Tính cấp thiết của đề tài
Trong thời đại hiện đại, sự phát triển của công nghệ và khoa học đã làm cho độ nhạy trở thành một khía cạnh quan trọng trong nhiều lĩnh vực: y tế, môi trường, công nghệ thông tin, tài chính Tính quan trọng của việc hiểu và phân tích độ nhạy không chỉ là để hiểu rõ về các hệ thống và quy trình, mà còn để đảm bảo sự an toàn, hiệu suất và sự thành công của các ứng dụng và dự án Việc nghiên cứu về độ nhạy đề xuất một cơ hội phát triển kiến thức sâu sắc về cách mà các biến đổi nhỏ trong điều kiện hoặc thông tin đầu vào có thể dẫn đến các kết quả khác biệt lớn.
Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đầy đủ và hiệu quả công cụ phân tích độ nhạy trong quy hoạch tuyến tính nhóm chúng em tiến hành tìm hiểu, đọc tài liệu, nghe giảng trên lớp; từ đó,thiết lập mô hình, vận dụng phương pháp phân tích độ nhạy để đưa ra lời giải tối ưu nhất và sử dụng phần mềm để giải bài toán.
Kết cấu của đề tài
Ngoài Phần mở đầu, Phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, đề tài được kết cấu thành 3 chương như sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Giải bài toán Quy hoạch tuyến tính Chương 3: Sử dụng phần mềm giải bài toán Quy hoạch tuyến tính và phân tích rủi ro.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phân tích độ nhạy
Phân tích độ nhạy là nghiên cứu sự thay đổi của những hệ số trong bài toán qui hoạch tuyến tính ảnh hưởng đến phương án tối ưu Nó là quá trình đo lường sự ảnh hưởng của các biến độc lập lên biến phụ thuộc trong một mô hình hoặc hệ thống và nhận thấy được những thay đổi này sẽ ảnh hưởng như thế nào đến giải pháp tối ưu.
Dùng phân tích độ nhạy, chúng ta có thể trả lời những câu hỏi sau:
- Hệ số trong hàm mục tiêu thay đổi sẽ ảnh hưởng như thế nào đến phương án tối ưu?
- Giá trị của vế phải của các ràng buộc thay đổi sẽ ảnh hưởng như thế nào đến phương án tối ưu?
- Trong nguồn lực sản xuất, nhân tố nào quan trọng hơn?
Phân tích độ nhạy quan tâm đến những thay đổi ảnh hưởng đến phương án tối ưu nên nó chỉ bắt đầu sau khi phương án tối ưu của bài toán gốc được xác định Việc phân tích độ nhạy rất quan trọng trong việc ra quyết định vì các bài toán này thường tồn tại trong môi trường thay đổi Phân tích độ nhạy cung cấp những thông tin cần thiết ứng với những thay đổi đó
Có nhiều phương pháp được sử dụng để phân tích độ nhạy, nhưng chúng thường được phân tích bằng 2 phương pháp thông dụng đó là phương pháp đồ thị và phương pháp dùng bảng đơn hình.
1.1.2 Quy trình phân tích độ nhạy
Giả sử: Có một công ty sử dụng 3 loại nguyên liệu để sản xuất ra 2 loại sản phẩm Và được kèm theo các thông số định mức chi phí và khả năng cung ứng của từng loại. Để phân tích số lượng cần sản xuất của mỗi sản phẩm để tối ưu chi phí cho bài toán, ta sẽ dùng phương pháp phân tích tích độ nhạy để xác định Phương pháp này bao gồm các bước:
Bước 1 : Xây dựng mô hình tối ưu hóa: Đầu tiên, chúng ta cần xây dựng các phương trình tuyến tính, trong đó chúng ta xác định biến quyết định (số lượng sản phẩm A và B cần sản xuất) và hàm mục tiêu (tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối ưu hóa chi phí) cùng với các ràng buộc (số giờ làm việc hằng tuần của mỗi máy, yêu cầu sản xuất của mỗi sản phẩm, v.v.).
Bước 2 : Giải quyết mô hình tối ưu hóa ban đầu: Sử dụng phần mềm hoặc công cụ tối ưu hóa, giải quyết các phương trình tuyến tính ban đầu để xác định giá trị tối ưu của các biến quyết định và hàm mục tiêu.
Bước 3 : Thực hiện phân tích độ nhạy: Sau khi có giải pháp tối ưu ban đầu, chúng ta thực hiện phân tích độ nhạy bằng cách thay đổi một hoặc nhiều yếu tố trong mô hình và xem xét cách các giải pháp tối ưu thay đổi.
- Thay đổi giá bán của sản phẩm: Tăng hoặc giảm giá bán của sản phẩm A hoặc B để xem cách mà giải pháp tối ưu (số lượng sản phẩm cần sản xuất) thay đổi.
- Thay đổi chi phí sản xuất: Tăng hoặc giảm chi phí sản xuất cho mỗi giờ làm việc của từng máy để xem cách mà giải pháp tối ưu thay đổi.
- Thay đổi số giờ làm việc của mỗi máy: Tăng hoặc giảm số giờ làm việc hằng tuần của mỗi máy để xem cách mà giải pháp tối ưu thay đổi.
Bước 4 : Phân tích kết quả Dựa trên kết quả của phân tích độ nhạy, đưa ra nhận xét về sự thay đổi của giải pháp tối ưu đối với sự thay đổi trong các yếu tố khác Qua đó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách mà biến đổi trong môi trường kinh doanh có thể ảnh hưởng đến quyết định sản xuất và chi phí.
Mô hình chương trình tuyến tính RMC
Hàm mục tiêu được xem là mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính Trong lập phương trình tuyến tính hoặc tối ưu hóa phương trình tuyến tính, chúng ta sử dụng nhiều kỹ thuật và phương pháp khác nhau để tìm ra giải pháp tối ưu cho bài toán tuyến tính với một số ràng buộc Kỹ thuật này cũng có thể bao gồm các ràng buộc bất bình đẳng Hàm mục tiêu trong lập trình tuyến tính là việc tối ưu hóa bài toán để tìm ra giải pháp tối ưu cho một vấn đề nhất định.
1.2.1.1 Các thuật ngữ liên quan đến hàm mục tiêu thường gặp
Ràng buộc : Về cơ bản, chúng là các phương trình có điều kiện chi phối hàm
Các biến quyết định : Các biến có giá trị cần được tìm ra Các phương trình được giải để thu được giá trị tối ưu của các biến này.
Vùng khả thi : Đó là vùng trong biểu đồ nơi các ràng buộc được thỏa mãn và các biến quyết định được tìm thấy ở các góc của vùng.
Giải pháp tối ưu : Giải pháp tốt nhất có thể thỏa mãn mọi ràng buộc và đạt được mục tiêu cao nhất hoặc thấp nhất.
Giải pháp không khả thi : Một giải pháp vi phạm một hoặc nhiều ràng buộc và không thể triển khai hoặc thực hiện được.
1.2.1.2 Các loại hàm mục tiêu
Hàm mục tiêu tối đa hóa : thông thường ở loại hàm mục tiêu này thường hướng tới việc tối đa hóa hàm mục tiêu Các đỉnh được tìm thấy sau khi vẽ đồ thị các ràng buộc có xu hướng tạo ra giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu.
Hàm mục tiêu tối thiểu hóa : thường hướng tới việc tối thiểu hóa hàm mục tiêu.
Các đỉnh được tìm thấy sau khi vẽ đồ thị các ràng buộc có xu hướng tạo ra giá trị tối thiểu của hàm mục tiêu. Ứng dụng của hàm mục tiêu : Các hàm mục tiêu rất quan trọng trong các tình huống thực tế Các chức năng này được sử dụng bởi các doanh nhân Các doanh nhân sử dụng nó để tối đa hóa lợi nhuận của họ Hàm mục tiêu cũng hữu ích cho các bài toán Giao thông vận tải Bằng cách thiết lập một chức năng, người ta có thể phân tích mức tiêu thụ nhiên liệu đang diễn ra và cách người dùng có thể giảm giá tương ứng.
Hàm mục tiêu cũng hữu ích trong các bài toán về khoảng cách.
1.2.2 Giải pháp tối ưu cho bài toán RMC gốc & sau khi sửa đổi
1.2.2.1 Giải pháp tối ưu cho bài toán RMC gốc
Hình 1.1 Giải pháp tối ưu cho bài toán RMC gốc
Bây giờ, giả sử RMC biết rằng việc giảm giá phụ gia nhiên liệu đã làm giảm lợi nhuận lên tới 30 USD/tấn Với mức giảm này, ban lãnh đạo của RMC có thể đặt câu hỏi về việc mong muốn duy trì phương án tối ưu ban đầu với F= 25 tấn và S= 20 tấn
Có lẽ bây giờ một giải pháp khác là tối ưu Chương trình tuyến tính RMC với hàm mục tiêu sửa đổi như sau:
0.4F + 0.5S ≤ 20 Phụ gia nguyên liệu 1 0.2S ≤ 5 Phụ gia nguyên liệu 2
Lưu ý rằng chỉ có hàm mục tiêu đã thay đổi Bởi vì những hạn chế chưa thay đổi, vùng khả thi cho bài toán RMC sửa đổi vẫn giữ nguyên như ban đầu Giải pháp đồ họa cho bài toán RMC với hàm mục tiêu 30F 30S được thể hiện trong hình 8.2 Lưu ý rằng điểm cực trị mang lại giải pháp tối ưu vẫn là F% và S Như vậy, mặc dù tổng lợi nhuận đóng góp giảm xuống còn 30(25) 30(20) 1350, nhưng mức đóng góp lợi nhuận của phụ gia nhiên liệu lại giảm từ 40 USD/tấn đến 30 USD/tấn không làm thay đổi giải pháp tối ưu F% và S
Hình 1.2 Giải pháp đồ họa cho bài toán RMC với hàm mục tiêu 30F 30S 1.2.2.2 Giải pháp sửa đổi
Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng việc giảm giá hơn nữa sẽ tạo ra sự đóng góp lợi nhuận cho phụ gia nhiên liệu giảm xuống còn 20 USD/tấn F% và S có còn là giải pháp tối ưu?
Sau đây là hình minh họa về bài toán RMC với hàm mục tiêu sửa đổi thành 20F30S Điểm cực trị cho lời giải tối ưu hiện nay là F.75 và S% Tổng lợi nhuận đóng góp giảm xuống còn 20(18.75) 30(25) 1125 Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta thấy rằng việc giảm đóng góp lợi nhuận của phụ gia nhiên liệu xuống còn 30F 30S.
Hình 1.3 Đồ họa của bài toán RMC với hàm mục tiêu sửa đổi thành 20F 30S
Với 20 USD/tấn sẽ thay đổi giải pháp tối ưu Giải pháp với F% tấn và S tấn sẽ không tối ưu lâu dài Giải pháp F.75 và S% hiện đang mang lại hiệu quả sản xuất tối ưu số lượng cho RMC
Phạm vi khả thi cho một sự thay đổi ở bên tay phải giá trị bên là phạm vi giá trị của hệ số này trong trong đó giá kép ban đầu không đổi.
Về mặt đồ họa, phạm vi khả thi được xác định bởi tìm các giá trị của hệ số bên phải như rằng hai dòng giống nhau đã xác định bản gốc giải pháp tối ưu tiếp tục xác định giải pháp tối ưu giải pháp cho vấn đề.
Như đã được định nghĩa ở trên, phạm vi khả thi của hệ số bên phải là phạm vi của hệ số đó mà giá kép không thay đổi Nói cách khác, đó là phạm vi mà tập hợp các biến cơ bản hiện tại vẫn là tập hợp các biến cơ bản tối ưu, mặc dù giá trị của chúng thay đổi Đối với phương pháp đơn hình, phạm vi khả thi của hệ số bên phải của ràng buộc “nhỏ hơn hoặc bằng” b, được tính như sau:
Bước 1 Biểu diễn vế phải theo Ab bằng cách cộng Ab nhân với cột của biến chùng thứ k với vế phải tối ưu hiện tại;
Bước 2 Xác định khoảng Abr sao cho vế phải lớn hơn hoặc bằng 0; Và
Bước 3 Thêm giá trị vế phải ban đầu ;b, (từ hoạt cảnh ban đầu) vào các giới hạn này của Ab, để xác định phạm vi khả thi của b
Ngược lại, phạm vi khả thi của các ràng buộc “lớn hơn hoặc bằng” được xác định tương tự ngoại trừ việc trừ Ab nhân với cột hiện tại của biến thặng dư thứ k từ vế phải hiện tại ở bước 1 ở trên Và, đối với các ràng buộc đẳng thức, phạm vi này được tìm thấy tương tự bằng cách cộng Ab, nhân với cột hiện tại của biến nhân tạo thứ k vào vế phải hiện tại Nếu không thì thủ tục vẫn giữ nguyên.
Một lần nữa, đối với những thay đổi đồng thời của hai hoặc nhiều hàm mục tiêu các hệ số, quy tắc 100% cung cấp hướng dẫn xem liệu giải pháp tối ưu có thay đổi hay không Nó tuyên bố rằng miễn là tổng phần trăm thay đổi của các hệ số từ giá trị hiện tại của chúng đến mức tăng hoặc giảm tối đa cho phép không vượt quá 100% thì giải pháp sẽ không thay đổi Tương tự, đối với giá kép, quy tắc 100% cũng có thể được áp dụng cho những thay đổi của hệ số bên phải.
Hơn 2 biến quyết định – Bài toán RMC đã sửa đổi và Vế phải
Như chúng ta đã thấy, phân tích độ nhạy cổ điển có thể cung cấp thông tin hữu ích về độ nhạy của giải pháp đối với những thay đổi trong dữ liệu đầu vào của mô hình Tuy nhiên, phân tích độ nhạy cổ điển cũng có những hạn chế như: những thay đổi đồng thời trong dữ liệu đầu vào (Simultaneous changes in input data), những thay đổi trong hệ số ràng buộc (Changes in constraint coefficients) và giá mờ không trực quan (Nonintuitive shadow prices).
1.3.2 Tại sao phải sửa đổi? Cải thiện được gì?
1.3.2.1 Những thay đổi đồng thời trong dữ liệu đầu vào
Phân tích độ nhạy cổ điển dựa trên giả định rằng chỉ có một hệ số thay đổi, tất cả các hệ số khác sẽ giữ nguyên như đã nêu trong bài toán ban đầu Do đó, phân tích phạm vi cho các hệ số hàm mục tiêu và các vế phải ràng buộc chỉ áp dụng được cho những thay đổi trong một hệ số duy nhất Tuy nhiên, khi thực hiện phân tích độ nhạy, việc đánh giá ảnh hưởng của các biến đến kết quả thường đi kèm với việc thay đổi đồng thời giá trị của nhiều biến, không chỉ một biến một cách độc lập Cách dễ nhất để kiểm tra tác động của những thay đổi đồng thời là chạy lại mô hình Các phương pháp giải trên máy tính như Excel Solver giúp việc chạy lại mô hình trở nên dễ dàng và nhanh chóng
1.3.2.2 Những thay đổi trong hệ số ràng buộc
Khi thay đổi các hệ số của các ràng buộc trong một bài toán quy hoạch tuyến tính, điều này có thể dẫn đến sự thay đổi trong các giải pháp tối ưu hoặc trong các biến quan trọng của bài toán Việc phân tích sự biến đổi của các hệ số này giúp hiểu rõ hơn về cách các ràng buộc ảnh hưởng đến giải pháp và giúp đưa ra các quyết định hiệu quả khi điều chỉnh hoặc tối ưu hóa các điều kiện của bài toán
1.3.2.3 Giá mờ không trực quan
Các ràng buộc với các biến ở vế bên trái và bên phải thường dẫn đến giá mờ, là loại giá trị không thể xác định một cách chính xác Giá mờ không phản ánh chính xác sự thay đổi của hàm mục tiêu trong bài toán quy hoạch tuyến tính.
1.3.3 Bài toán trang trại Bluegrass (được sửa đổi thế nào?)
1.3.3.1 Báo cáo phân tích độ nhạy của trang trại Bluegrass
E Number of pounds Enriched Oat
Constraint number Name Final value Shadow cost Constraint
R.H side Allowable increase Allowable decrease
Bảng 1.1 Báo cáo phân tích độ nhạy của Bluegrass 1.3.3.2 Phân tích báo cáo độ nhạy của Bluegrass và sửa đổi
Giá mờ-shadow price (sau khi làm tròn) cho thành phần A là 1.22 Do đó, việc tăng bên phải của ràng buộc về thành phần A thêm một đơn vị sẽ làm tăng giá trị giải pháp lên $1.22 Ngược lại, khi kết luận rằng việc giảm một đơn vị trong bên phải của ràng buộc về thành phần A sẽ làm giảm tổng chi phí đi $1.22 Khi nhìn vào cột Tăng cho phép và Giảm cho phép trong phần Ràng buộc của báo cáo nhạy, chúng ta thấy rằng những diễn giải này là chính xác miễn là bên phải của ràng buộc về thành phần A nằm giữa 3 - 1.857 = 1.143 và 3 + 0.368 = 3.368.
Giả sử rằng ban quản lý của Bluegrass xem xét lại quan điểm của mình về trọng lượng tối đa của chế độ ăn hàng ngày Giá mờ của -0.92 (sau khi làm tròn) cho ràng buộc về trọng lượng cho thấy rằng việc tăng một đơn vị trong bên phải của ràng buộc 4 sẽ làm giảm tổng chi phí đi $0.92 Cột Tăng cho phép trong báo cáo nhạy cảm cho thấy rằng diễn giải này là chính xác cho việc tăng bên phải lên tối đa là 6 + 2.478 8.478 pounds Do đó, tác động của việc tăng bên phải của ràng buộc trọng lượng từ 6 lên 8 pounds làm giảm tổng chi phí hàng ngày tổng cộng đi 2 * $0.92 = 1.84
Như vậy nếu thay đổi này được thực hiện chúng ta sẽ nhận được một giải pháp tối ưu mới.
Ý nghĩa giải pháp cải tiến
Phương pháp cải tiến trong bài toán RMC trong phân tích định lượng chi tiết có thể liên quan đến việc tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên và kiểm soát các quá trình quản lý để đạt được kết quả tốt nhất Dưới đây là một số ví dụ về các phương pháp cải tiến trong bài toán RMC trong phân tích định lượng chi tiết:
Tối ưu hóa lập kế hoạch tài nguyên: Sử dụng các phương pháp tối ưu hóa để lập kế hoạch và phân bổ tài nguyên một cách hiệu quả nhất Điều này bao gồm việc xác định các phương án tối ưu cho việc sử dụng tài nguyên và lập kế hoạch chi tiết để đạt được mục tiêu dự án.
Kiểm soát chi phí và ngân sách: Áp dụng các phương pháp kiểm soát chi phí và ngân sách để đảm bảo rằng việc sử dụng tài nguyên được thực hiện theo kế hoạch và không vượt quá ngân sách được gán.
Quản lý rủi ro: Xác định và đánh giá các rủi ro liên quan đến việc quản lý và kiểm soát tài nguyên, và phát triển các chiến lược để giảm thiểu hoặc xử lý các rủi ro này một cách hiệu quả.
Tối ưu hóa hiệu suất tài nguyên: Tìm kiếm các cơ hội để cải thiện hiệu suất sử dụng tài nguyên, bao gồm cả tài nguyên nhân lực, vật chất và tài chính, thông qua việc áp dụng các biện pháp nâng cao chất lượng quản lý và tăng cường hiệu suất làm việc. Đánh giá hiệu suất: Sử dụng các công cụ và kỹ thuật đánh giá để theo dõi và đánh giá hiệu suất sử dụng tài nguyên, từ đó làm cơ sở cho việc ra quyết định cải tiến và tối ưu hóa trong tương lai.
Vấn đề điện tử
Bài toán Truyền thông Điện tử là một bài toán tối đa hóa liên quan đến bốn biến quyết định, hai ràng buộc nhỏ hơn hoặc bằng, một ràng buộc đẳng thức và một ràng buộc lớn hơn hoặc bằng Chúng ta sẽ sử dụng vấn đề này để cung cấp một bản tóm tắt về quá trình xây dựng mô hình toán học, sử dụng Excel để có được lời giải tối ưu và giải thích giải pháp và thông tin báo cáo độ nhạy Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ tiếp tục minh họa cách áp dụng quy hoạch tuyến tính bằng cách đưa ra các ví dụ bổ sung từ các lĩnh vực tiếp thị, tài chính và quản lý sản xuất.
Electronic Communications sản xuất các hệ thống vô tuyến di động có thể được sử dụng cho thông tin liên lạc hai chiều Sản phẩm mới của công ty có phạm vi hoạt động lên tới 25 dặm, phù hợp cho nhiều ứng dụng cá nhân và doanh nghiệp Các kênh phân phối cho đài mới như sau:
- Nhà phân phối thiết bị hàng hải - Kinh doanh phân phối thiết bị - Chuỗi cửa hàng bán lẻ toàn quốc - Thư trực tiếp
Truyền thông điện tử hiện đang phải đối mặt với vấn đề xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất cho mỗi kênh phân phối để tối đa hóa tổng đóng góp vào lợi nhuận.
Ngoài việc xác định cần phân bổ bao nhiêu đơn vị cho mỗi kênh trong số bốn kênh phân phối, truyền thông điện tử cũng phải xác định cách phân bổ ngân sách quảng cáo và nỗ lực của lực lượng bán hàng cho từng kênh trong số bốn kênh đó.
Bây giờ chúng ta sẽ viết hàm mục tiêu và các ràng buộc cho bài toán Truyền thông điện tử Chúng ta bắt đầu với hàm mục tiêu cùng bốn biến quyết định:
Hàm mục tiêu: Tối đa hóa lợi nhuận
Cần có bốn ràng buộc để giải quyết những hạn chế sau: (1) ngân sách quảng cáo hạn chế, (2) lực lượng bán hàng sẵn có hạn chế, (3) yêu cầu sản xuất và (4) yêu cầu phân phối của các cửa hàng bán lẻ.
- Ràng buộc 1: Ngân sách chi tiêu quảng cáo
- Ràng buộc 2: Thời gian bán hàng đã sử dụng
- Ràng buộc 3: Radio được sản xuất Yêu cầu quản lý
- Ràng buộc 4: Yêu cầu hợp đồng phân phối bán lẻ
Các biểu thức này cung cấp các mô tả về hàm mục tiêu và các ràng buộc Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng xác định các biến quyết định sẽ đại diện cho các quyết định mà người quản lý phải đưa ra Đối với bài toán Truyền thông điện tử, chúng tôi giới thiệu bốn quyết định của bài toán:
- M: số lượng sản phẩm được sản xuất cho kênh phân phối thiết bị hàng hải - B: số lượng sản phẩm được sản xuất cho kênh phân phối thiết bị
- R: số lượng đơn vị được sản xuất cho kênh phân phối chuỗi bán lẻ quốc gia- D: số lượng đơn vị được sản xuất cho kênh phân phối thư trực tiếp
GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Đề bài
“Industrial Designs đã được trao hợp đồng để thiết kế nhãn cho một loại rượu mới do Lake View Winery sản xuất Công ty ước tính sẽ cần 150 giờ để hoàn thành dự án Ba nhà thiết kế đồ họa của công ty có sẵn để tham gia dự án này là Lisa, một nhà thiết kế cấp cao và trưởng nhóm; David, một nhà thiết kế cấp cao; và Sarah, một nhà thiết kế tập sự Do Lisa đã làm việc trên một số dự án cho Lake View Winery, quản lý quy định rằng Lisa phải được phân ít nhất 40% tổng số giờ được giao cho hai nhà thiết kế cấp cao Để cung cấp kinh nghiệm thiết kế nhãn cho Sarah, Sarah phải được giao ít nhất 15% tổng thời gian dự án Tuy nhiên, số giờ được giao cho Sarah không được vượt quá 25% tổng số giờ được giao cho hai nhà thiết kế cấp cao Do lịch trình dự án khác, Lisa tối đa có 50 giờ để làm việc trên dự án này Mức lương hàng giờ là $30 cho Lisa, $25 cho David và $18 cho Sarah. a Xây dựng một chương trình tuyến tính có thể được sử dụng để xác định số giờ mà mỗi nhà thiết kế đồ họa nên được giao để tối thiểu hóa tổng chi phí. b Mỗi nhà thiết kế đồ họa nên được giao bao nhiêu giờ? Tổng chi phí là bao nhiêu? c Giả sử Lisa có thể được giao nhiều hơn 50 giờ Điều này sẽ ảnh hưởng đến giải pháp tối ưu như thế nào? Giải thích. d Nếu Sarah không cần phải làm ít nhất một số giờ nhất định trong dự án này,giải pháp tối ưu có thay đổi không? Giải thích.”
Giải bài tập
- Gọi X là số giờ làm việc của Lisa- Gọi Y là số giờ làm việc của David
- Gọi Z là số giờ làm việc của Sarah a Xây dựng phương trình tuyến tính:
- Z ≤ 0,25(x+y) => x + y ≥ 4z (4) Từ (2) và (4) => 4z ≤ x+y ≤ x/0,4 Phương trình tuyến tính để xác định tổng chi phí cho dự án:
F(X,Y,Z) = 30X + 25Y + 18Z b Từ dữ kiện đề bài ta có:
30X + 25Y + 18Z ≥ 25,2(x+y+z) = 25,2 * 150 = 3780 Vậy chi phí tối thiểu của phương án trên là $3780.
X = 48, Yr, Z0 (nhận) c Theo đề ta có:
Ta có: 30X + 25Y + 18Z = 5X + 25(x+y+z) – 7z = 250 + 3750 -7z = 4000 - 7z Để phương trình tối ưu thì ta có phương trình chi phí 4000 – 7z nhỏ nhất z lớn nhất:
Z ≤ 30 Vậy giá trị tối ưu của pt là 4000 – 7*30 = 3790 Dấu “=” xảy ra khi:
X= 50, Z = 30, Yp (nhận) Để Lisa được giao hơn 50 giờ thì David phải làm ít hơn 2 giờ so với kế hoạch tối ưu ban đầu d Vì trong giải pháp tối ưu Sarah chỉ làm nhiều nhất 30 giờ, nên nếu không có số giờ tối thiểu thì giải pháp tối ưu không thay đổi.
SỬ DỤNG PHẦN MỀM GIẢI BÀI TOÁN QHTT VÀ PHÂN TÍCH RỦI RO
Ý nghĩa các thông số trong phần mềm Excel
Hình 3.1 Báo cáo trả lời cho bài toán QHTT
Ta cần phải nắm vững một số thuật ngữ sau:
Name: Đây là tên mô tả của ô, giúp người đọc hiểu rõ mục tiêu hoặc dữ liệu được thể hiện trong ô.
Original Value: Giá trị ban đầu.
Final Value: Giá trị cuối cùng của ô sau khi quá trình tối ưu hóa đã hoàn thành.
Cell Value: Đây là giá trị của ô mà ràng buộc được áp dụng.
Formula: Công thức mà ràng buộc phải tuân thủ Nếu công thức này không đúng, ràng buộc sẽ không được thỏa mãn tính
Status: Trạng thái của ràng buộc sau khi quá trình tối ưu hóa hoàn thành.
Not Binding: Ràng buộc không chặt (ràng buộc lỏng).
Slack: Đây là sự dư thừa của ràng buộc, tức là khoảng cách giữa giá trị thực tế của ô và giá trị được yêu cầu bởi ràng buộc
- Nếu “Slack” là 0, có nghĩa là ràng buộc đã được tuân thủ chính xác
- Trong trường hợp này, nếu “Slack” lớn hơn 0, nó cho biết mức độ mà giá trị có thể thay đổi mà vẫn đảm bảo rằng ràng buộc vẫn được tuân thủ.
3.1.2 Trong phần “Final Reduced Objective” và “Final Shadow Constraint”
Giải bài toán QHTT; Excel Report; Phân tích độ nhạy
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H Side Increase Decrease
$B$12 Min of total Hourly wage 30 0 0 7,5 1E+30
$B$13 Min of senior Hourly wage 48 5 0 2 48
$B$14 Max of senior Hourly wage 30 -7,2 0 150 6,25
Bảng 3.1 Báo cáo phân tích độ nhạy bài toán QHTT (1)
Trong phần “Final Reduced Objective”:
- Final value : là giá trị cuối cùng của biến mục tiêu sau khi mô hình được tối ưu hoá Trong trường hợp trên, biến mục tiêu này liên quan đến việc phân công giờ làm việc cho cả 3 nhân viên.
- Reduced Cost : là giá trị giảm đối với biến mục tiêu khi một đơn vị thay đổi trong hệ số của biến Giá trị này cho biết mức độ ảnh hưởng của biến số đối với biến mục tiêu.
- Objective Coefficient : là hệ số của biến mục tiêu trong hàm mục tiêu Hệ số này xác định mức độ ảnh hưởng của biến đối với biến mục tiêu.
- Allowable Increase và Allowable Decrease : là sự thay đổi cho phép trong hệ số của biến mục tiêu Nếu các hệ số thay đổi nằm trong khoảng này, không có ảnh hưởng kể đến giá trị cuối cùng của biến mục tiêu.
Trong phần “Final Shadow Constraint”:
- Final value : là giá trị cuối cùng của ràng buộc sau khi mô hình được tối ưu hoá.
Ràng buộc có thể là các hạn chế về tài nguyên hoặc các điều kiện cần được tuân theo.
- Shadow Price : là giá trị của biến đối lập (dual variable) trong ràng buộc tương ứng Giá trị này cho biết mức độ ảnh hưởng của ràng buộc đối với giá trị của biến mục tiêu.
- Constraint R.H Side : là giá trị bên phải của ràng buộc Thường là giới hạn tài nguyên hoặc điều kiện cần đáp ứng.
- Allowable Increase và Allowable Decrease : là sự thay đổi cho phép của biến độc lập Nếu giá trị này thay đổi sẽ không có ảnh hưởng đáng kể đến giá trị cuối cùng của ràng buộc.
Variable Lower Objective Upper Objective
Cell Name Value Limit Result Limit Result
Bảng 3.2 Báo cáo phân tích độ nhạy bài toán QHTT (2)
- Minimum cost Hourly wage (Mức lương hàng giờ tối thiểu): là ô chứa giá trị tối thiểu cho mức lương hàng giờ Khi bài toán được tối ưu hoá, giá trị là 3780.
- Variable : liệt kê các biến số được sử dụng trong mô hình tối ưu hoá, là số giờ được gán cho Lisa, David và Sarah.
- Lower Limit (Giới hạn tối thiểu): là giới hạn dưới cho giá trị của biến số Trong bài toán, tất cả các biến số đều không có gioiws hạn dưới nên cột này có giá trị bằng 0.
- Objective Result (Kết quả mục tiêu): là giá trị của biến số trong bài toán tối ưu, được tính bằng mô hình tối ưu Tất cả các kết quả của giá trị đều đã được tính và hiển thị ở bảng trên.
- Upper Limit (Giới hạn tối đa): là giới hạn tối đa cho giá trị của từng biến số.
- Name : là tên của từng biến số, có thể là tên của nhân viên hoặc tên của loại công việc.
- Value (Giá trị): là giá trị hiện tại của từng biến số.
Giải bài toán QHTT bằng phần mềm
- Biến quyết định: được nhập tại các ô G6:G8 Cho các giá trị khởi động là 1.
- Hàm mục tiêu: có giá trị căn cứ vào giá trị khởi động của các biến Công thức tại ô B17.
- Các ràng buộc: nhập các hệ số của các quan hệ ràng buộc tại các ô B6:G9.
Tính vế trái của các ràng buộc theo công thức tại các ô B12:B15 Nhập các giá trị vế phải của các ràng buộc tại các ô D12:D15.
Hình 3.2 Tổ chức bài toán trên bảng tính
3.2.2 Tiến hành giải bài toán
Bước 1 : Chọn ô B17 và chọn Data\ Solver Bảng hộp thoại Solver Parameters xuất hiện và gồm các thông số sau:
Hình 3.3 Hộp thoại khai báo các thông số cho Solver
- Set Objective : Nhập ô chứa địa chỉ tuyệt đối của hàm mục tiêu (trong bài là
- To: Xác định giới hạn cho hàm mục tiêu hoặc giá trị cần đạt đến của hàm mục tiêu: Max, Min hay Value of tuỳ thuộc vào yêu cầu của bài.
- By Changing variablle cells: Nhập địa chỉ của các ô giá trị cần đạt (trong bài là
- Subject to the constraints: nhập các biểu thức ràng buộc của bài toán.
Cách làm của Solver là thay đổi giá trị của các biến tại By Changing variable cells cho đến lúc giá trị của hàm mục tiêu tại Set Objective đạt một giá trị quy định tại To và đồng thời thỏa mãn tập các ràng buộc tại Subject to the Constraints.
Với bài toán nhóm thực hiện, tiến hành khai báo các thông số cho Solver như sau:
- Địa chỉ của hàm mục tiêu B17 được đưa vào Set Objective.
- Chọn Min tại To để Solver tìm lời giải cực tiểu cho hàm mục tiêu
- Nhập địa chỉ của các biến quyết định G6:G8 tại By Changing variable cells.
Hình 3.4 Khai báo hàm mục tiêu và các biến
- Thêm các ràng buộc vào Subject to the Constraints: Nhấp nút Add, hộp thoại
Add Constraint sẽ xuất hiện như hình dưới, lần lượt đưa các biểu thức ràng buộc vào, mỗi lần chọn một biểu thức và chọn add.
Hình 3.5 Hộp thoại thêm các ràng buộc Cell Reference: Ô hoặc vùng ô chứa công thức của các ràng buộc. Ô dấu: Cho phép ta lựa chọn dấu của các ràng buộc tương ứng.
Constraint: Ô chứa giá trị vế phải của các ràng buộc tương ứng (ta cũng có thể nhập trực tiếp giá trị vế phải của ràng buộc tương ứng).
Với bài toán nhóm thực hiện, các ràng buộc được nhập như sau:
Bảng 3.3 Các ràng buộc được nhập trên Excel
Chọn OK để kết thúc việc khai báo các ràng buộc Tuy nhiên, muốn hiệu chỉnh ràng buộc ta chọn ràng buộc và chọn Change, xoá ràng buộc ta chọn ràng buộc từ danh sách Subject to the Constraints và nhấp Delete.
Hình 3.6 Khai báo các thông số của bài toán
Sau khi hoàn tất ta chọn Solve để chạy Solver, hộp thoại kết quả xuất hiện và cho ta hai sự lựa chọn sau:
Hình 3.7 Chọn kiểu báo cáo Keep Solver Solution: Giữ kết quả và in ra bảng tính.
Restore Original Values : Huỷ kết quả vừa tìm được và trả các biến về tình trạng ban đầu.
Save Scenario: Lưu kết quả vừa tìm được thành một tình huống để có thể xem lại sau này.
Ngoài ra có 3 loại báo cáo là Answer, Sensitivity và Limits
Chọn Keep Solver Solution, OK Bảng kết quả nhận được như sau:
Hình 3.8 Kết quả nhận được sau khi chạy Excel
Như vậy phương án tối ưu (phương án cực biên) tìm được là X=(48,72,30) và giá trị cực tiểu của hàm mục tiêu là 3780.
- Chọn Keep Solver Solution, 3 loại báo cáo Answer, Sensitivity và Limits, OK
Bảng kết quả nhận được như sau:
Hình 3.9 Báo cáo độ nhạy sau khi chạy Excel (1)
Giải pháp tối ưu có giá trị là 3780 ($) và X = 48, Y = 72, Z = 30, Min of total 30, Min of senior = 48, Max of senior = 30, Max hour = 48.
Ràng buộc về Tổng số tiền lương tối thiểu và số giờ tối đa được khai báo là
‘Không ràng buộc’, các ràng buộc có giá trị ‘Slack’ > 0 cho biết mức độ mà giá trị có thể thay đổi mà vẫn đảm bảo rằng ràng buộc vẫn được tuân thủ Trong khi các ràng buộc còn lại được khai báo là ‘Ràng buộc’ Các ràng buộc có giá trị ‘Slack’ bằng 0 được cho là chặt chẽ hoặc ràng buộc ở chỗ chúng hài lòng với sự bình đẳng ở mức tối ưu Những ràng buộc không chặt chẽ được gọi là lỏng lẻo hoặc không ràng buộc.
3.3 Ý nghĩa và phân tích rủi ro3.3.1 Ý nghĩa của kết quả bài toán bằng phần mềm
Hình 3.10 Báo cáo nhận được sau khi chạy Excel – Sensitive Report (2)
3.3.1.1 Phạm vi cho phép (objective coefficient, allowable increase, allowable decrease) Ở phần Variable Cells, ta có các hệ số hàm mục tiêu hay giá trị hiện thời (Objective Coefficient), mức tăng cho phép (Allowable Increase) và mức giảm cho phép (Allowable Decrease) Bằng cách cộng mức tăng cho phép vào giá trị hiện thời, ta có thể có giới hạn trên Dựa trên bảng kết quả phân tích độ nhạy (Sensitive Report), ta có thể tính được:
- Tiền lương tăng thêm mà Lisa thực hiện công việc: 30+(1E+30) $
- Tiền lương tăng thêm mà David thực hiện công việc: 25+50 $
- Tiền lương tăng thêm mà Sarah thực hiện công việc: 18+9' $ Tương tự, trừ mức giảm cho giá trị hiện thời, ta có được giới hạn dưới:
- Tiền lương giảm cho phép mà Lisa thực hiện công việc: 30-5% $
- Tiền lương giảm cho phép mà David thực hiện công việc: 25-15 $
- Tiền lương giảm cho phép mà Sarah thực hiện công việc: 18-(1E+30) $
3.3.1.2 Chi phí rút giảm (reduced cost) và giá mờ của ràng buộc (shadow price) Ở phần Variable Cells, chi phí rút giảm (reduced cost) đối với số giờ làm việc của Lisa, David và Sarah đều bằng 0, vì không có nghiệm bằng 0 Chi phí rút giảm cũng chính là giá mờ (shadow price) của ràng buộc không âm với ô chứa biến tương ứng (Cách hiểu này cũng đúng cho ô có giá trị khác 0.)
Như vậy, ở phần Constraints, giá mờ của tiền lương giờ làm tối thiểu của các quản lý cấp cao là 5, cho biết giá trị giá mờ sẽ tăng từ 0 lên 5 nếu mức sử dụng nguồn lực là 48 Tiếp đó, giá mờ của tiền lương giờ làm tối đa của các quản lý cấp cao là - 7.2, cho biết giá trị giá mờ sẽ giảm từ 0 xuống -7.2 nếu mức sử dụng nguồn lực là 30.
Hình 3.11 Báo cáo nhận được sau khi chạy Excel – Limits Report (3)
Dựa trên kết quả của Limits Report, ta có thể thấy số giờ làm của Lisa (48),David (30) và Sarah (30) với tiền lương/giờ của mỗi người lần lượt là 30, 25 và 18 Vì thế, tổng số chi phí tiền lương tối thiểu của mức sử dụng nguồn nhân lực tương ứng trên là 3780$ Rủi ro ở đây sẽ nâng cao nếu tiền lương/giờ của mức sử dụng nguồn nhân lực tăng thêm, hoặc số giờ làm của Lisa tiếp tục tăng lên đến mức 50 (theo đề bài câu (c) ở bài toán thủ công) Giả sử trường hợp trên xảy ra, mức lương tối thiểu sẽ tăng lên 3790$ không còn nghiệm tối ưu là (48,72,30).
