chương 9 đa giác đa giác đều

ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀUA/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳngchứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.. 2/ Đa giác đều là đa giác c

TUYỂN TẬP

Chuyên đề 9

ĐA GIÁC

ĐA GIÁC ĐỀU

Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ

Zalo-hotline : 03.4348.1625-03.5352.6757

CHƯƠNG 9 ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1/ Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó

2/ Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau

VD2: Tứ giác đều (Hình vuông) có 4 cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau bằng

90o

3/ Bổ sung

+ Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n  2).180o

+ Số đường chéo của một đa giác n cạnh (n > 2) là

( 3).

2

n n

(tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài)

+ Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc kề một cạnh là tâm của đa giác đều Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa giác đều Có một đường tròn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều

B MỘT SỐ VÍ DỤ

của các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều

Giải ABCD là hình thoi có A 60o  B D  120o

)

  120o

E H

  

Tương tự: F G  120o

Vậy EBFGDH có tất cả các góc bằng nhau, mặt khác EBFGDH cũng có tất cả các cạnh bằng nhau (bằng nửa cạnh hình thoi)

Vậy EBFGDH là một lục giác đều

Ví dụ 2 Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 7

Giải Tìm cách giải

Bài này biết mối liên hệ giữa số đường chéo và số cạnh nên hiển nhiên chúng ta đặt số cạnh của đa giác là n biểu thị số đường chéo là

( 3) 2

n n 

từ đó ta tìm được số cạnh

Trình bày lời giải

Đặt số cạnh của đa giác là n (n ≥ 3) thì số đường chéo là

( 3) 2

n n 

theo đề bài ta có:

2

( 3)

7 5 14 0 ( 2)( 7) 0 2

n n



         

Vì n ≥ 3 nên n – 7 = 0 ⇔ n = 7

Vậy số cạnh của đa giác là 7

Ví dụ 3 Tổng tất cả các góc trong và một góc ngoài của một đa giác có số đo là

Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Giải Tìm cách giải

Nếu ta đặt n là số cạnh, α là số đo một góc ngoài của đa giác

   và (n - 2) 180o

là một số nguyên

Do đó suy ra (n  2).180o   47058,5o, từ đó ta có α là số dư của 47058,5o chia cho

180o

Bằng cách suy luận như vậy, chúng ta có lời giải sau:

Trình bày lời giải

Gọi n là số cạnh của đa giác (n ∈ N, n ≥ 3)

Vì tổng các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác có số đo là 47058,5o nên ta có

(n  2).180o   47058,5o(α là số đo một góc ngoài của đa giác với 0o 180o

   )

(n 2).180o 261.180o 78,5o

     

2 261 263

n n

    

Vậy số cạnh của đa giác là 263

Ví dụ 4 Tổng số đo các góc của một đa giác n - cạnh trừ đi góc A của nó bằng

570o

Tính số cạnh của đa giác đó và A

Giải

Tìm cách giải

nhìn nhận, ta có thể nhận thấy chỉ có thêm điều kiện là n ∈ N, n ≥ 3 và 0o A 180o

Từ đó ta có lời giải sau:

Trình bày lời giải

Ta có : (n 2).180o A570o  A (n 2).180o 570o

Vì 0o A 180o  0 (  n 2).180o 570o  180o  570o  (n 2).180o  750o

6 n 6 6 n 6

      

Vì n ∈ N nên n = 6

Đa giác đó có 6 cạnh và A  (6 2).180o 570o 150 o

Ví dụ 5 Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ) Tính các góc của tam giác ABC

Giải

Tìm cách giải

Vì AD là cạnh của lục giác đều và ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ra ∆ABD,

∆ACD, ∆BCD là các tam giác cân đỉnh D và tính được số đo các góc ở đỉnh

Do vậy ∆ABC sẽ tính được số đo các góc

Trình bày lời giải

Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:

 (6 2).180  

6

o

ADB    DAB DBA 

 (5 2).180  

5

o

ADC    DACDCA

Suy ra BDC 360o  120o 108o  132o

Ta có ∆BDC (DB = DC) cân tại D

Do đó:

  180 132

24 2

o

DBCDCB  

Suy ra: BAC30o36o 66 ;o ABC30o24o 54 ;o BCA24o36o 60o

Ví dụ 6 Cho lục giác đều ABCDEF Gọi M, L, K lần lượt là trung điểm EF, DE,

CD Gọi giao điểm của AK với BL và CM lần lượt là P, Q Gọi giao điểm của CM

và BL là R Chứng minh tam giác PQR là tam giác đều

Giải

Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có các cạnh và các góc đôi một bằng nhau Các

Đặt BAK   CBL DCM  ;LBA

    120o

LBA  CKA EMC DLB     

Trong tam giác CKQ có CQK     180o CQK 60o

Trong tam giác PBA có APB    180o  APB60o

Từ đó suy ra RQP RPQ 60o

Vậy ∆PQR đều

Ví dụ 7 Cho bát giác ABCDEFGH có tất cả các góc bằng nhau, và độ dài các cạnh

là số nguyên Chứng minh rằng các cạnh đối diện của bát giác bằng nhau

Giải

Các góc của bát giác bằng nhau, suy ra số đo của mỗi góc là

(8 2).180

135 8

o

o





Kéo dài cạnh AH và BC cắt nhau tại M

Ta có: MAB MBA   180o 135o  45o

suy ra tam giác MAB là tam giác vuông cân

Tương tự các tam giác CND, EBF, GQH cũng là các tam giác vuông cân, suy ra MNPQ là hình chữ nhật

Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; HA = h

Từ các tam giác vuông cân, theo định lí Py-ta-go, ta có:

,

MB CN 

MN   b

PQ  f 

Do MN = PQ nên

1

2

          

Do f và b là số nguyên nên vế phải của đẳng thức trên là số nguyên, do đó vế trái là

số nguyên Vế trái chỉ có thể bằng 0, tức là f = b, hay BC = FG

Tương tự có AB = EF, CD = GH, DE = HA

Nhận xét Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vô tỷ chúng ta đã giải được bài toán

trên Cũng với kỹ thuật đó, chúng ta có thể giải được bài thi hay và khó sau: Cho

hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau

Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu

tỉ thì EF = IJ

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Hưng Yên, năm học 2009 - 2010)

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

10.1 Số đường chéo của một đa giác lớn hơn 14, nhưng nhỏ hơn 27 Hỏi đa giác

đó bao nhiêu cạnh?

10.3 Cho ∆ABC có ba góc nhọn và M là điểm bất kì nằm trong tam giác Gọi

  

1 , , 1 1

A B C là các điểm đối xứng với M lần lượt qua trung điểm các cạnh BC, CA,

AB

10.4 Một ngũ giác đều có 5 đường chéo và nhóm 5 đường chéo này chỉ có một loại độ dài (ta gọi một loại độ dài là một nhóm các đường chéo bằng nhau) Một lục giác đều có 9 đường chéo và nhóm 9 đường chéo này có 2 loại độ dài khác nhau (hình vẽ)

Xét đa giác đều có 20 cạnh Hỏi khi đó nhóm các đường chéo có bao nhiêu loại độ dài khác nhau?

tính ABC

a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân

b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đều

10.7 Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CD, EA và I, J lần lượt là trung điểm của MP, NQ Chứng minh rằng IJ

ED

IJ 

10.8 Cho lục giác đều ABCDEF Gọi A’, B’, C’, D’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều

10.9 Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE; BC và EF; CD và

AE vừa song song vừa bằng nhau Lục giác ABCDEF có nhất thiết là lục giác đều hay không?

10.10 Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi bất kì luôn tìm được ba đường chéo có độ dài là ba cạnh của một tam giác

10.11 Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của nó

10.12 Muốn phủ kín mặt phẳng bởi những đa giác đều bằng nhau sao cho hai đa giác kề nhau thì có chung một cạnh Hỏi các đa giác đều này có thể nhiều nhất bao nhiêu cạnh?

10.13 Cho lục giác ABCDEF có tất cả các góc bằng nhau, các cạnh đối không

đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu trên bằng nhau và khác 0 thì chúng có thể lập được một lục giác có các góc bằng nhau

10.14 Chứng minh rằng trong một lục giác bất kì, luôn tìm được một đỉnh sao cho

ba đường chéo xuất phát từ đỉnh đó có thể lấy làm ba cạnh của một tam giác

10.15 Cho lục giác ABCDEG có tất cả các cạnh bằng nhau A C E   B D G  Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác song song với nhau

§2 PHÉP QUAY

Bạn Ánh cắt một miếng bìa có dạng hình tròn tâm O , ghim miếng bìa đó lên bảng tại tâm O và gắn một đầu của chiếc kim vào tâm O của hình tròn Giả sử chiếc kim

đi qua điểm A thuộc đường tròn (O) Bạn Ánh quay chiếc kim quanh điểm O , theo chiều kim đồng hồ, sao cho chiếc kim đi qua điểm B thuộc đường tròn (O) với

(Hình 23)

I KHÁl NIỆM

1 Cho điểm O cố định

a) Xét điểm M tuỳ ý (khác điểm O) và đường tròn tâm O bán kính OM Hãy tìm điểm M' thuộc đường tròn (O; OM) sao cho chiều quay từ tia OM đến tia OM'

b) Xét điểm N tuỳ ý (khác điểm O) và đường tròn tâm O bán kính ON Hãy tìm điểm N', thuộc đường tròn (O; ON) sao cho chiều quay từ tia ON đến tia ON '

Nhận xét

tâm O

• Cho điểm O cố định và số thực α Bằng cách tương tự như trên, ta nhận được: Phép quay thuận chiều o(0o   o 360 )o tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M′ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay

tâm O

Ví dụ 1 Cho hình lục giác đều A A A A A A1 2 3 4 5 6 có tâm O (Hình 26)

a) Tìm điểm đối xứng của mỗi điểm A A A A A A1 , 2 , , 3 4 , , 5 6 qua tâm O

b) Chỉ ra phép quay thuận chiều tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm

1 , 2 , , 3 4 , , 5 6

A A A A A A thành điểm đối xửng vởi nó qua tâm O

Giải a) Điểm đối xứng của mỗi điểm A A A A A A1 , 2 , , 3 4 , , 5 6 qua tâm O lần lượt là

4 , , 5 6 , , 1 2 , 3

A A A A A A

b) Phép quay thuận chiều 180 tâm O sẽ biến mỗi điểm 123456 AAAAAA ,,,,, thành điểm đối xứng với nó qua tâm O

Vận dụng Cho hình vuông ABCD tâm O Chì ra phép quay thuận chiều tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm A, B, C, D thành điểm đối xứng vởi nó qua tâm O

II PHÉP QUAY GIỮ NGUYÊN HÌNH ĐA GIÁC ĐỀU

miếng bìa đó lên bảng tại điểm O (Hình 27)

tâm O (Hình 28a) Hãy cho biết qua phép quay trên:

- Các điểm A A A A A A1 , 2 , , 3 4 , , 5 6 lần lượt quay đến vị trí mới là các điểm nào

- Hình lục giác đều A A A A A A1 2 3 4 5 6 sau khi quay đến một hình mới có trùng với chính

nó hay không

tâm O (Hình 28b)

Hãy cho biết qua phép quay trên:

Các điểm A A A A A A1 , 2 , , 3 4 , , 5 6 lần lượt

- Hình 28 quay đến vị trí mới là các điểm nào

- Hình lục giác đều A A A A A A1 2 3 4 5 6 sau khi quay đến một hình mởi có trùng với chính

nó hay không

Nhận xét

1 2 3 4 5 6

A A A A A A , với 0 lần lượt nhận các giá trị 10 60 ,o 02 120 , ,o 06 360 o

     

1 2 3 4 5 6

A A A A A A , với 0 lần lượt nhận các giá trị 10 60 ,o 02 120 , ,o 06 360 o

     

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Cho hình đa giác đều A A A n1 2 (n  3,n N ) có tâm O

của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đểu đó

Chú ý

Người ta chứng minh được rằng chỉ có các phép quay sau đây giữ nguyên hình đa giác đều A A A n1 2 (n  3,n N ) với tâm O : các phép quay thuận chiều 0 tâm O và

0 0 0

1 2

360 2.360 360

o n

n

      

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD tâm O (Hình 29) Nêu các phép quay giữ nguyên hình vuông đó

Giải

Các phép quay giữ nguyên hình vuông ABCD là:

• Bốn phép quay thuận chiều 0 tâm O với 0 lần lượt nhận các giá trị

90 ,180 , 270 ,360 o o o o

• Bốn phép quay ngược chiều 0 tâm O với 0 lần lượt nhận các giá trị

90 ,180 , 270 ,360 o o o o

BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình vuông ABCD có tâm O (Hình 30)

Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D thì các điểm B, C, D tương ứng biến thành các điểm nào?

Bài 2 Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O (Hình 31)

a) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì các điểm B, C, D,

E tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho

Bài 3 Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình đa giác đều đã cho

Bài 4 Vẽ trên giấy 18 hình tam giác đều bằng nhau và ở vị trí như Hình 33 (còn gọi là hình chong chóng)

a) Hãy đánh dấu 6 điểm mút của hình chong chóng sao cho 6 điểm mút đó là các đỉnh của một hình lục giác đều tâm O

b) Hãy chỉ ra những phép quay tâm O giữ nguyên hình chong chóng

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

Bài 1 Quan sát các đa giác ở Hình 34 và cho biết đa giác nào là đa giác lồi

Bài 2 Cho các vật thể có dạng đa giác đều như ở Hình 35 Gọi tên từng đa giác đều đó

Bài 3 Mỗi phát biểu sau đây có đúng hay không? Vì sao?

a) Đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác

đó là đa giác lồi

b) Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau là tứ giác đều

c) Tứ giác có tất cả các góc bằng nhau là tứ giác đều

Bài 4 Quan sát từng đa giác đều và tìm số thích hợp cho ? trong bảng sau:

)

Bài 5 Quan sát các hình 36a, 36b, 36c và dùng compa, thước thẳng để vẽ lục giác đều theo cách đó

Bài 6.

a) Ở Hình 37a, ta thực hiện phép quay ngược chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGH (có 7 cạnh) và biến các điểm A, B, C, D, E, G, H lần lượt thành các điểm H, A, B, C, D, E, G Phép quay đó là phép quay nào?

b) Ở Hình 37b, ta thực hiện phép quay thuận chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGH (có 7 cạnh) và biến các điểm A, B, C, D, E, G, H lần lượt thành các điểm B, C, D, E, G, H, A Phép quay đó là phép quay nào?

c) Ở Hình 38a, ta thực hiện phép quay thuận chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGHK (có 8 cạnh) và biến các điểm A, B, C, D, E, G, H, K lần lượt thành các điểm B, C, D, E, G, H, K, A Phép quay đó là phép quay nào?

d) Ở Hình 38b, ta thực hiện phép quay ngược chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGHK (có 8 cạnh) và biến các điểm A, B, C, D, E, G, H, K lần lượt thành các điểm K, A, B, C, D, E, G, H Phép quay đó là phép quay nào?

Bài 7 Hãy tìm hiểu và chỉ ra những vật thể trong thực tiễn mà cấu trúc của nó có dạng hình đa giác đều