Hs tài liệu ôn tập toán 8 tập 1

Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 CHƯƠNG I: NHÂN, CHIA ĐA THỨC BÀI 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I, KHÁI NIỆM: + Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức có bậc nhỏ VD: + A  x  2x    x  1  x   việc phân tích đa thức A thành hai nhân tử II, PHÂN TÍCH BẰNG PP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG: + Nếu hạng tử đa thức có nhân tử chung, ta phân tích PP VD: Phân tích đa thức: A  3x  6x + Thấy A  3x  6x  3x.x  2.3x  3x  x   Chú ý: + Đôi ta phải đổi dấu hạng tử để làm xuất nhân tử chung: A    A  VD: Phân tích đa thức: A   x  y   x  y  x  Thấy:  x  y     y  x  ngược lại  y  x     x  y  Khi đó: A   x  y   x  x  y    x  y    x  III, PHÂN TÍCH BẰNG PP DÙNG HẲNG ĐẲNG THỨC: + Nếu hạng tử đa thức thành phần HĐT ta sử dụng PP VD: Phân tích đa thức: A  x  4x  + Ta thấy A  x  2.2x  22   x     x    x   IV, PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHĨM HẠNG TỬ: + Nếu đa thức có hạng tử đơn lẻ kết hợp với tạo nhân tử chung ta sủ dụng PP VD: Phân tích đa thức: A  ax  bx  cx  a  b  c + Thấy A  x  a  b  c   a  b  c   a  b  c   x  1 Nhận xét: + Đối với đa thức, ta linh hoạt vận dụng PP để phân tích thành nhân tử V BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, A  x  x b, A  5x  x  1  1  x  c, A  x  x  1  1  x  2.a, A  3x  3y b, A  x  y  1  y 1  y  c, A   x  1   x  1 3.a, A  5x  20y b, A  7x  x  y    y  x  c, A  2x  x     x   4.a, A  3xy  6xyz b, A  z  x  y    x  y  c, A  3x  x  1  1  x  5.a, A  8xy  2x y b, A  3x  x      x  c, A  3x  x     x   6.a, A  18x y  12x b, A   x  y   5x  y  x  c, A  4x  x  y    y  x  2 2 2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, A  2x  5x  x y b, A  5x  x  1  15x 1  x  Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 2.a, A  4x y  8xy  18x y b, A  2x  y  1  2x  y  1 3.a, A  3x y  6x y  9xy b, A  9x  y  z   3x  y  z  4.a, A  2x y  4x y  6y x b, A  10x  x  y   8y  y  x  5.a, A  14x y  21xy  28x y b, A  2x  x  y   6x  x  y  6.a, A  8x y3  12x y  20x y b, A  10xy  x  y   6y  y  x  Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, A   x  y   ax  ay b, A  x  x  y  y c, A  xy   x  y 2.a, A  a  x  y   4x  4y b, A  x  xy  x  y c, A  ax  bx  ab  x 3.a, A  xz  yz   x  y  b, A  xy  y  2x  c, A  x  ab  ax  bx 4.a, A  a  x  y   bx  by b, A  x  3x  xy  3y c, A  a  a x  ay  xy 5.a, A  x  x  y   5x  5y b, A  3x  3xy  5x  5y c, A  2xy  3z  6y  xz Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, A  10ax  5ay  2x  y b, A  4acx  4bcx  4ax  4bx 2.a, A  2x  6xy  5x  15y b, A  ax  bx  cx  3a  3b  3c 3.a, A  ax  3axy  bx  3by b, A  2ax  bx  3cx  2a  b  3c 4.a, A  2ax  6ax  6ax  18a b, A  ax  bx  2cx  2a  2b  4c 5.a, A  5x y  5xy  a x  a y b, A  3ax  3bx  ax  bx  5a  5b 6.a, A  10xy  5by  2a x  aby b, A  ax  bx  2ax  2bx  3a  3b 2 2 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, A  x  6x  b, A  x  c, A  x  3x  3x  2.a, A  x   4x b, A  4x  c, A  x  3x  3x  3.a, A  4x  4x  b, A  x  y c, A  x  6x  12x  4.a, A  x  2x  b, A  x  9y c, A  x  9x  27x  27 5.a, A  x  2x  b, A  25x  c, A   8x 6.a, A  10x  x  25 b, A  4x  25 c, A  x  27 7.a, A  9x  6xy  y b, A  4x  9y c, A  8x  y3 8.a, A   x  2xy  y b, A  9x  x2 9.a, A  x  4y  4xy b, A    x x  64y 10.a, A  4x  12xy  9y b, A  25 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 c, A  8x  c, A  x  27 c, A  125x  125 1.a, A    x  y  b, A  x  6x   y 2.a, A   x  y   b, A  x  4x  y  3.a, A   x  y   9x b, A   x  2xy  y 2 2 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321   4.a, A  x   4x b, A  x  4x  y  5.a, A   3x  1   x  1 b, A  x  y  4x  6.a, A   x  y    x  y  b, A  x  2xy  y  2 2 7.a, A   2xy  1   2x  y  b, A  x  2xy  y  8.a, A   x  y    x  y  b, A  x  2xy  y  z 9.a, A   3x  2y    2x  3y  b, A  25  x  4xy  4y 10.a, A   4x  4x  1   x  1 b, A  x  y  2xy  4z 2 2 2 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, A  3x  6xy  3y  3z b, A  x  xy  x  y 2.a, A   x  y    x  y   b, A  x  x  xy  3y 3.a, A  x  y  2xy  yz  zx b, A  3x  3y  x  y 4.a, A  x  2x   y  2x  b, A  x  y  2x  2y 5.a, A  x  4x   y  6y  b, A  x  4y  2x  4y 6.a, A  4x  4x   y  8y  16 b, A  4x  9y  4x  6y 7.a, A  x  2xy  y  z  2zt  t b, A  3x  3xy  5x  5y Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, x  4x b, x  x  y   3x  3y c, x  2x   y 2.a, 2x3  8x b, x  x  y   5x  5y c, x  y  2y  3.a, 2x  6x b, x  x  y   7x  7y c, x  2x  y  4.a, 10x  15y b, x  x  y   2x  2y c, 4a  4a   b2 5.a, 2x  3x b,  x  y   y  x  y  c, x  2xy   y 6.a, 3x  24x b, 3x  x      x  c, x  2xy  y  7.a, x y  5x y b,  x  y   x  x  y  c, x  2xy  y  49 8.a, 7x  14xy b, 20x  x  y   8y  y  x  c, x  2xy  y  25 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.a, x  xy  y  z b, xy  3x  y  3y c, x    x  3 2.a, x  2xy  x  2y b, x  xy  xz  yz c, x  6x  y  3.a, x  2x  x  xy b, x  2x  2y  xy c, x  2xy  y  z 4.a, xy  x  2x  x b, x  xy  2x  2y c, x x   x  5.a, y  3xy  6y  18x b, 3x  x  y    y  x  c,  x     y  3 6.a, x  x  9x  9x b, x y2    y2 c, x  4y  16x  64 7.a, xy  2y  2xy  4y b, 10x  x  y   6y  y  x  c, 25  x  5   x         2 2 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Bài 10: Tìm x biết: 1.a, x  81  b, x3  x  c, 5x  x  1  x  2.a, x  25  b, x  5x  c, x  x    x   3.a, 2x  98  b, x  7x  c, 5x  x    x   4.a, 4x  49  b, x  13x  c,  x    x  5x  5.a,  25x  b, 3x  6x  c, x  x  1  1  x   6.a,  x  2  25 b, 5x  13x  c, 5x  x      x   7.a,  x  1  81  b, 3x  5x  c, 5x  x  2020   x  2020  2 Bài 11: Tìm x biết: 1.a, x  2x  3x   b, x    x  1 2.a, x  3x  3x   b, x    x  3 3.a, x  8x  3x  24  b,  x  3   x  4.a, x  4x  5x  20  b, 4x  x  1   x  1 5.a, x  20x  x  20  b, 2x  x  1  1  x   6.a, x  6x  12x   b, x  27   x    x    7.a, 2x  3x  2x   b, 3x  x  2006   2x  4012  8.a, x  10x  2x  20  b, 4x  8x    x  1 1  x  9.a, x  12x  2x  24  b, 4x  25   2x    2x    10.a, x  4x  x  4x  b, x  x  1  2x  x     x  1  2 2 Bài 12: Tìm x biết: 1.a, x  8x   b, x  x  c, x  x    x   2.a, x  4x   b, x  7x  c, x  x  1  2x   3.a, x  5x   b, 2x  5x  c, 2x  x    x   4.a, x  5x   b, 3x  7x  c, x  x    2x   5.a, x  4x   b, 7x  2x  c, x  x    2x   Bài 13: Tính giá trị biểu thức: a, A  xy  4y  5x  20 x  14, y  11 b, A  x  2x   y x  94,5, y  4,5 d, A  x  x  1  y 1  y  x  2001, y  501 c, A   x  3 x     x    48 x  e, A  x  2xy  4z  y x  6, y  4, z  45 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 f, A  x  2y  z   y  z  2y  x  116, y  16, z  g, A  xy  xz  2x  y  z  x  101, y  100, z  98 Bài 14: Tính giá trị biểu thức: A  xy  4y  5x  20 với x  14, y  11 Bài 15: Cho x  y  Tính giá trị biểu thức A  x  2xy  y  5x  5y  10 BÀI 6: CHIA ĐA THỨC I, CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC: Quy tắc: “ Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm sau: + B1: Lấy hệ số chia cho hệ số + B2: Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B Chú ý: x  0, m n hai số nguyên cho m  n đó: + x m : x n  x mn + x m : x m  x m m  x  VD: Làm phép tính: A, 15x : 3x B, 20x :12x c, 15x y : 5xy D, 12x y : 9x II, CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC: Quy tắc: “ Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta chia hạng tử đa thức A cho đơn thức B” VD: Làm phép tính:  A,  4x  A, 2x  3x  4x : 2x   8x y2  12x y : 4x  III, CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP: + Để chia đa thức biến cho đa thức biến đẵ xếp ta hạ phép chia bình thường: 2x  13x  15x  11x  x  4x  2x 2x  8x  6x 5x  21x  11x  Chú ý: + Bậc đa thức dư nhỏ bậc đa thức chia III, BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Làm phép tính:   a, x10 : x8   3 x y : xy 3 c,  x y  : xy2  1  c, x y3 :  x y    b, 5x y :10x y c,   b, 12x y2 : 9xy2 a, x :  x a,   x  :   x  b,  xy  :   xy  10 Bài 2: Làm phép tính:  a,  25x  a, 5x  3x  x : 3x   5x  10x : x  b,  6x  b, x  x  14 :  x     13x  :  2x  5 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 a, 5xy2  9xy  x y2 :  xy  b, 6x  11x  10 :  3x    a,  3x y   b,  x   6x y3  12xy : 3xy    3x  x  :  x  3 Bài 3: Làm phép tính:    a,  2x  5x  2x  3 :  2x  x  1 a,  2x  9x  19x  15 :  x  3x  5 a,  2x  x  3x  5x   :  x  x  1 a,  2x  5x  2x  2x  1 :  x  x  1 a,  x  4x  3x  5x  15 :  x  x  3 a, 12x  14x   6x  x  : 1  4x  x  a, x  x  x  3x : x  2x  3 2 2 2 3   b,  x  8y  :  x  2y  b, 125x  1 :  5x  1 b,  4x  9y  :  2x  3y  b,  x  2xy  y  :  y  x  b,  x  2xy  y  :  x  y  b,  8x  1 :  4x  2x  1 b, 27x  :  3x  1 3 2 2 2 Bài 4: Làm phép tính: a,  x  y  :  y  x  b,  x  2y  :  5x  10y  c,  x  y  z  :  x  y  z    e,  x  y  6x   :  x  y  3 f,  x  3x y  3xy  y  :  x  2xy  y  d, x  3x  xy  3y :  x  y  2 2 2 2 g, 5  a  b    a  b   :  b  a    Bài 5: Thực phép tính:   a,  5x  3x  x  : 3x a,  6x  4x  8x  : 2x a,  2x  3x  4x  : 2x   b,  x  3x  2x   :  x  3 b,  x  2x  2x  3 :  x  3 b,  6x  7x  x   :  2x  1 b, x  x  7x  :  x  3 a, 3x  4x  6x : 3x 5 2 2 3 3 Bài 6: Thực phép tính:   a,  20x y  5x y  15x y  : 5x y a,  5x y  10x y  20x y  : 5x y a,  27x y  18x y  12x y  : 3x y a, 6x y2  8x y3  4x y3 : 2x y2 2 2 2 2   b,  x  x  x  3x  :  x  2x  3 b,  x  x  2x  4x  :  x  2x   b,  2x  3x  3x  6x   :  x   b, x  y2  6x  :  x  y  3 4 2 2 Bài 7: Tìm hệ số a để đa thức a, 2x  x  a ⋮  x  3 b, x  3x  5x  a  2⋮  x   a, 4x  6x  a ⋮  x  3 b, x  3x  5x  a ⋮  x  1 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: I, ĐỊNH NGHĨA: A với A, B đa thức ( B khác đa thức 0) gọi phân thức đại số B Khi đó: A gọi tử thức, B gọi mẫu thức + Các biểu thức có dạng VD: Các phân thức đại số 13 4x  ; ; 2 2x  y x  2x  6x  ; 6; … Chú ý: + Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức + Các số coi phân thức đại số + Đa thức số II, HAI PHÂN SỐ BẰNG NHAU: A C gọi A.D  B.C B D x 1  VD: Hai phân thức  x  1  x  1  x  x 1 x 1 + Hai phân thức   III, TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: + Nếu nhân tử mẫu với đa thức khác phân thức mới, phân thức cho : A A.M  ,  M  0 B B.M + Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức mới, phân thức cho: A A:N  , (N nhân tử chung A B) B B: N Chú ý: + Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức ta phân thức phan thức cho A A A A   B B B B IV: BÀI TẬP VẬN DỤNG: Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Bài 1: Chứng minh rằng: a, 5y 20xy  28x b, x2   x 2 x  2x  a, x y3 7x y  35xy b,  x x  6x   3 x  x2 a, a, 3x  x    x   x  x  2 x  x    3x b, x  4x  x  2x  10  5x  x x2 b, x  x  x  3x   x 1 x 1 b, 3x  3xy  x  y  y  x 2 Bài 2: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống: a, 3x y  9xy 3y x  x2 x  a, 5x  x 4x  12x  9x  b, x 5 6x  3x  a, 2x  4x  x  2x  x  b,  2x  6x  3x a,  2x  4x  4x  3x  4x  b,  2x   y  x  xy b, 4x   7x  9x  7x  a, x  3x  24x  2x  b, x  2x x  2x  2x  3x  a, x3  x   x  1  x  1 x  b, 5x  13x  5x   2x  b, x  3x x  4x  2x  7x  a, a, 5x  5xy  x  y    5x  5y2 Bài 3: Ba phân thức sau có hay không? x  2x  x2  x x  4x  x2  x x 3 x Bài 4: Các phân thức sau có hay khơng? x  3x x 3 a, 2x  2x  5x  x  1 x 1 b, x x  x  9   x  c, 9  x  2 Bài 5: Hãy sửa lại lỗi sau đẳng thức sau: x2  x   a, x 1 x 1 x 1 x2   b, x  x  6x  5x  5x  13x   c, x2 x2  Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 BÀI 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC: I, QUY TẮC: + Các bước thực rút gọn: B1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử B2: Tìm nhân tử chung tử mẫu B3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung Chú ý: + Có thể sử dụng tính chất đổi dấu để xuất nhân tử chung II, BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Rút gọn phân thức: a, 3xy 9y b, 6x y a, 8xy5 b, 12x y a, 18xy b, x  x   x   x  c, 45x   x  15x  x  3 15x  x  5 b, d, c, 8xy  3x  1 12x 1  3x  x  9x 15x y3 z8 a, 9x y3 z 3x y  3x c, 2x  y  1 20x  x  5  x  y  c, x  xy d, 5y  5xy 5x  10xy  2y  x  36  x   32  16x 3xy  9y  d, 10xy  5x 2x  8y d, 5x  10 25x  50x Bài 2: Rút gọn phân thức: x  x2 a, x 1 x  2x  b, 5x3  5x c, y2  x x  3xy  2y a, x  3x  x2 b, x  6x  4x  12x c, x y  2xy  y3 2x  xy  y a, x  3x x  9x b, x  5x  x  4x  c, x  y   2xy x  y   2x x2  a, 3x  x x  6x  b, x  8x  15 c, x  y   2xy x  y   4x x  xy a, y  x2 3x  5x  b, x  3x  10 5x  10xy  5y c, 3y  3x a, 2x  4y x  4y2 b, x  8x  12 x  2x  24 c, a  b2  c2  2ab a  b2  c2  2ac a, 3xy  3x 9y  b, x  7x  12 4x  12x c, x  3xy  2y x  2x y  xy  2y3 2x  2x a, x 1 7x  14x  b, 3x  3x y2  x c, x  3x y  3xy  y3 Bài 3: Rút gọn phân thức: a, 4x  3x  1 8x 1  3x  x  2x  x b, x 1 c,   x  5 x  4x  Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 a, a, a, a, 7x y  x  y  14xy3  x  y  10xy2  x  y  15xy  x  y  8x y  x  y  a  b  c2 x3  x2  x  b,  x3 c, b, x3  x2  x   x3 c, x  4x  4x x2  x  3x  3x  b, 4x  4x c, x  xy  x  y x  xy  x  y b, 7x  7x x  3x  3x  c, b, x  xy 3x  3xy 12x y5  y  x  14xy5  2x  3y  21x y  2x  3y  abc 14x y3  21xy 7x y  2x  3y  Bài 4: Rút gọn phân thức: a, 2x  3x  20 x  16 Bài 5: Chứng minh phân thức sau nhau: 9x  9x  6x  a, 12x  4x 12x  4x 2x  7x  2x  x  x2  x  4x  Bài 6: Rút gọn tính giá trị: a, a, A  5x  5x 5x  5x  5x b, x  2x  x3  b, 3x  12x  15x 4x  12x  40 6x  9x  3x 8x  20x  x  2x x  2x  x x  4x  a, A  x  x  6x  2y  2x 1 a, A  x  y  x  2xy  y BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC: I, KHÁI NIỆM: + Quy đồng mẫu thức biến đổi phân thức cho thành phân thức có mẫu: VD: 1 , ta quy đồng thì: xy xy + xy xy   x  y  x  y   x  y  x  y2 + xy xy   x  y  x  y   x  y  x  y2 II, QUY TẮC: + Các bước quy đồng mẫu thức phân thức: B1: Phân tích mẫu thức phân thức thành nhân tử B2: Chọn MTC: tích nhân tử chung riêng với lũy thừa cao B3: Nhẩm nhanh thừa số phụ ứng với phân thức, Nhân phân thức với thừa số phụ tương ứng 10 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Bài 19: Cho ABC vng A có AB  3cm, BC  5cm D điểm thuộc cạnh BC, I trung điểm AC, E điểm đối xứng với D qua I a, Tính diện tích ABC b, Tứ giác AECD hình gì? Vì sao? c, Điểm D vị trí BC AECD hình chữ nhật Hình 19 Hình 20 A B A E I B D C D C K H Bài 20: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) AB  CD Hai đường cao AH BK a, Tứ giác ABKH hình gì? Vì sao? b, So sánh DH CK CD  AB c, Chứng minh DH  Bài 21: Cho hình bình hành ABCD Gọi DE, BK đường phân giác ADB DBC a, Chứng minh DE // BK b, Tứ giác DEBK hình gì? Vì sao? c, Tìm điều kiện ABD để DEBK hình chữ nhật Hình 21 Hình 22 A E B A B I M E K D K C D N C Bài 22: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK  AC Gọi M, N trung điểm AK CD Kẻ CI  BM I cắt BK E a, Chứng minh ME // NC // AB b, Chứng minh E trung điểm KB MNCE hình gì? Vì sao? c, Chứng minh BM  MN d, Cho BK  4cm, AC  10cm, Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Bài 23: Cho hình chữ nhật MNPQ, Gọi A chân đường vng góc hạ từ P đến NQ, Gọi B, C, D trung điểm PA, AQ, MN a, Chứng minh BC // MN b, Chứng minh tứ giác CDNB hình bình hành c, Gọi E giao điểm NB PC Gọi F chân đường vng góc hại từ D đến NB Chứng minh tứ giác FDCE hình chữ nhật 49 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 d, Hạ CG vng góc với MN G BC cắt NP H Chứng minh DB cắt GH trung điểm đường Hình 23 Hình 24 D G M N A A B F C H B E Q N I M J P D H C P Bài 24: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2.AD Vẽ BH  AC Gọi M, N, P trung điểm AH, BH, CD a, Tứ giác MNCP hình gì? Vì sao? b, Chứng minh MP  MB c, Gọi I trung điểm BP J giao điểm MC NP Chứng minh MI  IJ  IP Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD E cắt DC F Qua C kẻ đường thẳng song song với AF, cắt AB K a, Chứng minh tứ giác AKCF hình bình hành chứng minh ADF  CBK b, Gọi M, Q trung điểm đoạn AE BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AD, Cắt DE N, Chứng minh NMB  BQN c, Chứng minh AQN  DAN  QAB Hình 25 K A B Hình 26 E M Q N D E F C A B O H D C Bài 26: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Kẻ BH  AC H Trên tia đối tia BH lấy BE  AC a, BDE tam giác gì? Vì sao? b, Chứng minh HBO  2.BDE c, Chứng minh HOB  2.ODC d, Tính EDC  ADE 50 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hồi Phương – 0385 282 321 BÀI 5: HÌNH THOI VÀ HÌNH VNG I, ĐỊNH NGHĨA: - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi (H1) - Tứ giác có bốn cạnh bốn góc vng hình vng.(H2) B A A B D C C H1 D H2 II, TÍNH CHẤT: - Hình thoi có tất tính chất hình bình hành - Hình thoi có hai đường chéo vng góc với - Hình thoi có hai đường chéo đường phân giác góc - Hình vng có tất tính chất hình thoi hình chữ nhật III, DẤU HIỆU NHẬN BIẾT: - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi - Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng - Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng - Hình thoi có hai đường chéo hình vng IV, BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho xOy  900 tia phân giác Ot Lấy điểm A Ot Kẻ AB  Ox, AC  Oy Chứng minh OBAC hình vng Hình Hình B y t H C A G E O B x A F C Bài 2: Cho ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm H G cho BH  HC  GC Qua H G kẻ đường thẳng vng góc với BC chúng cắt AB AC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: a, BEH CFG tam giác vuông cân b, EH  HG  GF 51 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Bài 3: Cho hình thoi ABCD Kẻ hai đường cao AH AK Chứng minh AH  AK Hình Hình A A B K I D C H B K C M Bài 4: Cho ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng với M qua I a, Chứng minh tứ giác AMCK hình thoi b, Chứng minh tứ giác AKMB hình bình hành c, Tìm điều kiện ABC để tứ giác AMCK hình vng Bài 5: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho BM  CN Chứng minh rằng: a, AM  BN b, AM  BN Hình Hình M B C C B N E A D A D F Bài 6: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD lấy điểm F, Trên cạnh DC lấy điểm E cho AF  DE Chứng minh: a, ABF  ADE b, FAE  AFB  900 c, AE  BF Bài 7: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm M, N, P, Q cho AM  BN  CP  DQ a, Chứng minh MB  NC  PD  QA b, Chứng minh QAM  MBN  NCP  PDQ c, Chứng minh MNPQ hình vng Hình B N Hình C B F C M P E M A Q D A N K D 52 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Bài 8: Cho hình vng ABCD Gọi E, F, K trung điểm AB, BC, CD a, Chứng minh: AECK hình bình hành b, Chứng minh DF  CE M c, AK cắt DF N Chứng minh N trung điểm DM d, Chứng minh AM  AB Bài 9: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, Qua A kẻ AN  AM ( điểm N thuộc tia đối tia DC) Gọi I trung điểm MN Chứng minh rằng: a, AM  AN b, Ba điểm B, I, D thẳng hàng Hình Hình 10 M B C A E B I D K C D A N Bài 10: Cho hình bình hành ABCD Gọi DE, BK đường phân giác ADB, DBC a, Chứng minh DE // BK b, Cho DE  AB Chứng minh DA  DB c, Trong trường hợp DE  AB Tìm số đo ADB để tứ giác DEBK hình vng Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có AD  AC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, CD a, Chứng minh MN  AC b, Tứ giác AMCN hình gì? Vì sao? Hình 11 Hình 12 M A B B A M D N C D C E Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có AB  AC M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy ME  MA Chứng minh: a, Tứ giác ABEC hình thoi b, D, E, C thẳng hàng c, C trung điểm DE 53 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hồi Phương – 0385 282 321 Bài 13: Cho hình bình hành ABCD có DAC  900 Gọi M, N trung điểm AB CD a, Chứng minh AM  CN b, Chứng minh AN  CM c, Chứng minh tứ giác AMCN hình thoi Hình 13 Hình 14 M A B B A F H D E C N C D Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD Tia phân giác góc C cắt tia phân giác góc D F Tia phân giác góc A cắt tia phân giác góc B E a, Tính góc DFC b, Chứng minh AEB  CFD c, BE cắt CF H Chứng minh CBH  BCH Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2.BC Gọi I trung điểm AB K trung điểm DC Chứng minh: a, AIKD BIKC hình vng DC DIC  900 b, IK  Hình 15 Hình 16 A I B I A R S D K C D B K C Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2.BC Gọi I trung điểm AB K trung điểm DC a, Chứng minh tứ giác AIKD BIKC hình vng b, Chứng minh DIC vng cân c, Gọi S R tâm hình vng AIKD BIKC Chứng minh ISKR hình vng Bài 17: Cho hình bình hành ABCD có AB  2.AD Gọi P Q trung điểm AB CD a, Chứng minh tứ giác APCQ hình bình hành b, Chứng minh tứ giác APQD hình thoi c, Gọi E giao điểm AQ DP, Gọi F giao điểm BQ CP Chứng minh tứ giác PEQF hình chữ nhật d, Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện để PEQF hình vng 54 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Hình 17 Hình 18 A P E E F D D C Q M A B B F C N Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có AB  2.AD Gọi M N trung điểm AB CD a, Tứ giác AMND hình gì? b, Chứng minh AN // MC c, E giao điểm AN DM F giao điểm MC với BN Chứng minh EF // DC d, Tứ giác MENF hình gì? e, Tìm điều kiện hình bình hành ABCD để tứ giác MENF hình vng Bài 19: Cho hình bình hành ABCD có AD  2.AB Gọi E chân đường vng góc kẻ từ C đến đường thẳng AB, M trung điểm AD, F chân đường vuông góc kẻ từ M đến CE MF cắt BC N a, Tứ giác MNCD hình gì? Vì sao? b, EMC tam giác gì? Vì sao? c, Chứng minh rằng: BAD  2.AEM Hình 19 Hình 20 B C E F N B C A D H A M D E Bài 20: Cho hình thoi ABCD có A  600 Kẻ BH  AD , kéo dài đoạn HE  BH Nối E với A, E với D Chứng minh: a, H trung điểm AD b, Tứ giác ABDE hình thoi c, D trung điểm CE d, AC  BE Bài 21: Cho ABC , đường trung tuyến BD CE cắt G Gọi M trung điểm GB, N trung điểm GC a, Tứ giác DEMN hình gì? Vì sao? b, Để tứ giác DEMN hình chữ nhật ABC phải có thêm điều kiện gì? c, ABC cần thêm điều kiện để DEMN hình vng? Bài 22: Cho ABC đường trung tuyến BD CE cắt G Gọi H trung điểm GB, K trung điểm GC 55 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 a, Chứng minh tứ giác DEHK hình bình hành b, Nếu ABC cân A Chứng minh: BD  CE DEHK hình chữ nhật c, Nếu đường trung tuyến BD  CE Khi tứ giác DEHK hình gì? Vì sao? Hình 21 Hình 22 A A D E E D G G M N H B C K C B Bài 23: Cho ABC vuông cân B a, Gọi D điểm đối xứng với C qua B Chứng minh ADB vuông cân b, Gọi BE BF đường phân giác ADB ABC Chứng minh BA phân giác EBF c, Chứng minh AEBF hình vng d, So sánh ACE với ADF Hình 23 Hình 24 A E D A H F B C B K I M C Bài 24: Cho ABC vuông A Từ điểm M cạnh BC Kẻ MH  AB H Kẻ MK  AC K a, Chứng minh: Tứ giác AHMK hình chữ nhật b, Tìm vị trí M cạnh BC để AHMK hình vng c, Kẻ AI  BC I So sánh AM với AI tìm vị trí M để AM  HK nhỏ Bài 25: Cho DEF vng D có DE  DF , DM đường trung tuyến Gọi MN đường vng góc kẻ từ M đến DE, MK đường vng góc kẻ từ M đến DF Gọi H điểm đối xứng với M qua N a, Tứ giác DKMN hình gì? Vì sao? b, Gọi O trung điểm DM Chứng minh điểm H, O, F thẳng hàng c, DEF cần thêm điều kiện để tứ giác DKMN hình vng Bài 26: Cho hình thoi ABCD có AB  BD Gọi M, N AB, BC cho AM  BN a, Chứng minh ADM  BDN b, Chứng minh MDN tam giác 56 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Hình 25 Hình 26 H D K C N O F N B M E M A D Bài 27: Cho hình thoi ABCD Lấy E F BC CD cho BE  DF Gọi G H giao điểm AE, AF với BD Chứng minh tứ giác AGCH hình thoi Hình 27 Hình 28 B A E G D A I E C N M H F B D C K Bài 28: Cho ABC Lấy điểm D E AB AC cho BD  CE Gọi M, N, I, K trung điểm BE, CD, DE BC Chứng minh: CE a, MK  IN  b, IK  MN Bài 29: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi Hình 29 Hình 30 A M A B D D P B M N Q N P Q C C Bài 30: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AD, AB, BC, CD a, Chứng minh MNPQ hình bình hành b, Hình bình hành MNPQ hình hai đường chéo AC  BD AC  BD Bài 31: Cho hình thoi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA a, Chứng minh MN  MQ b, Tứ giác MNPQ hình chữ nhật 57 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hồi Phương – 0385 282 321 Hình 31 Hình 32 M A F B B C E Q N O G D C P A D H Bài 32: Cho hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F, G, H chân đường vng góc tự O xuống AB, BC, CD, DA a, Chứng minh E, O, G thẳng hàng H, O, F thẳng hàng b, Chứng minh OE  OF  OH  OG c, Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? Bài 33: Cho hình thoi ABCD ( góc B tù) Từ B hạ BM  AD, BN  CD Từ D hạ DP  AB, DQ  BC Gọi H giao điểm MB PD, K giao điểm BN DQ O giao điểm AC BD Chứng minh: a, H trực tâm ABD b, A, H, K, C thẳng hàng c, PDQ  MBN d, PHM  QKN e, Tứ giác BHDK hình thoi Hình 33 Hình 34 Q B C A M B K O P N Q N O H A M D D P C Bài 34: Cho hình bình hành ABCD Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng m qua O cắt AB CD M P đường thẳng n qua O cắt cạnh BC DA N Q Biết m  n a, Chứng minh MNPQ hình bình hành b, Chứng minh MNPQ hình thoi Bài 35: Cho hình vng ABCE Hai đường thẳng m n vng góc với tâm O hình vng Đường thẳng m cắt AB, CD P Q đường thẳng n cắt BC AD R S a, Chứng minh AOP  BOR b, Chứng minh OP  OR  OS  OQ c, Tứ giác PRQS hình vng Bài 36: Cho hình vng ABCD Trên cạnh DC lấy điểm E Từ A dựng đường thẳng vuông góc với AE A, đường thẳng cắt đường thẳng BC F 58 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 a, Chứng minh AF  AE b, Từ E dựng đường thẳng song song với AF từ F dựng đường thẳng song son với AE, hai đường thẳng cắt G Chứng minh BD, AG, EF đồng quy Hình 35 Hình 36 R B C Q P F A B O G A D S D C E Bài 37: Cho hình vng ABCD Vẽ xAy  90 Tia Ax cắt BC M, Ay cắt đường thẳng CD N a, Chứng minh MAN vuông cân b, Vẽ hình bình hành MANF có O giao điểm AF MN Chứng minh D, O, B thẳng hàng c, Chứng minh AC  CF Hình 38 Hình 37 x B M M B C A D C F O O F D A N y N Bài 38: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB lấy điểm M, Trên tia đối tia DC lấy điểm N cho BM  DN Vẽ hình bình hành MANF Gọi O trung điểm AF Chứng minh rằng: a, Tứ giác MANF hình vng b, F thuộc tia phân giác góc MCN c, AC  CF d, Tứ giác BOFC hình thang Bài 39: Cho hình vng ABCD, Kéo dài BC lấy điểm E, Kéo dài CD lấy điểm F cho BE  DF a, Chứng minh ABE  ADF 59 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 b, EAF tam giác gì? Vì sao? c, Kẻ tia Ex // AF tia Fy // AE Ex cắt Fy G Tứ giác AEGF hình gì? Vì sao? Hình 39 Hình 40 C B B' E B C' C A D G A A' D F D' Bài 40: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia AD, BA, CB, DC lấy điểm A’, B’, C’, D’ cho AA '  BB '  CC '  DD ' Chứng minh: a, AA ' B '  BB 'C '  CC ' D '  DD ' A ' b, A ' B 'C '  900 c, Tứ giác A ' B ' C ' D ' hình vng Bài 41: Cho hình vng ABCD Từ điểm M thuộc cạnh BC vẽ đường thẳng cắt CD K cho AMB  AMK Kẻ AH  MK H Chứng minh: a, ABM  AHM AH  AD b, DAK  HAK c, MAK  A  450 Hình 41 B M C Hình 42 B K C H H K M I A D A D Bài 42: Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý cạnh DC Tia phân giác DAM cắt CD I Kẻ IH  AM H tia IH cắt BC K Chứng minh: a, ADI  AHI b, ABK   c, IAK  450 Bài 43: Cho hình vng ABCD Trong hình vng vẽ CDE Bên ngồi hình vng vẽ BCF 60 Tài liệu ơn tập mơn Tốn lớp – Tập – GV Lê Thị Hồi Phương – 0385 282 321 a, Tính góc AED b, Chứng minh ECF vng cân c, Chứng minh A, E, F thẳng hàng Hình 43 Bài 44: Cho ABC vuông A, F AB  4cm, AC  8cm Gọi E trung điểm AC, M trung điểm BC a, Tính EM b, Vẽ tia Bx // AC cho Bx cắt EM D Chứng minh tứ giác ABDE hình vng c, Gọi I giao điểm BE AD Gọi K giao điểm BE với AM Chứng minh tứ giác BDCE hình C bình hành DC  6.IK B A E K I B E M C D A D Bài 45: Cho hình thang vng ABCD có AB // CD A  D  900 Có AD  CD  2.AB Gọi E điểm đối xứng A qua B a, Chứng minh AE  2.AB tứ giác AECD hình vng b, Gọi M trung điểm EC I giao điểm BC DM Chứng minh diện tích DIC diện tích tứ giác EBIM c, Biết DA CB cắt V Gọi N hình chiếu I AD Chứng minh NI  ND.NV Hình 46 Hình 45 B V A E B A C E M N I D C D 61 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 Bài 46: Cho ABC cân B có đường cao BE Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED  EB a, Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành b, Chứng minh tứ giác ABCD hình thoi Bài 47: Cho ABC cân A, có đường cao AH a, Tính diện tích ABC biết AH  6cm, BC  8cm b, Gọi M trung điểm AB E điểm đối xứng H qua M Chứng minh tứ giác AHBE hình chữ nhật c, Gọi F điểm đối xứng A qua H Chứng minh tứ giác ABFC hình thoi d, Kẻ HK  FC,  K  FC  , Gọi I, Q trung điểm HK, KC Chứng minh BK  IF Hình 47 Bài 48: Cho hình vng ABCD có O giao hai đường chéo Lấy Q điểm đường chéo BD ( Q khác B D) Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu vng góc Q AB, AD a, Chứng minh tứ giác AEQF hình chữ nhật b, Chứng minh EF  QC tính QE  QF  AB c, Gọi M, K trung điểm AB, OD Tính MKC A E M M A B H I E B C Q K F Q O K D C F Bài 49: Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R Cắt CD Q S a, Chứng minh AQR APS tam giác cân b, QR cắt PS H Hai điểm M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c, Chứng minh P trực tâm SQR d, Chứng minh MN đường trung trực AC e Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài 50: Cho đoạn thẳng AB điểm M thay đổi đoạn AB ( M không trùng với A B) Vẽ hình vng AMCD BMEF thuộc nửa mặt phẳng với bờ AB a, Chứng minh AE  BC AE  BC b, Gọi G, I, N, K trung điểm AB, AC, CE, EB Tứ giác GINK hình gì? Vì sao? c, Chứng minh DF qua điểm cố định M di chuyển AB 62 Tài liệu ôn tập môn Toán lớp – Tập – GV Lê Thị Hoài Phương – 0385 282 321 d, Chứng minh trung điểm Q IK nằm đường cố định M di chuyển AB Hình 49 Hình 50 P E F N D K C N A R Q I B H A M G B M Q D C S 63