh nhiệt nhớt Vì ở đó có ảnh hưởng lớn của vận tốc trượt Nhiệt độ được dự đoán bởi điều kiện biên nhảy nhiệt độ bậc hai cao hơn nhiệt độ của điều kiện biên nhảy nhiệt độ Smoluchowski do ảnh hưởng của số hạng bậc hai
Sự phân bố vận tốc trượt được vẽ trong Hình 3.12 Tất cả dữ liệu QGD và DSMC thu được giá trị lớn nhất tại phía đầu trước phần tấm phẳng và giảm dần đến vị trí S/L 0.35 trước khi dòng khí đi vào vùng tuần hoàn Một điểm quan tâm ở đây là vận tốc trượt là âm Điều này xác nhận rằng một vùng tuần hoàn đã xảy ra trên bề mặt Các điểm tách
Hình 3.11 Phân bố nhiệt độ khí dọc bề mặt dốc
29 dòng và gắn lại là nơi vận tốc trượt bằng không Chiều dài của vùng tuần hoàn dòng khí là khoảng cách giữa điểm phân tách và điểm gắn lại và đặc biệt được biểu thị bằng sự lan truyền của vận tốc trượt âm Độ dài chuẩn hóa của vùng tuần hoàn của mô phỏng QGD là 1) 0.321 sử dụng điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski, 2) 0.334 sử dụng điều kiện biên bậc hai, 3) 0.319 sử dụng điều kiện biên Maxwell – Patterson hiệu chỉnh và 4) 0.287 cho mô phỏng DSMC Kết quả vận tốc trượt cũng chỉ ra rằng một vùng tuần hoàn hình thành trong vùng lân cận ở góc của mặt dốc Độ lớn của vận tốc trượt trở nên nhỏ do sự hình thành của vùng tuần hoàn Qua điểm gắn lại, vận tốc trượt tăng về phía cuối của bề mặt đường dốc, nhưng chậm hơn so với ở gần mép trước do góc của góc đường dốc lớn Ngoài sự khác biệt về các giá trị lớ nhất ở phía trước đầu phần tấm phẳng, tất cả các vận tốc trượt CFD và DSMC cho kết quả gần nhau dọc theo bề mặt của mặt dốc
Biểu đồ vận tốc trượt trong vùng tuần hoàn được phóng to trong Hình 3.12 và có cấu hình của hàm số trùng phương (0.35 ≤ S / L ≤ 0.7) Điều này có thể được giải thích là dòng khí trong vùng tuần hoàn trượt xuống từ bề mặt dốc và va chạm đột ngột với tấm phẳng tại điểm bản lề (S/L = 0.5) Khi đó dòng khí có thể bị mất động năng do va chạm đột ngột làm giảm vận tốc trượt tại điểm này Sau đó dòng tiếp tục trượt trên bề mặt tấm
Hình 3.12 Phân bố vận tốc trượt dọc bề mặt mặt dốc
30 phẳng do tác động của vùng tuần hoàn với vận tốc trượt tăng lên một chút Sau đó, dòng khí giảm vận tốc trượt về phía điểm tách dòng
3.3.3 Vi cánh NACA0012, Kn = 0.026 và AOA = 10 o
Các mô phỏng QGD được thực hiện với các điều kiện trượt và nhảy khác nhau cho vi cánh NACA0012, Kn = 0.026 Kết quả mô phỏng QGD được so sánh với dữ liệu
DSMC [28, 37] Hình 3.13 và 3.14 so sánh sự phân bố áp suất khí bề mặt trên các bề mặt dưới và trên cả vi cánh giữa kết quả DSMC và QGD Tất cả các áp suất QGD và DSMC đều đạt đến giá trị lớn nhất tại các đầu vi cánh và phương pháp DSMC dự đoán áp suất lớn nhất cao hơn tất cả các kết quả của mô phỏng QGD Sau đó, chúng giảm dần dọc theo bề mặt trên và dưới của vi cánh Ngoài sự khác biệt kết quả áp suất ở phía đầu của vi cánh, tất cả dữ liệu DSMC và áp suất QGD dự đoán đều gần nhau ở bề mặt trên và dưới Chú ý rằng áp suất khí ở bề mặt trên thấp hơn ở bề mặt dưới Điều này dẫn đến sự chênh lệch áp suất để tạo ra lực nâng để đẩy vi cánh
Sự phân bố nhiệt độ khí bề mặt giữa bề mặt dưới và trên vi cánh được tìm thấy trong Hình 3.15 và 3.16 và được so sánh với nhiệt độ DSMC [28, 37] Kết quả mô phỏng QGD với điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson hiệu chỉnh gần với dữ liệu DSMC cho cả
Hình 3.13 Phân bố áp suất khí dọc bề mặt dưới, Kn = 0.026
Thảo luận kết quả tính toán
Có sự khác biệt giữa tính toán giữa các đại lượng bề mặt (p, T, u) trong các mô phỏng và DSMC và QGD Một số thông số Knudsen cục bộ Kn GLL được giới thiệu và tính toán dựa trên độ gradient của mật độ khí như [13, 27, 37],
Hình 3.22 Phân bố nhiệt độ khí dọc bề mặt dưới, Kn = 0.1
(3.1) trong đó biểu thị độ lớn của gradient mật độ khí Cần lưu ý rằng mô phỏng dùng các phương trình được phát triển từ lý thuyết cơ học môi trường liên tục như phương trình QGD hoặc NSF sẽ không thể áp dụng ở bất cứ nơi nào số Kn GLL cục bộ này vượt quá 0,05 [27] Hình 3.26 và 3.27 trình bày số Kn GLL được tính toán từ mô phỏng QGD bằng cách sử dụng các điều kiện biên Maxwell – Patterson hiệu chỉnh dọc theo bề mặt nêm, bề mặt mặt dốc và khoảng cách ngang, l, phía trước vi cánh NACA0012, được thấy trong Hình 3.3
Thấy rằng có sự ảnh hưởng của bất cân bằng cao ở phía đầu nêm và mặt dốc do giá trị Kn GLL cao (Kn GLL > 0,05), được biểu thị bằng giá trị lớn nhất Kn GLL = 0,37 và Kn GLL 0,77 đối với trường hợp nêm và mặt dốc, tương ứng Điều này ảnh hưởng đáng kể đến các dự đoán của các đại lượngg bề mặt đối với hai trường hợp này Vì vậy, có một sự khác biệt đáng kể giữa các đại lượng bề mặt trong các mô phỏng QGD và DSMC gần phía đầu trước Ngoài ra, có sự khác biệt trong tính toán áp suất giữa các mô phỏng QGD và DSMC Áp suất được tính bằng phương trình trạng thái khí lý tưởng (mô hình khí không
Hình 3.23 Phân bố nhiệt độ khí dọc bề mặt trên, Kn = 0.1
39 độ nhớt) trong mô phỏng QGD điều này dẫn đến có một sự sai lệch lớn ở gần phía đầu Trong khi phương pháp DSMC tích hợp điều này bởi các tích phân của các va chạm giữa các hạt khí [13] Phương pháp DSMC dự đoán nhiệt độ cao hơn so với mô hình QGD gần phía đầu trước Trong mô phỏng DSMC, các hạt khí nhận biết sự hiện diện của phần tấm phẳng hoặc phần nêm phía trước với một tỷ lệ hạt phản xạ khuếch tán khỏi bề mặt gần phía đầu, đi ngược dòng và va chạm với các hạt khí tới Vì vậy nhiệt độ của các hạt khí ở bề mặt vẫn cao cho đến khi xảy ra va chạm vừa đủ với bề mặt nêm hoặc bề mặt tấm phẳng ở nhiệt độ bề mặt, T w [29] Vận tốc trượt ở phía đầu trước là cao nhất và góp phần làm tăng nhiệt độ DSMC Bởi vì nhiệt độ khí bề mặt DSMC được tính toán từ các thành phần của vận tốc [1] Khả năng sinh nhiệt nhớt được kết hợp trong điều kiện biên nhảy nhiệt độ Patterson hiệu chỉnh làm giảm khoảng cách sai lệch giữa nhiệt độ dự đoán DSMC và QGD do sự trượt cao gần phía đầu trước Dự đoán vận tốc trượt nhìn chung tiệm cận với dữ liệu DSMC cho các trường hợp nêm và mặt dốc Trong trường mặt dốc, vận tốc trượt biểu thị sự xuất hiện của vùng tuần hoàn trên bề mặt Điểm tách dòng nằm trên bề mặt tấm phẳng và điểm gắn lại dòng trên bề mặt đoạn đường dốc Phương pháp DSMC dự đoán độ dài vùng tuần hoàn ngắn hơn so với mô hình QGD
Hình 3.24 Phân bố vận tốc trượt khí dọc bề mặt dưới, Kn = 0.1
Hình 3.25 Phân bố vận tốc trượt khí dọc bề mặt trên, Kn = 0.1
Hình 3.26 Phân bố số KnGLL dọc bề mặt nêm và mặt dốc
Một sóng sốc được hình thành ở phía trước của vi cánh NACA0012 được trình bày trong Hình 19a và 19b Độ giật mũi tàu của vi cánh Kn = 0.1 (0 ≤ x/c ≤ 0.55) lớn hơn của trường hợp Kn = 0.026 (0 ≤ x/c ≤ 0.25), trong Hình 3.27 Số Kn GLL cho thấy ảnh hưởng sự bất cân bằng cao ở trung tâm của sóng sốc và gần phía trước vi cánh (Kn GLL > 0.05) Điều này giải thích sự khác biệt giữa kết quả mô phỏng DSMC và QGD đối với áp suất bề mặt và nhiệt độ khí bề mặt ở phía trước của vi cánh, ngay cả đối với trường hợp ở chế độ liên tục Kn = 0.026 Dòng đi vào chế độ chuyển tiếp sớm đối với Kn = 0.01, và có một vùng bất cân bằng cao hơn nhiều gần phía đầu trước vi cánh Vì vậy, điều này dẫn đến sự khác biệt đáng kể giữa dữ liệu DSMC và QGD đối với áp suất và nhiệt độ bề mặt đối với trường hợp Kn = 0.1 Ngược lại, vận tốc giảm trong vùng sóng sốc so với giá trị dòng tự do của nó, vận tốc trượt DSMC và QGD gần giống nhau ở phía đầu trước vi cánh Mặc dù có sự khác biệt trong các giá trị áp suất và nhiệt độ bề mặt, vận tốc trượt DSMC và vận tốc trượt của mô phỏng QGD sử dụng điều kiện biên trượt Maxwell đồng ý hợp lý dọc theo bề mặt vi cánh cho cả hai trường hợp với Kn = 0.026 và 0.1 Vận tốc trượt ít chịu ảnh hưởng của sự bất cân bằng cao của các trường hợp vi cánh
Hình 3.27 Phân bố số KnGLL dọc đường ngang
Giới thiệu
Mô phỏng dòng khí loãng giữ một vai trò quan trọng trong việc thiết kế các vi thiết bị cơ điện tử (MEMS) Hiểu rõ về sự ứng xử dòng khí loãng trong các vi thiết bị sẽ hỗ trợ nhiều cho việc thiết kế hiệu quả chúng Các chế độ khác nhau của dòng khí loãng trong các MEMS có thể được mô tả qua thông số cơ bản Knudsen, Kn Thông số này được định nghĩa là tỷ số giữa khoảng cách tự do trung bình giữa các hạt khí trước khi va chạm với độ dài đặc trưng của cố thể Các vi thiết bị MEMS thường có chiều dài đặc trưng ở mức mi-crô Khi đó chiều dài đặc trưng trở nên có thể so sánh được với giá trị của khoảng cách trung bình tự do của các hạt khí trong dòng Hai phương pháp tính toán số điển hình dùng để mô phỏng dòng khí loãng là phương pháp mô phỏng thống kê trực tiếp Monte Carlo (DSMC) và phương pháp tính toán số động lực học lưu chất (CFD) Phương pháp DSMC mô phỏng thành công dòng khí loãng cho bốn chế độ nêu trên Vì vậy, phương pháp DSMC được sử dụng như là tiêu chuẩn để đánh giá các kết quả mô phỏng thực hiện bởi phương pháp CFD Tuy nhiên, chi phí tính toán của nó rất cao so với phương pháp CFD Các phương trình NSF với điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ có thể mô phỏng các dòng khí loãng trong chế độ trượt (0.01 ≤ Kn ≤ 0,1) Một cách khác của phương pháp CFD trong mô phỏng dòng khí loãng đó là dùng mô hình tựa khí động (QGD) [5, 6] thông qua bộ giải tên QGDFoam [8] trong OpenFOAM [9] Nó đã được ứng dụng để mô phỏng thành công dòng khí loãng tốc độ cao qua các vật thể ứng dụng trong ngành hàng không – không gian để xem xét các hiện tượng sóng sốc Bộ giải QGDFoam tích hợp các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ để mô phỏng vi dòng khí loãng mà có thể dự đoán các đại lượng trên bề mặt của dòng khí như nhiệt độ và vận tốc trượt của dòng khí trên bề mặt cố thể Mô hình QGD được phát triển dựa trên lý thuyết cơ học môi trường liên tục và được biểu diễn qua các phương trình bảo toàn lưu lượng, động lượng và năng
43 lượng như phương trình NSF nhưng mô hình này có thêm các đại lượng tiêu tán [5, 6, 8] Trong nghiên cứu này này mô hình QGD kết hợp với các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ được dùng lần đầu tiên để mô phỏng dòng khí loãng tốc độ thấp (dưới âm với số Mach từ 0.1 đến 0.2) trong các vi kênh của các thiết bị MEMS, và dự đoán các đại lượng trên bề mặt như nhiệt độ và vận tốc trượt của vi dòng khí loãng Vi dòng khí loãng tốc độ thấp trong chế độ trượt (0.01 ≤ Kn ≤ 0.1) được lựa chọn trong nghiên cứu này để kiểm chứng sự làm việc của các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ với mô hình QGD Hai loại vi dòng điển hình trong mô phỏng vi dòng khí là dòng trong vi khoang với nắp khoang truyền dẫn (cavity micro-flow) [41] và vi dòng trong kênh bậc ngược được truyền dẫn bởi sự chênh lệch áp suất [42] Dự đoán chính xác nhiệt độ khí loãng trên bề mặt giúp các nhà thiết kế hiểu được các đặc tính nhiệt và xác định chiến lược làm mát cho các vi thiết bị Trong nghiên cứu này, mô hình tựa khí động QGD với các điều kiện biên được dùng để mô phỏng tất cả các trường hợp xem xét như sau vi dòng trong khoang có
Kn = 0.05 và vận tốc nắp là u w = 200m/s, và vi dòng trong kênh bậc ngược cũng có Kn 0.05 Kết quả mô phỏng CFD dùng mô hình tựa khí động QGD kết hợp với các điều kiện biên sẽ được so sánh với kết quả được mô phỏng đạt được bởi phương pháp DSMC trong [41, 42]
Mô hình tính toán số và lưới
Mô hình tính toán số cho hai trường hợp vi dòng trong vi khoang với nắp truyền dẫn và trong vi kênh bậc ngược được truyền dẫn bởi sự chênh lệch áp suất giữa hai đầu vào và ra của vi kênh được trình bày trong hai Hình 4.1 và 4.2 Lưới hình chữ nhật được dùng cho cả hai trường hợp và kích thước lưới đã được chứng minh hội tụ trong các nghiên cứu công bố trước [10, 42] với Δx = Δy = 0.015μm cho trường hợp vi kênh và Δx
= Δy = 0.005μm cho trường hợp vi khoang được lựa chọn trong các mô phỏng dùng mô hình QGD hiện tại Các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ được áp dụng tại tất cả các bề mặt cho cả hai trường hợp Điều kiện biên zerogradient được áp dụng cho nhiệt độ tại đầu ra, vận tốc tại đầu vào và đầu ra Điều kiện biên này cũng được dùng cho áp suất tại các bề mặt trong cả hai trường hợp Dòng trong vi kênh được truyền dẫn bởi sự chênh
44 lệch áp suất giữa đầu vào và đầu ra Kết quả nghiên cứu trong [42] cho thấy sự thay đổi của tỉ lệ áp suất vào ra sẽ ảnh hưởng đến tốc độ dòng chất Tuy nhiên, khi tỉ lệ này lớn hơn 4, không có bất kỳ ảnh hưởng nào đến tốc độ dòng chất vì dòng khí tiếp cận điều kiện lưu lượng tới hạn Vì vậy, cơ sở để chọn hai áp suất đầu vào và đầu ra ở đây là dựa trên tỉ lệ áp suất vào ra là 2 và số Kn = 0.05, bởi vì chúng quyết định cách ứng xử của dòng trong vi kênh Thông số đầu vào và ra của dòng khí ni-tơ trong vi kênh bậc ngược là p vào
= 150736Pa, T vào = 330K, và p ra = 64972Pa và được giữ cố định trong suốt quá trình tính toán Thông số dòng khí argon ban đầu của trường hợp vi khoang với nắp truyền dẫn là p 0
= 142072Pa, T 0 = 300K và vận tốc nắp dẫn là u w = 100m/s Nhiệt độ bề mặt T w = 300K cho tất cả các bề mặt của cả hai trường hợp Kích thước hình học của vi kênh và vi khoang được thể hiện trong Hình 4.1 và 4.2 tương ứng Thông số Kn cho cả hai trường hợp trên là 0.05, được tính dựa trên các chiều dài đặc trưng của nắp vi khoang và độ cao của vi kênh đều là L = H = 1μm.
Kết quả mô phỏng tính toán số
Trong các mô phỏng CFD dùng mô hình QGD, các thông số ζ u và ζ T trong các điều kiện biên trượt vận tốc và nhảy nhiệt độ được chọn là 1.0 để có cùng với giá trị của chúng ở các mô phỏng dùng phương pháp DSMC Các giá trị của các hệ số của điều kiện biên bậc hai được chọn dựa trên các kết quả đạt được từ các nghiên cứu trước [10, 22] A 1
= 1.0, A 2 = 0.5, C 1 = 1.0 và C 2 = 0.5 Các kết quả mô phỏng các đại lượng bề mặt (T, u) trên các bề mặt 3 (xem Hình 4.1) của vi kênh và nắp của vi khoang sẽ được trình bày và so sánh với các kết quả DSMC [41, 42] Cuối cùng là các trường vận tốc của mô phỏng CFD được trình bày và so sánh với trường vận tốc của mô phỏng DSMC [41, 42]
Hình 4.1 Mô hình tính toán số cho vi kênh bậc ngược
Trong nghiên cứu này, chỉ trình bày các kết quả mô phỏng tính toán các đại lượng (T, u) trên bề mặt 3 của vi kênh bởi vì sự tách dòng xảy ra trên bề mặt này Tách và gắn lại dòng là hai đặc điểm quan trọng của dòng khí loãng bên trong vi kênh do sự thay đổi tiết diện Những đặc điểm này có ảnh hưởng quan trọng đến đặc tính của dòng khí như tốc độ dòng lưu lượng và đặc tính truyền nhiệt [42] Vi kênh bậc ngược là một dạng hình học điển hình được sử dụng trong các vi thiết bị Ứng xử của dòng khí trong vi kênh sẽ được điều chỉnh bởi sự tách và gắn lại dòng Kết quả tính toán mô phỏng được vẽ dưới dạng hàm của khoảng cách chuẩn hoá x/L 3 dọc theo bề mặt 3 của vi kênh Trong đó L 3 là chiều dài của bề mặt 3 và x là khoảng cách chạy dọc bề mặt 3 từ trái sang phải Ở gần vị trí đầu của bề mặt 3, nhiệt độ khí tăng đến nhiệt độ đỉnh và sau đó giảm dần dọc theo bề mặt 3, như được trình bày trong Hình 4.3 Trong các mô phỏng CFD, nhiệt độ được dự đoán bởi điều kiện biên bậc nhất Smoluchowski đạt giá trị thấp nhất và nhiệt độ dự đoán bởi điều kiện biên Patterson hiệu chỉnh đạt giá trị cao nhất do ảnh hưởng của sự sinh nhiệt nhớt của dòng trên bề mặt Từ kết quả mô phỏng nhiệt độ trên Hình 4.3 ta thấy các kết quả mô phỏng CFD gần với kết quả mô phỏng DSMC [42] p 0
Hình 4.2 Mô hình tính toán số cho vi khoang
Vận tốc trượt dòng khí trên bề mặt bao gồm các thành phần âm và dương được thể hiện trong Hình 4.4 Các thành phần âm của vận tốc thể hiện vùng tách dòng và khoảng cách vùng tách dòng được biểu thị bởi vận tốc âm Trong mô phỏng DSMC, các hạt khí gia nhiệt có nhiều năng lượng hơn để nhảy qua vùng gắn lại dòng, dẫn đến tăng chiều dài của vùng tách dòng [42] Vì vậy, vận tốc của kết quả DSMC là cao nhất trong vùng phân tách Ngoài vùng này, vận tốc trượt của mô phỏng CFD dùng điều kiện bậc nhất Maxwell là thấp hơn vận tốc tính toán với điều kiện biên vận tốc bậc hai và nó gần với kết quả DSMC [42] Rõ ràng với sự thêm số hạng bậc hai của gradient pháp tuyến vận tốc tại bề mặt qua giá trị của A 2 , sẽ làm tăng vận tốc trượt dọc theo bề mặt 3 như thể hiện trong Hình 4.4 Điều này cũng xảy ra tương tự cho điều kiện biên nhảy nhiệt độ bậc hai trong việc dự đoán kết quả nhiệt độ dòng khí trên bề mặt như thể hiện trong Hình 4.3 Tại vị trí biên đầu ra của vi kênh x/L 3 = 1, sự khác biệt kết quả trong tính toán vận tốc có thể đến từ việc áp đặt các điều kiện biên khác nhau trong mỗi phương pháp Trong tính toán với mô hình QGD thì điều kiện biên zeroGradient được dùng cho vận tốc u, và phương pháp
DSMC trong [42] u được tính toán ở biên này dùng điều kiện biên “calculated” để tính toán u từ phương trình sóng đặc trưng mà nó là một hàm của áp suất ra p ra
Hình 4.3 Sự phân bố nhiệt độ trên bề mặt 3
Cuối cùng là hai trường vận tốc và đường dòng của mô phỏng CFD với các điều kiện biên bậc nhất Maxwell - Smoluchowski và mô phỏng DSMC được trình bày trong các Hình 4.5a và 4.5b tương ứng Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng vận tốc của mô phỏng DSMC lớn hơn vận tốc của mô phỏng CFD xảy ra ở gần các đầu vào và đầu ra của vi kênh Ứng xử của dòng khí trong vi kênh giữa hai phương pháp CFD và DSMC tương đồng nhau Các đường dòng cũng thể hiện được vùng phân tách xảy ra ngay góc giữa hai bề mặt 2 và 3 của vi kênh bậc ngược
Hình 4.4 Sự phân bố vận tốc trên bề mặt 3
Hình 4.5a Trường vận tốc CFD trong vi kênh
4.3.2 Vi khoang với nắp truyền dần
Dòng khí loãng được truyền dẫn chuyển động bởi nắp phía trên dịch chuyển Nắp chuyển động với vận tốc không đổi theo phương ngang với chiều từ trái sang phải, trong khi ba bề mặt còn lại của vi khoang đứng yên Khi đó dòng khí sẽ được đẩy vào thành bên phải và nó đi xuống trước khi di chuyển ngược lên phía bên trái của vi khoang Chuyển động này tạo ra một dòng xoáy ở trung tâm của vi khoang Mặc dù có sự đơn giản về mặt hình học nhưng dòng trong vi khoang với nắp truyền dẫn có thể gặp phải các tính năng dòng khí rất phức tạp như ảnh hưởng nén và xoáy ở các góc Kết quả tính toán mô phỏng cho nhiệt độ và vận tốc được vẽ dưới dạng hàm của khoảng cách chuẩn hoá x/L dọc theo bề mặt nắp vi khoang Trong đó L là chiều dài của nắp và x là khoảng cách chạy dọc bề mặt nắp từ trái sang phải Trong trường hợp vi khoang nắp truyền dẫn, các kết quả mô phỏng của vận tốc và nhiệt độ của dòng khí trên bề mặt nắp được trình bày Phân bố nhiệt độ khí dọc theo bề mặt nắp của vi khoang được trình bày trong Hình 4.6 Các kết quả CFD và DSMC [41] cho thấy rằng nhiệt độ tại gần vị trí hai biên của nắp, là nơi xảy ra sự tách và gắn lại dòng, cao hơn nhiệt độ khí ở vị trí giữa nắp Mô phỏng QGD với điều kiện nhảy nhiệt độ Smoluchowski dự đoán nhiệt độ khí trên bề mặt đạt giá trị thấp nhất trong số các mô phỏng QGD và gần với kết quả DSMC dọc theo bề mặt của nắp và tốt hơn so với hai mô phỏng QGD với điều kiện biên nhảy nhiệt độ bậc hai và Patterson hiệu chỉnh có xem xét sự sinh nhiệt nhớt Sự ảnh hưởng của các số hạng bậc hai và sinh nhiệt nhớt đã làm cho nhiệt độ khí trên bề mặt cao hơn so với nhiệt độ dự đoán bởi điều kiện biên Smoluchowski, và chúng không tiệm cận với kết quả DSMC [41]
Hình 4.5b Trường vận tốc DSMC trong vi kênh
Hình 4.6 Sự phân bố nhiệt độ trên bề mặt nắp
Hình 4.7 Sự phân bố vận tốc trên bề mặt nắp
Hình 4.8a Trường vận tốc CFD trong vi khoang
Hình 4.8b Trường vận tốc DSMC trong vi khoang
Vận tốc trượt dòng khí dự đoán bởi các phương pháp CFD và DSMC trên bề mặt nắp được được so sánh trong Hình 4.7 Kết quả vận tốc trượt dự đoán bởi phương pháp DSMC thì cao hơn tất cả các kết quả dự đoán bởi phương pháp CFD Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng kết quả CFD dùng mô hình QGD lệch khỏi kết quả DSMC khi dòng khí tiếp cận ở các góc trên của vi khoang (tại gần các vị trí x/L = 0 và x/L = 1) Các kết quả CFD và DSMC tiệm cận với nhau ở khoảng giữa của bề mặt nắp Sự khác biệt giữa kết quả tính toán của mô hình QGD và DSMC khi dòng tiếp cận góc trên cùng của vi khoang (x/L
= 1) là do ảnh hưởng của sự nén và sự bất cân bằng của dòng làm điều kiện biên vận tốc trượt không dự đoán được vận tốc ở các vùng gần các góc trên cùng một cách chính xác [41] Cuối cùng là trường vận tốc và đường dòng của hai phương pháp CFD với điều kiện biên Maxwell - Smoluchowski và DSMC được trình bày trong Hình 4.8a và 4.8b tương ứng Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng sự phân bố của vận tốc CFD đối xứng nhiều hơn so với kết quả DSMC, và giá trị vận tốc lớn nhất của chúng đạt ở gần giữa bề mặt nắp
Kết luận
Mô hình QGD đã được dùng thành công với các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai khác nhau để mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao qua các cố thể như nêm, mặt dốc và các trường hợp vi cánh NACA0012 Việc sử dụng hợp lý các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ đã cải thiện việc dự đoán các đại lượng bề mặt giữa các mô phỏng DSMC và QGD Các đại lượng bề mặt có độ nhạy với ảnh hưởng bất cân bằng ở đầu phía trước các cố thể Đề tài hiện tại đã nghiên cứu hiệu quả của các điều kiện biên trượt và nhảy khác nhau để sử dụng với mô hình QGD Sự sinh nhiệt nhớt ảnh hưởng đáng kể đến dự đoán nhiệt độ khí trên bề mặt các cố thể của dòng khí loãng tốc độ cao sử dụng mô hình QGD, đặc biệt trong trường hợp chế độ chuyển tiếp sớm, Kn = 0.1 Nhìn chung, kết quả mô phỏng cũng chỉ ra rằng điều kiện biên trượt và nhảy bậc hai không tốt hơn nhiều so với điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc một để dự đoán các đại lượng bề mặt của tất cả các trường hợp được xét ở đây
Hơn nữa, bộ giải QGDFoam với các điều kiện biên vận tốc trượt và nhảy nhiệt độ bậc nhất và bậc hai cũng đã mô phỏng thành công các vi dòng khí loãng ở tốc độ thấp trong hai trường hợp điển hình là vi kênh bậc ngược và vi khoang với nắp truyền dẫn Trong đó các đại lượng trên bề mặt của dòng khí như (T, u) đã được tính toán và dự đoán thông qua các điều kiện biên Kết quả mô phỏng cũng chỉ ra rằng các điều kiện biên bậc hai không tốt hơn nhiều các điều kiện bậc nhất khi dùng với mô hình tựa khí động QGD trong mô phỏng vi dòng khí loãng
Cuối cùng, việc sử dụng mô hình QGD với các điều kiện biên trượt và nhảy đã mở rộng phạm vi ứng dụng của nó trong tính mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao đặc biệt là dự đoán số lượng bề mặt Một bộ giải hoàn chỉnh dùng mô hình QGD có tích hợp các điều kiện biên đã được phát triển trong nghiên cứu này như là một sự lựa chọn thay đổi
53 khác trong tính toán mô phỏng dòng khí loãng so với các bộ giải CFD đã có sẵn trước đây giải với phương trình NSF, Burnett
Kiến nghị
- Một mô hình hoàn chỉnh QGD bao gồm các điều kiện biên được đề xuất trong nghiên cứu này cho tính toán mô phỏng số dòng khí loãng trên các biên dạng bề mặt phức tạp về khí động lực học ứng dụng trong các ngành kỹ thuật cơ khí hàng không, không gian – vũ trụ ở tốc độ cao và trong các vi thiết bị (MEMS) ở tốc độ thấp
- Các kết quả nghiên cứu đạt được trong đề tài có thể phục vụ cho công việc đào tạo sau đại học của các ngành Cơ kỹ thuật, Cơ khí – hàng không, Cơ điện tử
- Đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu cơ bản nên các kết quả sẽ được trình bày qua các bài báo công bố khoa học phục vụ cho việc nghiên cứu tính toán khí động lực học, lưu chất và phục vụ đào tạo đại học và sau đại học
[1] G A Bird (2013), The DSMC Method, Clarendon, Oxford, United Kingdom
[2] C J Greenshields, H G Weller, L Gasparini, and J M Reese (2010), “Non- oscillatory central schemes for high-speed viscous flows”, International Journal Numerical Methods Fluids, Vol 23, pp 1–21
[3] N T P Le, C White, J M Reese and R S Myong (2012), “Langmuir-Maxwell and Langmuir-Smoluchowski boundary conditions for thermal gas flow simulations in hypersonic aerodynamics”, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol 55, pp
[4] N T P Le, H Xiao and R S Myong (2014), “A triangular discontinuous Galerkin method for non-Newtonian implicit constitutive models of rarefied and microscale gases”, Journal of Computational Physics, Vol 273, pp 160 – 184
[5] T G Elizarova (2009), Quasi-gas dynamic equations Springer
[6] T G Elizarova, and Y V Sheretov (2001), “Theoretical and numerical analysis of quasi–gas dynamic and quasi-hydrodynamic equations” Journal Computational Mathematics Physics, Vol 41, 219–234
[7] T G Elizarova, A Dujsekulov, and M Aspnas (1991), “An implementation of gas dynamic problems on multiprocessor systems”, Reports Computational Science Mathematics, Abo Academics, Serie A, Vol 123
[8] M V Kraposhin, E V Smirnova, T G Elizarova, and M A Istomina (2018),
“Development of a new OpenFOAM solver using regularized gas dynamic equations”, Computers and Fluids, Vol 166, pp 163–175
[10] N T P Le and E Roohi (2015), “A new form of the second-order temperature jump boundary condition in the low-speed nano/microscale and hypersonic rarefied gas flow simulations”, International Journal of Thermal Sciences, Vol 98, pp 51 – 59
[11] N.T P Le, Vu N Anh, and Le Tan Loc (2016), “Effect of the sliding friction on heat transfer in high-speed rarefied gas flow simulations in CFD”, International Journal of
[12] N T P Le, Vu N Anh, and Le Tan Loc (2017), “New type of Smoluchowski temperature jump condition considering the viscous heat generation”, AIAA Journal, Vol 55 (2), pp 474 – 483
[13] N T P Le, E Roohi, and T N Tran (2019), “Comprehensive assessment of newly- developed slip-jump boundary conditions in high-speed rarefied gas flow simulations”, Aerospace Science and Technology, Vol 91, pp 656-668
[14] Nam T P Le (2019), “Effect of viscosity on slip boundary conditions in rarefied gas flows”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, No 3, Vol 41, pp 203 - 215
[15] N T P Le, Nam H Tran, Thoai N Tran and Toan T Tran (2020), “New boundary slip condition in high-speed rarefied gas flow simulations”, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, Vol 234(3), pp 840-856
[16] N T P Le, T N Tran, and M H Dang (2020), “Second-order slip condition considering Langmuir isothermal adsorption for rarefied gas microflows”, Progress in Computational Fluid Dynamics, Vol 20(4), pp.201 – 208
[17] Trần H Nam và Lê T P Nam (2020), “Phương pháp Discontinuous Galerkin trong tính toán mô phỏng dòng khí loãng”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Tập 18, Số 7, Trang 62-67
[18] J C Maxwell (1897), “On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature”, Philosophical Transactions of the Royal Society, Part 1, Vol 170, pp 231–
[19] M von Smoluchowski (1898), “ĩber wọrmeleitung in verdỹnnten gasen”, Annalender Physik und Chemie, Vol 64, pp 101–130
[20] N T P Le, N H Tran, and T N Tran (2018), “Modified Patterson temperature jump condition considering viscous heat generation”, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol 126, pp 1267–1274
[21] S H Maslen (1958), “On heat transfer in slip flow”, Journal of Aerospace Sciences, Vol 25, pp 400 – 401
[22] N T P Le, C J Greenshields, and J M Reese (2012), “Evaluation of nonequilibrium boundary condition in simulating hypersonic gas flows”, Progress in Flight Physics, Vol 3, pp 217 – 230
[23] G Bird, “Application of the direct simulation Monte Carlo method to the full shuttle geometry”, AIAA Paper No 1990–1692
[24] Pham-Van-Diep, D Erwin and E P Muntz (1989), “Nonequilibrium molecular motion in a hypersonic shock-wave”, Sciences, Vol.245, pp 624–626
[25] J Zhang, B John, M Pfeiffer, F Fei and D Wen (2019), “Particle-based hybrid and multiscale methods for nonequilibrium gas flows”, Advances Aerodynamics, pp 1:12
[26] J S Wu and K C Tseng (2003), “Parallel particle simulation of the near-continuum hypersonic flows over compression ramps”, Journal of Fluids Engineering, Vol 125, pp
[27] J Fan, I D Boyd and C Cai (2001), “Computation of rarefied gas flows around a NACA 0012 airfoil”, AIAA Journal, Vol 39, pp 618 – 625s
[28] A Shoja-Sani , E Roohi, M Kahrom, S Stefanov (2014), “Investigation of aerodynamic characteristics of rarefied flow around NACA 0012 airfoil using DSMC and
NS solvers”, European Journal of Mechanics - B/Fluids, Vol 48, pp 59 - 74
[29] C J Greenshields, J M Reese (2012), “Rarefied hypersonic flow simulations using the Navier–Stokes equations with non-equilibrium boundary conditions”, Progress in Aerospace Sciences, Vol 52, pp 80 – 87
[30] T G Elizarova, I Graur, J Lengrand, A Chpoun (1995), “Rarefied gas flow simulation based on quasi gas dynamic equations”, AIAA Journal, Vol 33, pp 2316–
[31] D A Lockerby, J M Reese, D R Emerson and R W Barber (2004), “Velocity boundary condition at solid walls in rarefied gas calculations”, Physical Review E, Vol
[32] R G Deissler (1964), “An analysis of second order slip flow and temperature jump boundary conditions for rarefied gases”, International Journal Heat and Mass Transfer, Vol 7, pp 681–694
[33] N G Hadjiconstantinou (2003), “Comment on Cercignani‟s second order slip coefficient” Physics of Fluids, Vol 15, pp 2352–2354
[34] W M Zhang, G Meng and X Wei (2012), “A review on slip models for gas microflows” Microfluidics and Nanofluidics, Vol 13, pp 845–882
[35] G Karniadakis, A Beskok and N Aluru (2005), Microflows and nanoflows: fundamentals and simulation, Springer, New York
[36] J Van Rij, T Ameel and T Harman (2009), “The effect of viscous dissipation and rarefaction on rectangular microchannel convective heat transfer”, International Journal of Thermal Sciences, Vol 48, pp 271 – 281
[37] N T P Le, A Shoja Sani, E Roohi (2015), “Rarefied gas flow simulations of NACA 0012 airfoil and sharp 25-55-deg biconic subject to high order nonequilibrium boundary conditions in CFD”, Aerospace Science and Technology, Vol 41, pp 274 –
[38] G.N Patterson (1956), Molecular Flow of Gases, John Wiley and Sons, New York, USA
[39] J Lu, H Yang, Q Zhang, X Wen and Z Yin (2022), “Experimental investigation of hypersonic laminar flow over a compression ramp”, Journal of Fluids Engineering, Vol 144, 021205-1
[40] M C Lo, C C Sua, J S Wu and F A Kuo (2014), “Development of parallel direct simulation Monte Carlo method using a cut-cell Cartesian grid on a single graphics processor”, Computer & Fluids, Vol 101, pp 114 – 125
[41] A Mohammadzadeh, E Roohi, H Niazmand, and S K Stefanov (2011), “Detailed investigation of thermal and hydrodynamic flow behaviour in micro/nanocavity using DSMC and NSF equations”, Proceedings of the ASME 2011 9th International Conference on Nanochannels, Microchannels and Minichannels, ICNMM2011- 58108
[42] A M Mahdavi, N T P Le, E Roohi, and C White (2014), “Thermal rarefied gas
58 flow investigations through micro/nano backward-facing step: comparison of DSMC and CFD subject to hybrid slip and jump boundary conditions”, Numerical Heat Transfer, Part A: Application, Vol 66, pp 733 – 755
2022, Vol 0(0) 1–20 © IMechE 2022 Article reuse guidelines: sagepub.com/journals-permissions DOI: 10.1177/09544100221103752 journals.sagepub.com/home/pig
High-speed rare fi ed gas fl ow simulations using Quasi-Gas Dynamic equations with slip and jump boundary conditions
Nam TP Le 1 and Phuc T Huynh 2
The high-speed rarefied gas flow simulation is essential for the aerothermodynamic design of high-altitude vehicles. Recently, the Quasi-Gas Dynamic (QGD) equations have been implemented in OpenFOAM as a CFD solver named QGDFoam In computational fluid dynamics (CFD), the accuracy of the prediction of the surface quantities depends on the slip and jump boundary conditions applied to the surfaces In the present work, various first-order and second-order slip and jump boundary conditions have been numerically implemented into the solver QGDFoam in OpenFOAM to obtain a completed solver for simulating the rarefied gas flows It then captures the surface quantities of the gas flows, such as the surface gas pressure, the slip velocity, and surface gas temperature This completed solver is validated for the sharp-leading- edge wedge, the compression ramp, and the NACA 0012 micro-airfoil cases Using the QGD model with the slip and jump conditions extends its application and enhances it to simulate high-speed rarefied gas flows The simulation results show that the slip and jump conditions have been successfully employed with the QGD equations and give good results for predicting the surface quantities compared with the DSMC data.
Quasi-Gas Dynamic equations, slip and jump conditions, surface pressure, slip velocity, surface gas temperature
Date received: 1 February 2022; revised: 31 March 2022; accepted: 6 May 2022
Highlights for review ã A completed Quasi-Gas Dynamic (QGD) solver in
OpenFOAM is obtained by implementing various first- order and second-order slip and jump conditions into the QGDFoam solver for simulating high-speed rare-
fied gas flows. ã Slip and jump conditions have been successfully em- ployed with the Quasi-Gas Dynamic equations and give a good prediction of the surface quantities such as surface pressure, slip velocity, and surface gas temperature. ã The second-order slip and jump conditions are not much better than the fi rst-order slip and jump con- ditions in high-speed rare fi ed gas fl ow simulations using the QGD model for all cases considered in the present work.
The nonequilibrium high-speed gas flow simulation plays a vital role in predicting the aerodynamic environment for high-speed vehicles Four different regimes characterize the rarefied gas flows The basic parameter governing these different flow regimes is the Knudsen number, Kn, defined as the ratio of gas mean free path to a characteristic length The different regimes of the rarefied gas flow correspond to the Kn number, such as the continuum regime 0.0001 ≤ Kn ≤ 0.01, slip regime 0.01 ≤ Kn ≤ 0.1, transition regime 0.1 ≤ Kn ≤ 10, and free molecular Kn ≥
10 Theoretically, the Direct Simulation Monte-Carlo (DSMC) method has been successfully simulated for the rarefied gas flows in four regimes However, its computational cost is quite expensive compared to Computational Fluid Dynamics (CFD), which solves the continuum model The DSMC method was applied to simulate the high-speed viscous gas flows The flight data of the space shuttle were successfully predicted by the DSMC method in the transition regime and were
1 Institute of Engineering and Technology, Thu Dau Mot University, Binh Duong Province, Vietnam
2 High-Performance Computing Lab, Information Technology Center, Thu Dau Mot University, Binh Duong Province, Vietnam
Phuc T Huynh, High-Performance Computing Lab, Information Technology Center, Thu Dau Mot University, Binh Duong Province, Vietnam.
Email: phucht@tdmu.edu.vn consistent with the experimental data 1 Moreover, the molecular velocity distribution function simulated by the
DSMC method in the shock wave structure perfectly agreed with the experimental results 2 It is well known the
DSMC method generates the numerical results in rare fi ed gas fl ow simulations more accurately than the continuum
flow models 3 So, the DSMC data have been used to validate the CFD results solved by the continuum models in the literature 3–10 The CFD approach, which solves the
Navier–Stokes–Fourier (NSF) equations with appropriate slip and jump boundary conditions, may simulate suc- cessfully rarefied gas flows in the slip regime The Quasi-
Gas Dynamic (QGD) equations are an alternative con- tinuum approach simulating the rarefied gas flows They were initially derived based on the kinetic theory of distribution function 10–17 and successfully simulated for viscous supersonic gas flows 10 The QGD equations are different from the NSF equations by additional dissipative terms The QGD equations have been recently im- plemented and solved numerically in OpenFOAM 17 as the solver QGDFoam 18 for simulating high-speed viscous gas
flows within a wide range of Mach numbers The QGD algorithms were implemented in Cartesian and cylindrical coordinates for regular and irregular space-grids for two and three-dimensional flows 18 The mixed finite-volume and finite-difference approximation are constructed on unstructured space grids with co-located variables storage and an explicit time scheme for convection approxima- tion 18 The QGD solver was validated for the two- dimensional cases as the high Mach number jet and planar flows; the QGD calculated results were compared with those given by the NSF solver in the OpenFOAM for high-speed viscous flows, named rhoCentralFoam.
However, the QGD solver has not yet predicted the surface quantities such as the surface pressure, surface gas tem- perature, and the slip velocity in rare fi ed gas fl ows due to the lack of slip and jump boundary conditions So, complementing these conditions to the QGD solver is necessary and would enhance this approach The QGD model with the classical Maxwell slip and Smoluchowski jump boundary conditions successfully simulated the rarefied gas flows past a sharp-leading-edge flat plate in cases of the large values of Mach and Knudsen 10
