TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH TÀI LIỆU ÔN THI TOÁN VÀO CÁC LỚP CHUYÊN pot

TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH TÀI LIỆU ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN MÔN TOÁN Năm học 2010-2011 Giáo viên biên soạn giảng dạy : Huỳnh Chí Hào Chuyên đề 1: ĐA THỨC I Đa thức : (Đa thức biến) Định nghóa: Đa thức bậc n theo x (n   ) biểu thức có daïng P(x)  an x n  an 1x n 1   a1x  a0 với an  Các số a0 ,a1 , ,an gọi hệ số , n gọi bậc đa thức P(x) Ví dụ: P(x)  2x3  9x  12x  đa thức bậc ba Đa thức đồng nhất: a) Đa thức đồng nhất: Định nghóa : Đa thức đồng đa thức luôn có giá trị với giá trị biến số  Nếu P(x) Q(x) hai đa thức đồng ta ký hiệu : P(x)  Q(x)  P(x)  Q(x)  x   : P(x)  Q(x)     b) Ña thức đồng không: Định nghóa : Đa thức đồng không đa thức luôn với giá trị biến số  Nếu P(x) đa thức đồng không ta ký hiệu : P(x)   P(x)  0  x   : P(x)  0 Hệ quả: a n   an 1    P(x)  an x n  an 1x n 1   a1x  a0       a   Ví dụ: Tìm số A, B, C cho 3x  3x   A  x    B  x  1 x    C  x  1 với x Ví dụ: Tìm hệ số a, b để đa thức P(x) = x + 2x + ax + 2x + b bình phương đa thức Bài giải: Giả sử x + 2x + ax2 + 2x + b = (x2 + mx + n) 4 2 với x  x + 2x + ax + 2x + b = x + m x + n + 2mx + 2nx + 2mnx  (2m - 2) x + (m2 + 2n - a ) x + (2mn - 2) x + n2 - b = với x với x Áp dụng định lý đa thức đồng khơng ta được: ì2m - = ï ï ï ïm + 2n - a = ï ï í ï2mn - = ï ï ï ïn - b = ï ï ỵ ìm = ï ï ï ïn = ï Vậy a = 3; b = x + 2x + 3x2 + 2x + = (x2 + x + 1) Giải hệ ta được: ï í a=3 ï ï ï ïb = ï ï ỵ Nghiệm đa thức:  Nếu x = a đa thức P(x) có giá trị ta nói a nghiệm P(x) đn     a nghiệm P(x)   P(a)   Ví dụ: Cho phương trình 2x  5x  6x  5x   (1) Chứng minh x  nghiệm phương trình (1) Phép chia đa thức: Định lý: Cho hai đa thức P(x) Q(x) khác không Tồn đa thức h(x) r(x) cho P(x)  Q(x).h(x)  r(x) Trong r(x)  r(x)  bậc r(x) nhỏ bậc Q(x) Đa thức Q(x) gọi thương đa thức r(x) gọi dư phép chia P(x) cho Q(x) Ví du 1ï: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x)  2x3  9x  12x  cho đa thức x  Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = x - 3x + bx2 + ax + b Q(x) = x - Tìm a, b để f(x) chia hết cho g(x) Bài giải: Vì P(x) Q(x) nên ta giả sử P(x) = x2 - Q(x) (1) với x ( ) Thay x = vào hai vế (1) ta được: P(1) = - + b + a + b =  a + 2b = (2) Thay x = -1 vào hai vế (1) ta được: P(-1) = + + b - a + b =  -a + 2b = -4 Từ (2) (3) ta suy a = 3; b = - (3) Định lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783) Định lý BEZOUT: Định lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) số dư R = P(a) Chứng minh: Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử thương Q(x) dư số R Ta có: P(x) = (x - a ) Q(x) + R với x Do với x = a P(a) = 0.Q(a) + R  R = P(a) (đpcm)     Hệ quả:  P(x) chia hết cho (x  a)   P(a)   Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm a P(x)  (x-a)  P(a) =    P(x) = (x  a).Q(x), Q(x) đa thức     Ví dụ: Cho P(x)  x  x  x  x 27  x 81  x 243 Tìm dư phép chia P(x) cho x  Sô đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837) Để tính hệ số đa thức thương dư phép chia đa thức P(x)  an x n  an 1x n 1   a1x  a0 cho (x - a) ta dùng sơ đồ HOOCNE sau an a Trong đó: an 1 an 2 a1 bn bn 1 bn 2 b1 a0 b0 bn  an bn 1  a.b n  an 1 bn 2  a.b n 2  an 2 b0  a.b1  a0 Khi đó:  P(x)  (x  a).Q(x)  r  Thương : Q(x)  bn x n 1  bn 1x n 2   b1  Dư : r  b0 Ví dụ 1: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x)  2x3  9x  12x  cho đa thức x  Ví dụ 2: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x)  2x  3x  4x  cho đa thức x  Phân tích đa thức thừa số Định lý: Giả sử đa thức P(x) = a n x n + a n-1x n-1 + + a1x + a (a n ¹ 0) có n nghiệm x1, x2 , , x n P(x) = a n (x - x1 )(x - x2 ) (x - x n ) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x + 9x2 + 11x - 21 thành nhân tử Ví dụ: Rút gọn phân thức A  x  4x  x  x  7x  14x  Hết Chuyên đề 2: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: Các đẳng thức mở rộng : (a  b)2  a  2ab  b 2 (a  b)2  a2  2ab  b2 a2  b2  (a  b)(a  b) (a  b)3  a3  3a2 b  3ab2  b3  a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) (a  b)3  a3  3a2 b  3ab2  b3 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) (a  b  c)2  a2  b2  c  2ab  2ac  2bc 9) (a  b  c)3  a  b3  c3  3a b  3ab2  3a c  3ac2  3b2 c  3bc2  6abc = a  b3  c3  3(a  b)(b  c)(c  a) 10) a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a2  b2  c  ab  ac  bc = Hệ quả: Nếu a  b  c  a  b3  c3  3abc (a  b  c) (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2    11) a n  b n  (a  b)(a n 1  a n 2 b   b n 1 ) Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau 2x  1  2x   1) A  4x  4x 2  4x 2 4x   x  3  2x  3  x x2    2) B  2  x  1  2x  3  x 4x   x  3 Ví dụ 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  2x  6x  2) Tìm giá trị lớn biểu thức: B   x  y  xy  2x  2y Phương pháp: Để tìm GTLN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A  số M Bước 2: Chỉ biến để A  M Bước 3: Kết luận GTLN A M Để tìm GTNN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A  số m Bước 2: Chỉ biến để A  m Bước 3: Kết luận GTNN A m Ví dụ 3: Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca a  b  c II BÀI TẬP RÈN LUYỆN: æx + ö - 4x 3x - x2 + + - 3÷ : Bài 1: Cho M = ỗ ữ ỗ ữ x +1 ỗ 3x è ø x +1 3x 1) Rút gọn M thành phân thức 2) Với giá trị x M < 3) Tìm x Ỵ  ẻ M Bi gii: ỡ ù ù ỡx ïx ¹ ï ï ï ï ï ï ïx + ¹  ïx ¹ -1 ï 1) Điều kiện biến là: í í ï ï ï ï ï2 - 4x ¹ ï ï ù ù ợ ùx ù ù ợ Khi đó: ỉx + - 4x 3x - x + M=ỗ + - 3ữ : ữ ỗ ữ x +1 ỗ 3x ố ứ x +1 3x (x + 2)(x + 1) + 6x - 9x (x - 1) - 4x 3x - x + : = 3x (x + 1) x +1 3x = - 8x 2 - 4x 3x - x + : 3x (x + 1) x + 3x = (1 + 2x )(1 - 2x ) x + 3x - x + 3x (x + 1) (1 - 2x ) 3x + 2x 3x - x + 3x 3x x -x x -1 = = 3x 2) Ta có: M <  x - <  x < = ìx < ï ï ï ïx ¹ ï ï Kết hợp với điều kiện biến ta có kết quả: ïx ¹ -1 í ï ï ï ù ùx ù ù ợ = 3) Ta có: M x -1 Để Ỵ  x Ỵ  ta phải có: M éx - = éx = ê ê ê x - = -1 êx = ê ê ê x - ước  ê x -1 = ê êx = ê ê ê x - = -3 ê x = -2 ë ë Đối chiếu với điều kiện x ta có đáp số là: x = -2; x = 2; x = æ 3x + 9x - ö 1 ÷ Bài 3: Cho biểu thức P = ỗ + + - 2ữ : ỗ ữ x -1 ỗ x + x -2 ữ x -1 x +2 è ø Bài giải: ìx ³ ï Điều kiện biến : ï í ïx ¹ ï ỵ ì ïa ³ Đặt: x = a với ï Khi đó: í ïa ¹ ï ỵ ỉ 3a + 3a - 1 + + - 2ữ : P=ỗ ữ ỗ ữ a -1 ỗ a +a -2 a -1 a + è ø = 3a + 3a - + a + + a - - (a + a - 2) (a - 1)(a + 2) = = Vậy: P = ( x + 1) a + 3a + : (a - 1)(a + 2) a - (a + 2)(a + 1) 2 (a - 1) = (a + 1) (a - 1)(a + 2) : a -1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI: ỉx x + x -1 ổ x ữ ỗ ữ Bi 1: Cho biu thc: M = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ x - - x - 1÷ : è x + x - 1ứ ỗ ố ứ Tỡm cỏc giỏ trị x để M có nghĩa, rút gọn M ìx > ï 2- x Đáp số: ï ;M = í ïx ¹ x ï ỵ ỉ x +2 x +3 x + 2ư ỉ x ữ : ỗ2 ữ Bi 2: Cho biu thc: M = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ èx - x + - x ø ố x - 3ữ ỗ x + 1ứ Tỡm cỏc giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M ìx ³ ï ï ï x +1 ï Đáp số: íx ¹ 4; M = ù x-4 ù ùx ù ù ợ ộ 2x - + x 2x x + x - x ù é (x - x )(1 - x ) ù ú Bài 3: Cho biểu thức: M = - ê + ú.ê úû êë úû êë 1- x 1+ x x x -1 Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M ì ï ï ïx ³ ï ï ï Đáp số: ïx ¹ ; M = í ï x - x +1 ï ï ïx ¹ ï ï ï ỵ x -9 x +1 x +3 Bài 4: Cho biểu thức: M = + + x-5 x +6 x -3 2- x Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M ìx ³ ï ï ï x +1 ï Đáp số: ïx ¹ 4; M = í ï x -3 ï ïx ¹ ï ï ỵ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  a số Tính theo a biểu thức : x 1 ; A  x3  ; B  x6  C  x7  x x x Baøi 1: Cho x  x  Bài giải: ỉ ưỉ 1ử ổ ữỗ ữ ỗ ữ = ỗx n + n ữ ỗx + ữ - ỗx n-1 + n-1 ữ vi n > ỗ ữ ữ ữ ố xữ ỗ x n+1 ỗ x ữỗ x ÷ è øè ø ø ỉ 1 ưỉ 1ư ỉ 1ư Cho n = ta có: x + = ỗx + ữ ỗx + ữ - ỗx + ữ ữỗ ữ ố ữ ç ÷ ÷ ç è ø x x øè xø x÷ Ta ln có hệ thức: x n+1 + ổ 1ử = ỗx + ữ - = a - ữ ỗ ố ứ x x÷ Ta tính được: A = a - 3a 2 ổ 1ử ỗx + ữ - = (a - 3a ) - = a - 6a + 9a - B=ỗ ữ ữ ố ứ x ổ ửổ 1ử ổ 1ử C = ỗx + ữ çx + ÷ - çx + ÷ = a - 7a + 14a - 7a ữỗ ữ ố ữ ỗ ữ ố ứ ứ x ứố x ữ ỗ xữ Vi x + Baứi 2: Cho x  thỏa mãn x  1  Chứng minh x + số ngun Tìm số ngun x x Bài giải: ỉ 1 ưỉ 1ử ổ 1ữ ữ ữ ỗ ỗ = ỗx + ữ ỗx + ữ - ỗx + ữ ữỗ ữ ố ữ ố x x øè xø x ø ỉ 1ư 1 Do: çx + ÷ = x2 + + = + =  x + = (do x > 0) ữ ỗ ữ ố xứ x x Mặt khác: ỉ 1 ưỉ 1ư ỉ 1ư x + = ỗx + ữ çx + ÷ - çx + ÷ = 7.3 - = 18 ữỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ è è øè ø ø x x x x÷ ổ 1ử V x + = ỗx2 + ÷ - = 49 - = 47 ữ ỗ ữ ố x x ứ ổ 1 ưỉ 1ư ỉ 1ư Nên x + = ỗx + ữ ỗx + ữ - çx + ÷ = 47.3 - 18 = 123 ữỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ố ữ è x x øè xø x ø Ta có: x + Bài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :  x2  2y      y  2z    z  x    Tính giá trị biểu thức : A  x 2009  y 2009  z2009 Bài giải: Cộng vế đẳng thức cho biến đổi ta được; Chuyên đề 6: BẤT ĐẲNG THỨC I Số thực dương, số thực âm:  Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x >  Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x <  Nếu x số thực dương x= 0, ta nói x số thực không âm, ký hiệu x   Nếu x số thực âm x= 0, ta nói x số thực không dương, ký hiệu x  II Khái niệm bất đẳng thức: Định nghóa : Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b số dương, tức a-b > Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a  b  ab   Nếu a>b a=b, ta viết a  b Ta coù: a  b  a-b  Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà không rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức III Các tính chất bất đẳng thức : a  b ac Tính chất 1:  b  c Tính chất 2: Hệ 1: Hệ 2: Tính chất 3: Tính chất 4: Hệ 3: Hệ 4: Tính chất 5: Tính chất 6: Tính chất 7: Tính chất 8: Hệ quaû 5: a  b  ac  bc a  b  ac  bc ac  b  a  bc a  b  ac  bd  c  d ac  bc neáu c > ab ac  bc neáu c < a  b  a  b a b  c  c neáu c >  ab  a  b neáu c < c c  a  b   ac  bd  c  d  1 ab00  a b * n a  b  0, n  N  a  b n a  b  0, n  N *  n a nb Neáu a b hai số dương : a  b  a2  b2 Nếu a b hai số không âm : a  b  a2  b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :  x x  Định nghóa: x   ( x  R)  x x < Tính chất : x  , x  x , x  x , -x  x Với a, b  R ta có :  ab  a  b  ab  a  b  a  b  a  b  a.b   a  b  a  b  a.b  V Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác :  a > 0, b > 0, c >  bc  a  bc  ca  b ca  ab c  ab  abc A B C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xảy a=b Cho ba số không âm a; b; c ta có : Dấu "=" xảy a=b=c ab  ab abc  abc Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : Dấu "=" xảy a1 = a2 = = an a1  a2   an n  a1 a2 an n Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng phương pháp sau Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: a2  b2  c  ab  bc  ca với số thực a,b,c a2  b2   ab  a  b với a,b Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: a) Cho hai số dương a b thoả mãn 3a  2b  Chứng minh: ab  24 b) Cho hai số dương a b thoả mãn ab  Chứng minh: 4a  9b  12 Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Chứng minh rằng:  5 x 4x  x y  y z  z x  Ví dụ 3: Cho x,y,z số dương Chứng minh rằng:            y z  z x  x y  abc abc abc Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh :   9 a b c bc ca ab Ví dụ 5: Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh :    a  b  c 3 a b c ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Phương pháp: Để tìm GTLN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A  số M Bước 2: Chỉ biến để A  M Bước 3: Kết luận GTLN A M Để tìm GTNN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A  số m Bước 2: Chỉ biến để A  m Bước 3: Kết luận GTNN A m BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho x,y hai số dương thay đổi cho Bài 2: Bài 3:   Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y a P = xy b Q= x + y Cho x,y thay đổi cho  x   y  Tìm giá trị lớn biểu thức P = (3-x)(4-y)(2x+3y) Số thực x thay đổi thoả mãn điều kiện x  (3  x )2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x  (3  x )4  x (3  x )2 Bài 4: Cho x,y số dương thoả mãn : x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 T  ( x  )2  ( y  )2 x y Baøi 5: Cho x,y laø hai số dương có tổng 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 a A  ( x  )2  ( y  )2 x y b B  2( x  y )  xy 1 c C  (1  )(1  ) x y Baøi 6: Cho hai số dương x,y thay đổi thoả x+y=5 Tìm giá trị nhỏ tổng 1 P  x y Chú ý : Ngoài cách tìm GTLN GTNN cách sử dụng bất đẳng thức, ta sử dụng phương pháp điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x2  x2 y  2 y  x  x2 x  5x  Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Định nghóa tính chất : A A  A   A neáu A < Định nghóa: Tính chất : A 0 , A  A2 A2 = A Lưu ý: II Các định lý : a) Định lý : Với A  B  A = B  A2 = B2 b) Định lý : Với A  B  A > B  A2 > B2 III Các phương trình & cách giải : Phương pháp chung để giải loại KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI định nghĩa nâng lũy thừa * Daïng : A  B  A  B * Daïng : B  A B A  B , IV Các cách giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng : * Phương pháp : Ví dụ : Biến đổi dạng Giải phương trình sau : 1) x  x   x  x * Phương pháp : Ví dụ : 2) x  x   x  Sử dụng phương pháp chia khoảng Giải phương trình sau : x - (2x - 1) = Chuyên đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Các công thức tính chất bản:  A có nghóa A   A  với A   A neáu A   A2  A A    A A <  ( A )2  A với A   A.B  A B A,B   A.B   A  B A,B  Các định lý bản: Định lý 1: Với A,B : Định lý 2: Với A, B  : Định lý 3: AB AB A B Định lý 4: Với A, B  : AB  A2  B  Định lý 5:  A2  B2  A2  B2 B     A  B  A=0   B=0 A=0   B=0 A=K   B=K II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC: Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa khử thức Ví dụ : Giải phương trình : x   x   x  x ( x  2)  x ( x  5)  x ( x  3) x  x   x 3 x   x   x Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình : Định lý 6: Với A  K B  K ( K số ) : A=B x  x  x  x   x 2 3x  x  1 x 3x  3 x  x  3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình : 25  x  10  x  3  x  x   1  x  2( x  2) Phương pháp 4: Biến đổi phương trình hệ phương trình Ví dụ : Giải phương trình : x    x  x  12 x  14 x  x   2 x  Phương pháp 5: Biến đổi phương trình dạng tích số Ví dụ : Giải phương trình : ( x   x  2)(1  x  x  10)  Phương pháp 6: Biến đổi phương trình phương trình có chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ : Giải phương trình : x   x 1  x   x 1  x   2x   x   2x   2 II BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Cho phương trình : x  x   m2  6m  11  a Giải phương trình m=2 b Chứng minh phương trình có nghiệm với m Bài 2: Cho phương trình : x  x   m (1) m tham số a Giải phương trình (1) m=1 b Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chuyên đề 9: HÌNH HỌC PHẲNG A Kiến thức bổ sung quan trọng : 1.Định lý Ménélaus: Cho ba điểm A’,B’,C’ nằm ba đường thẳng chứa ba cạnh BC,CA,AB tam giác ABC cho chúng điểm nào, có hai điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi đó: ' '  '   A' , B' , C ' thaúng haøng    A B B C C A  1 ' ' '    AC B A C B  A C' B' A' B C Định lý Céva: Cho ba điểm A’,B’,C’lần lượt thuộc ba cạnh BC, CA, AB Khi ' '  '   AA' , BB' , CC ' đồng quy điểm I    A B B C C A  1 ' ' '    AC B A C B  A C' B' I B C A' Tỉ số diện tích : Cho hai điểm M, N nằm hai đường thẳng chứa hai cạnh AB AC tam giác ABC ta có hệ thức : dt(AMN ) AM AN  dt(ABC ) AB AC A A B O M N B C Đẳng thức Ptolémée: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ta có hệ thức: AC.BD=AB.CD+AD.BC Bất đẳng thức Ptolémée: Cho tứ giác ABCD ta có : AC.BD  AB.CD  AD.BC Đẳng thức xảy ABCD nội tiếp đường tròn D C Tứ giác nội tiếp: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt N , hai đường thẳng AB,CD cắt M Khi điều sau tương đương : A i Tứ giác ABCD nội tiếp   ADB  B ii ACB   ADC  1800  N iii ABC M O iv MA.MB=MC.MD v NA.NC=NB.ND C D Điều kiện tiếp xúc : Cho tam giác ABC điểm S thuộc tia đối tia BC Khi mệnh đề sau tương đương i SA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC   ii ACB  BAS A iii SA2 = SB.SC S O B B Các toán luyện tập: Bài 1: Chứng minh tam giác ABC, có ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ cắt điểm K nằm tam giaùc ( A'  BC , B'  AC , C '  AB ) C KA' KB' KC '   1 AA' BB' CC ' AK BK CK b)   2 AA' BB' CC ' AK AB' AC '   c) KA' B'C C ' B Bài 2: Trên trung tuyến AD tam giác ABC, cho điểm K cho AK=3KD;BK cắt AC P Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABP , BCP AK Bài 3: Cho tam giác ABC, điểm K AB cho  , điểm L trên BC KB CL cho  Goïi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tìm diện tích tam LB giác ABC biết diện tích tam giác BQC (đơn vị diện tích ) Bài 4: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AB=5AM, BC=3BN Gọi O giao điểm AN CM Tính tỉ số diện tích tam giác AOC diện tích tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC Gọi F giao điểm hai đường phân giác AD CF (D thuộc BC, E thuộc AB) Tính tỷ số diện tích tam giác ADF diện tích tam giác ABC theo ba cạnh BC=a,AC=b,AB=c Bài 6: Cho tam giác ABC AM,BN,CP đường phân giác Tính tỷ số diện tích tam giác MNP điện tích tam giác ABC theo cạnh BC=a,AC=b,AB=c Bài 7: Cho đường tròn O dây AB đường tròn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đường trò cắt C Kẻ dây CD đường tròn có đường kính OC (D khác A B )  CD cắt cung AB đường tròn (O) E ( E nằm C D ) Chứng minh :   b DE  DA.DB a BED  DAE Bài 8: Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB HC lấy hai điểm M,N   cho AMC  ANB  900 Chứng minh AN=AM a)  Bài 9: Cho tam giác ABC có A  450 Gọi M N chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC MN Tính tỷ số BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA  MN Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R ( R độ dài cho trước) M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ AB đến đường thẳng MN R Tính độ dài đoạn MN theo R Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh điểm M,N,I,K nằm đường tròn , Tính bán kính đường tròn theo R Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KAB theo R M,N thay đổi vẩn thỏa mãn giả thiết toán Bài 11: Cho hình vuông ABCD , M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng với B ) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho: góc MAN= góc MAB + góc NAD BD cắt AN AM tương ứng P Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định M N thay đổi Ký hiệu diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2 Chứng minh tỉ số S1 không thay đổi M N thay đổi S2 Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao BD Giả sử (C) đường tròn có tâm O nằm đoạn AC tiếp xúc với BA, BC M N Chứng minh điểm B, M, D, N nằm đường tròn Chứng minh góc ADM = góc CDN Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD , có hai đường chéo AC, BD vuông góc với Giả sử AB  3; BC  ; CD  Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng AC không chứa điểm B , dựng hình vuông ACMN Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng MD không chứa điểm N , dựng tia Mx vuông góc với MD lấy điểm E thuộc tia Mx cho ME =MD Chứng minh điểm C, D, M, N thuộc đường tròn Tính góc tứ giác ABCD Chuyên đề 10: LÝ THUYẾT SỐ I Phép chia hết: Định lý phép chia: Cho a,b   vaø b  , có hai số nguyên q, r sau cho a=bq+r với  r  b a, b  (b  0), q, r  ,0  r  b : a  bq  r Nhận xét :  Cho a,b   vaø b  Khi chia a cho b xảy b số dư :0,1,2, , b    Khi chia n+1 số nguyên cho n ( n  ) có hai số số dư Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Phép chia hết: a.Định nghóa: Cho a,b   b  Ta nói a chia hết cho b, ký hiệu a b , tồn số nguyên q cho a=bq đn a b  q   cho a=bq  Khi a chia hết cho b ta nói b ước a ký hiệu b a Số nguyên dương a>1 có hai ước dương gọi số nguyên tố Tập hợp số nguyên tố ký hiệu  Các số tự nhiên lớn số nguyên tố gọi hợp số  UCLN hai số nguyên dương a b số nguyên dương lớn chia hết cho a b ký hiệu: UCLN(a,b) hay (a,b).BCNN hai số nguyên dương a b số nguyên dương nhỏ chia hết cho a b, ký hiệu: BCNN(a,b) hay [a,b]  Hai số nguyên a b gọi nguyên tố , ký hiệu (a,b)=1 , ước chung lớn b Tính chất: Cho a, b, c, m   ; c, m  Khi : a) a b, b c  a c b) a  m, b  m  a  b  m ab  c,(b, c)   a  c c) d) a  b, a  c,(b, c)   a  bc e) Cho p  Khi : ab  p  a  p b p  Nhận xét:  Trong n số nguyên liên tiếp ( n  ) có số chia hết cho n  Tích n số nguyên liên tiếp ( n  ) chia hết cho n  Với n   ta coù : a n  b n  (a  b)(a n 1  a n 2 b   ab n 2  b n 1 ) Với n lẻ ta có : a n  b n  (a  b)(a n 1  a n 2 b   ab n 2  b n 1 ) Suy ra: * a, b   a  b an  b n  (a  b) (n  ) * a, b  , n lẻ a   b an  b n  (a  b) * a, b  , n chẵn a   b an  b n  (a  b)  Chia n cho p ta số dư 0,1,2, ,p-1 Đặc biệt p lẻ ta viết: p 1 n = kp+r với r  0, 1, ,  Ví dụ 1: Chứng minh : Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên m,n: n3  11n  mn(m2  n2 ) 3 n(n  1)(2n  1) Ví dụ 3: Với n chẵn, chứng minh : 20n  16n  3n  1 323 Ví dụ 4: Chứng minh với n số tự nhiên : 11n  122 n 1 133 5n 2  26.5n  82 n1  59 7.52 n  12.6n 19 II Đồng dư : Định nghóa: Cho a, b số nguyên n số nguyên dương Ta nói a đồng dư với b theo theo môđun n a b có số dư chia cho n , ký hiệu: a  b(mod n) a  b(mod n)  a-b n Nhận xét:  Trong trường hợp b  n thì: a  b(mod n) có nghóa chia a cho m có dư b Đặc biệt : a  0(mod n) có nghóa a chia hết cho n Tính chất: Cho a, b, c  , n   Khi :  Nếu a  b (mod n) vaø b  c (mod n) a  c (mod n)  Nếu a  b (mod n) a+c  b+c (mod n)  Nếu a  b (mod n) ac  bc (mod n)   Neáu a  b (mod n) an  bn (mod n) (a+b)n  bn (mod a), a>0 Định lý FETMAT: Nếu p số nguyên tố n p  n (mod p) ( n p  n chia hết cho p) với số nguyên n Đặc biệt: Cho p ,(a,p)=1 Khi : ap-1  (mod p) Ví dụ 1: Chứng minh raèng : 22002  4 31 22225555  55552222  Ví dụ 2: Tìm dư phép chia 32003 chia cho 13 Tìm dư phép chia 20042004 chia cho 11 III Số nguyên tố & hợp số số phương & số không phương : Số nguyên tố & hợp số: a Định nghóa: * Số tự nhiên a (a  2) gọi số nguyên tố a có ước số dương a * Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước số b Định lý số học: Mọi số lớn phân tích thừa số nguyên tố cách ( không kể thứ tự thừa số) Định lý: Mọi số tự nhiên a > phân tích dạng : a  p1n1 p2 n2 pk nk , p1,p2, ,pk số nguyên tố phân biệt , n1,n2, ,nk số tự nhiên, k  * Dạng phân tích gọi dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên a Số phương & số không phương : a Định nghóa số phương : * Số nguyên a số phương bình phương số nguyên , tức a=b2 , b số nguyên a số phương  a = b2 (b  ) b Số không phương : a p a p2 ( p nguyên tố )  a không phương b2  a  (b  1)2 với b    a không phương a có chữ số tận ( hoặc ) a có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục chẵn a có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ a có chử số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác a có chữ số tận hai chữ số lẻ… a không phương a có dạng sau 3k+2; 4k+2; 4k+3; 5k+2; 5k+3; 6k+2; 6k+5; 7k+3;… a không phương Chuyên đề 11: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Các phương pháp giải thường sử dụng : I Phương pháp 1: Phương pháp đánh giá miền giá trị biến Bài 1: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : y( x  1)  x  Bài 2: Tìm x; y   thỏa mãn : x  xy  x  y  19 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : xy  xy  243y  x  Baøi 4: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : ( x  y )( x  y )  ( x  y )3 Baøi 5: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : 7( x  y )  3( x  xy  y ) Bài 6: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : 12 x  xy  3y  28( x  y ) Bài 7: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức y x  x  y   x  y  xy Bài 8: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức x  xy  y  x y II Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình tích Bài 1: Tìm x; y nguyên thỏa mãn phương trình sau: x  y  xy  x  5y  15 2 x  y  xy  x  y  25 x  10 y  xy  x  5y  Chuyên đề 12: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Lấy số tự nhiên có hai chữ số chia cho số viết hai chữ số có thứ tự ngược lại thương dư 15 Nếu lấy số trừ số tổng bình phương chữ số Tìm số tự nhiên Tìm số có hai chữ số , biết chữ số gấp lần chữ số hàng đơn vị đem số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Cho số gồm hai chữ số Tìm số , biết tổng chữ số nhỏ số lần thêm 45 vào tích chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào 18 số thu viết chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số Bài 5: Bài 6: Chữ số hàng chục số có hai chữ số chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chổ hai chữ số cho số số ban đầu Tính số ban đầu Cho số gồm hai chữ số Tìm số , biết tổng hai chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho Bài 7: Bài 8: Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết đem số chia cho tổng chữ số thương dư , đem số chia cho tích chữ số thương dư Một số nguyên dương có hai chữ số Biết tổng hai chữ số số nguyên dương nầy tích hai chữ số cộng với Nếu lấy tổng hai chữ số nhân với kết với số nguyên dương cho Tìm số nguyên dương có tính chất treân Chúc em thành công - ... theo R M,N thay đổi vẩn thỏa mãn giả thi? ??t toán Bài 11: Cho hình vuông ABCD , M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng với B ) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho: góc MAN= góc MAB... Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xảy a=b Cho ba số không âm a; b; c ta có : Dấu "=" xảy a=b=c ab  ab abc  abc Tổng quát : Cho n số không... phương pháp chia khoảng Giải phương trình sau : x - (2x - 1) = Chuyên đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Các công thức tính chất bản:  A có nghóa A   A  với A   A A