ctst h3

Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Chân Trời Sáng TạoBÀI 2 HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC VUÔNG 1.. Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lư

Trang 1

Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 2

HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC VUÔNG

1 Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Định lí: Trong tam giác vuông:

 Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc nhân với côsin góc kề

 Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc nhân côtang với góckề

Cho ABC vuông tại A, ta có:

 ACBC.sinB BC .cosC

 AB BC .sinCBC.cosB

 ACAB.tanBAB.cotC

 ABAC.tanC AC.cotB

2 Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tính các cạnh và góc của tam giác đó

Trang 2

c b

a B

A

C

CHỦ ĐỀ 1 GIẢI TAM GIÁC

Phương pháp: Để giải tam giác vuông ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc trong tam giác vuôngCho ABC vuông tại A có BC a AC b AB c ,  , 

b a sinB a cosC

c a sinC a cosB

b c tanB c cotC

c b tanC b cotB

Chú ý: Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm:

+ Giải tam giác vuông khi biết độ dài 1 cạnh và số đo 1 góc nhọn

+ Giải tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh

Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 10 cm, góc C bằng 300

Trang 3

Trang 4

a) Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

Trang 5

Trang 6

Trang 7

CHỦ ĐỀ 2 TÍNH CẠNH, GÓC VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Phương pháp

Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức trên bằng cách kẻ thêm đường cao

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC12cm B, 600 Hãy tính C AB BC , , và diện tích tam giác ABC

Trang 8

Trang 9

K

N B

C A

a Từ B kẻ BK vuông góc với AC tại K

b) AN.BC = BK.AC = 2SABC  ACAN BC BK. 11,72cm

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB =16,AC =14 và µB =600.

Trang 10

1

ABC ABC

Trang 11

Trang 12

Trang 13

Xét tam giác ABH vuông tại H, có: BH 15,8(cm) CH 22, 7(cm) BC38,5(cm)

Kẻ BH CD H CD  , ta có tứ giác ABHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Bài 13. Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC  , B42 ,0 AB12cm BC, 22cm Tính các cạnh

và các góc của tam giác ABC

Trang 14

AC

B

b) Tam giác ABC vuông ở A nên: B C 900  C 900 B 400

Trang 15

a) Xét tam giác ABD, có ABAD nên tam giác ABD cân tại B

Kẻ BH AD H là trung điểm của AD

Xét tam giác AHB vuông tại H Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:



0.sin 45 9 2( )

2 18 2( ).cos 9 2

3cm

4cm

30°

- Kẻ BH CD H

- Chú ý diện tích đa giác ABCD bằng tổng diện tích hai đa giác ABHD và BHC

Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB21 ,cm C 400 Tính độ dài đường phân giác BD của ABC , với D nằm trên cạnh AC

Lời giải

Trang 16

1 10cm

14cm

B A

Ta có: ABD cân tại A AB AD10cm

Trang 17

Do ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến  HBHC4cm

Từ ABH vuông tại H, ta có:

Trang 18

21

M

B

A

Vẽ đường cao AH của ABC cắt BM tại O

Do ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến, đường phân giác

tanB

tan tanA

b Phân giác trong của góc B cắt AC tại I Tính AI

c Vẽ AH vuông góc với BI tại H Tính AH

Lời giải

Trang 19

H

I 15 10

C B

b) Chú ý: Hai đường phân giá của hai góc kề bù vuông góc với nhau

c) Ta có: BM là phân giác của góc B Từ đó tính được số đo các góc của tam giác MAB

*) Chú ý: Tam giác MAB và ABC đều là các tam giác nửa đều, từ đó tính được tỉ số đồng dạng là 0,5.

Trang 20

CHỦ ĐỀ 3 ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

DẠNG 1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH

Bài 11. Một khúc sông rộng khoảng 250m Một con đò chéo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phảichèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng baonhiêu độ.(góc  ở hình vẽ)

Trang 21

Vậy chiều rộng của con sông là 147,92m

Bài 13. Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, bạn Minh Hiền vạch mộtđường vuông góc với AB Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng AC 30m., rồi vạch CD vuông góc với phương BC cắt AB tại D (xem hình vẽ) Đo AD 20m,từ đó bạn Minh Hiền tính đượckhoảng cách từ A đến B Em hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB

Trang 22

Lời giải

Xét BCD vuông tại C và CA là đường cao, ta có:

2 2

Trang 23

b) 9km/h=2,5m/s

Gọi t(s) là thời gian đi để tàu đạt được độ sâu 200m

Quảng đường tàu đi được trong thời gian t(s) là:

trực tiếp các khoảng cách từ C đến A và từ C đến B Biết AB50 m ABC, 400 Tính các khoảng cách

CA và BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)

Lời giải

Trang 24

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

.tan 50.tan 40 42

ACAB ABC  m

.tan

ABBC ABC Suy ra  0  

65cos40

Lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến MN

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có: OH = OA.sinA = 18.sin44° ≈ 12,5 (m)

Vậy khoảng cách từ vị trí O đến khu đất khoảng 12,5 m

Bài 17. Hai chiếc tàu thủy B và C cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo thành mộtgóc 60° (Hình vẽ) Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí/giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí/giờ Hỏi sau 1,5giờ hai tàu B và C cách nhau bao nhiêu hải lí (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trang 25

Trang 26



tan 28tan

Trang 27

Bài 19. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như hình dưới dây Tính khoảng cách giữachúng (làm tròn đến met)

Lời giải:

Xét tam giác AIKvuông tai I ta có:

tanAKI AI AI IK.tanAKI 380.tan 50 453m

Trang 28

DẠNG 2 ƯỚC LƯỢNG CHIỀU CAO

Bài 20. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,2 cm Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp

xỉ 42 0 Tính chiều cao của cột đèn?

Áp dụng hệ thức cạnh và góc trong tam giác ABC vuông tại A, ta có

0tanC AB AB 7, 2 tan 42 AB 6, 75cm

AC

Bài 21. Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 280 và có độ cao là 2,1cm Tính độ dài của mặt cầu

trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Trang 29

Gọi AB là chiều cao và BC là chiều dài của cầu trượt

Ta có độ dài cầu trượt là: 2,1 0 4,5

sin 28  m

Bài 22. Thang xếp chữ A gồm hai thang đơn tựa vào nhau Để an toàn, mỗi thang đơn tạo với mặt đấtmột góc khoảng 75 Nếu muốn tạo một thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phảidài bao nhiêu?

Lời giải

Hình vẽ minh họa bài toán:

Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến hay H là trung điểm của BC

Xét ABH vuông tại H, ta có:

Trang 30

Bài 23. Một ngurời quan sát đứng cách một cái tháp 10 m , nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp lần lượtdưới 1 góc 55 và 10 so với phương ngang của mặt đất Hãy tính chiều cao của tháp

Lời giải

Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: AH BD10 m

Xét AHB vuông tại H , ta có:

Trang 31

Bài 24. Đo chiều cao quả núi (hình vẽ)

Để đo chiều cao AB của một ngọn núi, ta chọn một điểm C và điểm D cách nhau 50m sao cho tia DChướng về “tâm” ngọn núi Dùng giác kế ta đo được hai góc C 22 18'0 và góc D 20 36'0 Tính chiềucao bằng mét của quả núi

Lời giải

Trong tam giác vuông ABC ta có: BC = AB.cotC

Trong tam giác vuông ABD ta có : BD = AB.cotD

Suy ra: CD = BD – BC = AB.(cotD – cotC)

50cot cot cot 20 36' cot 22 18'

CD AB

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ)

b) Tính chiều cao của toà nhà, (làm tròn đến hàng đơn vị)

Lời giải:

Hình vẽ minh họa bài toán

Trang 32

a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’

' ' 15tan tan '

20 m Khi đó chiều cao của tòa tháp bằng bao nhiêu?

Bài toán được minh họa bởi hình vẽ trên Trong đó chiều cao của tòa tháp là đoạn GF

Áp dụng hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông ta có

 0

.tan 20.tan 60 20 3

Trang 33

Bài 27. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 340và bóng của một ngọn tháp trênmặt đất dài 86m Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

Trang 34

b) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 5 thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay

AC

BC

Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi máy bay cách sân bay 137, 7 km

Bài 30. Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải đăngđược trung tâm sách kỷ luật Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất Hải đăng

Kê Gà được xây dựng từ năm 1897-1899 và toàn bộ bằng đá Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so vớimực nước biển Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km)

Một người đi thuyền thúng trên biển, muốn đến ngọn hải đăng có độ cao 66 ,m người đó đứng trên mũithuyền và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là

25  Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng (làm tròn đến m)

Trang 35

Lời giải

Xét ABC vuông tại ,A ta có:

Vậy khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng là 142 m

Bài 31. Trường bạn Trúc Linh có một chiếc thang dài 6 m Cần đặt chân thang cách chân tường mộtkhoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65 (tức là đảm bảo thang không

bị đổ khi sử dụng)

Lời giải

Trang 36

Xét ABC vuông tại ,A ta có:

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng 2,5 m

Bài 32. Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạndưới góc 20 so với phương ngang của mực nước biển Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãngđường dài bao nhiêu mét?

Trang 37

Vậy muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài khoảng 961, 6m

Bài 33. Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5, 7 cm được chiếu bởi một chùm tia gamma Đểtránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3 cm (xem hình vẽ) Tính góctạo bởi chùm tia với mặt da và chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?

Lời giải

Xét ABC vuông tại A , ta có:

5,7tan

Trang 38

Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc C bằng góc C’

' 'tan tan '

Giả sử: A là đài hải đăng nơi người quan sát đứng nhìn thấy tàu

B là chân đài hải đăng ở mặt nước biển

C là vị trí con tàu trên mặt biển

Khi đó BC là khoảng cách cần tìm

Ta có: BC = 42.cot1 420  1415,13 met 0,764 (hải lí)

Bài 36. Để đo chiều cao của một đồn giặc nằm trên một quả đồi cao (đỉnh D mà không thể tới gần được)người ta sử dụng một phép đo như sau:

Chọn một điểm A trên mặt đất đặt một giác kế thẳng đứng(giác kế cao 1,5m)

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh này ta nhìn thấy đỉnh D quả đồi Đọc trên giác kế có số

đo 420của góc DAC

Trên đoạn thẳng AC từ chân đồi tới điểm A ta chọn một điểm B cách A là 50m

Trang 39

Quay thanh giác kế và khi ngắm theo thanh này ta cũng nhìn thấy đỉnh D của quả đồi Đọc giác kế ta có

số đo là 450 của góc DBC Hãy tính chiều cao của quả đồi

(hình vẽ minh họa bên dưới)

0

42

0 45

Ta có:Trong tam giác vuông ACD thì h = AC.tan420

Trong tam giác vuoongBCD có: BC = h.cot450

Vậy ta có h = (50+h.cot450).tan420 từ đó suy ra h500m do đó chiều cao của quả đồi là 500+1,5 =501,5(m)

Bài 37. Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao một cây dừa, với các kíchthước đo được như hình bên Khoảng cách từ góc cây đến chân người thợ là 4,8mvà từ vị trí chân đứngthẳng trên mặt đất đến mắt của người nhắm là 1,6m Hỏi với các kích thước trên, người thợ đo đượcchiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét)

Lời giải:

Trang 40

Vậy chiều cao của cây dừa là 16m

Bài 38. Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là 40 0.Vậy muốn nâng một vật nặng lêncao 8,1 mét thì cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao của xe là 2, 6mét, chiều cao của vậ là 1 mét(làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân )

Lời giải

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	4,32 MB