các ứng dụng thực tế của hệ phương trình tuyến tính và ma trận nghịch đảo

Điều đó đã chứng tỏ ma trận và hệ phương trình tuyến tính có một vai trò to lớn với cuộc sống của con người, đóng góp cho sự phát triển xã hội hiện đại như ngày nay.Từ những ứng dụng đầy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

CÁC ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN NGHỊCH

ĐẢO

Sinh viên thực hiện : Trần Văn Trường

Nguyễn Hữu Thắng Trịnh Đình Thắng Bùi Minh Thành Đinh Bảo Thành Mai Thị Khánh Thư Nguyễn Đình Thường Bùi Thị Minh Thúy Trần Văn Toán Trần Quốc Toàn

Lê Xuân Trường

Giáo viên hướng dẫn : Lê Thị Hồng Dung

Hà Nam, ngày 28 tháng 11 năm 2022

Mục Lục

I, Phần mở đầu……… …………3

II, Nội dung 1 Kiến thức cần chuẩn bị 4

2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 6

2.1 Ứng dụng trong mật mã……….……… 6

2.2 Ứng dụng trong kinh tế……….………9

3 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 11

3.1 Ứng dụng trong khoa học……… 11

3.2 Ứng dụng trong sản xuất 15

III, Kết luận 18

IV, Tài liệu tham khảo……….……….19

I Phần mở đầu

Tiền đề về sự phát triển của ma trận và hệ phương trình tuyến tính đã có mặt

từ rất sớm trong lịch sử nhân loại (152 TCN) Điều đó đã chứng tỏ ma trận và hệ phương trình tuyến tính có một vai trò to lớn với cuộc sống của con người, đóng góp cho sự phát triển xã hội hiện đại như ngày nay

Từ những ứng dụng đầy thực tế của ma trận và hệ phương trình tuyến tính cùng sự hướng dẫn của giảng viên Lê Thị Hồng Dung, nhóm 5 chúng em đã xây dựng bản

báo cáo về đề tài : “Một số ứng dụng thực tế của ma trận nghịch đảo và hệ

phương trình tuyến tính” Nội dung bản báo cáo được thiết kế gồm 2 phần:

+ Ứng dụng của ma trận nghịch đảo: Gồm ứng dụng trong mật mã, ứng dụng trong kinh tế

+ Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính: Gồm ứng dựng trong toán học, hóa học,…và ứng dụng trong sản xuất

Thông qua các báo cáo về ứng dụng trong quyển, ta sẽ có cái nhìn tổng quan về môn học đại số tuyến tính và tính ứng dụng trong đời sống, từ đó không còn thấy môn học vô ích và nhàm chán như nhiều người lầm tưởng

3

II Nội dung

1 Kiến thức cần chuẩn bị:

1.1 Ma trận nghịch đảo

1.1.1 Định nghĩa:

Cho A là ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) sẽ là một ma trận cấp n kí hiệu A thỏa mãn:-1

AA-1 = A A = I-1

n Khi đó ta gọi A là ma trận khả đảo (hay khả nghịch)

1.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm và cách giải:

Ma trận vuông cấp n

Nếu det A 0 thì ma trận A có duy nhất ma trận nghịch đảo và được tính bởi công thức sau:

trong đó, c = (-1) det, làij i+j ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng i

và cột j.

1.2 Hệ phương trình tuyến tính

1.2.1 Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn có dạng tổng quát là:

trong đó x , x , …, x là các số cần tìm; là hệ số của ẩn x trong phương trình thứ i,1 2 n j

bi là các hệ số tự do với i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n

1.2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm:

Định lý 1 (Kronecker – Capelli)

- Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận

mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số của nó, tức là: r(A) = r( ).A

- Hệ quả: i) Nếu r(A) ≠ r( )A thì hệ phương phương trình vô nghiệm ii) Nếu r(A) = r( )A = n thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất iii) Nếu r(A) = r( )A < n thì hệ phương trình có vô số nghiệm

1.2.3 Các phương pháp giải:

a, Phương pháp Gauss: (Áp dụng với mọi hệ)

: Lập ma trận mở rộng A

: Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng đưa ma trận về dạng bậc A thang : Ghép với ẩn ban đầu được hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu : Giải hệ và kết luận

b, Phương pháp Cramer: (Chỉ áp dụng với hệ Cramer)

: Tính det A Nếu det A ≠ 0 thì tiếp tục

: Tính det với j = 1, …, n; trong đó là ma trận thu được sau khi thay B vào cột j của A

: Áp dụng công thức:

: Kết luận

c, Phương pháp ma trận nghịch đảo:(Chỉ áp dụng với hệ Cramer)

: Biểu diễn hệ Cramer dưới dạng phương trình ma trận: AX=B

trong đó

: Tính det A Nếu det A ≠ 0 thì tồn tại A-1

: Tìm A-1

: Nghiệm là X=A B và kết luận.-1

2.Ứng dụng của ma trận nghịch đảo:

2.1 Ứng dụng trong mật mã:

Mật mã học là việc giữ thông tin liên lạc một cách riêng tư Mã hoá và giải

mã giúp ta trao đổi thông tin qua mật mã, cần có những chìa khoá để liên lạc bí mật với nhau, riêng biệt Hiện nay, ma trận được ứng dụng tạo mật mã phức tạp, khó giải quyết để truyền tải thông tin thông qua sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận

đó Chính lẽ đó, việc sử dụng ma trận nghịch đảo trong mật mã ngày một phổ biến

và thông dụng

VD1: Cho ma trận A = và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau:

Một người muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp để mở khóa cửa Để đảm bảo sự bảo mật anh ta dùng bảng trên chuyển dòng mật khẩu này thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải

5

mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính C = B.A và chuyển C về dãy số thì được dãy:

Hãy giải mã dòng thông tin trên

Giải

Vì C = B.A

➩ Số cột của của C = số cột của A = 3

mà dãy số của ma trận C có 9 phần tử

➩ C =

➩

Có det(A) = = 9 ≠ 0 ➩ tồn tại A-1

=

➩

➩

Ta có: C = B.A

➩ B = C.A = = -1

Dãy số của ma trận B là : 1 2 3 4 8 9 5 6 7

➩ Mật khẩu là LOPKHMT01

VD2: Cho ma trận và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau :

Cô giáo muốn gửi dòng tin nhắn đến cho các bạn sinh viên lớp khoa học máy tính 1 Để đảm bảo bí mật, cô giáo đã dùng bảng trên chuyển tin nhắn thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D = A.B và chuyển D về dãy số thì được dãy “1 2 1 2 0 3 3 1 4’’ Hãy giải mã thông tin trên

Vì D = A.B

➩ Số dòng của của D = số dòng của A = 3

mà dãy số của ma trận D có 9 phần tử

➩ D =

➩

Có det(A) = = -1 ≠ 0 ➩ tồn tại A-1

=

➩

➩

Ta có: D = A.B

➩ B = A D = = -1

Dãy số của ma trận B là : 19 -71 44 -6 23 -14 -2 9 -5

➩ Mật khẩu là HOCTAPTOT

2.2 Ứng dụng trong kinh tế:

Lý thuyết về ma trận cũng được sử dụng trong nhiều bài toán kinh tế, không chỉ trong các bài toán đơn giản về đời sống mà nó còn được ứng dụng trong các bài toán mang tầm vi mô, vĩ mô của các chuyên gia kinh tế Việc ứng dụng đầy thành công của ma trận đã khiến nó trở thành một trong những yếu tố góp phần xây dựng nên nền kinh tế hiện đại phát triển như ngày nay, gắn liền với nhiều môn học kinh tế trên nhiều trường đại học,…

VD1: Cô Huê livestream bán ba loại bánh tráng: bánh tráng muối tôm, bánh tráng

bơ tỏi, bánh tráng mỡ hành Biết rằng số hàng bán được trong 3 tháng đầu năm là như sau: (đơn vị: bịch)

7

Bánh tráng mỡ hành 160 185 275

Biết doanh thu 3 tháng mà cô Huê thu được là:

Tháng 1: 26200 nghìn VND

Tháng 2: 25000 nghìn VND

Tháng 3: 32000 nghìn VND

Hỏi cô Huê bán mỗi loại bánh tráng với giá bao nhiêu?

Giải

Gọi a, b, c lần lượt là giá của 1 bịch bánh tráng muối tôm, bánh tráng bơ tỏi, bánh tráng mỡ hành

Đặt A = ; B = ; X =

Theo bài ra ta có : A.X = B X = B

det

=

➩

➩

Ta có:

Vậy cô Huê bán bánh tráng muối tôm với giá 30 nghìn VND/bịch, bánh tráng bơ tỏi

50 nghìn VND/bịch, bánh tráng mỡ hành 60 nghìn VND/bịch

VD2: Công ty chế biến thức ăn gia súc cần chế biến một loại thức ăn cho gia súc

chứa đủ 3 loại dưỡng chất là: đạm, đường và khoáng, nguyên liệu được lấy từ 3 loại thực phẩm A, B, C

Bảng sau đây liệt kê hàm lượng (tính bằng gam) của 3 dưỡng chất có trong 100g của mỗi loại thực phẩm nguyên liệu Cột cuối cùng của bảng cho biết nhu cầu mỗi loại dưỡng chất cần phải có trong một đơn vị thức ăn

Dưỡng chất Hàm lượng dưỡng chất có trong 100g Nhu cầu

Sử dụng ma trận nghịch đảo để tìm khối lượng mỗi loại nguyên liệu A, B, C để chế biến được đơn vị thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng chất đặt ra

Giải

Gọi lần lượt là số lượng mỗi loại nguyên liệu A, B, C

Đặt X = ; D = ; E =

Theo bài ra ta có : D.X = E X = E

det

=

➩

➩

Ta có:

Vậy đề chế biến được một đơn vị thức ăn đạt yêu cầu thì cần nguyên liệu A, nguyên liệu B và nguyên liệu C

3 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

3.1 Ứng dụng trong khoa học

VD1(Toán học): Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A =1 (1,1,3), A = (2 -1,2,3), A = (3 -1;1;2) trong không gian

Giải

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: ax + by + cz + d = 0(*), a,b,cℝ

Giả sử M = (x, y, z) là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng

Thay tọa độ của A , A , A và M vào phương trình (*) ta được:1 2 3

9

Hệ luôn có nghiệm (a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0) Tuy nhiên, việc nhân phương trình (*) với một hằng số 0 cũng cho ta một phương trình của cùng mặt phẳng đó, nên để hệ

có vô số nghiệm thì định thức của ma trận hệ số phải bằng 0:

= 0

Vậy phương trình cần tìm là

VD2(Hóa học): Cân bằng phương trình hóa học:

C2H2 + O CO + H O2 2 2

Giải

Để cân bằng phản ứng, ta cần tìm các số dương x, y, z, t sao cho:

xC2H2 + yO2 zCO2 + tH O (*)2 Theo định luật bảo toàn nguyên tố: số nguyên tử ở vế phải và vế trái phải bằng nhau, ta có:

Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Ta có:

➩

Thay vào (*) ta được:

tC2H2 + O2 2tCO2 + tH O2 Rút về dạng tối giản thì t = 2 Phương trình cân bằng cần tìm là:

2C2H2 + 5O2 4CO2 + 2H O2

VD3(Vật lý): Cho mạch điện như hình vẽ:

Áp dụng định luật Kirchhoff I vào nút A, ta có: (1)

Áp dụng định luật Kirchhoff II vào mạch điện ta có:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Ta có:

➩

Vậy cường độ dòng điện đi qua R , R , R1 2 3,R4, R lần lượt là:; ; ; 5

3.2.Ứng dụng trong sản xuất

Tương tự như trong kinh tế, trong sản xuất cũng có rất nhiều bài toán cần áp dụng đến ma trận và hệ phương trình như việc tính toán số lượng, tính toán phần trăm nguyên liệu,… để dễ dàng trong việc quản lý, tính toán cũng như có sự bao quát trong tiến độ sản xuất, thi công

VD1: Nhà nông nuôi tổng 200 con gia súc, gia cầm gồm 3 loại: bò, gà, vịt Biết

rằng tổng số chân của 3 loại là 540 chân, tổng số vịt gấp 4 lần tổng số gà Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?

Giải

11

Cho E = 20V, r = 2 , R = R = 6 , R1 2 3

= R = 5 , R = 4 Bỏ qua điện trở4 5 của dây dẫn Tính cường độ dòng điện chạy qua mỗi điện trở

Gọi số bò là x (con)

số vịt là y (con)

số gà là z (con)

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

(*)

Đặt ; ;

Hệ (*) trở thành: A.X = B

det(A) = = 10 ➩

=

➩

➩

Ta có: A.X = B

➩ X =.B = =

➩

Vậy có 70 con bò, 104 con vịt, 26 con gà

VD2: Một công ty A nhập 3 loại xe để bán cho người tiêu dùng: xe máy, xe điện, xe

đạp Biết tổng số xe nhập về là 750 chiếc, số xe máy gấp 2 lần số xe đạp, số xe đạp gấp 3 lần số xe điện Hỏi số lượng mỗi loại xe mà công ty đã nhập về ?

Giải

Gọi số xe máy nhập về là: x (chiếc)

số xe đạp nhập về là: y (chiếc)

số xe điện nhập về là: z (chiếc)

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

(*)

Đặt A= ; X= ; B=

Hệ (*) trở thành: A.X = B

det(A) = Hệ (*) là hệ Cramer➩

Ta có:

det() =➩

Vậy công ty A đã nhập về 450 chiếc xe máy, 225 chiếc xe đạp, 75 chiếc xe điện

III Kết luận

Qua bản báo cáo này, nhóm 5 đã đưa ra các ứng dụng của ma trận nghịch đảo cũng như hệ phương trình tuyến tính trong thực tế Bằng cách áp dụng các kiến thức

cơ bản đã học cũng như nghiên cứu các tài liệu liên quan, các bài toán ví dụ đều được giải quyết một cách thuyết phục

Với việc nghiên cứu, tìm hiểu các ứng dụng thực tế, các thành viên trong nhóm đã có thêm kiến thức về ma trận và hệ phương trình tuyến nói riêng cũng như môn đại số tuyến tính nói chung, biết cách áp dụng kiến thức môn học vào các vấn

đề của đời sống, và thêm vốn hiểu biết về tầm quan trọng của chúng trong việc ứng dụng vào các vấn đề hàng ngày đang xảy ra

Qua những lát cắt về ứng dụng thực tế của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính trong quyển, có thể rút ra kết luận: Ma trận nghịch đảo và hệ

13

phương trình tuyến tính nói riêng đại diện cho môn học đại số tuyến tính nói chung được áp dụng ở nhiều lĩnh vực và có vai trò vô cùng hữu ích Nếu chúng ta thật sự hiểu được môn học và áp dụng vào các lĩnh vực thực tế một cách có hiệu quả thì không chỉ các lĩnh vực trong quyển báo cáo đưa ra mà các lĩnh vực khác chúng ta sẽ đều gặt hái được nhiều lợi ích to lớn, rút ngắn thời gian học tập và làm việc cũng như giải quyết được rất nhiều cuộc sống quanh ta

Do lần đầu trải nghiệm tìm hiểu và tài liệu tìm kiếm còn hạn chế nên bài làm của nhóm không tránh khỏi những thiếu sót Chúng em rất mong sẽ nhận được những lời đóng góp, phê bình của cô và các bạn để bản báo cáo của chúng em được hoàn thiện hơn

Cuối cùng chúng em muốn gửi lời cảm ơn đến nhà trường đã tạo điều kiện, môi trường học tập tốt, cảm ơn giảng viên Lê Thị Hồng Dung đã tận tâm, tận tuỵ giảng dạy, hướng dẫn, bảo ban, khắc phục những thiếu sót trong kiến thức cũng như hình thức trình bày còn tồn tại ở chúng em, bên cạnh đó cũng gửi lời cảm ơn tới tất

cả các thành viên nhóm 5 đã đoàn kết, nhiệt tình đóng góp ý kiến, đưa ra quan điểm, chỉnh sửa giúp đỡ nhau ngày một hoàn thiện hơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

Một số tài liệu tham khảo đáng kể được sử dụng khi thực hiện bản báo cáo của nhóm là:

Đại số tuyến tính và hình học giải tích, 2009, NXB GD

Một số ứng dụng của đại số tuyến tính, 2016

Toán cơ sở cho kinh tế, NXB Thông tin và truyền thông , 2011 & NXB GD, 2014

Bên cạnh đó là một số trang web kinh tế trên hệ thống Google đáng tin cậy liên quan đến trường học, khoa, chuyên ngành học, đối tượng

nghiên cứu, tư liệu sản phẩm, sản xuất của các công ty, doanh nghiệp, ngân hàng phục vụ cho việc tìm kiếm ứng dụng bài toán thực tế

15