Câu 40: Một xe buýt xuất phát trên xe có x hành khách, đến bến thứ nhất có 3 hành khách lên xe, đến bến thứ 2 số hành khách trên xe đã tăng lên gấp đôi, đến bến thứ 3 có 1 hành khách lên
Trang 1TOÁN LỚP 8 ÔN TẬP HÈ LÊN 9
ĐẠI SỐ
NĂM HỌC : 2024 – 2025
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO.
CHƯƠNG 1 : ĐẠI SỐ.
Câu 1: Thực hiện phép tính
x xy− y +
y
c) 4x y xy2 : 2
d)
2
2
8
: 5
−
Câu 2: Thực hiện phép tính
x− x − + −x x−x x
b) ( x − 1 2 )( x − 1 3 )( x − 1 )
c) ( )( ) ( )( ) ( ) ( 2)
1
x x−y − x+ x+ yx + y x−xy
d)
2 2
+
Câu 3: Tìm giá trị biểu thức
A= x x − −x x− x − x −x tại x = 1
x y+ xy − xy x + y tại x = 2 ; y = −1
Câu 4: Thực hiện phép tính
a) ( 2 )2
y xy
− −
x+ +y z
Câu 5: Thực hiện phép tính
( ) (3 ) (3 )3 ( 3 3)
Câu 6: Rút gọn các biểu thức sau:
a) n 1( ) ( n 1 n 1)
x + x+ y −y x + +y +
2
x y x y x y x y xy
3 a 4 a − 3 b − 3 a 3 a + b − 3 a
Câu 7: Rút gọn các biểu thức sau:
4 x−2y x+ y +4 x+ y + x−2y −12xy+4y
a x a x a x ax a x a x x
x −y x +y x − x y + y
x + −x +x
TailieuToanTHCS distance
Sưu tầm & Biên soạn
ĐIỂM:
Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách còn hơn để nước mắt rơi ướt cả đề thi distance QUICK NOTE
Trang 2
Câu 8: Chứng minh các biểu thức sau:
x − x+ + x−x x+ = x −
b) ( 4 − + x y )( 4 + − x y ) ( + x − y )( x + y ) = 16 + 2 y x ( − y )
x + − x x + + x =x +
Câu 9: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc biến x
a) Ta có: A = ( x − 4 2 )( x + 5 ) − 2 x x ( − − 3 ) ( 3 x − 8 )
B= x + x+ x − x+ − x x + − x x −
c) Ta có: C = ( 3 x − 5 2 )( x + 11 ) ( − 2 x + 3 3 )( x + 7 )
Câu 10: Chứng minh các biểu thức sau luôn dương với mọi x
a) y2 −6y+10 b) 9x2 −6x+25y2 +10y+4
c) 2
1
2
Câu 11: Chứng minh rằng:
2 2 2
x +y +z − x− y− z+ với mọi số thực x , y, z
Câu 12: Chứng minh rằng với x Q thì giá trị của biểu thức:
( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ) 1
A = x + x + x + x + + là bình phương của một số hữu tỉ
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( 1 )( 2 ) ( 3 )( 4 )
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
5 8
C = − x−x b) D = − 3 x x ( + − 3 ) 7
Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B= + x + x
Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = x x ( + 3 )( x − 1 )( x − 4 ) b)
B= x + x + x + x+
Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức
A= x + x+ b) B = x x ( − 6 )
Câu 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x x ( + 2 )( x + 8 )( x + 10 ) − 10 b) 4 3 2
4x −4x −7x +4x+4
Câu 19: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
2
x
c) x4 +4y2 d) x2 +2xy+y2 −2x−2y
Câu 20: Phân tích đa thức thành nhân tử
x + x−
c) x3 −3x2 +2 d) 2x3 +x2 −4x−12
Câu 21: Phân tích đa thức thành nhân tử
x+ +y z −x −y −z b)
x + x + x+
Câu 22: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x +4 4
Trang 3
c) ( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 )( x + 5 ) − 24
d) x x −3x+4 x−2 với x 0
Câu 23: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
a b −c −b a −c +c a −b
b) ab a ( + b ) + bc b ( + c ) + ac a ( + c ) + 2 abc
c) 3( 2 2) 3( 2 2) (3 2 2)
a b −c +b c −a +c a −b
d) ( ) ( 2 2) ( ) ( 2 2) ( ) ( 2 2)
a+b a −b + b+c b −c + c+a c −a
Câu 24: Tìm x biết
a) 2 ( x + + 3 ) ( x 3 + x ) = 0
2x−3 − 4x−6 x+2 +x +4x+ =4 0
Câu 25: Tìm x biết
a) ( 5 x − 2 2 )( x + + 1 ) ( 10 x + 3 1 )( − x ) = 13
2 x − x + 1 2 + x − x − 1 x − 3 = 1
Câu 26: Tìm x biết
3x−2 −9x + =4 0
Câu 27: Tìm x biết
2 x + 3 − x − 4 x + 4 − 3 x + 3 = 0
b) 3 2
x − x + x− =
c) x3+6x2 +12x+ =8 0
Câu 28: Cho x+ =y 1 Tính giá trị biểu thức sau:
A=x + y + xy x + y + x y x+y
Câu 29: Cho x+ =y 2 và x2+y2 =8
Tính giá trị biểu thức sau: A=x3+ y3
Câu 30: Thực hiện phép tính chia:
a) ( 5 2 3 4 4 3) 2 2
4x y +6x y −8x y : 4x y
3
x x x x
c) 8 3 1 3 : 4 2 1 2 2
x y x y xy
Câu 31: Thực hiện phép tính
2x + −x 10 : x−2
6x −10x +3x−5 : 2x +1
x − x + x+ x−
2x +2x −7x − +x 3 : 2x −1
Câu 32: Thực hiện phép tính
m x + mx + −m x− mx− mx+
Câu 33: Xác định hệ số a sao cho:
a) 9x2 +a chia hết cho 3 x + 2
b) 3x2 +ax−20 chia cho x + 3 có số dư bằng -2
Trang 4
Câu 34: Tìm các số nguyên a và b để đa thức ( ) 4 3
3
A x = x − x + ax + b chia hết cho đa thức ( ) 2
Câu 35: Tìm giá trị a để đa thức 2x3−3x2+ +x a chia hết cho đa thức x + 2
Câu 36: Cho hai đa thức A=2x3−x2 − +x 1 và đa thức B = − x 2
a) Thực hiện phép chia đa thức A cho đa thức B
b) Tìm số nguyên x để đa thức A chia hết cho đa thức B
Toán thực tế:
Câu 37: Hiện nay tuổi mẹ 32 tuổi, tuổi con là 8 tuổi Hỏi cách đây bao nhiêu
năm tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con
Câu 38: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp nhau, biết số thứ nhất nhân với số thứ
hai bé hơn số thứ nhất nhân với số ba là 18
Câu 39: Bể bơi tại một ngôi trường có hình chữ nhật với chiều rộng là
( x + 3 ) m và chiều dài là ( y + 7 ) m
a) Diện tích bể bơi trên theo x và y
b) Với x = 4 m và y=8m Tính diện tích bể bơi
Câu 40: Một xe buýt xuất phát trên xe có x hành khách, đến bến thứ nhất có
3 hành khách lên xe, đến bến thứ 2 số hành khách trên xe đã tăng lên gấp đôi,
đến bến thứ 3 có 1 hành khách lên xe và 5 hành khách xuống xe, đến bến thứ
4 không có hành khách lên hay xuống xe, đến bến thứ 5 có 2 hành khách lên
xe sau đó tài xế đếm được trên xe có 20 hành khách Hỏi lúc xuất phát xe buýt
có bao nhiêu hành khách
Câu 41: Một chung cư có 20 tầng và 01 tầng hầm (tầng trệt được đặt là tầng
G, các tầng được đánh số từ tầng 1, 2, 3, …, 12, 12A, 14, 15, …19) tầng cao
nhất đang tầng 19, tầng hầm được đánh số B1 Thang máy hiện tại đang ở tầng
10, sau đó đi lên 6 tầng và xuống 17 tầng rồi lên 01 tầng Hỏi cuối cùng thang
máy dừng lại ở tầng nào
Câu 42: Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nhau, biết hiệu bình phương của hai
số bằng 48
Câu 43: Bác Năm có 40m lưới muốn vây quanh một chiếc ao hình chữ nhật
để nuôi vịt Hỏi diện tích lớn nhất của chiếc ao bằng bao nhiêu để bác Năm có
thể vây kín xung quanh
Câu 44: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước
là 80 mét Ở đó người ta tận dụng một hàng rào đã có sẵn để làm một cạnh của
hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật
được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Dạng 1: Tính
Bài 1: Thực hiện phép tính sau :
x
−
−
2
.
25 25
Bài 2: Thực hiện phép tính :
a)
6
2
1
+
+
x
x
+
x x
x
3
3 2
2 +
+ b)
y x
x
2
− + x y
x
2
4 4
xy
−
−
Bài 3: Tính
Trang 5
a) 5x 10 4 2x
4x 8 x 2
2 2
:
+ c)
4
3 3
12x 15y
5y 8x
d) 2 2 4 4y 3x 11x 8y − Bài 4: Tính a) 2 2 4x 6x 2x : : 5y 5y 3y b) 2 x 4 x 4 3x 12 2x 4 − + + − c) 5 10 4 2 4 8 2 x x x x + − − + d) 2 36 3 2 10 6 x x x − + − Bài 5: Cho biểu thức: A = 1 1 5 5 ( 5) x x x x x − + − + + và B = 5 3 + x Chứng tỏ A= B Dạng 2: Rút gọn phân thức Bài 6: Rút gọn các phân thức a) ( x y2)(2 x 3) y xy − − − b) ; c) Dạng 3: Biến đổi biểu thức hữu tỉ Bài 7: Cho biểu thức: P = 2 21 2 7 49 7 x x x x + − − + a) Tìm ĐKX Đ và rút gọn P b) Tính giá trị của biểu thức P tại x +4 =3 c) Tìm giá trị của x để giá trị của P bằng -1 Bài 8: Cho biểu thức: M = 2 4 4 8 16 ( ) 4 4 32 x x x x + + − − + a)Tìm ĐKX Đ của M b) Rút gọn M c) Tính giá trị của M tại x − =1 3 d)Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng 0; bằng 1 e)Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên Bài 9: Cho biểu thức: ( ) 2 2 2 3 1 1 3 1 1 : 1 1 1 3 1 a a a a P a a a a a − − + + = − − − − − + −
2 2
2 2
3 2
2
y xy x
y xy x
+
−
− +
2
1 3
2
2
2
−
+
+
−
x
x
x
x
Trang 6a) Tìm những giá trị của a để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị của a để 1
P nhỏ nhất và tìm giá trị đó
Bài 10: Cho biểu thức D =
3 2
2
2
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên
c) Tìm giá trị của D khi x = 6
+
2 2
2
x
x x
Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 3 2 2 3 2 3 1 2 2 x xy y x x y xy y x y + + = + − − − Bài 3: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: a) ; Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z: a) ( )( y ) ( )( z ) ( )( x ) ; A x y y z y z z x z x x y = + + − − − − − − b) ( x )( z ) ( x )( y ) ( y )( z ) . B x y y z x z y z x y x z + + + = + + − − − − − − Bài 5: Tìm x: a) 2 2 3 2 2 , a b a ab x b b ab + − − = − (a, b là những hằng số); b) ( ) ( ) 4 4 2 2 , a b x a b a b + + + = − (a, b là những hằng số) Bài 6: Cho x y z 0 a = = b c Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) x z a b c ax by cz + + + + + + Bài 7: Cho ax by+ +cz=0, hãy rút gọn phân thức:
P
P
Trang 7Bài 8: Tính giá trị của biểu thức:
2 3 ( 2)(2 2 ) ( 1)(4 ) x x x x x x − + + − với 1 2 x = − Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau: a) 3 7 2 2 4 4 8 8 1 1 2 4 8 ; a a a A a b a b a b a b a b = + + + + − + + + + b) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 5 6 7 12 9 20 B a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + + + + Bài 10: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 2 1 14 3 + x − b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: 2 4 4 15 x x − + Dạng 1 Tìm điều kiện xác định của phân thức Bài 1 Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: a) 5x 2x + 6 b) 2 8 x − 4 c) 2 2x 1 4x 2x + + d) 3 x 2 x 27 − − Bài 2 Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau: a) 4m 3m 8 − b) 2 3n 6 n 2n − − c) 2 3 v + 5 d) 2 3 2u u − 3u + 2 Dạng 2 Thực hiện phép tính Bài 3 Thực hiện các phép tính sau: a) 2 1 1 P (4x 1) 1 2x 1 2x 1 = − − − − + với 1 x 2 b) Q 3 2 9 : 23 1 x 3 x 6x 9 x 9 3 x = − + + + + − − với x0, x 3 Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau: a) 2 2 t 3t A 1 : 1 t 2 4 t = + − + − với t 1, t 2 b) 2 x 2x x 6 108 6x B 2x 12 x 2x(x 6) + − − = + + + + với x0, x −6
A
=
Trang 8Dạng 3 Tìm x để giá trị của một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 5 Cho phân thức A= x 2
x 1
+
− với x1 a) Tìm x để A1
b) Tìm x để A
Bài 6 Cho phân thức
2
B
x 3
− +
=
− với x3 a) Tìm x để B0
b) Tìm x để B
Bài 7 Tìm x để phân thức M 2 8
x 4x 12
=
− + đạt giá trị lớn nhất
Bài 8 Tìm x để phân thức N 2 5
x 2x 11
−
= + + đạt giá trị nhỏ nhất
Dạng 4 Tổng hợp
Bài 9 Cho biểu thức
2
A 2a 10 a 2a(a 5)
a) Tìm điều kiện xác định của A
b) Rút gọn biểu thức
c) Tính giá trị của biểu thức tại a= −1
d) Tìm giá trị của a để A=0
Bài 10 Cho biểu thức
2 2
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất
ĐẠI SỐ CHƯƠNG 3:
Câu 1: Giải các phương trình sau:
c) 4 5 1
e) 9 2 − x = − x 3 f) 2 ( x + = + 1 ) 3 2 x
Câu 2: Giải các phương trình tích sau:
a) ( x − 3 5 )( x + 4 ) ( = 3 x − 8 )( x − 3 )
b) 3 x ( 25 x + − 5 ) 35 5 ( x + = 3 ) 0
c) ( 3 3 − x )( 2 x + = 5 ) ( 3 x − 3 4 5 )( − x )
d) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )
x + x− = x + − −x
2x+1 + −1 x 4x+2 =0
Trang 9
f) ( )( ) 2
Câu 3: Tìm giá trị của x sao cho 2 biểu thức A và B cho sau đây có giá trị bằng
nhau
A= x− x + + −x x; B = x x ( − 1 )( x + 1 )
B= x− −x
c) A = ( x − 3 )( x + − 4 ) ( 2 3 x − 2 ) ; ( )2
4
B= x−
d) ( ) (3 )3
A= x+ − x− ; B = ( 3 x − 1 3 )( x + 1 )
Câu 4: Giải phương trình sau: 2 1 1
2017 2018 2019
Câu 5: Giải các phương trình:
d)
2 2
Câu 6: Giải các phương trình sau:
a) 3 x + = 4 5 ( x − + 1 ) 1 b) ( 3 x − 6 2 )( x + = 1 ) 0
x − − = − x x +
d) x ( 4 x + = 1 ) 7 x − 2
Câu 7: Giải các phương trình sau:
b)
x
c) 2
2x −9x+ =9 0
d)
x
+
Câu 8: Giải phương trình sau:
Câu 9: Cho phương trình ( 2 ) 2
m − m− x = −m , với m là một số Chứng
minh rằng:
a) Khi m = − 1 , phương trình vô nghiệm
b) Khi m = 3 , phương trình vô số nghiệm
c) Khi m = 0 , phương trình có nghiệm x = 1
Câu 10: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 mx m − = + 3 4 x
Câu 11: Tìm m để phương trình có nghiệm: 2 3
3
+ + (với m là tham số)
Câu 12: Cho phương trình 2 1 3
− + , tìm m để phương trình có nghiệm dương
Câu 13: Cho phương trình ẩn x sau: ( )( ) 2
2 x + m x − − 1 2 x + mx + − = m 2 0
Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm là một số không âm
Câu 14: Chứng tỏ bất phương trình sau nghiệm đúng với x
Trang 10
a) 2 4 5 0
−
−
b) ( x − 1 )( x − 3 )( x − 4 )( x − + 6 ) 10 1
c) x−x2− 1 0
Câu 15: Tuổi bố hiện nay bằng 2 2
5 tuổi con Cách đây 5 năm tuổi bố bằng
43
15 tuổi con Hỏi tuổi bố và tuổi con hiện nay?
Câu 16: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m Nếu tăng chiều rộng
3m và giảm chiều dài 2m thì diện tích tăng thêm 2
32m Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu miếng đất?
Câu 17: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Lúc
về, người đó đi với vận tốc trung bình là 35km/h nên thời gian về ít hơn thời
gian đi là 30 phút Tính độ dài quãng đường A B.
Câu 18: Khoảng cách giữa A và B là 110km Một người đi xe máy từ A đến
B với vận tốc 45km/h Một người khác cũng đi xe máy từ B lên A với vận tốc
30km/h Hỏi sau mấy giờ họ gặp nhau
Câu 19: Một xe chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh lên Hà Nội
với vận tốc 42km/h Sau đó 2 giờ một xe trở khách cũng đi từ đó với vận tốc
54km/h đuổi theo xe chở hàng Hỏi xe chở khách đi bao lâu thì gặp xe chở
hàng
Câu 20: Bạn Nam đi xe đạp từ nhà ra hiệu sách với 12km/h Sau khi đến hiệu
sách Nam vào mua sách hết 36 phút rồi lên xe đi về nhà với vận tốc 10km/h
Tổng cả hai lần đi và về hết 2h15 phút (kể cả thời gian mua sách) Tính quãng
đường từ nhà Nam đến hiệu sách
Câu 21: Bố đưa Nam đi từ nhà ra Hồ Gươm chơi bằng xe máy với vận tốc
36km/h Khi về do tắc đường nên Bố đưa Nam về đường khác dài hơn 1,5km
đi với vận tốc 45km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 5 phút Tính quãng
đường từ nhà Nam đến Hồ Gươm
Câu 22: Một ô tô đi từ A đến B. Cùng lúc đó ô tô thứ hai đi từ B đến A với
vận tốc bằng 3
5 vận tốc của ô tô thứ nhất Sau 3 giờ thì chúng gặp nhau Hỏi
để đi hết cả quãng đường AB thì mỗi ô tô đi hết bao nhiêu thời gian?
Câu 23*: Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất
phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc
theo thứ tự lần lượt là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ Hỏi đến mấy giờ ô
tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Câu 24: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80km, thời gian đi và về mất 8
giờ 20 phút Tính vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng Biết vận tốc dòng nước
là 4km/h
Câu 25: Theo kế hoạch, hai tổ công nhân dự kiến làm 110 chi tiết máy Nhưng
do cải tiến kỹ thuật tổ 1 đã vượt 20% kế hoạch của mình Tổ 2 vượt 10% kế
hoạch của mình, nên hai tổ đã làm được 125 chi tiết máy Hỏi theo kế hoạch
mỗi tổ phải làm bao nhiêu chi tiết máy
Câu 26: Một đội công nhân vận chuyển nguyên vật liệu dự định hoàn thành
một khối lượng công việc trong vòng 8 ngày Nhưng do tăng năng xuất nên họ
vận chuyển được nhiều hơn 2 tấn so với kế hoạch và còn vượt thời gian 1 ngày,
Như vậy một ngày họ vận chuyển được hơn so với kế hoạch là 1 tấn Hỏi khối
lượng vận chuyển trong một ngày theo kế hoạch của đội công nhân là bao
nhiêu
Câu 27: Một đội thợ vận chuyển một khối lượng sản phẩm, theo kế hoạch mỗi