skkn cấp tỉnh kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độ nhận biết thông hiểu

MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài: - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số là các phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông và luôn xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

- Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số là các phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông và luôn xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia, tuyển sinh đại học, cao đẳng Bài tập ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được đề cập nhiều trong các tài liệu tham khảo với nhiều phương pháp giải đa dạng và phong phú Trong quá trình học tập và giảng dạy đối tượng học sinh yếu, kém của trường THPT Bá Thước tôi nhận thấy nhiều em không biết cách giải bài tập, cho dù là bài đơn giản nhất Vì vậy, trong phạm vi bài viết này, với mong muốn giúp các em học sinh học lực yếu có thêm những công cụ hữu hiệu

giải quyết các bài toán về ứng dụng đạo hàm, tôi đề xuất sáng kiến: Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- “Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức

độ nhận biết, thông hiểu” là tài liệu bổ trợ kiến thức cho các em học sinh trong

quá trình học tập và ôn thi THPT Quốc gia

- Thông qua hệ thống ví dụ và bài tập Học sinh thấy được sự vận dụng của

“Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu” vào các bài toán khảo sát hàm số trong chương trình bậc

phổ thông

- Chia sẻ cùng đồng nghiệp một số kinh nghiệm trong giảng dạy chương trình toán 12

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Nội dung SKKN nghiên cứu về một số kỹ năng giải nhanh các bài toán trắc nghiệm ở mức độ nhận biết, thông hiểu của chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12

- Tài liệu tham khảo

Các tài liệu về lí luận dạy học, phương pháp và kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển năng lực bộ môn Toán

Nghiên cứu thực trạng dạy và học môn Toán ở trường THPT Bá Thước

Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc đổi mới chương trình giáo dục môn Toán

Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình môn

Toán THPT để xây dựng hệ thống “Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu” phát huy tính tích cực,

chủ động tư duy, kĩ năng thực hành cho học sinh nhằm tăng hứng thú, say mê học tập bộ môn

Nghiên cứu quá trình dạy học ở trường THPT Bá Thước

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến:

- Thông qua quá trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạng bài toán liên quan

- Trong thực tiễn tôi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề Từ

đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:

a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng cách giải bài toán tự luận qua bài toán trắc nghiệm dẫn tới việc giải quyết bài toán trắc nghiệm cồng kềnh, thiếu khoa học

Do SGK 2008 cũng chỉ viết dưới dạng bài toán tự luận

b) Thực trạng việc học của học sinh:

Học sinh không xác định được cách làm bài toán trắc nghiệm, áp dụng cách làm tự luận vào bài toán trắc nghiệm nên quá trình giải bài mất nhiều thời gian công sức

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3.1 Giải pháp:

Từ thực trạng nêu trên thì việc đưa ra một số kỹ năng nhận dạng nhanh, đọc nhanh đồ thị hàm số, bảng biến thiên của hàm số sẽ giúp những học sinh học lực yếu có thể tự mình giải quyết được một số dạng toán của bài toán khảo sát hàm số

ở mức độ nhận biết và thông hiểu Điểm mấu chốt của vấn đề là học sinh phải nắm được hình dạng đồ thị các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức Cách đọc đồ thị và đọc bảng biến thiên Từ đó đưa ra cách xác định nhanh những yếu tố: khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận… của hàm số

Ưu điểm: Giải nhanh bài toán trắc nghiệm, dễ nhớ, dễ vận dụng

Nhược điểm: Nếu lạm dụng thì học sinh sẽ có khả năng quên kỹ năng tính đạo hàm, kỹ năng xét dấu đạo hàm… Do đó cần phải có sự vận dung phù hợp trong nội dung giảng dạy

2.3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến

Nội dung giải pháp đề xuất : Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

1 Kỹ năng 1: Nhận dạng đồ thị hàm số, bảng biến thiên

Đề nhận dạng đồ thị hàm số học sinh cần nắm rõ các dạng đồ thị và các bảng biến thiên

A Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a  0

Phương trình y/ 0

có 2 nghiệm phân

biệt

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

Phương trình y/ 0

có nghiệm kép

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

Phương trình y/ 0

vô nghiệm

x

y

1

O

1

x

y

1

O 1

B Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a 0

Phương trình



y/ 0 có 3

nghiệm phân biệt

(ab<0)

x

y

O

1

y

1

O

1

Phương trình



y/ 0 có 1

nghiệm.

x

y

1

O

1

x

y

O

1

1

C Hàm số nhất biến       

ax b

cx d

  

Ví dụ 1: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng

như đường cong trong hình bên?

A y x 3 3x B y  x33x C y x 4  2x2 D y  x4 2x2

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh thì quan sát đồ thị, ta nhận

thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3, có hệ số a 0 Như vậy các phương án B, C, D đều loại Đáp án đúng là A.

Ví dụ 2 : (Mã 101 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường

cong trong hình bên?

A y x 3 3x2 1 B y  x3 3x2 1

C y  x4 2x2 1 D y x 4  2x2 1

Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương tức là phương án A, B (loại), Tiếp đến có hệ số a 0 vậy loại phương án D (loại),và chỉ có đáp án là C là đúng.

 Qua ví dụ 1, 2 thấy rằng : nếu học sinh không nhớ được hình dạng của đồ thị hàm

số bậc 3, bậc 4 như thế nào và đặc điểm của đồ thị hàm bậc 3, 4 thì học sinh sẽ phải

đi vẽ đồ thị hàm số của từng đáp án như vậy sẽ tốn rất nhiều thời gian và khả năng làm và vẽ sai sẽ rất cao Nhưng khi học sinh nhớ được đặc điểm đồ thi của hàm số thì chúng ta chỉ câu này rất nhanh mà lại đúng

Ví dụ 3: (Mã 123 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y ax b

cx d





 với a b c d, , , là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A y    B 0, x y 0,  C x 1 y0,  D x 1 y    0, x

Phân tích bài toán: Dựa vào hàm số, ta nhận thấy rằng đồ thị có tiệm cận đứng

1

x  và tiệm cận ngang y 1 nên phương án D, B (loại), tiếp đến đồ thị giao với

Oy tại điểm 0; 1  và Ox tại điểm 1;0 Do đó phương án A (loại) Vậy đáp án

là C.

→ Qua ví dụ 3 ta thấy rằng : Nếu học không biết nhìn từ đồ thị đọc ra các yếu tố của hàm số thì học sinh sẽ lại phải đi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên sẽ rất mấy thời gian Nhưng nếu học sinh nắm được đồ thị hàm y ax b

cx d





 thì học sinh làm câu này chỉ trong vòng 2 phút là chọn được đáp án đúng

Bài tập đề nghị:

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như

đường cong trong dưới đây?

A y  x4 2x2 B y x 4  2x2 C y x 3 3x2 D y x3 3x2

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng

như đường cong trong hình bên?

A y x 3 3x B y x3 3x C y x 4  2x2 D y  x4 2x2.

Câu 3 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường

cong trong hình bên?

A.y x 3  3x2 1 B y  x3 3x2 1 C y x4  2x2  1 D y x 4  2x2  1

Câu 4 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường

cong trong hình bên?

A y x4  2x2 B y x3 3x C y x 4 2x2 D y x 3 3x

Câu 5.(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba

 

y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên Số

nghiệm thực của phương trình f x  là  1

2 Kỹ năng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Loại 1: Hàm số y f x( ) (không chứa tham số m) đồng biến( nghịch biến) trên

khoảng nào?

Phương pháp : Bằng cách đọc khoảng đơn điệu qua bảng biến thiên

- Các khoảng của x mà dấu y , mũi tên đi lên từ trái qua phải thì hàm số đồng 0 biến trên khoảng đó

- Các khoảng của x mà dấu y , mũi tên đi xuống từ trái qua phải thì hàm số 0

nghịch biến trên khoảng đó

Ví dụ 4:(Câu 17 MĐ 103 đề thi của Bộ GD-ĐT năm 2020)

Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Phân tích bài toán: Dựa vào bảng biến thiên của f x( ) ta nhận thấy hàm số đồng

biến là những khoảng mà tại đó y mang dấu (+) Vậy ta thấy khoảng (  ; 2) và

0;2 Vậy ta chọn đáp án đúng là B 

→ Qua ví dụ 4 ta thấy rằng : Ta chỉ cần nhớ được hàm số đồng biến, nghịch biến là như thế nào là dựa vào bảng biến thiên có thể đọc được ra các khoảng đơn điệu một cách chính xác

Loại 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y f x m( , ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng hoặc trên ?

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K mà chỉ tại một số hữu hạn điểm và

( ) 0,

f x   x K thì hàm số đồng biến trên K

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K mà ( ) 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm và ( ) 0,

f x   x K thì hàm số nghịch biến trên K.

Ví dụ 5: (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Tìm tất cả các

giá trị thực của m để hàm số 2

2

mx y

x m





 đồng biến trên mỗi khoảng xác định

2

m

m





 B 2m2 C 2

2

m m

 



 

 D 2 m 2

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên ta chỉ cần giải điều kiện

2

ad bc    m     m Do đó đáp án là: B

Bài tập đề nghị:

Câu 1 (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ; 1

B 0;1 

C 1;1.

D 1;0

Câu 2 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A   ; 1 

B 1;1

C 1;0 

D 1;

Câu 3 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 2

B Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2

Câu 4 (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số yf x  có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;  B   ;1 C 1;  D   ; 1

Câu 5 (Mã 101 - 2018) Cho hàm sốy f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;0

B  ;0

C 1; 

D 0;1

3 Kỹ năng 3: Tìm cực trị của hàm số.

a: Đọc bảng biến thiên tìm cự trị của hàm số không chứa tham số

* Nếu hàm số đã cho không chứa tham số thì phương pháp tóm tắt là tìm TXĐ,

tính y và lập bảng biến thiên xét dấu y, sau đó kết luận.

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên a b chứa điểm ;  x và có đạo hàm trên0

a b {x } :;  \ 0

- Nếu f x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x thì 0 f x đạt cực 

đại tại x0

- Nếu f x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x thì 0 f x đạt cực 

tiểu tại x0

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng a b chứa điểm ;  x , 0 f x 0 0và có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x :0

- Nếu f x( ) 00  thì f x đạt cực tiểu tại   x 0

- Nếu f x( ) 00  thì f x đạt cực đại tại   x 0

Ví dụ 6: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên 

như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A x 2 B x 2 C x 1 D x 1

Phân tích bài toán: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại bằng 1 tại

giá trị x 1 vậy đáp án đúng là D

→ Qua ví dụ ta 6 thấy rằng : Chỉ cần đọc được bảng biến thiên của hàm số các em

có thể tìm ngay được ra tọa độ các điểm cự trị mà không mất nhiều thời gian

b: Nếu hàm số đã cho chứa tham số

* Đối với hàm số y ax 3 bx2 cx d ,(a 0).

Tình huống 1 : Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm

 Điều kiện để hàm số có cực trị tại x là: 0 0

0

( ) ( )

0 0

x x

y y





 



 Điều kiện để hàm số có cực đại tại x là: 0 0

0

( ) ( )

0 0

x x

y y





 



 Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại x là: 0 0

0

( ) ( )

0 0

x x

y y





 

Tình huống 2 :

 Điều kiện để hàm số y ax 3 bx2cx d ,(a 0) có cực trị

Phương pháp: Chỉ ra:y 3ax2 2bx c 0 có 2 nghiệm phân

biệt   y' 0

 Điều kiện để hàm số y ax 3 bx2 cx d ,(a 0) có cực trị thỏa mãn tính

chất K

Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: y 3ax2 2bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt   y 0.Sau đó, giải điều kiện K, rồi đối chiếu với  y 0và kết luận

* Đối với hàm số y ax 4 bx2 c (a 0) .

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là a và b trái dấu tức là:

a b 

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: a b  0

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu là: 0

0

a b









 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 1 cực đại và 2 cực tiểu là: 0

0

a b









 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực tiểu là: 0

0

a b









 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực đại là: 0

0

a b









Ví dụ 7: (Câu 32 MĐ 102 đề thi của Bộ GD-ĐT năm 2017): Tìm giá trị thực của

tham số m để hàm số 1 3 2 2

3

y  x  mx  m  x đạt cực đại tạix 3

A m 1 B m 1 C m 5 D m 7

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính yx2  2mx m 2  4;y2x 2m Sau đó, giải điều kiện:

2

5

m



Vậy đáp án là: C

Ví dụ 8: (Câu 8 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m sao cho đồ thị của hàm sốy x 4 2mx2 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

A 31

9

3

1 9

m  D m 1

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là

a và b trái dấu, tức là: m 0 Khi đó ta giải tiếp là: Vì m 0 nên đáp án có thể là A hay B, ta lấy B m 1 thế vào bài toán và kiểm tra điều kiện còn lại, nếu đúng thì

B là đáp án, ngược lại thì A (Bài này đáp án là B).

→ Qua ví dụ 8 thấy rằng : Đối hàm số chứa tham số để tìm cực trị nhanh thì cần nhớ

được các điều kiện để bên trên của hàm số bậc 3 và hàm số bậc 4 để áp dụng vào

Bài tập đề nghị:

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như 

sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A x 2 B x 2 C x 1 D x 1

Câu 3.(Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm f x có bảng biến thiên như sau: 

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Câu 4 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Câu 5 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

4 Kỹ năng 4: Tìm Tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Kiến thức cơ bản:

1) Nếu có limx a + f(x)

   hoặc có limx a + f(x)

  hoặc có limx a - f(x)

   hoặc có lim

 thì đồ thị hàm số y f x( ) có tiệm cận đứng là x a

2) Nếu có limx +  f(x) b hoặc có limx -  f(x) b thì đồ thị hàm số yf x( ) có tiệm cận ngang là y b

Chú ý: Nếu đồ thị hàm số dạng y ax b

cx d





 (ad bc 0) thì luôn có tiệm cận ngang là y a

c

 và tiệm cận đứng là x d

c

 ,(c 0)

Ví dụ 9:(Mã 101 – 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2

1

x y x





 là

A x 2 B x 2 C x 1 D x 1

Phân tích bài toán: Theo chú ý trên thì đồ thị hàm số luôn có tiệm cận đứng là

d

x

c

 ,(c 0) Vậy đáp án là: C.

→ Qua ví dụ 9 thấy rằng : Các em chỉ cần nhớ nếu tìm tiệm cận đồ thị hàm số dạng

ax b

y

cx d





 (ad bc 0) thì tiệm cận ngang là y a

c

 và tiệm cận đứng là d

x c

 ,(c 0)và như vậy chỉ cần áp vào công thức là chúng ta tìm được tiệm cận một cách nhanh chứ không cần phải đi tính giới hạn nữa

Bài tập đề nghị:

Câu 1.(Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f x( ) có lim ( ) 1x  f x  và

lim ( ) 1

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1