Đang tải... (xem toàn văn)
1 MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn đề tài:
- Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số là các phần quantrọng trong chương trình toán phổ thông và luôn xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốcgia, tuyển sinh đại học, cao đẳng Bài tập ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồthị của hàm số được đề cập nhiều trong các tài liệu tham khảo với nhiều phươngpháp giải đa dạng và phong phú Trong quá trình học tập và giảng dạy đối tượnghọc sinh yếu, kém của trường THPT Bá Thước tôi nhận thấy nhiều em không biếtcách giải bài tập, cho dù là bài đơn giản nhất Vì vậy, trong phạm vi bài viết này,với mong muốn giúp các em học sinh học lực yếu có thêm những công cụ hữu hiệu
giải quyết các bài toán về ứng dụng đạo hàm, tôi đề xuất sáng kiến: Kỹ năng giảinhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thônghiểu
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- “Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mứcđộ nhận biết, thông hiểu” là tài liệu bổ trợ kiến thức cho các em học sinh trong
quá trình học tập và ôn thi THPT Quốc gia.
- Thông qua hệ thống ví dụ và bài tập Học sinh thấy được sự vận dụng của
“Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số mức độnhận biết, thông hiểu” vào các bài toán khảo sát hàm số trong chương trình bậc
phổ thông.
- Chia sẻ cùng đồng nghiệp một số kinh nghiệm trong giảng dạy chươngtrình toán 12.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
- Nội dung SKKN nghiên cứu về một số kỹ năng giải nhanh các bài toán trắcnghiệm ở mức độ nhận biết, thông hiểu của chương 1: Ứng dụng đạo hàm đểkhảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12
- Tài liệu tham khảo.
Các tài liệu về lí luận dạy học, phương pháp và kĩ thuật dạy học theo hướngphát triển năng lực bộ môn Toán.
Nghiên cứu thực trạng dạy và học môn Toán ở trường THPT Bá Thước.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc đổi mới chương trình giáo dục môn Toán.
Trang 2Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình môn
Toán THPT để xây dựng hệ thống “Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệmphần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu” phát huy tính tích cực,
chủ động tư duy, kĩ năng thực hành cho học sinh nhằm tăng hứng thú, say mê họctập bộ môn.
Nghiên cứu quá trình dạy học ở trường THPT Bá Thước.
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến:
- Thông qua quá trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạngbài toán liên quan.
- Trong thực tiễn tôi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề Từđó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:
a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:
Có một số giáo viên đã vận dụng cách giải bài toán tự luận qua bài toán trắcnghiệm dẫn tới việc giải quyết bài toán trắc nghiệm cồng kềnh, thiếu khoa học.Do SGK 2008 cũng chỉ viết dưới dạng bài toán tự luận.
b) Thực trạng việc học của học sinh:
Học sinh không xác định được cách làm bài toán trắc nghiệm, áp dụng cáchlàm tự luận vào bài toán trắc nghiệm nên quá trình giải bài mất nhiều thời giancông sức.
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:2.3.1 Giải pháp:
Từ thực trạng nêu trên thì việc đưa ra một số kỹ năng nhận dạng nhanh, đọcnhanh đồ thị hàm số, bảng biến thiên của hàm số sẽ giúp những học sinh học lựcyếu có thể tự mình giải quyết được một số dạng toán của bài toán khảo sát hàm sốở mức độ nhận biết và thông hiểu Điểm mấu chốt của vấn đề là học sinh phải nắmđược hình dạng đồ thị các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương và hàm số phânthức Cách đọc đồ thị và đọc bảng biến thiên Từ đó đưa ra cách xác định nhanhnhững yếu tố: khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận… của hàm số
Ưu điểm: Giải nhanh bài toán trắc nghiệm, dễ nhớ, dễ vận dụng.
Nhược điểm: Nếu lạm dụng thì học sinh sẽ có khả năng quên kỹ năng tínhđạo hàm, kỹ năng xét dấu đạo hàm… Do đó cần phải có sự vận dung phù hợptrong nội dung giảng dạy.
2.3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến
Nội dung giải pháp đề xuất : Kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệmphần khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu
1 Kỹ năng 1: Nhận dạng đồ thị hàm số, bảng biến thiên
Trang 3Đề nhận dạng đồ thị hàm số học sinh cần nắm rõ các dạng đồ thị và các bảng biếnthiên.
A Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a 0
Phương trình y/ 0
có 2 nghiệm phân biệt
xy
Trang 4
Ví dụ 1: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng
như đường cong trong hình bên?
A y x 3 3x B y x33x C y x 4 2x2 D y x4 2x2.
Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh thì quan sát đồ thị, ta nhận
thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3, có hệ số a 0 Như vậy các phương án B, C, D đều loại Đáp án đúng là A.
Ví dụ 2 : (Mã 101 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường
cong trong hình bên?
A y x 3 3x2 1 B y x3 3x2 1.
C y x4 2x2 1 D y x 4 2x2 1.
Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùngphương tức là phương án A, B (loại), Tiếp đến có hệ số a 0 vậy loại phương án D(loại),và chỉ có đáp án là C là đúng.
Trang 5 Qua ví dụ 1, 2 thấy rằng : nếu học sinh không nhớ được hình dạng của đồ thị hàmsố bậc 3, bậc 4 như thế nào và đặc điểm của đồ thị hàm bậc 3, 4 thì học sinh sẽ phảiđi vẽ đồ thị hàm số của từng đáp án như vậy sẽ tốn rất nhiều thời gian và khả nănglàm và vẽ sai sẽ rất cao Nhưng khi học sinh nhớ được đặc điểm đồ thi của hàm sốthì chúng ta chỉ câu này rất nhanh mà lại đúng
Ví dụ 3: (Mã 123 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax bcx d
với a b c d, , , là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A y B 0, xy 0, C x 1 y0, D x 1 y 0, x
Phân tích bài toán: Dựa vào hàm số, ta nhận thấy rằng đồ thị có tiệm cận đứng
x và tiệm cận ngang y 1 nên phương án D, B (loại), tiếp đến đồ thị giao với
Oy tại điểm 0; 1 và Ox tại điểm 1;0 Do đó phương án A (loại) Vậy đáp ánlà C.
→ Qua ví dụ 3 ta thấy rằng : Nếu học không biết nhìn từ đồ thị đọc ra các yếu tố củahàm số thì học sinh sẽ lại phải đi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên sẽ rất mấy thời gian Nhưng nếu học sinh nắm được đồ thị hàm yax b
cx d
thì học sinh làm câu nàychỉ trong vòng 2 phút là chọn được đáp án đúng.
Bài tập đề nghị:
Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như
đường cong trong dưới đây?
A y x4 2x2 B y x 4 2x2 C y x 3 3x2 D y x3 3x2.
Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng
như đường cong trong hình bên?
Trang 6A y x 3 3x B y x3 3x C y x 4 2x2 D y x4 2x2.
Câu 3 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường
cong trong hình bên?
A.y x 3 3x2 1 B y x3 3x2 1 C y x42x21 D y x42x21.
Câu 4 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường
cong trong hình bên?
2 Kỹ năng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Loại 1: Hàm số y f x( ) (không chứa tham số m) đồng biến( nghịch biến) trên
khoảng nào?
Phương pháp : Bằng cách đọc khoảng đơn điệu qua bảng biến thiên.
- Các khoảng của x mà dấu y , mũi tên đi lên từ trái qua phải thì hàm số đồng 0biến trên khoảng đó
Trang 7- Các khoảng của x mà dấu y , mũi tên đi xuống từ trái qua phải thì hàm số 0
nghịch biến trên khoảng đó
Ví dụ 4:(Câu 17 MĐ 103 đề thi của Bộ GD-ĐT năm 2020)
Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Phân tích bài toán: Dựa vào bảng biến thiên của f x( ) ta nhận thấy hàm số đồng
biến là những khoảng mà tại đó y mang dấu (+) Vậy ta thấy khoảng ( ; 2) và
0;2 Vậy ta chọn đáp án đúng là B
→ Qua ví dụ 4 ta thấy rằng : Ta chỉ cần nhớ được hàm số đồng biến, nghịch biến lànhư thế nào là dựa vào bảng biến thiên có thể đọc được ra các khoảng đơn điệu mộtcách chính xác.
Loại 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y f x m( , ) đồng biến (nghịch biến)trên khoảng hoặc trên ?
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K mà chỉ tại một số hữu hạn điểm và
x m
đồng biến trên mỗi khoảng xác định
B 2m2 C 2
Câu 1 (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A ; 1.
B 0;1
Trang 8C 1;1.
D 1;0
Câu 2 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A ; 1
B 1;1
C 1;0
D 1;.
Câu 3 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2
B Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0
C Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 D Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2
Câu 4 (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số yf x có bảng xét dấu củađạo hàm như hình vẽ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
a: Đọc bảng biến thiên tìm cự trị của hàm số không chứa tham số
* Nếu hàm số đã cho không chứa tham số thì phương pháp tóm tắt là tìm TXĐ,
tính y và lập bảng biến thiên xét dấu y, sau đó kết luận.
Trang 9Giả sử hàm số y f x liên tục trên a b chứa điểm ; x và có đạo hàm trên0
- Nếu f x( ) 00 thì f x đạt cực tiểu tại x 0
- Nếu f x( ) 00 thì f x đạt cực đại tại x 0
Ví dụ 6: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên
Điều kiện để hàm số có cực đại tại x là: 0 00
( )( )
Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại x là: 000
( )( )
Tình huống 2 :
Điều kiện để hàm số y ax 3 bx2cx d ,(a 0) có cực trị
Trang 10Phương pháp: Chỉ ra:y 3ax2 2bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt y' 0.
Điều kiện để hàm số y ax 3 bx2 cx d ,(a 0) có cực trị thỏa mãn tính
Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: a b 0.
Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu là: 0
Ví dụ 8: (Câu 8 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m sao cho đồ thị của hàm sốy x 4 2mx2 1 có ba điểm cựctrị tạo thành một tam giác vuông cân.
m D m 1
Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là
a và b trái dấu, tức là: m 0 Khi đó ta giải tiếp là: Vì m 0 nên đáp án có thể là Ahay B, ta lấy B m 1 thế vào bài toán và kiểm tra điều kiện còn lại, nếu đúng thì
B là đáp án, ngược lại thì A (Bài này đáp án là B).
Trang 11→ Qua ví dụ 8 thấy rằng : Đối hàm số chứa tham số để tìm cực trị nhanh thì cần nhớ
được các điều kiện để bên trên của hàm số bậc 3 và hàm số bậc 4 để áp dụng vào
Câu 3.(Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm f x có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Câu 4 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau.
Trang 12Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
Câu 5 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
4 Kỹ năng 4: Tìm Tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Kiến thức cơ bản: 1) Nếu có limx a+f(x)
hoặc có limx a+f(x)
hoặc có limx a-f(x)
hoặc cólim
(ad bc 0) thì luôn có tiệm cận ngang là ya
và tiệm cận đứng là xdc
,(c 0)
Ví dụ 9:(Mã 101 – 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2
là
A x 2 B x 2 C x 1 D x 1.
Phân tích bài toán: Theo chú ý trên thì đồ thị hàm số luôn có tiệm cận đứng là
,(c 0) Vậy đáp án là: C.
→ Qua ví dụ 9 thấy rằng : Các em chỉ cần nhớ nếu tìm tiệm cận đồ thị hàm số dạng
ax by
cx d
(ad bc 0) thì tiệm cận ngang là yac
và tiệm cận đứng là dx
,(c 0)và như vậy chỉ cần áp vào công thức là chúng ta tìm được tiệm cận một cáchnhanh chứ không cần phải đi tính giới hạn nữa.
Bài tập đề nghị:
Câu 1.(Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y f x( ) có lim ( ) 1x f x vàlim ( ) 1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1.
Trang 13B Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 1 và y 1
Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2
A y 2 B y 1 C x 1 D x 2.
Câu 3.(Mã 101 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4 1
là:
y B y 1. C y 1. D y 2.
5 Kỹ năng 5: Viết phương trình tiếp tuyến.
a) Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M x y là:0( ; )00
y - y y x x x .
Đối với loại bài tài tập này học sinh cần xác định được rằng muốn lập được
phương trình tiếp tuyến cần tìm toạ độ tiếp điểm M : Tìm 0 x y và hệ số góc của 0; 0
Trang 14Phân tích và giải bài toán: f x( ) 3 x24x 15 f(2) 5 Phương trình tiếp tuyến với C tại A có dạng:y 2 5(x 2) y 5x 12 Vậy đáp án A.b) Phương trình tiếp tuyến của đường cong biết hệ số góc của tiếp tuyến
Đối với loại bài tài tập này: Học sinh thường không khai thác được giả thiết cho
Phân tích và giải bài toán:
- Tiếp tuyến song song với d : 2
y x x x- Với hai giá trị x0 ta tìm được hai giá trị y 0 5
- Tại 1;5 thì phương trình tiếp tuyến: y 13x 8
- Tại 1; 5 thì phương trình tiếp tuyến: y 13x8 (loại).Vậy đáp án B.Bài tập đề nghị:
Câu 1.(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Phương trình tiếp tuyến của
đường cong y x 33x2 2 tại điểm có hoành độ x là0 1
A y 9x7 B y9x 7.C y 9x7 D y 9x 7.
Câu 2.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
tại điểm có hoành độ
x là
A.y2x3 B y 2x 3 C y 2x 3 D y 2x3.
Câu 3 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y x 33x có đồ thị
C Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm có tung độ bằng 4 là:
Câu 4 (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số 1
Phương trìnhtiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 1;0 là
Trang 15Câu 5 (Chuyên Lê Thánh Tông -2019) Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàmsố y x 3 mx2 2m 3x 1 đều có hệ số góc dương.
6 Kỹ năng 6: Giải một số bài toán tương giao.
1) Biện luận số nghiệm của phương trình ( , ) 0f x m , m: tham số.
Dựa vào đồ thị (gồm một đường cong và một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành) biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình: ( , ) 0f x m , m: tham số.
ươ ng ph á p : Viết lại phương trình ( )g x h m( ) Với y g x ( )có đồ thị C đã vẽ.
( )
y h m có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.
B1: Biến đổi phương trình hoành độ giao điểm của d và C
B2: Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của hai đồ thị
B3: Dựa vào đồ thị tịnh tiến d song song hoặc trùng với Ox số giao điểm
số nghiệm phương trình.B4: Kết luận.
Ví dụ 12: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên Tập tất cả các giá trị củatham số m để phương trình ( )f x m 2 0có bốn
nghiệm phân biệt là:
A 2m6 B 0 m 6
C 0m4 D 0 m 4
Phân tích bài toán: Số nghiệm phương trình
f x m chính là số giao điểm của đồ thị hàm
số y f x và đường thẳng y m 2 Nhìn vào đồ thị thì ta thấy đt cắt đồ thị tai4 điển khi 0m 2 4 2m6 Vậy ta chon đáp án đúng là A
2) Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.Phương pháp:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
B2: Số giao điểm của hai đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình hoành độgiao điểm.
Ví dụ 13:(Câu 17 đề minh họa của Bộ GD-ĐT 2018)
Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm phương trình f x ( ) 2 0 là
O4