Chủ Đề 17 - Ứng Dụng Tích Phân Tính Diện Tích Hình Phẳng.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 17: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNGA KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số yf x y , g x  và hai đường thẳng xa,

xb được tính theo công thức

   

 Quy ước: Trong bài học này ta gọi đường thẳng xa là cận thứ nhất, xb là cận thứ hai.

 Chú ý: Khi đề bài không cho hai cận thì hai cận sẽ có dạng xx1, xx2 là hai nghiệm của phươngtrình hoành độ giao điểm.

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số xf y ,x g y  và hai cận ya,yb

được tính theo công thức:

   

Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường hai cận

Ví dụ 1 (Chuyên Thái Nguyên): Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị



Vậy 4 cos cos 3 2

Chú ý đầu tiên khi bài toán không cho hình phẳng giới hạn bởi 2 cận a,b thì ta tìm 2 cận bằng cách tìmnghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Việc xác định xem cận nào lấy cận nào không? Cận nào hợp với cận đã cho tạo thành miền phẳng khépkín cũng là một công tác rất quan trọng cấu tạo nên bài tích phân tính diện tích.

Ví dụ 3 (vn.math): Đường thẳng yc chia hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

S thỏa mãn (*)

 Chọn ABình luận

Ta có thể loại ngay được 2 đáp án C và D vì c phải thuộc khoảng từ 0 đến 2.

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 3 cận

Ví dụ 4 (Chuyên Quốc Học Huế): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   2

2 1

Ta thấy nghiệm x3 thuộc miền giới hạn của x2, x4 vậy ta coi x 3 là một cận.

Khi đó phần hình phẳng cần tìm được chia thành 2 phần hình phẳng nhỏ Phần thứ nhất nằm giữa 2 cận

x ,x3 ta gọi là S1 và phần thứ 2 nằm giữa 2 cận x3, x4 ta gọi là S2

Với 3 cận tìm được ta phải chia thành 2 hình phẳng nhỏ và tính từng hình phẳng một.Tuyệt đối không tính chung  

Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường 3 cậnVí dụ 6 (Sở GD-ĐT Bình Phước): Cho Parabol 2

xxx ta sẽ chia thành 2 khoảng cận 1;156

  và 15;46

  tương ứng với 2 hìnhphẳng S1 và S2.

Việc chọn 2 hàm trong 3 hàm cho từng khoảng cận là việc rất khó khăn Ta có thể xử lý bằng cách vẽphác họa đồ thị các hàm và quan sát hoặc ta có thể lập luận như sau: Cận ngoài cùng bên trái là cậnx1

chỉ chứa y2x4 và Parabol (không chứa y4x 11) nên diện tích hình phẳng được tạo nên bởi 2đường này

Ví dụ 7 (Chuyên KHTN Huế): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường gấp khúc y 4 x , trụchoành và hai đường thẳng lần lượt x 1,x 1 là

Đường gấp khúc y 4 x thực chất là 2 đường thẳng y 4 x tương ứng với x 0 (phần nằm bênphải trục tung) và y 4 xtương ứng với x 0 (phần nằm bên trái trục tung) Hai đường thẳng nàygiao nhau tại điểm M0;4.

Vậy cận thứ 3 là x 0 thuộc miền cận ban đầu 1;1

Dạng 4: Diện tích hình phẳng chứa 1 đường cong có 2 nhánh

Ví dụ 8 (ThukhoA.edu.vn): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip

D 7

23 1

 Chọn D Bình luận

Ngoài tọa độ 4 đỉnh ABCD như giới thiệu trong bài thì Elip còn 2 điểm đặc biệt nữa là 2 tiêu cự

F c và F c2 ;0 với c2 a2  b2

Ví dụ 10 (Chuyên Sư phạm HN): Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía

ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính bằng 1

2 và phía trong của Elip có độdài trục lớn bằng 2 2 và trục nhỏ bằng 2 như hình vẽ Trong mỗi đơn vị diện tíchcần bón

Ngoài cách tính nhanh cho diện tích Elip và đường tròn thì ta có thể thực tập cách tách 1 đường congthành 2 nhánh.

Ví dụ như bài này có Elip: 2 2 1 1 2

Ta coi  

xy  xf y

xy   x   y  xg y Trục hoành có phương trình y 0

Giải phương trình tung độ giao điểm: 23   4  

xg y rồi áp dụng công thức tương tự như đã học.

Ví dụ 12 (Báo THTT): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 24



Ta có   

Câu 3 (THPT TH Cao Nguyên - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 31

y  ; y 27x

A 22

Câu 6 (Đề Minh Họa - 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường yf x , trục

hoành và hai đường thẳng x1,x2 (như hình vẽ bên) Đặt   

Câu 14 (Chuyên Thái Nguyên - 2018) Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Pyx và đường thẳng d y: x xoay quanh trục Ox bằng

Câu 19 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ylnx, y 0,

y  chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2thành 2 phần Tỉ số diện tích của chúng thuộc khoảng nào:

A 2 1;5 2

C 3 7;5 10

yx  và yk,0k1 Tìm k để diệntích của hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc

xk k chia (H) thành hai phần có diện tích là S1, S2 và

như hình vẽ bên dưới Tìm k để S1=2S2.

A ln83

k 

B k ln 2

C k ln 3

D 2ln 43

k 

Câu 24 (Sở GD-ĐT TP HCM - 2018) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị (P) của hàm số 26

y x x và trục hoành Hai đường thẳng

Câu 25 (Chuyên Lương Thế Vinh - 2018) Hình vuông OABC có cạnh bằng 4

được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình 1 24

y x Gọi S1,

S2 là diện tích của phần không bị gạch và phần bị gạch (như hình vẽ) Tính tỉ số 12

A 12

S

B 12

C 12

D 12

Câu 26 (Chuyên Hưng Yên - 2018) Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol.

Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm

y x x và trục hoành Số nguyên lớn nhất không vượt quá S là

Câu 30 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất

mang hình dáng khác nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo

thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó

được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 22 2

hình vẽ bên Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng

với chiều dài 1 mét.

A 125 26