Tai lieu on tap he mon toan lop 8 len 9 co dap an hzpw7

1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ LỚP LÊN LỚP ƠN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I PHẦN ĐẠI SỐ A/ LÝ THUYẾT: 1/Phát biểu qui tắt nhân đơn thức với đa thức; Đa thức với đa thức Áp dụng tính: a/ xy(3x2y - 3yx + y2) b/ (2x + 1)(6x3 - 7x2 - x + 2) 2/ Khi đơn thức A chia hết cho đơn thức B ? Đa thức C chia hết cho đa thức D ? Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b/(x2 - 2x + 1):(1 -x) 3/ Thế phân thức đại số? Cho ví dụ? 4/Định nghĩa hai phân thức Áp dụng: Hai phân thức sau x−3 x − 4x + có khơng? x x2 − x 5/Nêu tính chất phân thức đại số? Áp dụng: Hai phân thức sau hay sai? 6/ Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số Áp dụng : Rút gọn ( x − 8) (8 − x) = 2(8 − x) 8x − 8x − 7/ Muốn qui đồng mẫu thức phân thức đại số ta làm ? Áp dụng qui đồng : x −1 3x x + x +1 x −1 B/ BÀI TẬP: I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC : Bài 1: Thực phép tính sau: ( d) x 2 x3 – x + b) ( −2 x ) x3 – x – x +    c)  − 10 x3 + y − z   − xy     e) ( xy + y – x ) x y f) ( x y – xy + x ) (− xy )  ( a) −2 xy ( x3 y − x y + xy ) ) ) Bài 2: Thực phép tính sau: ( ) ( a) x3 + x – x + ( x – ) ( ) ( b) x – xy + y ) c) ( x – ) x – x + – x x + 11 )( x + y) d) x(1 − x)(4 − x) − ( x − 4)(3 x + 5) Bài 3: Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a) (3 x + 7)(2 x + 3) − (3 x − 5)(2 x + 11) b) (3 x − x + 1)( x + x + 3) − x( x − 1) − x ( x + 2) Bài 4: Tìm x biết a) ( x + 3)( x − ) − ( x − 1)( x − 1) = −27 b) x (12 x + ) – x ( 20 x – ) = −100 c) 0, x ( x – 0,5 ) – 0,3 x ( x + 1,3) = 0,138 d) ( x + 1)( x + )( x + ) – x ( x + ) = 27 II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x yz − x y z + xyz b) x3 + 24 x − 12 xy c) x ( m + n ) − y ( m + n ) d) x ( x − y ) + y ( y − x ) e) x ( a − b ) + ( b − a ) f) 10 x ( a − 2b ) − ( x + ) ( 2b − a ) g) 50 x ( x − y ) − y ( y − x ) ( h) 15a m+2b − 45a mb m ∈ * ) Bài a) ( x − 3) + ( x − )( x − ) − ( − x ) b) ( 2a − 3b )( 4a − b ) − ( a − b ) − ( 3b − 2a ) c) a8 − d) (x − y) + 4( x − y ) − 12 g) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 h) ( x + x + 5)( x + 10 x + 21) + 15 III/ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN Bài 1: Thực phép tính: a) (12 x3 y z ) : ( 15 xy ) b) ( −12 x15 ) : ( x10 ) c) ( 21a 4b x3 – 6a 2b3 x5 + 9a 3b x ) : ( 3a 2b x ) d) ( 81a x y – 36 x5 y – 18ax y – 18ax y ) : ( −9 x y ) Bài 2: Thực phép chia: a) ( x3 – x + x + 3) : ( x + 1) a) ( x + 12 x y + y ) : ( x + y ) b) ( x3 – x – x + 14 ) : – 7) b) ( 64a 2b – 49m n ) : ( 8ab + m n ) Bài 3: Xác định số hữu tỉ cho: a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + c) Đa thức 3x2 + ax – chia hết cho đa thức x – a Bài Chứng minh rằng: (x a a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho với a ∈ Z b a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho với a ∈ Z c x2 + 2x + > với x ∈ Z Bài 5: Tìm giá trị lớn đa thức sau: a) A = − 2x + 6x + B = 2xy − y + 16x − 5x − y −14 IV / PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH : A xác định B ≠ B Phân thức Bài : Tìm x để phân thức sau xác định : A= x+6 x−2 Bài 2: Cho phân thức E = B= x − 6x C= x − 16 3x − x 5x + 2x2 + x a/ Tìm điều kiện x để phân thức xác định b/ Tìm giá trị x để giá trị phân thức -1 V / CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC : Câu 1: Thực phép tính sau : a) xy − y xy + y + x2 y3 x2 y3 b) x+3 4+ x + x−2 2− x Câu 2: : Thức phép tính sau : 2x + x +1 a) + ; x + x + 3x x−6 − b) 2x + 2x + 6x x + x + 3x : c) 3x − x − 3x VI /CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: x2 − x − 2x − − Bài : Cho : A =+ x − x − 7x + 10 x − a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A nguyên  x2   10 − x    + + + x − Bài : Cho M =  :   x +   x − x − 3x x +   a Tìm điều kiện xác định M b Rút gọn M c Tính giá trị M x =  y y2 + y +1  − × Bài 3: Cho biểu thức N =  : y +1  y2 −1  y −1 − y a Rút gọn N b Tính giá trị N y = c Tìm giá trị y để N ln có giá trị dương Bài 4: Cho biểu thức : A = x4 + x3 + x + x − x3 + 2x − x + a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh A không âm với giá trị x PHẦN 2: HÌNH HỌC A/ LÍ THUYẾT: Định lí tổng góc tứ giác Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Định nghĩa, tính chất đường trung bình tam giác, hình thang Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng Diện tích hình chữ nhật, hình vng, tam giác B/ BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K, M trung điểm BD, AC, CD, AB a) Chứng minh: tứ giác AFKD hình thang tứ giác KEMF hình bình hành b) Chứng minh: EF // CD c) Đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc với BC cắt H Chứng minh: tam giác HCD tam giác cân Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao M trung điểm AB Gọi D điểm đối xứng H qua M a) Chứng minh tứ giác AHBD hình chữ nhật b) Trên đoạn HC lấy điểm E cho HB = HE Chứng minh tứ giác AEHD hình bình hành c) Gọi N điểm đối xứng A qua H Chứng minh: Tứ giác AENB hình thoi d) MN cắt BH K Chứng minh: BE = 3BK Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E điểm đối xứng B qua C a) Chứng minh tứ giác ACED hình bình hành b) Gọi M trung điểm BC Tia AM cắt tia DC F Chứng minh tứ giác BDEF hình thoi c) Gọi I giao điểm AE DC Tia BI cắt DE K Chứng minh KI = AE Bài 4: Cho ∆ ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH (H ∈BC) Kẻ HD ⊥ AB D HE ⊥ AC E a) Chứng minh: Tứ giác ADHE hình chữ nhật b) Gọi F điểm đối xứng điểm H qua điểm E Chứng minh: Tứ giác ADEF hình bình hành d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AM ⊥ AF Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật b) Gọi E điểm đối xứng C qua A Chứng minh tứ giác ADBE hình bình hành c) EM cắt AB K cắt CD I Vẽ IH ⊥ AB (H ∈ AB) Chứng minh ∆IKB cân Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi G, H E trung điểm cạnh AB, AC BC a) Chứng minh tứ giác BCHG hình thang b) Gọi O điểm đối xứng với E qua H Chứng minh tứ giác EAOC hình bình hành c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM Vẽ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC (D ∈ AB, E ∈ AC) a) Chứng minh: tứ giác ADHE hình chữ nhật AB AC = AH BC b) Gọi P điểm đối xứng A qua E Tứ giác DHPE hình gì? Vì sao? c) Gọi V giao điểm DE AH Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc với đường thẳng MV Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy Bài Cho ∆ABC cân A Gọi D, E trung điểm AB AC a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE b/ Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân c/ Gọi K trung điểm BC, F trung điểm BK, H giao điểm AK DE Chứng minh tứ giác DHKF hình chữ nhật d/ Chứng minh đường thẳng DK, HF, BE đồng quy Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB a/ Chứng minh: MD ⊥ AB b/ Gọi E điểm đối xứng với M qua D Chứng minh tứ giác EACM hình bình hành c/ Chứng minh tứ giác AEBM hình thoi d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi M, N, K thứ tự trung điểm AB, AC BC a) Chứng minh KN  AB ABKN hình thang vng b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt tia KN Q.Chứng minh AKCQ hình thoi c) MN cắt BQ O AK cắt BN I Biết BC = 24cm, tính độ dài OI Bài 11 Cho ∆ABC vng A có AB = cm, AC = cm Gọi M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh AC a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AMDN hình chữ nhật Gọi E điểm đối xứng D qua M Chứng minh tứ giác BDAE hình thoi Bài 12: Cho ∆ABC vng A có AB < AC Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ MN vng góc với AC N, kẻ ME vng góc với AB E a) Chứng minh tứ giác ANME hình chữ nhật tứ giác NMBE hình bình hành b) Vẽ D đối xứng M qua E Chứng minh tứ giác ADBM hình thoi c) Vẽ đường cao AH ∆ABC Chứng minh tứ giác MNEH hình thang cân Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD Gọi I trung điểm AB Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC E a) Chứng minh AICD BCDI hình bình hành b) Chứng minh AD = DE c) Giả sử A = D = 900 AD = CD Chứng minh BC ⊥ AC Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) M , N , P trung điểm AB, AC , BC a) Chứng minh: Tứ giác BMNP hình bình hành b) Vẽ Q đối xứng với P qua N Chứng minh: Tứ giác APCQ hình thoi c) Vẽ R đối xứng với P qua M Chứng minh: R, A, Q thẳng hàng Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi M, N, K trung điểm AB, BC AC a) Chứng minh tứ giác AMNK hình bình hành b) Vẽ đường cao AH tam giác ABC Tứ giác MKNH hình gì? Vì sao? c) Gọi I điểm đối xứng H qua M AH IC cắt MK E F Chứng minh HC – HB = 2EF ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ II DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 36 x −3  x − 11   + x − − Cho biểu thức Q = 1 − :  với x ≠ ; x ≠ −3 x +1   x − − x x+3  a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q biết x + x = c) Tìm x để Q = − x d) Tìm x để Q < e) Tìm điều kiện m để ln có giá trị x thỏa mãn Q = m Câu Cho biểu thức A = x2 + 2x  x + − x2  − + :   với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ −2 x2 − x +  x − x x2 − x  a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết x + = Câu c) Tìm x để A < d) Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên e) Tìm GTNN A với x > x + x +  x − 14  − 3x = B  − − Cho biểu thức: Với x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ −5 :  x + 4x − − x x +  x −1 a) Chứng minh B = x2 + x + x−2 b) Tính giá trị biểu thức B biết ( x + ) − x − 45 = c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên −3 e) Tìm x để B < d) Tìm x để B = f) Tìm GTLN biểu thức M biết M = :B x−2 g) Với x > , tìm GTNN B Câu  2+ x 4x2 − x  x − 3x Cho biểu thức P =  Với x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ − − :  − x x − + x  2x − x a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P biết x − = c) Tìm x để P > d) Tìm GTNN P x > e) Tìm x thỏa mãn P = −8 Câu x+2 + Cho biểu thức M = − với x ≠ −3; x ≠ x+3 x + x−6 2− x x−4 x−2 b) Tìm x biết M = −3 a) Chứng minh M = c) Tính giá trị M biết x + x + 1= ( 3x − 5) d) Tìm giá trị tham số m để phương trình M = m có nghiệm Câu x2 + với x ≠ − − x − x − x + 2x + a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P = b) Tính giá trị biểu thức P biết x + x − = c) So sánh P với d) Tìm giá trị nhỏ P A Câu 10 Cho hai biểu thức= 1 x x2 − x − với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ − B = 2 x −1 1− x 2x +1 a) Tính giá trị biểu thức B x = b) Rút gọn M = A.B b) Tìm giá trị x để M < Câu 11 Cho hai biểu thức A = x+2 x−2 16 x2 − x − − B = với x ≠ ±2 ; x ≠ −1 x − x + − x2 x +1 a) Tính giá trị A x − = b) Đặt P = A.B Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để P < Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 DẠNG 2: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Một ca-nơ xi dòng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A Tính quãng đường từ bến A đến bến B Biết vận tốc dòng nước 2km / h Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 45km / h Lúc người với vận tốc 40km / h nên thời gian nhiều thời gian 10 phút Tính quãng đường AB Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km / h Khi đến B người nghỉ 20 phút quay A với vận tốc trung bình 25km / h Tính qng đường AB , biết thời gian 50 phút Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km / h Sau 30 phút, xe xuất phát từ B để đến A với vận tốc 60km / h Biết quãng đường AB dài 80km Hỏi sau kể từ xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau? Câu 16 Một ô tô từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30 km/h Trên quãng đường từ Đền Hùng Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian ngắn thời Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 gian 36 phút Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm ngày Do cải tiến kỹ thuật, anh làm 80 sản phẩm ngày Vì vậy, anh hoàn thành kế hoạch sớm ngày cịn làm thêm 40 sản phẩm Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch Một tổ dự định dệt 28m vải Nhưng thực tế giờ, tổ dệt 4m vải Do vậy, tổ làm thời gian dự định mà thiếu 5m vải hồn thành kế hoạch Tính số vải tổ phải dệt theo kế hoạch Một cơng nhân dự kiến làm 33 sản phẩm thời gian định Trước thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người 29 sản phẩm Do người làm thêm sản phẩm hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến Hai cơng nhân làm cơng việc ngày xong Biết làm xong cơng việc người thứ làm nhanh người thứ hai ngày Tính thời gian người làm xong cơng việc Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên lần chiều dài lên lần chu vi khu vườn 162 m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ bao nhiêu? Một đội xe tải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm quy định Vì đội có xe bị điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0, hàng Tính số xe đội lúc đầu Một hình chữ nhật có chu vi 78 cm Nếu giảm chiều dài cm tăng chiều rộng thêm cm hình chữ nhật trở thành hình vng Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu Hai giá sách có 140 sách, chuyển 10 từ giá sách thứ sang giá sách thứ hai số sách giá thứ số sách giá thứ hai Tìm số sách giá Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số nhỏ số cho 36 DẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 27 Giải phương trình sau: 1) x − = 2) x − = x + 3) x + = x − 4) − x =x + 5) x − = − x 6) −3 x =x − 7) − x = x + 8) x − + x − = 10 2x + 3x − +1 − 9) = x+3 x + 2x − 1− x 96 x − 3x − = + 11) + x − 16 x + x − x+2 − =2 x − x x − 2x x + 19 17 − = 15) 5x − x −1 − x Câu 28 Giải bất phương trình sau: x −1 x 7x − − =2 x +3 x −3 9− x 2x x + = 1+ 12) 2x −1 2x +1 ( x − 1)( x + 1) 10) x x 2x + + = 2x − 2x + x − 2x − 13) 14) 1) x + < ( x + 1) − 2) x − > ( x − 1) + x 3) + x ( x + 3) < ( x − 1)( x + ) 4) 2x − x +1 − x − > − x +1 >1 7) x+3 x2 + 2x + 9) ≥1 x3 + 11) ( x + 1) (3 x − 2) ≤ 5) x 7x + 4x − − > −8 2x − 5x − x − − x + 12 > − 6) 2x −1 ≤2 8) x −3 2x +1 ≥1 10) x +2 12) ( x − 2)( x + 1) ≥ Câu 29 Giải phương trình sau: 1) x − = 2) x − = x + 3) x + = x − 4) − x =x + 5) x − = − x 6) −3 x =x − 7) − x = x + 8) x − + x − = 9) x +1 + x + + x + = 2021x DẠNG 4: HÌNH HỌC Câu 30 Cho tam giác ABC vuông A , AB = 6cm , AC = 8cm , đường cao AH , phân giác BD cắt I a) Chứng minh ∆ABH  ∆CBA b) Tính AD , DC c) Chứng minh: AB.BI = BD.HB d) Tính diện tích ∆BHI Câu 31 Cho góc xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 3cm , OB = 8cm Trên Oy lấy hai điểm C D cho OC = 4cm , OD = 6cm a) Chứng minh ∆OAD  ∆OCB b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh IA.ID = IB.IC c) Tính tỉ số diện tích ∆IAB ∆ICD Câu 32 Cho tam giác ABC , đường cao BH CE cắt H Chứng minh rằng: a) A E AB = AD AC b)  AED =  ACB 89 x = y =1  z =1 ⇔ x = y = z =1 Dấu " = " xảy  x= y= z   x + y + z = TH2: Nếu có số dương Khơng tính tổng quát giả sử x > 0; y < ; z < Do xyz = nên ba số x, y, z tồn số có giá trị tuyệt đối khơng nhỏ -Trường hợp a Nếu x ≥ x ≥ x y > y y ≥ y < Tương tự z > z Do x + y + z > x + y + z - Trường hợp b: Nếu x < Giả sử y ≥ Khi x + y < mà x < nên x + y + z < Do x + y + z > x + y + z Từ hai trường hợp ta có x + y + z > x + y + z Dấu “=” xảy x= y= z= Câu 93 Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + , y > , x + y = Lời giải S = 3x + y + = S + x −1 y −1 ( x − 1) ( y − 1) 7 + + + + ( x + y) + x −1 y −1 Do x > , y > , x + y = nên x − > , y − > Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có S≥2 ( x − 1) ( y − 1) 7 +2 + + x −1 y −1 21 S ≥ + + + 2 2 S ≥ 28  ( x − 1) =  x −1   ( y − 1) = Dấu xảy  y −1  x + y =   ( x − 1)2 = x =  x − =±2  x =    ⇔ ⇔ ( y − 1) = ⇔  y − =±2 ⇔  y = y = x + y = x + y = x + y = 6    Vậy GTNN S = 28 x= y= + x −1 y −1 92 ĐÁP ÁN ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Bài Cho hai biểu thức A = x−2 4x x 2x + + B = với x ≠ ±1; x ≠ x +1 − x x −1 x a) Tính giá trị biểu thức A x = 3x x +1 c) Cho P = A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P = m có nghiệm Lời giải b) Chứng minh rằng: B = a) Tính giá trị biểu thức A x = Thay x = (TMĐK) vào biểu thức A , ta được: −2 A= = −2 Vậy A = −2 x = b) Chứng minh rằng: B = 3x x +1 B= 4x x 2x + + ĐKXĐ: x ≠ ±1 x +1 − x x −1 B= x ( x − 1) x ( x + 1) 2x − + ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) B= 4x2 − 4x − x2 − x + 2x ( x + 1)( x − 1) B= 3x − 3x ( x + 1)( x − 1) B= x ( x − 1) ( x + 1)( x − 1) 3x x +1 c) Cho P = A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P = m có nghiệm B= Để P = m có nghiệm 3x = m có nghiệm x +1 93 3x =m ⇔ x =m ( x + 1) ⇔ x =mx + m ⇔ ( − m ) x =m x +1 Phương trình có nghiệm − m ≠ ⇔ m ≠ Ta có Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 50 km/h, sau 30 phút, tơ xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 kkm/h Tính độ dài quãng đường AB biết hai xe đến B lúc Lời giải Gọi quãng đường AB x ( x > 0, km ) Vì vận tốc xe máy 50 km/h nên thời gian xe máy từ A đến B Vì vận tốc ô tô 60 km/h nên thời gian ô tơ từ A đến B Vì tơ xuất phát sau xe máy 30 phút = x (h) 50 x (h) 60 ( h ) hai xe đến B lúc nên ta có phương trình: x x = + 50 60 ⇔ 6x x 150 = + 300 300 300 ⇔x= 150 ( tm ) Bài Vậy quãng đường AB dài 150 km Giải phương trình bất phương trình sau x+3 x x2 + 4x + + =2 x −1 x +1 x −1 a) x ( x − ) = x − b) c) ( x − 1) < ( x + 1) − d) x3 > −2 x Lời giải a) x ( x − ) = x − ⇔ 3x − x − x + = ⇔ x2 − x + = ⇔ ( x − 3x + ) = ⇔ x2 − 2x − x + = ⇔ x ( x − 2) − ( x − 2) = ⇔ ( x − )( x − 1) = x = ⇔ x = Vậy S = {1; 2} 94 b) x+3 x x2 + 4x + + =2 x −1 x +1 x −1 ⇔ ( x + 3)( x + 1) + x ( x − 1) = x2 + 4x + x2 −1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ĐKXĐ: x ≠ ±1 Suy ra: x + x + + x − x = x + x + ⇔ x + 3x + − x − x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x2 − 2x + x − = ⇔ ( x − )( x + 1) =  x = ( tm ) ⇔  x = −1( l ) ⇔x= Vậy S = {2} c) ( x − 1) < ( x + 1) − ⇔ 3x − < x + − ⇔ 3x − < x + ⇔ x + − 3x + > ⇔ x > −6 ⇔ x > −3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm { x | x > −3} d) x > −2 x ⇔ x3 + x > ⇔ x ( x2 + 2) > ⇔ x > (Vì x + > ) Bài (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông A, ( AB < AC ), đường cao AH a) Chứng minh ∆BHA ∽ ∆BAC Từ suy BA2 = BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vng góc với CI K Chứng minh CH CB = CI CK  = BDC  c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM = BA Chứng minh = 90° BMD Lời giải 95 a) Chứng minh ∆BHA ∽ ∆BAC Từ suy BA2 = BH BC Xét ∆BHA ∆BAC có :  chung B  = BAC  (vì 90° ) BHA Suy ∆BHA ∽ ∆BAC (g – g) BH BA = Suy BA BC hay BA2 = BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vng góc với CI K Chứng minh CH CB = CI CK Xét ∆CHI ∆CKB có:  chung C  = CKB  (vì 90° ) CHI Suy ∆CHI ∽ ∆CKB (g – g) Suy CH CI = hay CH CB = CI CK CK CB  = BDC  c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK 96 Xét ∆BKC ∆BHD có:  chung B  = BKC  (vì 90° ) BHD Suy ∆BKC ∽ ∆BHD (g – g) BK BC = hay BK BD = BH BC BH BD Xét ∆BHK ∆BDC có: Suy BK BC = (cmt) BH BD  chung Và B Suy  ∆BHK ∽ ∆BDC (c – g – c)  = BDC  Suy BHK d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM = BA Chứng minh = 90° BMD BA ⇒ BM = BA2 Mà BA2 = BH BC BH BC = BK BD (chứng minh Vì BM = trên) ⇒ BM = BK BD hay BM BD = BK BM BM BD  chung = B BK BM Suy  ∆BKM ∽ ∆BMD (g – g) = BKM = 90° Suy BMD Xét ∆BKM ∆BMD có : Bài 10 Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x − x + + 2020 4x Lời giải Với x > ta có: + 2020 4x = 4x2 − 4x + + x + + 2019 4x = ( x − 1) + x + + 2019 4x >0 Vì x > nên 4x M = x − 3x + Áp dụng bất đẳng thứ Cô – si cho hai số không âm x 1 ≥ x 4x 4x x+ ≥1 4x x+ có: 4x 97 Mà ( x − 1) ≥ với x > Suy M ≥ + + 2019 ⇔ M ≥ 2020 ( x − 1)2 =  Vậy giá trị nhỏ M 2020 , dấu xảy  ⇒ x = (vì x = 4x  x >0) 98 ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Câu (2 điểm) Cho hai biểu thức A = a) Tính giá trị A x = x−2 − 5x 2x + + B = với x ≠ ±2 2 x +1 x−2 4− x x+2 2x x−2 c) Đặt P = A.B Tìm x để P ≤ b) Chứng minh B = Lời giải a) Tính giá trị A x = Với x = (thỏa mãn x ≠ ±2 ), thay vào biểu thức A , ta được: −2 −3   −3 −3 −6 = ⋅ = A= : +  = : = 2 4 4 5 1   +1 2 Vậy với x = −6 A = b) Chứng minh B = 2x x−2 − 5x 2x + + Với x ≠ ±2 ,ta có: B = x−2 4− x x+2 5x − x B= + + x−2 x −4 x+2 5x − 2x B= + + x − ( x − )( x + ) x + B= 3( x + 2) 2x ( x − 2) 5x − + + ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) ( x + )( x − ) B= 3x + + x − + x − x ( x − )( x + ) B= 2x2 + 4x ( x − )( x + ) = B 2x ( x + 2) 2x = ( x − )( x + ) x − 99 2x x−2 c) Đặt P = A.B Tìm x để P ≤ Vậy B = x − 2x 2x ⋅ = Ta có: P =A.B = x +1 x − x +1 P ≤1⇒ 2x ≤1 x +1 ⇔ 2x −1 ≤ x +1 ⇔ 2x x2 + − ≤0 x2 + x2 + ⇔ x − x2 −1 ≤0 x2 + ⇒ − x + x − ≤ (do x + > ∀ x ) ⇔ − ( x − x + 1) ≤ ⇔ − ( x − 1) ≤ (luôn đúng) Câu Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: với x ≠ ±2 P ≤ (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Hai lớp 8A 8B trường có tổng 95 học sinh Trong đợt quyên góp sách tặng em học sinh vùng lũ lụt học sinh lớp 8A ủng hộ quyển, học sinh lớp 8B ủng hộc Tính số học sinh lớp, biết hai lớp ủng hộ 379 Lời giải Gọi số học sinh lớp 8A x , (học sinh, x ∈ * , x < 95 ) Số học sinh lớp 8B 95 − x (học sinh) Số lớp 8A ủng hộ 5x Số lớp 8B ủng hộ ( 95 − x ) Theo cho, hai lớp ủng hộ 379 vở, nên ta có phương trình: x + ( 95 − x ) = 379 379 ⇔ x − x + 285 = ⇔ 2x = 94 ⇔x= 47 (thỏa mãn điều kiện) Câu Vậy số học sinh lớp 8A 47 học sinh, số học sinh lớp 8B 48 học sinh (2 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x + 1) − ( x − 3) = x − b) x + x + 12 + + = x x − 3x − x c) x ( x + 1) − x ≥ ( x − ) d) x − 2x + + 5x − < 1+ 12 100 Lời giải a) ( x + 1) − ( x − 3) = x − ⇔ x + − 3x + − x + = ⇔ −2 x = −13 13 ⇔x= 13  Vậy tập nghiệm phương trình S =   2 x + x + 12 b) + + = x x − 3x − x ⇔ −2 x − x + 12 + + = x 3− x x (3 − x ) (1) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ Với x ≠ 0; x ≠ , ta có: (1) ⇔ ( − x ) x ( −2 x − 1) x + 12 + + = x (3 − x ) x (3 − x ) x (3 − x ) ⇒ − x − x − x + x + 12 = ⇔ − x − x + 21 =0 ⇔ ( x − 3)( x + ) = 0 x − = ⇔ x + = x = ⇔  x = −7 Kết hợp với ĐKXĐ, ta có x = không thỏa mãn, x = −7 thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = c) x ( x + 1) − x ≥ ( x − ) {−7} ⇔ x2 + x − 2x ≥ x2 − 4x + ⇔ x2 + x − x − x2 + x − ≥ ⇔ 3x − ≥ ⇔ 3x ≥ ⇔ x≥  4 S x x ≥  Vậy tập nghiệm bất phương trình là:= 3  101 d) x − 2x + + 5x − < 1+ 12 ⇔ ( x − ) ( x + ) 24 (1 + x ) − < + 24 24 24 24 ⇔ ( x − ) − ( x + ) < 24 + (1 + x ) ⇔ x − 16 − x − − 24 − − 10 x < ⇔ −8 x − 48 < ⇔ −8 x < 48 ⇔ x>6 S Vậy tập nghiệm bất phương trình là= Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A { x x > 6} ( AB < AC ) Kẻ đường cao AH , phân giác BD Gọi I giao điểm AH BD a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI b) Chứng minh : AB = BH BC Tính AH BH = 9cm , HC = 16cm c) Chứng minh : ∆AID cân DA2 = DC.IH d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI Xét ∆ABD ∆HBI có: = BHI =( 90° ) DBA   ( BD đường phân giác ∆ABC ) ABD = HBI ⇒ ∆ABD ∽ ∆HBI (g – g) b) Chứng minh : AB = BH BC Tính AH BH = 9cm , HC = 16cm Xét ∆ABH ∆ABC có: = BAC =( 90° ) BHA 102  ABH chung ⇒ ∆ABH ∽ ∆CBA (g – g) AB BH = BC AB ⇒ AB = BH BC Ta có: BC =BH + HC =9 + 16 =25 ( cm ) ⇒ Mà AB = BH BC (cmt) ⇒ AB = 9.25 = 225 ⇒ AB = 15 ( cm ) Xét ∆ABH vng H có: AH = AB − BH (Pytago) ⇒ AH = 152 − 92 = 144 ⇒ AH = 12 ( cm ) c) Chứng minh : ∆AID cân DA2 = DC.IH  = DIA  (đối đỉnh) Ta có: BIH  ( ∆ABD ∽ ∆HBI )  = BDA BIH =  ⇒ DIA BDA ⇒ ∆AID cân A Xét ∆BAH có: BI đường phân giác (gt) IA BA ⇒ = IH BH Xét ∆BAC có: BD đường phân giác (gt) DC BC ⇒ = DA BA AB BH AB BC = = Mà (cmt) hay BC AB BH AB IA DC ⇒ = IH DA ⇒ IA.DA = DC.IH Lại có: IA = DA ( ∆AID cân A ) ⇒ DA = DC.IH (đpcm) d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Xét ∆BCK vuông K có: KQ đường trung tuyến ( Q trung điểm BC ) ⇒ KQ = QB = QC = BC ⇒ ∆KQB cân Q  = ⇒ QKB QBK 103 =  góc ngồi ∆KQB )  ( CQK 2CBK ⇒ CQK  ( BD đường phân giác ∆ABC ) Mà  ABC = 2CBK =  ⇒ CQK ABC Mặt khác: hai góc vị trí đồng vị ⇒ KQ // AB Ta có: KP ⊥ AC ( P hình chiếu K AC ) AB ⊥ AC ( ∆ABC vuông A ) ⇒ KP // AB Mà KQ // AB (cmt) ⇒ KP ≡ KQ ⇒ K , P , Q thẳng hàng Câu (0,5 điểm) Cho x , y , z ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + x+ y−z y+z−x z+x− y x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a , b ta có: a + b ≥ ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab a+b ≥ ab a+b 1 ⇔ + ≥ (*) a b a+b Vì x , y , z ba cạnh tam giác nên x + y − z ; y + z − x ; z + x − y dương ⇔ Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 1 + ≥ = x + y − z y + z − x 2y y 1 + ≥ y+z−x z+x− y z 1 + ≥ x+ y−z z+x− y x ⇔ 2 2 2 + + ≥ + + x+ y−z y+z−x z+x− y x y z ⇔ 1 1 1 + + ≥ + + (điều phải chứng minh) x+ y−z y+z−x z+x− y x y z Dấu “=” xảy ⇔ x + y − z = y + z − x = z + x − y ⇔x= y= z  HẾT  ... x10 y – 36 x y – 18ax y – 18ax y ) : ( ? ?9 x y ) 81 a x y 36 x5 y 18ax5 y 18ax y − − − = ? ?9 x3 y ? ?9 x3 y ? ?9 x3 y ? ?9 x3 y = − 9a x + x y + 2ax y + 2ax y 19 Bài 2: x3 − x + x + ( x3 + x ) − (2 x... 2b − 49m n (8ab − m n)(8ab + m n) = = 8ab − m n b) 2 8ab + m n 8ab + m n Bài 3: x − x + a x − 12 x + x − 18 + a + 18 x( x − 3) + 6( x − 3) + a + 18 = = a) x −3 x −3 x −3 = 4x + + a + 18 x −3... )( x + ) x ( x − 2) ( x + 2) 8x = x + ( x − )( x + ) x + 8x x ≠ ±2 ; x ≠ −1 x +1 c) Tìm x để P < Vậy P = Với x ≠ ±2 ; x ≠ −1 , ta có 8x 8x 8x − 8x − ? ?8 −1