đề thi hsg toán 7 2023-2024 mới nhất kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau
a) 2 1312 10 2 6512 3 1110 9 3 510
B
Câu 2 (3,5 điểm)
x x x x b) Tìm x, y biết:
2
1
6
c) Tìm số nguyên x để 1
3
x P
x
là một số nguyên
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Ông Ba gửi ngân hàng 100 triệu, lãi suất 8% trên 1 năm Hỏi sau 36 tháng số tiền cả gốc và lãi ông Ba thu được là bao nhiêu ? (Biết nếu tiền lãi không rút ra thì tiền lãi đó sẽ nhập vạ̀o vốn để tính lãi cho các kì hạn tiếp theo)
b) Biết x 1 và 2x 1 đồng thời là các số chính phương Chứng minh x12 c) Cho hai đa thức:f x( ) (x 1)(x 3) và g x( )x3ax2 b 3 Xác định hệ
số a b, của đa thức ( ) biết nghiệm của đa thứcf x( )cũng là nghiệm của đa thứcg x( )
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B có C 600, kẻ đường cao BK (K AC) Vẽ đường thẳng d là trung trực của AB cắt cạnh AB tại N , cắt cạnh AC tại M , cắt tia
BK của tam giác ABC tại E
a) Chứng minh ANM BNM và M là trung điểm của AC
b) Chứng minh điểm E cách đều MB và BC
c) Vẽ điểm D thuộc đoạn BE sao cho 1
3
ED EB, gọi I là trung điểm của ME
Chứng minh ba điểm C , D, I thẳng hàng
Câu 5 (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M 7 – 5x y 2 – 3z x xy yz zx 2000
- Hết -
(Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………
Trang 2UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Năm học 2023-2024
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Môn: Toán 7
Câu 1
(4,5 điểm)
a
1.0 0,5
b
2
49
B
4
4 1
0.5
1.0
c
4
4
4
0.5
0.5
0.5
Câu 2
(3,5 điểm)
a
x
x
2024
x
0.5
0.5
0.5
Trang 3b
Vì
2
1
6
x
; 3y 12 0; do đó:
2
1
6
6
Từ đó suy ra:
2
1
6
6
x và
3y 12 0 suy ra 1
12
x và y 4
12
x và y 4
0.5
0.5
c
P
Để P là số nguyên thì ( x 3) là ước của 4, tức là
Vậy giá trị x cần tìm là 1 ; 4 ; 16 ;25 ; 49
0.5 0.5
Câu 3
(4,0 điểm)
a
36 tháng = 3 năm
Năm đầu, ông lãi được số tiền là
100 000 000⋅8%=8 000 000 (đồng)
Năm thứ 2, ông lãi được số tiền là
(100 000 000+8 000 000).8%=8 640 000 (đồng)
Năm thứ 3, ông lãi được số tiền là
(100 000 000+8 000 000+8 640 000).8%=9 331 200 (đồng)
Sau 36 tháng, ông Ba rút ra cả vốn cả lãi là
100 000 000 + 8 000 000 + 8 640 000 + 9 331 200=125 971 200 (đồng)
0.25
0.25 0.25 0.25
b
Vì 2x 1 là số chính phương lẻ nên 2x 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2x
chia hết cho 8, nên x chia hết cho 4 (1)
Ta có (x 1) (2x 1) 3x 2 chia cho 3 dư 2
Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên x 1 và 2x 1 chia
cho 3 cùng dư 1, nên x chia hết cho 3 (2)
Từ (1), (2), (3; 4) 1 nên x chia hết cho 3.412
0.5 0.5
0.5 0.5
c
HS biết tìm nghiệm của f x( ) (x 1)(x 3) 0 x 1,x 3
Nghiệm của f x( ) cũng là nghiệm của g x( )x3ax2 b 3 nên:
Thay x 1 vào g x( ) ta có: 1 a b 3 0
Thay x 3 vào g x( ) ta có: 27 9a 3b 3 0
Từ đó HS biến đổi và tính được: a 3,b 1
0.5
0.5
Trang 4Câu 4
(6,0
điểm)
a
c/m ANM BNM (c-g-c) MA MB
c/m CMB MAB MBA (góc ngoài tại đỉnh M của ABM)
Do đó BMC cân tại M nên MB MC
Mặt khác MB MA (do ANM BNM )
Suy ra MAMC hay M là trung điểm của AC
1.0
0.5
0.5 0.5
b
c/m: Tam giác BMC cân tại M , lại có BCM 60 nên là tam giác
đều
BCM
là tam giác đều nên đường cao BK đồng thời là đường trung
tuyến, đường phân giác
Do E nằm trên đường phân giác BK của CBM nên E cách đều MB,
BC
0.5 1.0 0.5
c
c/m EAB cân tại E
ABE ABM MBK MAB MBC nên
EAB
Do đó chân đường vuông góc K của A xuống BE cũng là trung điểm
của cạnh BE hay BK KE
Trong tam giác CME, điểm D thuộc trung tuyến EK
ED EB EK EK
Do đó D là trọng tâm của tam giác ECM
Do CI là đường trung tuyến của tam giác ECM nên CI đi qua D
Do đó C , D, I thẳng hàng
0.5 0.5
0.5
Câu 5
(2,0 điểm)
Ta có 7 – 5x y 0; 2 – 3 0z x và xy yz zx 2000 0
Nên M 7 – 5x y 2 – 3z x x y yz z x 2 000 0
Mà M 0 khi và chỉ khi
0
7 – 5x y 2 – 3z x xyyz zx 2000
0.5
E
I
N
M K
D C
Trang 57 – 5 0 7 5
x y
z x
Từ đó tìm được 20, 28, 30
Vậy GTNN của M 0 x y z, , 20;28; 30
hoặc x y z , , 20; 28; 30
0.5
0.5
0.5
Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa cho câu đó
-Hết -