Thông tin tài liệu
1 thuvientailieuhay.com ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ LỚP LÊN LỚP ƠN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I II PHẦN ĐẠI SỐ Câu Thực phép tính: 2 5 a) − + : + − + : 7 7 14 b) − − : + ( −1,21) 15 −1 1 : 0, ( ) d) 6 − + 4 c) −1 : 25 + −1 + 1 e) − 2 2 2 16 + 81 − − 25 3 2 5 h) 0,36 − + : − −1 5 81 2 1 1 g) + − − 22.4 + ( −2 ) : 2 2 i) : ( 3,72 − 0,02 ) Câu 10 : + 2,8 − 37 15 Tìm x, biết 15 x − : − 0,5 = 8 4 x − − x − − − 2x = = : : ( 3x − ) 12 21 x −1 = với ( x ≠ −2 ) x+2 x 23 1 −2x − − x = − 34 2 1 + : x = 4 ( 3x + ) ( − x ) = 10) −8 64 25 + : + 16 15 25 25 144 f) − 3 − = x − (với x ≠ 5; −1 ) = x − x +1 11) x − = 27 2 − = 28 13) = 4 14) ( x + 1) = 16) 2020( x − 2)( x +3) = 17) ( x + 1) x +10 12) 2.3x − 405 = 3x−1 36 49 15) ( −0,5 ) = x 64 = ( x + 1) x+4 với x ∈ Câu Tìm x, y, z biết x := y : z : : ( −2 ) x − y + 3z =−16 x y z y ; = x + y + z = = 5, −3 2x = 3y ; 7z = y 3x − y + 5z = 30 3x = y = 5z x − ( y + z ) = −21 thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18) 1 x− = 3 thuvientailieuhay.com x −1 2 = = x y = y −2 z −3 x + y − z = = 50 4 x − y − 2z =−18 z x : y : z = : : x + y − 3z = −20 = y z x − y − z =−45 x y z = = x − y + 2z = 108 = x x3 10 = Câu So sánh lũy thừa sau : (−2) Câu y3 z3 = x + y + z = 14 64 216 240 (−84) 160 11 va` (-3) −6 n +1 3n + 4n − 5 n−2 6n − 4 2n + −1 va` 16 −3 n−4 4n − − 2n Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( x − 3) + 15 ( x + ) − 2020 2016 + − 2019x −9 + x + x −1 + x − 2021 − Câu −1 Tìm n ∈ Z để số hữu tỉ sau số nguyên : Câu va` ( − 9) 21 15 + x − 2021 Tìm giá trị lớn biểu thức: − ( 4x − 7) − 6x −1 − x2 + 14 + −6 + 4x2 + x2 + + (5x − 6) 15 + 7x + Câu thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com a) Cho tỉ lệ thức a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: b d ab a − b 2a + 3b 2c + 3d a − 4b 7c − 4d = 2 = = cd c − d 2a − 3b 2c − 3d 3a + 5b 3c + 5d ac a + c ( c − a ) a + b3 ( a + b ) a c với = = = = ≠ 1 2 3 bd b + d ( d − b) c +d b d (c + d ) b) Cho 2a + 13b 2c + 13d a c Chứng minh: = = 3a − 7b 3c − d b d a + b − c a − b + c −a + b + c c) Cho a, b, c ba số hữu tỉ khác cho = = c b a Tính giá trị số biểu thức M = ( a + b ) (b + c)(c + a) abc Câu Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x x = y = a) Hãy biểu diễn y theo x b) Tìm y x = 15 Tìm x y = −6 ? y z hai đại lượng tỉ lệ với hệ số tỉ lệ bao nhiêu? Tính z y = c) Nếu đại lượng z tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ Câu 10 Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 120 Tính số trồng lớp, biết số trồng lớp tỉ lệ với : : Câu 11 Số học sinh ba khối 6, 7, tỉ lệ với 10, 9, Tính số học sinh khối biết số học sinh khối số học sinh khối 20 em Câu 12 Một cửa hàng có ba vải, sau bán thứ nhất, thứ hai thứ ba số vải cịn lại ba Tính chiều dài vải lúc ban đầu Biết chiều dài tổng cộng ba vải 126 m Câu 13 Tìm ba số có tổng 150 biết số thứ số thứ tỉ lệ với 3; , số thứ số thứ tỉ lệ với 3;5 Câu 14 Ba đơn vị kinh doanh A, B , C góp vốn theo tỉ lệ 2; 4; sau năm thu tổng tỉ 800 triệu đồng tiền lãi Hỏi đơn vị chia tiền lãi, biết tiền lãi chia tỉ lệ thuận với số vốn góp Câu 15 Một ô tô từ A đến B với vận tốc 65 km / h , lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km / h Biết quãng đường AB dài 540km C điểm AB Hỏi sau khởi hành tô cách C khoảng nửa khoảng cách từ xe máy đến C khoảng cách hai xe ? thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com ( 2m − 1) x a) Tìm m biết điểm A ( 2; ) thuộc đồ thị hàm số Viết công thức xác định hàm y Bài 16 Cho hàm số= số b) Hãy vẽ đồ thị hàm số vừa xác định c) Đánh dấu điểm B ( −2; − ) , C ( −3;0 ) , D ( 0; ) , E − ; − 1 mặt phẳng tọa độ Oxy d) Hãy điểm thuộc đường thẳng OA ?Vì ? PHẦN II : HÌNH HỌC = 60° , C = 30° Tia phân giác góc A cắt BC D Kẻ Bài 1: Cho ∆ABC có B AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) , a) Tính số đo góc BAC ADH , HAD b) Kẻ DE //AB( E ∈ AC ), EK phân giác góc AED Chứng minh EK ⊥ AD Bài 2: Cho ∆ABC có AB = AC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD ∆DCM a) Chứng minh : ∆ABM = b) AB //DC c) AM ⊥ MC d) Tìm điều kiện ∆ABC để ADC= 30° Bài 5: Bài 6: Cho ABC , M trung điểm BC Trên tia đối MA lấy điểm E cho MA = ME a) Chứng minh: AC // BE b) Trên AC lấy điểm I , BE lấy điểm K cho AI = EK Chứng minh: I , M , K thẳng hàng Cho ABC có AB < AC Trên tia đối tia CB lấy điẻm D cho CD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A kẻ Dx AB lấy điểm E thuộc tia Dx cho DE = BC Chứng minh: AC = CE Lấy P ∈ DE cho PD = AB Chứng minh : AD BP Tìm điều kiện ABC để EP ⊥ BD Gọi O trung điểm BD Chứng minh O trung điểm AP Cho ∆ABC có AB < AC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho BD = BC Tia phân giác góc ABC cắt AC , DC E F Chứng minh: a) b) c) d) Bài 7: a Chứng minh: ∆DBE = ∆CBE b Chứng minh: DF = CF thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com c Từ A kẻ AH ⊥ CD ( H ∈ CD ) Chứng minh: AH // BF Bài Cho ∆ABC ( AB = AC ), phân giác góc BAC cắt BC M a) Chứng minh: M trung điểm BC b) Trên tia đối tia AB, AC lấy điểm E , F cho AE = AF Chứng minh: ∆BCE = ∆CBF c) Chứng minh: ME = MF d) Gọi N trùn điểm EF Chứng minh: A, M , N thẳng hàng ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ II I PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Câu Nhóm gồm đơn thức đồng dạng với A –3,5 x y ; x y ; 2 − x3 y B – x y; x y ; x y C –5 x y ; x y ; 2 − x2 y3 D –3 x y ; 4 y z3 ; − x z Tổng đơn thức 3x y ; − x y ; x y là A −2x y Câu Câu Câu Câu Câu Câu C x y D 9x y Đa thức 3x + x3 + x5 – 3x + xếp theo lũy thừa giảm dần biến A x + x + x – x + B x5 + x + x – x + C x5 – x + x3 + x + D x5 + x3 + x – x + Đa thức x + x3 + x5 – 3x – 10 xếp theo lũy thừa tăng dần biến A x + x5 – x – 10 + x B x + x – x – 10 + x3 C x + x3 + x5 – x – 10 D –10 – x + x + x + x5 Hệ số cao đa thức M = 3x3 − x5 + x + 10 A 10 B −1 C D Hệ số tự đa thức A( x) =−7 x + − x3 + 3x + A Câu B − x y B C 10 D −7 Thu gọn đa thức P = − x y − xy + x y + xy 2 kết A P = x y B P = − x y C.= P x y + 14 xy D P = − x y − 14 xy Bậc đa thức Q = x3 − x y + xy + x y − 11 A B C Giá trị x = nghiệm đa thức A f ( x ) = + x B f ( x ) = x − C f ( x ) = x − f ( x ) = x ( x + 2) thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC D D thuvientailieuhay.com Câu 10 Đa thức P ( x ) = x3 – x có nghiệm A x = B.= x = x 0; C x = 0; x = −2 D x = ; x = ±2 Câu 11 Cho tam giác ABC cân A , kẻ AH vng góc với BC H , ( H ∈ BC ) Khẳng định sau sai? A H trung điểm cạnh BC B AH tia phân giác BAC C ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – góc vng) D AB = AH + HC2 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông B , biết A 7cm B 100cm AB = ; BC − AB = 2cm Độ dài cạnh AC BC C 14cm D 10cm −N = 20° Số đo góc N Câu 13 Cho tam giác MNP cân N , biết 2M A 68° B 40° C 100° D 80° = 40° , tia phân giác ACB cắt cạnh AB Câu 14 Cho tam giác ABC cân A có BAC D Số đo ADC A 40° B 70° C 105° D 75° = 60°, YZ = 4cm , YH ⊥ ZX ( H ∈ ZX ) Khẳng Câu 15 Cho tam giác XYZ vng Y có X định sau sai ? A Z = 30° B XZ = 8cm C ZH = 6cm D YH = 2cm Câu 16 Trong tam giác, điểm cách ba cạnh tam giác A giao điểm ba đường trung tuyến B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao Câu 17 Trong tam giác, tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác A giao điểm ba đường trung tuyến B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao Câu 18 Nếu AM đường trung tuyến G trọng tâm tam giác ABC A AM = AB B AG = AM C AG = AB D AM = AG Câu 19 Cho góc vng xOy A, B hai điểm thuộc hai tia Ox, Oy Đường trung trực OA đường trung trực OB cắt I Gọi H , K trung điểm OA, OB Khẳng định sau sai ? thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com B AIB = 180° A IH = IK C OI = AB D IA = IB = 50° Phát biểu Câu 20 Cho ∆ABC có H giao điểm hai đường cao BB' CC' ; A sau sai ? A AH ⊥ BC B Điểm A trực tâm ∆HBC = ACH = 40° C ABH + HCB = D HBC 130° II PHẦN TỰ LUẬN Câu Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa tăng biến, Tìm hệ số cao hệ số tự đa thức: Câu A= (x B= x + x3 − x − x − x3 − + x 2 ) ( ) + x + −5 x5 + x5 + x3 − x − Cho P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + + x199 + x 201 Tính giá trị đa thức x = ; x = −1 Câu 10 Cho f ( x ) = x5 − x + x − g ( x ) = − x5 + x − x3 + = − x − x + x + Tìm đa thức h ( x ) cho: a) f ( x ) + h ( x ) = g ( x) b) g ( x ) + h ( x ) = f ( x) Bài Cho f ( x ) = 3x + x − Chứng minh x = −1 x = hai nghiệm đa thức f ( x ) Bài Tìm nghiệm đa thức f(x) biết a) f ( x) = −3 x + c) f ( x) = −1 x + x +1; e) f (= x) x + b) f ( x= ) x2 + 5x d) f ( x= ) x2 − f) f ( x) = x + 3x + Bài Chứng minh f ( x) = x + x + vô nghiệm Bài Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c chứng minh f (0); f (1); f (−1); f ( ) số nguyên a; b; c số nguyên Bài Cho đa thức f ( x) = x3 + ax + bx + c với a; b; c số nguyên.Chứng minh Nếu thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com nghiệm nguyên f(x) c x0 Bài Cho tam giác ABC đều, AB = 4cm Trên cạnh AC cạnh BC lấy điểm M , N ( M N không trùng với đỉnh ∆ABC ) cho CM = BN Gọi G giao điểm AN BM a) Kẻ CH vuông góc với AB H Tính CH ; b) Chứng minh AN = BM Tính góc AGM Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm BC a) Chứng minh rằng: AM = BC ; = 30° AB = BC b) Chứng minh rằng: Nếu C Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC lấy điểm cho CM = CA , cạnh AB lấy điểm N cho AN= AH Biết AB = 3cm , BC = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC ; b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D cho AD = AB Chứng minh tam giác BCD đều; = MAN MN ⊥ AB c) Chứng minh MAH Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt H , AH cắt BC M , Chứng minh rằng: = ECB a) AM vng góc với BC ; BAM = KCB b) Lấy điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB Bài 13 Cho tam giác ABC có AB < AC Hai đường cao AD BE cắt H AD = BE (D ∈ BC; E ∈ AC) Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC cân C ; b) Đường thẳng CH đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) DE song song với AB Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A , ABC > ACB, trung tuyến AM Trên tia đối tia CB lấy Bài 15 điểm D cho C trung điểm MD Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BA Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA a) Chứng minh tam giác AMB tam giác NMC NC vng góc với AC ; thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com b) Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm A, M , I thẳng hàng; c*) So sánh AD BC Bài 16 Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF cắt G Chứng minh rằng: a ) AD < AB + AC b) BE + CF > c) BC ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC ĐÁP ÁN BÀI TẬP ƠN TẬP HỌC KÌ I Thực phép tính: Câu 2 5 a) − + : + − + : 7 7 14 b) − − : + ( −1,21) 15 −1 1 : 0, ( ) d) 6 − + 4 −1 c) + −1 + : 25 1 e) − 2 2 2 16 + 81 − − 25 3 10 −8 64 25 + : + 16 15 25 25 144 2 5 1 5 2 : − −1 h) 0,36 − + 5 81 2 1 1 g) + − − 22.4 + ( −2 ) : 2 2 f) − 3 i) : ( 3,72 − 0,02 ) : + 2,8 − 37 15 Lời giải 2 5 −1 a) − + : + − + : = − + + + : 7 7 7 = ( −1 + 1) : =0 14 1 20 14 46 b) − : + ( −1,21) = − : + = − + = 15 35 15 −1 3 c) + −1 + : 25 = + − + := 2 −1 1 1 37 37 : 0, ( ) = − + : 0, ( ) = :1 = d) 6 − + 4 2 6 thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 thuvientailieuhay.com 2 16 2 e) − + 81 − − 25 3 = 4 16 + − = + − = 5 f) − 3 −8 64 25 + : + 16 15 25 25 144 2 3 5 1 5 = − : − + = − − + = − : + − + = 12 12 3 3 4 6 2 1 1 g) + − − 22.4 + ( −2 ) : 2 2 =8 + 1 35 227 − 4.4 + : = − 16 + 64 = 4 2 2 5 1 5 2 h) 0,36 − + : − −1 5 81 3 1 2 7 3 1 2 7 ( 1) = = −1 + : − = + − =− 5 4 9 5 4 4 5 5 i) : ( 3,72 − 0,02 ) = = Câu 10 : + 2,8 − 37 15 10 : 3,7 : + 2,8 − 37 15 8 : 1: + 2,8 − = :4− = 15 15 Tìm x, biết 15 x − : − 0,5 = 8 4 4 ( 3x + ) ( − x ) = x − − x − − − 2x = = : : ( 3x − ) 12 21 10) x −1 = với ( x ≠ −2 ) x+2 x 28 13) = 4 thuvientailieuhay.com 23 1 −2x − − x = − 34 2 1 + :x = − = x − 2 − = (với x ≠ 5; −1 ) = x − x +1 11) x − = 9 27 36 49 14) ( x + 1) = 12) 2.3x − 405 = 3x−1 15) ( −0,5 ) = x 64 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 thuvientailieuhay.com P ( x) x=0 x=0 = x – x =0 ⇔ x x − =0 ⇔ ⇔ x =2 x −4= x = −2 ( ) Câu 11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ AH vuông góc với BC H, ( H ∈ BC ) Khẳng định sau sai? A H trung điểm cạnh BC B AH tia phân giác BAC C ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – góc vng) D AB2 = AH + HC2 Lời giải Chọn C ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng) Câu 12 Cho tam giác ABC vuông B, biết A 7cm B 100cm AB = ; BC − AB = 2cm Độ dài cạnh AC BC C 14cm D 10cm Lời giải Chọn D AB = 6cm ; BC = 8cm Áp dụng định lý Pitago tam giác vng ABC ta có AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100 ⇒ AC = 10cm −N = 20° Số đo góc N Câu 13 Cho tam giác MNP cân N, biết 2M A 68° B 40° C 100° D 80° Lời giải Chọn D Vì ∆MNP cân N nên M = P = M −N = 20° (gt) Suy N + M = 180° (định lý tổng ba góc tam giác) mà 2M ⇒ N = (180° − 20° ) : = 80° = 40° , tia phân giác ACB cắt cạnh AB Câu 14 Cho tam giác ABC cân A có BAC D Số đo ADC A 40° thuvientailieuhay.com B 70° C 105° TÀI LIỆU TOÁN HỌC D 75° 41 thuvientailieuhay.com Lời giải Chọn C A 40° ? D C B Vì ∆ABC cân A (gt) ⇒ ABC= ACB= (180° − 40° ) : 2= 70° (tính chất tam giác cân) Vì CD phân giác ACB nên ACD = 70° : = 35° Áp dụng định lý tổng ba góc tam giác ACD ta có ADC= 180° − 35° − 40= ° 105° = Câu 15 Cho tam giác XYZ vng Y có X 60°, YZ = 4cm , YH ⊥ ZX ( H ∈ ZX ) Khẳng định sau sai ? A Z= 30° B XZ = 8cm C ZH = 6cm D YH = 2cm Lời giải Chọn C X 60° Y H 4cm Z Tam giác XYZ vng Y có X + Z= 90° ⇒ Z= 90° − 60°= 30° Trong ∆YHZ vuông H có Z= 30° nên cạnh YH đối diện với Z= 30° nửa cạnh huyền YZ, hay YH = 2cm Áp dụng định lý Pytago ∆YHZ vng H có YZ2 = YH + HZ2 ⇒ HZ2 = 42 − 22 = 16 − = 12 ⇒ HZ = thuvientailieuhay.com 12 ( cm ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 thuvientailieuhay.com Vậy chọn đáp án C Câu 16 Trong tam giác, điểm cách ba cạnh tam giác A giao điểm ba đường trung tuyến B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao Lời giải Chọn C Câu 17 Trong tam giác, tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác A giao điểm ba đường trung tuyến B giao điểm ba đường trung trực C giao điểm ba đường phân giác D giao điểm ba đường cao Lời giải Chọn B Câu 18 Nếu AM đường trung tuyến G trọng tâm tam giác ABC A AM = AB B AG = AM C AG = AB D AM = AG Lời giải Chọn B Câu 19 Cho góc vng xOy A, B hai điểm thuộc hai tia Ox, Oy Đường trung trực OA đường trung trực OB cắt I Gọi H, K trung điểm OA, OB Khẳng định sau sai ? A IH = IK B AIB = 180° C OI = AB D IA = IB Lời giải Chọn A x A thuvientailieuhay.com H I O K B y TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 thuvientailieuhay.com = 50° Phát biểu Câu 20 Cho ∆ABC có H giao điểm hai đường cao BB' CC' ; A sau sai ? A AH ⊥ BC B Điểm A trực tâm ∆HBC = ACH = 40° C ABH + HCB = D HBC 130° Lời giải Chọn D A 50° B' C' H B C = 50° nên ABC + ACB Trong ∆ABC có A = 180° − 50= ° 130° (định lý tổng ba góc) + HCB < 130° Suy HBC Vậy chọn đáp án D II PHẦN TỰ LUẬN Bài Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa tăng biến, Tìm hệ số cao hệ số tự đa thức: A= (x B= x + x3 − x − x − x3 − + x 2 ) ( ) + x + −5 x5 + x5 + x3 − x − Lời giải A= (x ) ( ) + x + −5 x5 + x5 + x3 − x − A = 3x7 − 3x5 + x3 − 3x − B= x + x3 − x − x − x3 − + x 2 B= (x thuvientailieuhay.com 1 − x + −4 x + x + x − x − 2 ) ( ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 thuvientailieuhay.com B =− x − x − x − Hệ số cao A 3, hệ số tự -7 Hệ số cao B -1, hệ số tự -5 Bài Cho P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + + x199 + x 201 Tính giá trị đa thức x = ; x = −1 Lời giải P ( x ) =1 + x + x3 + x5 + + x199 + x 201 P (1) = 1 + 1 + + + 1 = 101 101 soá P ( −1) =1 − 1 − − − =−100 101 soá Bài Cho f ( x ) = x5 − 3x + x − g ( x ) = − x5 + x − x3 + = − x − x + x + Tìm đa thức h ( x ) cho: a) f ( x ) + h ( x ) = g ( x) b) g ( x ) − h ( x ) = f ( x) Lời giải a) Cho f ( x ) = x5 − 3x + x − g ( x) = − x5 + x − x3 + = − x5 − x3 + x + f ( x) + h ( x) = g ( x) ⇒ h ( x) = g ( x) − f ( x) − g ( x) = − x5 − x + x + f ( x ) = x5 − 3x + x − h ( x) = g ( x) − f ( x) = −2 x5 − x3 + x + f ( x) b) g ( x ) + h ( x ) = ⇒ h ( x) = f ( x) − g ( x) h ( x ) = x5 + x3 − x − Bài Cho f ( x ) = 3x + x − Chứng minh x = −1 x = hai nghiệm đa thức f ( x ) Lời giải Cho f ( x ) = 3x + 2x −1 Ta có: f ( −1) = ( −1) + ( −1) −1 = − −1 = thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 thuvientailieuhay.com 1 1 1 f = 3 + −1 3 3 3 = + −1 = 3 Nên x = −1 x = hai nghiệm đa thức f ( x ) Bài Tìm nghiệm đa thức f(x) biết a) f ( x) = −3 x + c) f ( x) = −1 x + x +1; b) f ( x= ) x2 + 5x d) f ( x= ) x2 − e) f (= x) x + f) f ( x) = x + 3x + Lời giải a) Cho −3x + = ⇒ x = 1 Vậy x = nghiệm f(x) 6 b) Cho x + x =0 ⇒ x( x + 5) =0 Bài x = x = −5 Vậy x ∈ {0;5} nghiệm f(x) −1 −1 x + x + =0 ⇒ + ) x =−1 ⇒ x =−1 ⇒ x =−4 4 Vậy x = −4 nghiệm f(x) 1 d) Cho x − =0 ⇒ x = ⇒ x =± 4 −1 Vậy x ∈ ; nghiệm f(x) 2 c) Cho e) Ta có x ≥ ⇒ x + ≥ > với ∀x ∈ R Vậy f(x) vơ nghiệm f) Ta có x + x + =0 ⇒ x + x + x + =0 ⇒ x( x + 2) + ( x + 2) =0 ⇒ ( x + 1).( x + 2) =0 x+2= x + =0 x = −2 x = −1 Vậy x ∈ {−2; −1} nghiệm f(x) Bài Chứng minh f ( x) = x + x + vô nghiệm Lời giải Ta có x + x + = x + x + x + + = x( x + 2) + 2( x + 2) + = ( x + 2).( x + 2) + Bài = ( x + 2) + ≥ > Với ∀x ∈ R Vậy f(x) vô nghiệm Bài Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c chứng minh f (0); f (1); f (−1); f ( ) số nguyên a; b; c số nguyên thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 46 thuvientailieuhay.com Lời giải Ta có f (0)= a.02 + b.0 + c= c f (0) nguyên nên c nguyên f (1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c ; f (−1) = a.(−1) + b.(−1) + c = a − b + c Bài Vì f (1); f (−1) nguyên ⇒ f (1) −= f (−1) 2b nguyên ⇒ b nguyên Bài Vì f (1); f (−1) nguyên ⇒ f (1) + f (−1) = 2a + 2c nguyên ⇒ a nguyên Vì c nguyên Bài 10 Vậy a; b; c số nguyên Bài Cho đa thức f ( x) = x3 + ax + bx + c với a; b; c số nguyên.Chứng minh Nếu x0 ≠ nghiệm nguyên f(x) c x0 Lời giải Ta có x0 ≠ nghiệm nguyên f(x) ⇒ f ( x0 ) = ⇒ x03 + ax0 + bx0 + c = ⇒ c = − x03 − ax0 − bx0 = x0 (− x0 − ax0 − b) x0 Vậy x0 ≠ nghiệm nguyên f(x) c x0 Bài Cho tam giác ABC đều, AB = 4cm Trên cạnh AC cạnh BC lấy điểm M , N (M N không trùng với đỉnh ∆ABC ) cho CM = BN Gọi G giao điểm AN BM a) Kẻ CH vuông góc với AB H Tính CH ; b) Chứng minh AN = BM Tính góc AGM Lời giải A H M G B N C Áp dụng định lý pytago cho tam giác vuông AHC ta có: HC = AC − AH = 42 − 22 = 12 ⇒ HC = 12 cm b) Xét ∆ABN ∆BCM có AB = BC (tam giác ABC đều) thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 thuvientailieuhay.com =C (tam giác ABC đều) B BN = CM (gt) ⇒ ∆ABN = ∆BCM ( c.g c ) ⇒ AN = BM (Hai cạnh tương ứng) = (2 góc tương ứng) Và ∆ABN = ∆BCM ⇒ BAN MBC Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: Bài 10 + BAN = GBA + MBC = AGM = GBA ABC = 60° Cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm BC a) Chứng minh rằng: AM = BC ; b) Chứng minh rằng: Nếu góc C 300 AB = BC Lời giải A C B M D Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD suy AM = AD (1) Xét ∆ABM ∆CMD có AM = MD (theo cách vẽ) (2 góc đối đỉnh) AMB = CMD BM = CM (gt) ⇒ ∆AMB = ∆DMC ( c.g c ) ⇒ AB = CD (Hai cạnh tương ứng) ⇒ + ∆AMB = ∆DMC ⇒ ABC = DCM ABC + ACB = DCM ACB ⇒ ACD = 90° Xét ∆ABC ∆DCA có AB = CD (cmt) = BAC ACD=( 90°) Cạnh AC chung ⇒ ∆ABC = ∆CDA ( c.g c ) ⇒ BC = AD ( ) (Hai cạnh tương ứng) Từ (1) (2) ta có : AM = thuvientailieuhay.com BC TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 thuvientailieuhay.com Vì AM = BC BC = ⇒ AM = BM ⇒ ∆ABM cân ; BM 2 BC = 30° ⇒ Nếu C (t/c tam giác đều) ABC= 60° ⇒ ∆ABM ⇒ AB = AM = BC Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC suy : AB = lấy điểm M cho CM = CA , cạnh AB lấy điểm N cho AN= AH Biết AB = 3cm , BC = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC ; b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D cho AD = AB Chứng minh tam giác BCD đều; = MAN MN ⊥ AB c) Chứng minh MAH Lời giải a)Tính độ dài cạnh AC Xét tam giác vng ABC theo Py-ta-go ta có AC2 = BC2 - AB2 = 62 - 32 = 27 Vậy AC = 27cm b) Trên tia đối tia AB lấy diểm D cho AB = AD Chứng minh tam giác BCD đều; Xét tam giác ∆CAB ∆CAD có CAB = CAD = 90o , AD=AB , CA cạnh chung ⇒ ∆CAB=∆CAD (c-g-c) Suy CB = CD mặt khác BD = 2AB =2.3= = CB Vậy CB = CD = BD tam giác BCD tam giác = MAN MN ⊥ AB c) Chứng minh MAH o = CMA = 180 − ACM Theo giả thiết CA = CM nên ∆CAM cân C , suy CAM = 180 − 30 =180o − AHM − AMH = 75o Xét tam giác vng AHM ta có MAH o thuvientailieuhay.com o TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 thuvientailieuhay.com = 180o − 90o − 75o = 15o MAH =180o − AHB − HBA = 180o − 90o − 60o = 30o Xét tam giác AHB ta có HAB − MAH = 30o − 15o = 15o Vậy MAH Mặt khác MAN = MAN = 15o = MAB = MAN cạnh AM chung Suy Ta có ∆MAN=∆MAH (c-g-c) AN = AH , MAH Bài 12 = AHM = 90o Vậy MN ⊥ AB ANM Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt H , AH cắt BC M , Chứng minh rằng: = ECB a) AM vng góc với BC ; BAM = KCB b) Lấy điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB Lời giải = ECB a) Chứng minh AM vng góc với BC ; BAM Theo gải thiết ta có CH ⊥ AB; BH ⊥ AC nên H trực tâm tam giác ABC Suy AH vng góc với BC hay AM ⊥ BC Xét tam giác BAM ta có = 180o − AMB − MBA 180o − 90o − MBA = 90o − MBA (1) BAM Xét tam giác BCE ta có = 180o − CEB − MBE = 180o − 90o − MBA = 90o − MBA (2) ECB = ECB Từ (1), (2) ta suy BAM = KCB b) Lấy điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh KAB Xét hai tam giác vng AKE AHE có EK=EH , AE cạnh chung Vậy = HAE mà ∆AKE=∆AHE (Hai cạnh góc vng nhau) Suy KAE = KCB theo ý a HAE = KCB Vậy KAB thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 thuvientailieuhay.com Bài 13 Cho tam giác ABC có AB < AC Hai đường cao AD BE cắt H AD = BE ( D ∈ BC ; E ∈ AC ) Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC cân C ; b) Đường thẳng CH đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) DE song song với AB Lời giải C E D H A B a) Xét ∆ADE ∆BED có AD = BE (GT ) AED = BDE = 90 AB chung ⇒ ∆ADE = ∆BED(ch − cgv) = ⇒ EAB ABD (hai góc tương ứng) ⇒Tam giác ABC cân C ; b) Tam giác ABC cân C (cma) ⇒ CA = CB ⇒ C thuộc đường trung trực AB = (hai góc tương ứng) ∆ADE = ∆BED(cma ) ⇒ EBA DAB ⇒Tam giác HAB cân H ; ⇒ HA = HB (ĐN tam giác cân) ⇒ H thuộc đường trung trực AB ⇒ Đường thẳng CH đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) Tam giác ABC cân C (cma) 180 − ACB = ⇒ CAB ∆ADE = ∆BED(cma ) ⇒ AE = BD (hai cạnh tương ứng) ⇒ CA − AE = CB − BD ⇒ CE = CD thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 51 thuvientailieuhay.com ⇒ Tam giác CED cân C 180 − ACB = ⇒ CED = ⇒ CAB CED Mà hai góc vị trí đồng vị ⇒ ED / / BA Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A , ABC > ACB, trung tuyến AM Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho C trung điểm MD Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BA Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA a) Chứng minh tam giác AMB tam giác NMC NC vng góc với AC ; b) Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm A, M , I thẳng hàng; c*) So sánh AD BC Lời giải D C N I M A B E a) Xét ∆AMB ∆NMC có MC = MB (GT ) ( hai góc đối đỉnh) AMB = NMC MA = MN (GT ) ⇒ ∆AMB = ∆NMC (c.g c) = (hai góc tương ứng) ⇒ MAB MNC Mà hai góc vị trí so le ⇒ CN / / AB BA ⊥ CA ⇒ CN ⊥ CA b) B trung điểm AE ⇒ DB đường trung tuyến ∆DAE thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 52 thuvientailieuhay.com DC =CM ; CM =MB ⇒ DM = DB ⇒ M trọng tâm ∆DAE I trung điểm DE ⇒ AI đường trung tuyến ∆DAE ⇒ M ∈ AI ⇒ ba điểm A, M , I thẳng hang ∆NMC (cmt) c) Vì ∆AMB = ⇒ AB = NC ( cạnh tương ứng ) Xét ∆ACN ∆CAB có = Cạnh CA chung ; CAB ACN = 900 , CN = AB (cmt) ⇒ ∆ACN = ∆CAB (c − g − c) ⇒ AN = BC ( cạnh tương ứng ) 1 ⇒ AN = BC 2 ⇒ AM = MC = MB ⇒ ∆AMC ∆AMB cân M Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có =2 AMB = ACB + CAM ACB =2 AMC = ABC + BAM ABC Mà ACB < ABC ⇒ AMB < AMC Mà AMC hai góc kề bù AMB ⇒ AMC góc tù Xét ∆AMB có AMD góc tù ⇒ AMD > DAM ⇒ AD > MD ( quan hệ góc cạnh đối diện) = MC = CD ⇒ MB + MC = MC + CD Lại có MB Hay BC = MD Do BC = MD (dpcm) Bài 15 Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AD, BE , CF cắt G Chứng minh rằng: AB + AC b) BE + CF > BC c) ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC Lời giải a ) AD < A TÀI LIỆU TOÁN HỌC thuvientailieuhay.com E F G 53 thuvientailieuhay.com a) Trên tia đối tia DA lấy điểm H cho DA = DH Xét ∆ADB ∆HDC có BD = CD (D trung điểm BC) (đối đỉnh) ADB = HDC AD = HD (cách dựng) ⇒ ∆ADB = ∆HCD(c.g c) ⇒ AB = HC (2 cạnh tương ứng) * Xét ∆ACH ta có AC + HC > AH (bất đẳng thức tam giác) AB + AC ⇒ AC + AB > AD hay AD < b) Ta có AD, BE , CF cắt G nên G trọng tâm ∆ABC 2 ⇒ BG = BE , CG = CF , AG = AD 3 Xét ∆BGC ta có BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác) ⇒ ( BE + CF ) > BC 3 ⇒ BE + CF > BC c) * Xét ∆AGB ta có AG + BG > AB (1) (bất đẳng thức tam giác) Xét ∆AGC ta có AG + CG > AC (2) (bất đẳng thức tam giác) Xét ∆BGC ta có BG + CG > BC (3)(bất đẳng thức tam giác) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC 2 2 2 AD + BE + AD + CF + BE + CF > AB + AC + BC 3 3 3 4 ⇒ AD + BE + CF > AB + AC + BC 3 3 ⇒ ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF AB + AC * Theo câu a) ta có AD < AB + BC BC + AC Chứng minh tương tự ta có BE < , CF < 2 AB + AC AB + BC BC + AC ⇒ AD + BE + CF > + + 2 ⇒ AD + BE + CF < AB + BC + AC ⇒ thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 thuvientailieuhay.com Vậy ( AB + BC + AC ) < AD + BE + CF < AB + BC + AC HẾT thuvientailieuhay.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Ngày đăng: 02/07/2023, 17:09
Xem thêm:
