Chủ Đề 18 - Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

VẬT THỂ TRONG XOAY

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Dạng 1: Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S x tạo bởi mặt phẳng vuông góc với   Ox tại điểm có hoành độ x a x b    Giả sử S x là hàm liên tục thì thể tích vật thể tích theo công thức: 

 

b

a

2 Dạng 2: Cho hình phẳng  H tạo bởi các đường yf x , y g x   và các đường thẳng x a ,

x b Khi quay hình phẳng  H quanh trục Ox thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo công thức:

b

a

3 Dạng 3: Cho hình phẳng  H tạo bởi các đường xf y x g y ,    và các đường thẳng y a y b ,  Khi quay hình phẳng  H quanh trục Oy thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo công thức:

b

a

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi

Ví dụ 1: (Báo THTT)

Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x0,x1 biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x0 x 1 là một tam giác đều có cạnh là

4 ln 1 x

A 4 3 2ln 2 1   B 4 3 2ln 2 1   C 8 3 2ln 2 1   D 162ln 2 1 

Giải

Thiết diện là một tam giác đều nên có diện tích:   4 ln 1  2 3 4 3 ln 1 

4

Diện tích S S x   là một hàm liên tục trên 0;1 nên thể tích được tính theo công thức:

4 3 ln 1 2.6763 3 2ln 2 1

=> Chọn A

Phân tích

Diện tích một tam giác đều cạnh x được tính theo công thức 2 3

4

a

Ví dụ 2: (Đề minh họa BGD)

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x 1 và x 1 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt

phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 3 thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2

A V 32 2 15 B 124

3

3

V  D V 32 2 15 

Giải

Diện tích thiết diện S S x 3x 3x2 2

Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi đều là:  

2

V S x dxx x  dx 41,3 3  1243

=> Chọn C

Phân tích

Đây là 1 dạng toán lạ, xuất hiện trong sách giáo khoa nâng cao Nếu học sinh chưa biết cách làm thì rất khó nhưng biết cách làm rồi thì lại đơn giản.

Ví dụ 3: (Sở GD – ĐT Phú Thọ)

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x 1 và x 4 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 4 thì được thiết diện là một hình lục giác đều có

độ dài cạnh là 2x

Giải

Khám phá tính chất lục giác đều ta thấy: Lục giác đều là 1 hình được ghép lại bởi 6 tam giác đều bằng nhau

Diện tích 1 tam giác là: 2 2 2

0

Vậy diện tích của lục giác đều cạnh 2x là:   2

0

Suy ra thể tích cần tìm là:  

4

1

=> Chọn B

Ví dụ 4: (Sở GD – ĐT Bắc Giang)

Có một vật hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly dưới dây Người ta đo được đường kính của

miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một

Parabol Tính thể tích của vật thể đã cho

A 12 B 12 C 72

5



D 72

5

Giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình bên tương ứng I là gốc tọa độ, IO là trục hoành

Gọi phương trình Parabol là 2

y ax bc c Parabol qua I0;0 0 0   c 0 c0

Parabol qua B2;6 4a2b6

Parabol qua A2;6  4a 2b6







Lấy M0;y thuộc OI, mặt phẳng qua M và vuông góc với Oy cắt hình theo thiết diện là một đường tròn

bán kính là MN với N là giao điểm của đường tròn và Parabol.

2

,

3

Bán kính thiết diện 0 2

3

 Diện tích thiết diện:  

2

0

y

 Thể tích ly:  

2

2

12 3

=> Chọn A

Phân tích:

Bài toán này là bài mở rộng của dạng 1 Nếu thiết diện có diện tích S y thì thể tích vật thể sẽ là 

 

6

0

S y dy



Dạng 2: Thể tích sinh ra khi hình phẳng xoay quanh Ox

Ví dụ 5: (Thi THPT QG)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi y 2 sin x, trục hoành và các đường thẳng x0,x  Khối tròn

xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích là bao nhiêu?

A V 22 B V 2  1 C V 2 D V 2 1

Giải

Giải phương trình hoành độ giao điểm: 2 sin x  0 sinx  vô nghiệm 2  chỉ có 2 cận là 0,

Thể tích cần tìm: 2  2   

2 sin

Tính giá trị tích phân:    

0

2 sin x dx8.28 2 1



Từ đó suy ra V 2  1

=> Chọn B

Phân tích:

Dù đề bài cho 2 cận sẵn rồi nhưng chúng ta vẫn cứ cẩn thận tìm xem có cận thứ 3 không Nếu có cận thứ

3 thì thể tích phải chia thành 2 thể tích nhỏ cộng lại với nhau.

Khi tính giá trị thể tích bằng máy tính casio ta chú ý không cần nhập giá trị  vào tránh rối mắt.

Trong các đáp án của loại này phải có nhân tử  nếu không có thì sai luôn Ví dụ như đáp số D.

Ví dụ 6: (Chuyên ĐH Vinh)

Cho hàm bậc hai: yf x  có đồ thị như hình bên Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x  và Ox quanh trục Ox.

A 16

15



B 4

3



C 16

5



D 12

5



Giải

Đồ thị của hàm bậc 2 có dạng Parabol

Gọi hàm yf x  có phường trình 2

y ax bx c

Đồ thị đi qua gốc tọa độ  0a0b c  0 c0

Đồ thị đi qua 1;1 a b c   1 a b 1 1 

Đồ thị đi qua 2;0  4a2b c  0 4a2b0 2 

Từ  1 và  2 ta có: 1 1, 2

a b

 







 Hàm số có dạng 2

2

 Thể tích cần tìm:  

2 2 0

2

V  x  x dx Tính tích phân  

2

0

16 2

15



Vậy 16

15

V   => Chọn A

Phân tích:

Một bài toán hay, đề bài yêu cầu ta phải đi xây dựng hàm yf x  rồi mới lắp công thức để tính thể

Ví dụ 7: (Sở GD – ĐT Hà Tĩnh)

Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường

kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa đường tròn đường kính AB có diện tích là 8 và góc

 300

BAC  Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H quanh đường AB.

A.220

3



B.98

3



C.224

3



D 2

4

Giải

Diện tích nửa đường tròn đường kính AB là

1

AB



       

Gọi R là bán kính đường tròn lớn và 1 R là bán kính đường tròn nhỏ 2

R

  và R 2 2

Lắp hệ trục tọa độ vào hình vẽ, chọn A là gốc tọa độ O và AB là trục

hoành Ox

Khi đó đường tròn to có tâm I14;0 và đường tròn nhỏ có tâm

I

Phương trình đường tròn lớn: x 42y2 16 Phương trình cung

tròn lớn là: y 16 x 42 ta coi đây là yf x 

Phương trình đường tròn nhỏ: x 22y2  4 Phương trình cung tròn nhỏ là y 4 x 22 ta coi đây là y g x  

Gọi phương trình đường thẳng AC là y kx m  với k là hệ số góc của đường thẳng và giá trị của k được

tính theo công thức tan tan 300 1

3

1

3

   mà lại đi qua điểm 0;0 0 1

3

A  m  y x Ta coi đây là m

Gọi C là giao điểm của AC và đường tròn lớn ta tìm được C6;0

Gọi D là giao điểm của AC và đường tròn nhỏ ta tìm được D3;0

Tính giá trị 4 2  2   6 2   8 2  

98

Bằng máy tính Casio ta được:

Vậy thể tính cần tìm là 98

3

V   => Chọn B

Phân tích:

Bài toán này nâng cao hơn nữa, để bài ẩn đi f x g x h x và ta phải gắn hệ trục tọa độ một cách ,    , phù hợp tìm ra chúng Đường tròn lớn x 42y2 16 sẽ tạo ra 2 nửa đường tròn là y 16 x 42

và y 16 x 42 và ta sẽ nhận nửa trên ứng với y 0

Dạng 3: Thể tích vật thể sinh ra khi quay hình phẳng quanh Oy

Ví dụ 8: (Sách bài tập Nâng cao)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

2

1

y

x

y



 và các đường thẳng y0,y1

2



D 3

2



Giải

1

y

y

 và hai cận y0,y1

Áp dụng công thức tính thể tích ta có:  

1 2

2 0

2 1

b

a

y

y



Tính giá trị tích phân:

1 2 0

2 1

y dy



Vậy

2

V  => Chọn C

Phân tích:

Bài toán nhìn lạ nhưng ta nên làm quen để coi nó là bình thường vì vai trò của Ox và Oy là tương đương.

Khi làm quen rồi thì thấy nó cũng thật dễ dàng

Ví dụ 9: (Sách bài tập Nâng cao)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi hàm số

y x  x và đường thẳng y  ?0

A.5

3



B.2

5



C.7

5



D 8

3



Giải

Biến đổi hàm số ban đầu về dạng xf y  và x g y  

   

   



   

 

   



Ta coi x 1 1 y là xf y  và hàm còn lại là x g y  

Phương trình tung độ giao điểm : 1 1 y  1 1 y  y1

Vậy ta có cận thứ nhất y  và cận thứ hai 0 y 1

1

0

8

3

y dy

1

0

8

4 1

3



=> Chọn D

Ví dụ 10: (Sách bài tập Nâng cao)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm

2;0

I bán kính R 1

Giải

Đường tròn tâm I2;1 có bán kính R 1 có phương trình: x 22y2 1

Tách đường tròn thành 2 nhánh:  

2

2

   



   

 Vậy ta được nhánh thứ nhất 2

x   y ta coi là hàm xf y và nhánh thứ hai 2

coi là hàm x g y  

Phương trình tung độ: 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1

1

y

y







Tính tích phân

1

2 1

8 1 y dy 4



2

4

=> Chọn B

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (THPT Nguyễn Huệ - 2018).

Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y 4 x2, y  Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo0 thành khi cho  H quay quanh trục Ox

A 512

15

15

V   (đvdt) C V 2 (đvdt) D 32

3

V   (đvdt)

Câu 2 (Chuyên Lê Hồng Phong – 2018).

Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường  C1 :y x,  d :y 2 x và trục hoành Tính thể tích

V của khối tròn xoay tạo thành khi cho  H quay quanh Ox.

A 7

6

6

6

3

Câu 3 (Sở GD – ĐT Bình Phước – 2018)

Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ytanx, hai đường thẳng 0,

3

x x và trục

hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay  H xung quanh trục hoành.

3



  

3



3



3



  

Câu 4 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – 2018).

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của môt hình phẳng giới hạn

bới các đường y x 1;y 1,x 1



Câu 5 (THPT Bắc Yên Thành – 2018)

Cho hình  H giới hạn bởi đồ thị  C :y x lnx, trục hoành và các đường thẳng x1,x e Tính thể tích của khổi tròn xoay được tạo thành khi quay  H quanh trục hoành

A 3

3

5

ln 64

  C  4 ln 64  D 5 3 2

27 e





Câu 6 (THPT Giao Thùy – 2018).

Gọi y là thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

x

y e x x 1 x 2 và 0

y  quanh trục Ox Tính giá trị của V.

A V 2e B V e2 e C V e2 D V e2e

Câu 7 (THPT Trung Giã – 2018)

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi ysin 2 cos ,x x y0, 0  x  xung

quanh trục Ox.

A

2

8



B

8



C

4



D

2

4



Câu 8 (Chuyên ĐH Vinh – 2018).

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y y x x và x 1 xung quanh trục Ox là

A 5

6

6

18

18

Câu 9 (THPT Bảo Lâm - 2018).

Cho hình  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

4

x y

x



 , trục Ox và đường thẳng x 1 Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục Ox bằng

A ln4



B 1ln4

4 ln 3



Câu 10 (THPT Tuy Phước – 2018).

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường congytan ,x trục hoành và hai đường thẳng 0,

4

x x Tính

thể tích V khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục Ox

4

V    

4

V    

4

V   

4

V   

Câu 11 (Chuyên Thái Nguyên – 2018)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình Elip

3

b

  quay xung quanh trục Ox.

2

4 3

3

4 3

3 b

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn các đường y 2 x y x y,  ,  xung0

quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?

2

2

2

0

2

C

2

2

2

V x dx  x dx

Câu 13 (Thi THPTQG – 2018)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin , x trục hoành và các đường thẳng x0,x 

Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A V 22 B V 2  1 C V 2 D V 2 1

Câu 14 (Sở GD – ĐT Phú Thọ - 2018).

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi

mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 4 thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x

A V 63 3 B V 126 3 C V 63 3 D V 126 3

Câu 15 (Đề Minh Họa – 2018).

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi

mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 3 thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2

A V 32 2 15 B 124

3

3

V  D V 32 2 15 

Câu 16 (SởGD&ĐT Bắc Giang – 2018).

Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống nhu một có ly như

hình vẽ dưới đây Người ta đo được đường kính của miệng ly là

4cm và chiều cao là 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi

mặt phẳng đối xứng là một parabol Tính thể tích  3

V cm của vật thể đã cho

A V 12 B V 12

C 72

5

5

V 

Câu 17 (Thi THPTQG – 2108)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y e x, trục hoành và các đường thẳng x0,x1 Khối

tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A

2

2

e

2

e

2

e

2

e

Câu 18 (THPT Thanh Chương – 2018).

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1

x y x





 , trục Ox và đường thẳng x 1

khi quay quanh trục Ox là V a b ln 2 với a b   Khi đó ab bằng , 

3

Câu 19 (Chuyên Bến Tre - 2018)

Gọi V a là thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 

1

x

x V a

A lim  

x V a 

lim

x V a 

x V a 

x V a 

Câu 20 (Sở GD-ĐT Hà Tĩnh – 2018).

Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường

kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8 và BAC 300 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H (phần tô đậm) xung quanh đường

thẳng AB

A 220

98

224

2

4

D BẢNG ĐÁP ÁN