ma trận nghịch đảo tổng quát

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kì công trình nào khác

Trang 1

Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ LƯU

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNHChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lớp: 15CTUDE

hghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoi

38Thursday, June 13, 20249:07:31 PM9:07:31 PM38Thursday, June 13, 20249:07:31 PM9:07:31 PM38Thursday, June 13, 20249:07:31 PM9:07:31 PM

hghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoi

hghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoihghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoi

38hghieh euu dae diem tai xihh tu hhieh duoi tah ruhg theo dci eco tai vuoh puoe gic bc vi ha hoiThursday, June 13, 2024

Trang 2

Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ LƯU

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNHChuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Lớp: 15CTUDE

Đà Nẵng 2019

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Lưu

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại trường Đại học Sư phạm ĐàNẵng, được sự dìu dắt của các thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiềukiến thức hữu ích Khóa luận tốt nghiệp này được xem như là thành quảquan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện Lời đầu tiên của luậnvăn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS TrươngCông Quỳnh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đểtác giả có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáođã tận tình dạy bảo trong suốt thời gian học tập của khóa học.

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp 15CTUDE và các anh chị khóa trên đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trongquá trình học tập tại lớp.

Đà Nẵng, ngày 1 tháng 3 năm 2019

Nguyễn Thị Lưu

Trang 5

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Giả nghịch đảo Moore - Penrose .

1.2 Không gian null của ma trận .

2.1 Luật trật tự ngược cho {1} −nghịch đảo .

2.2 Luật trật tự ngược cho {1, 2} −nghịch đảo .

TỔNG QUAN VÀ KẾT LUẬN .

2.3 Tổng quan: .

2.4 Kết luận: .

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 6

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong đại số tuyến tính, ma trận giả nghịch đảo của ma trận A là mộttổng quát hóa của ma trận nghịch đảo Loại ma trận giả nghịch đảo phổbiến nhất là giả nghịch đảo Moore–Penrose Vào năm 1920, E H Mooređã định nghĩa khái niệm giả nghịch đảo và loại ma trận này cũng được tìmra một cách độc lập bởi Arne Bjerhammar năm 1951 và Roger Penrosenăm 1955 Lý thuyết này đã trở thành một chủ đề nghiên cứu của các tácgiả khác nhau, nhiều vấn đề và câu hỏi đã được giải quyết Tuy nhiên,một số chỉ được giải quyết một phần hoặc vẫn còn mở cho đến ngày nay.Bởi những lý do như trên cùng với sự định hướng của thầy giáo PGS.TS.Trương Công Quỳnh, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ma trận nghịchđảo tổng quát ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn này trình bày một số chủ đề hiện tại trong lý thuyết về nghịchđảo tổng quát nhằm đưa ra đánh giá về những nỗ lực này cũng như cungcấp những định hướng khả thi để nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực toán họcnày.

3 Đối tượng nghiên cứu

Giả nghịch đảo Moore - Penrose và tích của nhiều hơn hai ma trận.4 Phạm vi nghiên cứu

Vấn đề luật nghịch đảo thứ tự đối với tích hai ma trận từ đó tổng quátvới tích nhiều hơn hai ma trận, các lớp khác nhau của nghịch đảo tổngquát.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình

Trang 7

thực hiện đề tài Trước tiên, chúng tôi thu thập các bài báo khoa học củanhững tác giả đi trước liên quan đến ma trận và các tính chất đại số củanghịch đảo tổng quát Sau đó bằng cách tương tự hóa những kết quả đó,chúng tôi sẽ đưa ra những kết quả mới cho đề tài.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Khóa luận góp phần bổ sung thêm các tính chất đại số trên nghịch đảocủa ma trận.

- Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và cácnghiên cứu sinh đang nghiên cứu về mảng này.

7 Cấu trúc luận văn

Nội dung khóa luận được trình bày qua hai chương Ngoài ra, khóa luậncòn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, Phần kết luậnvà Tài liệu tham khảo.

Trang 8

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi xin trình bày một số kiến thức liên quanđến ma trận, nhắm hỗ trợ cho phần đọc hiểu ở chương tiếp theo.

1.1 Giả nghịch đảo Moore - Penrose

Định nghĩa 1.1.1 ChoA ∈ M (m, n;K) Ma trận giả nghịch đảo Penrose (hay còn gọi là giả nghịch đảo) củaAlà ma trậnA† ∈ M (n, m;K)thỏa mãn bốn điều kiện sau:

Moore-(1)AA†A = A.(2)A†AA† = A†(3)(AA†)∗ = AA† và(4)(A†A)∗ = A†A.

Chú ý 1.1.2 Ma trậnA† tồn tại và duy nhất.

Với bất kìA, kí hiệuA {i, j, , k}biểu thị tập hợp tất cả các ma trậnX thỏa mãn các phương trình(i), (j) , (k)trong số các phương trình từ(1) − (4).

X ∈ A {i, j, , k}là một{i, j, , k} −nghịch đảo củaAvà được kí hiệulàA(i,j, ,k) Với quy ước này ta cóA {1, 2, 3, 4} =A†

Nhận xét 1.1.3 - NếuAlà ma trận thực, thìA† cũng là ma trận thực.- NếuAkhả nghịch, thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một:A† = A−1

- Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.

- Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu:(A†)† = A

Trang 9

1.2 Không gian null của ma trận

Định nghĩa 1.2.1 ChoA ∈ M (m, n;K) Không gian null của ma trậnA, kí hiệu làN (A), là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình thuầnnhấtAx = 0.

Viết theo kí hiệu tập hợp:

1 −1 −2 −4

x1 − x2 − 2x3 − 4x4 = 0

2x2 + 5x3 + x4 = 0⇒N (A) =

2 (x3 − 7x4)

2 (5x3 + x4)x3x4

: x3, x4 ∈R

Trang 10

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

ai =

, i = 1, , n→A =[a1 a2 an]và Ax =α1a1 + α2a2 + + αnan

Nghĩa là, vectoAxtrong Rn là một tổ hợp tuyến tính các vecto cột củaA Và

R(A) = {α1a1 + α2a2 + + αnan|α1, α2, , αn ∈R}Ví dụ 1.3.2 ChoA =

"12−1 3

"α1 + 2α2−α1 + 3α2

2α1 + α2#

×α1 +"2

× α2.

Vì vậyR(A) =

("α1 + 2α2−α1 + 3α2

2α1 + α2#

|α1, α2 ∈R)

1.4 Các toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.4.1 Không gian Banach: Các không gian Banach đượcđịnh nghĩa là các Các không gian vecto định chuẩn đầy đủ Điều này nghĩalà một không gian Banach là một không gian vecto V trên trường số thựchay số phức với một chuẩn ||.|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng vớimetricd(x, y) = ||x − y||)có giới hạn trong V.

Ví dụ 1.4.2 Không gian Euclid quen thuộc Kn, với chuẩn Euclid củax = (x1, x2, , xn)được cho bởi||x|| = (P

|xi|2)1/2), là các không gianBanach.

NếuVvàWlà các không gian Banach trên cùng một trường K, tập hợpcác hàm K−tuyến tính liên tụcΘ :V → Wđược ký hiệu làL (V , W ).Khi đó,Θ :V → Wlà một toán tử tuyến tính.

1.5 Cơ sở và số chiều

Định nghĩa 1.5.1 Hệ vectoEtrong không gian vectoVlà một cơ sởcủaVnếu nó vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính.

Ví dụ 1.5.2 Hệ vectoE = {e1 = (1, 0); e2 = (0, 1)}là cơ sở của không

Trang 11

gian vecto R2.

Thật vậy,Elà hệ sinh và từ đẳng thức:λ1e1 + λ2e2 = 0λ1(1, 0) + λ2(0, 1) = (0, 0)

⇒ λ1 = 0, λ2 = 0,nên hệEđộc lập tuyến tính.

Định nghĩa 1.5.3 NếuVcó một cơ sở gồm n phần tử thìVgọi là khônggian n chiều, kí hiệu là dimV = n vàVđược gọi là không gian hữu hạnchiều.

Ví dụ 1.5.4 (1)

dimR2 = 2; dimR3 = 3;(2)

dimP2[t] = 3; dimM22 = 4.(3) TrongP2[x] =a0 + a1x + a2x2 : ai ∈R, i = 0, 2

Xác định một cơ sở và số chiều củaW = span(u1 = 1 + 3x + 2x2, u2 =2 + 6x + 4x2, u3 = x + 3x2)

Xét ma trận: A =

1 3 22 6 40 1 3

1 3 20 0 00 1 3

1 3 20 1 30 0 0

Suy ra một cơ sở củaWlà:1 + 3x + 2x2, x + 3x2 vàdimW = 2

Trang 12

CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT LIÊNQUAN

Định nghĩa 2.0.1 ChoA ∈ M (m, n,K) Ta gọi ma trậnX ∈ M (n, m,K)thỏa mãn điều kiệnAXA = Alà{1} −nghịch đảo củaAđược kí hiệu làA(1) Tập hợp tất cả các{1} −nghịch đảo củaAkí hiệu làA {1}.

Ví dụ 2.0.2.A =

1 01 0

→A(1) =

Vào năm 1960, Greville là người đầu tiên nghiên cứu bằng cách xem xétluật trật tự ngược cho nghịch đảo Moore- Penrose và đưa ra điều kiện cầnvà đủ cho quy luật này:

(AB)† = B†A†(2.1)

đúng cho mọi ma trậnAvàB Các nghiên cứu sâu hơn về chủ đề nàyphân nhánh theo nhiều hướng:

- Tích của nhiều hơn 2 ma trận.

- Các lớp khác nhau của nghịch đảo tổng quát.

- Các tập hợp khác nhau được xét (toán tử đại số, toán tửC∗, vành, )Chúng ta sẽ thảo luận về luật thứ tự ngược choK-nghịch đảo khiK ∈{{1} , {1, 2}}và trình bày các kết quả được công bố gần đây cũng nhưmột số ví dụ đơn giản và các vấn đề mở.

2.1 Luật trật tự ngược cho{1} −nghịch đảo

Trong bài báo của mình, Rao [1] chứng minh rằng nếuAvàBlà cácma trận phức sao choABxác định,Acó các cột độc lập tuyến tính hoặcBcó các hàng độc lập tuyến tính, thì:

Trang 13

B {1} A {1} ⊆ (AB) {1}(2.2)

Sau đó, Pringle và Rayner[2] cho rằng với bất kì hai điều kiện nào của Rao(nghĩa là, nếuAcó các cột độc lập tuyến tính hoặcBcó các hàng độc lậptuyến tính), kéo theo:

(AB) {1} = B {1} A {1}(2.3)

được chú thích vào năm 1994 bởi Werner[3], người đưa ra những phảnví dụ cho khẳng định này và chứng minh rằng với các ma trậnAvàBcókích thước phù hợp, công thức (2.2) đúng nếu và chỉ nếu:

N (A) ⊆ R(B)hoặcR(B) ⊆ N (A)

trong đóN (A)vàR(B)lần lượt là không gian null củaAvà miền củaB.

Định lí 2.1.1 ChoA ∈B(H , K )vàB ∈B(L , H )là các toán tửchính quy sao choABcũng chính quy Khi đóB {1} A {1} ⊆ (AB) {1}nếu và chỉ nếu:

N (A) ⊆ R(B)hoặcAB = 0.(2.4)

Ngoài ra ông còn chứng minh rằng (2.3) đặc biệt đúng trong từng trườnghợp sau:

CảAvàBđều có các cột độc lập tuyến tính.CảAvàBđều có các hàng độc lập tuyến tính.

Akhông suy biến và/hoặcBkhông suy biến nhưng nhìn chung, vấn đềkhó khăn hơn của việc tìm ra mô tả tương đương của điều kiện (2.3) vẫncòn mở Trang tiếp theo của chuyên đề này được viết bởi M Wei [4], sửdụng P-SVD của các ma trậnAvàB, một số các tương đương của (2.2)được suy ra và so sánh với các điều kiện của Weiner và tất nhiên điều kiệncần và đủ cho (2.3) đúng được đưa ra.

Định lí 2.1.2 ([4]) ChoA ∈Cm×n vàB ∈Cn×p Các điều kiện sau làtương đương:

(i) AB {1} = B {1} A {1}

Trang 14

(ii)Một trong các điều kiện sau đúng:

(a)r(AB) = 0, n ≥ min {m + r(B), p + r(A)},

(b)r(A) + r(B) − r(AB) = nvà(r(A) = mhoặcr(B) = p)(iii)Một trong các điều kiện sau đúng:

(a)R(B) ⊆ N (A),n ≥ min {m + r(B), p + r(A)},(b)N (A) ⊆ R(B)và(r(A) = mhayr(B) = p).

Ví dụ 2.1.3 (1) Nếum = nvàA = I, thì với mọiB ∈Cn×p ta có(AB) {1} = B {1}vàA {1} = {I}, vì vậy(AB) {1} = B {1} A {1}, điềunày có thể được kết luận từ (2.1.2)(iii)b.

(2) ChoA =

0 10 1

,B =

1 00 0

.⇒ AB = 0và từ (2.1.1) (hoặc sử dụnggiả thuyết(AB) {1} =C2×2), ta cóB {1} A {1} ⊆ AB {1} Mặt khác, vì

A {1}=

a1 a2a3 1 − a3

: a1, a2, a3 ∈C

B {1}=

1 b1b2 b3

: b1, b2, b3 ∈C

Ta có thể kiểm tra

1 −1

∈ (AB) {1}không thể được viết dưới dạngtíchB(1)A(1) vớiA(1) ∈ A {1}vàB(1) ∈ B {1} Điều này có nghĩa là(AB) {1} 6= B {1} A {1}có thể được kiểm tra bằng định lý (2.1.2).

Ngoài ra, hệ thức (2.2) trong trường hợp tích của nhiều hơn hai ma trậncũng được xét bởi M Wei [4] bằng cách áp dụng khai triển bội tích.Định lí 2.1.4 ([5]) ChoAi ∈Cmi×mi+1,i = 1, n,n ≥ 3 Các điều kiệnsau là tương đương:

(i) An{1} An−1{1} A1{1} ⊆ (A1A2 An) {1}(ii)Một trong các điều kiện sau đúng:

(a)r (A1A2 An) = 0.

(b)r(A1 Ai) + r(Ai+1) − r(A1 Ai+1) = mi+1,i = 1, n − 1(iii)Một trong các điều kiện sau đúng:

Trang 15

(a)R(Ai+1 An) ⊆N (A1 Ai), vớii ∈ {1, , n − 1},(b)N (A1 Ai) ⊆R(Ai+1),i = 1, n − 1.

Kết quả trước đây đã được khái quát hóa bởi Nikolov-Radenkovie [6]cho các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert Chúng ta sẽchứng minh cho kết quả này.

Định lí 2.1.5 ([6]) ChoAi ∈B(Hi+1,Hi),i = 1, n, sao choAi,i = 1, nvàA1A2 Aj,j = 2, nlà các toán tử tuyến tính Các điều kiện sau là tươngđương:

(i) An{1} An−1{1} A1{1} ⊆ (A1A2 An{1}

(ii) A1A2 An = 0hoặcN (A1 Aj−1) ⊆R(Aj)với mọij = 2, n

(iii) A1A2 An = 0hoặcAk{1} Ak−1{1} A1{1} ⊆ A1A2 Ak{1}, vớik = 2, n.

Chứng minh :(ii) ⇒ (iii) NếuA1A2 An = 0, hiển nhiên(iii)đúng.Gỉả sửA1A2 An 6= 0và

N (A1 Aj−1) ⊆R(Aj), j = 2, n.(2.5)

Ta sẽ chứng minh quy nạp trênk:

Ak{1} Ak−1{1} A1{1} ⊆ (A1A2 Ak) {1} , j = 2, n.(2.6)

Từ suy raN (A1) ⊆R(A2)mà theo (2.4) kéo theo (2.6) đúng vớik = 2 Gỉa sử rằng (2.6) đúng vớik = l − 1,l ∈ {2, 3, , n}, nghĩa là:

Al−1{1} Al−2{1} A1{1} ⊆ (A1A2 Al−1) {1} (2.7)

Chúng ta phải chứng minh rằng phương trình đúng với mọik = l Vì (2.1)đúng với mọij = l, từ (2.4) ta có:

Al{1} (A1A2 Al−1) {1} ⊆ (A1A2 Al−1Al) {1}(2.8)

Theo phương pháp quy nạp suy ra điều phải chứng minh.(iii) ⇒ (i) Hiển nhiên.

(i) ⇒ (ii) Gỉa sử rằngA1A2 An 6= 0vớin > 2theo định lý (2.1.1).Choj ∈ {3, 4, , n}vài ∈ {1, 2, , j − 2}tùy ý Thì vời mọi tùy ý

Trang 16

Lấy (2.9) trừ (2.10), ta có:

A1A2 AnA(1)n A(1)j+1.A(1)j + YIHj − AjA(1)j A(1)j−1 A(1)i+1IHi+1 − A(1)i AiXA(1)i−1 A(1)1 A1 An = 0(2.11)

ThayY = 0vào (2.11) ta có:

A1A2 AnA(1)n A(1)j+1A(1)j A(1)j−1 A(1)i+1IHi+1 − A(1)i AiXA(1)i−1 A(1)1 A1 An = 0(2.12)

Cuối cùng từ (2.12) và (2.11), ta nhận được:

A1A2 AnA(1)n A(1)j+1YIHj) − AjA(1)j A(1)j−1 A(1)i+1

IHi+1 − A(1)i Ai

XA(1)i−1 A(1)1 A1 An = 0(2.13)

đúng với mọi tùy ýX ∈B(Hi,Hi+1)và mỗiY ∈BHj+1,Hi) Tiếptheo, nếu như:

A1A2 AnA(1)n A(1)j+1 = 0(2.14)

IH − AjA(1)j

IH+ − AiA(1)i

= 0(2.15)

Trang 17

vài ∈ {1, 2, , j − 2}, ta có:

IH − AjA(1)j A(1)j−1 A(1)i+1A(1)i Ai=IH − AjA(1)j A(1)j−1 A(1)i+1(2.17)

Choj ∈ {2, 3, , n}, tùy ý Từ (i) kéo theo:A1A2 AnA(1)n A(1)j+1.

A(1)j + Y

IHj − AjA(1)j

A(1)j−1+IHj − A(1)j−1Aj−1X.A(1)j−2 A(1)1 A1 An = A1 An(2.18)

đúng với mọi tùy ýX ∈B(Hj−1,Hj)vàY ∈B(Hj,Hj+1) Tương tựphần chứng minh trên, chúng ta có với tùy ýj ∈ {2, 3, , n}

IHj − AjA(1)j IHj − A(1)j−2Aj−1Aj−1= 0(2.19)

Lấyj = 2trong (2.19), ta kết luận rằng:N (A1) ⊆R(A2).(2.20)

Chọn tùy ýj ∈ {3, 4, , n} Sử dụng (2.17) và (2.19), ta có:AjA(1)j

I − A(1)j−1 A(1)2 A(1)1 A1A2A3 Aj−1

= I − A(1)j−1 A(1)2 A(1)1 A1A2A3 Aj−1,(2.21)

kéo theoN (A1A2 Aj−1) ⊆R(Aj).

Trong phần [7], một số điều kiện cần và đủ được đưa ra trong trường hợpnhiều ma trận, với một số(AB) ∈ (AB) {1}thỏa mãn một số điều kiệnđặc biệt tồn tạiA(1) ∈ A {1}vàB(1) ∈ B {1}sao cho(AB)(1) = B(1)A(1):

Định lí 2.1.6 ([7]) ChoA ∈Cm×n vàB ∈Cn×p và cho(AB) ∈(AB) {1}được tùy ý cho trước, và cho:t((AB)(1)) = dim(R((AB)(1)) ∩N (B))và

v((AB)(1)) = dim(R[(AB)(1)]∗) ∩N (A∗)Thì(AB)(1) ∈ B {1} A {1}nếuvà chỉ nếu:

r((AB)(1)) − t((AB)(1)) − v((AB)(1)) ≥ r(A) + r(B) − n.Luật thứ tự ngược:

(AB) {1} ⊆ B {1} A {1}(2.22)

Trang 18

trong tập hợp các ma trận được giải vào năm 1998 trong phần [8], khisử dụng phương pháp P-SVD của các ma trậnAvàBchứng minh rằng(2.22) đúng nếu và chỉ nếu:

dimN (A) − dim(N (A) ∩ R(B) ≥ min {dimN (A∗), dimN (B)} Trong phần [9], một số điều kiện cần và đủ cho (2.22) được đưa ra màkhông sử dụng SVD hoặc P-SVD của hai ma trậnAvàB, chủ yếu chophép các chứng minh đại số được tổng quát hóa cho các tập hợp chung:Định lí 2.1.7 ChoA ∈Cm×n vàB ∈Cn×p Các điều kiện sau là tươngđương:

(i) (AB) {1} ⊆ B {1} A {1}

(ii) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) − min {m − r(A), p − r(B)}.Chứng minh Vì (i) tương đương với

(B∗A∗) {1} ⊆ A∗{1} B∗{1}(2.23)

không mất tính tổng quát ta giả sử trong chứng minh rằng:min {m − r(A), p − r(B)} = m − r(A).(2.24)

Thật vậy, nếu đây không phải là trường hợp ta có (2.24) bằng cách thayAbằngB∗ vàBbằngA∗, cho rằngm − r(A) = dimN (A∗)vàp − r(B) =dimN (B) Bây giờ, giả sử (2.24), ta cần phải chứng minh rằng (i) tươngđương vớim − r(AB) ≤ n − r(B).

Hiển nhiên, (i) tương đương với mọi(AB)(1) ∈ (AB) {1}tồn tạiA(1) ∈A {1}vàB(1) ∈ B {1}sao cho:

(AB)(1) = B(1)A(1).

Sử dụng Bổ đề 1.1 từ phần [9], cũng như các kí hiệu phù hợp được sửdụng trong đó, (i) tương đương với bất kỳ(A1B1)(1) ∈ (A1B1) {1},Z2 ∈B(N (A∗),R(B∗)),Z3 ∈B(R(A), N (B))vàZ4 ∈B(N (A∗),N (B))tồn tại các ma trậnY2 ∈B(N (B∗)),R(B∗),Y3 ∈B(R(B), N (B))vàY4 ∈B(N (B∗)),N (B)vàX =

X1 X2X3 X4

Trang 19

R(A)N (A∗)

R(B)N (B∗)

thỏa mãn:

A1X1 + A2X2 = IR(A),(2.25)

sao cho:

[(A1B1)(1)Z2] = [B1−1Y2]X(2.26)

[Z3Z4] = [Y3Y4]X.(2.27)

Nói chung choY2 cố định phương trình (2.26) có thể giải được choXvàtập nghiệm được cho bởi:

S =

[(A1B1)(1)Z2] + (I −

B1−1 Y2)W : W ∈Cn×m

B1(A1B1)(1) − B1Y2W3 B1Z2 − B1Y2W4

W1 W2W3 W4

R(A)N (A∗)

R(B)N (B∗

hiển nhiên cho bởi

∈hB(1)1 Y2

Do đó, (i) tương đương với tồn tại ít nhất mộtX ∈ S ∩ A {1}mà phươngtrình (2.27) có thể giải với[Y3 Y4] Tính giải được của phương trình (2.27)tương đương với:

[Z3 Z4] (I − X(1)X) = 0(2.29)

với một số (với mọi)X(1) ∈ X {1}.

Do đó, (i) tương đương với sự tồn tại của củaX ∈ S ∩ A {1}mà (2.29)đúng ViếtX = [K1 K2], trong đó

K1 =

B1(A1B1)(1)− B1Y2W3W3

vàK2 =

A1Z2 − B1Y2W4W4

Sử dụng bổ đề 2.3 [10], ta có một nghịch đảo trong củaXđược chobởiX(1) =

K1(1)− K1(1)K2T(1)RK1T(1)RK1

trong đóT = RK1,K2 vàRK1 =I − K1K1(1) Do đó (2.29) tương đương với

(Z4 − Z3K1(1)K2)(I − T(1)T ) = 0, Z3(I − K1(1)K1) = 0,(2.30)