Đề cương hình học toán chuyên trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Các bài toán và mô hình hay xuất hiện trong các kì thi lớn như HSG TP, HSG QG và các đề thi OLYMPIC QUỐC TẾ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CHUYÊN ĐỀ TOÁN CHUYÊN HỌC KỲ I

Họ và tên: Lớp:

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Tiết 1,2: Hàng điểm điều hòa

Sau khái niệm vectơ, chúng ta biết điều kiện để hai vectơ cùng phương Từ đó khái niệm trục số, độ dài đại số được thiết lập và khi xét mối quan hệ giữa các điểm, chúng

ta biết đến tỉ số đơn, tỷ số kép (của hàng điểm hay chùm đường thẳng) Từ đó khái niệm hàng điểm điều hòa được thiết lập và mở ra cho hình học phẳng một hướng rộng lớn trong việc chứng minh và sáng tạo các bài toán hình học Qua một số tiết dưới đây hi vọng phần nào các em nắm được thế mạnh của phương pháp này trong việc giải quyết các bài toán hình học phẳng từ đo có cái nhìn sâu sắc hơn về hình học phẳng

3 Hàng điểm điều hòa

♥ Định nghĩa: Nếu ABCD 1 thì hàng điểm A B C D, , , được gọi là hàng điểm

CB DB

Khi đó ta nói: cặp điểm A B, và cặp điểm C D, là hai cặp điểm liên hợp điều hòa

Lưu ý: Nếu ABCD 1 thì

CDAB  BADC  DCBA  BACD  ABDC 1

♥ Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm điều hòa

 Hệ thức 1: Nếu A a B b C c D d thì ( ), ( ), ( ), ( )

ABCD  1 2abcd  ab c d 

Chứng minh

Chọn một điểm O bất kỳ trên trục là gốc

♥ Những hàng điểm điều hòa cơ bản

♥ Định lí 1 Nếu AD AE, theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ABC thì

Để chứng minh định lý nầy ta cần sử dụng 3 bổ đề sau

Bổ đề 1 Qua điểm S không thuộc đường tròn  O , kẻ một đường thẳng cắt  O tại

,

M N Khi đó SM SN SO2 R 2

Bổ đề 2 Nếu các đường thẳng AB CD, cắt nhau tại S khác A B C D, , , thì A B C D, , ,

cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi SA SB SC SD

Bổ đề 3 Nếu các đường thẳng AB SC, cắt nhau tại S khác A B, thì đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC tiếp xúc với SC khi và chỉ khi SA SB SC 2

Chứng minh

Gọi H là hình chiếu của O trên MN và K SOAB

Do IKOIHO (cùng bằng 90 0

) Suy ra tứ giác OHIK nội tiếp

Theo các bổ đề trên và theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta suy ra:

SM SN SA2 SK SO SI SH

Do H là trung điểm của MN nên theo hệ thức Maclaurin ta suy ra SIMN 1 

B Ví dụ áp dụng

Bài 1 Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là

hai tiếp điểm Kẻ cát tuyến AMN bất kì trong đó N nằm giữa A và M AO cắt đoạn BC

và cung nhỏ BC lần lượt tại K và E Chứng minh rằng ME là phân giác của KMA

Bài 2 Cho hai đường tròn (O và 1) (O cắt nhau tại hai điểm E và F Lấy A trên tia EF 2) kéo dài và kẻ tiếp tuyến AM, AN với (O , tiếp tuyến AP, AQ với 1) (O Khi đó MN 2)

PQ, EF đồng quy

Bài tập

Bài 1 Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với AC, AB tại E,

F BI cắt EF tại K Chứng minh rằng BKC 90 

Bài 2 Từ điểm S ngoài đường tròn (O), kẻ tới (O) các tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến

SMN (SM < SN) Đườn thẳng qua M, song song với SA theo thứ tự cắt AB, AN tại E,

F Chứng minh rằng ME = EF

Bài 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O) M,N,P,Q lần lượt là các tiếp

điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn Gọi K là giao điểm của MQ với NP và I là giao điểm của MP với QN Chứng minh rằng ( , , , )D B I K  1

Tiết 3,4: Hàng điểm điều hòa (tiếp) Bài 1 D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC với

các cạnh BC, CA, AB H là hình chiếu của D trên EF Chứng minh BHDCHD .

Bài 2 Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác nhọn ABC BC∩EF = P Đường thẳng qua D, song song với EF theo thứ tự cắt AB, AC tại Q, R Chứng minh rằng đường tròn (PQR) đi qua trung điểm của BC

Bài 3 Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F

DI cắt EF tại M Chứng minh AM đi qua trung điểm BC

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC bất kì Lấy một điểm I trong đường tròn sao cho

IAB IBC và  IAC ICB Lấy V là một điểm trên AI sao cho BVC 900 Chứng minh rằng BV là phân giác của ABI và CV là phân giác của ACI

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A; D  AC và E đối xứng với A qua BD, F là giao

điểm của đường thẳng qua D vuông góc với BC và CE Chứng minh rằng AF; DE; BC đồng quy

Tiết 5,6: Hàng điểm điều hòa Bài 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp có

AD BC E AB CD F AC EF R BD EF Q

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AC BD,

a) Chứng minh rằng M N R S, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (EMN),(FMN )

Bài 2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi E,F lần lượt là giao điểm AC với (O) Hạ OH DB Khi đó AHE CHF

Bài 3 Cho tam giac ABC nhọn nội tiếp (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Gọi K là trung điểm BC Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại J Gọi {P} = EF 

BC, chứng minh rằng DJ  OP

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC có D E F, , lần lượt là tiếp điểm trên BC CA AB, , của đường

tròn nội tiếp tam giác Gọi X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC tại D, tiếp xúc với XB XC theo thứ tự tại ,, Y Z

Chứng minh E F Y Z, , , đồng viên

Bài 2 Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến AIK

đến (O) với B là tiếp điểm, I nằm giữa A và K Đường thẳng qua K vuông góc với OA cắt tia AB, IB lần lượt tại C,E Chứng minh rằng C là trung điểm của KE

Tiết 7,8: Hàng điểm điều hòa Bài 1 Cho đường tròn (O), day cung BC khác đường kính Điểm A thuộc cung lớn BC

Lấy S đối xứng O qua BC Lấy T trên OS sao cho AT, AS đối xứng nhau qua phân giác góc  BAC Chứng minh T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC

Bài 2 Cho ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB tương ứng tại D, E, F Đường thẳng EF cắt BC tại G Đường tròn đường kính GD cắt (I) tại R (R D) Gọi P, Q (P  R, Q  R) tương ứng là giao của (I) với BR, CR Hai đường thẳng

BQ và CP cắt nhau tại X Đường tròn (CDE) cắt QR tại M và đường tròn (BDF) cắt PR tại N Chứng minh rằng PM, QN và RX đồng quy

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A

Qua I, J lần lượt kẻ các đường thẳng DE, FG song song với BC với D, F thuộc đường thẳng AB và E, G thuộc đường thẳng AC Chứng minh rằng : 1 1 2

Bài 2 Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H EF cắt BC tại

G Đường tròn tâm K đường kính BC cắt đường trung trực của BC tại L Đường tròn ngoại tiếp tam giác GDL có tâm N cắt tia CL tại điểm thứ hai M MK cắt (N) tại P, CN cắt (K) tại Q Chứng minh M, P, Q, Cđồng viên

Tiết 9, 10: Chùm điều hòa

♥ Định lý 4: Cho a, b,c,d là chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng  không đi qua

O, theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A,B,C, D Đường thẳng ' không đi qua O, theo thứ tự

cắt a, b,c tại A', B',C' Khi đó: '/ /d ABCD C' A'

C' B'

♥ Định lý 5: Cho a, b,c,d là chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng  không đi qua

O, theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A,B,C, D Đường thẳng ' không đi qua O, theo thứ tự cắt a, b,c,d tại A',B',C',D' Khi đó: ABCD  A' B'C' D'

 Định nghĩa 3: Số không đổi ABCD nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm

a, b,c,d và được kí hiệu là abcd

2 Phép chiếu xuyên tâm

a) Định nghĩa: Cho hai đường thẳng  , ' và điểm S không thuộc  , ' Gọi K là điểm thuộc  sao cho SK / / ' Gọi f là ánh xạ đi từ tập hợp các điểm thuộc \ K 

tới tập hợp các điểm thuộc ' , xác định như sau: f M M' sao cho S,M,M' thẳng hàng Ánh xạ f được gọi là phép chiếu xuyên tâm đi từ \ K  tới ' Điểm S được gọi là tâm của f

Lưu ý:

+ Nếu phép chiếu xuyên tâm f biến hàng điểm A,B,C,D thành hàng điểm

A', B',C',D' thì ABCD  A' B' C' D' (hay phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép)

b) Các định lý

♥ Định lý 6: Cho hai đường thẳng  , ' cắt nhau tại O Các điểm A,B,C thuộc

; các điểm A', B',C' thuộc ' Khi đó:

AA', BB',CC' hoặc đồng quy hoặc đôi một song song  OABC  OA' B'C'

♥ Định lý 7: Cho hai chùm O ABCO'  và O' ABCO  Khi đó:

A,B,C thẳng hàng  O ABCO' O' ABCO 

♥ Định lý 9: Với chùm điều hòa a,b,c,d các điều kiện sau là tương đương

i) cd ii) c là một phân giác của các góc tạo bởi a,b

iii) d là một phân giác của các góc tạo bởi a,b

B Ví dụ áp dụng

Bài 1 Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB

tại D, E, F AD lại cắt (I) tại K BC∩EF = L Chứng minh LK tiếp xúc với (I)

Bài 2 Cho hai điểm A, B nằm trên đường tròn (O) C là điểm đối xứng của A qua B

Qua C, kẻ tới (O) tiếp tuyến CT CT cắt tiếp tuyến với (O) tại A ở S SB lại cắt (O) tại

K Chứng minh KT // AB

Bài 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O AB,AC,AD theo thứ tự cắt

CD,DB,BC tại X, Y,Z Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác XYZ

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác BO, CO theo thứ tự cắt AC,

AB tại M, N K là giao của OA và MN H là hình chiếu của K trên BC Chứng minh

Bài 2 M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD của tứ giác nội tiếp ABCD

Các đường tròn (ABN), (CDM) theo thứ tự lại cắt CD, AB tại P, Q Chứng minh rằng:

AC, BD, PQ đồng quy

Bài 3 Đường thẳng  đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, theo thứ tự cắt các đường thẳngBD,BC tại M, N Chứng minh rằng: 1 1 1

Bài 4 Các đường phân giác BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I Đường thẳng qua

I, vuông góc với EF theo thứ tự cắt BC, EF tại P, Q Giả sử IP = 2IQ Tính BAC.

Tiết 11,12: Chùm điều hòa (tiếp) Bài 1 Cho tam giác ABC và tâm nội tiếp (I) tâm I Gọi D là chân vuông góc của I

xuống BC, P là chân vuông góc của I xuống AD Chứng minh BPD CPD 

Bài 2 Cho tam giác ABC và các điểm C , B ,A1 1 1 là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh

AB, AC, BC sao cho 3 đường CC , BB , AA1 1 1 đồng quy tại P Tia B A1 1và B C1 1 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại A ,C2 2 Chứng minh rằng A; C; giao điểm của A C2 2 và BB1; trung điểm của A C2 2 cùng nằm trên một đường tròn

Bài 3 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A,B CD là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2) với C thuộc (O1) ; D thuộc (O2), B gần CD hơn A

a) Gọi E là giao điểm của BC và AD, F là giao điểm của BD và AC Chứng minh rằng

EF song song với CD

b) Gọi N là giao điểm của AB và EF Lấy K trên đoạn thẳng CD sao cho BAC =

DAK Chứng minh rằng KE=KF

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O Đường tròn  I nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên EF; AH cắt lại đường tròn  O tại điểm thứ hai G Tiếp tuyến với đường tròn  O tại G cắt BC tại T Chứng minh rằng tam giác TDG cân

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp (O) với E, F lần lượt thay đổi trên

AC, AB sao cho AE = AF Gọi D là giao điểm của EF và BC Gọi K, L lần lượt là tâm (BDF) và (CDE) Gọi H là giao điểm của BE và CF AH cắt BC tại S G đối xứng D qua KL Gọi T là điểm thuộc DG sao cho TS  BC M là trung điểm của ST Chứng minh rằng khi E, F thay đổi thì đường thẳng GM luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3 Cho ∆ABC nội tiếp (O) Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại X Gọi Q là

trung điểm AC, P=BO ∩ AC, T = HL ∩ BK Chứng minh TP// XQ

Tiết 13,14: Chùm điều hòa Bài 1 Cho tam giác ABC có AB AC và đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC

tại D Trên tia AD, lấy điểm M sao cho CM CD. Giả sử AD cắt (I) tại GD

Đường thẳng GB cắt CM tại K Chứng minh rằng M là trung điểm của CK

Bài 2 Cho hình thang ABCD có AB CD và BCBD Đường thẳng đối xứng với CA

qua CD cắt AD,BD lần lượt tại E,F Chứng minh rằng E là trung điểm của CF

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có T là giao điểm hai tiếp tuyến của (O) ở B,C.

vuông góc với BC cắt AT ở N Chứng minh rằng N thuộc đường trung bình của tam giác TDE

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O D là điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến với  O tại D cắt BC tại E OE theo thứ tự cắt AB,AC tại M, N Chứng minh rằng OM ON

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp (O) Một đường tròn (O’) thay đổi

đi qua B, C, cắt AB, AC lần lượt tại E, F khác A (AEF) cắt (O) tại K, K ≠ A KE, KF lần lượt cắt (O) tại Q, P khác K Gọi T = BQ  CP Gọi M, N lần lượt là giao điểm của

BF, CE

a) Chứng minh rằng A, O, T thẳng hàng

b) Chứng minh rằng KA tiếp xúc với (AMN)

Bài 3 Cho (O) và hai điểm B, C thuộc (O) sao cho BC không là đường kính Gọi T là

giao điểm của hai tiếp tuyến tại B và C của (O) Qua T kẻ cát tuyến TDA Đường thẳng qua A vuông góc với AT cắt BC, (O) lần lượt tại P, Q Chứng minh rằng:

a) QD ⊥ PT

b) QC, BD, PT đồng quy

Bài 4 Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định ở trong đường tròn (IO), đường thẳng qua I vuông góc với OI cắt đường tròn tại C và D; A là một điểm nằm trên đường tròn, tia đối xứng với tia IA qua đường thẳng CD cắt đường tròn tại B Gọi M là trung điểm của AB

a) Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố định L khi A thay đổi trên đường tròn (O;R)

b) Gọi N, P là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn (O) Đường thẳng CN

và DP cắt nhau ở Q Chứng minh rằng các điểm Q, N là những tâm của đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác CMD

Tiết 15, 16: Chùm điều hòa (tiếp) Bài 1 Cho tam giác ABC Đường trung tuyến AM, đường phân giác trong góc A là AN

(N thuộc BC) Đường thẳng vuông góc với AN tại N cắt AB tại P, cắt AM tại Q Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại I Chứng minh rằng đường thẳng IQ vuông góc với đường thẳng BC

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn với AB AC và trực tâm H AH,BH,CHlần lượt cắt các cạnh BC,CA, AB tại D,E,F EFcắt BCtại G K là hình chiếu của H lên AG AH

cắt EFtại L.Trung trực LD cắt GHtại P,N là trung điểm của EF Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác KGNvà DPL tiếp xúc nhau

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I Đường tròn bàng

tiếp (L) tại đỉnh C của tam giác ABC tiếp xúc với AB tại M MI cắt BC tại N P là hình chiếu của C lên LB Chứng minh rằng AI và PN cắt nhau trên đường tròn (O)

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD cắt đường tròn đường kính AC tại N, Q

(Q nằm ngoài tam giác); đường cao CE cắt đường tròn đường kính AB tại M, P (P nằm ngoài tam giác) Gọi H là trực tâm tam giác ABC

a) Chứng minh PN, MQ , BC đồng quy tại điểm K

b) Chứng minh BM, CN và HK đồng quy

Tiết 17, 18: Tứ giác điều hòa

1) Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp ABCD được gọi là điều hòa nếu tồn tại điểm M thuộc đường tròn

ngoại tiếp tứ giác sao cho M(ACBD) = - 1

Nhận xét: Tứ giác ABCD là điều hòa thì với mọi điểm M thuộc (O) ta đều có

M(ACBD) = - 1

2) Tính chất

a) Tứ giác ABCD điều hòaAB CD AD CB

Nhận xét: 1) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác điều hòa ABCD ta có:

2 2

AC BD AB CD AD CB

2) Vì tính chất này tương đương với AB  CB

AD CD nên ta đã sử dụng thuật ngữ

“Tứ giác điều hòa”

b) Tứ giác ABCD điều hòa khi và chỉ khi  A, C,BD đồng quy hoặc đôi một song

song Trong đó  A, C lần lượt là tiếp tuyến tại A và C của (O)

c) Tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) có Chứng minh rằng (O) trực giao với đường

tròn Apollonius tỉ số k dựng trên đoạn AC

d) Cho tứ giác điều hòa ABCD Gọi N là giao điểm của AC và BD Chứng minh

3) Ví dụ áp dụng

Bài 1 Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O); M là giao điểm hai tiếp tuyến tại B, D

của (O) Đường thẳng song song với MD kẻ qua C cắt DB, DA lần lượt ở H, K Chứng minh rằng HC=HK

Bài 2 Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), gọi M là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,

D của (O) Gọi I là giao điểm của OM và BD Khi ấy IB là phân giác của góc AIC

Bài 3 Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E, Z là hình chiếu của D

trên AB, AC Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E, Z của đường tròn đường kính

AD Chứng minh rằng: TB=TC

Bài tập

Bài 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB CD S  , ADBC F , ACBD E Tiếp tuyến SM, SN với đường tròn Chứng minh rằng E, F, M, N thẳng hàng

Bài 2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) M, N, P, Q là tiếp điểm của (O) với AB, BC,

CD, AD Chứng minh rằng AC, BD, MP, NQ đồng quy

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC D là một điểm thuộc đoạn AC Giả sử đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn thẳng BC tại E khác B Tiếp tuyến tại B, D của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt nhau tại T AT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ở F khác A Gọi M là trung điểm của AF và CF giao DE tại G, AG giao BC tại H, AE giao MD tại N Chứng minh rằng HN // AT

Tiết 19, 20: Tứ giác điều hòa (tiếp) 4) Ứng dụng

Bài 1 Cho tam giác ABC không cân tại A, nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm

của BC Các đoạn N, P thuộc đoạn BC sao cho MN=MP Các đường thẳng AM, AN,

AP theo thứ tự cắt (O) tại X, Y, Z Chứng minh rằng: BC, YZ và tiếp tuyến tại X của (O) đồng quy

Bài 2 Cho tam giác ABC và điểm M Các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt

BC, CA, AB tại D, E, F Lấy X thuộc BC sao cho  90o

AMX Y, Z theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua DE, DF Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có A cố định và B, C thay đổi trên

(O) và luôn song song với một đường thẳng cố định cho trước Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại K Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với (O) Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Lấy M thuộc

(O), MA, MB cắt (O’) tại N, P Gọi Q là trung điểm của NP Chứng minh rằng MQ luôn đi qua một điểm cố định

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC nhọn Gọi D, M, H lần lượt là chân đường cao hạ từ A, trung

điểm của BC, trực tâm tam giác ABC.Kẻ đường cao AK Đường thẳng MH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là E Đường thẳng ED cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là F Chứng minh rằng BF  AB

CF AC

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn, ABAC DAC sao cho BD AC , EAB sao

cho CE AB Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, MD, ME SPN BC Gọi T

là điểm thuộc DE sao cho AT / /BC Chứng minh rằng ST tiếp xúc (ADE)

Bài 3 Trên mặt phẳng, cho đường tròn (O) và hai điểm cố định B, C trên đường tròn

này sao cho BC không là đường kính của (O) Gọi A là một điểm di động trên đường tròn (O) và A không trùng với hai điểm B, C Gọi D, K, J lần lượt là trung điểm của

BC, CA, AB và E, M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên BC, DJ, DK Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M, N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại điểm T cố định khi A thay đổi trên (O)

Tiết 21, 22: Tứ giác điều hòa (tiếp) c) Một số ứng dụng khác

Bài 1 Xét tam giác không cân ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh

BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F Đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC tại

N Đặt T là giao điểm gần N của AN với đường tròn nội tiếp tam giác ABC, K là giao điểm của DT và EF Chứng minh rằng AK // BC

Bài 2 Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA tại D,

E AD cắt lại (I) tại P Giả sử BPC900 Chứng minh rằng EAAPPD

Bài 3 Cho tam giác ABC, đường cao AH, E là trung điểm của AH Đường tròn nội tiếp

(I) tiếp xúc với BC tại D DE cắt lại (I) tại F Chứng minh rằng FD là phân giác của góc BFC

Bài tập

Bài 1 Cho tứ giác nội tiếp ABCD Đặt E ACBD F;  ADBC M là trung điểm

của CD EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB tại N (M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB) Chứng minh rằng: MA  NA

MB NB

Bài 2 Cho tam giác ABC, P là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Gọi B’, C’ lần

lượt là điểm đối xứng với P qua AC, AB; E, F lần lượt là hình chiếu của P trên AC, AB Gọi X là giao điểm khác A của hai đường tròn (AB’C’) và đường tròn đường kính AP Chứng minh rằng tứ giác PEXF là tứ giác điều hòa

Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp (O) Hai tiếp tuyến của (O) tại B và

C cắt nhau tại D AO cắt BC tại E Gọi M là trung điểm BC, AM cắt (O) tại điểm thứ

Tiết 23, 24: Tứ giác điều hòa (tiếp) Bài 1: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn 1 và 2cắt nhau tại A, B Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với 1 ở P và 2ở T Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S Gọi H là điểm đối xứng của B qua

PT Chứng minh rằng A, H, S thẳng hàng

Bài 2: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn 1 tâm O và 2 tâm O’ cắt nhau tại hai điểm A, B Các tiếp tuyến tại A, B của 1 cắt nhau tại K Giả sử M là một điểm nằm trên 1 nhưng không trùng với A và B Đường thẳng AM cắt lại 2 tại P, đường thẳng

KM cắt 1 tại C và đường thẳng AC cắt 2 tại Q

a) Chứng minh rằng trung điểm PQ thuộc đường thẳng MC

b) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên 1

Bài 3 Từ điểm A nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm) Lấy

T bất kì thuộc cung nhỏ BC Kẻ TH vuông góc với BC (tại H) Chứng minh TH là phân giác của góc MHN (M, N là giao điểm của tiếp tuyến tại T của (O) với AB, AC)

Bài 4 Từ A nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm) AO cắt (O) ở

D Kẻ BX vuông góc với CD (X thuộc CD) Gọi Y là trung điểm của XB, YD cắt (O) tại điểm thứ hai Z Chứng minh rằng AZC90o

Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC, đường cao AH, K là trung điểm của AH Đường tròn nội tiếp

(I) tiếp xúc với BC tại D DK cắt lại (I) tại T Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác TBC tiếp xúc với (I)

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF AA’ là đường kính

của (O) A’B, A’C cắt AC, AB lần lượt ở M, N P, Q thuộc EF sao cho PB, QC vuông góc với BC Đường thẳng qua A vuông góc với QN, PM lần lượt cắt (O) tại X, Y Tiếp tuyến của (O) tại X, Y cắt nhau tại J Chứng minh rằng JA’ vuông góc BC

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB AC) Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D DO theo thứ tự cắt AB, AC tại E, F M, N theo thứ tự là trung điểm của

AB, AC Chứng minh rằng AO, EN, FM đồng quy

Tiết 25, 26: Tứ giác điều hòa (tiếp) Bài 1 Cho tam giác ABC nội tiếp ( )O có T là giao điểm hai tiếp tuyến của ( )O ở

,

B C Một đường thẳng d bất kỳ qua T cắt AB AC, lần lượt tại D E, Gọi M là trung điểm của DE và MA cắt ( ) O tại K Chứng minh rằng đường tròn ( MTK tiếp xúc với )( ).O

Bài 2 Cho đoạn thẳng AD cố định và hai điểm B C, thay đổi sao cho D luôn là trung điểm của BC và B C A D, , , không thẳng hàng Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của D

lên AB AC Gọi , ,, R S I lần lượt là trung điểm AB AC MN và RS cắt MN tại , , K Gọi

E là điểm đối xứng với D qua RS Chứng minh rằng đường tròn ( IKE luôn đi qua )hai điểm cố định