Chủ Đề 19 - Ứng Dụng Tích Phân Tính Quãng Đường Vật Di Chuyển.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 19: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG VẬT DI CHUYỂN

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Dạng 1: Vật chuyển động thẳng biến đổi đều theo thời gian

Cho vật thể A chuyển động thẳng biến đổi đều ( nhanh dần đều hoặc chậm dần đều) với vận tốc biến đổi theo hàm v v t ( ) Khi đó quãng đường vật thể A di chuyển từ thời điểm t đến 0 t được tính theo công1 thức:

1

0

( )

t

t

S v t dt

2 Dạng 2: Vật chuyển động với gia tốc biến đổi theo thời gian

Cho vật thể A chuyển động biến đổi (biến đổi nhưng không đều) theo gia tốc là hàm biến đổi theo thời gian a a t ( )thì ta có vận tốc là nguyên hàm của gia tốc:

( ) ( )

va t dt F t C

3 Một số công thức liên quan

S v: Đạo hàm của quãng đường là vận tốc

v a: Đạo hàm của vận tốc là gia tốc

( )

va t dt: Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc

0 2 0

( )

2

v t v at

at

S v t

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi

Ví dụ 1: (Chuyên Tuyên Quang) Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( )v t 12t24( / )m s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng

giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn đi được bao nhiêu mét?

Giải:

Ta hiểu: đến khi ô tô dừng hẳn tức là vận tốc bằng 0

Chọn mốc thời giant  thì thời điểm 1 0 t2 2s thì xe dừng hẳn

 Quãng đường mà xe còn di chuyển được là:

2

0

( 12 24) 24

S  t dt m

=> Chọn D

Bình luận: Cách 2 có thể giải theo vận tốc trung bình Ta thấy vận tốc lúc bắt đầu đạp phanh là 24 /m s

đến lúc dừng hẳn là 0 /m sthì vận tốc trung bình là 12 /m s Vậy xe di chuyển thêm là

12.2 24

tb

v t  m

Ví dụ 2 (Chuyên Biên Hòa): Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 15 /m sthì tăng tốc với gia tốc a t( ) t 2 4 ( / )t m s2 Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Giải:

Chọn gốc thời gian từ lúc chất điểm tăng tốc

Ta có:

3

3

t

v t a t dtt  t dt  t C

Tại thời điểmt 0 vận tốc v0 15 /m s C15

 Ta có hàm vận tốc theo thời gian:

3

2

3

t

v t   t 

 Quãng đường chất điểm di chuyển trong thời gian 3 giây là:

3 3

2

0

2 15 69,75( )

3

t

S    t  dt m



=> Chọn C

Phân tích:

Gia tốc là một hàm biến đổi theo thời gian chứ không phải là số cố định như ở ví dụ 1 nên ta phải áp dụng công thức ở dạng 2: ( )v t a t dt( ) chứ

áp dụng luôn:

 

3

2

0

S   t  t t dt thì sẽ được kết quả sai

=> Chọn C

Ví dụ 3 (THPT Trung Giã): Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v30( / )m s thì đột ngột thay

( ) 4 ( / )

a t   t m s Tính quãng đường đi được của chất điểm kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến thời điểm vận tốc lớn nhất

A 848( )

3 m

Giải:

Gốc thời gian t  1 0

2

2

t

v t a t dt  t dt t C

Tại thời điểm ban đầu vận tốc là 30( / )m s  C 30

 Ta có hàm vận tốc theo thời gian:

2

2

t

v t   t

Ta thấy hàm số

2

2

t

v t   t là một Parabol lồi sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của Parabol Đỉnh

Parabol có tọa độ ;

b



Vậy vận tốc lơn nhất đạt được khi 4 4( )

b

a



 Quãng đường cần tìm là:

4 2

0

424

4 30

t

t dt

=> Chọn B

Phân tích:

Ngoài cách coi hàm là 1 Parabol ta có thể sử dụng phương pháp đánh giá

Tách ( ) 1 42 38 38

2

v t  t  

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi t4s

Ví dụ 4 (Chuyên ĐH Vinh): Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao

162(m) so với mặt đất được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t( ) 10 t t 2, trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, ( )v t được tính theo đơn vị (mét/ phút) Nếu như vậy thì từ khi

bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:

Giải:

Chọn gốc thời gian t  lúc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162(m)1 0

Gọi t là thời điểm mà khí cầu chạm đất Khi đó khí cầu đã di chuyển được quãng đường là:2

1

t

v  t t dt  t t dt 

3

0

t

t t

Từ đó ta suy ra được vận tốc lúc chạm đất

2 (9) 10.9 9 9( / )

=> Chọn C

Phân tích:

Ví dụ 5 (Sở GD- ĐT Bình Phước): Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh

dần đều, sau 8s nó đạt đến vận tốc 6m/s Từ thời điểm đó nó chuyển động đều Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí A nhưng chậm hơn nó 12s chuyển động nhanh dần đều và đuổi kịp A sau 8s kể từ khi B xuất phát Tìm vận tốc B tại thời điểm đó?

=> Chọn D

Ví dụ 6 (Thi THPT QG): Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (v km h phụ thuộc vào thời gian/ ) ( )

t h có đồ thị là một phần của Parabol có đỉnh (2;9) I và trục đối xứng song song với trục tung như hình

bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó

=> Chọn D

Ví dụ 7 (Chuyên KHTN HN): Tại một thời điểm t

tước lúc đỗ xe ở trạm dừng nghỉ, ba xe đang chuyển

động đều với vận tốc lần lượt là

phút thì bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng

hẳn ở trạm tại phút thứ 8 Xe thứ hai đi thêm 4 phút,

bắt đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở

trạm tại phút thứ 13 Xe thứ ba đi thêm 8 phút, bắt

đầu chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở trạm

tại phút thứ 12 Đồ thị biểu diễn vận tốc ba xe theo thời gian như sau: (đơn vị trục tung x 10km h/ , đơn

vị trục hoành là phút) Giả sử tại thời điểm t trên, ba xe đang cách trạm lần lượt là d d d1, 2, 3 So sánh 3 khoảng cách này ta có:

A d1d2 d3 B d1 d3 d2 C d3 d1d2 D d2 d3 d1

=> Chọn B

Ví dụ 8 Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên

cùng một con đường Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên Hỏi sau khi đi được 3 giây khoảng cách giữa 2 xe trên là bao nhiêu?

=> Chọn B

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Thi THPTQG- 2018) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (v km/ h)

phụ thuộc thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính

quãng đường s mà vật chuyển động trong 4 giờ đó

A s 26,5(km) B s 28,5(km)

C s 27(km) D s 24(km)

Câu 2 (Thi THPTQG- 2018) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc (v km h phụ thuộc thời gian/ ) ( )

t h có đồ thị của vận tốc Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một

phần của đường Parabol có đỉnh I2;9 với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật chuyển động trong 4 giờ đó

A s 26,5(km) B s 27(km) C s 27(km) D s 24(km)

Câu 3 (Sở GD- ĐT TP HCM- 2018) Một vật chuyển động với gia tốc 2 2

( ) 3 ( / )

a t  t t m s Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2s

Câu 4 (Sở GD- ĐT TP HCM- 2018) Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng

( ) 6 2 ( / )

a t   t m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu

chuyển động Hỏi quãng đường đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

A 45

27

4 mét

Câu 5 ( THPT Lê Lợi- 2018) Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi

công thức ( ) 3v t  t 2 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường đi được tính theo đơn vị mét Biết tại thời điểmt2s thì vật đi được quãng đường là 10m Hỏi tại thời điểmt30sthì vật đi được quãng đường là bao nhiêu ?

Câu 6 (Chuyên Biên Hòa- 2018) Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay

đổi theo thời gian được tính bởi công thứcv t( )40t100(m/ phót) Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3 km Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút ?

Câu 7 (Sở GD- ĐT TP HCM- 2018) Một vật chuyển động với vận tốc ( )v t có gia tốc

( ) 3 ( / )

a t t t m s Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) Hỏi vận tốc của vật sau 2s

Câu 8 (THPT Đặng Thúc Hứa- 2018) Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường

thẳng AB, ô tô thứ nhất bắt đầu xuất phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc

( ) 2 1(km/ h)

A

v t t ; ô tô thứ hai xuất phát từ O cách A một khoảng 22km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc 10 km/h, sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t0( )5t20(km h/ ) Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau

Câu 9 (THPT TH Cao Nguyên- 2018) Một vật chuyển động với vận tốc ( ) ( / )v t m s có gia tốc

 



2 3

1

t Vận tốc ban đầu của vật là 6 m/s Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

A 10( / )v m s B 8( / )v m s C 15( / )v m s D 13( / )v m s

Câu 10 (Chuyên Hùng Vương- 2018) Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban

đầu là 29,4 m/s Gia tốc trọng trường là 2

9, 8m s Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên/ cho đến khi chạm đất

Câu 11 (THPT Lương Tâm- 2018) Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi 0( )t s chuyển động thẳng với vận tốcv t( )t(5 t m s)( / ) Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại

Câu 12 (THPT Lương Tâm- 2018) Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ

cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t( )10t t2, trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, ( )v t được tính theo đơn vị mét/ phút ( / )m p Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất, vận tốc v của khí cầu là

A 5( / )v m p B 7( / )v m p C 9( / )v m p D 3( / )v m p

Câu 13 (THPT Ngô Sĩ Liên- 2018) Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe

phát hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốcv t( )5t20(m s/ ) , trong

đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô

tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)

Câu 14 (THPT Đức Thọ- 2018) Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động

của máy bay là v t( )3t25(m s/ ) Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10

Câu 15 (THPT Hồng Quang- 2018) Một chiếc xe bắt đầu khởi hành nhanh dần đều với vận tốc



( ) 3 ( / )

v t t m s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ khi xe bắt đầu chuyển động Sau khi khởi hành được 5 giây thì chiếc xe giữ nguyên vận tốc và chuyển động thẳng đều Tính quãng đường chiếc xe đi được sau 10 giây

Câu 16 (Chuyên Thái Bình- 2018) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t( )160 10 ( t m s/ ) Tìm quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 0( )t s đến thời điểm vật dừng lại

Câu 17 (Sở GD&ĐT Bình Phước- 2018) Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc

nhanh dần đều, 8s sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s Từ thời điểm đó nó chuyển động đều Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí với A nhưng chậm hơn nó 12s với vận tốc nhanh dần đều và đuổi kịp A sau 8s (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc B tại thời điểm đó

Câu 18 (SỞ GD&ĐT HN- 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc



( ) 7 ( / )

t

v t t m s Đi được 5s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc  2

70( / )

a m s Tính quãng đường ( )S m đi được của ô tô kể từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho tới khi dừng hẳn

A 95,70( )S m B 96,25( )S m C 87,50( )S m D 94, 00( )S m

Câu 19 (THPT Quang Trung- 2018) Vận tốc của một vật chuyển động là 

 1 sin( )

2

t

Quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian1,5 giây chính xác đến 0,01m là :

Câu 20 (Chuyên Quốc học Huế- 2018) Người ta khảo sát gia tốc ( )a t của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật thể bắt dầu chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10

và ghi nhận được ( )a t là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất ?

A giây thứ nhất B giây thứ 3 C giây thứ 10 D giây thứ 7

D BẢNG ĐÁP ÁN