Đáp Án số phức 1

Số phức từ cơ bản đến nâng cao, có thể dùng để lấy gốc và cả những câu mức độ vận dụng cao số phức cho những bạn aim 9+. Bao gồm nhiều phương pháp chuyên biệt cho số phức, được các gv trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong soạn thảo

1) ĐỊNH NGHĨA – CÁC PHÉP TOÁN Câu 1: Phần thực của số phức z  5 4i bằng A 5 B 4 C 4 D 5

Lời giải Chọn D

Số phức z  5 4i có phần thực là 5

Câu 2: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo

A z 3i B z 2 C z  2 3i D z3i

Lời giải Chọn D

Số phức z được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0

Câu 3: Môđun của số phức 1 2i bằng

A 5 B 3 C 5 D 3 Lời giải

Chọn C

Ta có

1 2 i  1 2  5

Câu 4: Số phức liên hợp của số phức là

Lời giải Chọn D

2 5 

ziz  2 5iz   2 5iz   2 5i

2 5  

ziz   2 5i

Câu 6: Cho hai số phức z1 1 3i và   z2 2 5i Tìm phần ảo b của số phức zz1z 2

A b 3 B b2 C b 2 D b3

Lời giải Chọn B

Ta có zz1z23 2 ib2

Câu 7: Cho hai số phức z1 3 i và z2  1 i Phần ảo của số phức z z bằng 1 2

A 4 B 4i C 1 D i Lời giải

Chọn A

Ta có: z z1 2      3 i 1 i 2 4i

Suy ra phần ảo của z z bằng 1 2 4

Câu 8: Cho số phức z  3 2i, số phức 1 i z  bằng

A  1 5i B 5 i C 1 5i D  5 i

Lời giải Chọn D

Vì z  3 2i nên ta có 1i z (1i)( 3 2 )  i   5 i

Câu 9: Cho số phức z 2 5 i Tìm số phức w iz z

A w  3 3i B w 3 7 i C w  7 7i D w 7 3i

Lời giải Chọn A

52 C

25 D

Lời giải Chọn A

Ta có 2

4 3



Câu 14: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2x3yi  3i5x4i

với i là đơn vị ảo

A x 1;y  1 B x 1;y C 1 x1;y  D 1 x1;y 1

Lời giải Chọn D

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn: 3 2 i z 2i2  4 i

Hiệu phần thực và phần ảo của số

phức z là

A 3 B 2 C 1 D 0

Lời giải Chọn D

P  

C

12

Câu 18: Tổng phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn iz1i z  2i

bằng A 6 B 2 C 2 D 6

Lời giải Chọn A

   

 

 

z i

C

Lời giải Chọn A Cách 1:

Bước 1: Dùng CASIO chuyển sang số phức (mode 2) Bước 2: Nhập biểu thức: zm 1 2i2m 3 i

  

Câu 24: Phần thực và phần ảo của số phức

  

  lần lượt là:

A 1 và 0 B 0 và 1 C 1 và 0 D 0 và 1

Lời giải Chọn B

z 

B z 2 C z 4 D z 1

Lời giải Chọn B

Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn

1 33

 Tìm môđun của z i z .

A 8 2 B 4 C 8 D 4 2

Lời giải Chọn A

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn 2 3 i z  4 3i13 4 i

Môđun của z bằng

A 2 B 4 C 2 2 D 10 Lời giải

23i z  4 3i13 4 i 2 3 9 7 9 72 3

Vậy z  9 1  10

Câu 29: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn z1 2 iz1i  4 i 0

với i là đơn vị ảo

 

Lời giải Chọn B

Giả sử z a bi  za bi

Lời giải Chọn A

   

 

 

Suy ra z2 3 i Vậy z  13

Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1i2i z   1 i 5i1i

Tính môđun của số phức w 1 2zz2

A 100 B 10 C 5 D 10

Lời giải Chọn D

Ta có 1i2i z   1 i 5i1i1 3 i z    1 i 6 4i1 3 i z  5 5i

5 51 3

   Suy ra w 1 2zz2  8 6i,

w  8 6 10

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn 2

3 2 i z 2i  4 i

Mô đun của số phức wz1z

bằng

A 2 B 10 C 5 D 4 Lời giải

3 2 i z 2i 4 i 3 2 i z 1 5i z 1 i

Do đó: wz1zz z z 1i1i      1 i 2 1 i 3 i

, ta có

   Vậy có 2 số phức cần tìm là: z  và 2 6iz  0

Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 i z  z

là số thuần ảo và z2i 1

A 2 B 1 C 0 D.Vô số Lời giải

Chọn A

Đặt zabi với a b  , ta có : 1 i z  z 1 i a bi  a bi 2a b ai

Mà 1 i z  z

là số thuần ảo nên 2a b 0b2a

 

Ứng với mỗi a ta tìm được một b duy nhất, vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 36: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

? A 1 B 4 C 2 D 3

Lời giải Chọn D

Đặt z a bi a b  ,  Ta có

 

    

+ b 0 a0 z 0

+

a  b  1 12 2

   

Vậy có 3 số phức thỏa ycbt

Câu 37: Cho số phức z 0 thỏa mãn



2 0, 0 0

m z

A m. B 1

m C

4m D

2m

Lời giải Chọn D

mm z zmmz mz

Câu 39: Cho số phức z a bi , a b  , 

thỏa mãn 1

zz i

 và

ziz i

 Tính Pa b

Lời giải Chọn D

Ta có 1

zz i

  z 1 zi  a 1 bi  ab1i 2a2b 0

 (1) 3

ziz i

  z3i  zi  ab3i  ab1i b 1

 (2)

Từ (1) và (2) ta có 11



Chọn C

Giả sử z a bi, a b,  



A w 5 B w  3 C w 3 D w  5

Lời giải Chọn D

21 2

Chọn C

Ta có:

2 6

(2 ) 2 3

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài

Câu 43: Cho các số phức z , 1 z , 2 z thỏa mãn điều kiện 3 z 1 4

, z 2 3

, z 3 2 và

Lời giải Chọn C

Ta có z 1 4

, z 2 3

, z 3 2 nên

21 11 16

z3 z1 z2z z z1 2 3 48

     z3z1z2 2

hay P z1z2z3 2

Câu 44: Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z 1 1

Chọn B

Giả sử z1a1b i1, a b1, 1 

, z2a2b i2, a b2, 2  Theo bài ra ta có:

Câu 45: Cho các số phức z , 1 z , 2 z thoả mãn các điều kiện 3 z1  z2  z1z2 3

Mô đun của số phức z1z2 bằng

A 3 B 3 3 C

3 3

2 D 6 Lời giải

cos sin3

iz

Vậy z1z2 3 3

1 71 i i

 

Vậy a b 1

Câu 47: Cho z1, z là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 2122

z   và z1z2 2 3 Tính môđun của số phức z 1.

A z 1 5.

B z 1 3.

C z 1 2.

D 15

z 

Lời giải Chọn C

2z3w 6 2z3w2362z3w 2 z3w36 22

4 z 6P 9w 36

,  3 ta có:

 

z 

D

Lời giải: Chọn D

Ta có

zi là một số thuần ảo ?

A 0 B Vô số C 1 D 2 Lời giải:

Chọn C

Đặt zxyi x y( ,  )Theo bài ra ta có

2w

w là một số ảo khi và chỉ khi

B N2; 1

C P2;1

D M1; 2 

Lời giải Chọn B

Câu 54: Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z  1 2i?

A P B M C Q D NLời giải

Chọn C

Ta có điểm biểu diễn của số phức z  1 2i trên hệ trục tọa độ Oxy là điểm Q1 2;

Câu 55: Điểm nào ở hình vẽ bên biểu diễn số phức z 3 2i? A M B N C P D Q

Lời giải Chọn D

Câu 56: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, 3 điểm A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn của ba số phức

G  

Vậy trọng tâm G là điểm biểu diễn của số phức

Từ hình bên ta có tọa độ M3;2

biểu diễn số phức z1 3 2i

Tọa độ N1; 4 

biểu diễn z2  1 4i

Ta có z1z2  4 2i    

Lời giải Chọn D

3z z 3 1i  1 2 i  4 i

Suy ra: Tọa độ điểm biểu diễn là:4; 1  

Câu 59: Trong mặt phẳng Oxy A, 1; 2 , B7; 5 

lần lượt biểu diễn hai số phức z1, z 2 C biểu diễn số phức z1z2.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai A C có tọa độ 6; 3 

B CB

biểu diễn số phức z1

x

N

C AB

biểu diễn số phức z1z2

D OACB là hình thoi Lời giải

Chọn C

Ta có OA

biểu diễn cho z OB1, 

biểu diễn cho z nên 2 OA OB   BA

biểu diễn cho z1z2.

Các câu

còn lại dễ dàng kiểm tra là đúng

Câu 60: Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z Điểm nào trong

hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z?

A Điểm Q B Điểm E C Điểm PD Điểm N

Lời giải Chọn B

suy ra M1E

Câu 61: Gọi M và N lần lượt là các điểm biểu diễn của z , 1 z trên mặt phẳng tọa độ, I là trung 2

điểm MN, O là gốc tọa độ (ba điểm O, M , N phân biệt và không thẳng hàng) Mệnh đề nào

sau đây là đúng? A z1z2 2OI

B z1z2 OI

C z1z2 OMON

D z1z2 2OMON

Lời giải Chọn A

Gọi M x y 1; 1

là điểm biểu diễn của số phức z1x1 y i1

 2; 2

M

Vì I là trung điểm MN nên

Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC vuông tại C C Tam giác ABC cân tại C D Tam giác ABC vuông cân tại C Lời giải

Vậy ABC có độ dài đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C

Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 3 i z  1 9i

Số phức 5

có điểm biểu

diễn là A 1; 2

B 2; 1 

C 1; 2 

D  2; 1

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z a bi a b  ,  z abi

 

Câu 64: Biết số phức z có phần ảo khác 0 và thỏa mãn z2i  10

Lời giải Chọn C

Giả sử z xyi x y, ,  y0

  

 + Với x5 y0, không thỏa mãn vì y 0 + Với x 3 y4, thỏa mãn y 0   z 3 4i Do đó điểm M3;  4

biểu diễn số phức z

Câu 65: Cho số phức z Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy

biểu diễn các số phức z và 1 i z 

Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8

A z 2 2 B z 4 2 C z 2 D z 4

Lời giải Chọn D

Ta có OA z , OB 1i z  2 z

, AB 1i z z  iz  z

Suy ra OAB vuông cân tại A (OAAB và OA2AB2 OB2)

Câu 66: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z 3 4i; M là điểm '

biểu diễn cho số phức 1'

iz   z

Tính diện tích tam giác OMM'

A '

S 

B '

S 

C '

S 

D '

S 

Lời giải

vuông tại M nên: '

Gọi M , N là hai điểm lần lượt biểu diễn số phức z , 1 z Khi đó 2

z  OM 

, z2  ON 1

, z1z2  OP

, z1z2  NM

với OMPN là hình bình hành Tam giác

A w 6 B w 16 C w 10 D w 13 Lời giải

Chọn A

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1

, B là điểm biểu diễn của số phức z2

Theo giả thiết z , 1 z là hai trong các số phức thỏa mãn 2 z 1 2i 5

nên A và B thuộc đường tròn tâm I1; 2 

bán kính r  5

Mặt khác z1z2  8 AB8

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M là điểm biểu diễn của số phức

Câu 69: Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 |z1| | z2| 1 , |z1z2| 3 Tính |z1z2|

A 4 B 1 C 2 D 3 Lời giải

 

là các véc tơ biểu diễn số phức z , 1 z Khi đó 2 AC

là véc tơ biểu diễn cho

z z

và AC

là véc tơ biểu diễn cho z1z2

Tam giác ABClà tam giác cân tại B có góc ABC 60

 nên nó là tam giác đều, suy ra

và z2 x2y2i

Ta có z1  z2 1 nên

x y x y 

Mặt khác, z1z2 1

nên x1x22y1y221

Suy ra 1 2 1 212

x x y y 

Câu 71: Gọi z z là hai trong các số phức 1, 2 z thỏa mãn z 3 5i 5và z1z2 6

Tìm môđun của số phức z1z2 6 10i

Gọi M N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức , z z suy ra ,1, 2 M N nằm trên đường tròn  C Gọi

H là trung điểm của MN suy ra IH MN

Do

z z  MN MH NH IH  IM MH 

       

Câu 72: Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn

Đặt z xyi x y,  

Ta có điểm biểu diễn z là M x y ;  Với m 0, ta có z 0, thoả mãn yêu cầu bài toán

Kết hợp với m 0, suy ra m 0; 4;6

Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10

Câu 73: Các điểm ,A B tương ứng là điểm biểu diễn số phức z z1, 2

trên hệ trục tọa độ Oxy , G là trọng tâm tam giác OAB, biết z1  z2  z1z2 12

Độ dài đoạn OG bằng A 4 3 B 5 3 C 6 3 D 3 3

Lời giải Chọn A

Ta có: OA OB AB12 OAB đều 2

4 33

Vậy tam giác OAB là tam giác đều

Câu 75: Cho hai số phức z z1; 2

Ta có:

z 

nên điểm biểu diễn của số phức z1

là điểm M nằm trên đường tròn  C

tâm O, bán kính bằng 6

3iz  3 iz 6

nên điểm biểu diễn của số phức 3iz là điểm 2 N (1 N là giao điểm của tia 1 ON với đường tròn  C

, Nlà điểm biểu diễn của số phức iz2

), điểm biểu diễn của số phức 3iz2

là điểm

N đối xứng với điểm N qua 1 O

4) TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN – QUỸ TÍCH

4.1) Đường tròn

Câu 76: Xét các số phức z thỏa mãn z3iz3

là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập

hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng:

A

2 B 3 2 C 3 D

3 22

Lời giải Chọn D

Gọi zxyi, với ,x y  

Theo giả thiết, ta có z3iz3 z23z 3iz9i

là số thuần ảo khi

x y  x y Đây là phương trình đường tròn tâm

3 3;2 2

I 

  , bán kính

3 22

Chọn B

Ta có w z 2izw2i Gọi w xyi x y  ,  

Suy ra z x 2y i Theo giả thiết, ta có x2 y i  i 1

và bán kính bằng 4

Câu 79: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức wz1i

Ta có z 1 2i 3 z1i   1 2i1i 3 1i  w  3 i 3 2

Giả sử w xyi x y  ,  x 3 y1i 3 2x 32 y 12 18

Gọi w xyi x y  ,  Theo đề bài ta có:

Câu 81: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2

và w2z 1 i Trong mặt phẳng phức, tập hợp

điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R Khi đó:

A ( 7;9),I  R16 B ( 7;9),I  R4 C (7; 9),I  R16 D (7; 9),I  R4

Lời giải Chọn D

Giả sử z xyi x y ,  

z  i     xyii   x  y  Từ w2z  1 i 2xyi  1 i 2x 1 2y1i

C I6; 4 , R 2 5

D I6; 4 , R2 5

z là một đường tròn có bán kính bằng

A 44 B 52 C 2 13 D 2 11 Lời giải

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 522 13

Câu 85: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn zm 1 3i 4 Tìm tất cả các số thực m sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy

A m 5;m3 B m5;m 3 C m  3 D m  5

Lời giải Chọn B

 x m   y 

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I1m; 3

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức wz1z2

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

Gọi A, B, M là các điểm biểu diễn của z , 1 z , 2 w Khi đó A, B thuộc đường tròn

  C : x52y3225

và AB z1z2 8  C

có tâm I5;3

và bán kính R 5, gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của

OM và IT IA2TA2 3

Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J10;6

và IT là đường trung bình của tam giác

Gọi z xyi, x, y   Số phức z được biểu diễn bởi M x y ; 

Ta có: 2 2 22

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hai đường thẳng yx và y  x

Câu 88: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức zthỏa mãn z2  z i là một đường thẳng

có phương trình

A 4x2y 3 0 B 2x4y13 0 C 4x2y 3 0 D 2x4y13 0 Lời giải

là số thực Biết rằng tập hợp các điểm biểu

diễn của số phức z là đường thẳng d Diện tích tam giác giới hạn bởi đường thẳng d và hai trục tọa

độ bằng

A 8 B 4 C 2 D 10 Lời giải

Giả sử z a bi a b, R

Khi đó z z  2 i4i 1 a bi a bi  2 i4i 1 a bi  . a2  1b i 4i1

B S  OA OB

Câu 91: Cho số phức z xyi x y  , 

thỏa mãn z  2 iz1i0

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z Hỏi M thuộc đường thẳng nào sau đây?

Câu 92: Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa

12 5 17 7132

Lời giải Chọn A

 

, ta có:

12 5 17 7132

    (thỏa điều kiện z 2 i)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 6x4y  3 0

Câu 93: Cho số phức thỏa mãn z i  z 1 2 i Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2i z 1

trên mặt phẳng phức là một đường thẳng Phương trình đường thẳng đó là A x7y 9 0 B x7y 9 0 C x7y 9 0 D x7y 9 0 Lời giải

Lời giải Chọn D

Gọi M x y ; 

là điểm biểu diễn số phức z xyi, x y  , Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z2 z2 10MB MA 10

Ta có AB 4 Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với tiêu điểm là A2; 0,  2;0

Câu 95: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

z  iz  i

A 15 B 12 C 20 D Đáp án khác Lời giải

là diện tích Elip trên: Sab4.5 20

Câu 96: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2z i  z z 2i là A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một Parabol D Một Elip Lời giải

Câu 97: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 3z i  2z  z 3i Tìm tập hợp tất

cả những điểm M như vậy

A Một đường thẳng B Một parabol C Một elip D Một đường tròn Lời giải

Chọn B

Gọi số phức z xyi có điểm biểu diễn là M x y , 

trên mặt phẳng tọa độ: Theo đề bài ta có: 3z i  2z z 3i  3(xyi) 3 i  2(xyi) ( xyi) 3 i 

3x(3y3)i  x(3 3 ) y  9x (3y3)  x (3 3 ) y 

biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là Một parabol

29