Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio
Trang 1ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCHVẬT THỂ TRONG XOAY
2 Dạng 2: Cho hình phẳng H tạo bởi các đường yf x , y g x và các đường thẳng x a ,
x b Khi quay hình phẳng H quanh trục Ox thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo côngthức:
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x0,x1 biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x0 x 1 là một tam giác đều có cạnh là
Trang 2Diện tích một tam giác đều cạnh x được tính theo công thức 2 3.
Ví dụ 2: (Đề minh họa BGD)
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x 1 và x 1 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt
phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 3 thì được thiết diện là một hình chữnhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2
Diện tích thiết diện S S x 3x 3x2 2
Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi đều là:
Đây là 1 dạng toán lạ, xuất hiện trong sách giáo khoa nâng cao Nếu học sinh chưa biết cách làm thì rấtkhó nhưng biết cách làm rồi thì lại đơn giản.
Ví dụ 3: (Sở GD – ĐT Phú Thọ)
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x 1 và x 4 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 4 thì được thiết diện là một hình lục giác đều có
Có một vật hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly dưới dây Người ta đo được đường kính của
miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một
Parabol Tính thể tích của vật thể đã cho
Trang 3A 12 B 12C 72
D 72
Giải
Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình bên tương ứng I là gốc tọa độ, IO là trục hoành
Gọi phương trình Parabol là 2
y ax bc cParabol qua I0;0 0 0 c 0 c0Parabol qua B2;6 4a2b6
Lấy M0;y thuộc OI, mặt phẳng qua M và vuông góc với Oy cắt hình theo thiết diện là một đường tròn
bán kính là MN với N là giao điểm của đường tròn và Parabol.
=> Chọn APhân tích:
Bài toán này là bài mở rộng của dạng 1 Nếu thiết diện có diện tích S y thì thể tích vật thể sẽ là
Cho hình phẳng D giới hạn bởi y 2 sin x, trục hoành và các đường thẳng x0,x Khối tròn
xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích là bao nhiêu?
Trang 4Tính giá trị tích phân:
2 sin x dx8.28 2 1
Từ đó suy ra V 2 1
=> Chọn BPhân tích:
Dù đề bài cho 2 cận sẵn rồi nhưng chúng ta vẫn cứ cẩn thận tìm xem có cận thứ 3 không Nếu có cận thứ3 thì thể tích phải chia thành 2 thể tích nhỏ cộng lại với nhau.
Khi tính giá trị thể tích bằng máy tính casio ta chú ý không cần nhập giá trị vào tránh rối mắt.Trong các đáp án của loại này phải có nhân tử nếu không có thì sai luôn Ví dụ như đáp số D.
B 4
C 16
D 12
Giải
Đồ thị của hàm bậc 2 có dạng ParabolGọi hàm yf x có phường trình 2
y ax bx cĐồ thị đi qua gốc tọa độ 0a0b c 0 c0
V => Chọn A
Phân tích:
Một bài toán hay, đề bài yêu cầu ta phải đi xây dựng hàm yf x rồi mới lắp công thức để tính thể
Trang 5Ví dụ 7: (Sở GD – ĐT Hà Tĩnh)
Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường
kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa đường tròn đường kính AB có diện tích là 8 và góc 300
BAC Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình H quanh đường AB.
Gọi phương trình đường thẳng AC là y kx m với k là hệ số góc của đường thẳng và giá trị của k được
tính theo công thức tan tan 300 13
mà lại đi qua điểm 0;0 0 13
A m y x Ta coi đây là m
Gọi C là giao điểm của AC và đường tròn lớn ta tìm được C6;0
Gọi D là giao điểm của AC và đường tròn nhỏ ta tìm được D3;0
Trang 6V => Chọn B
Phân tích:
Bài toán này nâng cao hơn nữa, để bài ẩn đi f x g x h x và ta phải gắn hệ trục tọa độ một cách , ,phù hợp tìm ra chúng Đường tròn lớn x 42y2 16 sẽ tạo ra 2 nửa đường tròn là y 16 x 42
và y 16 x 42 và ta sẽ nhận nửa trên ứng với y 0
Dạng 3: Thể tích vật thể sinh ra khi quay hình phẳng quanh OyVí dụ 8: (Sách bài tập Nâng cao)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
D 3
Vậy 2
V => Chọn C
Trang 7Phân tích:
Bài toán nhìn lạ nhưng ta nên làm quen để coi nó là bình thường vì vai trò của Ox và Oy là tương đương.
Khi làm quen rồi thì thấy nó cũng thật dễ dàng
Ví dụ 9: (Sách bài tập Nâng cao)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi hàm số
y x x và đường thẳng y ?0
D 8
Ví dụ 10: (Sách bài tập Nâng cao)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm
Trang 8Phương trình tung độ: 2 1 2 2 1 2 1 2 0 11
Câu 1 (THPT Nguyễn Huệ - 2018).
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y 4 x2, y Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo0thành khi cho H quay quanh trục Ox
Câu 2 (Chuyên Lê Hồng Phong – 2018).
Cho H là hình phẳng giới hạn bởi các đường C1 :y x, d :y 2 x và trục hoành Tính thể tích
V của khối tròn xoay tạo thành khi cho H quay quanh Ox.
3
Câu 4 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – 2018).
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của môt hình phẳng giới hạn
Trang 9Câu 6 (THPT Giao Thùy – 2018).
Gọi y là thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y e xx 1 x 2 và0
y quanh trục Ox Tính giá trị của V.
A V 2e B V e2 e C V e2 D V e2e
Câu 7 (THPT Trung Giã – 2018)
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi ysin 2 cos ,xx y0, 0 x xung
quanh trục Ox.
A
B
C
D
Câu 8 (Chuyên ĐH Vinh – 2018).
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
Câu 9 (THPT Bảo Lâm - 2018).
Cho hình H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
, trục Ox và đường thẳng x 1 Thểtích của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox bằng
Câu 10 (THPT Tuy Phước – 2018).
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường congytan ,x trục hoành và hai đường thẳng 0,4
Câu 11 (Chuyên Thái Nguyên – 2018)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình Elip
Trang 10Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn các đường y 2 x y x y, , xung0
quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin , x trục hoành và các đường thẳng x0,x
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A V 22 B V 2 1 C V 2 D V 2 1
Câu 14 (Sở GD – ĐT Phú Thọ - 2018).
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi
mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 4 thì được thiết diện là một hìnhlục giác đều có độ dài cạnh là 2x
A V 63 3 B V 126 3 C V 63 3 D V 126 3
Câu 15 (Đề Minh Họa – 2018).
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi
mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x1 x 3 thì được thiết diện là mộthình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2
Câu 16 (SởGD&ĐT Bắc Giang – 2018).
Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống nhu một có ly nhưhình vẽ dưới đây Người ta đo được đường kính của miệng ly là4cm và chiều cao là 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởimặt phẳng đối xứng là một parabol Tính thể tích 3
V cm của vậtthể đã cho
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y e x, trục hoành và các đường thẳng x0,x1 Khối
tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Trang 11Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Câu 19 (Chuyên Bến Tre - 2018)
Gọi V a là thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường
Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường
kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8 và BAC 300.Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình H (phần tô đậm) xung quanh đường