bài tập lớn bộ môn phương pháp tính mt1009 chủ đề sử dụng spline bậc 3 để tạo đường bao cho một hình phẳng bất kì

ax.imshowimg, extent=0, img.shape[], 0, img.shape[]] # Tạo mảng giá trị từ 0 đến chiều dài và chiều rộng của hình với bước nhảy là 50x_ticks np.arange, img.shape[], 50 y_ticks np.arange,

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5, NĂM 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

BỘ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH (MT1009)

CHỦ ĐỀ: SỬ DỤNG SPLINE BẬC 3 ĐỂ TẠO ĐƯỜNG

BAO CHO MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KÌ

NHÓM: 3-L09

1

Danh sách thành viên nhóm:

2310282 Nguyễn Hữu Bằng Code xử lý ảnh và giải pt 100%

2213335 Phan Nguyễn Phú Thông Phương pháp, Tổng hợp 100%

2

MỤC LỤC:

I Cơ sở lý thuyết Spline bậc ba: 3

1 Các khái niệm cơ bản: 3

a Định nghĩa 1: 3

b Định nghĩa 2: 5

2 Spline bậc 3 tự nhiên: 6

3 Spline bậc ba ràng buộc: 7

II Thiết kế ba ̀i toán spline bâ ̣c 3 8

Bài 1: 8

Code giải bài tập: 9

Bài 2: 9

Code giải bài tập: 10

III Lập trình matlab: 10

IV Xử lý ảnh: 12

V Tổng kết: 15

VI Tài liệu tham khảo: 16

3

I Cơ sở lý thuyết Spline bậc ba:

-Hàm spline bậc 3 là một hàm đa thức bậc 3 liên tục đến bậc 2 tại các nút Hàm spline bậc 3 thường được sử dụng để nội suy hoặc xấp xỉ các hàm gián đoạn

-Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong trường hợp n lớn là rất khó khăn Biện pháp khắc phục là trên từng đoạn liên tiếp của các cặp điểm nút nội suy ta nối chúng bởi các đường cong đơn giản như đoạn thẳng Tuy nhiên, khi đó tại các điểm nút hàm sẽ mất tính khả vi Do đó, phải xây dựng đường cong bằng cách nối các đoạn cong nhỏ lại với nhau sao cho vẫn bảo toàn tính khả vi của hàm

-Đường cong như vậy được gọi là đường spline (đường ghép trơn) Các hàm trên các đoạn nhỏ này thường là các đa thức và bậc cao nhất của các đa thức đó gọi là bậc của spline

*Các điều kiện biên:

-Các hệ số của hàm spline có thể được xác định bằng cách sử dụng các điều kiện biên sau:

*Điều kiện liên tục:

-p(xi)=yi

*Điều kiện liên tục của đạo hàm bậc 1:

-p′(xi)=yi′

*Điều kiện liên tục của đạo hàm bậc 2:

-p′′(xi)=yi′′

-Giải hệ phương trình:

-Với n điểm nút, ta có n phương trình liên hệ giữa các hệ số của hàm spline Các hệ

số này có thể được giải bằng cách sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

1 Các khái niệm cơ bản:

a Định nghĩa 1:

-Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và một phép phân hoạch của nó: a=x0<x1<x2=b Đặt y0=f(x0) , y1=f(x1), y2=f(x2) Một spline bậc ba nội suy hàm f(x) trên [a,b] là hàm g(x) thỏa các điều kiện sau:

 g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]

 g(x) = g0(x) x ∈ [ x0 , x1 ]

g1(x) x ∈ [ x1 , x2 ]

4

(Ở đây g0(x),g1(x) là các đa thức bậc ba)

 g(x0)=f(x0)=y0,g(x1)=f(x1)=y1,g(x2)=f(x2)=y2

-Xét đoạn [ x0 , x1 ] Đặt h0 = x1 – x0

Vì g0(x) là đa thức bậc ba nên g0(x) = a0 + b0(x-x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3

-Do g(x0) = g0(x0) = y0 => y0 = a0 và g(x1) = g0(x1) = y1

a0 + b0(x1-x0) + c0(x1-x0)2 + d0(x1-x0)3 = y1

a0 + b0h0 + c0h0 + d0h0 = y1

=>Từ đó , ta có b0 = ( y1 – y0 )/h0-c0h0-d0h02

-Xét đoạn [ x1 , x2 ] Đặt h1 = x1 – x2

Vì g1(x) là đa thức bậc ba nên g1(x) = a1 + b1(x-x1) + c1(x-x1)2 +d1(x-x1)3

-Do g(x1) = g1(x1) = y1 => y1 = a1 và g(x2) = g1(x2) = y2

 a1 + b1(x2-x1) + c1(x2-x1)2 +d1(x2-x1)3 = y2

5

 a1 + b1h1 + c1h1 + d1h1 = y2

=>Từ đó , ta có b1 = (y2 – y1)/h1-c1h1 – d1h12

Do tính khả vi của hàm g(x) đến cấp 2 tại x1 nên g0’(x1) = g1’(x1) và g0”(x1) = g1”(x1)

Từ điều kiện g0”(x1) = g1”(x1) ta được :

2c0 + 6d0(x1-x0) = 2c1 +6d1(x1-x1) => d0 = (c1 – c0)/3h0

=>b0 = (y1-y0)/h0 – c0h0 – d0h0 = (y1-y0)/h0 – c0h0 – ((c1-c0)/(3h0))h0

= (y1-y0)/h0 – (h0/3)(c1 + 2c0)

Do tính khả vi của hàm g(x) đến cấp 2 tại x2 nên g1”(x2) = g2”(x2)

 2c1 + 6d1(x2-x1) = 2c2 + 6d2(x2-x2) => d1 = (c2-c1)/3h1

 b1 = (y2-y1)/h1 – c1h1 -d1h1 = (y2-y1)/h1 – c1h1 – ((c2-c1)/3h1)h1

=(y2-y1)/h1-(h1/3)(c2+2c1)

Từ điều kiện g0’(x1) = g1’(x1) ta được :

b0 + 2c0(x1-x0) + 3d0(x1-x0)2 = b1 + 2c1(x1-x1) + 3d1(x1-x1) 2

=>b1=b0 + 2c0h0 +3d0h0

Thay b1 = (y2-y1)/h1-(h1/3)(c2+2c1) ; b0 = (y1-y0)/h0-(h0/3)(c1+2c0) ; d0=(c1-c0)/3h0

ta được : h0c0 + 2(h0+h1)c1 + h1c2 = 3(y2-y1)/h1-3(y1-y0)/ h0

Hệ này có vô số nghiệm

b Định nghĩa 2:

Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và một phép phân hoạch của nó :

a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b

Đặt yk = f(xk),k=0,1,2,…n Một spline bậc ba nội suy hàm f(x) trên [a,b] là hàm g(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

-g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]

-Trên mỗi đoạn [xk,xk+1] , k = 0,1,2, n-1 , g(x) = gk(x) là 1 đa thức bậc ba

6

- gk(x) = f(xk) = yk , ∀k = 0,1,2,…n

Xét đoạn [xk,xk+1] , k = 0,1,2,…n-1 Đặt hk =xk+1 – xk

Vì gk(x) là đa thức bậc ba nên gk(x) = ak + bk (x-xk) + ck(x-xk)2 + dk (x-xk)3

Do g(xk) = gk (xk) = yk => yk = ak và ak +bkhk + ckhk + dkhk = g(x k+1) = gk ( x k+1) =

y k+1

Từ đó, ta có hệ {

𝑏𝑘 =𝑦𝑘+1 −𝑦𝑘

ℎ𝑘 − 𝑐𝑘ℎ𝑘− 𝑑𝑘ℎ𝑘2, ∀𝑘 = 0 𝑛 − 1

𝑏𝑘−1 =𝑦𝑘−𝑦𝑘−1

ℎ𝑘−1 − 𝑐𝑘−1ℎ𝑘−1− 𝑑𝑘−1ℎ𝑘−12 , ∀𝑘 = 1 𝑛

Xét tại điểm 𝑥𝑘, k = 1 n-1 Do tính khả vi của hàm g (x) đến cấp 2 tại 𝑥𝑘 nên 𝑔′𝑘−1 (𝑋𝑘) = 𝑔′𝑘 (𝑋𝑘) và 𝑔′′𝑘−1 (𝑋𝑘) = 𝑔′′𝑘 (𝑋𝑘) Từ điều kiện 𝑔′′𝑘−1 (𝑋𝑘) = 𝑔′′𝑘 (𝑋𝑘) ta được:

{

𝑑𝑘−1 =𝑐𝑘 −𝑐𝑘−1

ℎ𝑘 , ∀𝑘 = 1 𝑛 − 1

𝑑𝑘 =𝑐𝑘+1 −𝑐𝑘

3ℎ 𝑘 , ∀𝑘 = 1 𝑛 − 1 ⟹ {

𝑏𝑘 =𝑦𝑘+1−𝑦𝑘

ℎ𝑘 − ℎ𝑘

3 (𝑐𝑘+1+ 2𝑐𝑘), ∀𝑘 = 1 𝑛 − 1

𝑏𝑘−1 =𝑦𝑘 −𝑦𝑘−1

ℎ𝑘−1 −ℎ𝑘−1

3 (𝑐𝑘+ 2𝑐𝑘−1), ∀𝑘 = 1 𝑛

Từ điều kiện 𝑔′𝑘−1 (𝑋𝑘) = 𝑔′𝑘 (𝑋𝑘) ta được 𝑏𝑘 = 𝑏𝑘−1+ 2𝑐𝑘−1ℎ𝑘−1+ 3𝑑𝑘−1ℎ𝑘−12

⟹ {ℎ𝑘−1𝑐𝑘−1+ 2(ℎ𝑘−1+ ℎ𝑘)𝑐𝑘 + ℎ𝑘𝑐𝑘+1= 3𝑦𝑘+1 −𝑦𝑘

ℎ𝑘 − 3𝑦𝑘 −𝑦𝑘−1

ℎ𝑘−1

∀𝑘 = 1 𝑛 − 1

Hệ này có vô số nghiệm nên để có tính duy nhất, ta phải bổ sung thêm các điều kiện biên

2 Spline bậc 3 tự nhiên:

Điều kiện để xác định 1 spline bậc ba tự nhiên là g’’(a) = g’’(b) = 0

Giải thuật xác định spline tự nhiên :

Điều kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra c0 = cn = 0

B1 Tính hk = xk+1- xk , k = 0, n-1 Ak= yk , k = 0, n-1

Ak= yk ,k=0,n

B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (c0 , c1 , …, cn )t

7

B3 Tính các hệ số bk, dk

𝑏𝑘 =𝑦𝑘+1− 𝑦𝑘

ℎ𝑘

3 (𝑐𝑘+1+ 2𝑐𝑘)

𝑑𝑘 =𝑐𝑘+1− 𝑐𝑘

3ℎ𝑘 , ∀𝑘 = 0 𝑛 − 1

3 Spline bậc ba ràng buộc:

Điều kiện để xác định 1 spline bậc ba ràng buộc là

g’(a) = α, g’(b) = β

Khi đó ta có thêm 2 phương trình

{

2ℎ0𝑐0+ ℎ0𝑐1 = 3𝑦1 − 𝑦0

ℎ0 − 3𝛼

ℎ𝑛−1𝑐𝑛−1+ 2ℎ𝑛−1𝑐𝑛 = 3𝛽 − 3𝑦𝑛 − 𝑦𝑛−1

ℎ𝑛−1 Giải thuật xác định spline ràng buộc :

B1 Tính h

k=xk+1- xk, k = 0, n-1

ak= yk, k = 0, n

B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (c0, c1, …, cn)t

B3 Tính các hệ số bk, dk

8

{

𝑎𝑘 = 𝑦𝑘

𝑏𝑘 = 𝑦𝑘+1− 𝑦𝑘

ℎ𝑘

3 (𝑐𝑘+1+ 2𝑐𝑘)

𝑑𝑘 =𝑐𝑘+1− 𝑐𝑘

3ℎ𝑘 , ∀𝑘 = 0 𝑛 − 1

II Thiết kế bài toán spline bâ ̣c 3

Bài 1:

Cho bảng số

Sử dụng Spline bậc ba tự nhiên nội suy bảng số trên để xấp xỉ gia strij của hàm tại x=1.4 và x=2.5

Bài giải:

h0=0.4; h1=0.6; h2=0.6

1

0

0

75 33.75

0 0

0 46.77

30.906

0

A

B

 







1

1

1

0; 46.77; 30.906; 0

.( 2 ) 3

3

k k

k

k

k

h

d

h















 













9

Ta có:

3

( ) 1.2 24.736( 1.3) 38.975( 1.3) ;1.3 1.7

6473 ( ) 8.6 6.0268( 1.7) 46.77( 1.7) ( 1.7) ;1.7 2.3

150 ( ) 4.7 3.4916( 2.3) 30.906( 2.3) 25.755( 2.3) ; 2.3

(1.4) 3.6346; (2.5) 5.0319

x













Code giải bài tập:

Bài 2:

Cho bảng số

Xây dựng spline bâ ̣c 3 tự nhiên nô ̣i suy :

Bài giải:

Ta có: ℎ0=1 ℎ1=3 ℎ2=2

A= (

ℎ0 2(ℎ0+ ℎ1) ℎ1

0

0

ℎ1 0

2(ℎ1+ ℎ2) 0

0 0

ℎ2 1 ) =(

0 0

3 0

10 0

0 0 2 1 )

10

B =

(

0

3𝑦2 −𝑦1

ℎ1 − 3𝑦1 −𝑦0

ℎ0

3𝑦3 −𝑦2

ℎ2 − 3𝑦2 −𝑦1

ℎ1

= (

0

−2

1 2

0 )

Giải hê ̣ AC=B ( spline bâ ̣c 3 nên 𝐶0=0 và 𝐶3=0)

ta có: {8𝐶3𝐶1+ 3𝐶2 = −2

1+ 10𝐶2 =1

2

⇒ {𝐶1 =

−43 142

𝐶2 =10

71

 Với k=0 ⇒

{

𝑎0 = 𝑦0 = 1.3

𝑏0 =𝑦1−𝑦0

ℎ0 −ℎ0

3 (𝑐1+ 2𝑐0) =

𝑑0 =𝑐1 −𝑐0

3ℎ0 = −43

426

1919 2130

 Với k=1 ⇒

{

𝑎1 = 𝑦1 = 2.1

𝑏1 =𝑦2 −𝑦1

ℎ1 −ℎ1

3 (𝑐2+ 2𝑐1) =

𝑑1 =𝑐2 −𝑐1

3ℎ 1 = 7

142

537 1065

 Với k=2 ⇒

{

𝑎2 = 𝑦2 = 2.5

𝑏2 =𝑦3 −𝑦2

ℎ 2 −ℎ2

3 (𝑐3+ 2𝑐2) =

𝑑2 =𝑐3 −𝑐2

3ℎ 2 = −5

213

239 2130

Vâ ̣y 𝑔(𝑥) =

{

1.3 +21301919𝑥 −42643 𝑥3 , 𝑥 ∈ [2,3]

2.1 + 537

1065(𝑥 − 1) − 43

142(𝑥 − 1)2+ 7

142(𝑥 − 1)3 , 𝑥 ∈ [3,6]

2.5 + 239

2130(𝑥 − 2) +10

71(𝑥 − 1)2− 5

213(𝑥 − 1)3 , 𝑥 ∈ [6,8]

Code giải bài tập:

III Lập trình python:

import numpy as np

from scipy.interpolate import CubicSpline

def main():

11

# Nhập số lượng điểm

n = int(input("Nhập số lượng điểm n: "))

x = []

y = []

def main ():

n = int ( input ( "Nhập số lượng điểm n: " ))

x = []

y = []

xi float ( input ( "Nhập tọa độ x của điểm thứ { + } : " ))

yi float ( input ( "Nhập tọa độ y của điểm thứ { + } : " ))

x append (xi)

y append (yi)

cs CubicSpline ( , y, bc_type = 'natural' )

print ( "Hàm bậc ba từ x { + } đến x { + } :" )

print ( "S { + } (x) = { cs [ , ] *(x - { [ ] )^3 + { cs [ , ] *(x -

{ [ ] )^2 + { cs [ , ] *(x - { [ ] ) + { cs [ , ] " )

# Nhập giá trị x

x1 float ( input ( "Nhập giá trị x1 để tính hàm spline: " ))

x2 float ( input ( "Nhập giá trị x2 để tính hàm spline: " ))

result1 cs(x1)

result2 cs(x2)

print ( "Hàm spline tại x = { x1 } là: S( { x1 } ) = { result1 :.6f} " )

print ( "Hàm spline tại x = { x2 } là: S( { x2 } ) = { result2 :.6f} " )

if name == " main " :

main ()

12

IV Xử lý ảnh:

- Xét một chi tiết cơ khí có dạng như sau, ta sẽ dùng code python để vẽ đường bao cho chi tiết cơ khí:

13

- Đầu tiên ta sẽ phủ lưới tọa độ cho hình trên:

- Sau đó sẽ chấm những điểm theo đường bao của chi tiết để lưu những tọa độ

điểm đi qua và tiến hành tính toán spline bậc 3 để vẽ đường bao cho vật thể:

- Code dùng để vẽ đường bao:

14

# Đọc hình ảnh

img mpimg imread ( 'C: \\ Users \\ BANG \\ OneDrive \\ Hi ̀nh a ̉nh \\ chitietmay.jpg' )

# Tạo trục đồ thị

fig, ax plt subplots ()

# Hiển thị hình ảnh

ax.imshow(img, extent = 0 , img.shape[ ], 0 , img.shape[ ]])

# Tạo mảng giá trị từ 0 đến chiều dài và chiều rộng của hình với bước nhảy là 50

x_ticks np arange ( , img.shape[ ], 50 )

y_ticks np arange ( , img.shape[ ], 50 )

# Đặt các điểm cho lưới tọa độ

ax.set_xticks(x_ticks)

ax.set_yticks(y_ticks)

# Thêm lưới tọa độ màu đen

ax.grid( True , color = 'black' , linestyle = '-' , linewidth = )

# Danh sách để lưu tọa độ

coords []

# Hàm để xử lý sự kiện click chuột

def onclick (event):

ix, iy event.xdata, event.ydata

coords append ((ix, iy))

print ( 'x = %d , y = %d ' (ix, iy))

# Kết nối sự kiện click chuột với hàm onclick

cid fig.canvas mpl_connect ( 'button_press_event' , onclick )

# Hiển thị đồ thị

plt show ()

# Tách tọa độ x và y

x, y = zip ( coords)

# Tạo spline bậc 3

spline UnivariateSpline ( , y, k 3 )

# Tạo một mảng các giá trị x liên tục

x_smooth np linspace ( min ( ), max ( ), 500 )

# Tính toán các giá trị y tương ứng

15

y_smooth spline(x_smooth)

# Vẽ đường bao màu đen

plt figure ()

plt imshow (img, extent = 0 , img.shape[ ], 0 , img.shape[ ]])

plt plot (x_smooth, y_smooth, 'red' , linewidth = )

plt xticks ( np arange ( , img.shape[ ], 50 ))

plt yticks ( np arange ( , img.shape[ ], 50 ))

plt grid (color = 'black' , linestyle = '-' , linewidth = )

plt show ()

1 Mục tiêu đạt được:

 Nắm vững khái niệm và tính chất của spline bậc 3: Sinh viên đã hoàn toàn nắm vững các khái niệm cơ bản về spline bậc 3, bao gồm định nghĩa, phương trình, tính chất và ứng dụng Sinh viên có thể giải thích rõ ràng và chính xác các khái niệm này, đồng thời vận dụng chúng vào giải quyết các bài toán liên quan

 Áp dụng spline bậc 3 để tạo đường bao cho 1 hình phẳng bất kỳ: Sinh viên đã thành công áp dụng phương pháp spline bậc 3 để tạo đường bao cho một hình phẳng bất kỳ được chọn Quá trình thực hiện được tiến hành một cách khoa học, logic và chính xác, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả của kết quả thu được

 Phân tích và đánh giá hiệu quả của phương pháp áp dụng: Sinh viên đã tiến hành phân tích và đánh giá một cách chi tiết về hiệu quả của phương pháp spline bậc 3 trong việc tạo đường bao cho hình phẳng Việc phân tích bao gồm các khía cạnh như độ chính xác, độ mịn, thời gian tính toán và khả năng áp dụng cho các hình phẳng có hình dạng phức tạp Kết quả phân tích cho thấy phương pháp spline bậc 3 có hiệu quả cao, đáp ứng được các yêu cầu về độ chính xác, độ mịn và thời gian tính toán

2 Kết quả đạt được:

 Sinh viên đã nắm vững khái niệm và tính chất của spline bậc 3: Thông qua quá trình nghiên cứu và thực hành, sinh viên đã đạt được sự hiểu biết sâu sắc về các khái niệm và tính chất cơ bản của spline bậc 3 Sinh viên có thể giải thích rõ ràng và chính xác các khái niệm này, đồng thời vận dụng chúng vào giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả

 Sinh viên đã áp dụng thành công spline bậc 3 để tạo đường bao cho 1 hình phẳng bất kỳ: Việc áp dụng spline bậc 3 để tạo đường bao cho hình phẳng đã được thực hiện thành công Sinh viên đã lựa chọn một hình phẳng bất kỳ, sau

đó áp dụng phương pháp spline bậc 3 để tạo đường bao cho hình phẳng đó Kết quả thu được cho thấy đường bao được tạo ra có độ chính xác cao, thể hiện đúng hình dạng của hình phẳng ban đầu

16

 Sinh viên đã phân tích và đánh giá hiệu quả của phương pháp áp dụng: Sinh viên đã tiến hành phân tích và đánh giá một cách chi tiết về hiệu quả của

phương pháp spline bậc 3 trong việc tạo đường bao cho hình phẳng Việc phân tích bao gồm các khía cạnh như độ chính xác, độ mịn, thời gian tính toán và khả năng áp dụng cho các hình phẳng có hình dạng phức tạp Kết quả phân tích cho thấy phương pháp spline bậc 3 có hiệu quả cao, đáp ứng được các yêu cầu

về độ chính xác, độ mịn và thời gian tính toán Ngoài ra, phương pháp này cũng có khả năng áp dụng cho các hình phẳng có hình dạng phức tạp, thể hiện tính linh hoạt và khả năng ứng dụng rộng rãi

VI Tài liệu tham khảo:

[1] A L Garcia and C Penland, MATLAB Projects for Scientists and Engineers, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996

[2] Steven Chapra, Numerical methods for Engineers

[3] http://www.khoahocviet.info/meresci/vi/meresci04d3.html