BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác 2/ Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc VD1: Tam giác có cạnh ba góc 60o VD2: Tứ giác (Hình vng) có cạnh bốn góc 90o 3/ Bổ sung o + Tổng góc đa giác n cạnh (n > 2) (n - 2).180 (n 3).n + Số đường chéo đa giác n cạnh (n > 2) o + Tổng góc đa giác n cạnh (n > 2) 360 (tại đỉnh chọn góc ngồi) + Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc kề cạnh tâm đa giác Tâm O cách đỉnh, cách cạnh đa giác Có đường tròn tâm O qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60o Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác Giải ABCD hình thoi có ∠A = 60o => ∠B = ∠D = 120o ∆AEH tam giác (Vì tam giác cân có góc 60o) => ∠E = ∠H = 120o Tương tự: ∠F = ∠G = 120o Vậy EBFGDH có tất góc nhau, mặt khác EBFGDH có tất cạnh (bằng nửa cạnh hình thoi) Vậy EBFGDH lục giác Ví dụ Tìm số cạnh đa giác biết số đường chéo số cạnh Giải Tìm cách giải BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài biết mối liên hệ số đường chéo số cạnh nên hiển nhiên đặt số cạnh n n 3 đa giác n biểu thị số đường chéo từ ta tìm số cạnh Trình bày lời giải n n 3 Đặt số cạnh đa giác n (n ≥ 3) số đường chéo n n 3 2 theo đề ta có: n 7 n2 5n 14 n 2 n Vì n ≥ nên n – = 0 n = Vậy số cạnh đa giác Ví dụ Tổng tất góc góc ngồi đa giác có số đo 47058,5 Hỏi đa giác có cạnh? Giải Tìm cách giải 0 Nếu ta đặt n số cạnh , α số đo góc ngồi đa giác 180 (n - 2).1800 0 số nguyên Do suy (n 2).180 47058,5 , từ ta có α số dư 47058,5 chia cho 1800 Bằng cách suy luận vậy, có lời giải sau: Trình bày lời giải Gọi n số cạnh đa giác (n N, n ≥ 3) Tổng số đo góc đa giác (n 2).180 Vì tổng góc góc ngồi đa giác có số đo 47058,5 nên ta có (n 2).1800 47058,50 ( α số đo góc ngồi đa giác với 00 1800 ) (n 2).1800 261.1800 78,50 n 261 n 263 Vậy số cạnh đa giác 263 Ví dụ Tổng số đo góc đa giác n - cạnh trừ góc A 570 Tính số cạnh đa giác A Giải Tìm cách giải BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Theo công thức tính tổng góc ta có (n - 2) 1800 – A = 5700 Quan sát nhìn nhận, ta nhận thấy có thêm điều kiện n N, n ≥ 00 < A < 1800 Từ ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Ta có (n - 2) 1800 – A = 5700 A = (n - 2).1800 – 5700 Vì 00 < A < 1800 < (n - 2) 1800 – 5700 < 1800 5700 < (n - 2) 1800 < 7500 19 25 1 n 2 n6 6 6 Vì n N nên n = Đa giác có cạnh A = (6 - 2) 1800 – 5700 = 1500 Ví dụ Một lục giác ngũ giác chung cạnh AD (như hình vẽ) Tính góc tam giác ABC Giải Tìm cách giải Vì AD cạnh lục giác ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ∆ABD, ∆ACD, ∆BCD tam giác cân đỉnh D tính số đo góc đỉnh Do ∆ABC tính số đo góc Trình bày lời giải Theo cơng thức tính góc đa giác đều, ta có: 1800 1200 DAB ADB DBA 300 ; A 1800 1080 DAC ADC DCA 36 ; D 0 0 Suy BDC 360 120 108 132 B C Ta có ∆BDC (DB = DC) cân D Do 1800 1320 DBC DCB 240 0 0 0 Suy BAC 30 36 66 ; ABC 30 24 54 ; BCA 24 36 60 Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, L, K trung điểm EF, DE, CD Gọi giao điểm AK với BL CM P, Q Gọi giao điểm CM BL R Chứng minh tam giác PQR tam giác BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Giải Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có cạnh góc đơi B Các góc lục giác 120 A Đặt BAK CBL DCM ; LBA LBA CKA EMC DLB 120 C Q P K R 0 Trong tam giác CKQ có CQK 180 CKQ 60 F D L M 0 Trong tam giác PBA có APB 180 APB 60 E Từ suy RQP RPQ 60 Vậy ∆PQR Ví dụ Cho bát giác ABCDEFGH có tất góc nhau, độ dài cạnh số nguyên Chứng minh cạnh đối diện bát giác Giải 2 180 Các góc bát giác nhau, suy số đo góc 1350 Kéo dài cạnh AH BC cắt M Ta có: MAB MBA 1800 1350 450 suy tam giác MAB tam giác vuông cân A Tương tự tam giác CND, EBF, GQH tam giác H vuông cân, suy MNPQ hình chữ nhật Q Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; N C B M b a c h D d g f G e F E P HA = h Từ tam giác vng cân, theo định lí Py-ta-go, ta có: MB a , CN PQ Tương tự a b c e c nên f e MN a b c g Do MN = PQ nên f g a c e g f b Do f b số nguyên nên vế phải đẳng thức số nguyên, vế trái số nguyên Vế trái 0, tức f = b, hay BC = FG Tương tự có AB = EF, CD = GH, DE = HA BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Nhận xét Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vơ tỷ giải toán Cũng với kỹ thuật đó, giải thi hay khó sau: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Hưng Yên, năm học 2009 - 2010) C BÀI TẬP VẬN DỤNG 10.1 Số đường chéo đa giác lớn 14, nhỏ 27 Hỏi đa giác cạnh? 10.2 Tổng số đo góc đa giác n - cạnh trừ góc A 2570 Tính số cạnh đa giác A 10.3 Cho ∆ABC có ba góc nhọn M điểm nằm tam giác Gọi A1; B1; C1 điểm đối xứng với M qua trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh đoạn AA1; BB1; CC1 qua điểm b)Xác định vị trí điểm M để lục giác AB1CA1BC1 có cạnh 10.4 Một ngũ giác có đường chéo nhóm đường chéo có loại độ dài (ta gọi loại độ dài nhóm đường chéo nhau) Một lục giác có đường chéo nhóm đường chéo có loại độ dài khác (hình vẽ) Xét đa giác có 20 cạnh Hỏi nhóm đường chéo có loại độ dài khác nhau? 10.5 Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cạnh ABC = 2DBE Hãy tính ABC 10.6 Cho ngũ giác ABCDE có cạnh A B C a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà 10.7 Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, EA I, J trung điểm MP, NQ Chứng minh IJ song song với ED IJ ED 10.8 Cho lục giác ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ trung điểm cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh A’B’C’D’E’F’ lục giác 10.9 Cho lục giác lồi ABCDEF có cặp cạnh đối AB DE; BC EF; CD AE vừa song song vừa Lục giác ABCDEF có thiết lục giác hay không? 10.10 Chứng minh ngũ giác lồi ln tìm ba đường chéo có độ dài ba cạnh tam giác 10.11 Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đường chéo 10.12 Muốn phủ kín mặt phẳng đa giác cho hai đa giác kề có chung cạnh Hỏi đa giác nhiều cạnh? 10.13 Cho lục giác ABCDEF có tất góc nhau, cạnh đối không Chứng minh BC EF DE AB AF CD Ngược lại có đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu khác chúng lập lục giác có góc 10.14 Chứng minh lục giác bất kì, ln tìm đỉnh cho ba đường chéo xuất phát từ đỉnh lấy làm ba cạnh tam giác 10.15 Cho lục giác ABCDEG có tất cạnh A C E B D G Chứng minh cặp cạnh đối lục giác song song với